1. PH N M ĐUẦ Ở Ầ
1.1/ Lý do ch n đ tàiọ ề
M c đích c a vi c gi ng d y môn toán tr ng trung h c là d y h cụ ủ ệ ả ạ ở ườ ọ ạ ọ
sinh v ki n th c toán, cách gi i bài t p, rèn luy n k năng gi i toán, giúp h cề ế ứ ả ậ ệ ỹ ả ọ
sinh khai thác đc các ho t đng ti m n trong n i dung môn toán và hình thànhượ ạ ộ ề ẩ ộ
t duy logic cho h c sinh.ư ọ
Trong sách giáo khoa l p 12 Gi i tích đã trình bày cách tìm giá tr l nớ ả ị ớ
nh t, giá tr nh nh t c a hàm s . Vì v y, m t s d ng bài toán tìm giá l n nh t,ấ ị ỏ ấ ủ ố ậ ộ ố ạ ớ ấ
giá tr nh nh t c a m t bi u th c ch a m t bi n tr nên đn gi n.ị ỏ ấ ủ ộ ể ứ ứ ộ ế ở ơ ả
Bài toán tìm giá tr l n nh t, nh nh t là m t bài toán b t đng th c vàị ớ ấ ỏ ấ ộ ấ ẳ ứ
đây là m t trong nh ng bài toán d ng khó tr ng trình trung h c ph thông.ộ ữ ạ ở ươ ọ ổ
Trong các bài toán tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a m t bi u th c dànhị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ộ ể ứ
cho h c sinh khá, gi i thì bi u th c c n tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh tọ ỏ ể ứ ầ ị ớ ấ ị ỏ ấ
th ng ch a không ít h n hai bi n. Không nh ng th , các bài toán khó th ng cóườ ứ ơ ế ữ ế ườ
gi thi t r ng bu c gi a các bi n.Tuy nhiên trong ch ng trình gi ng d y vàả ế ằ ộ ữ ế ươ ả ạ
h c t p b t đng th c và tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t luôn là ch đ h pọ ậ ấ ẳ ứ ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ề ấ
d n đi v i ng i d y l n ng i h c.Vi c gi i các bài toán này đòi h i ng iẫ ố ớ ườ ạ ẫ ườ ọ ệ ả ỏ ườ
làm ph i v n d ng ki n th c h p lý, nhi u khi khá đc đáo và b t ng . Nó đaả ậ ụ ế ứ ợ ề ộ ấ ờ ư
chúng ta xích g n l i v i các bài toán th ng g p trong th c t là đi tìm cái “ầ ạ ớ ườ ặ ự ế
nh t “ trong nh ng đi u ki n nh t đnh ( nhi u nh t, ít nh t, nhanh nh t, ch mấ ữ ề ệ ấ ị ề ấ ấ ấ ậ
nh t,…). Chính đi u đó làm cho h c sinh th y đc tính thi t th c c a toán h cấ ề ọ ấ ượ ế ự ủ ọ
trong cu c s ng. Đng th i, nó cũng t o nên s thích thú cho h c sinh trong quáộ ố ồ ờ ạ ự ọ
trình gi i toán.ả
Đ ch ng minh B t đng th c và tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh tể ứ ấ ẳ ứ ị ớ ấ ị ỏ ấ
c a bi u th c có nhi u ph ng pháp, và không có ph ng pháp nào là v n năngủ ể ứ ề ươ ươ ạ
đ gi i đc m i bài toán mà ch có nh ng ph ng pháp gi i đc m t nhómể ả ượ ọ ỉ ữ ươ ả ượ ộ
các bài toán mà thôi. Trong quá trình gi ng d y, b i d ng h c sinh gi i và ônả ạ ồ ưỡ ọ ỏ
thi đi h c, cao đng b n thân đã rút ra đc m t trong nh ng ph ng pháp kháạ ọ ẳ ả ượ ộ ữ ươ
hi u qu là s d ng đo hàm bài toán tìm giá tr l n nh t, nh nh t. V n đ đtệ ả ử ụ ạ ị ớ ấ ỏ ấ ấ ề ặ
ra là nh ng d ng bài toán tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t nào thì chuy n vữ ạ ị ớ ấ ị ỏ ấ ể ề
