Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN: 978-604-82-2981-8
165
NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP POD TRÊN TẬP HỢP
CÁC KẾT QUẢ CỦA MÔ HÌNH SỐ TÍNH TOÁN DÒNG CHẢY
Nguyễn Đức Hậu
Trường Đại học Thủy lợi, email: ndhau.dhtl@tlu.edu.vn
1. GIỚI THIỆU
Phương pháp POD là một phương pháp
xấp xỉ tối ưu từ một hệ cơ sở trực chuẩn
vuông góc. Phương pháp POD được áp dụng
trong nhiều lĩnh vực như: xử lý ảnh, nghiên
cứu cấu trúc của dòng chảy rối [1],… Phương
pháp POD là một phương pháp tuyến tính
trong đó ta sẽ xác định một hệ sơ sở trực
chuẩn để xấp xỉ (một cách tối ưu) các dữ liệu
ban đầu là tập hợp rời rạc hoặc liên tục có cỡ
lớn (các kết quả thực nghiệm hay là các kết
quả số tại các thời điểm khác nhau). Hệ cơ sở
này sẽ xác định một không gian cỡ nhỏ hơn
để xây dựng một mô hình rút gọn nhờ phép
chiếu Galerkin. Phép chiếu Galerkin trên hệ
các véc tơ cơ sở POD đưa vào trong hệ
Navier-Stokes sẽ dẫn đến một hệ các phương
trình vi phân bậc hai. Trong bài báo này tác
giả sẽ nghiên cứu phương pháp POD (proper
orthogonal decomposition) trên tập hợp các
kết quả của mô hình số tính toán dòng chảy,
thường là tập con của không gian hữu hạn
chiều Rm, xuất phát từ phương pháp SVD
(singular value decomposition) của ma trận
hình chữ nhật.
2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Cho
[
]
1,..., n
Yy y= là ma trận cỡ mn
×
có
hạng là
{
}
min ,dmn=. Trung bình các cột
của Y được định nghĩa như sau:
1
1n
j
j
yy
n=
=
∑
(1)
Theo phương pháp SVD tồn tại các số
thực 1... 0
d
σ
σ
≥≥ > và các ma trận trực giao
mm
U
×
∈\ với các cột
{
}
1
m
ii
u
và Rnn
V×
∈ với
các cột
{
}
1
n
ii
v
=
sao cho:
0
00
Tmn
D
UYV ×
⎡⎤
==Σ∈
⎢⎥
⎣⎦
\ (2)
ở đó
(
)
1,..., dd
d
D diag
σσ
×
=∈\. Hơn nữa
{
}
1
d
ii
u
và
{
}
1
d
ii
v
=
thỏa mãn:
iii
Yv u
σ
=
và , 1,...,
T
iii
Yu v i d
σ
== (3)
Chúng là các véc tơ riêng của T
YY và
T
YY với giá trị riêng là 20
ii
λσ
=
>. Các véc
tơ
{
}
1
m
iid
u
=
+ và
{
}
1
n
iid
v
=
+ là các véc tơ riêng của
T
YY và T
YY ứng với các giá trị riêng bằng
không.
Từ (2) ta suy ra:
T
YUV
=
Σ.
3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Ta có thể viết lại Y dưới dạng:
(
)
d
dT
YU V=Σ (4)
ở đó dmd
U
×
∈\; dnd
V
×
∈\ xác định bởi:
,1 ;1
d
ij ij
UU im jd
=
≤≤ ≤ ≤ ,
,1 ;1
d
ij ij
VV in jd
=
≤≤ ≤ ≤ .
Đặt
(
)
T
dddn
BDV
×
=∈\ khi đó (4) được
viết lại là:
dd
YUB=.
Ta có:
()
(
)
.,
11
dd
T
dd d
jiji i
ij
ii
yBU DVu
==
==
∑∑ .
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN: 978-604-82-2981-8
166
Vì U là trực giao nên ta có:
() ()
()
1
dTT
dd d
ji
ij
i
yUUDVu
=
=∑.
Sử dụng (4) ta nhận được:
()
()
111
ddm
T
dd
j i ki kj i
ij
iik
yUYu UYu
===
⎛⎞
==
⎜⎟
⎝⎠
∑∑∑
,
do đó:
1
,m
d
jjii
i
yyuu
=
=∑\ (5)
Gọi bài toán xấp xỉ các véc tơ cột j
y là:
()
2
1
1
:max , m
m
n
j
uj
yu
∈=
∑
P\
\
với 21
m
u
=
\.
Xét hàm :R R
m
e→ xác định bởi:
()
2
1m
eu u=− \.
Ràng buộc
()
1
Pcó thể được diễn đạt bởi
()
0eu =. Chú ý rằng
()
2T
eu u∇= nếu
0u≠. Hay nói cách khác các nghiệm của
()
1
Plà các nghiệm không tầm thường.
Xét toán tử Lagrange :m
L×→\\\ xác
định bởi:
()
()
22
1
,,1
m
m
n
j
j
Lu y u u
λλ
=
=+−
∑\
\.
Giả sử u là nghiệm của
()
1
Pkhi đó:
(
)
,0Lu
λ
∇=.
Ta có:
()
2
2
11 1
,( (1))
i
nm m
ukjkk
jk k
i
Lu Yu u
u
λλ
== =
∂
=+−
∂∑∑ ∑
11
22
nm
kj k ij i
jk
Yu Y u
λ
==
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
∑∑
11
22
mn
T
ij jk k ij i
kj
YY u Y u
λ
==
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
∑∑ ,
hay là:
()
()
,2 0
T
uLu YYu u
λλ
∇=−= (6)
Từ đó dẫn đến bài toán giá trị riêng sau:
T
YY u u
λ
= (7a)
Chú ý rằng T
YY là ma trận dương đối
xứng thỏa mãn:
()()
20
n
T
TT T T T
uYY YuYu Yu==≥
\.
Do đó T
YY có m giá trị riêng không âm
1... 0
m
λ
λ
≥≥ ≥ và có thể chọn các véc tơ
riêng tương ứng đôi một trực giao.
Từ
(
)
,0Lu
λ
λ
∇
= dẫn đến:
1
m
u
=
\ (7b)
Vậy nếu 1
u là nghiệm của (7a,b) và:
2
111
11
,,,
mmm
nn
jjj
jj
yu yu yu
==
=
∑∑
\\\
11
1
,,
mm
n
jj
j
yu yu
=
=∑\\
()
11
11
,
m
nm
kj j
k
jk
Yu yu
==
⎛⎞
=⎜⎟
⎝⎠
∑∑
\
()
., 1 1
11
,
m
mn
T
jjk k
kj
YY u u
==
⎛⎞
=⎜⎟
⎝⎠
∑∑
\
11
,m
T
YY u u=\
2
111 11 1
,mm
uu u
λ
λλ
=
==
\\
.
Ta sẽ chứng minh rằng 1
u cũng thỏa mãn
(
)
1
P.
Thật vậy, giả sử rằng m
u∈\ là một véc tơ
bất kì thỏa mãn 1
m
u
=
\. Do
{
}
1
m
ii
u= là một
hệ cơ sở trực giao trong m
\ ta có:
1
,m
m
ii
i
uuuu
=
=∑\.
Do đó:
2
2
111
,,,
mm
m
nnm
jjii
jji
yu y uu u
===
=
∑∑∑
\\
\
11 1
(,, ,, )
mm
mm
nmm
jii jkk
jik
yuu u yuu u
== =
=∑∑∑ \\
\\
11 1
(, , , , )
mm
mm
nmm
ji i jk k
jik
y u uu y u uu
== =
=∑∑∑ \\
\\
11 1
(, ,, ,)
mmm
mm n
ji jk i k
ik j
yu yu uu uu
== =
=∑∑ ∑ \\\
11
(, , , )
mmm
mm
ii k i k
ik
u u uu uu
λ
==
=∑∑ \\\
2
1
,m
m
ii
i
uu
λ
=
=∑\
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN: 978-604-82-2981-8
167
2
1
1
,m
m
i
i
uu
λ
=
≤∑\
2
1
1
,m
m
i
i
uu
λ
=
=∑\
11
m
u
λ
λ
==
\
2
1
1
,u m
n
j
j
y
=
=∑\.
