Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2016. ISBN: 978-604-82-1980-2
181
SỰ ỔN ĐỊNH CỦA SƠ ĐỒ SAI PHÂN ĐỐI VỚI BÀI TOÁN
DÒNG CHẢY TRONG ĐƯỜNG ỐNG
Nguyễn Hữu Thọ
Trường Đại học Thủy lợi, email: nhtho@tlu.edu.vn
1. GIỚI THIỆU CHUNG
Trong các đô thị, các khu công nghiệp
người ta phải xây dựng các hệ thống ống dẫn
nước, dẫn dầu,… Việc tính toán dòng chảy
trong hệ thống đường ống để biết áp lực và
vận tốc chất lỏng trong hệ thống đường ống
là cần thiết, nó giúp cho các nhà kỹ thuật
thiết kế và xây dựng các hệ thống dẫn chất
lỏng thỏa mãn các yêu cầu đặt ra với mức độ
an toàn cao (xem [2], [3]). Trong bài báo
này, tác giả trình bày nghiên cứu về sự ổn
định trong một sơ đồ giải số đối với bài toán
dòng chảy trong ống.
2. NỘI DUNG BÁO CÁO
Hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng
mô tả dòng chảy không dừng trong đường
ống có dạng
20
2
P v
c
t x
v v
v P
t x D

(1)
trong đó:
+
t
là biến thời gian,
x
là tọa độ dọc theo
đường ống;
+
P
là áp lực,
là mật độ chất lỏng,
v
là
vận tốc dòng chảy;
+
0c
là tốc độ lan truyền nhiễu đàn hồi
+
là hệ số ma sát,
D
là đường kính ống.
Đây là hệ phương trình đạo hàm riêng á
tuyến tính loại Hyperbolic. Sau đây ta sẽ xét
sự ổn định của hai sơ đồ sai phân giải bài
toán (1).
2.1. Sự ổn định của sơ đồ sai phân
Presman
Giả sử dòng chảy gần đều, nghĩa là
,
và
., const c const
Bỏ
qua thành phần vô cùng bé bậc cao, từ (1) ta
nhận được hệ phương trình tuyến tính
2
0
0
.
2
P v
c
t x
v v
v P
t x D

(2)
Sai phân hóa hệ phương trình (2) ta được
1 1 1 1
2
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
01 1
1 1
0
2
1
2
( )
8
k k k k k k
n n n n n n
k k k k k k
n n n n n n
k k k k
n n n n
P P P P v v
c
v v v v P P
vv v v v
D
(3)
trong đó: 1 1
, .
k k k k
t t x x
Rút gọn hệ phương trình trên ta có
1 2 1 1 2 1
1 1 1
0
1 1
1 1
0
1 1
0 0
1
2 2
21
. 4
21
. 4
1 1 .
4 4
k k k k k k
n n n n n n
k k
n n
k k
n n
k k
n n
P c v P c v P P
v
P v
D
v
P v
D
v v
v v
D D
Sự ổn định của sơ đồ sai phân được chứng
minh bằng phương pháp Fourier. Hệ phương
trình (3) có thể viết dưới dạng véc tơ như sau
1 1
1 1
k k k k
n n n n
AV BV C V V
(4)
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2016. ISBN: 978-604-82-1980-2
182
trong đó
2 2
1 1
2
, ,
1 1
r c r c
A B r
r r
 
,
1
0
1
1
1 0
, , .
0 1 4
k
n
k
nk
n
P
v
V C
D
v

Ta sẽ tìm nghiệm của (4) dưới dạng
1 1
0
k k in
n
V e V
(5)
với 2
1, 0 2
i.
Thế (5) vào (4) và chia cả hai vế cho
k in
e
ta được:
0 0
1 ,
i i
e A B V e CV
(6)
trong đó
1
k
k
.
Lại chia cả hai vế của (6) cho
2
i
e
ta sẽ có
0
2 cos 0
i i
e A e B C V
, (7)
ở đây
2
.
Hệ phương trình (7) sẽ có nghiệm 0
0
V
khi các giá trị
phải thỏa mãn phương trình
det 2 .cos 0
i i
e A e B C
(8)
hay là:
2
2( 1)cos 2 sin
0
2sin 2 (1 )cos 2 (1 )cos
i r c
i r
 
(9)
Từ (9) ta nhận được phương trình bậc hai
2 2 2 2 2
2 2
(1 )cos sin
2 cos (1 )cos 0
r c

(10)
+ Nếu
cos 0
thì từ (10) suy ra
222
0
r c
hay 1 2
0 1.
+ Nếu
sin 0
thì 2
cos 1
, và (10) có
dạng
2
1 2 (1 ) 0,
 
với
1,2
1
1.
1


Giả sử
0
và 2
r const
, khi đó
(10) trở thành
2 2 2 2 2
2 2
cos sin ( )
2 cos (1 ( ))cos 0
r c o
o
. (11)
Phương trình (11) có hai nghiệm
2
1,2 2 2 2 2
cos sin cos ( ) .
cos sin ( )
irc o
r c o
Dễ dàng kiểm tra được rằng:
2
1,2
4 2 2 2 2
4 2 2 2 2 4 4 4
cos sin cos ( )
cos 2 sin cos sin ( )
1 ( )
r c o
r c r c o
o
trong đó
2 2 2 2 4 4 4
4 2 2 2 2 4 4 4
sin cos sin
cos 2 sin cos sin
0.
r c r c
r c r c
Do đó với
đủ nhỏ ta sẽ có
1,2
1 ( ).
o
Nghĩa là sơ đồ sai phân (3) ổn định với
mọi tỷ số 2
r const
ngoài các giá trị
0; .
2.2. Sự ổn định của sơ đồ sai phân tam
giác ngược
Sai phân hóa (2) theo sơ đồ tam giác
ngược ta nhận được:
1 1 1
21
1 1 1 01
1
0
1
4
k k k k
n n n n
k k k k
k k
n n n n
n n
P P v v
c
v
v v P P
v v
D
(12)
Hệ phương trình (12) có thể viết lại dưới
dạng véc tơ như sau:
1 1 1
1 1
,
k k k k
n n n n
AV BV CV DV

(13)
trong đó:
1
1
1
2
2
0
0 0
, ,
0
10
, ,
10 0
1 0
, , .
1 1 4
k
n
k
nk
n
P
V A r
v
c r
c r
B C
r
v
D r
D


Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2016. ISBN: 978-604-82-1980-2
183
Ta sẽ tìm nghiệm của (12) dưới dạng
1 1
0
2
,
1, 0 2 .
k k in
n
V e V
i
(14)
Thế (14) vào (13) rồi chia cả hai vế cho
k in
e
ta nhận được:
0
0
i i
e A B e C D V
(15)
trong đó
1
.
k
k
Phương trình (15) sẽ có nghiệm 0
0
V
nếu
các giá trị
thỏa mãn phương trình sau:
det 0.
i i
e A B e C D
(16)
Dạng hiển của (16) là
2
1 1
0.
1 (1 ) (1 )
i
i
r c e
re

(17)
Khai triển (17) ta nhận được phương trình
bậc hai đối với
:
2 2 2
1 2 1 cos
2 1 0.
r c


(18)
i) Nếu
cos 1
thì (18) trở thành:
2
1 2 1 0,
 
và có nghiệm: 1,2
1
1


, khi đó:
1,2
1
1


ii) Nếu
cos 1
thì nghiệm của (18) sẽ là:
1,2 2 2 2
1 2 sin ( )
2
,
1 4 sin ( )
2
i rc o
r c o
và
2 2 2
2
1,2 4 4 4 2 2 2
1 4 sin ( )
2
1 16 sin 8 sin ( )
2 2
1 ( ).
r c o
r c r c o
o
N
hư vậy giá trị
1,2
thỏa mãn điều kiện:
1,2
1 ( ).
o
Và do đó sơ đồ sai phân ẩn
tam giác ngược cũng thỏa mãn điều kiện cần
để ổn định với mọi tỷ số
.
3. KẾT LUẬN
Với những tính toán cụ thể báo cáo trình bày
kết quả về sự ổn định của sơ đồ sai phân
Presman và sơ đồ sai phân tam giác ngược đối
với dòng chảy không dừng trong đường ống.
4. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Phạm Kỳ Anh (1996), Giải tích số, NXB
Đại học Quốc Gia.
[2] G.L. Kuiper and A.V. Metrikine (2004), On
stability of a clamped-pinned pipe
conveying fluid, HERON, Vol. 49, No. 3 ,
pp. 211-232.
[3] J. R. A. Nebauer1 and H. M. Blackburn
(2012), On the Stability and Optimal
Growth of Time-Periodic Pipe Flow, 18th
Australasian Fluid Mechanics Conference
Launceston, Australia.