Mục lục MỤC LỤC MỤC LỤC

Mục lục

MỤC LỤC

MỤC LỤC ............................................................................................................... - 1 -

Bài Mở đầu: MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA MÔN HỌC .. - 5 -

Chương 1: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT ............................................................... - 6 - §1. Khái niệm về ứng suất, trạng thái ứng suất ................................................... - 6 -

1.1 Ứng suất ..................................................................................................... - 6 -

1.2 Khái niệm về trạng thái ứng suất ............................................................... - 7 -

1.3 Định luật đối ứng của ứng suất tiếp .......................................................... - 8 -

1.4 Công thức xoay trục ................................................................................... - 9 -

§2. Ứng suất chính, phương chính – Tenxơ ứng suất ........................................ - 11 - 2.1 Ứng suất chính – Phương chính .............................................................. - 11 -

2.2 Tenxơ ứng suất ......................................................................................... - 15 -

§3. Trạng thái ứng suất phẳng ............................................................................ - 16 -

§4. Trạng thái ứng suất cầu, trạng thái ứng suất lệch ........................................ - 20 -

§5. Mặt ứng suất pháp ........................................................................................ - 21 - §6. Phương trình vi phân cân bằng .................................................................... - 22 -

Chương 2: TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG ........................................................... - 23 - §1. Các khái niệm ban đầu ................................................................................. - 23 -

1.1 Chuyển vị .................................................................................................. - 23 -

1.2 Biến dạng dài ........................................................................................... - 23 -

1.3 Biến dạng góc........................................................................................... - 25 - §2. Biến dạng chính - phương chính biến dạng - Tenxơ biến dạng .................. - 27 -

2.1 Tenxơ biến dạng ....................................................................................... - 27 -

2.2 Biến dạng chính và phương chính biến dạng .......................................... - 28 -

§3. Vòng tròn Mo biến dạng .............................................................................. - 31 -

§4. Tenxơ biến dạng cầu, tenxơ biến dạng lệnh ................................................ - 32 -

§5. Phương trình tương thích biến dạng ............................................................ - 32 -

Chương 3: QUAN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG ......................... - 35 - §1. Các hằng số đàn hồi ..................................................................................... - 35 -

1.1 Chứng minh phương chính ứng suất trùng với phương trình biến dạng . - 35 -

1.2 Hệ số đàn hồi trong vật liệu đẳng hướng ................................................ - 36 -

1.3 Hệ số đàn hồi trong trạng thái ứng suất đơn .......................................... - 38 -

1.4 Hệ số đàn hồi trong trạng thái ứng suất khối - Định luật Hooker tổng quát - 39 -

- 1 -

NguyÔn Danh Tr êng

Mục lục

§2. Thế năng biến dạng đàn hồi ......................................................................... - 40 -

§3. Các phương pháp cơ bản giải bài toán đàn hồi ............................................ - 41 -

Chương 4: ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG ................ - 47 - §1. Các định nghĩa ............................................................................................. - 47 -

1.1 Mômen tĩnh.......................................................................................... - 47 -

1.2 Mômen quán tính ................................................................................ - 47 - §2. Công thức chuyển trục song song ................................................................ - 48 -

§3. Công thức xoay trục ..................................................................................... - 49 -

§4. Ví dụ tính đặc trung hình học của một số hình đơn giản ............................. - 50 -

4.1 Hình tam giác vuông ................................................................................ - 51 -

4.2 Hình nửa hình tròn ................................................................................... - 52 - 4.3 Hình quạt .................................................................................................. - 53 -

4.4 Hình chữ nhật ........................................................................................... - 53 -

4.5 Hình tròn .................................................................................................. - 53 -

4.6 Xác định trọng tâm, hệ trục quán tính chính trung tâm của hình phẳng được ghép từ các hình phẳng đã có trọng tâm ....................................................... - 54 -

Chương 5: THANH, NỘI LỰC TRONG THANH ........................................... - 55 - §1.Một số định nghĩa về thanh, liên kết thanh ................................................... - 55 -

§2. Nội lực trong thanh ...................................................................................... - 56 - §3. Tương quan giữa nội lực và ứng suất .......................................................... - 57 -

§4. Tương quan giữa nội lực và cường độ tải trọng phân bố trong bài toán phẳng . - 57 -

§5. Biểu đồ nội lực ............................................................................................. - 58 -

5.1 Trường hợp thanh thẳng .......................................................................... - 58 -

5.2 Trường hợp khung phẳng......................................................................... - 60 -

5.3 Trường hợp thanh cong ........................................................................... - 61 - 5.4 Trường hợp khung không gian ................................................................. - 63 -

Chương 6: THANH CHỊU UỐN - KÉO(NÉN) ................................................. - 64 - §1. Trạng thái ứng suất của thanh chịu uốn – kéo(nén) ..................................... - 64 -

§2. Các trường hợp riêng ................................................................................... - 66 -

2.1 Thanh chịu kéo(nén) đúng tâm ........................................................... - 66 -

2.2 Uốn thuần túy ...................................................................................... - 66 - 2.3 Uốn xiên ................................................................................................... - 67 -

2.4 Kéo (nén) lệch tâm ................................................................................... - 68 -

§3. Thí nghiệm kéo và nén vật liệu .................................................................... - 69 -

- 2 -

NguyÔn Danh Tr êng

Mục lục

3.1 Thí nghiệm kéo .................................................................................... - 69 -

3.2 Thí nghiệm nén .................................................................................... - 71 -

§4. Các điều kiện dẻo và điều kiện bền ............................................................. - 73 -

4.1 Điều kiện dẻo của Culong-Tơretska ................................................... - 73 -

4.2 Điều kiện dẻo của Vông Midet ............................................................ - 73 -

Biểu diễn hình học của điều kiện dẻo ................................................. - 74 - 4.3 4.4 Đường nội tại – Thuyết bền của Mohr ................................................ - 76 -

Chương 7: UỐN NGANG PHẲNG .................................................................... - 78 - §1. Ứng suất của dầm chịu uốn ngang phẳng .................................................... - 78 -

1.1 Định nghĩa ................................................................................................ - 78 -

1.2 Công thức của ứng suất tiếp .................................................................... - 78 - §2. Áp dụng với một số mặt cắt thường gặp ...................................................... - 80 -

§3. Điều kiện bền của dầm chịu uốn ngang phẳng ............................................ - 83 -

§4. Dầm chống uốn đều và dầm có mặt cắt hợp lý ............................................ - 84 -

Chương 8: ĐƯỜNG ĐÀN HỒI ........................................................................... - 87 - §1. Định nghĩa và nhận xét ................................................................................ - 87 -

§2. Phương trình vi phân của đường đàn hồi ..................................................... - 87 - §3. Các phương pháp xác định đường đàn hồi .................................................. - 88 -

3.1 Phương pháp tích phân không định hạn .................................................. - 88 -

3.2 Phương pháp thông số ban đầu ............................................................... - 89 -

3.3 Phương pháp dầm giả tạo ........................................................................ - 91 -

Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY ........................................................................ - 93 - §1. Khái niệm chung .......................................................................................... - 93 - §2. Xoắn thuần túy thanh tiết diện tròn ............................................................. - 93 -

2.1 Thí nghiệm ................................................................................................ - 93 -

2.2 Giả thuyết về biến dạng ........................................................................... - 94 -

2.3 Ứng suất thanh chịu xoắn ................................................................... - 94 -

Biến dạng thanh chịu xoắn.................................................................. - 97 - 2.4 2.5 Điều kiện bền và điều kiện cứng thanh chịu xoắn .............................. - 97 -

2.6 Các dạng bài toán cơ bản ................................................................... - 98 -

2.7 Các ví dụ ............................................................................................. - 98 -

§3. Xoắn thanh mặt cắt bất kỳ ......................................................................... - 101 -

3.1 Công thức ứng suất và biến dạng .......................................................... - 101 -

3.2 Một số trường hợp cụ thể .................................................................. - 103 -

Chương 10: BÀI TOÁN THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP .......................... - 105 -

- 3 -

NguyÔn Danh Tr êng

Mục lục

§1. Uốn và xoắn đồng thời ............................................................................... - 105 -

1.1 Thanh tiết diện tròn chịu uốn, xoắn đồng thời ...................................... - 105 -

1.2 Thanh tiết diện hình chữ nhật chịu uốn, xoắn đồng thời ....................... - 106 -

§2. Uốn cộng kéo(nén) và xoắn đồng thời ....................................................... - 107 -

2.1 Thanh tiết diện tròn chịu uốn, kéo(nén) và xoắn đồng thời ................... - 107 -

2.2 Thanh tiết diện hình chữ nhật chịu uốn, kéo(nén) và xoắn đồng thời ... - 107 - §3. Tính lò xo xoắn ốc hình trụ bước ngắn ...................................................... - 108 -

- 4 -

NguyÔn Danh Tr êng

Bài Mở đầu

Bài Mở đầu: MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA MÔN HỌC

Một kỹ sư chế tạo máy có thể thiết kế ra một chi tiết máy, một kỹ sư xây dựng

thiết kế một kết cấu dầm chịu lực…Những chi tiết máy hay dầm chịu lực đó có thể

làm việc đạt yêu cầu đặt ra, nhưng vẫn đề tiếp theo cần quan tâm là chúng làm việc

đạt yêu cầu như vậy được trong bao lâu? Đó chính là vẫn đề tuối thọ. Giải quyết vấn

đề này chính là nhiệm vụ của môn học Sức bền vật liệu.

Mục địch chính của môn học là cung cấp cho người học những kiến thức cơ bản

về phương pháp tính toán độ bền, độ cứng và ổn định của kết cấu chịu lực. Cụ thể là

tính toán cho hệ thanh, dầm, tấm, vỏ, thanh thành mỏng…. Từ đó người học có thể

phân tích và thiết kế các kết cấu chịu lực đảm bảo:

- Độ bền: tức là đảm bảo cho kết cấu có một kích thước hợp lý nhất làm việc

trong một thời gian dài mà không bị hỏng.

- Độ cứng: tức là đảm bảo cho kết cấu chịu lực có biến dạng nhưng vẫn nằm

trong một giới hạn cho phép.

- Ổn định: tức là đảm bảo cho kết cấu khi làm việc luôn trong trạng thái cân

bằng ban đầu.

Đối tượng của môn học Cơ lý thuyết là vật rắn tuyệt đối còn đối tượng nghiên

cứu của môn học Sức bền vật liệu là vật rắn thực, có biến dạng được làm từ các cật

liệu thực như: sắt, thép, gỗ, bê tong…với giả thuyết là vật liệu có tính liên tục và

đồng nhất.

- Tính liên tục có nghĩa là tại mọi nơi trong vật thể đều có vật liệu

- Tính đồng nhât nghĩa là tất mọi nơi trong vật thể, vật liệu đều có tính chất

cơ, lý, hóa như nhau.

- Ngoài hai giả thuyết trên ta còn thừa nhận khi không có tác dụng của ngoại

lực thì trong lòng vật thể không tồn tại ứng suất, nói các khác vật thể không

có ứng suất ban đầu trước khi chịu tác dụng của ngoại lực.

- 5 -

NguyÔn Danh Tr êng

Chương1: Trạng thái ứng suất

Chương 1: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT

§1. Khái niệm về ứng suất, trạng thái ứng suất

1.1 Ứng suất

Xét một vật thể đàn hồi chịu tác dụng của ngoại lực. Ứng xử bên trong lòng vật thể xảy ra như thế nào?

?  Để tìm hiểu, ta lấy một điểm M thuộc vật thể và tưởng tượng cắt qua M một

mặt cắt π. Mặt cắt π chia vật thể làm hai phần: A và B

P1 P1 P4

A B A P2 P2

P3 P3

Hình 1.1

Tưởng tưởng vứt bỏ phần B đi và xét cân bằng cho phần A: Phần A ở trạng thái cân bằng là do phần B tác dụng lên phần A một hệ lực phân bố trên toàn mặt cắt, hệ lực đó cân bằng với các ngoại lực tác dụng lên phần A.

Hệ lực đó gọi là nội lực hay ứng lực trong lòng vật thể.

Xét một phân tố diện tích ∆F bao quanh điểm M, trên phần diện tích đó có lực (thuộc hệ nội lực trên). Khi đó:

(1.1)

được gọi là ứng suất toàn phần tại điểm M trên mặt cắt Ta dựng một hệ trục tọa độ Oxyz với Oz vuông góc với mp

là các véc tơ đơn vị tương ứng trên các trục Ox, Oy , Oz

Gọi Khi đó ứng suất tại M có thể được biểu diện như sau:

(1.2)

Trong biểu thức (1.2) ta gọi là ứng suất pháp, là các ứng suất tiếp.

Ứng suất tiếp có chỉ số đầu chỉ phương pháp tuyến của mặt cắt, chỉ số thứ

hai chỉ phương song song của ứng suất tiếp đó.

- 6 -

NguyÔn Danh Tr êng

Chương1: Trạng thái ứng suất

1.2 Khái niệm về trạng thái ứng suất

Qua điểm M có vô số mặt cắt, ứng với mỗi mặt cắt khác nhau, ta có các véc tơ khác nhau. Vậy có vô số véc tơ ứng suất qua một điểm trong lòng vật thể. ứng suất

Tập hợp tất cả các véc tơ ứng suất trên các mặt cắt qua một điểm được gọi là trạng

thái ứng suất tại điểm đó.

Tập các véctơ ứng suất tại một điểm là tập độc lập hay phụ thuộc lẫn nhau? ?

 Xét tại một điểm, ta thấy rằng chỉ cần biết được véctơ ứng suất trên 3 mặt cắt bất kỳ, thì ứng suất trên mặt cắt thứ 4 phải cân bằng với ứng 3 ứng suất kia. Vì sao? z

Vậy tại một điểm chỉ có 3 véctơ O

Vì 4 mặt cắt đó tạo nên một phân tố bao quanh điểm đang xét. Mà vật thể nằm cân bằng nên phân tố đó cũng phải nằm cân bằng suy ra tổng véctơ ứng suất trên 4 mặt đó phải bằng không, tức chúng phụ thuộc lẫn nhau. ứng suất độc lập với nhau. B A y x

Để thuận tiện ta xét 3 mặt cắt đi qua M vuông góc với nhau từng cặp một. Giao của các mặt cắt đó tạo nên hệ trục Oxyz. Hình 1.2: Phân tố tứ diện

Xét thêm mặt cắt thứ 4 có cosin chỉ phương trong hệ trục Oxyz là (l,m,n).

Mặt cắt thứ 4 này cắt các trục Ox tại A, Oy tại B, Oz tại C.

Vậy 4 mặt cắt tạo nên một tứ diện vuông OABC, vuông tại O Trên 3 mặt cắt ban đầu có véctơ ứng suất chiếu lên các trục tọa độ là:

(1.3)

là các véctơ đơn vị trên hệ trục Oxyz.

Gọi ứng suất trên mặt thứ 4 là:

(1.4)

Trong đó X, Y, Z là tọa độ của véctơ ứng suất p4 chiếu lên các trục.

Tứ diện vuông OABC nằm cân bằng nên ta có:

(1.5)

- 7 -

NguyÔn Danh Tr êng

Chương1: Trạng thái ứng suất

Chiếu (1.5) lên các trục tọa tọa độ ta có:

(1.6)

Trong đó Fi là diện tích của mặt i tương ứng. Chia 2 vế của (1.6) cho FABC với chú ý:

là các cosin chỉ phương của mặt nghiêng với các mặt Oxy, Oyz, Ozx.

Viết lại (1.6):

(1.7)

Viết (1.7) dưới dạng ma trận ta có:

(1.8)

Trong đó ta ký hiệu:

(1.9)

chứa các thành phần của các véctơ ứng suất trên 3 mặt cắt vuông góc với nhau.

Tς đặc trưng cho trạng thái ứng suất tại điểm đang xét.

Kết luận:

suất Khi biết được 3 véctơ ứng suất trên 3 mặt đi qua một điểm thì của véctơ ứng được xác định trên mặt cắt thứ 4 bất kỳ có véctơ chỉ phương là

thông qua biểu thức (1.8). z

Các thành phần của Tς có gì đặc biệt ?

không?

1.3 Định luật đối ứng của ứng suất tiếp

Xét phương trình cân bằng mômen qua các trục đi qua trọng tâm của tứ diện và vuông góc với các cạnh của phân tố. Ví dụ: phương trình cân bằng mômen qua trục Gx’ chỉ có gây mômen: y x x’

Hình 1.3

- 8 -

NguyÔn Danh Tr êng

Chương1: Trạng thái ứng suất

Trong đó: là thể tích tứ diện. Suy ra:

Tương tự với các ứng suất tiếp còn lại, ta có: (1.10)

Kết luận:

Xét trên hai mặt cắt vuông góc với nhau. Nếu mặt này xuất hiện ứng suất tiếp thì bề mặt kia cũng xuật hiện ứng suất tiếp với trị số bằng nhau, có chiều cùng hướng vào hoặc hướng ra khỏi cạnh chung  Định luật đối ứng của ứng suất tiếp.

Tiếp tục ta xét tiếp các thành phần của Tς khi ta chọn các mặt cắt vuông góc khác nhau hay nói cách khác, các thành phần đó thay đổi như thế nào trong một hệ trục tọa độ mới?

1.4 Công thức xoay trục

Xét một hệ trục mới với gốc như cũ: Ouvw

Các cosin chỉ phương của các trục trong hệ trục tọa độ mới được xác định trong hệ trục cũ như sau:

(1.11)

Theo công thức (1.8) véctơ ứng suất toàn phần trên mặt Ovw là:

(1.12)

ứng suất pháp trên mặt Ovw là hình chiếu của lên trục :

(1.13)

ứng suất pháp trên mặt Ovw là hình chiếu của lên các trục Ov,Ow:

; (1.14)

Tương tự các thành phần còn lại ta có:

- 9 -

NguyÔn Danh Tr êng

Chương1: Trạng thái ứng suất

; ;

(1.15)

Vậy đã hoàn toàn xác định trong hệ trục tọa độ mới qua cá biểu thức (1.13-1.15).

Một cách tổng quát ta có công thức xoay trục:

với (1.16)

(1.16) là công thức tổng quát cho phép ta xác định tất cả các thành phần của Tς trong hệ trục tọa độ mới. z

w v

Ví dụ1.1: Cho trạng thái ứng suất tại một điểm trong hệ trục tọa độ Oxyz đặc trưng bởi:

450

O y

x u Xác định Tς tại điểm đó trong hệ trục mới Ouvw bằng cách xoay hệ trục Oxyz quanh Ox góc 450(quay ngược chiều kim đồng hồ)

Giải:

Với cách xoay hệ trục như trên ta có các véctơ chỉ phương của hệ Ouvw trong

hệ trục Oxyz là:

Dùng công thức xoay trục (1.16) ta có:

- 10 -

NguyÔn Danh Tr êng

Chương1: Trạng thái ứng suất

Vậy ta có được Tς tại điểm đó trong hệ trục mới Ouvw là:

Từ việc xoay trục như trên ta thấy sẽ tồn tại một hệ trục mà ở đó Tς có dạng

đường chéo(các ứng suất tiếp bằng không).

§2. Ứng suất chính, phương chính – Tenxơ ứng suất

2.1 Ứng suất chính – Phương chính Khái niệm: Trên mặt cắt đi quan một điểm mà ở đó chỉ có ứng suất pháp(ứng suất tiếp bằng không) thì ta gọi mặt cắt đó là mặt chính, ứng suất trên mặt đó được gọi là ứng suất chính, phương của véctơ pháp tuyến của mặt cắt đó được gọi là phương chính.

khi đó ứng suất trên mặt chính đó

*) Xác định ứng suất chính và phương chính Gọi phương chính cần tìm là được tính theo công thức (1.8) là:

(1.17)

Do là ứng suất chính nên ta cũng có:

(1.18)

Trong đó ς là trị số ứng suất chính.

Từ (1.17) và (1.18) ta có:

- 11 -

NguyÔn Danh Tr êng

Chương1: Trạng thái ứng suất

Chuyển vế ta có: (1.19)

Do nên n1, n2, n3 không đồng thời bằng không hay nói cách khác (1.19)

không có nghiệm tầm thường nên ta có:

(1.20)

Khai triển ta có: (1.21)

Trong đó: (1.22)

Giải (1.21) ta tìm được nghiệm ς thế lên (1.19) ta tìm được phương chính

Phương trình bậc 3 (1.21) có gì đặc biệt? ?

 Do là phương trình bậc 3 với các hệ số là các số thực nên phương trình (1.21)

luôn có 3 nghiệm thực (có thể nghiệm bằng không).

 Gọi 3 nghiệm thực đó là , tương ứng ta tìm được 3 phương chính là

ta sẽ chứng minh vuông góc với

nhau từng cặp một.

Điều này dễ nhận thấy theo định luật đối ứng của ứng suất tiếp thì nếu tồn tại một mặt cắt là mặt chính(ứng suất tiếp trên đó bằng 0) thì sẽ tồn tại mặt cắt khác vuông góc với mặt cắt ban đầu và trên đó ứng suất tiếp cũng bằng không vậy đây cũng là mặt chính.

