PHÂN TÍCH PHƯƠNG SAI

PHÂN TÍCH PHƯƠNG SAI

(ANALYSIS OF VARIANCE/ANOVA)

I. GIỚI THIỆU

ANOVA là kỹ thuật thống kê được sử dụng khi chúng ta muốn so sánh số trung

bình của ≥ 3 nhóm. Kỹ thuật này chia phưong sai của 1 quan sát (observation) thành 2

phần: 1phương sai giữa các nhóm (between groups) và 2phương sai nội nhóm (within

group). Do phưong sai là độ phân tán tương đối của các quan sát so với số trung bình

nên việc phân tích phương sai giúp so sánh các số trung bình dễ dàng (bên cạnh việc

so sánh các phương sai).

Phần này chỉ đề cập đến ANOVA một chiều (one-way ANOVA) theo đó các nhóm

được so sánh dựa trên 1 biến số (yếu tố).

II. NGUYÊN LÝ CỦA ANOVA

Thí dụ minh họa: Thời gian nằm viện của các bệnh nhân đã được tiểu phẫu không có

biến chứng được so sánh với nhau theo ba bác sĩ điều trị (A, B, C). Chọn 1 mẫu ngẫu

nhiên bao gồm 8 bệnh án cho từng bác sĩ, số liệu như sau:

Bảng 1. Thời gian nằm viện của bệnh nhân theo bác sĩ điều trị

A A2 B B2 C C2

16 5 25 16 4 4

25 3 9 25 5 5

16 3 9 25 4 5

9 3 9 16 3 4

16 3 9 36 4 6

25 3 9 36 5 6

9 4 16 16 3 4

9 5 25 25 3 5

∑A = 39 ∑A2 = 195 ∑B = 31 ∑B2 = 125 ∑C = 29 ∑C2 = 111

A 

4,875

B 

3,875

C 

3, 625

X 

4,125

Biến số (yếu tố) để so sánh chỉ độc nhất là thời gian nằm viện của bệnh nhân (tính

bằng ngày). Số liệu được phân bố với các ký hiệu như sau:

B/n của BS. A: x1A = 4, x2A = 5, …………………………….., x8A = 5

B/n của BS. B: x1B = 4, x2B = 5, …………………………….., x8B = 3

B/n của BS. C: x1C = 5, x2C = 3, …………………………….., x8C = 5

ijx :

X :

quan sát thứ i thuộc nhóm j

đại trung bình (số trung bình tính được từ 24 b/n)

,A B C :

,

số trung bình của các nhóm A, B, và C (tính từ 8 b/n của mỗi nhóm)

Chọn x2A làm mẫu:

(x2A – X ) = (5 – 4,125) = 0,875

Hiệu 0,875 có thể được tách ra làm 2:

) = (5 – 4,875) + (4,875 – 4,125) (x2A – X ) = (x2A – A ) + ( A X

Biến thiên giữa trung bình của nhóm A và đại trung bình

Biến thiên giữa 1 quan sát thuộc nhóm A và trung bình của nhóm A

Biến thiên giữa 1 quan sát thuộc nhóm A và đại trung bình

= (0,125) + (0,750) = 0,875

ANOVA xem xét biến thiên của tất cả các quan sát với số đại trung bình và phân

chúng ra làm 2: biến thiên nội nhóm và biến thiên giữa các nhóm. Nếu số trung bình

của các nhóm khác nhau nhiều thì sự biến thiên giữa chúng và đại trung bình (biến

thiên giữa các nhóm) sẽ đáng kể hơn so với các biến thiên giữa các quan sát trong 1

nhóm với trung bình của nhóm (biến thiên nội nhóm). Nếu số trung bình của các

nhóm không khác nhau nhiều thì biến thiên giữa các nhóm sẽ không lớn hơn so với

biến thiên nội nhóm. Phép kiểm định giả thuyết về 2 phương sai, F test, có thể được sử

dụng để kiểm định tỉ số phương sai giữa các nhóm và phương sai nội nhóm. Giả

thuyết trống của F test cho rằng 2 phương sai này bằng nhau; nếu H0 đúng thì có nghĩa

là biến thiên giữa các nhóm sẽ không lớn hơn so với biến thiên nội nhóm. Trong tình

huống này, không thể kết luận là các trung bình khác lẫn nhau (không có 1 cặp trung

bình nào khác nhau). Ngược lại, nếu từ chối được H0 thì kết luận được là không phải

tất cả các trung bình đều bằng nhau (có ít nhất 1 cặp trung bình khác nhau).

III. CÁCH TÍNH TRONG ANOVA

+ Tính phương sai giữa các số trung bình nhóm so với đại trung bình:

Tổng bình phương giữa các nhóm (Sum of Squares Between–SSB)

2

j



X

)



═



Ước lượng phương sai giữa các nhóm

jn x ( j



1

SSB  1 j

Trung bình bình phương giữa các nhóm (Mean square between groups – MSB)

+ Tính phương sai giữa các quan sát trong từng nhóm so với số trung bình của

nhóm:

Tổng bình phương nội nhóm (Sum of Squares Within – SSW)

Ước lượng phương sai nội nhóm



(

n



1 )

s

2 j



═



(



1 )

j n

S S W  N

j

j

Trung bình bình phương nội nhóm (Mean square within groups – MSW)

MSB MSW

+ Lập tỉ số phương sai (VR = F ratio): V.R =

IV. PHÉP KIỂM ANOVA

Với thí dụ minh họa trên: Thời gian nằm viện của b/n theo các bác sĩ A, B, C có khác

nhau?

