Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Hướng dẫn học sinh lớp 6 giải quyết bài toán chia hết trong N

Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN BA VÌ -----------------

&&

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI

Năm Học : 2015 - 2016

1 Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N

MỤC LỤC

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lí do chọn đề tài Trang 3

2 Đối tượng nghiên cứu: Trang 4

3 Phạm vi nghiên cứu Trang 4

4 Nhiệm vụ nghiên cứu Trang 5

5 Phương pháp nghiên cứu Trang 5

PHẦN II: NỘI DUNG

A Cơ sở lí luận và thực tiễn Trang 6

B Giải pháp và cách thực hiện Trang 8

I Kiến thức cơ bản Trang 8

II Các dạng bài tập và cách giải Trang 10

Dạng 1 Vận dụng các dấu hiệu chia hết Trang 10

Dạng 2 Tìm chữ số tận cùng của lũy thừa Trang 12

Dạng 3 Sử dụng quan hệ đồng dư trong các bài toán lũy thừa. Trang 14

Dạng 4 Dựa vào tính chia hết của tích Trang 15

Dạng 5 Thông qua biến đổi cấu tạo số Trang 17

Dạng 6 Sử dụng dấu hiệu chia hết của tổng Trang 19

Dạng 7 Sử dụng tính chất của ƯCLN, BCNN Trang 22

Dạng 8 Sử dụng dấu hiệu chia hết để giải toán vui và trò chơi Trang 23

C Kết quả sau thực nghiệm Trang 25

PHẦN III: KẾT LUẬN – BÀI HỌC KINH NGHIỆM VÀ KIẾN NGHỊ.

Kết luận 1 Trang 27

Bài học kinh nghiệm 2 Trang 27

Kiến nghị 3 Trang 28

4 Phụ lục:( Các tài liệu tham khảo) Trang 29

PHẦN I - ĐẶT VẤN ĐỀ

1. Lý do chọn đề tài.

2 Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N

Trong thời đại công nghiệp hóa hiện đại hóa đất nước hiện nay mục tiêu cơ bản của nhà trường là đào tạo và xây dựng thế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với nhu cầu thực tế hiện nay. Muốn giải quyết thành công nhiệm vụ quan trọng này, trước hết chúng ta phải tạo tiền đề vững chắc lâu bền trong phương pháp học tập của học sinh cũng như phương pháp giảng dạy của giáo viên các bộ môn nói chung và môn Toán nói riêng.

Toán học là một trong những môn khoa học tự nhiên đòi hỏi tính thông minh và trí tưởng tưởng cao ở mỗi người học. Toán học đã góp phần không nhỏ trong sự phát triển của các bộ môn khoa học tự nhiên cũng như thúc đẩy các bộ môn khoa học xã hội phát triển, nó là nền tảng để xây dựng nên các môn khoa học tự nhiên khác.

Trong giáo dục, môn toán có một vị trí quan trọng. Trong nhà trường các tri thức toán giúp học sinh học tốt các môn học khác, trong đời sống hàng ngày thì toán học giúp con người có được các kĩ năng tính toán, vẽ hình, đọc, vẽ biểu đồ, đo đạc, ước lượng,... từ đó giúp con người có điều kiện thuận lợi để tiến hành các hoạt động lao động sản xuất trong thời kì công nghiệp hóa và hiện đại hóa đất nước.

Qua thực tế giảng dạy tôi thấy, học sinh lớp 6 bước đầu làm quen với chương trình THCS nên còn nhiều bỡ ngỡ gặp không ít khó khăn. Đặc biệt với phân môn số học, mặc dù đã được học ở tiểu học, nhưng với những đòi hỏi ở cấp THCS buộc các em trình bày bài toán phải lôgíc, có cơ sở nên đã khó khăn lại càng khó khăn hơn. Trong khi đó, đa số các em vận dụng kiến thức tư duy còn nhiều hạn chế, khả năng suy luận chưa nhiều, khả năng phân tích chưa cao, do đó việc giải toán của các em gặp nhiều khó khăn. Vì thế ít học sinh giải đúng, chính xác, gọn và hợp lí.

Mặc khác, trong quá trình giảng dạy nhiều giáo viên mới chỉ dạy cho học sinh ở mức độ truyền thụ trên tinh thần của sách giáo khoa mà chưa có phân loại dạng toán, chưa khái quát được cách giải mỗi dạng toán cho học sinh. Đây là vấn đề mà các thầy cô giáo giảng dạy toán 6 và các bậc phụ huynh đều rất quan tâm, lo lắng. Do đó muốn rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh phải diễn đạt mối quan hệ những dạng toán này đến dạng toán khác, phải vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học để phân loại chúng và đưa ra cách giải hợp lí nhất. Vì vậy nhiệm vụ của người thầy giáo không phải là giải bài tập cho học sinh mà vấn đề đặt ra là người thầy là người định hướng, hướng dẫn cho học sinh cách tiến hành giải bài toán. Điều đó đòi hỏi mỗi thầy cô giáo phải tìm ra phương pháp dạy học phù hợp nhất với những đối tượng học sinh của mình.

3 Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N

Để giúp các em học tập môn Toán có kết quả tốt, giáo viên không chỉ nắm được kiến thức, mà điều cần thiết là phải biết vận dụng các phương pháp giảng dạy một cách linh hoạt, truyền thụ kiến thức cho học sinh dễ hiểu nhất.

Do yêu cầu đổi mới phương pháp dạy và học “phát huy tính chủ động, tích cực, sáng tạo của học sinh” nên việc tổ chức cho các em tìm tòi cách giải toán là một yêu cầu tối cần thiết của người thầy.

Học sinh lớp 6 còn mang nặng phong cách học của học sinh Tiểu học, chưa có kỹ năng tổng hợp kiến thức, chưa biết cách đào sâu khai thác bài toán. Vì vậy số học nói chung và toán chia hết nói riêng rất phong phú và cũng rất khó khăn đối với cả người dạy và người học.

Mặt khác môn số học nói chung và toán chia hết nói riêng đòi hỏi tính lôgíc, chặt chẽ, mức độ khái quát, tổng hợp cao, là một mắt xích quan trọng trong trục chương trình là nền tảng cho học sinh học tốt bộ môn toán ở những năm tiếp theo.

Vì vậy việc tháo gỡ những khó khăn về phương pháp khi đứng trước một bài toán số học nói chung và toán chia hết trong tập số tự nhiên nói riêng là một vấn đề hết sức cần thiết cho học sinh.

Trong giảng dạy môn toán, việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản biết khai thác mở rộng kiến thức áp dụng vào giải được nhiều dạng bài tập là điều hết sức quan trọng. Từ đó giáo viên giúp cho học sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo sự nhanh nhạy khi giải toán ngay từ khi học môn số học 6.

Môn số học 6 là môn học rất quan trọng học sinh nắm được chắc kiến thức số học sẽ có nền móng tốt để học môn đại số các năm tiếp theo.Qua quá trình giảng dạy tôi thấy vấn đề chia hết trong N rất hay, các dạng bài tập phong phú, đa dạng các bài toán về chia hết còn được vận dụng để giải một số dạng toán khác góp phần rất lớn trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi.

Vậy không ngoài tâm huyết với các em học sinh, niềm đam mê dành cho bộ môn toán tôi không ngừng trau dồi kiến thức, học hỏi kinh nghiệm, nâng cao tay nghề trong việc soạn giảng bằng những kinh nghiệm riêng của bản thân và đây cũng là lý do để tôi chọn đề tài này. 2. Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 6A của một trường THCS – Năm học 2015 -2016 3. Phạm vi nghiên cứu:

- Trong năm học 2015 – 2016. Chương I số học.

- Hoạt động dạy học Toán 6 nói riêng và Toán THCS nói chung.

4 Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N

4. Nhiệm vụ nghiên cứu: Để đạt được mục đích trên, đề tài có nhiệm vụ làm sáng tỏ một số vấn đề như sau: + Làm sáng tỏ cơ sở lí luận về kĩ năng giải Toán. + Đề xuất các phương pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải Toán cho HS. + Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi của đề tài. 5. Phương pháp nghiên cứu:

+ Phương pháp nghiên cứu thực tiễn, lí thuyết. + Phương pháp tổng kết kinh nghiệm. + Phương pháp thực nghiệm sư phạm.

PHẦN II – NỘI DUNG

5 Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N

A. CỞ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN:

Địa phương tôi đời sống còn nhiều khó khăn so với nhiều địa phương khác. Do đó việc mua sắm tài liệu tham khảo rất ít đặc biệt là những học sinh thuộc diện hộ nghèo và cận nghèo. Vì vậy, khả năng giải toán của các em còn rất nhiều hạn chế. Trong quá trình dạy học nhiều năm ở trường THCS tôi nhận thấy đa số học sinh chưa phát huy hết năng lực giải toán của mình, nhất là học sinh đầu cấp THCS . Đặc biệt là đối với môn số học 6 là bước khởi đầu quan trọng nhất để hình thành khả năng phân tích giải toán cho học sinh trong những năm học tiếp theo. Giải bài tập toán là quá trình suy luận, nhằm khám phá ra quan hệ logic giữa cái đã cho (giả thiết) với cái phải tìm (kết luận).Nhưng các qui tắc suy luận, cũng như các phương pháp chứng minh chưa được dạy tường minh. Do đó học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải bài tập. Thực tiễn dạy học cũng cho thấy: Học sinh khá, giỏi thường đúc kết những tri thức, phương pháp cấn thiết cho mình bằng con đường kinh nghiệm, học sinh TB, yếu kém gặp nhiều lúng túng. Để có kỹ năng giải bài tập phải qua quá trình luyện tập. Quan sát đặc điểm bài toán, khái quát đặc điểm đề mục là vô cùng quan trọng hơn là sự khái quát hướng suy nghĩ và phương pháp giải. Sự thực là khi giải bài tập thì không chỉ là giải một vấn đề cụ thể mà là giải đề bài trong một loạt vấn đề nào đó. Do đó hướng suy nghĩ và phương pháp giải bài tập cũng nhất định có một ý nghĩa chung nào đó. Nếu ta chú ý từ đó mà khái quát được hướng suy nghĩ và cách giải của vấn đề nào đó là gì thì ta sẽ có thể dùng nó để chỉ đạo giải vấn đề cùng loại và sẽ mở rộng ra. Nhà toán học ĐềCác nói rất đúng rằng “Một vấn đề mà tôi giải quyết đều trở thành ví dụ mẫu mực dùng để giải quyết vấn đề khác”. Do đó sau khi giải một bài toán nên chú ý khai thác hướng suy nghĩ và cách giải.

Vậy đối với khái niệm chia hết học sinh chưa hiểu sâu (chỉ trên cơ sở tính toán đối với các số cụ thể) chỉ hiểu về dấu hiệu chia hết một cách sơ sài, nông về tư duy, hẹp về kiến thức và cách giải quyết bài toán, chưa định hình được cách giải toán chia hết.