Một cách khác để chứng minh là từ phương trình (1.19) ta có:

(1.23)

Và:

(1.24)

- 12 -

NguyÔn Danh Tr êng

Chương1: Trạng thái ứng suất

Cộng 3 phương trình trong (1.23) trừ đi tổng 3 phương trình trong (1.24) ta có:

(1.25)

Do (1.25) đúng với mọi nên:

(1.26)

Vậy , tương tự ta chứng minh được và .

 Các nghiệm của phương trình (1.21) không thay đổi khi ta thay đổi hệ trục tọa độ. Để chứng minh điều này, ta đi chứng minh các hệ số I1, I2, I3 không đổi khi ta xoay trục. Ví dụ với

Từ biểu thức (1.13),(1.15) ta tìm được:

(1.27)

Ta sẽ đi chứng minh: (1.28)

Việc chứng minh (1.28) đi tới chứng minh:

và (1.29)

Thực vậy: Xét từ: suy ra

suy ra (1.30)

suy ra

Cộng 3 phương trình ở (1.30) lại ta có:

(1.31a)

Tương tự ta có:

(1.31b)

(1.31c)

Nhân phương trình (1.31a) với n11, phương trình (1.31b) với n21, phương trình (1.31c) với n31 sau đó cộng lại ta có:

(1.32)

Xét (1.32) ta suy ra:

- 13 -

NguyÔn Danh Tr êng

Chương1: Trạng thái ứng suất

Tương tự ta có: (1.33)

Xét (1.33) có tổng vế trái:

Suy ra:

(1.34)

Thay (1.34) vào (1.32) suy ra:

(1.35)

Vậy (1.29) đã được chứng minh hay nói cách khác ta đã chứng minh được I1

không thay đổi khi ta thay đổi hệ trục tọa độ.

Tương tự ta cũng chứng minh được I2, I3 không đổi khi ta thay đổi hệ trục tọa độ.

Các đại lượng I1, I2, I3 được gọi là các bất biết. Kết luận: suất tại một điểm M bên trong vật thể có các ứng suất chính Với một hệ ngoại lực xác định tác dụng lên vật thể đàn hồi, thì trạng thái ứng và 3

phương chính không đổi với mọi hệ trục tọa độ.

Ví dụ 1.2: Cho trạng thái ứng suất tại một điểm đặc trưng bởi:

Xác định ứng suất chính và phương chính?

Giải: Các ứng suất chính là nghiệm của phương trình:

Trong đó:

- 14 -

NguyÔn Danh Tr êng

Chương1: Trạng thái ứng suất

Suy ra phương trình:

Suy ra nghiệm cũng là các ứng suất chính cần tìm:

Xác định các phương chính tương ứng: *) Với

Ta có:

Tương tự với các ứng suất chính còn lại. Ta có:

2.2 Tenxơ ứng suất

Xét một vật thể đàn hồi chịu tác dụng dưới một ngoại lực xác định. Trạng thái ứng suất tại điểm bên trong lòng vật thể hoàn toàn xác định với các đại lượng vật lý không đổi là: ứng suất chính, phương chính, mặt chính. Trạng thái ứng suất tại M được gọi là Tenxơ ứng suất.

Các thành phần của tenxơ ứng suất:

chuyển sang trục tọa độ chính (1.36)

Có ba trường hợp xảy ra:

Nếu Nếu Nếu đều khác không thì ta có trạng thái ứng suất khối. có một trong 3 bằng không thì ta có trạng thái ứng suất phẳng. có hai trong 3 bằng không thì ta có trạng thái ứng suất đơn.

Hình 1.4a Hình 1.4b Hình 1.4c

- 15 -

NguyÔn Danh Tr êng

Chương1: Trạng thái ứng suất

Hình 1.4a.Trạng thái ứng suất đơn, 1.4b.Trạng thái ứng suất phẳng, 1.4c.Trạng thái ứng suất khối

Trạng thái ứng suất tại một điểm còn được biểu thông qua phân tố hình hộp:

Hình 1.5: Biểu diễn trạng thái ứng suất qua phân tố hình hộp

Để tiện cho tính toán sau này ta gọi các phương của hệ trục Oxyz là 1, 2, 3 khi đó các ứng suất pháp được ký hiệu là: ς11, ς22, ς33 còn các ứng suất tiếp là ς12, ς23, ς31, chỉ số đầu chỉ phương pháp tuyến của mặt cắt, chỉ số thứ hai chỉ phương song song của ứng suất tiếp đó.

Khi đó Tenxơ ứng suất được viết lại như sau:

(1.37)

Dạng thu gọn: với i,j=1,2,3

Trong đó chỉ số đầu chỉ cột, chỉ số sau chỉ hàng. Định luật đối ứng của ứng suất tiếp lúc này trở thành:

với i≠j, i,j=1,2,3

Trạng thái ứng suất trong trường hợp ví dụ 1.2 là trạng thái ứng suất khối

§3. Trạng thái ứng suất phẳng

Trong phần này ta sẽ đi tìm ứng suất trên một mặt nghiêng bất kỳ, đi tìm ứng suất chính, phương chính của một trạng thái ứng suất phẳng bằng phương pháp giải tích và hình học.

Xét phân tố hình hộp tạo bởi 3 mặt chính trong đó: Oz là một phương chính

với : như hình 1.6a:

- 16 -

NguyÔn Danh Tr êng

Chương1: Trạng thái ứng suất

u y

Hình 1.6b

x C A y x Hình 1.6a z

Phân tố trên là phân tố chịu trạng thái ứng suất phẳng. Do các mặt cắt còn lại là bất kỳ nên : (Nếu trùng

) với mặt chính thì,

Một phân tố chịu trạng thái ứng suất phẳng như trên khi biết được

thì trạng thái đó xác định. Từ đây ta có thể tính được bất kỳ ứng suất tại các mặt cắt khác nhau song song với Oz. *)Phương pháp giải tích

Bây giờ ta cắt phân tố trên bằng một mặt cắt bất kỳ song song với Oz. Ta gọi pháp tuyến của mặt cắt bất kỳ đó là 900 theo chiều kim đồng hồ ta có véctơ , xoay

có phương hợp với Ox một góc , bây giờ ta đi tìm ứng suất pháp . Thực tế đây là một bài toán tìm các thành phần của tenxơ ứng và ứng suất tiếp

suất trong hệ trục tọa độ mới Ouv. (Hình 1.6b) Các cosin chỉ phương của u,v trong hệ trục tọa độ Oxy là:

; (1.38)

Sử dụng công thức quay trục ta có:

Khai triển ra ta có:

- 17 -

NguyÔn Danh Tr êng

Chương1: Trạng thái ứng suất

(1.39)

(1.39) là biểu thức xác định trạng thái ứng suất tại mặt cắt song song với trục Oz và tạo với Ox một góc .

*)Phương pháp đồ thị - Vòng tròn Mohr ứng suất

Biến đổi (1.39) ta có:

(1.40)

Bình phương 2 vế của hai phương trình ở (1.40) sau đó cộng lại với nhau ta có:

là phương trình một đường tròn trong hệ

trục với tâm là điểm : và bán kính

Vòng tròn trên được gọi là vòng tròn Mohr ứng suất.

Trước khi vẽ vòng tròn Mo ta quy ước dấu của ứng suất như sau:

β M’

Hình 1.7: Quy ước dấu ứng suất

Hình 1.8: Vòng tròn Mohr ứng suất

Để thuận mắt ta vẽ // Ox và // Oy và lấy điểm P có tọa độ được

gọi là điểm cực của vòng tròn Mo ứng suất.

Từ điểm cực P ta vẽ tia tạo với trục góc α ngược chiều kim đồng hồ. tia đó

cắt vòng tròn Mo tại M khi đó hoành độ điểm M là ứng suất pháp, tung độ của M là

ứng suất tiếp tại mặt cắt của phân tố có phương pháp tuyến trùng với .

Chứng minh:

Từ tâm C của vòng tròn Mo, gọi M’ là hình chiếu của M trên trục hoành. Gọi β là góc

- 18 -

NguyÔn Danh Tr êng

Chương1: Trạng thái ứng suất

Ta có:

Áp dụng công thức lượng giác:

và để ý thấy:

Suy ra: (1.41)

So sánh với công thức (1.41) với (1.39) dễ dàng thấy điều phải chứng minh.

Chú ý: điểm P lấy như trên để PM0 song song với trục Ox như vậy để thuận mắt khi biểu diễn ứng suất tại điểm M trên mặt cắt(khi đó mặt cắt sẽ nhận PM làm pháp tuyến luôn), còn thực ra có thể lấy tùy ý bất kỳ điểm nào trên đường tròn làm điểm cực và ta vẫn có các tính chất biểu diễn như trên.

Tọa độ cũng phụ thuộc vào quy ước dấu của ứng suất tiếp.

* Xác định ứng suất chính, phương chính trong trạng thái ứng suất phẳng

Từ (1.39) ta có, nếu là phương chính thì ứng suất pháp tại đây là ứng suất

chính và đó chính là giá trị cực trị nên suy ra:

(1.42)

(vậy ứng suất tiếp bằng không khi ứng suất pháp đạt cự trị)

(1.43)

Ta có: (1.44)

Thay (1.43),(1.44) vào:

(1.45) Suy ra:

(1.46) và

- 19 -

NguyÔn Danh Tr êng

Chương1: Trạng thái ứng suất

Công thức (1.45), (1.46) chính là công thức dùng để xác định ứng suất chính

và phương chính tại trạng thái ứng suất phẳng đang xét.

M1 M2 Trên vòng tròn Mo ứng suất, gọi điểm mà vòng tròn giao với trục hoành là M1,M2 thì OM1, OM2 chính là hai giá trị ứng suất chính và là hai phương chính cần và

Hình 1.9: Ứng suất chính, phương chính

xác định. *)Trạng thái ứng suất trượt thuần túy

450

M1 M2

Hình 1.10: TTƯS trượt thuần túy

Là trạng thái phân tố chỉ chịu ứng suất tiếp τ, ứng suất pháp bằng không. Vòng tròn Mo cho trạng thái ứng suất trượt thuần túy có tâm trùng gốc tọa độ. Nhìn vòng tròn Mo dễ dàng thấy trong trường hợp này:

ςmax= τ v{ ςmin= -τ

§4. Trạng thái ứng suất cầu, trạng thái ứng suất lệch

Một trạng thái ứng suất bất kỳ có thể được xem là cộng tác dụng của hai trạng

thái ứng suất

Cho Tenxơ ứng suất ta phân tích như sau:

Trong đó: được gọi là ứng suất bát diện

(1.47)

gọi là Tenxơ của trạng thái ứng suất cầu –Ten sơ cầu

(1.48)

- 20 -

NguyÔn Danh Tr êng

Chương1: Trạng thái ứng suất

gọi là Tenxơ trạng thái ứng suất lệch – Ten sơ lệch

Tenxơ cầu chỉ gây nên biến dạng thể tích, tenxơ lệch gây nên biến dạng góc

§5. Mặt ứng suất pháp

Để có một hình tượng về sự biến thiên của ứng suất tại một điểm trên các mặt cắt

khác nhau trong không gian. Ta đưa vào khái niệm “Mặt ứng suất pháp”.

Mặt ứng suất pháp được khái niệm như sau: Từ biểu thức (1.8) ta có:

Trong đó: (X,Y,Z) là tọa độ của véctơ ứng suất trên mặt cắt có véctơ pháp tuyến

(n1,n2,n3).

Từ đó ta có ứng suất pháp là hình chiếu của véctơ ứng suất trên véctơ pháp tuyến

(1.49)

có phương trùng với phương pháp tuyến , gốc trùng với gốc tọa

Chọn một véctơ độ. Nếu gọi (x,y,z) là tọa độ của điểm cuối thì:

x= .n1 ; y= .n2 ; z= .n3

(1.50)

Thay (1.50) vào (1.49) ta có:

(1.51)

Lấy trong đó k là hằng số chọn tùy ý khi đó (1.51) trở thành:

(1.52)

Nhìn vào phương trình (1.52) ta thấy khi thay đổi véctơ pháp tuyến dẫn đến thay đổi và tập các ứng suất pháp trên nó thay đổi thì tọa độ điểm cuối của véctơ điểm cuối đó là một mặt bậc hai(phương trình (1.52). Mặt bậc hai đó người ta gọi là mặt ứng suất Cauchy.

Chú ý: khi tọa độ Oxyz chọn trùng với các phương chính ứng suất tức khi đó

các ứng suất tiếp bằng không khi đó mặt ứng suất Cauchy trở thành:

(1.53)

- 21 -

NguyÔn Danh Tr êng

Chương1: Trạng thái ứng suất

Ngoài mặt ứng suất Cauchy ta còn có khái niệm mặt ứng suất dạng elip nếu trùng với véctơ ứng suất toàn phần. Khi đó điểm

cũng như trên nhưng ta lấy véctơ cuối véctơ hay chính là điểm cuối véctơ ứng suất toàn phần vẽ nên một mặt Elip.

§6. Phương trình vi phân cân bằng

Các mục trước ta xét một phân tố hình hộp để biểu diễn cho trạng thái ứng suất tại một điểm, ở đó ta coi phân tố vô cùng bé và ta coi ứng suất trên hai mặt đối diện nhau là bằng nhau. Bây giờ để nghiên cứu trường ứng suất tại một điểm trong vật thể dưới tác dụng của ngoại lực chúng ta xét cũng phân tố hình hộp như trên nhưng ứng suất trên hai mặt đối diện lúc này khác nhau như hình 1.11.

Hình 1.11

Bây giờ ta xét phân tố cân bằng, chiếu trên các phương ox,oy,oz ta có hệ

phương trình cân bằng:

(1.54)

Trong đó: F(Fx, Fy, Fz) là lực thể tích tác động lên phân tố. ρ là khối lượng riêng của vật thể. (u,v,w) là chuyển vị của phân tố theo các phương x,y,z.

Phương trình (1.54) được gọi là phương trình Naviê.

- 22 -

NguyÔn Danh Tr êng

Chương2: Trạng thái biến dạng

Chương 2: TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG

§1. Các khái niệm ban đầu

B’

chuyển dịch lực điểm B 1.1 Chuyển vị Xét một điểm K(x,y,z) thuộc một vật thể đàn hồi ban đầu chưa chịu lực. Sau khi tới chịu được khi đó khoảng cách

gọi là chuyển vị toàn phần của điểm K. A’ K’ Chiếu A K

O y

x Hình 2.1

lên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz được các tọa độ là (u,v,w), các tọa độ này phụ thuộc vào hệ ngoại lực tác dụng vào vật thể và phụ thuộc vào tọa độ điểm K. Vậy u,v,w sẽ là hàm số theo (x,y,z). Ta có:

Khi đó tọa độ K’ là: (2.1)

1.2 Biến dạng dài

Xét một điểm lân cận điểm , tọa độ

(2.2) Tọa độ của

dx,dy,dz là các vi phân của tọa độ x,y,z. Sau biến dạng trở thành:

Tọa độ sau khi biến dạng:

(2.3)

Gọi chiều dài KA=ds và K’A’=ds’ khi đó người ta gọi tỷ số:

- 23 -

NguyÔn Danh Tr êng

Chương2: Trạng thái biến dạng

(2.4)

là biến dạng dài theo phương KA.

? Tỷ số ε thay đổi như thế nào trên các phương khác nhau?

 Bây giờ ta đi tìm tỷ số ε.

Từ biểu thức (2.2) và (2.3) ta tính được:

khai triển và bỏ qua những số hạng vô cùng bé bậc cao ta có:

(2.5)

Chú ý: lần lượt chính là các cosin chỉ phương (l,m,n) của KA ta có:

(2.6)

Từ biểu thức định nghĩa (2.4) ta có:

(2.7)

bỏ qua vô cùng bé bậc hai ta có:

Thay biểu thức (2.6) vào (2.7) với chú ý l2+m2+n2=1 ta có:

(2.8)

- 24 -

NguyÔn Danh Tr êng

Chương2: Trạng thái biến dạng

Biểu thức (2.8) là biểu thức xác định biến dạng dài cần tìm trên phương KA

với cosin chỉ phương là (l,m,n).

Khi KA song song với các trục tọa độ Ox,Oy,Oz ta có biến dạng trên các

phương trục tọa độ là:

(2.9)

Xét thêm một điểm lân cận điểm nữa, sao cho góc

trở thành góc khi đó biến dạng góc của góc vuông vuông tại K, sau

1.3 Biến dạng góc biến dạng góc được gọi là biến dạng góc tỷ đối,ký hiệu là γ.

 Sau đây ta đi tính biến dạng góc tỷ đối đó:

Điểm B lấy như trên có cosin chỉ phương của KB là: (l1,m2,n3) Bây giờ ta cần tìm cosin chỉ phương của K’A’, và cosin chỉ phương

của K’B’.

Từ (2.3) ta có:

(2.10)

thay ds’=(1+εKA)ds vào (2.10) ta có:

(bỏ qua VCB bậc cao) Nhân hai vế với (1-εKA) và lấy:

Ta có:

- 25 -

NguyÔn Danh Tr êng

Chương2: Trạng thái biến dạng

Viết lại dưới các cosin chỉ phương ta có:

(2.11)

Khai triển vế phải và bỏ qua vô cùng bé bậc cao ta có:

(2.12)

Biểu thức (2.12) cho ta mối liên hệ các cosin chỉ phương của một phương trước và sau biến dạng. Tương tự ta có:

(2.13)

Mặt khác ta có:

Từ biểu thức (2.12) và (2.13) vào tính được:

Suy ra:

do KA vuông góc KB nên:ll1+mm1+nn1=0 nên suy ra:

- 26 -

NguyÔn Danh Tr êng

Chương2: Trạng thái biến dạng

(2.14)

Theo định nghĩa ta có:

Suy ra:

(2.15)

Biểu thức (2.15) là biểu thức xác định biến dạng góc tỷ đối cần tìm.

Khi KA và KB song song với các trục Ox, Oy (khi đó l=m1=1 còn lại bằng không) thì

ta có biến dạng góc tỷ đối bằng:

Tương tự ta có : ;

Dễ dàng thấy rằng:

Kết luận lại ta có công thức xác định biến dạng góc là:

(2.16)

Nếu ta dùng ký hiệu ui để chỉ hàm chuyển vị trên phương xi. Từ (2.9) và (2.16) ta có biểu thức rất gọn như sau:

(2.17)

Trong đó: là biến dạng dài theo phương i

để chỉ biến dạng góc với

§2. Biến dạng chính - phương chính biến dạng - Tenxơ biến dạng

2.1 Tenxơ biến dạng

Ba thành phần biến dạng dài và ba thành phần biến dạng góc đặc trưng cho sự biến dạng tại điểm đang xét. Sáu thành phần trên tạo nên một Tenxơ hạng hai đối xứng:

- 27 -

NguyÔn Danh Tr êng

Chương2: Trạng thái biến dạng

(2.18)

Ký hiệu gọn như biểu thức (2.17) ta có: (i,j=1,2,3) (2.19)

Tenxơ hạng hai đối xứng được gọi là Tenxơ biến dạng. Nó đặc trưng cho

trạng thái biến dạng tại một điểm vì ta đây ta có thể tính biến dạng trên bất kỳ phương nào khác. Thật vậy, từ (2.8) và (2.15) ta có:

(2.20)

Biểu thức (2.20) được viết lại dưới dạng ma trận như sau:

(2.21)

Viết biểu thức (2.21) dưới dạng tổng quát ta có:

với (2.22)

2.2 Biến dạng chính và phương chính biến dạng Xét tại điểm M có tenxơ biến dạng:

là một tenxơ hạng hai đối xứng nên có thể đưa về dạng đường chéo chính:

Các thành phần được gọi là biến dạng chính, lúc này không còn biến dạng

góc, phương có biến dạng chính như trên gọi là phương chính biến dạng.

- 28 -

NguyÔn Danh Tr êng

Chương2: Trạng thái biến dạng

*) Tìm biến dạng chính

Tương tự như tìm ứng suất chính và phương chính, các biến dạng chính được

tìm là nghiệm của phương trình:

(2.23)

Trong đó J1, J1, J1 là các bất biến được xác định như sau:

(2.24)

Phương trình (2.23) có ba nghiệm chính là ba biến dạng chính cần tìm,nếu cả ba nghiệm khác không thì đó là trạng thái biến dạng khối, nếu trong ba nghiệm chỉ có một nghiệm bằng không thì đó là biến dạng phẳng, có hai ngiệm bằng không thì đó là biến dạng đơn. *) Tìm phương chính biến dạng

Các phương chính biến dạng là nghiệm của phương trình:

(2.25)

Phương trình (2.25) có ba nghiệm là ba phương trình tương ứng với ba biến dạng chính dã nêu mục trên.

Ví dụ 2.1: Cho tenxơ biến dạng tại M có tenxơ biến dạng:

Xác định biến dạng chính và phương chính biến dạng? Cho biết trạng thái biến dạng tại M là gi?

Giải

Các biến dạng chính tại M là nghiệm của phương trình bậc 3 sau:

Trong đó: các bất biến có giá trị là:

- 29 -

NguyÔn Danh Tr êng

Chương2: Trạng thái biến dạng

;

Vậy phương trình có dạng:

Giải phương trình trên ta có ba nghiệm là: đó chính là các biến

dạng chính cần tìm.

Cả ba biến dạng chính đều khác không vậy trạng thái biến dạng tại M là trạng thái

biến dạng khối.

*)Tìm phương chính biến dạng.

Gọi (l,m,n) là phương chính biến dạng ứng với thì (l,m,n) là nghiệm của hệ

phương trình sau:

Hệ vô số nghiệm.

Ta chọn một nghiệm

Tương tự với ta cũng thu được hệ phương trình như trên, và ta cũng chọn ra

một nghiệm, với điều kiện nghiệm đó phải vuông góc với phương đã chọn ở trên,

ta suy ra:

Tương tự với ta thu được hệ phương trình sau:

Vậy phương chính thứ 3 là:

Tenxơ biến dạng chính tại M là:

- 30 -

NguyÔn Danh Tr êng

Chương2: Trạng thái biến dạng

§3. Vòng tròn Mo biến dạng

Trong trường hợp chỉ quan tâm đến biến dạng trong một mặt phẳng mà bỏ qua

Ta phân biệt ba trạng thái ứng suất: trạng thái ứng suất đơn, trạng thái ứng suất phẳng, trạng thái ứng suất khối. Trong biến dạng ta không thể phân biệt được như vậy vì khi có biến dạng trong một phương bất kỳ thì các phương còn lại cũng xảy ra biến dạng(trừ trường hợp các phương còn lại bị hạn chế). biến dạng các phương còn lại, khi đó ta có tenxơ biến dạng phẳng như sau:

(2.26)

Sau đây ta tiến hành xoay trục đi một góc α thì tương quan giữa biến dạng dài và

biến dạng góc lúc này có dạng một vòng tròn như trong trường hợp của ứng suất. Vòng tròn đó được gọi là vòng tròn Mo biến dạng. Thực vậy theo công thức (2.22) ta có: v

(2.27)

Trong đó:

∝

thay vào (2.27) ta có: y

(2.28)

Biến đổi các góc lượng giác ta có:

(2.29)

Bình phương hai vế của hai phương trình ở (2.29) sau đó cộng lại với nhau ta có:

(2.30)

là phương trình một đường tròn tâm bán kính

trong hệ trục tọa độ O và được gọi là vòng tròn Mohr biến dạng.(hình 2.3)

- 31 -

NguyÔn Danh Tr êng

Chương2: Trạng thái biến dạng

Hình 2.3: Vòng tròn Mohr biến dạng

§4. Tenxơ biến dạng cầu, tenxơ biến dạng lệnh

Tương tự như tenxơ ứng suất, tenxơ biến dạng cũng được chia thành hai tenxơ

là tenxơ biến dạng cầu và tenxơ biến dạng lệch Dε :

; (2.31)

Trong đó:

§5. Phương trình tương thích biến dạng

Phần trên ta nói đến mối tương quan giữa biến dạng và chuyển vị, bây giờ ta xét sự tương quan giữa biến dạng dài và biến dạng góc. Vì thực tế biến dạng dài và biến dạng góc là có mối liên hệ lẫn nhau nếu không sau khi biến dạng vật thể sẽ có những lỗ hổng, khi đó không còn thỏa mãn điều kiện về môi trường liên tục. Do đó biến dạng dài và biến dạng góc có một điều kiện rằng buộc tương quan, người ta gọi điều kiện tương quan đó là điều kiện tương thích biến dạng. Phương trình biểu thể hiện sự tương quan đó gọi là phương trình tương thích biến dạng.

Từ (2.16) ta lấy đạo hàm riêng hai vế lần lượt theo x,y ta có:

Thay (2.9) vào suy ra:

- 32 -

NguyÔn Danh Tr êng

Chương2: Trạng thái biến dạng

Tương tự ta suy ra : (2.32)

Tiếp theo ta lấy đạo hàm theo z, theo x, theo y ta có:

(2.33)

Cộng hai trong ba phương trình ở (2.33) và trừ đi phương trình còn lại ta có:

(2.34)

Chú ý tới:

(2.35) Suy ra:

Các phương trình ở (2.32) và (2.35) tạo nên hệ sáu phương trình gọi là sáu

phương trình tương thích giữa biến dạng dài và biến dạng góc của Xanh Vơ-Năng. *) Bài toán cho tenxơ biến dạng tìm thay đổi về độ dài, góc sau biến dạng Giả sử cho trường biến dạng xác định bời tenxơ biến dạng Tε Tìm biến dạng của một góc hay một đoạn thẳng bất kỳ thuộc trường biến dạng

trên ta sử dụng công thức (2.22):

(35)

Trong đó là các véctơ chỉ phương của các cạnh trong hệ trục tọa độ gắn

với tenxơ ban đầu. Khi tính biến dạng góc thì chính là véctơ chỉ phương của hai

- 33 -

NguyÔn Danh Tr êng

Chương2: Trạng thái biến dạng

cạnh của góc cần tính. Khi tính biến dạng dài một cạnh thì hai phương u,v trùng nhau

và công thức (35) trở thành:

z Ví dụ 2.2: Cho trạng thái biến dạng xác định bởi tenxơ có các thành phần là: C

y B A D

Xác định biến dạng góc của tứ diện đều OABC, D là trung điểm của cạnh AB? Giải Xác định cosin chỉ phương của các cạnh AD và CD. Ta có:

Suy ra cosin chỉ phương của DC là:

Cosin chỉ phương của DA

Vậy ta có:

là không thay đổi khi tứ diện đều OABC biến dạng như trên.

Vậy góc

- 34 -

NguyÔn Danh Tr êng

Chương3: Quan hệ ứng suất & biến dạng

Chương 3: QUAN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG

§1. Các hằng số đàn hồi

Xét môi trường đàn hồi tuyến tính của Hooke. Trong trường hợp tổng quát, khi vật thể có tính dị hướng thì mối tương quan giữa

ứng suất và biến dạng được thể hiện qua công thức sau:

(3.1)

Trong phương trình (1) ma trận gồm 36 hằng số gọi là các hằng số đàn hồi.

Dưới đây ta sẽ đi tìm hiểu về các hằng số đàn hồi này.

1.1 Chứng minh phương chính ứng suất trùng với phương trình biến dạng

Giả sử chọn hệ trục tọa độ ban đầu trùng với phương chính biến dạng khi đó các biến dạng góc bằng không và ta có:

(3.2)

Ta sẽ chứng minh: O X ’1 X ’1

Quay hệ trục tọa độ ban đầu đi một góc 180o quanh trục Ox3 khi đó hệ trục tọa độ X ’1 mới có cosin chỉ phương trong hệ trục ban đầu là:

X ’1

Biến dạng và ứng suất trong hệ trục tọa độ mới ta tính được như sau:

; (3.3)

Mặt khác ta lại có theo công thức (3.1)

NguyÔn Danh Tr êng - 35 -

Chương3: Quan hệ ứng suất & biến dạng

(3.4)

mặt khác từ (3.4) ta có: .

suy ra . Từ đó ta suy ra phương chọn ban đầu cũng là

Từ (3.3) ta có: Tương tự ta cũng có phương ứng suất chính  điều cần chứng minh.

Kết luận:

Với vật liệu đẳng hướng, quan hệ ứng suất với biến dạng trên phương nào

Trục chính của trạng thái biến dạng và trục chính của trạng thái ứng suất tại một điểm là trùng nhau. Trong chứng minh ta thấy không có điều kiện gì về các hằng số đàn hồi. nghĩa là điều này luôn đúng cả với vật liệu dị hướng và đẳng hướng trong môi trường tuyến tính đàn hồi. 1.2 Hệ số đàn hồi trong vật liệu đẳng hướng cũng như nhau. Nếu chọn hệ trục ban đầu là hệ trục chính thì ta có:

(3.5)

Để thỏa mãn tính chất của vật liệu đẳng hướng suy ra:

Khi đó (3.5) suy ra:

(3.6)

Đặt:

C1=2μ+ ; C2= và

Biểu thức (3.6) trở thành:

k=1,2,3 (3.7)

Biểu thức (3.7) cho ta mối tương quan giữa biến dạng chính và ứng suất chính, để ban đầu tới tìm tương quan giữa biến dạng góc và ứng suất ta xoay hệ trục

hệ trục tọa độ mới . Gọi các véctơ là các véctơ chỉ phương của các trục

tọa độ mới trong hệ trục ban đầu. Khi đó ứng suất trong hệ trục tọa độ mới là:

NguyÔn Danh Tr êng - 36 -

Chương3: Quan hệ ứng suất & biến dạng

(3.8)

Từ (3.8) ta suy ra: (3.9)

Thay (3.7) vào (3.9) ta có:

Do nên:

(3.10)

Và:

Nên (3.10) có thể viết lại như sau:

(3.11)

Biểu thức (3.11) giống với biểu thức (3.7).

Luận luận tương tự ta có:

(3.12)

Do nên ta có:

(3.13)

(3.14) Suy ra:

(3.15) Từ biểu thức(3.11) và (3.14) viết một cách tổng quát ta có:

Trong đó δij là toán tử Kronecker:

Biểu thức (3.15) cho ta mối liên hệ giữa ứng suất và biến dạng trong môi được gọi là các hằng

Công thức (3.15) cho ta tính ứng suất thông qua biến dạng. Bây giờ ta đi tìm

trường đàn hồi tuyến tính đẳng hướng. Các hệ số đàn hồi μ, số Lamé. biểu thức tính biến dạng qua ứng suất.

NguyÔn Danh Tr êng - 37 -

Chương3: Quan hệ ứng suất & biến dạng

Từ (3.15) ta có:

Đặt: suy ra: (3.16)

Từ (3.15) suy ra: (3.17)

Biểu thức (3.17) chính là biểu thức cho ta tính biến dạng qua ứng suất. Đặc biệt khi khi đó (3.17) trở nên gọn hơn:

(3.18)

Trong biểu thức (3.18) người ta đặt μ=G và gọi là môđuyn trượt của vật liệu và được viết lại như sau:

(3.19)

Trạng thái ứng suất đơn là trạng thái ứng suất khi đó chỉ có một ứng suất

Vậy ở vật liệu đẳng hướng ta chỉ tồn tại hai hằng số đàn hồi. 1.3 Hệ số đàn hồi trong trạng thái ứng suất đơn chính khác không còn lại hai ứng suất bằng không.

Giả sử từ biểu thức (3.17) ta suy ra:

Biến đổi tiếp ta có: (3.20)

Ta nhận thấy rằng luôn luôn ngược dấu với tức khi một chiều chịu

co(giãn) thì hai chiều còn lại chịu giãn(co). Và tỷ số biến dạng giữa hai phương và vuông góc với nhau như trên gọi là hệ số Poát xông . Tỷ số giữa ứng suất

biến dạng được gọi là Môđuyn đàn hồi.

NguyÔn Danh Tr êng - 38 -

Chương3: Quan hệ ứng suất & biến dạng

Từ (3.20) ta có: (3.21)

Từ (3.21) ta rút ra:

(3.22) thay μ=G ta có:

Thay (3.22) vào phương trình đầu của (3.21) ta có: (3.23)

Vậy : (3.24)

Thế (3.24) vào công thức (3.17) ta có:

(3.25)

Để ý tới (3.21) ta có:

với i,j=1,2,3 (3.26)

Với và

1.4 Hệ số đàn hồi trong trạng thái ứng suất khối - Định luật Hooker tổng quát Trạng thái ứng suất khối là trạng thái mà ba ứng suất chính đều khác không. Khi đó tenxơ ứng suất và tenxơ biến dạng có đủ cả 6 thành phần. Theo công thức (3.26) ta có:

và (3.27)

Biểu thức (3.27) được gọi là biểu thức của định luật Hooker tổng quát.

Từ biểu thức (3.15) ta có tương quan ứng suất theo biến dạng như sau:

và (3.28)

Biểu thức (3.28) được gọi là các biểu thức Lamé.

NguyÔn Danh Tr êng - 39 -

Chương3: Quan hệ ứng suất & biến dạng §2. Thế năng biến dạng đàn hồi

Từ biểu thức (3.27) của định luật Hooker tổng quát ta đi tính thế năng của một

đơn vị thể tích. Đó là thế năng biến dạng đàn hồi.

Xét phân tố đàn hồi chịu lực. Có trạng thái ứng suất như hình 3.2 tại thời điểm t.

Hình 3.2

Sau khoảng thời gian δt phân tố có biến dạng là

bỏ qua lượng vô cùng bế bậc cao ta có thể xem công của ngoại lực tác dụng lên phân tố bằng tổng công của các thành phần ứng lực như sau:

là thế năng tích lũy trong một đơn vị thể tích ta có: Nếu không có sự mất mát về năng lượng ta có: Ký hiệu

(3.29a)

Trong trường hợp biến dạng là thuận nghịch δu là một vi phân toàn phần. Khi đó

ta có biểu diễn δu như sau:

(3.29b)

So sánh biểu thức (3.29a) và (3.29b) ta suy ra:

(3.30)

Xét tiếp biểu thức (3.29a). Tích phân hai vế ta có:

Do tương quan giữa biến dạng và ứng suất là bậc nhất nên ta có:

(3.31)

NguyÔn Danh Tr êng - 40 -

Chương3: Quan hệ ứng suất & biến dạng

ς Thực vậy, do quan hệ giữa chúng là bậc nhất nên xem hình 3.3 ta dễ thấy:

chính là diện tích của tam giác OAB. A ς1

Thay biểu thức định luật Hooker ta có:

Khi hệ trục tọa độ trùng với các phương chính ta có:

O ε (3.32) B ε1

Hình 3.3

Nếu phân tích trạng thái ứng suất bằng tổng của các ứng suất cầu và ứng suất lệch khi đó thế năng trên được phân tích thành thế năng biến đổi hình dáng Uhd và thế năng biến đổi thể tích Utt:

Ta tính được các thành phần thế năng như sau:

(3.33)

§3. Các phương pháp cơ bản giải bài toán đàn hồi

Xét một vật thể đàn hồi chịu lực. Bài toán thực tế đặt ra là cần tính toán xem vật thể đó có chịu đủ bền không. Vậy chúng ta cần đi tìm trạng thái ứng suất tại mọi điểm của vật thể đó, sau đó ta mới tìm được tại đâu có ứng suất nguy hiểm nhất và tại đó đủ bền thì chứng tỏ toàn vật thể đủ bền.

Thay cho xét một vật thể ta chia nhỏ vật thể đó thành các phân tố vô cùng bé, và

xét cho các phân tố đó trong hệ trục tọa độ Đềcác ta dùng các phương trình sau đây: 1. Điều kiện cân bằng của phân tố(phương trình Naviê)

(3.34)

2.Quan hệ giữa chuyển vị và biến dạng

(3.35)

NguyÔn Danh Tr êng - 41 -

Chương3: Quan hệ ứng suất & biến dạng

3.Các phương trình tương thích(phương trình Xanh-Vơnăng)

và (3.36)

4.Tương quan giữa biến dạng và ứng suất(Định luật Hooker tổng quát)

và (3.37)

hoặc hệ phương trình của Lamé:

và (3.38)

Ngoài việc phải thỏa mãn các hệ phương trình trên, còn phải thỏa mãn điều kiện

biên, tức điều kiện về bề mặt có ngoại lực tác dụng nên ta có:

(3.39)

Trong đó (l,m,n) là cosin chỉ phương của véctơ pháp tuyến của mặt ngoài. Để giải hệ thống phương trình trên để tìm gia ẩn ta có hai cách: cách 1, ta coi các

ứng suất là ẩn; cách 2 là ta coi chuyển vị theo các phương là ẩn.

(Hệ thống các phương trình trên là khá phức tạp do đó không phải bài toán nào ta

cũng có lời giải chính xác.)

Sau đây ta sẽ trình bày hai cách nêu trên:

Cách 1: Xem các thành phần của tenxơ ứng suất là ẩn

Ta thế hệ phương trình (3.37) vào hệ phương trình (3.36) ta được 6 phương trình theo ẩn là các thành phần ứng suất. Kết hợp với 3 phương trình ở (3.34) ta thu được 9 phương trình với 9 ẩn số, đó là hệ phương trình vi phân nên dựa tiếp vào điều kiện biên là hệ phương trình (3.39) ta thu được nghiệm cần tìm.

NguyÔn Danh Tr êng - 42 -

Chương3: Quan hệ ứng suất & biến dạng

Cách 2: Xem các thành phần chuyển vị là ẩn

Từ hệ phương trình (3.38) cho ta liện hệ giữa ứng suất và biến dạng, kết hợp thay các phương trình ở (3.35) vào (3.38) cho ta liên hệ giữa ứng suất và chuyển vị. Sau đó thay vào phương trình (3.34) và (3.39) ta thu được 3 phương trình theo các biến chuyển vị (u,v,w) và các điều kiện biên để ta hoàn toàn xác định được các chuyển vị theo các phương. Sau khi có chuyển vị việc tìm biến dạng và ứng suất là hoàn toàn dễ dàng theo các phương trình trên. Ví dụ 3.1: Bài toán cho biến dạng theo ba phương  Bắt tìm phương chính và ứng suất chính. Giải: Từ biến dạng đầu bài cho, dùng công thức (3.38) ta hoàn toàn các định được các ứng suất trên các phương biến dạng đó, sau khi có trạng thái ứng suất rồi ta hoàn toàn tìm được ứng suất chính và phương chính như đã trình bày ở chương trước. Cụ thể ví dụ cho các biến dạng theo ba phương xếp theo hình sao 60o như hình vẽ: Coi đây là bài toán phẳng ta có:

m n (3.40)

600

x Từ biểu thức (3.40) ta tính được các ứng suất theo các phương m,n,x là:

(3.41)

Mặt khác lấy tọa độ gốc là Oxy ta cũng có các ứng suất theo các phương theo công thức đổi trục tọa độ như sau:

(3.42)

Với mx=cos600, my=-sin600 ;nx=-sin600, ny=-cos600 Thay (3.42) vào (3.41) và chú ý ς=ςx + ςy ta thu được 3 phương trình với ba ẩn là: τxy,ςx, ςy giải hệ 3 phương trình trên ta thu được các thành phần của tenxơ ứng suất đặc trưng cho trạng thái ứng suất tại điểm có biến dạng như đề bài cho,sau khi tenxơ ứng suất ta đi tìm ứng suất chính và phương chính là rất dễ dàng.

NguyÔn Danh Tr êng - 43 -

Chương3: Quan hệ ứng suất & biến dạng

P=150kN

Ví dụ 3.2: Cho một hình trụ tròn đặc, bằng thép có đường kính D=50mm, đặt vừa khít vào một ống đồng có bề dày δ=1mm. Hình trụ đặc bị nén với lực P=150kN.

Xác định phương chính ứng suất chính tại điểm ống. Biết Ethép =2.Eđồng , μ=0.3.

Giải:

δ D Chọn hệ tọa độ trụ, với trục Oz trùng với trục của ống. Trục Or theo hướng bán kính, một trục Ot theo phương tiếp tuyến.

Ta coi ma sát giữa ống thép và ống đồng bằng không, lúc này lực tập trung P=150kN tác dụng lên ống thép coi như phân bố đều trên bề mặt với lực phân bố đúng bằng ứng suất của ống theo phương z ta có:

(1)

Xét một đoạn ống đồng có độ dài là một đơn vị (hình 2), Do lực phân bố q có tính chất đối xứng nên phân tố ống đồng chỉ có ứng suất

q q δ

ςđ ςđ

(a)

(b) δ Hình 2 D

pháp theo phương tiếp tuyến, tức lúc này ta coi phân tố ống đồng có trạng thái ứng suất đơn( chịu kéo).

Ta xét cân bằng cho một nửa(hình 2a) thì ta có:

(2)

Biến dạng của ống được tính như sau:

Từ (2) suy ra:

(3)

Xét một lát cắt của lõi thép với chiều dày 1 đơn vị. Trên đó lấy một phân tố tại

bán kính ρ với chiều dày phân tố là dρ của lõi thép.

NguyÔn Danh Tr êng - 44 -

Chương3: Quan hệ ứng suất & biến dạng

Lõi thép luôn có hình tròn khi biến dạng nên ta thấy các mặt cắt ngang theo phương hướng kính không bị sô lệch hay không có ứng suất tiếp trên đó. Theo định luật đối ứng suy ra các ứng suất tiếp còn lại bằng không do đó phân tố ta xét có trạng thái ứng suất chính.

