1
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài:
Rèn luyện cho học sinh kỹ năng sử dụng phương
pháp đặt ẩn phụ để giải một số phương trình logarit
2
PHẦN 1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Phương trình logarit là một trong những phần trong chương trình thi đại
học. Khi gặp những loại phương trình này, học sinh có thể giải quyết bằng nhiều
cách, một trong những cách có khả năng phát huy tính tích cực, sáng tạo của học
sinh là phương pháp đặt ẩn phụ. Học sinh chưa thực sự giải quyết tốt trong vấn
đề lựa chọn ẩn phụ, chính vì vậy tôi chọn đề tài “Rèn luyện cho học sinh kỹ
năng sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải một số phương trình logarit”.
PHẦN 2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Thực trạng vấn đề
Khi gặp phương trình logarit phải sử dụng đến phương pháp đặt ẩn phụ,
nhiều học sinh còn lúng túng trong cách giải quyết, chưa nhìn thấy cách đặt ẩn
phụ hợp lý.
2. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài đã sử dụng phương pháp phân tích và tổng hợp.
3. Đối tượng nghiên cứu.
Ôn thi đại học cho học sinh lớp 12 trường THPT Ba Đình
4. Cách thức thực hiện
Để thực hiện đề tài này, tôi phân thành 5 dạng bài tập tương ứng với 5
phương pháp đặt ẩn phụ. Các bài đưa ra đề là các bài trong đề thi đại học và các
bài tập tương tự
5. Nội dung
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Phương trình có dạng f(x) = g(x), đặt cả 2 vế bằng t và chuyển thành hệ
phương trình rồi đưa ra phương trình trung gian.
)(log xf
a= u f(x) = au
- Nếu đặt xt a
log với x
0 thì kk
atx log , t
a
x
1
log với 0
x ≠ 1
- Nếu đặt x
b
at log
thì a
b
xt log
3
B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN
I. Dạng 1. Đặt cả hai vế của phương trình logarit bằng 1 ẩn phụ mới.
Phương pháp đặt ẩn phụ thường được áp dụng đối với những phương trình
logarit có thể đưa về dạng phương trình mà 2 vế là 2 biểu thức logarit khác
nhau. Trong những trường hợp này thường giải phương trình bằng cách đặt cả 2
vế bằng u rồi đưa về phương trình mũ và giải bằng phương pháp chiều biến
thiên hàm số.
Ví dụ 1: Giải phương trình: xx 25 log)3(log (1)
Giải:
Điều kiện xác định: x
-3
Đặt xx 25 log)3(log = u.
Phương trình đã cho trở thành hệ:
u
u
x
x
2
53
5u - 3 = 2u 2u - 3 = 5u
1
5
1
3
5
2
uu
(2)
- Nhận thấy u = 1 là nghiệm của phương trình (2)
- Nếu u
1 thì 1
5
3
5
2
5
1
3
5
2
uu
u
1 không phải là nghiệm của phương trình (2)
- Nếu u
1 thì 1
5
3
5
2
5
1
3
5
2
uu
u
1 không phải là nghiệm của phương trình (2)
Do đó u = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (2)
Khi u = 1 thì x = 21 = 2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 2
Nhận xét: Phương trình (1) có thể cho dưới dạng x
x
)3(log5
2(*)
Sau khi lấy logarit hoá 2 vế với cơ số 2 thì phương trình (*) sẽ chuyển thành
phương trình (1). Cũng có thể tổng quát phương trình trên thành dạng
xa cx
b
)(log với a + c = b.
4
Ví dụ 2: Giải phương trình: )1(loglog 23 xx (3)
Giải:
Điều kiện xác định: x
0
Đặt )1(loglog 23 xx = u.
Phương trình đã cho trở thành hệ:
u
u
x
x
21
3
12
3
u
u
x
x
123 u
u
1
2
3
2
1
u
u
(4)
- Nhận thấy u = 2 là nghiệm phương trình
- Nếu u
2 thì
u
u
2
3
2
11
2
3
2
12
2
u
2 không là nghiệm phương trình (4)
- Nếu u
2 thì
u
u
2
3
2
11
2
3
2
12
2
u
2 không là nghiệm phương trình (4)
Do đó u = 2 là nghiệm duy nhất của (4)
x = 32 = 9 là nghiệm duy nhất của (3)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 9
Nhận xét: Phương pháp trên cũng được áp dụng để giải bất phương trình logarit
cùng dạng, chẳng hạn bất phương trình x
3
log )1(log2x, sau khi đặt ẩn phụ
như trên thì xét u
2; u
2.
Ví dụ 3: Giải phương trình: xx x
6
log
2log)3(log 6 (5)
Giải:
Điều kiện xác định: x
0
Đặt xx x
6
log
2log)3(log 6 = t
Phương trình đã cho trở thành hệ:
t
t
x
x
x
6
23 6
log
(a)
(b)
5
Thế (b) vào (a) ta được: 6t + 3t = 2t
3t + 1
2
3
t
(c)
- Nhận thấy t = -1 là nghiệm của (c).
- Nếu t
-1 thì 3t +
t
2
3 3-1 + 1
2
31
t
-1 không là nghiệm phương trình (c).
- Nếu t
-1 thì 3t +
t
2
3 3-1 + 1
2
31
t
-1 không là nghiệm phương trình (c).
t = -1 là nghiệm duy nhất
Khi đó x = 6-1 = 6
1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 6
1
Ví dụ 4: Giải phương trình: lg(x2 - x - 6) = lg(x + 2) + 4 (6)
Giải:
Điều kiện xác định: x
3
(6) lg(x2 - x - 6) - lg(x + 2) = 4 - x
x
x
xx
4
2
6
lg
2
lg(x - 3) = 4 - x
Đặt lg(x - 3) = 4 - x = u
x = 10u + 3 = 4 - u
10u = 1 - u
- Nhận thấy u = 0 là nghiệm phương trình
- Nếu u
0 thì 10u
100 = 1 1 - u
1
u
0 không là nghiệm phương trình
- Nếu u
0 thì 10u
100 = 1 1 - u
1
u
0 không là nghiệm phương trình
u = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình