Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Một số dạng bài tập áp dụng đại số tổ hợp trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6

MỤC LỤC

MỤC LỤC

Tên đề mục Trang

PHỤ LỤC: CÁC TỪ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI

1

2

PHẦN THỨ NHẤT: ĐẶT VẤN ĐỀ

4

PHẦN THỨ HAI: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

4

1. Những nội dung lí luận liên quan 4

2. Thực trạng vấn đề 4

3. Các biện pháp tiến hành 5

5

3.1. Nghiên cứu, phân loại các dạng bài tập sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh và từng phần kiến thức cụ thể.

3.1a. Quy tắc nhân, quy tắc cộng, chỉnh hợp lặp 5

3.1b. Chỉnh hợp 6

3.1c. Hoán vị 7

3.1d. Tổ hợp 9

3.1e. Một số dạng bài tập 10

32

3.2.Thực hiện giảng dạy theo phương pháp mới là hướng người học làm trung tâm.

32

3.3. Thường xuyên động viên, khuyến khích học sinh trong quá trình giảng dạy trên lớp để các em thêm tự tin, hứng thú học tập.

4. Kết quả thực hiện 33

Phần thứ ba: Kết luận, kiến nghị 34

1

Tài liệu tham khảo 35

PHỤ LỤC: CÁC TỪ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI

1) THCS: trung học cơ sở

2) THPT: trung học phổ thông

2

3) SKKN: sáng kiến kinh nghiệm

PHẦN THỨ NHẤT ĐẶT VẤN ĐỀ

Căn cứ vào thực tế dạy và học hệ thống bài tập về đại số tổ hợp (chỉnh hợp, hoán vị, tổ hợp,... tôi thấy hệ thống bài tập SGK, SBT do Bộ giáo dục – Đào tạo ấn hành còn đơn điệu, chưa sâu, chưa đáp ứng đủ yêu cầu của dạng toán này. Bởi trên thực tế bài tập về đại số tổ hợp rất đa dạng, phong phú (chỉnh hợp, hoán vị, tổ hợp) và là một loại toán khó của Đại số THCS. Khi dạy phần này, nhất là đối với học sinh khá, giỏi đòi hỏi giáo viên phải tự biên soạn, sưu tầm, lựa chọn các dạng bài tập, các ví dụ ...Vì thế mà nội dung giảng dạy chưa có hệ thống, chưa chuyên sâu. Là giáo viên chúng ta luôn mong muốn cung cấp cho học sinh “chiếc chìa khóa” để giải từng dạng bài tập.

Chính vì nhìn thấy tầm quan trọng của việc khải thác có hệ thống các đơn vị kiến thức theo dạng bài tập cơ bản liên quan và được sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của tập thể giáo viên dạy bộ môn Toán trong nhà trường, tôi mạnh dạn đi sâu suy nghĩ khai thác và đúc kết thành sáng kiến kinh nghiệm “Một số dạng bài tập áp dụng đại số tổ hợp trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6” trong dạy học.

PHẦN THỨ HAI GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1. Những nội dung lý luận liên quan

1.1.Cơ sở lý luận:

3

Muốn đổi mới phương pháp dạy học phù hợp với mục tiêu của chương trình cải cách và nội dung SGK mới thì giáo viên trước hết phải dạy cho học sinh những tri thức, phương pháp để học sinh biết cách học, biết cách đọc tài liệu, biết cách suy luận, biết cách tìm lại những cái đã quên và phát hiện kiến thức mới. Bên cạnh đó đòi hỏi học sinh phải cố gắng, có trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình nghiên cứu kiến thức mới. Muốn dạy cho học sinh nắm được những tri thức về phương pháp học tập thì người giáo viên phải thường xuyên suy nghĩ dạy một vấn đề, một đơn vị kiến thức đặt ra trước mắt theo cách nào, theo hướng nào, để học sinh hiểu và vận dụng hiệu quả cao hơn.

1.2. Cơ sở thực tiễn:

Trong chương trình toán THCS và THPT thì đại số tổ hợp vẫn luôn là một đề tài hay và khó đối với học sinh . Các bài toán về đại số tổ hợp thường xuyên có mặt tại các kì thi. Đặc biệt là trong các kỳ thi học sinh giỏi các khối lớp ở THCS. Đây là một dạng bài tập tương đối khó và chỉ áp dụng vào đối tượng học sinh khá, giỏi. Vì vậy, qua quá trình bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi tôi đã tích luỹ được một số kinh nghiệm với mong muốn giúp các em học sinh khá, giỏi, đặc biệt là học sinh lớp 6 làm quen với dạng toán này, bước đầu hình thành cho mình một số vấn đề cơ bản và một số dạng bài tập áp dụng đại số tổ hợp.

2. Thực trạng vấn đề

Trong chương trình bộ môn toán cấp THCS nhiều bài tập, đặc biệt là các bài thi đối với học sinh giỏi có liên quan rất nhiều đến đại số tổ hợp, nhưng thời lượng chương trình dành cho học sinh vận dụng không nhiều. Các dạng toán áp dụng đại số tổ hợp tương đối trừu tượng, khó nên học sinh ngại học, ngại nghiên cứu các dạng toán này. Ngoài ra tài liệu chuyên sâu về việc áp dụng đại số tổ hợp trong giải toán chưa nhiều, còn rất thiếu và chưa có hệ thống. Vì vậy muốn học sinh đọc hiểu và có khả năng vận dụng kiến thức vào giải các bài tập liên quan nên tôi đã mạnh dạn thực hiện sưu tầm, lựa chọn một số dạng bài tập áp dụng về đại số tổ hợp và tiến hành nghiên cứu trong đề tài: “Một số dạng bài tập áp dụng đại số tổ hợp trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6” giúp cho việc dạy và học, bồi dưỡng học sinh khá, giỏi đạt kết quả cao.

3. Các biện pháp tiến hành

3.1. Nghiên cứu, phân loại các dạng bài tập sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh và từng phần kiến thức cụ thể.

3.1.a. Quy tắc nhân, quy tắc cộng, chỉnh hợp lặp:

*

;...;

m

N

)

k 

2

3.1.a1. Quy tắc nhân:

4

Giả sử một hành động H được tiến hành gồm k giai đoạn liên tiếp. Ở giai đoạn 1 có m1 cách chọn, ở giai đoạn 2 có m2 cách chọn,..., ở giai đoạn k có mk cách . Khi đó có tất cả: m1m2...mk cách chọn để thực hiện chọn (với ; mm 1 hành động H.

Ví dụ: Khi đi từ A đến B phải qua C, biết rằng từ A đến C có 3 đường đi và từ C đến B có 2 đường đi. Như vậy có 3.2 = 6 đường đi từ A đến B

3.1.a2. Quy tắc cộng:

Một hành động H được tiến hành gồm k hành động H1, H2, ...,Hk độc lập nhau và mỗi hành động Hi có mi cách chọn. Khi đó hành động H sẽ có m1 + m2 + m3 + ....+mk cách chọn.

Ví dụ: Khi đi từ A đến B phải qua C và D. Biết rằng từ A đến C có 3 đường đi, từ C đến B có 2 đường đi, từ A đến D có hai đường đi và từ D đến B có 4 đường đi. Hỏi có bao nhiêu đường đi từ A đến B, biết rằng giữa C và D không có đường đi.

Bài giải:

Từ A đến B qua C có: 3.2 = 6 đường đi

Từ A đến B qua D có : 2.4 = 8 đường đi

Vậy từ A đến B có tất cả: 6 + 8 = 14 đường đi

3.1.a3. Chỉnh hợp lặp:

m

a) Định nghĩa: cho tập hợp X gồm n phần từ. Một dãy có độ dài m các phần tử của X, trong đó mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần, sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập m của n phần tử.

Kí hiệu chỉnh hợp lặp chập m của n phần tử là Fn

m

n

Ví dụ: các dãy: (a, a, d); (b, d, d); (d, a, b);....; là các chỉnh hợp lặp chập 3 của 4 phần tử của tập hợp {a, b, c, d}

m F  n

5

b) Định lí:

3.1.b. Chỉnh hợp:

3.1.b1. Định nghĩa: Cho tập hợp gồm n phần tử (n ≥ 1) lấy ra k phần tử

(1 ≤ k ≤ n) và sắp xếp k phần tử này theo một thứ tự nhất định gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.

3.1.b2. Công thức: Tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử:

Ta có n cách chọn phần tử đứng đầu, có n – 1 cách chọn phần tử thứ hai, có





nn (



)(1

n



2 )...(

kn



)1

A k n

n ! kn 

(

n – 2 cách chọn phần tử thứ ba,..., có n – (k – 1) cách chọn phần tử đúng thứ k. Do đó chỉnh hợp chập k của n phần tử là:

)! 3.1.b3. Tính chất:

1





n

An

n

(





n !

Nếu k = 1 thì

An n

! n )!1  n !  nn

)!

(

Nếu k = n thì

Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số, các chữ khác nhau, lập bởi ba chữ số trong năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5?

Bài giải:

Các số phải đếm có dạng: abc

Có 5 cách chọn chữ số a (là 1, 2, 3, 4, 5)

Với mỗi cách chọn a, có 4 cách chọn b (là 1, 2, 3, 4, 5 nhưng khác a)

Với mỗi cách chọn ab , có 3 cách chọn c (là 1, 2, 3, 4, 5 nhưng khác a và b)

Vậy có tất cả: 5.4.3 = 60 (số phải đếm)

Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách xếp thứ tự nhất, nhì, ba trong sáu đội bóng thi đấu?

Bài giải:

Có 6 cách xếp đội đứng thứ nhất

Với mỗi cách trên, có 5 cách xếp đội đứng thứ nhì

Với mỗi cách xếp nhất, nhì, có 4 cách xếp đội đứng thứ ba

Vậy số cách xếp phải tìm là: 6.5.4 = 120 cách xếp.

6

3.1.c. Hoán vị:

3.1.c1. Định nghĩa: Mỗi cách sắp đặt các phần tử của tập hợp A gồm n phần

tử

(n ≥ 1) theo một thứ tự nhất định gọi là một hoán vị của n phần tử.

Kí hiệu: số hoán vị của n phần tử là: Pn

3.1.c2. Công thức: Tính số hoán vị của n phần tử:

Số hoán vị của n phần tử cũng là số chỉnh hợp chập n của n phần tử. Do đó

số hoán vị của n phần tử bằng tích của n thừa số.

Pn = n! = 1.2.3.....(n – 2).(n – 1) .n

Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách gọi tên tam giác có ba đỉnh là A, B, C?

Bài giải:

Có 3 cách chọn đỉnh đầu tiên (là A, B, C)

Với mỗi cách chọn trên, có 2 cách chọn đỉnh thứ hai.

Với mỗi cách chọn 2 đỉnh trên, có 1 cách chọn đỉnh thứ ba

Vậy có tất cả: 3.2.1 = 6 cách gọi tên

Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách giao hoán các thừa số của tích abcd?

Bài giải:

Có 4 cách chọn số đứng đầu (a)

Với mỗi cách chọn a, có 3 cách chọn thừa số thứ hai b

Với mỗi cách chọn 2 số trên, có 2 cách chọn thừa số thứ ba c

Với mỗi cách chọn 3 thừa số trên, có 1 cách chọn thừa số thứ tư d

Vậy có tất cả: 4.3.2.1 = 24 (cách giao hoán)

Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách xếp 5 người ngồi:

a) Trên một ghế dài b) Chung quanh một bàn tròn

Bài giải:

a) 5 người ngồi trên một ghế dài chính là hoán vị của 5

7

Nên có tất cả: 5! = 5.4.3.2.1 = 120 cách xếp

b) Khác với ngồi trên một ghế dài, người đầu tiên ngồi quanh bàn tròn có thể

ngồi ở vị trí nào cũng được. Còn lại 4 người , có 4! = 4.3.2.1 = 24 cách xếp chỗ.

Vậy tất cả có 24 cách xếp chỗ.

3.1.d. Tổ hợp:

3.1.d1. Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập hợp con của A

k

gồm k phần tử (0 ≤ k ≤ n) được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

nC

Kí hiệu: tổ hợp chập k của n phần tử là:

3.1.d2. Công thức: Tính số tổ hợp chập k của n phần tử

Trước hết ta đếm số các nhóm có k phần tử trong n phần tử đã cho, nếu các

phần tử được xếp theo thứ tự, đó chính là chỉnh hợp chập k của n phần tử

n(n – 1)(n – 2)...(n – k + 1)

Do yêu cầu k phần tử được xếp theo thứ tự nên mỗi nhóm đã được tính k! lần



kn

nn (

)(1

)1



n





C k n

! n  knk (!

)!

2 )...( k ! Đặc biệt, số tổ hợp chập 2 của n phần tử là: n(n – 1) : 2

Vậy số tỏ hợp chập k của n phần tử là: 

Số tổ hợp chập 3 của n phần tử là: n(n – 1)(n – 2) : 6

Ca )



C



1

b)C



C

0 n

n n

k n

1

 1

Cc )



C



C

d)C

C .

(1

 k

n)



k n

k n  1

k  1 n  1

k n

k n

kn  n kn  k

3.1.d3. Tính chất:

Ví dụ 1: Có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu là hai điểm trong năm điểm đã cho?

Bài giải:

Qua một điểm ta nối được 4 đoạn thẳng với 4 đoạn thẳng còn lại. Có tất cả 5

điểm nên kẻ được: 4.5 = 20 (đoạn thẳng)

Do mỗi đoạn thẳng đã được tính hai lần nên số đoạn thẳng là 20 : 2 = 10

Ví dụ 2: Cho 9 điểm trên mặt phẳng, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác mà đỉnh là ba trong chín điểm ấy?

8

Bài giải:

Có 9 cách chọn đỉnh thứ nhất

Với mỗi đỉnh trên, có 8 cách chọn đỉnh thứ hai

Với mỗi cách chọn hai đỉnh trên, có 7 cách chọn đỉnh thứ ba



84

7.8.9 !3

Do mỗi tam giác đã được tính 3! lần nên số tam giác có được là:

Ví dụ 3: Có m đường thẳng đứng và n đường thẳng nằm ngang đôi một cắt nhau. Chúng tạo thành bao nhiêu hình chữ nhật? (Hình vuông cũng là một hình chữ nhật)

Bài giải:

)1

( mm 2

Số cặp đường thẳng đứng là số tổ hợp chập 2 của m phần tử và bằng:

)1

( nn 2

Số cặp đường thẳng nằm ngang là số tổ hợp chập 2 của n phần tử và bằng:

Mỗi cặp đường thẳng đứng và một cặp đường thẳng nằm ngang cắt nhau tạo

n



)1

 )(1 4

thành một hình chữ nhật mmn ( Vậy có tất cả: hình chữ nhật

Ví dụ 4: Trong số 4 học sinh giỏi Văn và 9 học sinh giỏi Toán, lập ra một nhóm gồm 7 học sinh, trong đó có ít nhất 2 học sinh giỏi Văn. Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm?

Bài giải:

Số cách chọn 2 trong 4 học sinh giỏi Văn là số tổ hợp chập 2 của 4 phần tử

462



4.3 : 2 = 6 và bằng:

7.8.9.10.11 !5

Chọn xong 2 học sinh trên, còn 2 học sinh giỏi Văn và 9 học sinh giỏi Toán, cần chọn 5 người trong số 11 học sinh, đó là số tổ hợp chập 5 của 11 phần tử và bằng:

Vậy có tất cả: 6. 462 = 2772 (cách lập nhóm)

3.1.e. Một số dạng bài tập

9

3.1.e1. Áp dụng đại số tổ hợp trong số học:

Dạng 1: Các bài toán liên quan đến phép đếm, tính số phần tử của tập hợp.

Phương pháp giải: Xác định đúng dạng bài tập nói về chỉnh hợp, hoán vị hay

tổ hợp để áp dụng công thức và tính toán phù hợp.

Bài toán 1: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 10

Bài giải:

Gọi số cần tìm là: abcde (Trong đó a, b, c, d, e là các số tự nhiên)

Vì số đó chia hết cho 10 nên có 1 cách chọn e là e = 0

Vì a là chữ số hàng chục nghìn nên a có 9 cách chọn (a có thể từ 1 đến 9)

Với mỗi cách chọn a, e ta có 8 cách chọn b (b có thể từ 0 đến 9 nhưng phải

khác a, e)

Với mỗi cách chọn các số trên, có 7 cách chọn c (c có thể từ 0 đến 9 nhưng

phải khác a,b,e)

Với mỗi cách chọn các số trên, có 6 cách chọn d (d có thể từ 0 đến 9 nhưng

phải khác a, b, c, e)

Vậy tất cả có: 9.8.7.6.1 = 3024 số cần tìm (theo quy tắc nhân)

Bài toán 2: Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số khác nhau

x 

abcd

Bài giải:

Gọi số cần tìm là: (Với a, b, c, d là các số tự nhiên)

Vì x là số lẻ nên d có 5 cách chọn ( )

9,7,5,3,1d



Do a là chữ số hàng nghìn nên a có 8 cách chọn (a có thể từ 1 đến 9 nhưng

phải khác d)

Với mỗi cách chọn 2 số trên, có 8 cách chọn b (b có thể từ 0 đến 9 nhưng

phải khác a,d)

Với mỗi cách chọn 3 số trên, có 7 cách chọn c (c có thể từ 0 đến 9 nhưng

phải khác a,b,d)

Vậy có tất cả: 5.8.8.7 = 2240 số cần tìm (theo quy tắc nhân)

10

Bài toán 3: Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 6 chữ số và chia hết cho 9?

x 

abc

deg

Bài giải:

Gọi số cần tìm là (với a, b, c, d, e, g là các số tự nhiên)

Vì x là số lẻ nên có 5 cách chọn g ( )

9,7,5,3,1g



Các số b, c, d, e mỗi chữ số đều có 10 cách chọn (từ 0 đến 9)

Lấy tổng các chữ số T = b + c + d + e + g chia cho 9. Nếu T chia cho 9 được

dư là 0, 1, 2, ...,8 thì a chọn tương ứng là 9, 8, 7, ..., 1, ta sẽ có x chia hết cho 9

Vậy có tất cả: 5.104 = 50000 số lẻ gồm 6 chữ số và chia hết cho 9

Bài toán 5: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ?

Bài giải:

Xét một số tự nhiên gồm 4 chữ số: abcd (Với a, b, c, d là các Số tự nhiên)

để được tổng a + b + c

9,7,5,3,1e



Nếu a + b + c + d là một số chẵn thì lấy một số + d + e là số lẻ. Khi đó có 5 cách chọn e

để được tổng a + b + c + d + e là số

8,6,4,2,0e



Nếu a + b + c + d là số lẻ thì lấy lẻ. Khi đó e cũng có 5 cách chọn

Do đó số abcd có 9.10.10.10 = 9. 103 cách chọn

Vậy có tất cả: 5.9.103 = 45000 số thỏa mãn đề bài

Bài toán 6: Có bao nhiêu số có 6 chữ số mà:

a) Chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau?

b) Chữ số đầu và chữ số cuối khác nhau?

c) Số có hai chữ số đầu và số có hai chữ số cuối giống nhau?

Bài giải:

4 = 104 cách chọn

a) Số cách chọn 4 chữ số ở giữa là chỉnh hợp lặp chập 4 của 10 phần tử

Nên ta có F10

5

10.9

Vậy có 9.104 = 90000 số có 6 chữ số mà chữ số đầu và cuối giống nhau.

6 F 10

5  F 10

11

b) Tương tự có số có 6 chữ số.



90

Vậy có 9.105 – 9.104 = 810.000 số có 6 chữ số mà chữ số đầu và chữ số cuối khác nhau.

2 F 10

số có hai chữ số. Do đó có 90 cách chọn hai

c) Tương tự có: 1  F 10 chữ số đầu và cuối giống nhau

10 = 100 cách chọn hai chữ số ở giữa.

Vậy có F2

(

Vậy có tất cả: 90.100 = 9000 số thỏa mãn

m F 10

 mn 1 2 ) FF 10 10

số có n

*Tổng quát: Với n > 2m > 2 (với n, m là số tự nhiên) thì có:  chữ số mà số có m chữ số đầu và số có m chữ số cuối giống nhau.

Bài toán 7: Có bao nhiêu số chẵn lớn hơn 5000 gồm 4 chữ số khác nhau?

x 

Bài giải:

aaaa 2 1

3

4

Giả sử là số cần tìm

Nếu a1 là số lẻ thì a1 có 3 cách chọn ( a1 có thể là 5,7,9), a4 có 5 cách chọn (a4 có thể là 0, 2, 4, 6, 8), a2 có 8 cách chọn và a3 có 7 cách chọn.

Vậy có tất cả: 3.5.8.7 = 840 số chẵn có 4 chữ số bắt đầu bằng chữ số lẻ

Nếu a1 là số chẵn thì a1 có hai cách chọn (a1 có thể là 6,8), a4 có 4 cách chọn, a2 có 8 cách chọn và a3 có 7 cách chọn.

Vậy có: 2.4.8.7 = 448 số chẵn có 4 chữ số bắt đầu bằng chữ số chẵn

Vậy tổng cộng có: 840 + 448 = 1288 số thoả mãn đề bài

Bài toán 8: Có bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau được lập từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Trong các số đó có bao nhiêu số chia hết cho 5?

Bài giải:

Có P6 = 6! số có 6 chữ số lấy từ các chữ số đã cho kể cả các số có chữ số 0

đứng đầu. Với chữ số 0 đứng đầu ta có: P5 = 5! số.

Vậy có tất cả: 6! – 5! = 600 số có 6 chữ số khác nhau lấy từ các chữ số 0, 1,

2, 3, 4, 5.

Số chia hết cho 5 là số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. Với số tận cùng là 0 ta

có 5! số. Với số có tận cùng là 5 ta có: 5! – 4! số.

12

Vậy tất cả có: 5! + (5! – 4!) = 216 số thỏa mãn đề bài.

Bài toán 9:

a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 và

đôi một khác nhau?

b) Hãy tính tổng tất cả các số tự nhiên nói trên?

Bài giải:

a) Số có 5 chữ số khác nhau lập được từ các chữ số 5, 6, 7, 8, 9 là một hoán

vị của 5 phần tử. Vậy có tất cả: P5 = 5! = 120 số.

b) Ta thấy: 5 + 9 = 6 + 8 = 7 + 7 = 14, nên ứng với mỗi số n của hoán vị trên

ta có thể ghép một và chỉ một số n’ sao cho:

n + n’ = 14(1 + 10 + 102 + 103 + 104) = 155554

(Chẳng hạn: 65897 + 89657 = 155554)

Vậy tổng cần tìm là: S = (120 : 2).155554 = 9333240

Bài toán 10: Xét những số gồm 9 chữ số trong đó có năm chữ số 1 và bốn chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số như thế, nếu:

a) Năm chữ số 1 được xếp kề nhau

b) Các chữ số được xếp tùy ý.

Bài giải:

a) Năm chữ số 1 được xếp kề nhau ta xem như một phần tử. Mỗi số có 9 chữ

số như thế là một hoán vị của 5 phần tử.

Vậy có P5 = 5! = 120 số thỏa mãn đề bài

b) Xem năm số 1 là khác nhau thì ta có 9! Số, nhưng có 5! Số trùng nhau (là

hoán vị của 5 chữ số 1)

Vậy có tất cả: 9! : 5! = 3024 số thỏa mãn đề bài.

Bài toán 11: Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5?

Bài giải:

aaaa 21

3

4

13

Số có 4 chữ số khác nhau có dạng:

3

Có 3 cách chọn a4 ( a4 có thể là 1, 3, 7)

21 aaa

3

4A cách chọn

2

Có kể cả a1 = 0

2aa

3

3A cách chọn

3

2

Với a1 = 0, có

4A -

3A ) = 54 số thỏa mãn đề bài

Vậy tất cả có: 3.(

Bài toán 12: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5?

5

Bài giải:

4

5

4

7A số, kể cả chữ số 0 6A

6A số. Vậy có:

7A -

Số có 5 chữ số khác nhau lập được từ các số đã cho là

nằm ở vị trí đầu tiên. Với chữ số 0 nằm ở vị trí đầu tiên có số có 5 chữ số khác nhau lập từ các số đã cho.

5

4

Tương tự, số có 5 chữ số khác nhau lấy từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (trừ số

6A -

5A

5

4

5

4

5 ra) là:

7A -

6A -(

6A -

5A ) = 1560

Vậy tất cả có:

Bài toán 13: Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ các chữ số đã cho, hỏi:

a) Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau đôi một?

b) Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 5?

c) Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 9?

Bài giải:

a) Số cần tìm có dạng: (với )

4,2,0 

aaaa 21

3

4

4 a

3

21 aaa

3

5A cách chọn

2

3

Với a4 = 0 có

21 aaa

3

4A cách chọn

5A -

2

3

3

Với a4 = 2 (hoặc a4 = 4) có

4A ) = 156 số thỏa mãn

5A + 2(

5A -

Vậy có:

5,0 

21 aaa

3

3 a

2

b) Số cần tìm có dạng: (với )

5A cách chọn

21aa

2

1

Với a3 = 0 có

4A cách chọn

5A -

21aa

2

2

1

Với a3 = 5 có

4A ) = 36 số thỏa mãn đề bài

5A + (

5A -





abc

9



cba

;9

Vậy có:

cba  , ,

14

c) có thể là {0, 4, 5}; {1; 3; 5} hoặc {2, 3, 4}

Khi {a, b, c} là {0, 4, 5} thì các số cần tìm là: 405; 504; 450; 540 (có 4 số)

Khi {a, b, c} là {1; 3; 5} hoặc {2; 3; 4} thì có 3! = 6 số

Vậy tổng cộng có 4 + 6 + 6 = 16 số thỏa mãn đề bài

Bài toán 14: Cho 8 chữ số: 0, 1, 2, ..., 7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau từ các số trên, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4.

Bài giải:

6

Số có 6 chữ số lấy từ 8 chữ số đã cho là chỉnh hợp chập 8 của 6 phần tử (kể

8A

5

cả các số có chữ số 0 đứng ở vị trí đầu tiên):

7A số

6

5

Với chữ số 0 đứng đầu ta có:

8A -

7A số có 6 chữ số khác nhau lấy từ 8 chữ số đã cho

Vậy có:

6 A  7

5 A 6

số có 6 chữ số khác nhau lấy từ 8 chữ số đã cho và Tương tự, có

không có chữ số 4

















13320

Vậy tổng cộng có:

6 A 8

5 A 7

6 A 7

5 A 6

!8 !2

!7 !2

!7 !1

!6 !1

số.

Bài toán 15: Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 10n mà tổng các chữ số bằng 3?

Bài giải:

1

Các số tự nhiên này có nhiều nhất là n chữ số

nC số tự nhiên chỉ chứa một chữ số 3

2

Có

nA số tự nhiên chỉ chứa chữ số 1 và 2

3

Có

nC số tự nhiên chỉ chứa 3 chữ số 1

Có

nn (



n

1

2

3

nC +

nA +

nC =

)(1 6

Vậy số các số tự nhiên cần tìm là:  )2

Bài toán 16: Có bao nhiêu số có n chữ số, trong đó các chữ số chỉ là 1, 2, 3 sao cho mỗi chữ số có mặt ít nhất một lần trong mỗi số đó.

15

Bài giải:

Ta dùng phương pháp gián tiếp: Xác định xem có bao nhiêu số có n chữ số, trong đó các chữ số chỉ là 1, 2, 3 sao cho các chữ số chỉ là 1 hoặc 2 trong ba chữ số đã cho.

22;1.... n

2

n

2

11 33;2.... 3....  n n 3C tập hợp gồm 2 chữ số. Với hai số 1, 2 chẳng hạn, Trong ba số 1, 2, 3 có có 2n – 2 số có n chữ số trong đó các chữ số chỉ là 1, 2 và mỗi chữ số có mặt ít nhất 1 lần bằng số chỉnh hợp lặp 2 

Số các số có n chữ số, trong đó có mặt một trong ba chữ số 1, 2, 3 là 3 (đó là các số: )

nF

11 22;1.... 2....  n n

C

)2

trừ 2 số

2(2 3

n

n

n

n

n

3)2

3)2

n C 





2(3

2.3

2(











3

3

3

3

.

n số thỏa mãn đề bài

2 3

Vậy số các số gồm n chữ số chỉ có mặt hai trong ba chữ số 1, 2, 3 là Do đó có:

Bài toán 17:

a) Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau (chữ số đầu tiên

phải khác 0) trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1?

b) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng

hai lần, chữ số 3 có mặt đúng ba lần và các chữ số còn lại có mặt đúng một lần?

Bài giải:

5

a) Đưa chữ số 0 vào vị trí cuối có 5 cách chọn.

8A cách

5

Đưa 5 chữ số trong 8 chữ số (trừ chữ số 0 và 1) có:

8A = 33600 cách

2

Vậy tổng cộng có: 5.

7C cách

3

b) Đưa hai chữ số 2 vào bảy vị trí có:

5C cách

Đưa ba chữ số 3 vào năm vị trí còn lại có:

2

2

3

2

Đưa hai chữ số trong 8 chữ số (trừ chữ số 2 và 3) vào hai vị trí còn lại:

8A cách. Theo quy tắc nhân ta được:

7C .

5C .

8A số.

có

3

2

4C .7 số

6C .

3

2

3

2

2

Ta còn phải loại trừ những số có chữ số 0 đứng đầu, trường hợp này có:

4C .7 = 11340 số.

7C .

5C .

8A -

6C .

16

Vậy số các số thỏa mãn đề bài là:

Bài toán 18: Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số được lấy từ 8 chữ số trên, trong đó chữ số 6 có mặt đúng 3 lần, các chữ số khác có mặt đúng một lần.

Bài giải:

!8 !3

Cách 1: (dùng hoán vị lặp)

Với chữ số 0 đứng đầu ta được: Số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán, kể cả các số có chữ số 0 đứng đầu là: !7 số !3

!8 - !3

!7 = 544320 số thỏa mãn đề bài !3

Vậy tổng cộng có:

....a

Cách 2: (dùng tổ hợp)

aa 21

10

3

Số tự nhiên gồm 10 chữ số có dạng:

10C

3

Số cách chọn 3 vị trí trong 10 vị trí là:

3

Đặt số 6 vào 3 vị trí vừa chọn, sau đó đặt các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7 vào 7 10C .7! số, kể cả các số có chữ số 0 đứng đầu. Với chữ số 0 đứng

3

3

vị trí còn lại ta có: 10C .6! số. đầu, ta có

10C .7! -

10C .6! = 544320 số.

Vậy tổng cộng có:

Bài toán 19: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số trong đó có đúng một chữ số 5?

Bài giải:

Ta xét ba trường hợp:

a) Số phải đếm có dạng: ab5

Chữ số a có 9 cách chọn (từ số 0 đến số 9 nhưng khác 5), chữ số b cũng có 9

cách chọn (từ số 0 đến 9 nhưng khác 5). Vậy tất cả có: 9.9 = 81 số.

ba5

b) Số phải đếm có dạng:

Chữ số a có 8 cách chọn (từ 1 đến 9 nhưng khác 5), chữ số b có 9 cách chọn

(từ 0 đến 9 nhưng khác 5). Vậy tất cả có: 8.9 = 72 số.

5ab . Tương tự trường hợp b,

c) Số phải đếm có dạng:

trường hợp này có: 72 số.

17

Vậy tổng cộng có: 81 + 72 + 72 = 225 số thỏa mãn đề bài.

Bài toán 20: Có bao nhiêu số chứa ít nhất một chữ số 1 trong các số tự nhiên:

a) Có ba chữ số b) Từ 1 đến 999

Bài giải:

a) Ta đếm các số tự nhiên có ba chữ số rồi bớt đi các số có ba chữ số không

chứa chữ số 1.