ςz q ςt

ςr ςr

ςt

ςt ςz

Hình 3

Xét trên một mặt cắt ngang đi qua đường kính, và tính cân bằng cho một nửa ống

thép ta có: : Tính

Xét cân bằng của phân tố trong mặt phẳng vuông góc với trục z

Ta có: ςt=q dr

ςr

r dφ Do lấy xấp xỉ sindφ=dφ

ςr+dςr ςt=q Hình 4 và bỏ qua số hạng vô cùng bé bậc cao ta có:

Thay vào ta có:

(4)

Trong đó C là hằng số, từ điều kiện biên

suy ra:

Vậy: q

Ta thấy tại r=R/e=R/2,7183=0,368R thì

Phân tố của ống thép chịu trạng thái ứng suất khối

với các ứng suất chính như trên hình 3. Ta tính được biến dạng dài theo phương bán kính như sau:

NguyÔn Danh Tr êng - 45 -

Chương3: Quan hệ ứng suất & biến dạng

(5)

Từ (3) và (5) ta có:

Suy ra:

Từ (2) suy ra:

Vậy ống đồng chịu kéo theo phương chu vi với ứng suất kéo

Phân tố trong ống đồng chịu trạng thái ứng suất đơn (chịu kéo).

NguyÔn Danh Tr êng - 46 -

Chương4: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

Chương 4: ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG

y F §1. Các định nghĩa

Xét một mặt cắt ngang là một hình phẳng với diện tích F được biểu diễn như hình 1. Đặt vào một hệ trục tọa độ là Oxy, Mi là một điểm bất kỳ thuộc hình phẳng, ri là khoảng cách tương ứng từ Mi tới gốc tọa độ. x 1.1 Mômen tĩnh O Hình 4.1

Ta gọi mômen tĩnh của hình phẳng diện tích F đối với điểm gốc O là biểu thức tích phân sau:

(4.1)

Chiếu biểu thức (4.1) xuống các trục tọa độ ta có:

(4.2)

Các thành phần Sx và Sy được gọi là các mômen tĩnh của hình phẳng diện tích F đối với các trục tương ứng Ox,Oy.

Mặt khác ta luôn có thể tìm được một điểm G sao cho: (4.3)

Điểm G như trên được gọi là trọng tâm của hình phẳng diện tích F.

Từ (4.3) với chú ý: ta có:

(4.4)

Hay ta có:

(4.5)

Biểu thức (4.5) xác định cho ta được tọa độ của điểm trọng tâm G. Một trục đi qua trọng tâm G được gọi là trục trung tâm. Mômen tĩnh của hình phẳng với trục trung tâm bằng không.

1.2 Mômen quán tính

Ta gọi mômen quán tính của F đối với điểm O là biểu thức tích phân sau:

(4.6)

JP còn được gọi là mômen quán tính độc cực đối với O. Nếu thay ri bằng khoảng cách từ Mi tới một trục nào đó thì ta có mô men quán tính của F đối với trục đó. Ví dụ ta có điểm Mi(x,y) thì:

NguyÔn Danh Tr êng - 47 -

Chương4: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

lần lượt được gọi là mômen quán tính của hình diện tích F đối

với các trục Ox,Oy. Chú ý: do nên ta có : (4.7)

Mômen quán tính ly tâm: Ta gọi mômen quán tính ly tâm của hình diện tích F đối với hệ trục Oxy là biểu thức sau:

(4.8)

Nếu mômen quán tính ly tâm đối với hệ trục Oxy bằng không thì hệ trục Oxy

được gọi là hệ trục quán tính chính. y Nếu hệ trục quán tính chính có gốc tọa độ trùng với trọng

tâm G thì ta nói đó là hệ trục quán tính chính trung tâm.

x O Nếu hình phẳng diện tích F có trục đối xứng thì ta luôn tìm được hai diện tích dF đối xứng nhau qua trục đối xứng để:

Hình 4.2 Do đó trục đối xứng của nó cùng với mọi trục vuông góc

với nó tạo thành hệ trục quán tính chính.

§2. Công thức chuyển trục song song

Y y F

Xét một hình phẳng với diện tích F được đặt trong hệ trục tọa độ oxy với mômen quán tính với hệ trục là: Mi

o x

a b X O Xét trong hệ trục tọa độ mới OXY với OX//ox, OY//oy và khoảng cách giữa hai trục ox,OX là a, giữa oy ,OY là b ta có thể viết như sau:X=x+b,Y=y+a. Hình 4.3

Khi đó mômen quán tính trong hệ trục mới OXY là:

(4.9)

Trong đó Sx,Sy là mômen tĩnh của hình diện tích F đối với các trục ox,oy.

NguyÔn Danh Tr êng - 48 -

Chương4: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

Mômen quán tính ly tâm là:

(4.10)

Nếu hệ trục ban đầu Oxy có gốc O≡G trọng tâm thì Sx=Sy=0 khi đó biểu thức (4.9) và (4.10) trở nên gọn hơn như sau:

(4.11)

§3. Công thức xoay trục

Xét một hình phẳng với diện tích F được đặt trong hệ trục tọa độ Oxy với

. mômen quán tính đối với hệ trục là:

Xoay hệ trục Oxy một góc α ngược chiều kim đồng hồ. Đến vị trí mới là hệ trục tạo độ Ouv. Mômen quán tính của hình phẳng diện tích F đối với hệ trục tạo độ mới Ouv được tính như sau:

Ta có:

Theo định nghĩa về mômen quán tính ta có:

Khai triển ra ta có:

Và cuối cùng ta thu được:

(4.12)

Nếu uv là hệ trục quán tính chính thì Juv=0, nên từ (12) ta có công thức xác định hệ trục quán tính chính như sau: NguyÔn Danh Tr êng - 49 -

Chương4: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

(4.13)

Công thức (4.13) luôn có hai nghiệm α khác nhau một π/2 tức ta luôn có hai hệ trục quán tính chính vuông góc với nhau. Công thức (4.13) là công thức xác định hệ trục quán tính chính nếu biết các mômen quán tính trên một hệ trục bất kỳ.

Mặt khác từ biểu thức (4.12) biến đổi toán học ta có:

(4.14)

Biểu thức (4.14) là phương trình của một đường tròn tâm bán kính R là

trên hệ trục (OJuJuv) với OJu//Ox, và có được gọi là vòng tròn

Mohr quán tính. Lập luận tương tự như vòng tròn Mohr ứng suất ta tìm được phương của hệ trục quán tính chính là PM1 và PM2 với M1,M2 là các giao điểm của vòng tròn Mohr quán tính với trục OJu. Điểm Mo có tọa độ (Jx,Jxy) được gọi là điểm gốc, điểm P(Jy,Jxy) gọi là điểm cực. (Hình 4.4)

Các bước xác định hệ trục quan tính chính trung tâm:

1.Tìm Jx,Jxy của hệ Oxy bất kỳ.

2.Tìm trọng tâm của hình.

3.Dùng công thức chuyển trục song song và xoay trục Oxy về hệ trục quán tính chính trung tâm.

Juv M

α M0 P

Ju M2 M1 O Jx C Jy

Hình 4.4

§4. Ví dụ tính đặc trung hình học của một số hình đơn giản

NguyÔn Danh Tr êng - 50 -

Chương4: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

Xét tam giác vuông ABC vuông tại A. tìm mômen tĩnh, mômen quán tính và

4.1 Hình tam giác vuông mômen ly tâm đối với các cạnh góc vuông AB,AC.

h dy by y

A b B

Giải:

Chọn hệ trục Axy như hình vẽ ta xác định được trọng tâm G:

*)Tính mômen tĩnh ta có:

(4.15)

*)Tính mômen quán tính ta có:

trong đó dF=by.dy với y=0→h

Thay vào ta có: theo tính chất đồng dạng ta có:

Vậy:

(4.16)

Tương tự ta có: (4.17)

*)Tính mômen quan tính ly tâm:

(4.18)

Chuyển tất cả sang hệ trục GXY(G là trọng tâm) với các trục song song với hệ Axy Từ công thức chuyển hệ trục ta có:

NguyÔn Danh Tr êng - 51 -

Chương4: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

(4.19)

dy 4.2 Hình nửa hình tròn Xét nửa hình tròn tâm O, với trọng tâm G(xG,yG) ta chọn hệ trục tọa độ Oxy, nửa hình tròn đối xứng qua trục y nên dễ dàng thấy xG=0. Sau đây ta đi R y

tìm yG qua công thức: x O

Ta có:

Suy ra:

(4.20) Vậy ta có:

*)Xét trường hợp diện tích là một phần hình quạt góc 2α xác định bởi một cung tròn và dây cung lúc này ta có: y

dy y

2α

Diện tích phần đang xét:

R x O

Xét tại góc φ với: α<φ<π/2 y=Rsin φ ,dy=Rcosφ,dF=2Rcosφ.dy

Vậy ta có:

Vậy tâm hình phẳng giởi hạn bởi cung tròn 2α và một dây cung sẽ cách dây cung đó

một đoạn là: (4.21)

NguyÔn Danh Tr êng - 52 -

Chương4: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

4.3 Hình quạt Xét hình quạt góc 2α chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ nên xG=0 ta cũng đi tìm yG theo cách như trên Trước hết ta tìm Sx theo công thức:

2α

trong đó: thay vào ta

R x có: O

Với diện tích F=α.R2 ta có:

(4.22)

Với α=π/2 ta có kết quả đối với nửa hình tròn và α=π thì yG=0. 4.4 Hình chữ nhật Xét một hình chữ nhật hai cạnh là a,b. Chọn hệ trục tạo độ đi qua trọng tâm khi đó ta có mômen quán tính trung tâm của hình chữ nhật là:

y b x O (4.23)

4.5 Hình tròn Xét một hình tròn tâm O, đặt hệ trục Oxy như hình vẽ. Lúc này ta có mômen quán tính độc cực với tâm O được tính như sau:

dφ

với dF=rdφdr thay vào ta có:

x O (4.24)

Do tính đối xứng nên ta có:Jx=Jy Mặt khác Jp= Jx+Jy nên suy ra:

(4.25)

NguyÔn Danh Tr êng - 53 -

Chương4: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

4.6 Xác định trọng tâm, hệ trục quán tính chính trung tâm của hình phẳng được

ghép từ các hình phẳng đã có trọng tâm

Xét một hình phẳng được ghép từ hình phẳng I và hình phẳng II khi đó ta tính

trọng tâm của hình ghép như sau: Bước 1: Chọn một hệ trục tạo độ, sau đó tính các mômen tĩnh của từng hình nhỏ đối

với hệ trục vừa chọn, và tính diện tích các hình nhỏ.

Bước 2: Tính tọa độ trọng tâm G trong hệ trục tọa độ vừa chọn theo công thức sau:

(4.26)

Trong đó: là mômen tĩnh của hình thứ (i) với các trục Ox, Oy.

F(i) là diện tích của hình thứ (i). là diện tích và mômen tĩnh của hình tổng được ghép bởi các hình nhỏ.

Bước 3: Sau khi có trọng tâm G ta chọn hệ trục GXY song song với hệ trục ban đầu sau đó ta lần lượt tính được các mômen quán tính của từng hình đối với hệ trục tọa độ GXY sau đó cộng lại ta có mômen quán tính của hình ghép.

NguyÔn Danh Tr êng - 54 -

Chương5: Thanh, nội lực trong thanh

Chương 5: THANH, NỘI LỰC TRONG THANH

§1.Một số định nghĩa về thanh, liên kết thanh

*) Định nghĩa về thanh: Cho một hình phẳng và một đoạn đường cong trong không

(a)

(b) Hình 5.1

gian với độ dài lớn hơn kích thước lớn nhất của hình phẳng rất nhiều. cho hình phẳng di chuyển trong không gian sao cho trọng tâm của hình phẳng luôn nằm trên đường cong và mặt phẳng chứa hình phẳng luôn vuông góc với đường cong. Khi đó hình phẳng sẽ quét nên một hình trong không gian ta gọi hình đó là thanh. Đoạn đường cong được gọi là trục của thanh, hình phẳng trên được gọi là mặt cắt ngang của thanh.

Nếu trục của thanh là một đoạn thẳng thì ta có thanh thẳng, trục thanh là đoạn cong ta có thanh cong, và trong sơ đồ tính toán thanh thường được biểu diễn bằng trục của thanh.

Nếu trong quá trình di chuyển, hình phẳng thay đổi kích thước hoặc hình dạng thì ta có được thanh với mặt cắt ngang thay đổi, còn nếu hình phẳng không thay đổi kích thước và hình dạng trong quá trình di chuyển thì ta thu được thanh với mặt cắt ngang không đổi.

*) Định nghĩa các liên kết thường gặp trong bài toán phẳng: xét trong mặt phẳng lúc

này các thanh chỉ có 3 bậc tự do(2 bậc tự do tịnh tiến,1 bậc tự do quay).

+) Liên kết gối tựa đơn: là liên kết chỉ hạn chế một bậc tự do tịnh tiến của thanh theo phương liên kết, lúc này tại liên kết xuất hiện một phản lực liên kết theo phương liên kết(hình 5.2a).

+) Liên kết gối tựa cố định: là liên kết hạn chế hai bậc tự do tịnh tiến. lúc này tại gối

A B A

Hình 5.2

tựa có 2 phản lực liên kết(hình 5.2b).

NguyÔn Danh Tr êng - 55 -

Chương5: Thanh, nội lực trong thanh

+) Liên kết ngàm: liên kết này hạn chế toàn bộ ba bậc tự do của thanh. Xét trong mặt phẳng tại ngàm lúc này xuất hiện ba thành phần phản lực liên kết: hai lực theo hai phương tịnh tiến và một mômen quay(hình 5.2d).

Chú ý: theo nguyên tắc tính toán thì chỉ cần ba liên kết đơn là hạn chế được các bậc tự do của một thanh. Xem hình 4 ta thấy tuy có đủ ba liên kết đơn nhưng thanh vẫn có thể dịch chuyển.

Hình 5.3

Vậy thực tế 3 liên kết đơn đó phải được đăt đúng vị trí thì mới có thể giữ thanh cố định, và trong không gian thì ta cần 6 liên kết đơn đặt đúng vị trí để có thể giữ cố định thanh. Những trường hợp như vậy ta gọi là thanh ở trạng thái tĩnh định. Khi những liên kết đặt vào thanh là “thừa” để hạn chế các bậc tự do của thanh khi đó ta nói thanh ở trạng thái siêu tĩnh.

§2. Nội lực trong thanh

Xét một thanh chịu lực như hình 5.4. Tưởng tượng cắt thanh bởi mặt cắt α chia

(α) y z

A B z B

(b) (a) Hình 5.4

thanh thành hai phần A và B. Tại mặt cắt xuất hiện các nội lực do phần A tác động lên phần phần B và ngược lại. Gọi O là trọng tâm của mặt cắt, xác định một hệ trục tọa độ Oxyz trên mặt cắt với Oz vuông góc với mặt cắt. Khi đó các thành phần nội lực xuất hiện trên mặt cắt có thể thu về O bằng một véctơ lực chính và một mômen chính.

Các thành phần hình chiếu của véctơ lực chính trên các trục tọa là: Trên trục z ký hiệu là Nz, và được gọi là thành phần lực dọc Trên trục x,y ký hiệu là Qx, Qy, và được gọi là các lực cắt. Các thành phần hình chiếu của mômen chính trên các trục tọa độ là: Trên trục z, ký hiệu là Mz, và được gọi là thành phần mômen xoắn. Trên trục x,y ký hiệu là Mx, My, và được gọi là các mômen uốn.

NguyÔn Danh Tr êng - 56 -

Chương5: Thanh, nội lực trong thanh

- Nz được quy ước có dấu dương khi chiều y

z x

Hình 5.5

- Mz được quy ước là dương khi nhìn vào mặt cắt thấy có chiều thuận chiều kim

*)Quy ước dấu của các thành phần nội lực:(Hình 5.5) của nó hướng ra khỏi mặt cắt. - Qy được quy ước có dấu dương khi ta đứng từ chiều dương của trục x nhìn thấy Qy làm quay phần đang xét theo chiều kim đồng hồ. dấu của Qx được quy ước tương tự như Qy. - Mx,My được quy ước mang dấu dương khi nó làm căng thớ dương của phần đang xét(thớ dương là thớ nằm về chiều dương của các trục). đồng hồ. Khi xét trong mặt phẳng Oyz ta chi còn quan tâm đến ba thành phần: Nz, Qy, Mx

Mx>0 NZ>0 Qy>0

NZ z z z

y y y Hình 5.6

y §3. Tương quan giữa nội lực và ứng suất

Gọi

x z τzx cắt đang xét. Chiếu véctơ ta có các thành phần ứng suất là véctơ ứng suất tại một điểm trên mặt lên hệ trục tọa độ Oxyz tổng toàn bộ

τzy các thành phần ứng suất trên toàn bộ diện tích F của mặt cắt chính là các nội lực ta có: ςz Hình 5.7

(5.1)

Các biểu thức ở (5.1) cho ta mối liên hệ giữa ứng suất và nội lực.

§4. Tương quan giữa nội lực và cường độ tải trọng phân bố trong bài toán phẳng

Mx+dMx Mx

z Qy Qy+dQy dz 1 2 Xét một thanh chịu lực trong mặt phẳng Oyz,trục Oz trùng với trục của thanh. Các ngoại lực tác dụng lên thanh nằm trong mặt phẳng Oyz và vuông góc với trục Oz(quy ước dấu của ngoại lực hướng lên là mang dấu dương). Tách ra một đoạn phân tố của thanh như hình 5.8. Hình 5.8 y

NguyÔn Danh Tr êng - 57 -

Chương5: Thanh, nội lực trong thanh

Đoạn phân tố thanh được giới hạn bởi hai mặt cắt (1-1) và (2-2) cách nhau một khoảng dz vô cùng bé. q là ngoại lực phân bố trên thanh, do xét dz vô cùng bé nên ta coi q phân bố đều trên đoạn thanh đang xét. Lúc này đoạn thanh có các thành phần nội lực Mxvà Qy (Nz=0 vì q vuông góc với Oz) nằm cân bằng với ngoại lực nên ta có: Chiếu lên trục y:

(5.2)

Lấy mômen tại mặt cắt (2-2) ta có:

Bỏ qua số hạng vô cùng bé bậc cao ta có:

(5.3)

Từ (5.2) và (5.3) ta rút ra: Đạo hàm của lực cắt là bằng cường độ của lực phân bố, và đạo hàm của mômen uốn là bằng trị số của lực cắt. Để thuận chiều dương của lực cắt như đã quy ước ta thừa nhận lực phân bố mang dấu dương khi nó hướng lên.

§5. Biểu đồ nội lực

q=6kN/m P=16kN 5.1 Trường hợp thanh thẳng Xét một thanh thẳng chịu lực trong mặt phẳng Oyz,trục thanh trùng trục z như hình 9 Một thanh khi chịu uốn ta gọi đó là dầm. Sau đây ta trình bày cách vẽ biểu đố nội lực của dầm cho bên hình 5.9.

M=4kN m Giải: A B D C

3 1m

2 1m

YB YA (a)

MxC Mx Qy Do các thành phần ngoại lực đều vuông góc với trục của thanh nên thanh không tồn tại lực dọc và tại gối tựa A cũng chỉ có phản lực YA theo hướng vuông góc với dầm. YA QyC Mx Qy *)Tính phản lực liên kết z P M z (b) Mx MxD (c)

Qy QyD Viết phương trình cân bằng mômen tại A và phương trình cân bằng chiều lên phương thẳng đứng ta có: z (d) Hình 5.9

Suy ra: phản lực liên kết YA=YB=14 (kN) (phản lực liên kết nằm ngang bằng không) *)Tìm nội lực trong thanh để vẽ biểu đồ lực cắt Qy, mômen Mx:

NguyÔn Danh Tr êng - 58 -

Chương5: Thanh, nội lực trong thanh

Xét đoạn AC: (z=0-2m) hình 5.9b

Ta tưởng tượng cắt dầm bởi mặt cắt 1-1 và xét cân bằng cho phần bên trái ta có:

Suy ra: Tại A (z=0):

Tại C (z=2):

Xét đoạn CD: (z=0-1m) hình 5.9c

Ta tưởng tượng cắt dầm bởi mặt cắt 2-2 và xét cân bằng cho phần bên trái ta có:

với z= 0-1

Vậy trên đoạn CD không có ngoại lực tác dụng nên lực cắt là hằng số trên toàn đoạn và bằng 2kN. Mômen uốn phân bố bậc nhất trên đoạn CD.