đc d ng bài toán tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s ch a m tượ ạ ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ố ứ ộ
n, ch n mi n c a n nh th nào cho đúng.ẩ ặ ề ủ ẩ ư ế
V i nh ng lý do nh trên tôi ch n đ tàiớ ữ ư ọ ề :
‘‘CÁCH CHUY N BÀI TOÁN GIÁ TR L N NH T- GIÁ TR NH NH TỂ Ị Ớ Ấ Ị Ỏ Ấ
C A BI U TH C NHI U BI N QUY V M T BI N”Ủ Ể Ứ Ề Ế Ề Ộ Ế
1.2/ M c đích nghiên c uụ ứ :
1
Tìm tòi thêm cách chuy n (gi m bi n) c a bi u th c ch a nhi u bi n.ể ả ế ủ ể ứ ứ ề ế
Phát huy kĩ năng v n d ng các b t đng th c c b n vào gi i các bài toán khó ậ ụ ấ ẳ ứ ơ ả ả
trong kì thi THPT Qu c Gia.ố
T o và đnh h ng gi i bài toán Min- Max m t cách d nh t không gây áp l c ạ ị ướ ả ộ ễ ấ ự
khó v i h c sinh.ớ ọ
1.3/ Đi t ng nghiên c u:ố ượ ứ
Là h c sinh có l c h c t trung bình khá môn toán tr lên trong ch ng trình ọ ự ọ ừ ở ươ
THPT áp d ng cho h c sinh kh i 12ụ ọ ố
1.4/ Ph ng pháp nghiên c u:ươ ứ
T ng h p nghiên c u các tài li u liên quan và các bài t p ph n tìm giá tr l n ổ ợ ứ ệ ậ ầ ị ớ
nh t và nh nh t.ấ ỏ ấ
2. N I DUNG Ộ
2.1/C s lí lu n c a v n đ.ơ ở ậ ủ ấ ề
- B t đng th c Cô – si, đnh lý Viétấ ẳ ứ ị
- M t s ki n th c c s v đo hàm.ộ ố ế ứ ơ ở ề ạ
- Đnh nghĩa giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s .ị ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ố
- Quy t c tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s ắ ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ố
f
trên đo n ạ
ba;
,
trên kho ng, n a kho ng.ả ữ ả
2.2/Th c tr ng c a v n đ c n nghiên c uư ạ ủ ấ ề ầ ứ
2.2.1/Th c tr ngự ạ
Bài toán giá tr l n nh t, nh nh t là m t trong nh ng lĩnh v c khó và kháị ớ ấ ỏ ấ ộ ữ ự
ph c t p th ng xuyên đc đ c p trong các đ thi h c sinh gi i, đi h c - caoứ ạ ườ ượ ề ậ ề ọ ỏ ạ ọ
đng. Đi v i lo i toán này h c sinh th ng hay lúng túng và không tìm ra conẳ ố ớ ạ ọ ườ
đng gi i quy t và th ng s d n đn không ch u làm và hay có nh ng k tườ ả ế ườ ợ ẫ ế ị ữ ế
lu n sai l m. Trong quá trình gi ng d y c a mình, có m t l n tôi đa ra cho h cậ ầ ả ạ ủ ộ ầ ư ọ
sinh c a mình gi i hai bài toán sau :ủ ả
Bài 1. Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s : ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ố
( )
3
f (x) x 5 x= −
trên đo n ạ
[ ]
0;5
.
Bài 2. Cho các s th c a,b,c th a mãn ố ự ỏ
a b c
và
2 2 2
a b c 5+ + =
.
Ch ng minh r ng: ứ ằ
(a b)(b c)(c a)(ab bc ca) 4
− − − + + −
2.2.2/K t qu thu đc ế ả ượ
Khi ch m bài c a các em, tôi th y nhi u em không làm xong bài toán. Các emấ ủ ấ ề
đa s gi i đc câu 1 mà không gi i đc câu 2 m t cách hoàn ch nh.ố ả ượ ả ượ ộ ỉ
2
Th c ra đây là bài toán tôi th y tâm đc, là bài toán không khó n u ta ch c nự ấ ắ ế ỉ ầ
m t chút v óc quan sát, linh c m tinh t ộ ề ả ế “ cách nhìn’’ là có th tìm ra m i liênể ố
h gi a bài 1 và bài 2 và t đó nh n đc cách gi i bài 2 m t cách d dàng .ệ ữ ừ ậ ượ ả ộ ễ
C th nh sau : ụ ể ư
Bài 1.