Trước khi thực hiện đề tài này tôi đã cho học sinh làm bài kiểm tra khảo sát

như sau :

(cid:0) Lần 1 (15 phút) : Chứng minh rằng

(

)

) + + 2p 1

(cid:0) (cid:0) M a) aabb 11 b) + p 2 M 3 (cid:0) (cid:0)

Kết quả :

0.5-2.5 3.0-4.5 5.0-6.5 7.0-8.5

9.0-10

0 TB (cid:0)

Điểm

Số học sinh: 32 10 11 5 3 0 3 8

6 Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N

100

(cid:0) Lần 2 (20 phút) : Chứng minh rằng

3 4

+ + + + 4 4 ... 4 M 5

Kết quả :

0 0.5-2.5 3.0-4.5 5.0-6.5 7.0-8.5

9.0-10

TB (cid:0)

Điểm

2 10 Số học sinh: 32 9 11 6 4 0

Thông qua kết quả trên tôi rút ra được một số kết luận như sau: 1) Về phía giáo viên:

Thực tế trong quá trình học tập trong trường THCS hiện nay, còn một vài giáo viên không xem trọng việc tự học ở nhà của học sinh mà thường giáo viên chỉ hướng dẫn một cách sơ sài, giáo viên chưa phát huy hết tác dụng của đồ dùng dạy học, đặt câu hỏi chưa rõ ràng hoặc chưa sát với yêu cầu bài toán, chưa đưa ra được các dạng bài toán tổng hợp ở cuối chương làm cho học sinh không được rèn luyện nhiều, do đó chưa hình thành được kĩ năng giải toán làm cho các em gặp nhiều khó khăn trong quá trình học toán. 2) Về phía học sinh:

Học sinh của trường THCS mà tôi đang giảng dạy tiếp thu bài còn chậm và vận dụng kiến thức từ lý thuyết của các bài toán chia hết vào làm bài tập còn hạn chế. Khả năng tính toán của các em chưa linh hoạt, chưa vận dụng hợp lí các phương pháp giải, giải toán chưa hợp logic, khả năng phân tích, dự đoán kết quả của một số em còn hạn chế và khả năng khai thác bài toán chưa sâu.

Ngoài ra một số học sinh không có khả năng phân tích một bài toán từ những gì đề bài yêu cầu sau đó tổng hợp lại, không chuyển đổi được từ ngôn ngữ bình thường sang ngôn ngữ số học hoặc không tìm ra phương pháp chung để giải các dạng toán chia hết trong N, từ đó cần có khả năng so sánh các cách giải để trình bày lời giải cho hợp lí. Nhiều học sinh một bài giải không xác định được đáp án đúng và sai. Vận dụng các cách giải đó để có thể tạo ra một bài toán mới tổng quát hơn.

Mặt khác bài toán yêu cầu cao về mặt tư duy, tổng hợp kiến thức, vì vậy lần kiểm tra đầu tiên điểm quá thấp. Ở lần kiểm tra thứ hai, chất lượng và số lượng có tăng lên song rất chậm.

Bên cạnh đó học sinh còn hạn chế tìm tòi các sách tham khảo để tìm ra

các công thức quen thuộc và sự sáng tạo trong lời giải. Nguyên nhân: + Do thời lượng luyện tập giờ chính khoá còn ít, vì vậy học sinh chưa có thời gian để ôn tập, làm bài tập giải bài tập nhiều.

7 Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N

+ Học sinh nắm kiến thức chưa tốt, chưa sâu, một số chỉ học máy móc, hiểu một cách đơn giản chứ chưa nắm vững kiến thức nên gặp nhiều khó khăn trong quá trình làm bài tập. + Cách trình bày lời giải một bài toán chưa thật chặt chẽ và thực hiện các phép tính chưa chính xác nên kết quả chưa cao. + Chưa có phương pháp học tập hợp lí; Chưa xác định đúng các dạng toán; Chưa có thời khóa biểu học ở nhà cụ thể. B. GIẢI PHÁP VÀ CÁCH THỰC HIỆN:

I. Kiến thức cơ bản

- Việc nắm vững kiến thức cơ bản là một điều rất cần thiết giúp cho học sinh giải bài toán một cách thuận lợi và có thể tiếp thu một cách dễ dàng hơn.

- Kiến thức cơ bản là phương tiện, là “xương sống” để từ đó phát triển, mở rộng dấu hiệu chia hết, vì thế tôi đã trang bị cho học sinh những kiến thức sau :

1. Các dấu hiệu chia hết :

aa

...a

* Gọi A = (cid:0)

1nn

a 01

- Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5

+ A M 2 (cid:0) + A M 5 (cid:0) a0 M 2 (cid:0) a0 M 5 (cid:0) a0(cid:0) {0; 2; 4; 6; 8} a0(cid:0) {0; 5}

- Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9

+ A M 3 (cid:0) + A M 9 (cid:0) a0+a1+…+an M 3 a0+a1+…+an M 9

- Dấu hiệu chia hết cho 4, cho 25

1 0a a M 4

1 0a a M 25

M 8

01aaa2

M 125

[(a0 + a2 +…) - (a1 + a3 +…)] M 11

+ A M 4 (cid:0) + A M 25 (cid:0) - Dấu hiệu chia hết cho 8, cho 125 + A M 8 (cid:0) + A M 125 (cid:0) 01aaa2 - Dấu hiệu chia hết cho 11 + A M 11 (cid:0) hoặc [(a1 + a3+…) - (a0 + a2 +…)] M 11

(

)

* Xây dựng các dấu hiệu chia hết :

( M

M M a b; a c; UCLN b; c = (cid:0) 1 a b.c Nếu . Từ đó ta có các dấu hiệu chia hết :

(cid:0) Dấu hiệu chia hết cho 6 : (6 = 2.3)

8 Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N

(cid:0) Dấu hiệu chia hết cho 15 : (15 = 3.5) (cid:0) Dấu hiệu chia hết cho 18 : (18 = 2.9) (cid:0) Dấu hiệu chia hết cho 10 : (10 = 2.5)

= + * Xây dựng các dấu hiệu chia hết cho 2 , 5 : Nếu { A B00...0 C k chu so 0

k A B.2 .5 C

(

)

= (C là số được tách ra từ k chữ số tận cùng của A) hay + thì số A

2 có chữ số tận cùng chia hết cho cho 5 thì chia hết cho 2 , 5 .

