SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN BẬC HAI
HAI ẨN
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong khi giải phương trinh bậc hai hai ẩn học sinh thường lúng túng
không rõ phương pháp giải. Qua quá trình giảng giải tôi xin đưa ra một số phương pháp giải “phương trình nghiệm nguyên bậc hao hai ẩn”. Việc giải phương trình này còn giúp học sinh có kỹ năng tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức bậc hai hai ẩn và phân tích đa thức thành nhân tử, đồng thời cũng biết được cách giải một số phương trình nghiệm nguyên bậc hai hai ẩn.
II.NỘI DUNG
2
hoặc
2 axaxyaxayay 12345
A. Xét phương trình a „
= a 0 0 +++++ 6 a „ .Trong đó 1
,
2
5
B. Các phương pháp giải. a.Phương pháp thứ nhất Viết vế trái thành tổng các bình phương
a „ 0 0
22
2
Dạng 1.
2
= (cid:236) 0 (cid:239) = (cid:219) AB C++ 0 0 (cid:239) = A =(cid:237) B C 0 (cid:238)
=
= +
Ví dụ; giải phương trình nghiệm nguyên: + +++- 2 52498140(1) x xyxyy Lưu ý: Để viết vế traí thành tổng các bình phương nhất là bình phương của một tam thức cần có cách tách hợp lý. Ta biết hang tử có bình phương thì hệ sổ là số chính phương, do đó 5
22 xx
2 x 4
2 y
22 yy
=
2 y
2
+ 2 c
(cid:219)+++ - + 2 Phương trình (1) + 222 4xxy = -++ 444914 0 y xyxx
là bình phương
++=+ ) abcab ()(()
Ta coi bình phương của một tam thức của nhị thức với biểu thức thử nhất là (a+b) và bểu thức thứ hai là c. = -++ 444914 0 y xyxx
2 y
Vậy (1)
(cid:219)+++ - + 222 4xxy
1
Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
2
(cid:219) 0
()()( xyx 2123
22
2
= +-+-+-+- 2 222 y ((2)2.2(1)(1))(2)(3) xxyyx ) 2 2 = +-+-+- 0 y
(cid:219)+-+++- = x 0
(cid:236) xyy (21)(3)(2) +- = y 21 0 x (cid:239) 3 0 (cid:239) - = (cid:219)+ =(cid:237) y x 2 0 (cid:238)
Bài tập: giải các phương trình nghiệm nguyên:
= (cid:236) x (cid:219) (cid:237) 2 = - y 3 (cid:238)
- - = x
0 = 0
2
x = x 2 0
++- 2 2 2514484 xyxyy +++-+ 2 2 xyxyy 5214448 ++-+- 2 2 0 51031282 xyxyy = ++-+- 2 x 10538121636 xyxyy = ++-+- 2 x 10434122036 xyxyy 0
1, 2, 3, 4, 5, Giải: 1, (cid:219)+++-
- - = x 0
2 448414 0
2
-
-++-+- (cid:219) x ) 22 ++- 2 2 2514484 xyxyy = -+ 222 xxyyxyy ()()( xyx = 2132 y 0
(cid:236) -+ = y 21 0 x (cid:239) (cid:219) - =(cid:237) 3 0 x (cid:239) - = 2 0 y (cid:238)
= (cid:236) x 3 (cid:219) (cid:237) = (cid:238)
x = 0
2
y
2 y +++-+ 2, 2 2 xyxyy 5214448 (cid:219)+++++-+ = 222 2 yyxyx xx 448414 0 ) 22 ()()( = (cid:219)+++++- xyx 2123 0 y
(cid:236) ++ = y x 21 0 (cid:239) 2 0 (cid:239) - = (cid:219)+ =(cid:237) x y 3 0 (cid:238)
= - (cid:236) x 2 (cid:219) (cid:237) = y 3 (cid:238)
3, (cid:219)+++-
0
= ++-+- 2 2 51031282 x xyxyy -++ = 222 2 xxyyxyx 4912283 0 y
2
Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