Tại D : QyD = 2 kN; MxD=18 kNm

Xét đoạn DB: (z=0-1m) hình 5.9d

Ta tưởng tượng cắt dầm bởi mặt cắt 3-3 và xét cân bằng cho phần bên trái ta có:

với z=0-1

q=6kN/m P=16kN

M=4kN m A B Vậy trên đoạn DB không có ngoại lực tác dụng nên lực cắt là hằng số trên toàn đoạn và bằng 14kN. Mômen uốn phân bố bậc nhất trên đoạn DB

YB=14kN YA=14kN Tại D:QyD =-14kN; MxD=14kNm

14kN

2kN Từ biểu thức nội lực tìm được trên các đoạn ta có biểu đồ nội lực cho toàn bộ dầm như hình 10. Qy

14kN Nhận xét:Qua ví dụ trên ta rút ra nhận xét vẽ nhanh như sau:

*) Biểu đồ Qy: Mx

14kNm 16kNm 18kNm - Tại đâu có lực tập trung thì ở đó có bước nhảy đúng bằng độ lớn lực tập trung, và nhảy theo chiều của lực tập trung. Hình 5.10 - Nếu có lực phân bố bậc n thì biều đồ

NguyÔn Danh Tr êng - 59 -

Chương5: Thanh, nội lực trong thanh

lực cắt là đường bậc (n+1)

- Lực phân bố đi xuống thì biểu đồ Qy cũng đi xuống và ngược lại. Lượng đi lên hay đi =diện tích lực xuống đúng bằng diện tích của lực phân bố trên đoạn đó(do

phân bố q).

*) Biểu đồ Mx:

- Tại đâu có mômen trung thì ở đó có bước nhảy đúng bằng độ lớn của mômen tập trung, Mômen tập trung làm căng thớ nào thì biểu đồ nhảy về phía đó.

- Nếu có lực phân bố bậc n thì biều đồ lực cắt là đường bậc (n+2)

- Nếu Mx có dạng đường cong thì phía lõm của biểu đố Mx sao cho nó hứng lấy các mũi tên của lực phân bố q.

- Nhìn biểu đồ lực cắt, nếu trên đoạn đang xét lực cắt dương thì biểu đồ Mx đồng biến(đi xuống vì chiều dương của Mx ta chọn phía dưới) biểu đồ đi xuống và ngược lại nếu lực cắt âm thì biểu đồ đi lên(nghịch biến). lượng biến thiên đúng bằng diện tích của biểu đồ lực cắt trên toàn đoạn đó(do =diện tích biểu đồ Qy).

Dựa vào những nhận xét trên giúp ta vẽ biểu đồ nội lực nhanh hơn rất nhiều.

5.2 Trường hợp khung phẳng Xét hệ các thanh thẳng gắn cứng với nhau trong cùng một mặt phẳng ta gọi đó là một khung phẳng. M=6kNm q=6kN/m

2m Xét khung phẳng chịu lực như hình 11. Sau đây ta đi tìm biểu đồ nội lực của nó.

Giải:

2m Trước tiên ta đi tìm các phản lực liên kết:

A B XA, YA, YB bằng các phương trình cân bằng mômen tại A và phương trình cân bằng theo phương thẳng đứng và phương ngang. Ta có: Hình 5.11 YB YA

Sau khi tìm được phản lực liên kết ta đi tìm nội lực theo cách xét từng mặt cắt trên các thanh như đối với thanh thẳng ta đã xét ở trên hoặc dùng những nhận xét vẽ nhanh ta có các biểu đồ nội lực như hình 12.

NguyÔn Danh Tr êng - 60 -

Chương5: Thanh, nội lực trong thanh

3kN 12kNm

Qy Mx Nz

3kN 3kN 12kN Hình 5.12

dα

5.3 Trường hợp thanh cong Xét một thanh cong chịu lực như hình 5.13 lực q phân bố đều trên ½ chu vi nửa hình tròn. Ta xác định phản lực bằng các phương trình cân bằng theo phương thẳng đứng, phương ngang và mômen quanh A như sau:

α

A B

YB YA Hình 5.13

Các phản lực tính ra mang dấu dương chứng tỏ có chiểu đúng như đã chọn ban đầu.

Tìm nội lực trong thanh. Mx Nz Xét đoạn BC: (α=0-π/2) hình 5.14a Qy 1

1 R Ta tưởng tượng cắt dầm bởi mặt cắt 1-1 và xét cân bằng cho phần bên phải ta có:

YB Hình 5.14a

NguyÔn Danh Tr êng - 61 -

Chương5: Thanh, nội lực trong thanh

Tại A (α=0):

Tại C (α=π/2):

Xét đoạn AC: (α=0-π/2) hình 5.14b Mx Nz q Ta tưởng tượng cắt dầm bởi mặt cắt 2-2 và xét cân bằng cho phần bên trái ta có: 2

2 Qy

R XA

YA Hình 5.14b

với β=0-π/2

Từ các biểu thức nội lực trên các đoạn đã tìm được ta tiến hành vẽ biểu đồ nội lực.

Nz XA

0,5qR 0,5qR YB YA

0,5qR2

0,616qR2 0,5qR

Qy Mx

qR B Hình 5.15

NguyÔn Danh Tr êng - 62 -

Chương5: Thanh, nội lực trong thanh

MAx

XA MAz 5.4 Trường hợp khung không gian Xét hệ các thanh thẳng gắn cứng với nhau trong không gian ta gọi đó là một khung không gian. Xét một khung không gian chịu lực như hình 5.16. Cho biết AB=BC=CD= . *)Tìm các phản lực liên kết: ZA A YA

Tại ngàm A xuất hiện các phản lực liên kết sau: q

Hình 5.16 XA,YA,ZA,MAz,MAx bằng các phương trình cân bằng theo các phương và phương trình cân bằng mômen tại A ta thu được:

P1=ql

P2=2ql

Sau khi tìm được các phản lực ta tưởng tượng cắt các thanh của khung thành các thanh thẳng(nhớ đặt lực liên kết tại các điểm tách) sau đó ta cũng dễ dàng vẽ được các biểu đồ nội lực theo phương pháp vẽ theo nhận xét vẽ nhanh.(hình 5.17)

2ql

2ql ql Qy My

2ql Qx Nz

2,5ql2 3ql2

2ql2 ql2 2,5ql2 ql2 ql2 ql2 ql2

Mx My Mz

Hình 5.17

NguyÔn Danh Tr êng - 63 -

Chương6: Uốn-Kéo(nén)

Chương 6: THANH CHỊU UỐN - KÉO(NÉN)

§1. Trạng thái ứng suất của thanh chịu uốn – kéo(nén)

- Xét một thanh chịu lực kéo(nén) P đúng tâm và chịu mômen uốn M như hình vẽ, Ta tưởng tượng cắt thanh thành hai phần A và B bằng một mặt cắt vuông góc với trục của thanh, Xét phần B cân bằng, ta gắn lên mặt cắt một hệ trục quán tính chính trung tâm Oxyz như hình 6.1. Để cho phần B cân bằng với các ngoại lực,như đã trình

M M A B y P P M Mx

B Nz z P My

x Hình 6.1

bày ở các phần trước nội lực trong thanh sẽ gồm có: Mx,My,Nz. - Vấn đề đặt ra là đi tìm trạng thái ứng suất của thanh trong trường hợp trên. - Để đơn giản ta thừa nhận giả thiết về mặt cắt ngang của Becnuli như sau:

+ Các mặt cắt ngang ban đầu phẳng và vuông góc với trục của thanh thì trong quá trình biến dạng và sau biến dạng mặt cắt ngang đó vẫn phẳng và vuông góc với trục của thanh(giả thuyết về mặt cắt ngang Becnuli).

x O + Do biến dạng là rất nhỏ nên ta coi kích thước của các mặt cắt ngang không đổi trong quá trình biến dạng. 5 6

z Xét một phân tố hình hộp vô cùng bé với các 1 2 cạnh song song với các trục tọa độ(Hình 6.2). 7

4 3

y Hình 6.2 Từ giả thiết đặt ra ta có thể kết luận phân tố không có các ứng suất tiếp hay nói cách khác phân tố có trạng thái ứng suất chính.

Thực vậy, vì ngoại lực tác dụng lên tanh trong trường hợp này không làm thanh bị xoắn do đó các cạnh của phân tố song song với trục của thanh(1-5,2-6,3-7,4-8) thì sau biến dạng vẫn song song với trục của thanh,mặt khác các mặt cắt ngang không

trượt so với nhau, và vẫn vuông góc với trục của thanh do đó các góc vuông và

không thay đổi trong quá trình biến dạng.

Cũng theo giả thiết đặt ra, hình dạng các mặt cắt ngang không đổi trong quá trình

biến dạng nên góc vuông cũng không thay đổi.

NguyÔn Danh Tr êng - 64 -

Chương6: Uốn-Kéo(nén) Từ các lập luận trên ta rút ra: (6.1)

Theo phương trình Naviê, tại trạng thái cân bằng, khi bỏ qua lực thể tích ta có:

(6.2)

Từ (6.1) và (6.2) suy ra:

(6.3)

Từ (6.3) ta thấy rằng ứng suất ςx chỉ phụ thuộc vào tạo độ y,z.

(6.4) ςy chỉ phụ thuộc vào tạo độ x,z. ςz chỉ phụ thuộc vào tạo độ x,y.

Mặt khác cũng theo giả thiết là các mặt cắt không thay đổi về hình dáng nên ta

suy ra , theo liên hệ ứng suất và biến dạng ta suy ra:

Vậy chỉ còn ứng suất: ta suy ra trạng thái ứng suất phân tố trong thanh

chịu kéo(nén) cộng uốn là trạng thái ứng suất đơn:

(6.5)

Từ (6.4) ta có thể viết:

w=(A+ B.x+C.y)z

Suy ra:

(6.6)

Mặt khác theo liên hệ giữa nôi lực và ứng suất trong thanh ta có: (6.7)

Thay (6.6) vào (6.7) ta có:

(6.8)

Do hệ trục Oxyz là hệ trục quán tính chính trung tâm nên ta có:

Nên (6.8) trở thành:

(6.9)

(6.10) Thế (6.9) vào (6.6) suy ra:

NguyÔn Danh Tr êng - 65 -

Chương6: Uốn-Kéo(nén) §2. Các trường hợp riêng

2.1 Thanh chịu kéo(nén) đúng tâm

là trường hợp mặt cắt ngang của thanh chỉ có một thành phần lực dọc Nz, trị số ứng suất được rút ra từ (6.10) như sau:

(6.11)

Biến dạng dài tính theo công thức:

(6.12)

Tính số EF được gọi là độ cứng của thanh.

Độ biến dạng trên toàn chiều dài l của thanh là: (6.13)

Nếu phân số là hằng số trên các đoạn l1,l2…công thức (6.13) trở thành:

(6.14)

2.2 Uốn thuần túy

là trường hợp mặt cắt ngang của thanh chỉ có thành phần nội lực duy nhất là Mx hoặc My ta nói thanh chịu uốn thuần túy, giả sử chỉ có nội lực Mx

Theo công thức (6.10) ta rút ra:

(6.15)

Nhận xét:

- Thanh chịu uốn thuần túy khi mômen tải trọng nằm hoàn toàn trong mặt

phẳng chứa trục quán tính chính chung tâm của mặt cắt ngang.

- Với y=0 tức trên trục Ox thì ςz=0 do đó εz=0 hay ta nói trên đường thẳng trùng với trục Ox không có ứng suất và biến dạng và ta gọi đường thẳng đó là đường trung hòa.

- Các đường thẳng y=a (a là hằng số) song song với trục Ox sẽ có cùng trị số ứng suất pháp, vậy các điểm càng xa trục trung hòa sẽ có trị số ứng suất càng là tung độ của các điểm cách xa trục trung hòa nhất ở miền lớn. Gọi

chịu nén và chịu kéo tương ứng trên mặt cắt ngang của thanh, ta có trị số ứng suất tại các điểm đó là:

(6.16)

NguyÔn Danh Tr êng - 66 -

Chương6: Uốn-Kéo(nén)

Trong đó: , được gọi là mômen chống uốn của mặt cắt ngang, trị

số chống uốn càng lớn thì khả năng chống uốn của thanh càng lớn.

ςmin

dφ

Đường trung hòa

x ρ O

2 1

Hình 6.4 2 + ςmax 1 y Hình 6.3

Biểu đồ ứng suất được biểu diễn như hình 6.3. Tách một đoạn thanh dz bằng hai mặt cắt (1-1) và (2-2). Sau biến dạng trục của thanh bị cong đi, và hai mặt cắt (1-1) và (2-2) tạo với nhau một góc dφ (hình 6.4). Trên trục trung hòa, thanh không bị biến dạng nên ta có: ρdφ=dz

Một đường cách trục thanh một đoạn y sẽ bị biến dạng:

Mặt khác:

(6.17)

Trong đó tích số EJx được gọi là độ cứng khi uốn.

Biểu thức (6.17) cho ta xác định bán kính cong của dầm khi chịu uốn.

2.3 Uốn xiên

Đường trung hòa

là trường hợp nội lực trong thanh tồn tại cả Mx và My khi đó trị số ứng suất được tính như sau:

(6.18) ςmin

x O + Trên đường trung hòa ςz=0 vậy đường trung hòa có phương trình là:

(6.19)

y Phương trình (6.19) đi qua gốc tọa độ

Hình 6.5 + ςmax với hệ số góc:

Những điểm xa đường trung hòa nhất cũng là những điểm nguy hiểm nhất vì tại đó của ứng suất lớn nhất.

NguyÔn Danh Tr êng - 67 -

Chương6: Uốn-Kéo(nén) 2.4 Kéo (nén) lệch tâm

là một dạng riêng của bài toán uốn cộng kéo, khi đó tổng ngoại lực tác dụng trên thanh có thể quy về 1 lực tập trung N có phương song song với phương trục thanh, có điểm đặt là K cách tâm mặt cắt ngang một đoạn là e với e≠0(e=0 là kéo(nén) đúng tâm).

Gọi tọa độ điểm K là và thì nội lực trong thanh được viết như sau:

(6.20) Nz=N ; Mx = N. ; My = N.

Công thức ứng suất pháp lúc này có thể viết như sau:

Hay: (6.21)

Trong đó: được gọi là các bán kính quán tính.

Từ biểu thức (6.21) ta có phương trình của đường trung hòa là:

(6.22)

(6.23) Đặt suy ra:

Nhận xét:

- Do a,b luôn ngược dấu với và nên đường trung hòa có phương trình

(6.23) không cắt qua góc phần tư chứa điểm đặt lực.

- Vị trí đường trung hòa chỉ phụ thuộc vào các bán kính quán tính và tọa

độ điểm đặt lực chứ không phụ thuộc vào độ lớn của ngoại lực.

- Khi điểm càng lớn thì a,b càng nhỏ và ngược lại tức khi điểm đặt lực

càng tiến xa tâm thì đường trung hòa lại tiến lại gần tâm và ngược lại.

- Khi điểm đặt lực di chuyển trên một đường thẳng cố định thì đường trung hòa

quay quanh một điểm cố định tương ứng. Thật vậy, ta xét điểm đặt lực K di chuyển trên đường thẳng: thế

vào phương trình (6.22) ta có:

(6.24)

Phương trình (6.24) ta thấy luôn đi qua điểm: là một điểm cố

định với m,n xác định, vậy khi K di chuyển trên đường thẳng: thì

NguyÔn Danh Tr êng - 68 -

Chương6: Uốn-Kéo(nén)

các đường trung hòa luôn đi qua điểm hay nói cách khác

đường trung hòa luôn cắt nhau tại điểm .

Nếu đường thẳng mà điểm đặt lực K di chuyển đi qua gốc tọa độ tức n=0 thì ta dễ dàng nhận thấy điểm giao nhau của các đường trung hòa lúc này là: tức các đường trung hòa không còn cắt nhau hay chúng song

song với nhau.

Ví dụ 6.1: Cho thanh chịu lực như hình 6.6, tính ứng suất tại mặt cắt bất kỳ của thanh khi tính đến cả trọng lượng thanh với trọng lương riêng là γ. Giải: Tính đến cả trọng lượng thanh thì nội lực Nz trong thanh lúc này là:

Suy ra ứng suất của thanh là:

Tại đầu ngàm:

E,F

Biến dạng của thanh được tính theo biểu thức:

l

z

Tại đầu ngàm nên

P

Tại đầu tự do suy ra: Hình 6.6

§3. Thí nghiệm kéo và nén vật liệu

Trong sức bền vật liệu việc làm thí nghiệm là rất quan trọng, nó luôn gắn liền với lý thuyết, và đôi khi những lý luận của lý thuyết được xây dựng từ kết quả của thi nghiệm. Sau đây ta tiến hành xét thí nghiệm kéo và nén nhằm tìm ra điều kiện bền cho một thanh khi chịu kéo hoặc nén.

3.1 Thí nghiệm kéo

Mẫu thí nghiệm lấy theo tiêu chuẩn TCVN (Hình 6.7).

Tiến hành thí nghiệm với vật liệu dẻo và thu được kết quả thông qua biểu đồ biến dạng(hình 6.8) do máy vẽ nên.

NguyÔn Danh Tr êng - 69 -

Chương6: Uốn-Kéo(nén) Quan sát ta thấy mẫu bị biến dạng chia làm các giai đoạn như sau:

P B H

C PC D A

Ptl

∆l

N O Hình 6.8

Hình 6.7

P B H

a) Giai đoạn tỷ lệ bậc nhất với lực kéo: khi bắt đầu tăng lực từ từ, cho đến một giá trị ta ký hiệu là Ptl thì biến dạng của mẫu tăng tỷ lệ bậc nhất đối với lực kéo Ptl, trên biểu đồ biểu thị bằng đoạn OA. Và thí nghiệm cũng cho thấy khi ta kéo mẫu với một lực nhỏ thua Ptl thì sau khi bỏ lực bút vẽ trên máy theo đường OA trở về gốc tọa độ. Nghĩa là mẫu trở về trạng thái ban đầu. Điều đó cho thấy định luật Hooke hoàn toàn đúng trong giai đoạn này.

D C PCt PCd A

Ptl

∆l

Hình 6.9

b) Giai đoạn chảy: Được biểu thị bằng đoạn CD gần như nằm ngang(trước đó đoạn AC rất ngắn và xảy ra rất nhanh nên ta bỏ qua), Trong giai đoạn này ta thấy rằng khi ta tăng lực kéo qua Ptl một chút tới Pc thì sau khi ngừng tăng lực ta thấy mẫu vẫn bị biến dạng thêm một đoạn. Trong thực tế do tốc độ thí nghiệm không đủ chậm nên đoạn CD trở thành đường zíczắc như hình 6.9. Lúc này xuất hiện lực chảy trên và lực chảy dưới, và trong tính toán ta lấy lực chẩy dưới vì đây là lực bắt đầu xảy ra giai đoạn chảy của vật liệu.

c) Giai đoạn củng cố: trong gia đoạn này thì khi lực tăng lên thì biến dạng mới tăng nhưng quy luật không còn là bậc nhất mà là đường cong biểu thị bằng đoạn CB, trong giai đoạn này nếu ta tăng lực tới một điểm K nào đó, sau đó từ từ giảm lực thì biểu đồ vẽ nên một đường KN song song với OA. Khi giảm lực về 0 thì thanh vẫn bị biến dạng một đoạn là ON không bao giờ triệt tiêu được, khi tăng lực tiếp thì biểu đồ lại đi theo đường NKB. Hiện tưởng như vậy

NguyÔn Danh Tr êng - 70 -

Chương6: Uốn-Kéo(nén)

được gọi là hiện tượng biến cứng nguội. Khi lực P tăng tới giá trị tại đỉnh B thì mẫu bắt đầu bị thắt lại, tuy ta không còn tăng lực nữa nhưng ứng suất trong mẫu vẫn tăng lên do tiết diện mẫu giảm cho dến khi mẫu bị đứt(đoạn HD).

Như vậy khi đặt tới điểm B mẫu bắt đầu bị phá hủy và ta xem như vật liệu bị phá hủy tại đó. Lúc này ta có 3 giá trị ứng suất giới hạn là:

Hình 6.10:Hình dạng mẫu khi bị phá hủy

Giới hạn tỷ lệ: (6.25)

Giới hạn chảy: (6.26)

Giới hạn bền: (6.27)

Trong thực tế để an toàn người ta lấy ứng suất cho phép:

(6.28) P B Trong đó n được gọi là hệ số an toàn, với n > 1. PB

Thí nghiệm với vật liệu giòn ta thu được biểu đồ tương quan lực kéo và biến dạng như hình 6.11. Trên biểu đồ ta không thể xác định được giới hạn tỷ lệ, giới hạn chảy mà ta chỉ tìm được giới hạn bền của vật liệu. ∆l

O Hình 6.11 Để đánh giá tính dẻo của vật liệu người ta đưa ra hai thông số đánh giá là:

Độ giãn dài tỷ đối: (6.29)

Độ thắt tỷ đối: (6.30)

Trong đó: là chiều dài mẫu khi đứt và tiết diện của mẫu tại điểm đứt.

Hai thông số trên các lớn thì tính dẻo của vật liệu càng lớn.

3.2 Thí nghiệm nén

Mẫu thí nghiệm nén có hình trụ tròn hoặc hình hộp chữ nhật, với chiều cao bằng

1 tới 1,5 lần chiều rộng. với vật liệu dẻo thì thường lấy hình trụ.

Tiến hành thí nghiệm nén và ta cũng thu được biểu đồ tương quan giữa biến dạng

và lực nén hình 6.12.