2. Phương pháp tìm chữ số tận cùng của lũy thừa

Nâng các số 0; 5; 1; 6 lên lũy thừa bất kỳ cho chữ số tận cùng không đổi

Chữ số tận cùng Chữ số tận cùng khi nâng lên lũy thừa 2 Chữ số tận cùng khi nâng lên lũy thừa 4

2 6 4

4 6 6

8 6 4

3 1 9

7 1 9

9 1 1

3. Kiến thức về cấu tạo số

= + ab

10a = b + + c

abc 100a 10b + = + + abcd 1000a 100b 10c d

......

(

4. Tính chất chia hết của một tổng + (cid:0) M M M a m, b m

) a b m ) (

+ (cid:0) M M a m, c m c a M m

a) Các tính chất của ƯCLN

(cid:0) Nếu ƯCLN(a; b) = d thì ƯCLN(a; b) = Ư(d)

5. Các tính chất của ƯCLN, BCNN

(Mục 3 bài 7 tìm ƯC thông qua ƯCLN)

)

(cid:0) ƯCLN(ka; kb) = k.ƯCLN(a; b) (

(cid:0) k N *

9 Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N

)

(

)

( UCLN a; b m

(cid:0) (cid:0) = (cid:0) (cid:0) (cid:0) m UCLN a; b UCLN (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b a ; m m

(

)

(cid:0) (cid:0) = = (cid:0) (cid:0) d UCLN a; b UCLN ; 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a b d d

)

b) Các tính chất của BCNN

M M m BCNN a; b M thì

)

( (cid:0) Nếu m a; m b (cid:0) BCNN(ka; kb) = k.BCNN(a; b) (

)

(cid:0) k N *

(

)

( BCNN a; b n

(cid:0) (cid:0) = (cid:0) (cid:0) (cid:0) n BCNN a; b BCNN ; (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a b n n

)

( BCNN a; b

)

= (cid:0) (Bài tập 52 – SGK) ab ( UCLN a; b

II.Các dạng bài tập và cách giải

)

( a p; a q p, q N *

(cid:0) M M M Dạng 1: VẬN DỤNG CÁC DẤU HIỆU CHIA HẾT Nếu a m; m p.q= thì

= M Ví dụ 1: Tìm x, y để A 135x4y 45

Hướng dẫn : Ta thấy 45 = 5.9 nên A chia hết cho cả 5 và 9 Vì A chia hết cho 5 nên y có giá trị là 0 hoặc 5 - Nếu y = 0 ta có :

= = (cid:0) = (cid:0) M A 135x4y 9 x 5 A 135540

- Nếu y = 5 ta có :

= = (cid:0) (cid:0) M A 135x4y 9 x = 0 A 135045

= M Vậy với x = 5, y = 0 hoặc x = 0, y = 5 thì A 135x4y 45

Bài toán đã mở ra một hướng mới khi sử dụng kết hợp các dấu hiệu chia hết từ đó khai thác các dấu hiệu chia hết theo hướng mở rộng bắt đầu được học sinh để ý tới.

= M Ví dụ 2: Tìm x, y để B 23xy 20

{

} 0; 2; 4; 6; 8

(cid:0) (cid:0) M x0 4 x Hướng dẫn : Ta thấy 20 = 2.10 nên B chia hết cho 10 hay y = 0 Mặt khác 20 4M nên B chia hết cho 4 hay

{

} 0; 2; 4; 6; 8

(cid:0) = x M Vậy với và y = 0 thì B 23xy 20

10 Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N

2008

Sau khi làm xong bài tập này phương pháp giải toán chia hết thông qua kết hợp các dấu hiệu chia hết được khắc sâu hơn trong tư duy của học sinh. Trong các bài tập dạng số cụ thể, học sinh có thói quen tính toán ra kết quả vì vậy các bài toán lũy thừa là một vấn đề rất khó khăn cho học sinh, từ đó tôi giới thiệu bài toán sau :

2008

+ 10 2 = P Ví dụ 3: Chứng minh rằng là một số tự nhiên 3

+ = + = Hướng dẫn : = P 10 Ta có : 2 1000...0 1 2 3 2008 sô 0

2008 sô 0

(cid:0) (cid:0) 2 1000...0 2 1 2 3 2008 sô 0 + + + + + + = (cid:0) 2 3 M P 3 P N 1 0 0 0 ... 0 1 4 4 2 4 4 3 Tổng các chữ số của P là :

Vậy P là số tự nhiên Tuy đây là một bài toán đơn giản nhưng học sinh thường bị “choáng” khi gặp các lũy thừa bậc cao. Qua bài tập này học sinh đã tự tin hơn khi làm toán liên quan đến lũy thừa.

