ÔN TẬ P VỀ HÀM SỐ BẬ C 3
Giả sử : y = ax3 + bx2 + cx + d vớ i a ≠ 0 có đồ thị là (C). y’ = 3ax2 + 2bx + c, y” = 6ax
+ 2b
1) y” = 0 ⇔ x =
a
3
b
−
(a ≠ 0 )
x =
a
3
b
−
là hoành độ điể m uố n. Đồ thị hàm bậ c 3 nhậ n điể m uố n làm tâm đố i xứ ng.
2) Để vẽ đồ thị 1 hàm số bậ c 3, ta cầ n biế t các trư ờ ng hợ p sau :
i) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệ m ⇒ hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng)
ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghiệ m ⇒ hàm số giả m (nghị ch biế n) trên R (luôn luôn giả m)
iii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệ m phân biệ t x1, x2 vớ i x1 < x2
⇒ hàm số đạ t cự c đạ i tạ i x1 và đạ t cự c tiể u tạ i x2.
Ngoài ra ta còn có :
+ x1 + x2 = 2x0 vớ i x0 là hoành độ điể m uố n.
+ hàm số tăng trên (−∞, x1)
+ hàm số tăng trên (x2, +∞)
+ hàm số giả m trên (x1, x2)
iv) a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệ m phân biệ t x1, x2 vớ i x1 < x2
⇒ hàm đạ t cự c tiể u tạ i x1 và đạ t cự c đạ i tạ i x2 thỏ a điề u kiệ n x1 + x2 = 2x0 (x0 là
hoành độ điể m uố n). Ta cũng có :
+ hàm số giả m trên (−∞, x1)
+ hàm số giả m trên (x2, +∞)
+ hàm số tăng trên (x1, x2)
3) Giả sử y’ = 0 có 2 nghiệ m phân biệ t và y = k(Ax + B)y’ + r x + q vớ i k là hằ ng số
khác 0;
thì phư ơ ng trình đư ờ ng thẳ ng qua 2 điể m cự c trị là y = r x + q
4) (C) cắ t Ox tạ i 3 điể m phân biệ t
⇔
<
=
0)
2
x(y).
1
x(y
2
x,
1
x bieät aânnghieäm ph 2 coù 0'y
5) Giả sử a > 0 ta có :
i) (C) cắ t Ox tạ i 3 điể m phân biệ t > α
⇔
<
<α
<<α=
0)
2
x(y).
1
x(y
0)(y
2
x
1
x thoûa bieät aânnghieäm ph 2 coù 0'y
ii) (C) cắ t Ox tạ i 3 điể m phân biệ t < α
⇔
<
>α
α<<=
0)
2
x(y).
1
x(y
0)(y
2
x
1
x thoûa bieät aânnghieäm ph 2 coù 0'y
Tư ơ ng tự khi a < 0 .
6) Tiế p tuyế n : Gọ i I là điể m uố n. Cho M ∈ (C).
Nế u M ≡ I thì ta có đúng 1 tiế p tuyế n qua M.
Nế u M khác I thì ta có đúng 2 tiế p tuyế n qua M.
Biệ n luậ n số tiế p tuyế n qua 1 điể m N không nằ m trên (C) ta có nhiề u trư ờ ng hợ p
hơ n.
7) (C) cắ t Ox tạ i 3 điể m phân biệ t cách đề u nhau ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệ m phân biệ t và
y(x0) = 0 (x0 là hoành độ điể m uố n)
8) Biệ n luậ n số nghiệ m củ a phư ơ ng trình : ax3 + bx2 + cx + d = 0 (1) (a ≠ 0) khi x = α
là 1 nghiệ m củ a (1).
Nế u x = α là 1 nghiệ m củ a (1), ta có
ax3 + bx2 + cx + d = (x - α)(ax2 + b1x + c1)
nghiệ m củ a (1) là x = α vớ i nghiệ m củ a phư ơ ng trình ax2 + b1x + c1 = 0 (2). Ta có
các trư ờ ng hợ p sau:
i) nế u (2) vô nghiệ m thì (1) có duy nhấ t nghiệ m x = α
ii) nế u (2) có nghiệ m kép x = α thì (1) có duy nhấ t nghiệ m x = α
iii) nế u (2) có 2 nghiệ m phân biệ t ≠ α thì (1) có 3 nghiệ m phân biệ t
iv) nế u (2) có 1 nghiệ m x = α và 1 nghiệ m khác α thì (1) có 2 nghiệ m.
v) nế u (2) có nghiệ m kép ≠ α thì (1) có 2 nghiệ m
BÀI TẬ P ÔN VỀ HÀM BẬ C 3
Cho họ đư ờ ng cong bậ c ba (Cm) và họ đư ờ ng thẳ ng (Dk) lầ n lư ợ t có phư ơ ng trình
là
y = −x3 + mx2 − m và y = kx + k + 1.
(I) PHẦ N I. Trong phầ n này cho m = 3. Khả o sát và vẽ đồ thị (C) củ a
hàm số .
1) Gọ i A và B là 2 điể m cự c đạ i và cự c tiể u củ a (C) và M là điể m bấ t kỳ trên cung
AB vớ i M khác A , B . Chứ ng minh rằ ng trên (C) ta tìm đư ợ c hai điể m tạ i đó có
tiế p tuyế n vuông góc vớ i tiế p tuyế n tạ i M vớ i (C).