Số có ba chữ số là: 100, 101, ..., 999, có 900 số. Trong các số trên, số không chứa chữ số 1 có dạng: abc trong đó a có 8 cách chọn (từ 2 đến 9), b có 9 cách chọn (từ 0 đến 9 nhưng khác 1), c có 9 cách chọn (từ 0 đến 9 nhưng khác 1). Vậy có: 8.9.9 = 648 số.

Do đó tất cả có: 900 – 648 = 252 số thỏa mãn đề bài.

b) Ta thêm chữ số 0 vào dãy 1, 2, ..., 999 thành dãy mới: 000, 001, ..., 999 để

đếm được dễ dàng.

Trước hết ta đếm các số không chứa chữ số 1 của dãy này: đó là các số có

dạng abc .

Trong đó mỗi chữ số a, b, c đều có 9 cách chọn (từ 0 đến 9 nhưng khác 1),

tất cả có: 9.9.9 = 729 số. Vậy số lượng các số từ 1 đến 999 không chứa chữ số 1 có: 729 – 1 = 728 số.

Vậy số lượng các số từ 1 đến 999 có chứa chữ số 1 là: 999 – 728 = 271 số.

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5, có bốn chữ số, có đúng một chữ số 5? (Đáp Số: 873 số).

Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số trong đó có ít nhất hai chữ số giống nhau? (Đáp số: 252 số).

Bài 3: Cho năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Dùng các chữ số trên:

a) Lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số, trong đó các chữ số khác

nhau? Tính tổng các chữ số được lập.

18

b) lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau?

c) Lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số, trong đó hai chữ số kề

nhau phải khác nhau.

d) Lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số, các chữ số khác nhau,

trong đó có hai chữ số lẻ, hai chữ số chẵn?

(Đáp số: a) 399960 b) 48 c) 1280 d) 72)

Bài 4: Cho năm chữ số: 0, 1, 2, 3, 4. Từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên:

a) Có năm chữ số, gồm cả 5 chữ số ấy

b) Có bốn chữ số, các chữ số khác nhau?

c) Có ba chữ số, các chữ số khác nhau?

d) Có ba chữ số, các chữ số có thể giống nhau?

(Đáp số: a)96 số b)96 số c)48 số d)100 số)

Bài 5: Cho 5 chữ số 0,1, 3, 5, 6. Từ các chữ số trên, lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

a) Không chia hết cho 2

b) Chia hết cho 2

c) Chia hết cho 5

(Đáp số: a) 54 số b) 42 số ).

Bài 6: a) Dùng các chữ số 1, 2, 7, viết được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số sao cho các chữ số 2 và 7 có mặt một lần, còn chữ số 1 có mặt ba lần?

b) Cũng hỏi như câu a nếu thêm điều kiện các số phải đếm lớn hơn 20000?

(Đáp số: a. 20 b. 8 số).

Bài 7: Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số lập bởi các chữ số 1, 2, 3 biết rằng số đó chia hết cho 9? (Đáp số: 16 số).

Bài 8: Có bao nhiêu số tự nhiên có 11 chữ số, gồm năm chữ số 1 và sáu chữ số 2 sao cho đọc xuôi và đọc ngược đều giống nhau? (Đáp số: 10 số cần tìm).

19

Bài 9: Cho 8 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ 8 chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10

(Đáp số: 1260 số).

Bài 10: Có 5 miếng bìa, trên mỗi miếng bìa ghi một trong 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Lấy 3 miếng trong 5 miếng bìa này đặt lần lượt cách nhau từ trái sang phải để được các số gồm 3 chữ số. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có nghĩa gồm ba chữ số và trong đó có bao nhiêu số chẵn.

(Đáp số: 48 số và 30 số chẵn).

Bài 11: Có bao nhiêu số có 5 chữ số:

a) Bắt đầu bằng số 3?

b) Không bắt đầu bằng số 5?

c) Bắt đầu bằng số 54?

(Đáp số: a) 104 b) 105 – 2.104 c) 103).

Bài 12:Với 5 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần, chữ số 2 có mặt đúng 2 lần và mỗi chữ số còn lại có mặt đúng 1 lần? (Đáp số: 3360 số).

Bài 13: Từ các chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần, còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần ?

(Đáp số: 7.7.6.5.4 = 5880).

Bài 14: Từ ba chữ số 2, 3, 4 có thể tạo ra được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó có mặt đủ ba chữ số trên? (Đáp số: 150 số).

Bài 15: Dùng các chữ số 0, 1, 2, ..., 9 để viết các số tự nhiên x gồm 5 chữ số khác nhau đôi một, chữ số đầu tiên khác 0.



A

b)5(A



)

a) Có bao nhiêu số x? b) Có bao nhiêu số x là số lẻ?

5 Aa ) 10

4 994

4 9

3 A 8

(Đáp số: )

Bài 16: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau, trong đó:

)

!5

b)A



!2.2

a) Phải có mặt chữ số 2? b) Phải có mặt hai chữ số 1 và 6?

5 Aa 6

5 6

20

(Đáp số: ).

Bài 17: Tìm các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau? (Đáp số: 3000 số).

Bài 18: Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng có 3 (Đáp số: 64800 số). chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn?

9 ).

Bài 19: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước. (Đáp số: C5

Bài 20: Cho 4 chữ số a, b, c và số 0 (a, b, c khác nhau và khác 0). Với cùng cả 4 chữ số này, có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số. (Đáp số: 18 số).

Dạng 2: Một số bài toán suy luận logic:

Các bài toán suy luận thường không đòi hỏi nhiều về kĩ năng tính toán, để giải chúng không cần trang bị nhiều kiến thức toán học. Điều cần thiết là phải có phương pháp suy luận đúng đắn, chặt chẽ, hợp lí, đôi khi cần cả sự thông minh sáng tạo.

Ngoài các bài toán sử dụng các phương pháp tính ngược từ cuối, bằng sơ đồ ven (Nâng cao và phát triển toán 6), phương pháp phản chứng và nguyên lí Dirichlet. Người ta còn dùng nhiều phương pháp khác để giải các bài toán suy luận.

Dưới đây tôi chỉ đề cập đến một số dạng bài tập có nội dung thực tế để sử

dụng cho đội tuyển học sinh giỏi Toán 6

Bài toán 1: Trong một bảng đấu loại bóng đá, có bốn đội thi đấu vòng tròn một lượt: đội thắng được 3 điểm, đội hòa được 1 điểm, đội thua được 0 điểm. Tổng số điểm của bốn đội khi kết thúc vòng đấu bảng là 16 điểm. Tính số trận hòa.

Bài giải:

Số trận đấu trong vòng đấu bảng là: 4.3:2 = 6 trận

Tổng số điểm của hai đội trong trận hòa là: 1 + 1 = 2 điểm

Tổng số điểm của hai đội trong trận có thắng – thua là 3 + 0 = 3 điểm

Giả sử không có trận hòa thì tổng số điểm của các đội là: 3.6 = 18 điểm

Dôi ra: 18 – 16 = 12 điểm

Tổng số điểm trong một trận hòa ít hơn tổng số điểm trong trận có thắng –

21

thua là: 3 – 2 = 1 điểm

Số trận hòa là: 2 : 1 = 2 trận

Lưu ý: bài toán thuộc loại giả thiết tạm.

Bài toán 2: Một số học sinh dự thi học sinh giỏi toán

Nếu xếp 25 học sinh một phòng thi thì thừa 5 học sinh chưa có chỗ. Nếu xếp 28 học sinh một phòng thì thừa 1 phòng. Tính số học sinh dự thi?

Bài giải:

Nếu xếp 28 học sinh một phòng thì thừa 1 phòng, tức là thiếu 28 học sinh

Số học sinh chênh lệch trong hai trường hợp xếp phòng là:

5 + 28 = 33 học sinh

Số học sinh chênh lệch ở mỗi phòng trong hai trường hợp là:

28 – 25 = 3 học sinh

Số phòng thi là: 33 : 3 = 11 phòng

Số học sinh là: 25.11 + 5 = 280 học sinh

Lưu ý: bài toán trên thuộc loại tìm số khi biết hai hiệu số

Bài toán 3: Một câu lạc bộ lúc đầu có một thành viên, sau một tháng thì thành viên đó phải tìm thêm 2 thành viên mới . Cứ như vậy mỗi thành viên (cả cũ lẫn mới) sau một tháng phải tìm được thêm hai thành viên mới. Nếu kế hoạch phát triển hội viên như trên được thực hiện thì số thành viên của câu lạc bộ đó là bao nhiêu?

a) Sau 6 tháng b) Sau 12 tháng

Bài giải:

a) Cứ sau một tháng thì số thành viên lại tắng gấp 3 lần. Sau 6 tháng thì số

thành viên của câu lạc bộ là: 36 = 729 người.

b) Sau 12 tháng, số thành viên của câu lạc bộ là:

312 = 36.36 = 729.729 = 531441 (người).