Vậy 1
u thỏa mãn
()
1
Pvà:
(
)
12
11
arg max
σ
λ
==P.
Chúng ta tìm véc tơ nghiệm thứ hai vuông
góc với 1
u và thỏa mãn các ràng buộc:
()
2
2
1
:max , m
m
n
j
uj
yu
∈=
∑
P\
\
với 21
m
u
=
\,
và 1
,0
m
uu =
\.
Tương tự ta tìm nghiệm 2
u của
(
)
2
P và
thỏa mãn:
(
)
22
22
arg max
σ
λ
==P,
2
u được chọn tối ưu trong các véc tơ u
trong
{
}
1
s
pan u ⊥ và ta có:
22
22
11
nn
m
jj
m
jj
y,u y,u
λ
==
≤=
∑∑
\
\.
Tổng quát hóa ý tưởng trên bằng ta nhận
được định lý sau:
Định lý. Cho
[
]
1,..., n
Yy y= là ma trận cỡ
mn× có hạng là
{
}
min ,dmn= với phép
phân tích SVD T
YUV=Σ ở đó:
[
]
1,..., mm
m
Uu u ×
=∈\,
[
]
1,..., nn
n
Vv v
×
=∈\
là các véc tơ trực giao và mn×
Σ∈\ có dạng
(2). Khi đó với mọi
{
}
1,...,ld∈ nghiệm của:
()
1
2
,..., 11
:max , m
m
l
ln
l
ji
uu ij
yu
∈==
∑∑
P\
\
,
sao cho ,m
ij ij
uu
δ
=
\ ; 1,ij l≤≤ được xác
định bởi
{
}
1
l
ii
u= chính là l cột đầu tiên của U
hơn nữa:
()
2
11
arg max
ll
l
ii
ii
σ
λ
==
==
∑∑
P (2.8)
Định nghĩa. Với
{
}
1,...,ld∈ các véc tơ
{
}
1
l
ii
u
được gọi là hệ cơ sở POD với hạng l.
Hệ quả. (Tối ưu hóa hệ cơ sở POD) Với
các giả thiết trong định lý trên xảy ra. Giả sử
rằng
l
dmd
U
×
∈\ là véc tơ vuông góc đôi một
với các véc tơ
i
u và:
l
dd
YUC=,
ở đó:
,m
di
ij j
Cuy=
\
; 1;1id jn
≤
≤≤≤.
Khi đó với
{
}
1,...,ld∈ ta có:
l
l
ll l
F
F
YUB YUC−≤−,
trong đó .
F
là chuẩn Frobenius được định
nghĩa như sau:
()
2
11
mn
T
ij
F
ij
A
AtraceAA
==
==
∑∑ ,
và l
U là ma trận l cột đầu của U; l
B
là ma
trận l cột đầu của B, tương tự đối với
l
l
U
và l
C.
4. KẾT LUẬN
Từ các dữ liệu là kết quả của mô hình tính
toán dòng chảy, tác giả nghiên cứu phương
pháp SVD trong cách nhìn từ các bản chất
“trực chuẩn” của phương pháp POD trong
không gian hữu hạn chiều. Nghiệm tối ưu đối
bài toán SVD trong cách tiếp cận “trực
chuẩn” được xem xét và chứng minh bằng
phương pháp quy nạp. Từ mối liên hệ gần gũi
của hai phương pháp trên ta thu được bài
toán tối ưu hóa đối với phương pháp POD.
5. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] P. Holmes, J.L. Lumley, and G. Berkooz.
Turbulence, Coherent Structures,
Dynamical Systems and Symmetry.
Cambridge Monographs on Mechanics,
Cambridge University Press, 1996.