2
)
22 0
-++++ (cid:219) - y
()()( = 23111 xyx - = 231 0 y
- (cid:236) x (cid:239) (cid:219)+ =(cid:237) x 1 0 (cid:239) + = 1 0 y (cid:238)
2
= - (cid:236) 1 x (cid:219) (cid:237) = - 1 y (cid:238)
2
2
2
= 0
(cid:219) 0 9438121636 )
()(
)
2
0
22 0
-+-+- (cid:219) - y
= ++-+- 4, 2 x xyxyy 10538121636 (cid:219)++++-+- 222 2 x xxyyxyy ()()( 2 -++++-++-+ = (32.3 .2525)6944 y xxyyxxy ()()( ) = xyx 32532 - = 325 0 y
- (cid:236) x (cid:239) (cid:219) - =(cid:237) x 3 0 (cid:239) - = y 2 0 (cid:238)
= (cid:236) x 3 (cid:219) (cid:237) = y 2 (cid:238)
2
5, (cid:219)+-+-
= 0
x 2 x 0
(cid:236) (cid:219) (cid:237) +++-+- 2 22 xxyxyy 9434122036 ()( ) = xy 3253 +- = 325 0 y x - = 3 0 x (cid:238)
= (cid:236) x (cid:219) (cid:237) 3 = - y 2 (cid:238)
22222 ABCmn
Dạng 2.
và các hoán vị của chúng. Ví dụ: Giải phương trình:
2
= – (cid:236) A m (cid:239) +++=++ 2 (cid:219)= – (cid:237) p + ...... n B (cid:239) = – C p (cid:238)
2
2 xx -+
-+ - = 6 y 0
(cid:219) - = 2 xx 44244 y 0
2 y
(cid:219) + 22222 (21)(2)25340 5 -+==+= x
3
Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
Do 2x-1 lẻ nên
(cid:236) x 21 - = 3 (cid:239) = - (cid:236) x 2; 1 (cid:237) (cid:219) (cid:237) = (cid:239) 2 y 4 (cid:238) = – y 2 (cid:238)
Hoặc
Phương trình đã cho có nghiệm:
(x,y) = (2,2), (3,0), (-1,-2),(-3,0);(2;-2);(-1;2);(-2;0)
Bài tập: Giải các phương trình nghiệm nguyên dương:
2
(cid:236) = - (cid:236) - = 5 21 x (cid:239) 3; 2 x (cid:219) (cid:237) (cid:237) = = 0 y (cid:238) (cid:239) 2 0 y (cid:238)
2
=+ -
2
100613 y = y 45169
=+ -
222
2
1, 2 xxy -+ 2, 2 xxy Giải: 1, 2 100613 xxy y = -++ 22 269 xxyy 2 + -+==+= x
(cid:219) y 4100 2 (cid:219)
(cid:236) 6 x (cid:239) = (cid:236) (cid:219) x 9 (cid:237) (cid:219) (cid:237) 3210068010 y - = 3 = (cid:239) 8 2 y (cid:238) = y 4 (cid:238)
Hoặc
(cid:236) 8 x (cid:239) = (cid:236) x 11 (cid:237) (cid:219) (cid:237) - = 3 = (cid:239) y 2 6 (cid:238) = y 3 (cid:238)
Hoặc
(cid:236) - = x (cid:239) = (cid:236) x 13 (cid:237) (cid:219) (cid:237) 310 = (cid:239) y 0 2 (cid:238) = y 0 (cid:238)
Hoặc
Vậy phương trình đã cho có nghiệm:
(
(
)(
) }
2
2, -++
(cid:236) 0 x (cid:239) (cid:236) x 3 (cid:237) (cid:219) (cid:237) - = 3 = (cid:239) 210 y (cid:238) = = y 5 (cid:238)
(cid:219)
{ ) ( ) x y = ,9;411;33;5 -+ = 2 xxy 45169 y = 244169 22 xxyy y + -+==+= 22222 y xy
2 2169125013
(cid:219)
4
Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
(cid:236) - x (cid:239) = (cid:236) (cid:219) x 22 (cid:237) (cid:219) (cid:237) = 212 y = (cid:239) y 5 (cid:238) = y 5 (cid:238)
hoặc
(cid:236) - 5 x = y (cid:239) = (cid:236) x 19 (cid:237) (cid:219) (cid:237) 2 = (cid:239) y 12 (cid:238) = y 12 (cid:238)
hoặc