2) Gọ i ∆ là đư ờ ng thẳ ng có phư ơ ng trình y = 1. Biệ n luậ n số tiế p tuyế n vớ i (C) vẽ từ
E ∈ ∆ vớ i (C).
3) Tìm E ∈ ∆ để qua E có ba tiế p tuyế n vớ i (C) và có hai tiế p tuyế n vuông góc vớ i
nhau.
4) Đị nh p để trên (C) có 2 tiế p tuyế n có hệ số góc bằ ng p, trong trư ờ ng hợ p này
chứ ng tỏ trung điể m củ a hai tiế p điể m là điể m cố đị nh.
5) Tìm M ∈ (C) để qua M chỉ có một tiếp tuyến với (C).
(II) PHẦ N I I.Trong phầ n này cho tham số m thay đổ i.
6) Tìm điểm cố định của (Cm). Định m để hai tiếp tuyến tại hai điểm cố định này
vuông góc nhau.
7) Định m để (Cm) có 2 điểm cực trị. Viết phư ơ ng trình đư ờng thẳng qua 2 điểm cực
trị.
8) Định m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.
9) Định m để : a) hàm số đồng biến trong (1, 2). b) hàm số nghịch biến trong (0,
+∞).
10) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ tạo thành cấp số cộng.
11) Tìm điều kiện giữa k và m để (Dk) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt. Tìm k để (Dk)
cắt (Cm) thành hai đoạn bằng nhau.
12) Viết phư ơ ng trình tiếp tuyến với (Cm) và đi qua điểm (-1, 1).
13) Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến với (Cm) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ
số góc lớn nhất.
BÀI GIẢ I
PHẦ N I : m = 3
Khảo sát và vẽ đồ thị (độc giả tự làm)
1) Gọi n là hoành độ của M. Vì hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và đạt cực đại tại x = 2
nên 0 < n < 2; y' = – 3x2 + 6x ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k1 = – 3n2 + 6n
∈ (0, 3] (vì n ∈ (0, 2)). Đư ờ ng thẳng vuông góc với tiếp tuyến tại M có hệ số góc
là k2 =
1
k
1
− (với 0 < k1 ≤ 3). Hoành độ của tiếp tuyến vuông góc với tiếp tuyến M
là nghiệm của – 3x2 + 6x =
1
k
1
− (= k2) ⇔ 3x2 – 6x
1
k
1
− = 0. Phư ơ ng trình này
có a.c < 0, ∀ k1 ∈ (0, 3] nên có 2 nghiệm phân biệt, ∀ k1 ∈ (0, 3]. Vậy trên (C)
luôn có 2 điểm phân biệt mà tiếp tuyến đó vuông góc với tiếp tuyến tại M.
2) E (e, 1) ∈ ∆. Phư ơ ng trình tiếp tuyến qua E có dạng y = h(x – e) + 1 (D). (D) tiếp
xúc (C) ⇔ hệ
=+−
+−=−+−
hx6x3
1)ex(h3n3x
2
23
có nghiệm.
⇒ Phư ơ ng trình hoành độ tiếp điểm của (D) và (C) là :
– x3 + 3x2 – 3 = (– 3x2 + 6x)(x – e)+ 1 (1)
⇔ – x3 + 3x2 – 4 = x(– 3x + 6)(x – e)
⇔ (x – 2)(x2 – x – 2) = 3x(x – 2)(x – e)
⇔ x = 2 hay x2 – x – 2 = 3x2 – 3ex
⇔ x = 2 hay 2x2 – (3e – 1)x + 2 = 0 (2)
(2) có ∆ = (3e – 1)2 – 16 = (3e – 5)(3e + 3)
(2) có nghiệm x = 2 ⇔ 8 – 2(3e – 1) + 2 = 0 ⇔ e = 2
Ta có ∆ > 0 ⇔ e < – 1 hay e >
3
5
.
Biệ n luậ n :
i) Nếu e < – 1 hay
3
5
< e < 2 hay e > 2
⇒ (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇒ có 3 tiếp tuyến.
ii) Nếu e = – 1 hay e =
3
5
hay e = 2
⇒ (1) có 2 nghiệm ⇒ có 2 tiếp tuyến.
iii) Nếu – 1 < e <
3
5
⇒ (1) có 1 nghiệm ⇒ có 1 tiếp tuyến.
Nhận xét : Từ đồ thị, ta có y = 1 là tiếp tuyến tại (2, 1) nên phư ơ ng trình (1) chắc chắn
có nghiệm x = 2, ∀ e.
3) Vì y = 1 là tiếp tuyến qua E (e, 1), ∀ e và đư ờng x = α không là tiếp tuyến nên yêu
cầu bài toán.
⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa : y'(x1).y'(x2) = – 1
⇔
−=+−+−
>∨−<
1)x6x3)(x6x3(
)2(cuûanghieämlaøx,x
3
5
e1e
2
2
21
2
1
21
⇔
−=−−
=
−
=+
>−<
1)2x)(2x(x.x9
1x.x
2
1e3
xx
3
5
ehay1e
2121
21
21
⇔
−=+−−
>−<
1]4)1e3(1[9
3
5
ehay1e
⇔ e =
27
55
. Vậy E
1,
27
4) Tiếp điểm của tiếp tuyến (với (C)) có hệ số góc bằng p là nghiệm của :
y' = p ⇔ 3x2 – 6x + p = 0 (3)
Ta có ∆' = 9 – 3p > 0 ⇔ p < 3
Vậy khi p < 3 thì có 2 tiếp tuyến song song và có hệ số góc bằng p.
Gọi x3, x4 là nghiệm của (3).