22

Bài toán 4: Trong một cuộc thi có 20 câu hỏi. Mỗi câu trả lời đúng được 10 điểm , còn sai thì bị trừ 15 điểm. Một học sinh được tất cả 50 điểm. Hỏi bạn đó đã trả lời đúng mấy câu?

Bài giải:

Giả sử bạn học sinh đó trả lời đúng cả 20 câu. Như vậy, tổng số điểm bạn ấy

đạt được là 10.20 = 200 điểm

Nhưng trên thực tế chỉ được 50 điểm nghĩa là còn thiếu:

200 – 50 = 150 điểm

Sở dĩ hụt đi 150 điểm vì trong số 20 câu có một số câu bạn ấy trả lời sai.

Giữa một câu trả lời đúng và một câu trả lời sai chênh lệch là:

10 + 15 = 25 điểm

Do đó, số câu trả lời sai là: 150 : 25 = 6 câu

Số câu trả lời đúng là: 20 – 6 = 14 câu

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Một cửa hàng có sáu hòm hàng có khối lượng 316kg, 327 kg, 336kg, 338kg, 349kg, 351 kg. Trong một ngày, cửa hàng đã bán năm hòm, trong đó khối lượng hàng bán buổi sáng gấp đúng bốn lần khối lượng hàng bán buổi chiều. Hỏi hòm còn lại là hòm nào?

Bài 2: Trong một cuộc hội thảo, mỗi người tham dự đều biết ít nhất một trong ba ngoại ngữ Anh, Pháp, Nga. Có 21 người biết tiếng Anh, 19 người biết tiếng Pháp, 17 người biết tiếng Nga, 13 người biết cả tiếng Anh và tiếng Pháp, 12 người biết cả tiếng Anh và tiếng nga, 11 người biết cả tiếng Nga và tiếng Pháp, 10 người biết cả ba thứ tiếng. Tính số người tham dự hội thảo.

Bài 3: Một lớp học có 90% thích bóng đá, 60% thích bóng chuyền. Hỏi có ít nhất bao nhiêu phần trăm học sinh của lớp thích cả hai môn?

Bài 4: Có 7 bi đỏ, 5 bi xanh để trong hộp. Không nhìn vào hộp, lấy ra ít nhất bao nhiêu viên bi thì chắc chắn có 2 bi đỏ, 3 bi xanh?

Gợi ý + đáp án:

Bài 1: Chú ý rằng tổng số lượng 6 hòm là số chia cho 5 dư 2, số hàng đã bán là số chia hết cho 5, nên hòm còn lại có khối lượng là số chia hết cho 5 dư 2, đó là hòm 327 kg.

23

Bài 2: 31 người

Bài 3: Gọi số phần trăm học sinh thích cả hai môn là x. Số phần trăm học sinh thích ít nhất một trong hai môn là: 90 + 60 – x hay 150 – x

Ta có: 150 – x ≤ 100

Do đó x ≥ 50. Vậy có ít nhất 50% số học sinh thích cả hai môn (chú ý rằng có thể có học sinh không thích môn nào).

Bài 4: Lập luận thử các trường hợp có thể lấy đến 9 viên bị vẫn không thỏa mãn yêu cầu, còn lấy 10 viên bi thì chắc chắn đạt yêu cầu.

3.1.e2. Áp dụng đại số tổ hợp trong hình học: Tìm số phần tử của tập hợp (Số điểm, số cạnh, số đường thẳng, số đoạn thẳng ...)

Để đếm số điểm, số đường thẳng, số đoạn thẳng, trong nhiều trường hợp ta

không thể đếm trực tiếp mà phải dùng lập luận.

Bài toán 1: a) Cho 100 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ một đường thẳng. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng?

b) Cũng hỏi như câu a nếu trong 100 điểm đó có đúng ba điểm thẳng hàng.

Bài giải:

a) Chọn một điểm. Qua điểm đó và từng điểm trong 99 điểm còn lại, ta vẽ được 99 đường thẳng. Làm như vậy với 100 điểm, ta được 99.100 đường thẳng. Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính hai lần, do đó tất cả chỉ có 99.100:2 = 4950 đường thẳng.

Chú ý: tổng quát, nếu có n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng

thì số đường thẳng có là: n.(n – 1) : 2

b) Giả sử không có ba điểm nào thẳng hàng thì có 4950 đường thẳng. Vì có ba điểm thẳng hàng nên số đường thẳng giảm đi: 3 – 1 = 2 (nếu ba điểm không thẳng hàng thì vẽ được 3 đường thẳng, nếu ba điểm thẳng hàng thì chỉ vẽ được 1 đường thẳng). Vậy có tất cả: 4950 = 2 = 4948 đường thẳng.

Bài toán 2: Trên mặt phẳng có bốn đường thẳng. Số giao điểm của các đường thẳng có thể bằng bao nhiêu?

Bài giải:

24

Ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Bốn đường thẳng đồng quy: có 1 giao điểm (H.1a)

Trường hợp 2: Có đúng ba đường thẳng đồng quy:

Có hai đường thẳng song song: 3 giao điểm (H.1b)

Không có hai đường thẳng nào song song: 4 giao điểm (H.1c)

Trường hợp 3: Không có ba đường thẳng nào đồng quy:

Bốn đường thẳng song song: 0 giao điểm ( H.2a)

Có đúng ba đường thẳng song song: 3 giao điểm (H.2b)

Có hai cặp đường thẳng song song: 4 giao điểm (H.2c)

Có đúng một cặp đường thẳng song song: 5 giao điểm (H.2d,e)

Không có hai đường thẳng nào song song: 6 giao điểm (H.2g)

25

Bài toán 3: Cho n điểm (n ≥ 2). Nối từng cặp hai điểm trong n điểm đó thành các đoạn thẳng.

a) Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nếu trong n điểm đó không có ba điểm nào

thẳng hàng?

b) Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nếu trong n điểm đó có đúng ba điểm đó

thẳng hàng

c) Tính n biết rằng có tất cả 1770 đoạn thẳng?

Bài giải:

a) Chọn một điểm. Nối điểm đó với từng điểm trong n – 1 điểm còn lại, ta vẽ được n – 1 đoạn thẳng. Làm như vậy với n điểm, ta được n(n – 1) đoạn thẳng. Như mỗi đoạn thẳng đã được tính hai lần, do đó tất cả chỉ có n ( n – 1) : 2 đoạn thẳng.

b) Tuy trong hình vẽ có ba điểm thẳng hàng, như số đoạn thẳng phải đếm

vẫn không thay đổi, do đó vẫn có n.(n – 1):2 đoạn thẳng.

c) Ta có: n.(n – 1) : 2 = 1770. Suy ra: n = 60.

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho 10 điểm trên mặt phẳng, không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm, ta kẻ một đường thẳng. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng?

Bài 2: Có n điểm trên mặt phẳng. Kẻ các đoạn thẳng nối hai trong n điểm ấy. Có tất cả 91 đoạn thẳng. Tính số n.

Bài 3: Vẽ n tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trên hình vẽ?

Bài 4: Cho n tia chung gốc tạo thành tất cả 153 góc. Tính n

Bài 5: Có bao nhiêu cách gọi tên hình vuông ABCD?

Bài 6: Cho hình vuông kích thước 4x4. Trên hình vẽ:

a) Có bao nhiêu hình chữ nhật (kể cả hình vuông).

b) Có bao nhiêu hình vuông.