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: (
) }
)(
)
(
{ ) ( x y = ,22;519;1226;13
(cid:236) - x = y 0 (cid:239) = (cid:236) x 26 (cid:237) (cid:219) (cid:237) 2 = (cid:239) y 13 (cid:238) = y 13 (cid:238)
Dạng 1. A.B.C =0
b.Phương pháp thứ hai: Phân tích vế trái thành nhân tử = A =Œ B C
Ø 0 Œ (cid:219) 0 Œ = º
0 Dạng 2. A.B.C... = m.n.p... (Với m, n,p là các số nguyên) Ø Œ (cid:219)
và các hoán vị của chúng. Ví dụ: Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
2
Œ = A m =Œ B n = C p º
2
=
(cid:219)
++ 2 310896 y xxy = +++ 2 y xxyxy 364896 (cid:219)++=== = y xyx (2)(34)9616.612.824.4 Do x,y là các số nguyên dương nên ‡
= (cid:236) (cid:236) x 4 (cid:222) (cid:219) (cid:237) (cid:237) +>+ (34)(2) 3 y xyx += 2416 xy += = 26 xy y 1 (cid:238) (cid:238)
Hoặc
(loại)
+== - (cid:236) (cid:236) x (cid:219) (cid:237) (cid:237) xy 2412 += 4 = xy y 6 (cid:238) (cid:238)
Hoặc
(loại)
(
)
) x y = ,4;1
= (cid:236) (cid:236) x (cid:219) (cid:237) (cid:237) 28 += xy 242416 +== - 24 xy 6 (cid:238) (cid:238)
Giải các phương trình nghiệm nguyên:
2
2 yx
y Vậy phương trình đã cho có nghiệm:( Bài tập:
1,
x=+ + 6
5
Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
)
(
2
+ 6
-
2
xy y-= 2 25 -+ = 2 xxy 65121 y ( ) xyxy+= 53 2 -+- = - 36 0 y
2, 3, 4, 5, 2 xxxy Giải: 1, 2 yx (cid:219)=+
2 x
2
6
2
(cid:219)
-+ (cid:219) x
)
(cid:219) - - 221221231.23(1).(23)23.1(23).(1) x
)( ) )
(cid:236) y 22 (cid:239) = (cid:236) * y 6 (cid:237) (cid:219) (cid:237) - x=+ + + 2 44424yx -++ = 2 yx x (2)(441)23 = 2 y (2)(21)23 ( -==- -++===- yxy ( ( (cid:239) ++ = 123 x - = x 1 y 221 (cid:238) = x 5 (cid:238)
(cid:236) = (cid:236) y 221 (cid:239) 6 y * (cid:219) (cid:237) (cid:237) = - - x 6 (cid:238) ++ = 1 x - = 22123 x y (cid:239) (cid:238)
( ( ( (
) ) ) )
(cid:236) ++= - x (cid:239) = - (cid:236) * y 6 (cid:237) (cid:219) (cid:237) 22123 y -= - - (cid:239) y 221 x 1 (cid:238) = - x 6 (cid:238)
( (
) )
(cid:236) y 221 ++= - x 1 (cid:239) = - (cid:236) * y 6 (cid:237) (cid:219) (cid:237) - (cid:239) -= - 22123 y x (cid:238) = x 5 (cid:238)
(
) (
)}
- - -
6
2 6916 y
2 xy
(cid:219)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm { nguyên:( ) ) ( ( x y =- ,5;6,6;6,6;6,5; 6 ( + xy y-= 2, 2 25 ( = -++ (
) ) ) )
-++ = (cid:219)
2 6916 y ) 2316 y
-+ (cid:219)
)
(cid:219) - = xyx
)
(
- - 3
)
-
Và ( (
cùng tính chẵn lẻ nên (
)(
)
(
)(
)
2 xy ()( 2 = x ( )( -++ y 3316 Do ( ) £+ + y 3 xyx ) ( -+ + 3; xyx 3 y ) )( -=- -++===- 332.84.4824 y =
- - xyx 4
- (cid:236) (cid:236) -= xy 32 5 * (cid:219) (cid:237) (cid:237) ++= xy 38 0 x = y (cid:238) (cid:238)
6
Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
= - (cid:236) (cid:236) -= xy 34 4 x * (cid:219) (cid:237) (cid:237) ++== - xy 34 y 3 (cid:238) (cid:238)