(cid:0) Bài tập tự luyện : Bài 1: Tìm a, b biết rằng:

a) a56b 45M

b) 10ab5 45M

c) 34a5b 36M

d) 25a2b 36M

2007

e) a378b 72M

+ 10 8 Bài 2: Chứng minh rằng là số tự nhiên. 9

(cid:0) 0) sao cho:

là số tự nhiên. Bài 3: Tìm tất cả các số tự nhiên n (n + 19n 7 + 7n 11

2003

Dạng 2: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA LŨY THỪA Dạng toán này thường được dùng trong việc chứng minh một tổng, một hiệu hoặc một biểu thức nào đó chia hết cho 2, cho 5.

73 2- Ví dụ 1: Chứng minh rằng chia hết cho 5

Hướng dẫn : Ta có :

11 Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N

2003

2002

1001

= 73

)

1001

= 73.73 ( 2 73. 73

500

= 73.A9

= 73.A9. A9

)

(

500

= 73.A9.B1

= C7.D1

2003

E7 - = - = (cid:0) M 73 2 E7 2 E5 5

73 2- chia hết cho 5

Vậy Ví dụ 2: Chứng minh rằng 4343 – 1717 chia hết cho 5 Hướng dẫn : Ta có:

40 3 43 .43

= 43

4 10 3 (43 ) .43

10 A1 .B7

= A1.B7

17 17

= = C7 16 17 .17

4 4 (17 ) .17

4 D1 .17

= E1.17

= F7

= (cid:0) - - 43 M C7 F7 G0 5

1993

520

= 17 17 Vậy 4343 – 1717 chia hết cho 5

- - chia hết cho cả 2 và 5 1992 37 1

Ví dụ 3: Chứng minh rằng Hướng dẫn : Ta có :

12 Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N

1993

1992

996

= 1992

)

996

= 1992.1992 ( 1992. 1992

498

= 1992.A4

= 1992. A4

)

(

498

= 1992.B6

= 1992.C6

260

520

)

260

= D2 ( 37 37

130

= E9

)

(

130

= F1

520

1993

= G1

1993

- = (cid:0) - - 37 - = 1 D2 G1 1 H0

- - 1992 520 1 37 1992

Chứng minh A = 34n+1 +7 chia hết cho 10

4 n 1

+ + =

Vậy chia hết cho cả 2 và 5. Đối với bài toán này yêu cầu cao hơn bài toán ở ví dụ 1 và ví dụ 2, song tựu chung lại là việc tìm chữ số tận cùng của một biểu thức để kiểm tra việc chia hết cho 2 và cho 5 của biểu thức đó. n N(cid:0) Ví dụ 4: Cho Hướng dẫn : Ta có:

4 n 7 3 .3 7 =

+ 3

n (3 ) .3 7

= + X1 .3 7

= + X1.3 7

1999

1994

+ = M Y3 7 Z0 10 Vậy A = 34n+1 +7 chia hết cho 10

2001

+ 113 53 47 256 28 chia hết cho 5 + chia hết cho cả 2 và 5 1

21 13

+ - (cid:0) Bài tập tự luyện : Bài 1: Chứng minh rằng Bài 2: Chứng minh rằng Bài 3: Chứng minh rằng 4 a) chia hết cho 10 17 24

13 Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N

68 1970

1969 1970 )

- (7 (3 ) b) chia hết cho 10

Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n: a) 74n - 1 chia hết cho 5 b) 34n + 1 + 2 chia hết cho 5 c) 24n + 2 + 1 chia hết cho 5 d) 24n + 1 + 3 chia hết cho 5 e) 92n + 1 + 1 chia hết cho 10

Dạng 3 : SỬ DỤNG QUAN HỆ ĐỒNG DƯ TRONG CÁC BÀI TOÁN

nr+

na = bội số của b (Bội số của b ký hiệu là BS(b)) 1593

LŨY THỪA (cid:0) Cơ sở : - Nếu a; b chia cho m cùng có số dư r thì a – b chia hết cho m - Nếu a chia cho b dư r thì

1593

cho 7 32

)

( BS 7

1593 4

Ví dụ 1: Tìm số dư trong phép chia Hướng dẫn : = = + + (cid:0) 32 4.7 4 32 Ta có :

531

Mặt khác :

(

1593 4

531

= = 64 4

)

) + (cid:0) 64 9.7 1

( BS 7

531 1

1593

= = + 64

chia cho 7 dư 1. 32

1997

Do đó Ta thấy việc giải toán dạng này qui về việc biến đổi cơ số thành bội số của số chia và một số dư, sau đó biến đổi sao cho số dư bằng 1. Việc tìm ra số dư của phép chia rất quan trọng, nếu như hai số có cùng số dư khi chia cho cùng một số thì hiệu hai số trên chia hết cho số đó. 2002 + 15 9 Ví dụ 2: Chứng minh rằng M ? 8

Hướng dẫn : Ta có :

1997

1996

998

( BS 8 =

1997 7 =

1997 7

= (cid:0) + 15 1.8 7 ) + 15

7.49

998

998 1

998

= (cid:0) 7.7 + ) 49 6.8 1 ( + BS 8 49

1997

7.49 chia cho 8 dư 7 tức là

Do đó 49 chia cho 8 dư 1 và chia cho 8 dư 7. 15

14 Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N

2002

)

( BS 8

2002 1

20029

1997

2002

= + = + (cid:0) 9 8 1 9 Mặt khác : nên chia cho 8 dư 1.