NguyÔn Danh Tr êng - 71 -

Chương6: Uốn-Kéo(nén)

Ptl

∆l

Hình 6.12

Qua biểu đồ ta thấy quá trình biến dạng của mẫu cũng được chia làm ba giai đoạn như khi kéo đó là:giai đoạn tỷ lệ, giai đoạn chảy, giai đoạn củng cố. Chỉ khác một điều ta không xác định được giới hạn bền(rất lớn) vì khi ta càng tăng lực mẫu cáng biến dạng bẹp xuống và phình ra theo chiều ngang mà không vỡ.

Hình dạng mẫu phình ra như hình tang trống do ma sát giữa bàn kẹp và mẫu(mặt cắt gần bàn kẹp có biến dạng ngang ít hơn), nếu giữa bàn kẹp và mẫu không có ma sát thì các mặt cắt của mẫu sẽ biến dạng như nhau (hình 6.13).

Hình 6.13

Thí nghiệm đối với vật liệu giòn ta thu được đồ thị tương quan lực nén và biến dạng gần giống với đồ thị của vật liệu giòn khi kéo, khác ở chỗ là khi nén có giới hạn bền lớn hơn rất nhiều so với khi kéo. Không như vật liệu dẻo ta tìm được giới hạn bền của vật liệu giòn khi nén, khi vượt qua giới hạn bền vật liệu giòn bất đầu bị phá hủy dãn đến dạn nứt(hình 6.14).

∆l Hình 6.14

NguyÔn Danh Tr êng - 72 -

Chương6: Uốn-Kéo(nén) §4. Các điều kiện dẻo và điều kiện bền

Đối với trạng thái ứng suất đơn ta có thể xác định được giới hạn dẻo của vật liệu, nhưng ở trạng thái ứng suất phẳng và ứng suất khối ta không thể xác định được giới hạn dẻo thông qua thì nghiệm vì lúc này giới hạn dẻo không những phụ thuộc vào độ lớn của các ứng suất mà còn phụ thuộc vào tỷ lệ độ lớn của các ứng suất.

Vì lý trên mà có rất nhiều giả thuyết ra đời nhằm xác định giới hạn dẻo của

trạng thái ứng suất một cách tổng quát.

Theo giả thuyết của Răngkin: khi ứng suất pháp cực đại đạt đến một giá trị

nào đó thì vật liệu bắt đầu có biến dạng dẻo.

Giả thuyết của Xanhvonăng cho rằng khi biến dạng lớn nhất đạt đến một giá

trị nào đó thì vật liệu bắt đầu có biến dạng dẻo.

Giả thuyết của Bentorami cho rằng khi thế năng biến dạng đàn hồi toàn phần

đạt đến một giá trị nào đó thì vật liệu bắt đầu biến dạng dẻo.

Cho đến nay người ta thấy cả ba giả thuyết trên không đúng, vì khi vật chịu nén đều theo mọi phương thì vật liệu không có biến dạng dẻo. Có hai giả thuyết vẫn tương đối phù hợp với thực tế là giả thuyết của Culong và giả thuyết của VôngMidet.

4.1 Điều kiện dẻo của Culong-Tơretska

Qua các thí nghiệm Culong-Tơretska đã nhận thấy vật liệu bắt đầu biến dạng dẻo khi hiệu số (ς1- ς1) đạt đến một giới hạn nhất định, hiệu số (ς1- ς3) bằng 2 lần ứng suất tiếp lớn nhất nên người ta còn gọi điều kiện Culong-Tơretska là điều kiện dẻo về ứng suất tiếp lớn nhất. Điều kiện đó là:

2K là một giới hạn có thể xác định dựa vào thí nghiệm của trạng thái ứng suất

đơn. Qua thí nghiệm kéo thanh ta có thể thấy : 2K=ςch Vậy điều kiện để vật liệu làm việc trong miền đàn hồi là:

Để đảm bảo chắc chắn người ta lấy:

(6.31)

n>1 được gọi là hệ số an toàn.

Biểu thức (6.31) thường được gọi là điều kiện bền theo ứng suất tiếp lớn nhất.

4.2 Điều kiện dẻo của Vông Midet

Bằng suy luận toán học, Vông Midet đã đi đến kết luận sau: Trong trường hợp vật liệu đồng nhất đẳng hướng thì điều kiện dẻo không phụ thuộc vào phương của tọa độ. Do đó nó chỉ phụ thuộc vào các bất biến của ứng suất là(I1,I2,I3), mặt khác nó lại độc lập với tenxơ ứng suất cầu, cho nên điều kiện dẻo lúc này chỉ phụ thuộc vào các bất biến của tenxơ ứng suất lệch , trong đó

NguyÔn Danh Tr êng - 73 -

Chương6: Uốn-Kéo(nén) nên điều kiện dẻo lúc này chỉ còn là tương quan giữa các bất biến tiếp tục ta

thấy nếu coi giới hạn chảy khi kéo bằng giới hạn chảy khi nén thì điều kiện dẻo thì khi kéo và nén không còn phụ thuộc vào bất biến vì nếu còn phụ thuộc vào

điều kiện dẻo sẽ khác nhau. Thật vậy, xét trường hợp ứng suất đơn ta có

và dẫn đến cũng bị đổi dấu theo. nên khi kéo, nén ς1 đổi dấu

Vông Midet đi đến kết luận rằng điều kiện dẻo chỉ phụ thuộc vào :

(6.32)

Vế trái của (6.32) chính là trị số sai kém bất biến một hằng số tỷ lệ.

Ở trạng thái ứng suất đơn vật liệu bắt đầu bị biến dạng dẻo khi ς1=ςch thay lên

(6.32) ta rút ra: lúc này ta có (6.32) trở thành:

(6.33)

Suy ra:

(6.34)

Trong đó: với n > 1 được gọi là hệ số an toàn.

Biểu thức (6.34) có vế trái là trị số của thế năng biến đổi hình dáng sai kém một hằng số tỷ lệ vì vậy điều kiện này còn được gọi là điều kiện bền theo thế năng biến đổi hình dáng, tức là khi thế năng biến đổi hình dáng đạt tới một giá trị nào đó thì vật liệu bắt đầu bị biến dạng dẻo.

4.3 Biểu diễn hình học của điều kiện dẻo

kiện dẻo. Gọi

Người ta dùng một mặt phẳng trong hệ trục tọa độ Oς1ς2ς3 để biểu diễn điều là một véctơ có các thành phần tọa độ (ς1 ,ς2 ,ς3) biểu diễn cho thành trạng thái ứng suất của một điểu nào đó trong vật thể. Ta có thể phân tích

hai thành phần tượng trưng cho trạng thái ứng suất cầu với

và thành phần tượng trưng cho trạng thái ứng suất

lệch với:

(6.35)

NguyÔn Danh Tr êng - 74 -

Chương6: Uốn-Kéo(nén)

Ta thấy sẽ nghiêng đều so với các trục tọa độ với véctơ chỉ

phương đơn vị là . Còn có: hay ta nói

. điểm D nằm trên mặt phẳng π có phương trình:

đó chính là Mặt phẳng π có véctơ pháp tuyến đi qua gốc tọa độ là:

phương của (hình 6.15).

*) Biểu diễn điều kiện dẻo của Culong:

Như vậy trên mỗi trục tọa độ sẽ có hai điểm giới hạn tương ứng,Ví dụ trục ς1 có hai điểm ứng với khi kéo là ςch và khi nén là –ςch, chiếu hai điểm giới hạn này lên mặt phẳng π ta có hai điểm D1 và D2 hai điểm này chính là hình chiếu của hai điểm thuộc mặt phẳng Culong lên mặt phẳng π. Tương tự trên các trục ς2 và ς3 sẽ có các điểm D3,D4 v{ điểm D5, D6. Độ dài các điểm tới gốc O là bằng nhau và bằng:

Như vậy ta có sáu điểm D1,D2, D3,D4, D5,D6 là hình chiều của mặt Culong lên

mặt phẳng π (Hình 15).

ς3 P ς3

π H D5

D2 D D4

ς2

D1 ς2 ς1 D3 ς1

Hình 6.15

Như vậy ta kết luận mặt Culong là một mặt trụ đa giác đều 6 cạnh nội tiếp trong

mặt trụ bán kính . Những điểm ứng suất trên mặt Culong sẽ bắt đầu có biến

dạng dẻo, mặt đó gọi là mặt giới hạn, trạng thía ứng suất trên mặt giới hạn gọi là trạng thái giới hạn.

NguyÔn Danh Tr êng - 75 -

Chương6: Uốn-Kéo(nén)

*) Biểu diễn điều kiện dẻo của Vông Midet:

Phương trình biểu diễn điều kiện dẻo của Vông Midet biểu diễn một mặt hình trụ

nhận làm trục. Mặt trụ đó cắt mặt π là một đường tròn với bán kính

đúng bằng . Vậy mặt biểu diễn điều kiện dẻo của Vông Midet chính là mặt

hình trụ ngoại tiếp mặt lăng trụ của điều kiện Culong.

Từ đây ta thấy hai thuyết về điều kiện dẻo của Culong và của Vông Midet là gần

như nhau.

4.4 Đường nội tại – Thuyết bền của Mohr

Hai giả thuyết của Culong và Vông Midet nêu trên đều bỏ qua ảnh hưởng của ứng suất cầu tới giới hạn dẻo của vật liệu. Vào năm 1880 Mohr đã chi ra rằng khi một vật thể chịu kéo theo các phương như nhau, lực không thể tăng lên vô hạn được. Dùng vòng tròn Mohr để biểu diễn các trạng thái ứng suất, ta thí nghiệm nhiều lần với nhiều trạng thái ứng suất xảy ra với vật liệu, sẽ có hai trạng thái ứng suất tương ứng là trạng thái chịu kéo giới hạn và nén giới hạn khi vật liệu bắt đầu xảy ra biến dạng dẻo.

Hình 6.16

Đường bao của các vòng tròn giới hạn bởi hai vòng tròn trên được gọi là đường nội tại. Một cách gần đúng ta lấy hai tiếp tuyến ngoài chung của hai vòng tròn giới hạn kéo và nén làm đường nội tại.

Giả sử một trạng thái ứng suất nào đó với ứng suất chính ς1 và ς3 tiếp xúc với đường nội tại tại C, ta sẽ đi tìm điều kiện của ς1 và ς3 với các giới hạn chảy khi kéo và nén.Trên hình 6.17 ta có:

(6.36)

NguyÔn Danh Tr êng - 76 -

Chương6: Uốn-Kéo(nén)

Với: (6.37)

Thay (6.37) vào (6.36) ta có:

(6.38)

Áp dụng tính chất phân số suy ra:

Chia cả hai vế cho và ký hiệu

Ta có: (6.39)

Để đảm bảo điều kiện an toàn ta chia cho một hệ số an toàn n>1:

(6.40)

Biểu thức (6.40) là biểu thức của thuyết bền Mo.

B C B’ C’

Hình 6.17

NguyÔn Danh Tr êng - 77 -

Chương7: Uốn ngang phẳng

Chương 7: UỐN NGANG PHẲNG

§1. Ứng suất của dầm chịu uốn ngang phẳng

1.1 Định nghĩa

Khi một dầm chịu lực mà các tải trọng tác động đều vuông góc với trục của dầm thì nội lực xuất hiện trong dầm tồn tại cả lực cắt và mômen uốn. Khi đó ta gọi đó là dầm chịu uốn ngang phẳng.

Trong thí nghiệm ta thấy sau khi bị biến dạng, dầm chịu uốn ngang phẳng có mặt cắt ngang bị xô lệch, cong vênh. Điều này chứng tỏ trên mặt cắt ngang của dầm tồn tại ứng suất tiếp.

1.2 Công thức của ứng suất tiếp

Xét một dầm chịu uốn như hình 7.1. Tính toán nội lực trong dầm ta thấy tại mọi

mặt cắt ngang của dầm đều có thành phần nội lực, lực cắt Qy và mômen uốn Mx .

Giả sử mặt cắt ngang của dầm như hình 7.2. Xét một điểm A trên mặt cắt ngang của dầm. Tại điểm A có cả ứng suất pháp do mômen uốn gây nên và ứng suất tiếp do lực cắt gây nên. Ứng suất tiếp được phân tích thành hai thành phần theo các phương của trục tọa độ là τzx, τzy.

P l x

A P τzx

τzy

Mx Mx+ dMx Hình 7.2 Hình 7.1

Sau đây ta tiến hành tìm trị số của các

ứng suất tiếp.

ςz2 d c x

a b

Tưởng tưởng cắt thanh bởi hai mặt cắt (1-1) và (2-2) cách nhau một khoảng dz rất nhỏ. Nội lực tại mặt cắt (1-1) là Mx. Tại mặt cắt (2-2) là Mx+dMx. z f h τyz e τzy ςz1

Hình 7.3 Ta có được phân tố như hình 7.3. Gọi mặt cắt đi qua A và song song với mặt Oxz, cắt mặt cắt (1-1) theo đoạn ab, cắt mặt cắt (2-2) là cd.

Bµi gi¶ng Søc bÒn vËt liÖu NguyÔn Danh Tr êng - 78 -

Chương7: Uốn ngang phẳng

Hai mặt phẳng abef và gdgh nằm trên hai mặt cắt (1-1) và (2-2) có cùng diện tích được ký hiệu là: Fcắt và ứng suất pháp trên hai mặt cắt đó một cách gần đúng bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt ta có:

; (7.1)

Mặt khác theo định luật đối ứng của ứng suất tiếp, trên mặt cắt abcd xuất hiện ứng suất tiếp τyz=τzy và coi τyz phân bố đều trên mặt abcd khi đó ta có trị số lực tác dụng trên bề mặt abcd là: (7.2) τyz.dz.bcắt

Trong đó bcắt là chiều dài của đoạn ab, nó chính là bề rộng của mặt cắt tại điểm

tính ứng suất tiếp.

Xét điều kiện cân bằng của khối abcdefgh ta có: (7.3)

Thay (7.1), (7.2) vào (7.3) ta có:

(7.4)

; Chia hai vế (7.4) cho dz và chú ý: là mômen tĩnh của diện tích

Fcắt đối với trục x.

Ta có:

Hay:

(7.5)

Công thức (7.5) được gọi là công thức Du-ráp-xki.

Ứng suất tiếp τzx có thể tìm được tương tự như τzy, và trong một số trường hợp ứng suất τzx là rất nhỏ và có thể bỏ qua.

Bµi gi¶ng Søc bÒn vËt liÖu NguyÔn Danh Tr êng - 79 -

Chương7: Uốn ngang phẳng

§2. Áp dụng với một số mặt cắt thường gặp

a. Mặt cắt hình chữ nhật hẹp b

Hình chữ nhật hẹp là hình chữ nhật có chiều cao

lớn hơn bề rộng nhiều lần (hình 7.4). τmax x h y

n τzy

Xét sự phân bố ứng suất trên đoạn thẳng mn song song và cách trục ox khoảng tung độ y. Do mặt bên không chịu lực nên ứng suất tiếp τxz=0, theo định luật đối ứng của ứng suất tiếp suy ra trên mặt cắt ngang τzx=0. y

Hình 7.4

Vậy các điểm trên đoạn mn có ứng suất tiếp τzy phân bố đều trên toàn đoạn với trị số được tính theo công thức Durápxki trong đó:

; ;

(7.6) Suy ra:

Công thức (7.6) cho ta xác định ứng suất tiếp tại một điểm có tung độ y trên mặt

cắt hình chữ nhật hẹp.

Từ (7.6) ta thấy ứng suất tiếp đạt giá trị max khi y=0 tức trên đường trung hòa:

(7.7)

b. Mặt cắt hình tròn

Ta xét phương của ứng suất tiếp tại các điểm trên một đường mn song song với trục Ox. Tại các điểm m,n phương của ứng suất tiếp phải là phương của các đường tiếp tuyến tại đó(hình 7a). Thực vậy, giả sử phương của ứng suất tiếp tại đó là bất kỳ, ta có thể phân thành hai thành phần: một thành phần theo phương tiếp tuyến và một thành phần vuông góc với phương tiếp tuyến. Theo định luật đồi ứng, ứng suất tiếp ở mặt ngoài bằng không(hình 7b) nên thành phần vuông góc với tiếp tuyến bằng không. Vậy ứng suất tiếp toàn phần có phương theo phương tiếp tuyến.

Phương của hai tiếp tuyến tại hai điểm m,n cắt nhau tại K và ta thừa nhận tất cả các ứng suất tiếp trên đường thẳng mn đều có phương đi qua điểm K. τzy phân bố đều trên đoạn thẳng mn và có trị số tính theo công thức Durapxki.

Trong đó mômen tĩnh của diện tích Fcắt được tính theo công thức:

Bµi gi¶ng Søc bÒn vËt liÖu NguyÔn Danh Tr êng - 80 -

Chương7: Uốn ngang phẳng

(cách tính được trình bày rõ trong chương đặc trưng hình học mặt cắt ngang).

τmax

x α τ=0 τ=0 m n

(a) (b) (c)

Hình 7.7 K

Chiều dài bcắt=2rcosα

Thay ta có:

(11)

Công thức (11) xác định trị số ứng suât tiếp của mặt cắt ngang hình tròn.

Trên trục trung hòa y=0 và ứng suất tiếp đạt giá trị max

(12)

c. Mặt cắt hình chữ I

Xét một dầm có mặt cắt ngang hình chữ I hình 7.5. Các thanh thép mặt cắt ngang hình chữ I thường đươc sản xuất theo tiêu chuẩn về kích thước, hình dáng, do đó các đặc trung hình học mặt cắt ngang đã được tính toán sẵn và có thể tìm thấy ở phần phụ lục các cuốn sách về vật liệu, như mômen tĩnh Sx , mômen quán tính Jx,Jy…

Và để đơn giản ta coi hai chân đế và phần thân của mặt cắt chữ I là các hình

chữ nhật hẹp(hình 7.6).

Bµi gi¶ng Søc bÒn vËt liÖu NguyÔn Danh Tr êng - 81 -

Chương7: Uốn ngang phẳng

τzy

y x x h

d τmax

τzx t

y τzx Hình 7.6 Hình 7.5

Cũng lập luận như đối với mặt cắt ngang hình chữ nhật hẹp. Trên mặt cắt ngang

hình I chỉ có ứng suất tiếp τzy ở phần lòng và τzx ở phần chân đế.

Tính τzy ở phần lòng.

Tại những điểm có tung độ là y thì mômen tĩnh:

Trong đó Sx là mômen tĩnh của nửa mặt cắt đối với trục x.

Chiều dài bcắt = d

Theo công thức Durápxki:

(7.8)

Tại trục trung hòa y=0, ứng suất đạt giá trị max: (7.9)

Tại điểm sát với chân đế y=0,5h-t có ứng suất tiếp:

(7.10)

Biểu thức (7.8) chỉ phụ thuộc bậc 2 vào biến tung độ y. biểu đồ ứng suất tiếp của phần lòng chữ I được biểu diễn trên hình 7.6.

Tính τzx ở phần chân đế.

Tại những điểm có hoành độ là x thì :

Chiều dài bcắt = t vậy:

(7.11)

Bµi gi¶ng Søc bÒn vËt liÖu NguyÔn Danh Tr êng - 82 -

Chương7: Uốn ngang phẳng

§3. Điều kiện bền của dầm chịu uốn ngang phẳng

Ta thấy đối với dầm bị uốn ngang phẳng, trên mỗi mặt cắt ngang của dầm đều có các trạng thái ứng suất khác nhau, do đó khi kiểm nghiệm bền ta kiểm tra tại một 3 điểm có ứng suất như sau:

a) Điểm có trạng thái ứng suất đơn đối với ςmax điều kiện bền sẽ là:

(7.12)

Nếu là vật liệu giòn và mặt cắt không đối xứng ta cần kiểm tra cả miền chịu nén

và miền chịu kéo:

(7.13)

b) Điểm có trạng thái ứng suất trượt thuần túy τzy= τmax

Nếu theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất: (7.14)

Nếu theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng: (7.15)

c) Điểm có cả ứng suất tiếp và ứng suất pháp

Tại đây trạng thái ứng suất tiếp là trạng thái ứng suất phẳng. Điều kiện bền được

tính theo công thức sau:

Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất: (7.16)

Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng: (7.17)

Ví dụ 7.1:

Kiểm tra bền của dầm có mặt cắt ngang hình chữ I No36 chịu lực như hình 7.8. Chiều dài dầm l=2m, cường độ tải trọng phân bố đều q=10kN/m, lực tập trung

P=200kN, khoảng cách a=0,2m. Cho biết =15kN/cm2.

Giải:

Tính phản lực liên kết, vẽ được biểu đồ lực cắt Qy, và mômen Mx như hình 7.8. Qua biểu đồ ta thấy các điểm nguy hiểm cần kiểm tra bền là:

1. Điểm trạng thái ứng suất đơn

Tại đó có mômen uốn lớn nhất, lực cắt tại đây bằng không, do đó có thể coi đây

là điểm có trạng thái ứng suất đơn với:

kN/cm2

Điểm này thỏa mãn điều kiện bền.