)(xf
=
3
x (5 x)−
hàm s liên t c trên đo n [0; 5];ố ụ ạ
)(xf
f ’(x) =
5
5 x (5 x)
2
− −
; f ’(x) = 0
x 5; x 2= =�
Ta có :
)2(f
=
6 3
,
0)5()0( ff
V yậ :
x [0;5]
Max
f(x)= f(2) = 6 3
,
x [0;5]
Min
f(x) = f(0) = 0
Bài 2.
Ta có :
(a b)(b c)(c a)(ab bc ca) 4− − − + + −
(a b)(b c)(a c)(ab bc ca) 4− − − + +� �
(*). Đt v trái c a (*) là Pặ ế ủ
N uế :
0
cabcab
thì P
0 suy ra BĐT đc ch ng minh.ượ ứ
N uế :
0
cabcab
, đt ặ
0
xcabcab
))(( cbba
22
a b b c (a c)
2 4
− + − −
� �
=
� �
� �
))()(( cacbba
3
(a c)
4
−
(1)
Ta có : 4(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = 2(a - c)2 + 2(a - b)2 + 2(b - c)2
2(a - c)2 + [(a - b) + (b - c)]2 = 2(a - c)2 + (a - c)2 = 3(a - c)2
Suy ra 4(5 - x)
3(a - c)2 ,t đây ta có x ừ
5 và
4
a c (5 x)
3
− −
(2) .
T (1) , (2) suy ra P ừ
3
1 4
x. (5 x)
4 3
� �
−
� �
� �
=
3
2 3 x (5 x)
9−
(3)
Theo câu a ta có: f(x) =
3
x (5 x)−
6 3
v i x thu c đo n [0; 5] ớ ộ ạ
nên suy ra P
2 3 .6 3 P 4
9
�
. V y (*) đc ch ng minh.ậ ượ ứ
Nh v y đa bài toán nhi u bi n v bài toán giá tr l n nh t, nh nh t m tư ậ ư ề ế ề ị ớ ấ ỏ ấ ộ
bi n quen thu c đã phát huy có hi u qu . ế ộ ệ ả
Trong quá trình gi ng d y các l p kh i 12 và ôn thi đi tuy n t nh, ôn thiả ạ ở ớ ố ộ ể ỉ
vào các tr ng Đi h c, cao đng tôi đã v n d ngườ ạ ọ ẳ ậ ụ ‘‘Cách chuy n bài toán tìmể
giá tr l n nh t - giá tr nh nh t c a bi u th c nhi u bi n quy v m tị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ể ứ ề ế ề ộ
bi n’’ế vào h c sinh tr ng THPT Tr n Phú - Nga S n, các em ti p thu phát tri nọ ườ ầ ơ ế ể
r t cao v óc quan sát, linh c m tinh t , k t qu thu đc r t kh quan. T đóấ ề ả ế ế ả ượ ấ ả ừ
tôi m nh d n đa ra chuyên đ này g m hai bài toánạ ạ ư ề ồ :
3
Bài toán 1 : K thu t gi m bi n trong bài toán tìm giá tr l n nh t, giá tr ỹ ậ ả ế ị ớ ấ ị
nh nh t c a bi u th c ch a hai bi n.ỏ ấ ủ ể ứ ứ ế
Bài toán 2:K thu t gi m bi n trong bài toán tìm giá tr l n nh t, giá tr ỹ ậ ả ế ị ớ ấ ị
nh nh t c a bi u th c ch a ba bi n.ỏ ấ ủ ể ứ ứ ế
2.3./ Gi i pháp đã s d ng đ gi i quy t v n đ.ả ử ụ ể ả ế ấ ề
Bài toán 1: K thu t gi m bi n trong bài toán tìm giá tr l n nh t, giá tr ỹ ậ ả ế ị ớ ấ ị
nh nh t c a bi u th c ch a hai bi n.ỏ ấ ủ ể ứ ứ ế
Trong ph n này tôi trình bày chi ti t các d ng toán tìm giá tr nh nh t, ầ ế ạ ị ỏ ấ
giá tr l n nh t c a m t bi u th c ch a hai bi n mà đi u ki n r ng bu cị ớ ấ ủ ộ ể ứ ứ ế ề ệ ằ ộ
c a hai bi n ho c bi u th c th hi n tính đi x ng ho c tính đng c p.ủ ế ặ ể ứ ể ệ ố ứ ặ ẳ ấ
Ví d 1.ụ Cho
, x y
là s th c th a mãn ố ự ỏ
2 2
2x y+ =
. Tìm giá tr l n nh t, giá tr ị ớ ấ ị
nh nh t c a bi u th c : ỏ ấ ủ ể ứ
3 3
2( ) 3P x y xy= + −
H ng d n h c sinh cách chuy nướ ẫ ọ ể
T gi thi t ừ ả ế
2 2
2x y+ =
. Có th đa bài toán v m t n không?ể ư ề ộ ẩ
-Ta nghĩ t i h ng đng th c ớ ằ ẳ ứ
2 2 2 3 3 2 2
( ) 2 ; ( )( )x y x y xy x y x y x xy y+ = + − + = + − +
.