570

+ 15 9 M 8 Vậy

150 9

- Đây là một dạng toán khó nên việc nắm bắt kiến thức của học sinh còn khó khăn, mơ màng nên tôi đưa ra bài toán sau : M 7 = A 6 Ví dụ 3 : Chứng minh rằng

285

570

Hướng dẫn : Ta có :

)

(

( BS 7

150

= + = 1 6

)

150 9

) + 5.7 1 ( BS 7

150

= 36 ( = )

150 2 )

570

= = = + + 7 2 ( = ) + 7 1 2 8 + ( BS 7 1

150 9

- - = A 6 M 7 Vậy chia cho 7 có số dư là 1 – 1 = 0 hay = A 6

520

738

Qua bài tập trên tôi chắc chắn rằng các em đã nắm bắt được phương pháp để giải một bài toán chia hết thông qua việc tìm số dư. Từ đó tôi ra các bài tập sau cho học sinh.

(cid:0) Bài tập tự luyện : Bài 1: Tìm số dư của phép chia = A 25

17614 cho 5 M 9 19

Bài 2: Chứng minh rằng

(cid:0) Cơ sở : - Nếu A a.k= M - Nếu A C; B D

Dạng 4 : DỰA VÀO TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA TÍCH

thì A aM M thì A.B C.DM

Ví dụ 1: Chứng minh rằng A chia hết cho 3 và 5 biết + + + + = + + A 1 2 2 ... 2 2 2

+ + Hướng dẫn : Ta có : A 2

)

( 62 ... 2 1 2

+ + + + = + + ) + + ... 2 ) 1 2

2 ( 2 1 2 + +

)

= ... 2 .3 + + + 1 2 2 ( + = + = + 3 3.2 ( + 3. 1 2 ... 2 2

(cid:0) M A 3

15 Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N

= + + A 2

)

+ ( + + ... 2 ) 1 2 2 2 2 2

( +

)

+ + ( + + + + + ) 1 2 + ( 60 ... 2 1 2 + ( 2 1 2

2 + 2 2 ( + 2 1 2 + + + + ... ) + 5 5.2 ... 5.2

= + + + 5.2 ) 1 2 2 ( ) + = + ) ( = + = + ( + 5. 1 2 2 ... 2

(cid:0)

chia hết cho 3 và 5. M A 5 = + + A 1 2 2

. Chứng minh rằng: + 2 = + + B 1 3 3 + + ... 2 + + 3 + 2 + ... 3

Vậy Ví dụ 2: Cho M a)B 13 M b)B 40

Hướng dẫn: a) Ta có:

+ + + + + + + (3 3 ) 3 ) ... (3

2 ... 3 (1 3 3 )

= + + B (1 3 3 ) = + + 3 + + + + 3 + + + 2 B (1 3 3 ) 3 (1 3 3 )

3 B (1 3 3 )(1 3 + +

+ = + + + + 9 ... 3 )

9 ... 3 ) 13

= + M

3 B 13.(1 3 M B 13

(cid:0)

b) Ta có:

3 3 )

7 3 )

8 (3

10 3

11 3 )

+ + + + + + + + + (3 3

5 3 + +

9 3 + +

3 3 ) 3 (1 3 3

3 3 )

+ + + + + = + + B (1 3 3 = + + B (1 3 3

8 3 )

= + + B 40(1 3

8 M 3 ) 40

= + +

(cid:0)

96 ... 3

97 3

98 3

99 3

+ + + + + + Ví dụ 3 : Cho . Chứng minh rằng :

B 40(1 3 M B 40 = + + 2 3 3 S 1 3 3 a) S chia hết cho 4. S chia hết cho 40 b) c) S – 1 chia hết cho 13

Hướng dẫn: Ta có :

16 Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N

97 3

99 3

+ + + + a) S

98 3 +

)

( 3 1 3

3 3 ( 3 1 3 + +

( ... 3 1 3 +

+ + + + + + + 96 ... 3 ) = + + ) 1 3

)

2 1 3 3 ( + = + = + ( + 4. 1 3

4 3 .4 ... 3 .4 3 .4 + + + + = ... 3 3 3

(cid:0)

3 3 +

97 3 + +

98 3 +

99 3 + +

M S 4 = + + + + + b) S

2 1 3 3 ( = + +

96 ... 3 ( +

)

2 1 3 3

3 3

4 2 3 1 3 3

( ... 3 1 3 3

3 3

+ + + + )

+ + ) + + = 40

96 40 3 .40 ... 3 . )

96 ... 3

= + + + + ( 4 40. 1 3

(cid:0)

+ + + + + + 3

(

M S 40 = + + c)S 1 3 3 ( + + = + 3 ) + 3 ) 1 3 1 3 3 ... 3 + 97 ... 3 3 + + 1 3 3

= + + + 1 3.13 ... 3 .13

(

)

= + + + +

)

97 1 13. 1 3 ... 3 ( 97 S 1 13. 1 3 ... 3

+ + + - =

(cid:0) - M S 1 13

(cid:0) Qua các bài tập trên chắc chắn học sinh đã nắm được qui luật và hướng giải quyết dạng toán này. Tuy nhiên các em vẫn cần phải lưu ý, để chứng minh tổng S aM , ta biến đổi S = m.a

3 5

100 5

+ + + chia hết cho 6

+ + 99 ... 5 . Chứng minh rằng : 8 = + A 5 5 + + 1000 ... 8

M S a (cid:0) Bài tập tự luyện : Bài 1: Chứng minh rằng: = + 3 Bài 2: Cho S 8 8 a) S chia hết cho 9 b) S chia hết cho 72 c) S – 8 chia hết cho 73