Bµi gi¶ng Søc bÒn vËt liÖu NguyÔn Danh Tr êng - 83 -

Chương7: Uốn ngang phẳng

2. Điểm trạng thái ứng suất trượt

Hai đầu dầm có lực cắt lớn nhất, Qmax=210kN, mômen uốn bằng không vậy hai

điểm đầu dầm có thể coi có trạng thái ứng suất trượt thuần túy:

Kiểm tra bền theo thuyết bền thế P P q năng biến đổi hình dáng tìm được:

A B D C

a a l

xấp xỉ 2%. Ta thấy τmax lớn hơn 21.104N Điều này là chấp nhận được.

20,8.104N 21.104 N 3. Hai điểm C,D có trị số mômen và

lực cắt lớn đáng kể

Qy Qy=2080kN, Mx=42kNm

4,2.104Nm 4,2.104Nm Trên mặt cắt, điểm K tiếp giáp giữa lòng và chân đế là nguy hiểm nhất, với:

Mmax=4,5.104Nm

Hình 7.8 Trong đó:

Kiểm tra bền theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng ta có:

Kết luận: Vậy tại các điểm nguy hiểm nhất, dầm vẫn đảm bảo ứng suất cho phép. Do

đó dầm thỏa mãn bền trên toàn chiều dài.

§4. Dầm chống uốn đều và dầm có mặt cắt hợp lý

Ta thấy đối với dầm có mặt cắt ngang không đổi, trong tính toán đảm bảo điều kiện bền ta chọn tiết diện mặt cắt theo mặt cắt nguy hiểm nhất. Cách sử dụng vật liệu như vậy chưa hợp lý vì một số mặt cắt ngang có ứng suất tại đó nhỏ hơn rất nhiều so với ứng suất cho phép. Để tiết kiệm được vật liệu, nhằm mục đích kinh tế ta tìm hình

Bµi gi¶ng Søc bÒn vËt liÖu NguyÔn Danh Tr êng - 84 -

Chương7: Uốn ngang phẳng

dáng hợp lý cho dầm sao cho trên mọi mặt cắt ngang của dầm thì ứng suất luôn gần với ứng suất cho phép. Dầm có hình dáng như vậy được gọi là dầm chống uốn đều.

Ví dụ 7.2: z P Dầm chịu lực như hình bên:

0,5l 0,5l Ta có:

Giả sử dùng thanh có mặt cắt ngang

hình tròn thì: Pl/2

Muốn cho mọi mặt cắt ngang đều có ứng suất đạt gần tới giá trị cho phép thì:

Hình 7.9

Như vậy ta có được hình dáng của dầm nét đứt như hình 7.9.

Nhưng tại hai đầu dầm đường kính dầm bằng không vì tại đây không chịu mômen

uốn, nhưng tại đây vẫn tồn tại lực cắt nên cần phải lấy đường kính nhỏ nhất

vẫn thỏa mãn ứng suất tiếp lớn nhất là:

P P

2P P P

Và trong thực tế người ta thường lấy hai đầu dầm có đường kính là d=d1 sau đó tăng dần lên vào bên trong theo từng đoạn chiều dài, trục như vậy được gọi là trục bậc(nét liền đậm hình 7.9).

2P Hình 7.10

Các lò xo chịu lực như hình 7.10, cũng có hình dạng chống uốn đều, được xếp bởi các thép lá thành hình bậc thang, với khối lượng nhẹ, chịu được chuyển vị lớn nên thường được dùng làm nhíp giảm sóc cho xe ô tô.

Qua công thức tính và biều đồ ứng suất pháp, ứng suất tiếp của một mặt cắt ngang ta thấy phần vật liệu ở xa trục trung hòa chủ yếu chịu uốn, phần gần trục trung hòa chủ yếu chịu lực cắt. Như vậy để tăng khả năng chịu uốn ta tìm cách tăng

Bµi gi¶ng Søc bÒn vËt liÖu NguyÔn Danh Tr êng - 85 -

Chương7: Uốn ngang phẳng

mômen chống uốn Wx ở các điểm xa đường trung hòa. Tức ta đưa vật liệu gia tăng cường phần xa đường trung hòa. Đặc biệt với vật liệu giòn, do khả năng chịu kéo kém hơn nhiều so với khả năng chịu nén nên ta cần đưa vật liệu về phía phần chịu kéo nhiều hơn phần chịu nén(tức lúc đó trọng tâm của mặt cắt sẽ nằm gần về phía chịu kéo nhiều hơn).

Còn đối với vật liệu dẻo ta coi nên ta sẽ tăng cường vật liệu đều về

hai phía đường trung hòa(trọng tâm sẽ nằm giữa mặt cắt).

Vì vậy, đối với vật liệu dẻo mặt cắt ngang hợp lý khi chịu uốn thường có hình chữ I hay hình ghép bởi hình [ như hình 11.

Hình 7.11 Để đánh giá mức độ tiết kiệm vật liệu người ta

. Tỷ

dùng tỷ số Wx/ số này càng lớn thì thể hiện mặt cắt ngang càng tiết kiệm vật liệu.

Sau đây là tỷ số đó đối với một số mặt cắt hay gặp:

=0,14 Với mặt cắt hình tròn: Wx/

=0,167 Với mặt cắt hình chữ nhật: Wx/

=0,73÷0,81 Với mặt cắt hình vành khăn: Wx/

=0,57÷1,35 Với mặt cắt hình chữ [ : Wx/

=1,02÷1,51. Với mặt cắt hình chữ I: Wx/

Bµi gi¶ng Søc bÒn vËt liÖu NguyÔn Danh Tr êng - 86 -

Chương8: Đường đàn hồi

Chương 8: ĐƯỜNG ĐÀN HỒI

§1. Định nghĩa và nhận xét

Một dầm bị uốn cong do chịu lực, đường trục của dầm khi biến dạng được gọi

là đường đàn hồi(hình 8.1).

y Hình 8.1

Gọi K là một điểm nào đó trên trục dầm, sau biến dạng điểm K chuyển dịch tới K’. Chuyển vị KK’ chiếu lên theo phương x là u, phương y là v, phương z là w, do ta xét trong bài toán phẳng nên u được xem bằng không, do chuyển vị w của dầm rất bé so với v nên ta có thể bỏ qua w và coi chuyển vị của điểm K lúc này chỉ truyển vị thẳng đứng theo phương y. Chuyển vị v được gọi là độ võng tại điểm K của dầm, mỗi điểm khác nhau trên dầm có độ võng khác nhau, do đó dễ thấy v là hàm theo tọa độ z.

Khi đó: y=v(z) (8.1)

được gọi là phương trình của đường đàn hồi.

Dầm có thể là một chi tiết máy, một dầm chịu lực cho công trình xây dựng… và khi dầm có độ võng quá lớn thì có thể phá hỏng kết cấu ban đầu do đó trong kỹ thuật người ta thường tính toán sao cho độ võng dầm nằm trong khoảng cho phép. Giới hạn đó được gọi là điều kiện cứng của dầm. Việc tìm được phương trình của đường đàn hồi cho phép ta tìm được vị trí dầm có độ võng lớn nhất và nó phải thỏa mãn điều kiện cứng của dầm.

Vẽ một tiếp tuyến tại K’, gọi φ là góc tạo bởi tiếp tuyến tại K’ và đường nằm

ngang và được gọi là chuyển vị góc, do chuyển vị là nhỏ nên ta có:

(8.2)

φ cũng chính là góc tạo bởi mặt cắt ngang qua K trước và sau biến dạng, do đó φ còn được gọi là góc xoay.

Vậy đạo hàm cấp một của đường đàn hồi là góc xoay của mặt cắt

§2. Phương trình vi phân của đường đàn hồi

Như bài trước ta có:

Bµi gi¶ng Søc bÒn vËt liÖu NguyÔn Danh Tr êng - 87 -

Chương8: Đường đàn hồi

(8.3)

trong đó ρ là độ cong của dầm chịu uốn.

Độ cong ρ cũng có thể được tính theo công thức sau:

(8.4)

Từ (8.3) và (8.4) rút ra:

(8.5)

Bỏ qua vô cùng bé bậc cao y’2 ta có:

(8.6)

Xét dấu để bỏ dấu giá trị tuyệt đối(hình 8.2).

Mx <0 y’’ >0

Mx >0 y’’ <0

z O

Hình 8.2

Ta nhận thấy dấu của Mx và y’’ luôn ngược nhau nên bỏ dấu trị tuyệt đối ta có:

(8.6)

Phương trình (8.6) là phương trình vi phân của dầm chịu uốn.

§3. Các phương pháp xác định đường đàn hồi

3.1 Phương pháp tích phân không định hạn

Phương pháp tích phân không định hạn tìm phương trình đường đàn hồi bằng

việc tích phân phương trình (6).

Ta có:

(8.7)

Tích phân tiếp ta có: (8.8)

Bµi gi¶ng Søc bÒn vËt liÖu NguyÔn Danh Tr êng - 88 -

Chương8: Đường đàn hồi

Trong đó: C, D là các hằng số tích phân, chúng được xác định từ các điều kiện đầu.

P Ví dụ 8.1: Tìm phương trình độ võng, góc xoay của dầm chịu lực như hình 8.3. EJx=const z Giải:

l B A Hình 8.3 Biểu thức mômen tại điểm cách ngàm đoạn z là:

Mx = -P(l-z)

Ta có phương trình vi phân của đường đàn hồi là:

(8.7)

Tích phân hai vế của biểu thức (7) ta thu được phương trình góc xoay:

(8.8)

Tích phân tiếp ta thu được phương trình độ võng:

(8.9)

C,D là các hằng số được xác định từ điều kiện biên:

Tại ngàm: z=0 

Từ biểu thức độ võng góc xoay (8.8) và (8.9) suy ra:C=D=0

Vậy phương trình độ võng góc xoay của dầm là:

;

Nhận xét: để dùng phương pháp tích phân không định hạn, trước hết ta cần tìm được biểu thức mômen trên dầm, vậy khi dầm có nhiều đoạn với mỗi đoạn có biểu thức mômen khác nhau ta cần tìm tất cả các biểu thức mômen của các đoạn đó, sau hai lần tích phân ta lại cần tìm hai hằng số tích phân. Như vậy với các bài toán phức tạp thì dùng phương pháp tích phân không định hạn là khá phức tạp.

3.2 Phương pháp thông số ban đầu

Phương pháp này giải quyết được một số nhược điểm cho phương pháp tích

phân không định hạn. Với dầm có nhiều đoạn, mỗi đoạn có độ cứng EJ khác nhau.

Cách chia đoạn: chia đoạn sao cho trên mỗi đoạn có EJ là hằng số, chung một quy luật chịu lực. Cụ thể ta chia dầm theo độ cứng EJ, theo liên kết, sau đó chia dầm tiếp theo ngoại lực tác dụng.

Bµi gi¶ng Søc bÒn vËt liÖu NguyÔn Danh Tr êng - 89 -

Chương8: Đường đàn hồi

Ví dụ hình 8.4 ta chia dầm thành 3 đoạn. Hình 8.5 ta chia làm 4 đoạn.

D C

Hình 8.4 Hình 8.5

Xét đoạn m có phương trình độ võng ym(z), đoạn m+1 có độ võng ym+1(z).

Một cách tổng quát ta có thể viết:

(8.10) ym+1(z)= ym(z)+∆y(z)

Khai triển Talor tại hoành độ z=a, ta có:

(8.11)

là bước nhảy của độ võng tại hoành độ z

là bước nhảy của góc xoay tại hoành độ z

Các hằng số khác được tính như sau:

Tại z=a:

Từ đây suy ra:

…

Thay các hệ số trên vào (8.11) và (8.10) ta có:

(8.12)

Với đoạn 1 ta có:

Bµi gi¶ng Søc bÒn vËt liÖu NguyÔn Danh Tr êng - 90 -

Chương8: Đường đàn hồi

(8.13)

Các đoạn tiếp theo được tính theo biểu thức (8.11).

Trong biểu thức (8.13) các trị số được gọi là các thông số ban đầu.

3.3 Phương pháp dầm giả tạo Phương pháp này dựa trên mối liên hệ vi phân giữa ngoại lực phân bố và nội lực. Một dầm chịu lực phân bố q(z), tích phân một lần ta tìm được Q(z) và tích phân tiếp ta tìm được M(z), việc này cho ta liên tưởng tới việc tìm độ võng góc xoay, khi biết M(z) ta tích phân lên để có góc xoay φ(z), độ võng y(z). Để trách việc tích phân, từ đây ta đưa ra ý tưởng coi M(z) là lực ngoại lực phân bố trên dầm và được gọi là mômen giả tạo Mgt , thông qua các phương pháp trong sức bền ta sẽ đi tìm được biểu đồ mômen ứng với Mgt và đó chính là độ võng thực tế.

Ta có:

(8.14) y=Mgt và φ=y’=Qgt

Trên đây ta đã có tải trọng giả tạo, vậy tải trọng này đặt lên dầm có liên kết

như thế nào? Liệu có giống liên kết dầm thực?

Câu trả lời là không. Ta phải đi xây dựng các liên kết cho dầm giả tạo phù hợp

với điều kiện biên.

B A B A

Hình 8.6a

B B A A

Dầm thực Dầm giả tạo Hình 8.6b

Ví dụ với dầm côngxôn như hình 8.6a.

Bµi gi¶ng Søc bÒn vËt liÖu NguyÔn Danh Tr êng - 91 -

Chương8: Đường đàn hồi

Tại đầu A là liên kết ngàm độ võng và góc xoay bằng không, tức khi chuyển sang dầm giả tạo đầu A cũng phải có Mgt và Qgt bằng không, vậy ở dầm giả tạo thì đầu A là đầu tự do không có lực tập trung.

Tại đầu B là đầu tự do độ võng và góc xoay khác không, vậy khi chuyển sang dầm giả tạo đầu B phải có Mgt và Qgt khác không, vậy ở dầm giả tạo thì đầu B là liên kết ngàm(nội lực có cả lực cắt và mômen).

Chú ý: bài toán mà cả hai đầu dầm là ngàm thì dầm giả tạo sẽ là một dầm không có liên kết(hình 8.6b), nhìn lúc đầu thì có vẻ như có điều gì không hợp lý ở đây, nhưng phải khẳng định là điều đó hoàn toàn phù hợp, vì khi đó Mgt tự cân bằng, do đó dầm vẫn đảm bảo tĩnh định.

y=0 y’≠0

Mgt=0 Qgt≠0

y=0 y’=0

Mgt≠0 Qgt≠0

y≠0 y’≠0

Mgt=0 Qgt=0

Mgt≠0 Qgt≠0

y≠0 y’≠0

y=0 y’≠0

Mgt=0 Qgt≠0

Mgt≠0 Qgt≠0

y=0 y’≠0

y≠0 y’≠0

y=0 y’≠0

y≠0 y’≠0

Mgt=0 Qgt≠0

zG=l/4 ; S=hl/3

zG=3l/8 ; S=2hl/3

Sau đây là một số dầm giả tạo đơn giản thường gặp:

Bµi gi¶ng Søc bÒn vËt liÖu NguyÔn Danh Tr êng - 92 -

Chương9: Xoắn thuần túy

Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY

§1. Khái niệm chung

- Một thanh chịu lực, sao cho trên mọi mặt cắt ngang của thanh chỉ có một thành phần nội lực là mômen xoắn Mz thì khi đó ta nói thanh đó chịu xoắn thuần túy.

- Dấu của mômen xoắn Mz được quy ước là dương(Mz>0) nếu khi nhìn vào mặt cắt Mz có chiều quy theo chiều kim đồng hồ và chiều ngược lại là Mz mang dấu âm(Mz<0).

- Ngoại lực gây cho thanh chịu xoắn thuần túy có thể là ngẫu lực tập trung hay phân bố nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục của thanh.

Ví dụ: Những thanh chịu xoắn trong thực tế như: Tuốcnơvít khi

vặn ốc, trục các động cơ, các trục truyền chuyển động quay .v.v.

Mz>0 Mz<0

Hình 9.2 Hình 9.1: Quy ước dấu Mz

§2. Xoắn thuần túy thanh tiết diện tròn

2.1 Thí nghiệm

Hình 9.3: Thí nghiệm xoắn thuần túy thanh tiết diện tròn Xét một mẫu thanh tròn trước khi cho chịu xoắn thuần túy ta vẽ lên bề mặt của thanh các đường tròn chu tuyến nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục của thanh tượng trưng cho các mặt cắt ngang và các đường thẳng song song với trục của thanh tượng trưng cho các thớ dọc, chúng tạo thành các mạng lưới ô vuông trên bề mặt cong của thanh.

Sau khi cho thanh chịu xoắn thuần túy, quan sát trên bề mặt của thanh ta thấy: - Các đường thẳng song song với trục của thanh trở thành đường xoắn ốc. - Các đường tròn vẫn nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục thanh, bán kính

không thay đổi, khoảng các giữa chúng cũng không thay đổi.

- Mạng lưới ô vuông trở thành mạng lưới hình thoi trên bề mặt cong của thanh.

 Đó chính là biến dạng góc.

Bµi gi¶ng Søc bÒn vËt liÖu NguyÔn Danh Tr êng - 93 -

Chương9: Xoắn thuần túy

2.2 Giả thuyết về biến dạng

Từ những quan sát từ thí nghiệm ta đưa ra các giả thuyết như sau:

1) Giả thuyết về mặt cắt ngang phẳng: Trong quá trìng biến dạng mặt cắt ngang của thanh luôn phẳng và vuông góc với trục của thanh và khoảng cách giữa chúng không thay đổi.

2) Giả thuyết về bán kính: Trước và sau biến dạng bán kính tại mọi mặt cắt của

thanh không đổi.

2.3 Ứng suất thanh chịu xoắn

- Ta gắn vào thanh tròn một hệ trục Ozrt với Oz song song với trục của thanh, Or theo phương bán kính và Ot chỉ phương tiếp tuyến của mặt cắt ngang hình tròn.

- Từ các giả thiết trên ta xét một phân tố dz chịu xoắn thuần túy giới hạn bởi hai mặt cắt ngang cách nhau dz, gọi dφ là góc xoắn tương đối giữa hai mặt

cắt ngang của phân tố đang xét. Khi đó tỷ số là hằng số trên chiều dài

z và được gọi là góc xoắn tỉ đối.

C’’

C’

dφ

dφ ρ

B’

γzt

B’ t Mz Mz z B

Hình 9.4:Biến dạng và TTƯS phân tố chịu xoắn

- Theo giả thuyết (2) độ dài trục không thay đổi nên

- Theo giả thuyết (1) các mặt cắt ngang phẳng, không biến dạng nên:

- Theo giả thuyết (3) bán kính tại mọi mặt cắt không thay đổi nên:

Theo định luật Húc về biến dạng dài suy ra:

- Ứng suất tiếp: để thấy rõ hơn ta xét phân tố như Hình 9.5

Bµi gi¶ng Søc bÒn vËt liÖu NguyÔn Danh Tr êng - 94 -

Chương9: Xoắn thuần túy

Mz z t

Hình 9.5:Biến dạng và TTƯS phân tố chịu xoắn

- Theo giả thuyết (1) thì các mặt cắt ngang không biến dạng, không chèn ép theo

lên nhau và luôn vuông góc với trục của thanh nên ứng suất tiếp định luật đối ứng của ứng suất tiếp nên :

- Theo giả thuyết (4) các thớ dọc không chèn ép lên nhau trong quá trình biến dạng (luôn song song va có khoảng cách không đổi với nhau)nên ta có:

- Chỉ tồn tại ứng suất tiếp

Theo định luật Húc biến dạng trượt ta có ứng suất tiếp sẽ là:

(9-1)

Do biến dạng góc là nhỏ nên ta tính được biến dạng góc đó được tính như

sau: (xem Hình 9.4)

(9-2)

(9-3)

Kết luận: Phân tố chỉ có ứng suất tiếp nên trạng thái ứng suất phân tố chịu

xoắn thuần túy là TTƯS - trượt thuần túy.

- Ứng suất tiếp nằm trong mặt cắt ngang vuông góc với trục thanh:

cách tâm mặt cắt một bán kính

+) Có phương theo trục t vuông góc với bán kính +) Có chiều cùng chiều với mômen Mz. được gọi là ứng suất tiếp nên ứng suất tiếp

+) Độ lớn được tính như sau:

*) Xét cân bằng cho phân tố dz ta có:

(9-4)

Bµi gi¶ng Søc bÒn vËt liÖu NguyÔn Danh Tr êng - 95 -

Chương9: Xoắn thuần túy

Xét trên cùng một mặt cắt thanh sẽ có môđun trượt G và góc xoắn tỷ đối là

hằng số đối với mỗi mặt cắt nên có thể đưa ra ngoài dấu tích phân ta có:

(9-5)

Trong đó: được gọi là mômen quán tính độc cực của mặt cắt ngang đối

với tâm của tiết diện. Từ đây ta rút ra được:

(9-6)

Thay (9-6) vào (9-2) ta có:

(9-7)

ρ là khoảng cách từ điểm đang xét tới tâm tiết diện, G là mô đun trượt. JP là mômen quán tính độc cực của mặt cắt ngang đang xét.

là công thức xác định ứng suất tiếp tại điểm bất kỳ có bán kính ρ nằm trên mặt cắt ngang của thanh tròn chịu xoắn thuần túy. Trong đó: Mz là mômen gây xoắn thuần túy. *) Biểu đồ ứng suất tiếp - ứng suất tiếp lớn nhất

tỷ lệ thuận với và có phương vuông góc với bán kính (Hình 9.6)

Hình 9.6: Biếu đồ ứng suất tiếp

Ta thấy τρ càng lớn khi càng xa tâm của tiết diện và đạt giá trị lớn nhất ở các

điểm thuộc chu vi vủa mặt cắt :

trong đó được gọi là mômen chống xoắn của mặt cắt.