-Khai tri n bi u th c P c g ng làm xu t hi n ể ể ứ ố ắ ấ ệ
2 2
x y+
đ s d ng gi ể ử ụ ả
thi t.ế
-Bi n đi bi u th c P và th vào ế ổ ể ứ ế
2 2
2x y+ =
ta có :
2 2
2( )( ) 3
= 2( )(2 ) 3
P x y x xy y xy
x y xy xy
= + − + −
+ − −
-T gi thi t ừ ả ế
2
2
( ) 2
( ) 2 2 2
x y
x y xy xy + −
+ − = =�
.
V y đn đây ta có th nghĩ đn vi c có th đa P v hàm m t bi n s n u taậ ế ể ế ệ ể ư ề ộ ế ố ế
đt : ặ
t x y= +
.
C n ch n bi n t b ng cách s d ng b t đng th c: ầ ặ ế ằ ử ụ ấ ẳ ứ
2
2 2
( )
2
x y
x y +
+
.
L i gi iờ ả
Ta có :
2 2
2( )( ) 3
= 2( )(2 ) 3
P x y x xy y xy
x y xy xy
= + − + −
+ − −
4
Ta có :
2
( ) 2
2
x y
xy + −
=
, vì th sau khi đt ế ặ
t x y
= +
thì:
2 2
3 2
2 2 3
( ) 2 (2 ) 3 6 3
2 2 2
t t
P t t t t t
− −
= − − = − − + +
Ta có
2
2 2 2
( ) ( ) 4 2 2
2
x y
x y x y t
+
+ + −�� �� ��
.
Xét hàm s ố
3 2
3
( ) 6 3
2
P t t t t= − − + +
v i ớ
2 2t
−
.
Ta có
2
'( ) 3 3 6P t t t= − − +
.
1
'( ) 0 2
t
P t t
=
= = −
Ta có :
1)2(;
2
13
)1(;7)2( fff
V y ậ
[ ]
2;2
min ( ) ( 2) 7P t P
−
= − = −
khi
1x y= = −
[ ]
2;2
1 3 1 3
;
13 2 2
( ) (1) 21 3 1 3
;
2 2
x y
max P t P
x y
−
+ −
= =
= = − +
= =
Ví d 2.ụ Cho a, b là các s th c d ng th a mãn ố ự ươ ỏ
2 2
2( ) ( )( 2)a b ab a b ab+ + = + +
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c ị ớ ấ ủ ể ứ
3 3 2 2
3 3 2 2
4 9
a b a b
Pb a b a
� � � �
= + − +
� � � �
� � � �
H ng d n h c sinh cách chuy nướ ẫ ọ ể
- Bi n đi gi thi t:ế ổ ả ế
2 2
2( ) ( )( 2)a b ab a b ab+ + = + +
( )
2 2 2 2
2( ) 2( )
2 1 ( ) 2
a b ab a b ab a b
a b a b a b
b a
+ + = + + +�
� �
+ + = + + +�� �
� �
1 1
2 1 ( ) 2
a b a b
b a a b
� � � �
+ + = + + +�� � � �
� � � �
- Áp d ng b t đng th c Cô-si ta đc:ụ ấ ẳ ứ ượ
1 1 1 1
( ) 2 2 2( ) 2 2 2
a b
a b a b
a b a b b a
� � � � � �
+ + + + + = + +
� � � � � �
� � � � � �
5