+ + + 1 2 + ... 2 = M Bài 3: Chứng tỏ rằng là số tự nhiên ? 2 31

Bài 4: Chứng minh rằng P chia hết cho 56 biết : = + + + + P 7 7 ... 7 7

Dạng 5 : THÔNG QUA BIẾN ĐỔI CẤU TẠO SỐ Ví dụ 1 : Chứng minh rằng :

17 Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N

M a) aa 11

M M b) bbb 37, bbb 3

M c) cccc 101

Hướng dẫn : Ta có :

+ = = a) aa 10a

M a 11.a 11 + = + = = b) bbb 100b 10b b 111b 37.3.b

(cid:0) (cid:0) M bbb 37 (cid:0) (cid:0) (cid:0) M bbb 3 (cid:0)

+ = + + = = M c) cccc 1000c 100c 10c c 1111c 101.11.c 101

Đây là các bài toán đơn giản, thực chất là là ta phân tích các số đã cho thành tích các thừa số nguyên tố, nó sẽ xuất hiện các thừa số cần chứng minh, từ đó ta có các kết luận về bài toán. Trong bài toán này việc phân tích cấu tạo số chỉ đơn giản để học sinh được tư duy sâu sắc hơn, ta làm bài tập sau : Ví dụ 2 : Chứng minh rằng :

M a) abcabc 7; 11; 13

(

)

+ b) abab baba M 101; 11

Hướng dẫn : a) Ta có :

= + abcabc abc000 abc

= + abc.1000 abc

= 1001.abc

= 7.11.13.abc

Do đó abcabc chia hết cho 7; 11; 13. b) Ta có :

+ + + + + + + = + abab baba 1000a 100b 10a b 1000b 100a 10b a

)

= +

)

( 101.11. a b

= + 1111a 1111b ( 1111. a b +

+ chia hết cho 101; 11.

+ Do đó abab baba Ví dụ 3 : Chứng minh rằng : Nếu ab 7M thì a 5b 7 M ?

Hướng dẫn : Ta có :

18 Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N

= +

(cid:0) M 7 M 7

(

)

ab 10a b + 50a 5b + (cid:0) + a 5b M 7

(cid:0) 49a + a 5b M 7

(Do 49a chia hết cho 7)

+ deg 37 Ví dụ 4: Cho abc M . Chứng minh rằng abc deg 37M

Hướng dẫn:

+ = = + + (abc deg) Ta có: abc deg 100abc deg 99abc

+ M deg 37 Mà 999abc 37M ; abc

+ + M (abc deg) 37 Nên 999abc

Vậy abc deg 37M

Ví dụ 5: Tìm chữ số a biết rằng 20a20a20a 7M

Hướng dẫn: Ta có:

+ 20a

= 20a20a20a 20a20a.1000 + + = (20a.1000 20a

= 20a)1000 + (cid:0) (cid:0) 1001 20a 1000 20a

Theo đề bài 20a20a20a 7M , mà 1001 7M nên 20a 7M

+ + = M [196 (4 a)] 7

+ = Ta có 20a 200 a + M nên (4 a) 7 Vậy a = 3. Qua các ví dụ trên thì con đường để giải một bài toán chia hết đã được hình thành trong tư duy của học sinh. Từ kỹ năng phân tích cấu tạo số, đến kỹ năng thêm bớt, từ đó hình thành phương pháp tổng hợp cho học sinh.

(cid:0) Bài tập tự luyện : Bài 1: Chứng minh rằng : +

(cid:0) M M cd 11 abcd 11

)

+ + (cid:0) M M

( a) ab ( b) a

) + 3b 9c

27d 29 abcd 29

+ (cid:0) M c) ab 13 a

M 4b 13 + (cid:0) M d) cd 17 3c M 2d 17

+ + 3b Bài 2: Chứng minh rằng : Nếu abc 7M thì (2a M . c) 7

- deg) 13 Bài 3: Cho (abc M . Chứng minh rằng abc deg 13M .

19 Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N

+ (cid:0) . Chứng minh rằng: Bài 4: Cho M dcba (a

M 2b) 4 + + (cid:0) M a)M 4 M b)M 8 2b M 4c) 8 (a

(cid:0) Cơ sở :

Dạng 6 : SỬ DỤNG DẤU HIỆU CHIA HẾT CỦA TỔNG

(

+ (cid:0) M M M a m, b m

) a b m ) (

+ (cid:0) M M a m, c m c a M m

Đối với dạng toán này đòi hỏi học sinh phải tư duy sáng tạo hơn. Việc sử dụng dấu hiệu chia hết của tổng theo chiều thuận rất đơn giản, nhưng để sử dụng dấu hiệu chia hết của tổng theo chiều ngược lại là vấn đề rất phức tạp, đòi hỏi học sinh phải có tư duy cao hơn, để đưa biểu thức về một tổng, ở đó tổng và một số hạng đã chia hết. Ví dụ 1 : Tìm điều kiện của x để :

)

+ = + M + A 12 15 21 x 3

+ 12 15 21 3 M , vì vậy để A chia hết cho 3 thì x phải chia hết cho 3

Hướng dẫn : Dễ thấy ( + Ví dụ đầu tiên chỉ để củng cố kiến thức cho học sinh, vấn đề cơ bản, thuần túy chứ không mấy phức tạp. Để phát triển tư duy cho học sinh một cách cao hơn, tôi đưa ra bài toán sau : Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên n để :

)

(

)

3 + 4

) + n 1 ( + M (

( a) n ( b) 4n ( c) 2n

+ M ) 2 ) M 2n ) + n 1 7

Hướng dẫn : a) Ta có :

( ) 3 [ n 1 +

+ = + + + n M 2] n 1

(cid:0)

(

)