1/ Số liệu: bao gồm 1 biến số liên tục (như đã cho)

2/ Giả định: + Thời gian nằm viện (theo 3 BS) phân phối bình thường.

+ Phương sai của các dân số (thời gian nằm viện theo A, B, C) bằng nhau

+ Các mẫu được rút ngẫu nhiên và độc lập.

3/ Giả thuyết:

H0: µA = µB = µC HA: Có ít nhất 1 cặp µ khác nhau

(µA ≠ µB hoặc µB ≠ µC hoặc µA ≠ µC)

α = 0,05

j – 1 df

4/ Số TKKĐ:

N– j df

MSB MSW

V.R = với

5/ PP. cuûa soá TKKÑ: Khi H0 ñuùng, soá TKKÑ seõ coù phaân phoái F vôùi (3 – 1)

ñoä töï do töû

soá vaø (24 – 3) ñoä töï do maãu soá.

6/ Qui taéc quyeát ñònh: Ñaët  = 0,05. Giaù trò tôùi haïn cuûa F (tra baûng) baèng

3,47. Töø choái

H0 neáu V.R.  3,47.

MSB MSW

2

j





X

)

MSB





7/ Tính số TKKĐ : V.R =

SSB  j 1

jn x ( j



1

2  [8(4,875 4,125) ]





2  [8(3, 625 4,125) ]





MSB







3, 5

2  [8(3,875 4,125) ]  3 1

4,5 0,5 2, 0 2



(

n



1 )

s

2 j

M S W





Tính



(



1 )

j n

S S W  N

j

j

2

2

2

[ ( 8



1 ) 0 , 8 3 4 5 ]



[ ( 8





[ ( 8



1 ) 0 , 9 1 6 1 ]

M S W



1) 0 , 8 3 4 5 ] 3 2 4



Tính





MSW





0, 74

4,875 4,875 5,875 21



4, 73

3, 5 0, 74

V.R =

8/ Quyết định thống kê: Từ chối H0 vì V.R = 4,73 >3,47

9/ Kết luận: Có ít nhất 1 cặp µ khác nhau. p = 0,021

Cách trình bày kết quả ANOVA

Bảng 2. Kết quả so sánh thời gian nằm viện trung bình của b/n thuộc các BS điều trị

A, B, C

Tổng bình Độ tự Trung bình F Giá

phương (Sum of do bình phương (V.R) trị

Squares) (df) (Mean p

square)

Giữa các nhóm 7,000 2 3,500 4,704 0,021

(Between

groups)

Nội nhóm 15,625 21 0,744

(Within groups)

Tổng 22,625 23

(Total)

V. KỸ THUẬT HẬU KIỂM (Post hoc procedures)

Kết quả của ANOVA không cho biết cặp nào của µ khác nhau. Việc tiến hành

các kỹ thuật hậu kiểm sẽ giúp kết luận về việc này. Phần này sẽ giới thiệu 2 phép hậu

kiểm: Tukey’s HSD test (Honestly Significant Difference) sử dụng cho trường hợp

các mẫu bằng nhau, và Scheffé test sử dụng cho trường hợp các mẫu không bằng

nhau.

1/ Tukey’s HSD test

HSD Multiplier



q a (

)

Số TKKĐ của HSD:

MSW n

MSW: Trung bình bình phương giữa các nhóm

a: số lượng số trung bình cần so sánh

q: df của MSW

Tính số TKKĐ:

+ Với 3 số trung bình cần so sánh và 21 df (của SMW) ở ngưỡng α = 0,05, tra

bảng để có multiplier (bội số) là khoảng 3,55;

+ MSW = 0,74;

HSD 

3,55



1, 08

0, 74 8

+ n = 8

Hiệu giữa 2 số trung bình ít nhất phải bằng 1,08 thì mới được xem là có sự khác biệt

có ý nghĩa thống kê (ở ngưỡng 0,05).

A B 

4,875 3,875 1, 000





B C



3,875 3, 625 0, 250





Như vậy: µA = µB

A C



4,875 3, 625 1, 250





µB = µC

µA ≠ µC

Kết luận: Thời gian nằm viện trung bình của b/n thuộc BS. A khác có ý nghĩa thống

kê với

thời gian nằm viện trung bình của b/n thuộc BS. C.

2/ Scheffé test

2

F



 

) 2 ) /

X ( 1 MSW n ( 1

X n 2

n n 1 2

2

F





5, 41

Số TKKĐ:

(4,875 3,875)   0, 74(8 8) / 64

2

F





0,34

Với A và B :

(3,875 3, 625)   0, 74(8 8) / 64

2

F





8, 45

Với B và C :

(4,875 3, 625)   0, 74(8 8) / 64

Với A và C :

Giá trị tới hạn của F được tính bằng cách lấy số nhóm trừ 1 (3-1) rồi nhân cho giá trị

tới hạn của F đã tính được trong phép kiểm ANOVA (4,73).

F (tới hạn) = 2 x 3,47 = 6,94

Sự khác biệt giữa 2 số trung bình được xem là có ý nghĩa thống kê khi F tính được lớn

hơn 6,94. Như vậy chỉ có cặp A và C thỏa điều kiện này. Kết luận tương tự như kết

luận trong Tukey’s HSD test.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------