Bài 7: Có 12 điểm trên mặt phẳng trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Hai điểm bất kì nào cũng được nối với nhau bởi một đoạn thẳng. Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là 3 trong 12 điểm nói trên?

26

Bài 8: Cho góc xAy (khác góc bẹt). Trên tia Ax lấy 6 điểm khác A, trên tia Ay lấy 5 điểm khác A. Trong 12 điểm nói trên kể cả điểm A hai điểm nào cũng được nối

với nhau thành một đoạn thẳng. Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là 3 trong 12 điểm ấy.

Bài 9: Cho 100 điểm trong đó có đúng bốn điểm thẳng hàng, ngoài ra không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ một đường thẳng. Hỏi có tất cả bao nhiêu đường thẳng.

Bài 10: Cho n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ một đường thẳng. Biết rằng có tất cả 105 đường thẳng. Tính n.

Gợi ý + đáp số:

Bài 1: có 10.9:2 = 45 (đường thẳng).

Bài 2: Ta có: n(n-1): 2 = 91 nên n(n – 1) = 91.2= 182

Mà 182 = 2.7.13 = 13.14

Vậy n = 14

Bài 3: Có n ( n – 1): 2 góc

Bài 4: Ta có: n(n – 1):2 = 153. Từ đó tìm được n = 18

Bài 5: Có 4 cách gọi tên đỉnh đầu tiên.

Với mỗi cách trên, có hai cách gọi tên ba đỉnh còn lại (chẳng hạn nếu A là

đỉnh đầu tiên thì có hai cách gọi tên ba đỉnh còn lại là BCD hoặc DCB.

Vậy có tất cả: 4.2 = 8 cách.

Bài 6: a) Có 100 hình chữ nhất

b) Hình vuông cạnh 1 có 16 hình, cạnh 2 có 9 hình, cạnh 3 có 4 hình, cạnh 4

có 1 hình.

Vậy tất cả có: 30 hình.

Bài 7: Số tam giác là: 12.11.10 : 3! = 220.

Bài 8: Số cách chọn 3 trong 12 điểm là: 12.11.10 : 3! = 220. Số bộ 3 điểm thẳng hàng trong 7 điểm thuộc tia Ax là: 7.6.5 : 3! = 35. Số bộ 3 điểm thẳng hàng trong 6 điểm thuộc tia Ay là: 6.5.4 : 3! = 20.

Vậy có tất cả: 220 – 35 – 20 = 165 tam giác.

27

Bài 9: có 4945 đường thẳng.

Bài 10: Ta có: n.(n – 1) : 2 = 105 suy ra n = 15.

3.1.e3. Áp dụng đại số tổ hợp giải các bài toán có nội dung thực tế:

Bài toán 1: Có một số con mèo chui vào chuồng bồ câu. Người ta đếm trong chuồng bồ câu thấy tổng cộng có 34 cái đầu và 80 cái chân. Tính số mèo.

Bài giải:

Giả sử mỗi con mèo vào chuồng đều dấu đi 2 chân

Khi đó có: 34 . 2 = 68 chân

Số chân mèo bị dấu đi là 80 – 68 = 12 chân

Số mèo có là: 12 : 2 = 6 con

Bài toán 2: Một ô tô có 8 chỗ kể cả chỗ của người lái xe. Có bao nhiêu cách xếp chỗ 8 người trên xe, biết rằng trong đó có hai người biết lái xe.

Bài giải:

Ở chỗ người lái xe, có 2 cách xếp

Ở 7 chỗ còn lại có 7! = 5040 cách xếp

Do đó có 2.5040 = 10080 cách xếp

Bài toán 3: Có hai cặp bạn ngồi trên một ghế băng có bốn chỗ để chụp ảnh. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho hai người cùng cặp phải ngồi cạnh nhau.

Bài giải:

Có 4 cách xếp vị trí số 1

Ứng với mỗi cách, có 1 cách xếp ở vị trí số 2

Ứng với mỗi cách, có 2 cách xếp ở vị trí số 3.

Ứng với mỗi cách, có 1 cách xếp ở vị trí số 4.

Vậy có tất cả: 4.1.2.1 = 8 cách xếp

Bài toán 4: Có bao nhiêu cách sắp xếp năm bạn A, B, C, D, E ngồi trên một ghế dài sao cho A và B phải ngồi cạnh nhau?

28

Bài giải:

Cách 1: Bốn cặp vị trí mà hai bạn A và B ngồi cạnh nhau là (1; 2); (2, 3); (3, 4); (4,5)

Ứng với mỗi cặp vị trí đó, có 2 cách xếp A và B, có 3! Cách xếp ba bạn còn

lại, nên có 2.3! = 12 cách xếp.

Vậy có tất cả: 4.12 = 48 cách xếp năm người mà A và B ngồi cạnh nhau.

Cách 2: Không xét A và B thì ba người còn lại có 3! Cách xếp chỗ trên ghế dài

Khi A và B ngồi vào ghế và ngồi cạnh nhau, họ ngồi vào một trong bốn chỗ trống (mỗi chỗ trống ghi bởi một mũi tên ở hình vẽ dưới đây) mỗi chỗ trống có 2 cách xếp A và B

Vậy tất cả có: 3!.4.2 = 48 cách xếp

Bài toán 5: Có bao nhiêu cách sắp xếp năm bạn A, B, C, D, E ngồi chung quanh một bàn tròn sao cho A và B phải ngồi cạnh nhau?

Bài giải:

Không xét A và B thì ba người còn lại có 2! Cách xếp chỗ quanh bàn tròn.

Khi A và B ngồi vào bàn cạnh nhau, họ ngồi vào một trong ba chỗ trống.

Mỗi chỗ trống có 2 cách xếp A và B

Vậy có tất cả: 2.3.2 = 12 cách xếp

Bài toán 6: Một nhóm 5 bạn gồm ba nam và hai nữ xếp thành một hàng ngang để chụp ảnh, sao cho hai bạn nữ không đứng cạnh nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?

29

Bài giải:

Cách 1: Số cách xếp năm bạn thành hàng ngang là 5! = 120 cách

Ta xét xem có bao nhiêu cách sắp xếp năm bạn mà hai bạn nữ đứng cạnh

nhau.

Có bốn cập vị trí mà hai bạn nữ đứng cạnh nhau

Ứng với mỗi vị trí đó, có 2 cách xếp hai bạn, có 3! Cách xếp ba bạn còn lại nên có:

2.3! = 12 cách xếp

Vậy có 4.12 = 48 cách xếp

Do đó số cách xếp năm bạn mà hai bạn nữ không đứng cạnh nhau là:

120 – 48 = 72 cách xếp.

Cách 2: Có 6 cặp vị trí mà hai bạn nữ không đứng cạnh nhau là (1,3); (1,4); (1, 5); (2, 4); (2, 5); (3; 5).

Trong mỗi cặp vị trí đó, có 2 cách xếp hai bạn nữ, có 3! Cách xếp ba bạn

nam nên có:

2.3! = 12 cách xếp

Vậy số cách xếp năm bạn mà hai bạn nữ không đứng cạnh nhau là:

6.12 = 72 cách xếp.

Bài toán 7: Bạn Thúy có 6 tấm ảnh khác nhau. Thúy muốn chọn ba tấm ảnh đem tặng bạn. Thúy có bao nhiêu cách chọn?

Bài giải:

Số cách chọn là số tổ hợp chập 3 của 6 phần tử

Vậy có tất cả: 6.5.4 : 3! = 20 cách chọn.

Bài toán 8: Một tổ có 10 người. Có bao nhiêu cách lập nhóm ba người để làm nhiệm vụ trực nhật?

Bài giải:

Số cách lập nhóm là số tổ hợp chập 3 của 10 phần tử

30

Vậy có tất cả: 10.9.8 : 3! = 120 cách chọn

Bài toán 9: Một tổ học sinh có 5 nam, 3 nữ. Có bao nhiêu cách lập nhóm 5 người gồm 3 nam, 2 nữ?

Bài giải:

Số cách chọn 3 bạn nam trong 5 bạn nam là: 5.4.3 : 3! = 10 cách chọn

Số cách chọn 2 bạn nữ trong 3 bạn nữ là 3

Vậy có tất cả: 10.3 = 30 cách chọn.