-=-= - - (cid:236) (cid:236) xy 38 x 5 * (cid:219) (cid:237) (cid:237) ++=- = xy 32 y 0 (cid:238) (cid:238)
-=-= - - (cid:236) (cid:236) xy 34 x 4 * (cid:219) (cid:237) (cid:237) ++=-= - y xy 34 (cid:238) (cid:238)
)
(
)(
)(
)}
{ ) ( x y =- ,5;05;04;34; 3
2
- - -
3, -+-
3 Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên:(
2
(cid:219) y
(cid:219) - -
(cid:219) -
)
= 3232121 y xyyxy
- -
(
)
-+‡ xyyxy 323 y
-
)
cùng tính chẵn lẻ nên
-+- xyyxy 32;3 y
(cid:236) (cid:236) - = 32121 y -+ xy (cid:236) - x = 361 y (cid:239) (cid:239) (cid:239) x = 361 y * (cid:219) (cid:219) (cid:237) (cid:237) (cid:237) = = – (cid:239) - - (cid:239) (cid:239) 260 y 30 y (cid:238) -+ = 2 xxy 65121 y = 22 2694121 xxyy ()( ) 2 = 32121 y xy ( -+- Do ( Và ( ( (
)( ) 2 ) ( 2 ) )
32 1 xy = y (cid:238) (cid:238)
Thì
Nếu
-=(cid:222) = y = 30 x 9061151;29 x
+=(cid:222)=- - y = - 30 x 9061151;29 x
Nếu ( (
Thì ) )
(cid:236) = (cid:236) - -+ xy 3211 y x = 311 y (cid:236) (cid:239) (cid:239) 11 x * (cid:219) (cid:219) (cid:237) (cid:237) (cid:237) = – = = 0 y (cid:238) - - (cid:239) (cid:239) 2 0 y xy = 3211 y (cid:238) (cid:238)
) (
) (
) (
)
(
)}
{ (
- - - -
) ) ( x y =- ,29;30,151;30,29;30,151;30,11;0,11;0 ) 2
Vậy phương trình đã cho cónghiệm nguyên:( ( 4, 53 (cid:219)+-= -
)
-
xyxy+= ( 53
2 )
(cid:219)+-= - -= - (cid:219) 6 6
)
-+= - (cid:219) - - y 6
(cid:219) - - y xyxy ( 159 xyxy xxy 159 ()( xy 35355325 ()( ) = x 353531
Không mất tính tổng quát giả sử x
(cid:222) - £ - y£ x 353 5 y
7
Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
(cid:236) (cid:236) x * (cid:219) (cid:237) (cid:237) = 2 = -= 351 x -= 353112 y y (cid:238) (cid:238)
(loại)
)
(
) }
{ ) ( x y = ,2;1212; 2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên:(
(cid:236) = x (cid:239) -= - (cid:236) (cid:239) 1 35 x 4 3 * (cid:219) (cid:237) (cid:237) - -=- 353126 y (cid:238) (cid:239) = y (cid:239) (cid:238) 3
2 xxxy
5, -+
-+- = - 36 0
(cid:219) - x
)
(
)
-+- (cid:219) - - x 0
)
-+ (cid:219) - 0
˛ Ø (cid:219) Œ ˛ y +- = 2 3326 0 xxxyy ) ( ( = xxyx 3323 )( ( = xx y 32 = xy Z 3; =+ yxx Z 2; º
c.Phương pháp thứ ba: Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai Ta coi phương trình bậc hai hai ẩn là phương trình bậc hai một ẩn còn ẩn kia là hằng số.Chẳng hạn
x y (, )
0 f = ta coi y hằng số.
có hệ số a < 0.
c + 2 ayby D=+ y
có hệ số b < 0.
y
c + by
từ đó tìm được một nghiệm là y
y
x y (, )
Dạng 1. nếu D= hoặc Để phương trình và suy ra nghiệm còn lại x. Ví dụ: giải phương trình nghiệm nguyên:
2
D ‡ 0 f 0 = có nghiệm thì
2
++= + y 8
2 xxyyx = 2 xyxy 3(31)38
2
(3) (cid:219)+-+- y 0
Coi phương trình này là phương trinh bậc hai ẩn x. Ta có
.
+ 279 y 1 y D=-+ y
2 y 2791 0
Để pt đã cho có nghiệm thì
y D=-++ ‡ y
Thay vào ta được
2
{ } 0,1,2,3 - = x=(cid:222) 03
(cid:219) - £ £ ˛ 0,013,3; yy Z
yx 0 y ˛ Nếu
Ø = x Œ (cid:219) - = (cid:222) 2 3 x x 0 Œ = x 1 3 0 º
Nếu
yx =(cid:222)+- = 2 x 1325 0
8
Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
2 x 325 0
= Ø x 1 Œ - (cid:219)+-= (cid:222) x Œ = x º 5 3
(không phải là số chính phương)
yx
2 x 3383 0
=(cid:222)+- = 2 x 2354 0 = 254873 =(cid:222)++ =
(không phải là số chính phương)
Nếu D=+ Nếu D=- = / pt đã cho có 2 nghiệm:(x,y) =(0,0);(1,1) Bài tập: Giải các phương trình nghiệm nguyên: 2 2
yx 169 7
2
(
)
0 - = y 2 ++- 2 xxyyx -+= + 2 y xxyyx
2 2
2
1, 2, Giải: 1, D=-+-
- = y (cid:219)+-++ = 2 xxyy y 2 0
2
++- 2 xxyyx + 2 yyy y 4 0 D= - 4 3y 444 2
- ‡ (cid:219) £ (cid:219) - £ £
Để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì 2 yy 43011 Nếu
(cid:222) 1 -+-+ = =- yxx y 2 x 1121 0 = Ø x 2 (cid:219) -+= (cid:222) 2 x x 32 0 Œ = x º
2 0
Nếu
2
- =(cid:222) yx 02 = x 1 = Ø x 2 (cid:219) -= (cid:222) x 2 x 0 Œ = x 0 º
Nếu
=(cid:222)++- yxx = Ø - = 2 1121 0 x x 0 (cid:219) - = (cid:222) 2 x x 0 Œ = x º
) (
) (
) (
(
{ (
)}
2
2
- 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: ) ( ) ) ( x y =- ,1;1,2;1,0;0,2;0,1;1,0;1
) 1
2
2, 2 xxyyx -++- = 2 xxyy D=++-+=-+ 22 yyyyy
(cid:219) -+= + y ( 0
y + y 214436 1
0
Để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì
D ‡
(cid:219) y (cid:219) - £ £
y ˛ -++ ‡ 2361 0 y 0,1542,154y {0;1; 2 }
9
Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
2
Nếu
yx - = x=(cid:222) 0 0 = Ø x 1 (cid:219) - = (cid:222) 2 x x 0 Œ = x 0 º
2 0
Nếu
2
- =(cid:222) yx 12 = x = Ø x 2 (cid:219) -= (cid:222) x 2 x 0 Œ = x 0 º
Nếu
(
) (
) (
) (
)}
=(cid:222) yx -+ = 2 232 0 x = Ø x 2 (cid:219) -+= (cid:222) 2 x x 32 0 Œ = 1 º
x Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: ) ) ( ) ( x y = ,0;0,1;0,0;1,2;1,1;2,2; 2
2
có hệ số a là một số chính phương Để phương D =
c D=+ y
từ đó tìm được một nghiệm là y và suy ra
y m
x y (, )
{ ( Dạng 2. Nếu trình nghiệm còn lại x. Ví dụ : giải phương trình nghiệm nguyên:
0 f + 2 ayby = có nghiệm thì
2
1, (cid:219)+-+-
6
Coi phương trình này là phương trinh bậc hai ẩn x.