Bµi gi¶ng Søc bÒn vËt liÖu NguyÔn Danh Tr êng - 96 -

Chương9: Xoắn thuần túy

Với tiết diện tròn ta có: (9-8)

Trong đó: D là đường kính ngoài, d là đường kính trong

là tỷ số giữa đường kính trong và đường kính ngoài

α=0 với tiết diện là đặc (d=0). 2.4 Biến dạng thanh chịu xoắn Từ biểu thức (9-6) ta có:

(9-9)

Công thức (9-9) cho ta xác định biến dạng xoắn của thanh có chiều dài . Khi

thanh có không đổi thì ta có:

(9-10)

φ có đơn vị là radian.

2.5 Điều kiện bền và điều kiện cứng thanh chịu xoắn

a. Điều kiện bền

Muốn thanh chịu xoắn đủ bền thì ứng suất tiếp lớn nhất trong thanh không được vượt qua ứng suất tiếp cho phép [τ]:

(9-11)

[τ] được xác định theo các phương pháp sau:

1) Từ thí nghiệm trực tiếp ta tìm ra được ứng suất tiếp nguy hiểm τ0 sau đó ta chia nó cho hệ số an toàn n >1:

(9-12)

2)Dựa vào thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất ta lấy:

(9-13)

3)Dựa vào thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng ta có

(9-14)

Ví dụ với thép

b. Điều kiện cứng

Bµi gi¶ng Søc bÒn vËt liÖu NguyÔn Danh Tr êng - 97 -

Chương9: Xoắn thuần túy

Muốn cho thanh chịu xoắn không bị phá hủy cũng cần thỏa mãn điều kiện cứng đó là điều kiện góc xoắn tỷ đối không được lớn hơn góc xoắn tỷ đối cho phép [θ]:

(9-15)

[θ] có đơn vị là radian/[chiều dài]. 2.6 Các dạng bài toán cơ bản

a. Bài toán kiểm tra điều kiện bền

Bài toán yêu cầu kiểm tra điều kiện bền của tiết diện ống với tải trọng đã cho.

(9-16)

b. Bài toán thiết kế

Bài toán yêu cầu phải chọn tiết diện ống sao cho chịu được tải trọng đặt ra.

Theo điều kiện bền ta có: (9-17)

Và điều kiện cứng ta có: (9-18)

Ta chọn

c. Bài toán chọn tải trọng cho phép

Bài toán yêu cầu tìm tải trọng cho phép của một tiết diện cho trước.

(9-19)

2.7 Các ví dụ

Ví dụ 9.1: Cho thanh chịu xoắn như hình vẽ:

M 3M

A C B

─

Hình 9.7 Hình cho ví dụ 1

1m 1m

Bµi gi¶ng Søc bÒn vËt liÖu NguyÔn Danh Tr êng - 98 -

Chương9: Xoắn thuần túy

a. Tìm kích thước mặt cắt ngang để thanh đảm bảo làm việc.

TH1: Thanh hình trụ đặc TH2: Thanh hình trụ rỗng mặt cắt ngang hình vành khăn với

b. Tính góc xoắn của mặt cắt tại B.

Biết:

Giải:

Thanh có tiết diện không thay đổi trên toàn chiều dài, mômen xoắn lớn nhất

trên đoạn AB với max(Mz)=2M=500 Nm.

a. Để thanh làm việc bình thường thanh cần đảm bảo đủ bền và đủ cứng:

Khi đó chọn với

và

TH1:Thanh hình trụ đặc ( ) suy ra:

và

Ta chọn D=5,2 cm. Tiết diện mặt cắt trong trường hợp này là: 21,24 cm2

TH2:Thanh hình trụ rỗng, tiết diện hình vành khăn với suy ra:

Và:

Ta chọn D=5,6 cm Tiết diện mặt cắt trong trường hợp này là: 12,56 cm2 Vậy trong trường hợp tiết diện hình vành khăn cho ta hiệu quả hơn là trụ đặc.

b. Tính góc xoắn tại mặt cắt B

TH1: Thanh trụ đặc:

Bµi gi¶ng Søc bÒn vËt liÖu NguyÔn Danh Tr êng - 99 -

Chương9: Xoắn thuần túy

TH2: Thanh trụ rỗng:

Ví dụ 9.2 : Một mũi khoan chịu mômen xoắn M=8.104 Nm. Sức cản của đất đối với thân mũi khoan tạo thành mômen xoắn phân bố theo quy luật bậc nhất với cường độ ở độ sâu h là: mc= h (với =0.03.104 N/m).

Mômen xoắn tác dụng ở lưỡi định hướng của đầu mũi khoan là M1=2.104 Nm là d=0,2m, thân mũi khoan

Cho biết AB=2.5m, BC=20m. Đường kính G=8.105N/cm2.

Xác định góc xoắn trên toàn bộ chiều dài AC của mũi khoan.

M=8.104 Nm

mc=

A M B

Hình 9.8:Hình cho ví dụ 2

2.104 Nm

Giải:

Trên đoạn AB ta có: MAB=M=8.104 Nm Trên đoạn BC ta có:

Góc xoắn trên toàn bộ chiều dài mũi khoan là:

Thay số:

Bµi gi¶ng Søc bÒn vËt liÖu NguyÔn Danh Tr êng - 100 -

Chương9: Xoắn thuần túy

§3. Xoắn thanh mặt cắt bất kỳ

3.1 Công thức ứng suất và biến dạng

Khác với mặt cắt ngang hình tròn, khi mặt cắt có hình dạng bất kỳ thì khi chịu xoắn các mặt cắt ngang không còn phẳng nữa mà có xô lệch. Đề đơn giản ta thừa nhận xô lệch của mọi mặt cắt ngang là như nhau, tức trên mọi mặt cắt ngang, chuyển vị theo phương z là w chỉ còn phụ thuộc vào (x,y).

Ta có: u=θzy ; v= θzx ; w=w(x,y)

Từ đó ta tính được ứng suất tại một điểm có tọa độ (x,y,z) là:

(9.20)

Đạo hàm phương trình đầu của (9.20) theo x, phương trình thứ hai của (9.20) theo y sau đó trừ cho nhau ta có:

(9.21a)

Từ hệ phương trình vi phân cân bằng ta có:

(9.21b)

và điều kiện biên ta có:

(9.21c)

Để thuận tiện ta chọn hàm U sao cho:

(9.22)

Với cách đặt như (9.22) thì (9.21b) luôn được thỏa mãn với mọi U. Thay (9.22) vào (9.21a) ta có:

(9.23)

(9.23) được gọi là phương trình Poatxong. Thay (9.22) vào (9.21c) ta có:

(9.24)

Vậy trên đường biên của mặt cắt U=const. và để thuận tiện ta chọn U=0. Xét đến tương quan giữa ứng suất và nội lực trên mặt cắt ngang

Bµi gi¶ng Søc bÒn vËt liÖu NguyÔn Danh Tr êng - 101 -

Chương9: Xoắn thuần túy

Ta có: (9.25)

Thế (9.22) vào (9.25) tính tích phân ra ta có: (9.26)

(9.27) U=Gθf(x,y)

Từ phương trình poatxong (9.23) ta có nhận thấy U có dạng: Lúc này phương trình poatxong trở thành:

(9.28)

Thay (7.27) vào (9.26) ta có:

(9.29)

Với:

(9.30)

đặc trưng hình học của mặt cắt ngang và được gọi là độ cứng khi xoắn của mặt cắt.

f(x,y) được gọi là hàm ứng suất. Từ (9.26) ta suy ra:

(9.31)

Suy ra:

(9.32)

Thế vào (9.22) ta tìm được:

(9.33)

Tóm lại để xác định được ứng suất tiếp trong trường hợp xoắn thanh mặt cắt bất ỳ ta làm theo các bước sau:

Bước1. Chọn hàm ứng suất f(x,y) thỏa mãn điều kiện là hằng số trên biên mặt

cắt và điều kiện (9.28).

Bước2. Tính độ cứng khi xoắn Jd theo công thức (9.30). Bước3. Xác định ứng suất tiếp qua công thức (9.33).

Bµi gi¶ng Søc bÒn vËt liÖu NguyÔn Danh Tr êng - 102 -

Chương9: Xoắn thuần túy

3.2 Một số trường hợp cụ thể

a) Xoắn thanh mặt cắt ngang là hình elip

y Chu vi hình elip xác định bởi

phương trình: b

a x Để thỏa mãn điều kiện biên ta chọn hàm ứng suất f(x,y) dưới dạng:

Hình 9.9

Để thỏa mãn phương trình poat-xông ta có hàm ứng suất là:

(9.35)

Từ đó tính được độ cứng khi xoắn là: (9.36)

Thay vào công thức tính được ứng suất tiếp là:

(9.37)

b) Xoắn thanh có mặt cắt hình chữ nhật

Ta chọn hàm số f(x,y) theo lời giải của Ti-mô-xen-cô như sau:

(9.38)

Hàm số trên hoàn toàn thỏa mãn trên các cạnh

Hàm phải chọn sao cho hàm ứng suất (9.34)

thỏa mãn phương trình poat-xông và điều kiện biên a .

Sau khi đã chọn được hàm ứng suất ta tìm được hàm ứng suất tiếp phân bố như hình 9.10. Ứng suất lớn nhất tại trung điểm của cạnh ngắn. Hình 9.10 Giả sử cạnh ngắn có chiều dài là a, cạnh dài là b.

(9.39)

Trong đó: Các hệ số α,β,γ phụ thuộc vào tỷ lệ chiều dài hai cạnh a,b và được cho theo bảng 9.1:

Bµi gi¶ng Søc bÒn vËt liÖu NguyÔn Danh Tr êng - 103 -

Chương9: Xoắn thuần túy

1,5

1,75

2,5

∞

α β γ

0,208 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333 0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333 0,859 O,820 0,795 0,766 0,753 0,745 0,743 0,742 0,742 0,742 1

Bảng 9.1

c) Xoắn thanh thành mỏng kín (hình 9.11)

Khi bị xoắn, trên mặt cắt ngang của thanh chỉ có ứng suất tiếp phân bố đều theo chiều dày của thành. Ứng suất tại một điểm A bất kỳ của thành được tính bởi:

A bA (9.40)

F’

Hình 9.11

bA là chiều dày của thành tại A. F* là diện tích giới hạn bởi đường tâm của thành(đường chu vi trung gian). Góc xoắn tỷ đối có công thức là:

(9.41)

Bµi gi¶ng Søc bÒn vËt liÖu NguyÔn Danh Tr êng - 104 -

Chương10: Thanh chịu lực phức tạp

Chương 10: BÀI TOÁN THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP

Các dạng chịu lực của thanh mà chúng ta nghiên cứu trước đây như kéo(nén) đúng tâm, xoắn thuần tuý, uốn thuần túy phẳng và uốn ngang phẳng đều thuộc về những trường hợp chịu lực đơn giản của thanh.

Bài toán thanh chịu lực phức tạp sẽ xét các thanh cùng một lúc chịu đồng thời

các trạng thái chịu lực khác nhau. Ví dụ: vừa uốn vừa xoắn, vừa uốn vừa kéo, …

Ðể giải quyết những bài toán đó, chúng ta sử dụng nguyên lý độc lập tác dụng. Nguyên lý đó được phát biểu như sau: “Ứng suất và biến dạng do nhiều yếu tố gây ra đồng thời trên một thanh bằng tổng ứng suất và biến dạng do từng yếu tố riêng biệt gây ra trên thanh đó”. Muốn sử dụng được nguyên lý này, bài toán phải thỏa mãn các điều kiện sau đây :

- Vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi, quan hệ giữa ứng suất và biến

dạng là bậc nhất

- Biến dạng của thanh là bé, sự chuyển dịch điểm đặt của lực tác dụng lên

thanh là không đáng kể.

Khi xét bài toán chịu lực phức tạp, vì ảnh hưởng của lực cắt đến độ bền của thanh không đáng kể so với các thành phần nội lực khác, nên trong mọi trường hợp chúng ta đều không xét đến lực cắt.

§1. Uốn và xoắn đồng thời

Là bài toán thanh chịu chịu lực mà trên mặt cắt ngang của thanh vừa có thành phần mômen uốn (Mx, My) vừa có thành phần mômen xoắn Mz. Đây là dạng bài toán thường gặp trong thực tế.

Ví dụ: Trục truyền chuyển động quay trong chi tiết máy thường gặp nhất, trục không những chịu mômen xoắn mà còn chịu mômen uốn do có trọng lượng của các puli và lực căng dây đai…

1.1 Thanh tiết diện tròn chịu uốn, xoắn đồng thời

A’

Xét một thanh tiết diện tròn chịu lực phức tạp uốn và xoắn đồng thời, giả sử trên mặt cắt ngang của thanh chỉ có mômen uốn Mu trong mặt phẳng Ovz và mômen xoắn Mz trong mặt phẳng Ovz như Hình 1.

Ta đi tìm điểm có trạng thái ứng suất nguy hiểm nhất. Nhìn Hình1 ta thấy điểm A(hoặc A’) là điểm nguy hiểm nhất do tại đó đồng thời có ứng suất tiếp và ứng suất pháp lớn nhất. với trị số là:

(10-1)

z Trạng thái ứng suất tại A là trạng thái ứng suất phẳng, để kiểm tra điều kiện bền ta dùng các thuyết bền. u

*) Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất ta có: ta có: Thay trị số Hình 10.1

Bµi gi¶ng Søc bÒn vËt liÖu NguyÔn Danh Tr êng - 105 -

Chương10: Thanh chịu lực phức tạp

(10-2)

(10-3) Do Wp=2Wu nên ta có:

Trong đó: được xem là mômen tương đương. Tổng quát ta có:

(10-4)

*) Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng ta có:

(10-5)

(10-6) Với

*) Theo thuyết bền Mohr ta có:

(10-7)

(10-8) Với

(10-9) Vậy tổng hợp lại ta có điều kiện bền của thanh là:

Trong đó: được tính theo các công thức (10-4),(10-6),(10-8)

trong đó là tỷ số giữa bán kính rỗng và bán kính

ngoài của trụ tròn rỗng(trụ tròn đặc thì ).

Từ đó ta tính được đường kính trụ tròn để thanh đủ bền là:

(10-10)

A’

C’

1.2 Thanh tiết diện hình chữ nhật chịu uốn, xoắn đồng thời

B ’

Xét một thanh tiết diện hình chữ nhật chịu uốn và xoắn đồng thời, giả sử trên mặt cắt ngang của thanh có các thành phần nội lực như Hình 10.2. Trong trường hợp này có 3 điểm có trạng thái ứng suất nguy hiểm nhất cần xét tới là A, B, C. x Điểm A có ứng suất pháp lớn nhất gây ra bời Mx

và My với trị số: (ứng suất tiếp bằng 0) z (10-11)

C a y

Tại A là TTUS đơn nên kiểm tra bền theo công thức:

(10-12) Hình 10.2

Điểm B có ứng suất pháp do My gây ra cùng với ứng suất tiếp lớn nhất do Mz gây

ra với các trị số như sau:

Bµi gi¶ng Søc bÒn vËt liÖu NguyÔn Danh Tr êng - 106 -

Chương10: Thanh chịu lực phức tạp

(10-13)

Điểm C gần giống điểm B với các trị số:

(10-14)

phụ thuộc vào các cạnh a,b của hình chữ nhật, và được

Trong đó các hằng số xác định nhờ vào một bảng rút ra từ thí nghiệm. Kiểm tra điều kiện bền tại B và C phải sử dụng các thuyết bền.

Thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:

Thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng: Theo thuyết bền Mohr ta có:

§2. Uốn cộng kéo(nén) và xoắn đồng thời

Là bài toán thanh chịu chịu lực mà trên mặt cắt ngang của thanh vừa có thành phần mômen uốn (Mx, My) vừa có thành phần mômen xoắn Mz và cả lực dọc Nz. Đây là dạng bài toán thường gặp trong thực tế.

Ví dụ: Mũ khoan khi khoan vừa chịu lực nén của tay người, chịu mômen xoắn từ máy khoan, và khi mũi khoan không đi theo đúng hướng, mũi khoan sẽ chịu thêm mômen uốn có tác dụng bẻ cong mũi khoan. Đặc biệt ta thấy mũi khoan chịu uốn lớn khi ta nghiêng mũi khoan nhằm tạo một lỗ rộng hơn đường kính mũi khoan.

2.1 Thanh tiết diện tròn chịu uốn, kéo(nén) và xoắn đồng thời

Giả sử thanh tiết diện tròn chịu lực, trên mặt cắt có các thành phần nội lực như

hình 10.3

Điểm nguy hiểm nhất là điểm A với ứng suất

A’

pháp và ứng suất tiếp là:

(10-15)

Tại A là trạng thái ứng suất đơn nên ta dùng

z u thuyết bền đề kiểm tra bền cho trạng thái ứng suât tại A.

Theo thuyết bền ưng suất tiếp lớn nhất: v

Hình 10.3

Trong đó

2.2 Thanh tiết diện hình chữ nhật chịu uốn, kéo(nén) và xoắn đồng thời

Xét một thanh tiết diện hình chữ nhật chịu lực, giả sử trên mặt cắt ngang của thanh có các thành phần nội lực như Hình 10.4. Trong trường hợp này có 3 điểm có trạng thái ứng suất nguy hiểm nhất cần xét tới là A, B, C.

Bµi gi¶ng Søc bÒn vËt liÖu NguyÔn Danh Tr êng - 107 -

Chương10: Thanh chịu lực phức tạp

Điểm A có ứng suất pháp lớn nhất gây ra

A’

C’

bời Mx và My với trị số: (ứng suất tiếp bằng 0)

(10-16)

B ’

Tại A là TTUS đơn nên kiểm tra bền theo công thức:

(10-17) z

Điểm B, C có trạng thái ứng suất phẳng với

C a y

các trị số như sau:

(10-18) Hình 10.4

Điểm C gần giống điểm B với các trị số:

(10-19)

Trong đó các hằng số phụ thuộc vào các cạnh a,b của hình chữ nhật, và

được xác định nhờ vào một bảng rút ra từ thí nghiệm.

Kiểm tra điều kiện bền tại B và C phải sử dụng các thuyết bền.

§3. Tính lò xo xoắn ốc hình trụ bước ngắn

Xét lò xò hình trụ xoắn ốc bước ngắn có hình dáng, kích thước như hình 10.4

Trong đó:

P P

- h là bước của lò xo - D là đường kính của lò xo - d là đường kính dây lò xo - α là góc nghiêng của các

vòng dây lò xo h - n là số vòng dây làm việc d

của lò xo

Tưởng tượng cắt một mặt cắt qua trục của lò xò, chia lò xo làm hai phần, xét cân bằng một phần suy ra tại mặt cắt có:

Mz M

Qy Để cân bằng với ngoại lực P. D

Hình 10.4

Ứng suất do mômen Mz và lực cắt Qy gây nên trên mặt cắt là ứng suất tiếp. Một cách gần đúng ta coi lực cắt Qy phân bố đều trên toàn mặt cắt, khi đó tại một điểm trên mặt cắt, ứng suất là tổng ứng suất do lực cắt và mômen xoắn gây nên. Ứng suất tại điểm M(trên hình 10.4) có giá trị lớn nhất.

Bµi gi¶ng Søc bÒn vËt liÖu NguyÔn Danh Tr êng - 108 -

Chương10: Thanh chịu lực phức tạp

(10.20)

Và trong thực tế D lớn hơn d khá nhiều nên

Vậy công thức (10.20) có thể viết là:

(10.21)

Dùng công thức (10.21) tức là ta đã bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt, và tính toán trên ta không đề cập đến độ cong của dây…vậy công thức (10.21) chỉ là tính gần đúng.

Để chính xác hơn, người ta đưa vào hệ số điều chỉnh K với:

(10.22)

Ta có công thức xác định ứng suất tiếp chính xác hơn là:

(10.23)

Với lò xo có tiết diện mặt cắt ngang hình vuông ta có:

(10.24)

*) Điều kiện bền lò xo:

*) Điều kiện cứng của lò xo:

Trong đó ∆l là độ co hay giãn của lò xo gây ra bời lực P được tính bởi công thức:

(10.25)

G là môduyn trượt.

Trong đó: n là số vòng làm việc của lò xo.