Bài toán 10: Tâm có 5 tờ tiền mệnh giá 2000 đồng và 4 tờ tiền mệnh giá 5000 đồng. Tâm có bao nhiêu cách khác nhau để trả tiền bằng cách dùng một hoặc cả hai loại tiền trên?

Bài giải:

Tâm có 6 cách chọn tờ tiền mệnh giá 2000 đồng (chọn 0, 1, 2, 3, 4, 5 tờ), có

5 cách chọn tờ tiền mệnh giá 5000 đồng nên có 6.5 = 30 cách chọn

Loại đi cách chọn 0 tờ tiền 2000 đồng và 0 tờ tiền 5000 đồng nên có tất cả

30 -1 = 29 cách chọn.

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Có chín đội bóng tham dự một giải bóng đá, mỗi đội phải đấu hai trận với mỗi đội khác (ở sân nhà và ở sân khách). Có tất cả bao nhiêu trận đấu?

Bài 2: Có hai viên bi đỏ giống nhau và 8 viên bi xanh giống nhau. Có bao nhiêu cách xếp thành một hàng gồm cả 10 viên bi ấy?

Bài 3: Ở một bến cảng có 15 con tàu, mỗi con tàu có 3 cột buồm hoặc 5 cột buồm, tổng cộng có 68 cột buồm. Hỏi có bao nhiêu con tàu có 5 cột buồm?

Bài 4: Đội tuyển của một trường tham dự một cuộc thi đấu được chia đều thành 6 nhóm, mỗi học sinh dự thi đạt 8 điểm hoặc 10 điểm. Tổng số điểm của cả đội là 160 điểm. Tính số học sinh đạt điểm 10?

Bài 5: Có 64 bạn tham gia giải bóng bàn theo thể thức đấu loại trực tiếp. Những người được chọn ở mỗi vòng chia thành từng nhóm hai người, hai người trong nhóm đấu với nhau một trận để chọn lấy một người. Tìm số trận đấu ở:

31

a) Vòng 1 b) Vòng 5

Gợi ý + đáp án:

Bài 1: có tất cả: 9.8 = 72 (trận đấu)

Bài 2: Chỉ cần xem có bao nhiêu cách xếp 2 bi đỏ ở 10 vị trí, đó là tổ hợp chập 2 của 10 phần tử.

(Đáp số: có 45 cách xếp).

Bài 3: có 8 con tàu có 5 cột buồm

Bài 4: Giải bằng phương pháp giả thiết tạm, tìm được số học sinh đạt điểm 10 là 8 học sinh

Bài 5: a)Vòng 1 có: 64 : 2 = 32 trận b)Vòng 5 có: 64 : 25 = 2 trận

3.2.Thực hiện giảng dạy theo phương pháp mới là hướng người học làm trung tâm.

Trong giảng dạy, tôi luôn đổi mới phương pháp, lấy học sinh làm trung tâm. Tôi luôn quan tâm đến việc làm như thế nào để phát huy ở học sinh tính tự giác tích cực sáng tạo, độc lập chủ động trong quá trình tìm tòi và chiếm lĩnh tri thức mới. Trong mỗi buổi ôn tập phải làm sao cho các em học sinh có cơ hội làm việc thật nhiều, tự tìm ra những dạng bài và tìm cách giải các dạng bài đó, nên giảm bớt vị trí công việc của người giáo viên trên lớp – giáo viên chỉ đóng vai trò như một người “trọng tài” chốt lại những kiến thức mà các em vừa khám phá ra, tránh tình trạng dạy học áp đặt “Thầy giảng còn trò chỉ biết lắng nghe và làm theo” sẽ làm cho các em thụ động trong quá trình tiếp thu bài, không khắc sâu được kiến thức cho học sinh.

3.3. Thường xuyên động viên, khuyến khích học sinh trong quá trình giảng dạy trên lớp để các em thêm tự tin, hứng thú học tập.

32

Với mỗi bài giải đúng hoặc các em có cách giải hay, tìm ra dạng bài tập mới tôi thường khen và tặng điểm các em tự tin và tạo hứng thú trong buổi học. Với những học sinh còn chưa hiểu hoặc chưa tích cực tôi chú ý giảng kỹ hơn với riêng em và động viên để em cố gắng hơn. Với các nhóm hoàn thành tốt nhiệm vụ tôi luôn có phần quà nhỏ để khuyến khích các em trong các hoạt động tiếp theo.

4. Kết quả thực hiện

Việc vận dụng sáng kiến kinh nghiệm này đã mang lại nhiều hiệu quả trong việc giải các bài toán có liên quan và các bài toán thuộc dạng này. Phần đông các em đều có hứng thú giải các bài tập nếu như bài tập có phương pháp giải hoặc vận dụng các phương pháp giải của một loại toán khác và giải.

Đối với học sinh đại trà thì việc học của các em chỉ dừng lại ở phạm vi sách giáo khoa, sách bài tập chính khóa. Còn đối với dạng toán này thì các em học sinh khá, giỏi không những áp dụng được vào cấp học mà các em còn vận dụng vào toán THPT rất nhiều, phục vụ cho các cấp học cao hơn.

Kết quả: Qua thời gian tham gia giảng dạy và thử nghiệm sáng kiến

kinh nghiệm của mình tôi đã đạt được một số kết quả nhất định.

Qua các lần khảo sát năm học 2014 – 2015 và học kì 2 năm học 2015-

2016 có kết quả như sau:

Số H/S Giỏi Khá Trung Bình Yếu

Lần 1 28 8 = 28,6% 10 = 35,7% 9 = 28,6 % 2 = 7,1%

Lần 2 28 8 = 28,6 % 12 = 42,6% 7 = 25 % 1 = 3,6%

33

Lần 3 28 10 = 35,7% 13 = 46,4% 5 = 17,6% 0

PHẦN THỨ BA KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1. Kết luận:

Là một giáo viên trẻ, kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều, tôi nhận thấy bản thân phải thường xuyên tìm hiểu, tích lũy kinh nghiệm qua thực tế giảng dạy là những bài toán hay, sáng tạo trong việc dạy và học nhằm phát huy tính tích cực , chủ động, yêu thích học toán của học sinh. Đặc biệt là sự vận dụng linh hoạt của học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi các khối, lớp. Từ việc nghiên cứu lý luận và qua thực tiễn giảng dạy làm việc với học sinh khá, giỏi và học sinh đại trà tôi nhận thấy việc hệ thống các các dạng bài tập áp dụng về đại số tổ hợp rất hữu ích đối với cả người dạy và người học. Từ đó giúp giáo viên có được hệ thống phương pháp và giúp các em học sinh dễ dàng nghiên cứu học tập dạng toán này.

2.Kiến nghị:

Qua đề tài này tôi đã trình bày lượng kiến thức trong một phạm vi nhỏ nên có thể còn nhiều khiếm khuyết mong được các đồng nghiệp đóng góp ý kiến giúp tôi hoàn thiện đề tài, từ đó có thể áp dụng rộng rãi trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán.

34

Tôi xin trân trọng cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Vũ Hữu Bình: Nâng cao và phát triển Toán 7 – NXB Giáo dục Việt Nam

2. Vũ Hữu Bình – Tôn Thân – Đỗ Quang Thiều: Toán bồi dưỡng học sinh lớp 6

– NXB giáo dục Việt Nam

3. Vũ Hữu Bình – Nguyễn Tam Sơn: Tài liệu chuyên Toán THCS Toán 6 – Số

học – NXB Giáo dục Việt Nam.

4. Vũ Hữu Bình – Đàm Hiếu Chiến: Tài liệu chuyên Toán THCS Toán 6 – hình

học – NXB giáo dục Việt Nam.

5. Vũ Hữu Bình – Đàm Hiếu Chiến: Tài liệu chuyên Toán THCS Toán 7 – đại

số – NXB giáo dục Việt Nam.

6. Nguyễn Vũ Thanh: chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS – Số học

35

– NXB giáo dục Việt Nam.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Một số dạng bài tập áp dụng đại số tổ hợp trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6

Lĩnh vực / Môn: Toán

Cấp học : THCS

Năm học 2015 – 2016

36