++- 2 xyxyx - = 2 xyxy - = 2232 y y (32)26 0
2
D=-+ y
y m
2
D = + 2 81612 y y Để pt đã cho có nghiệm thì
2
= 2 yy m 81612 D=-++ y
(cid:219) - - = 2 m y (4)12
(m-y+4)Và chúng có cùng tính chẵn lẻ.Nên
-
Thay y=6 vào pt đã cho ta có:
-++-===- (4)(4)122.62.(6) mym y Vì(m+y-4) ‡ -+ = = (cid:236) (cid:236) (cid:219) (cid:237) (cid:237) = +- = m y 4 6 (cid:238) (cid:238)
2
2 4 4 6 = - 7218212 0
x = x
2
(cid:236) (cid:236) m y m y ++- 2 xx (cid:219)++ x 1660 0 Pt này vô nghiệm. m 4 6 4 (cid:219) (cid:237) (cid:237) = - = -+= - m y +-= - m y y 2 4 (cid:238) (cid:238)
(
)
Coi phương trình này là
2 6924 y
- - - - y
6 Pt đ ã cho vô nghiệm - = -+=(cid:219) 2, 2 236326 0 xyyxxxxy phương trinh bậc hai ẩn x. D=-+ + y y
10
Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
2
y m
2
D =
2 yy
Để pt đã cho có nghiệm thì D=+++ y
2
= 2132 m
-+ = 2 (cid:219) m y (1)32
)
= mym y
(
- + ++‡ 1 mym y
‡ 1 ) m y++
)1
0 1
) có cùng tính chẵn lẻ, (
‡
)( 1132 ) ) ( ++- + 1; mym y )1
-+ m y 0
( (cid:219)++-+ Do ( Và ( nên(
.Ta có
(cid:236) (cid:236) -+ = = m y 1 2 m 9 (cid:236) (cid:239) (cid:239) * (cid:219) (cid:219) (cid:237) (cid:237) (cid:237) m y = – 9 = - 6; 8 (cid:238) ++ = (cid:239) (cid:239) + = 1 y 7 m y 116 (cid:238) (cid:238)
(cid:236) (cid:236) -+ = = m y 1 4 m 6 (cid:236) (cid:239) (cid:239) * (cid:219) (cid:219) (cid:237) (cid:237) (cid:237) = – = - m y 6 1; 3 (cid:238) (cid:239) (cid:239) y + = 1 2 m y ++ = 1 8 (cid:238) (cid:238)
Nếu
D=+
= 94.1881
; 2 x
(cid:219)+- - =(cid:222) yxx -+- = 2 631266 0 x x - - (cid:222)= == - 3 6 x 1 - + 3 9 = 2 -+ (cid:222) (cid:219) = 2 318 0 x 3 9 2 = 2 1110 0 x -+- =- yxx
= x= 21;10 - (cid:219) - =(cid:222) yxx -+- = 1326 0
x =-= - ; 2 13 (cid:222) (cid:219) - x - = 2 28 0 x x 2 = 2 6 x x 0
Nếu = x 1
(cid:222) 0 - = Nếu 2 831686 0 x phương trinh có nghiệm: 1 x Nếu 2 x (cid:222)=+ = D=+ = / x 1 13 4 18 9 - = -+- =- 2 33636 0 x yxx x = ; 2 6
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: )( ) (
) (
) (
)
(
(
) (
)(
{ (
)}
- - - - -
2
3, -++
0
) x y =- ,3;6,6;6,10;8,1;8,4;1,2;10;36; 3 ++- 222 2 xxyyx y ( = 22 xyxy 1
0
Coi phương trình này là phương trinh bậc hai ẩn x. D=-
(cid:219) = ) y
-
)
(
)
3 y -=-+=-= y
D
( 2 222224422 yyyyyyyyy 4144434 Để pt đã cho có nghiệm thì
y
2
2
2
là số chính phương )( ( )
-=(cid:219) -=(cid:219) (cid:222) = -+ 2 432322 ymymymy m 3
(cid:236) (cid:236) = – (cid:236) 2 -= 212 ym (cid:239) (cid:239) 1 y * (cid:219) (cid:219) (cid:237) (cid:237) (cid:237) = – += = y = 1 m (cid:238) (cid:239) (cid:239) 23 ym 1 m (cid:238) (cid:238)
11
Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
2 1010 2 1010
Nếu y = 1 Nếu y = -1
)
(
) }
{ ( ) x y =- ,1;1,1; 1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: (
2
2
(cid:222) (cid:222)++-= (cid:219)+=(cid:219)= - 2 xxxx -+=(cid:219) = -+-=(cid:219) 2 xxxx x x 1 1 -
hoặc
Thì
d.Phương pháp thứ tư: dùng tính chất của số chính phương: = có dạng Nếu phương trình
xy (,)( )
x
xy (,)(
)
y
2
2
B= A A 0 f B=
x y (, ) =
x ( )
y
)
hoặc
x ( )
y
)
2
(cid:236) (cid:236) = B m m (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:237) ‡ ‡ B 0 0 (cid:239) (cid:239) B ( B ( (cid:238) (cid:238)
2
++= + 2 x ()(9)
- xy (9)9(92 ) y
yy x
Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình; 2 xxy (cid:219)+-= Do 18-2y chẵn và18-2y<18 . để pt có nghiệm thì 18-2y là số chính phương. = -=(cid:219)= 18209; 0 = -==(cid:222)= 2 1824161;20 x = -==(cid:222)= 2 x 8 yy 182247;
Vậy pt đã cho có 3 nghiệm:(x,y) =(0;9);(8;7);(20:1) C. Phương trình đưa được về dạng bậc hai hai ẩn: 1. Giải phương trình nghiệm nguyên a. x4 – 2y4 – x2y2 – 4x2 – 7y2 -5 = 0 Đ ặt t=x2 ta c ó: t2 – 2y4 - ty2 – 4t – 7y2 -5 = 0
yy
x3 – y3 = 7(x-y) (cid:219)
x2 +xy + y2 =7
(cid:219)
22 yy
-
t2 – (y2 + 4)t –(2y4 + 7y2 + 5) = 0 Đây là phương trình bậc hai đối với ẩn b. Giải phương trình nghiệm nguyên x3 + 7y = y3 +7x (x„ y) (cid:219) (cid:219) x2 +xy +y2 – 7 =0 D=-+= 2 y 42828 3 y Để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì
y
22
2
D ‡ 0
}
{
(cid:222) - ‡ (cid:219) £ (cid:219) ˛ y 283091;4;9 y y
1
2
2 3 2
-+-=(cid:219) (cid:222) - = 170602; x
1
2
2
3
1
2
2
-+-=(cid:219) 170602; x = (cid:222) - 24702301; x 3
1
2
24702301; x
1
2
2
x 3 2 2
Nếu y = -1 Nếu y = 1 Nếu y = -2 Nếu y = 2 Nếu y = 3 Nếu y = -3
1
2
-+-=(cid:219) (cid:222) -=(cid:219)=- 2 xxxxx (cid:222)++-=(cid:219)+-=(cid:219)== - 2 xxxxx -=(cid:219)=- 2 xxxxx (cid:222)++-=(cid:219)+-=(cid:219)== - 2 xxxxx (cid:222)++-=(cid:219)++=(cid:219)=-= - 2 xxxxx -+=(cid:219)= 2 xxxxx 39703201; = 39703201; x 2
12
Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
) (
) (
) (
(
)
)(
)(
)(
)(
)(
)(
{ (
)}
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: ) ) ( ( x y =- ,2;1,3;1,2;1,3;1,1;2,3;21;23;21;32;31;3 2
III. KẾT LUẬN:
Qua giảng dạy rút ra cho học sinh những phương pháp giải cụ thể cho từng loại toán thì học sinh có thói quen nhận dạng và sử dụng phương pháp giải thích hợp và phát huy khả năng tư duy của học sinh. Tuy nhiên bài viết có thể có nhiều sai sót mong quý bạn đọc góp ý giúp đỡ.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
Ng
Ngày 30 tháng 5 năm 2008 ười viết:
Phan Thị Nguyệt.
- - - - - - - - - - - ; 3
13
Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