} 1; 2

M 2 n 1 + (cid:0) = (cid:0)

{ =

+ n 0

+ = n 1

{

)

} 0; 1

(cid:0) n n 1 U 2 + = (cid:0) ) n 1 1 + = (cid:0) ) n 1 2 ( ) +M + n 3 n 1 Vậy với thì (

b) Ta có :

20 Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N

+ = + - 4n

- 8 6 ) + 4 + M 6 ] 2n 4

2 4n ( = [2 2n + (cid:0) 4

(

)

{

} 1; 2; 3; 6

M 6 2n + (cid:0) = (cid:0) 2n 4 U 6

Vì 2n + 4 là số chẵn lớn hơn 4 nên 2n + 4 = 6 hay n = 1. Vậy với n = 1 thì 4n + 2 chia hết cho 2n + 4. c) Ta có:

(

) 2) 5 [2 n 1

+ + = + + + + = M 5] n 1 2n

7 (2n + (cid:0)

(

)

} 1; 5

M 5 n 1 + (cid:0) = (cid:0)

{ =

+ n 0

+ = n

(

) + n 1

+ (cid:0) 4 ) M 7 2n n n 1 U 5 + = (cid:0) ) n 1 1 + = (cid:0) ) n 1 5 thì ( } { 0; 4 Vậy với

+ + (cid:0) M 9x 5y 17 M và ngược lại ?

Ở đây dấu hiệu chia hết của tổng đã được sử dụng, song yêu cầu tư duy chưa cao. Để kích thích và tạo tính tìm tòi, linh hoạt tôi đưa ra ví dụ sau : Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu 2x 3y 17 Hướng dẫn : Ta có :

)

(

+ (cid:0) M M + 13 2x 3y 17

(

+ = 2x 3y 17 ) 13 2x 3y

(

)

= + 26x 39y )

(

= + + 17x 34y ) + + ( + 9x 5y ) + M 17. x 2y 9x 5y 17

+ (cid:0) M 9x 5y 17

(Do 17(x + 2y) chia hết cho 17)

Ở ví dụ trên, dấu hiệu chia hết đã được biến đổi một cách thông minh, khéo léo qua các bài toán, chắc chắn các em học sinh đã nắm được kỹ năng giải toán chia hết liên quan đến tính chất chia hết của tổng.

Để phục vụ cho việc giải toán tìm nghiệm nguyên sau này, tôi đưa ra thêm

ví dụ sau : Ví dụ 4: Tìm số tự nhiên N để :

+ + - = - A là một số tự nhiên ? - - - 2n 1 3n 17 + n 1 n 1 5 n n 1

Hướng dẫn : Ta có :

21 Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N

(

)

) + + 2n 1

- + 5 n = A - + 3n 17 n 1

= -

= + 4 - + 4n 13 n 1 17 n 1

Do 4 là số tự nhiên nên để A là số tự nhiên thì

(

)

{

} 1; 17

(cid:0) (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) M N 17 n 1 = n 1 U 17 -

= n 2

+ (cid:0) 17 n 1 - = (cid:0) + ) n 1 1 - = ) n 1 17 = n 18

(cid:0) Bài tập tự luyện :

Với n = 2 hoặc n = 18 thì A là số tự nhiên. Qua các ví dụ trên, chắc chắn tư duy của học sinh được phát triển rất cao, các em đã nắm được phương pháp để làm được các bài toán có liên quan đến dấu hiệu chia hết một cách sáng tạo. Ở bài toán trên học sinh có thể làm theo cách khác song tôi muốn giới thiệu cách làm trên để phục vụ cho việc tìm nghiệm nguyên mà các em sẽ học ở các lớp trên.

Bài 1: Tìm điều kiện của x để :

+ = + A 10 15 35 + M x 5

+ + Bài 2: Cho A = 2.5.7.9.13 + 78. Hỏi A có chia hết cho 3, cho 6, cho 9, cho 13 không? Bài 3: Tìm số tự nhiên n để : 2 a)n

- M 6 n M 6

- - 3 c) 3n

+ -

)

- 14a 12b 2a 3 + M thì ( 6 M ? 6

+ b)2n 1 n M 5 n M d)3n 1 11 2n Bài 4: Chứng minh rằng nếu ( Dạng 7 : SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA ƯCLN, BCNN (cid:0) Cơ sở : Nếu ƯCLN(a; b) = n thì a = nk, b = nk

= = 24a '; b 24b ' Ví dụ 1: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 288 và ƯCLN của chúng là 24. Hướng dẫn : Gọi hai số cần tìm là a, b ta có ƯCLN(a; b) = 24 và a + b = 288 Vì ƯCLN(a; b) = 24 nên a ; ƯCLN(a’; b’) = 1

(

)

+ = + = + = = = (cid:0) a b 24a ' 24b' 24 a ' b' 288 + a ' b' 12 Do đó : 288 24

22 Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N

Ta có :

a’ 1 2 3 4 5 6

b’ 11 10 9 8 7 6

Kết luận thỏa mãn loại loại loại thỏa mãn loại

= = = (cid:0) a = 24; b 264

) a ' 1; b' 11 )

( (

) )

(cid:0) Nếu ( (cid:0) Nếu (

= = = = (cid:0) a ' 5; b' 7 a 120; b 168

Vậy có hai cặp số thỏa mãn điều kiện bài toán là 24; 264 và 120; 168. Ví dụ 2: Tìm hai số biết BCNN của chúng bằng 60 và tích của chúng bằng 300 ? Hướng dẫn : Gọi hai số cần tìm là a, b ta có : BCNN(a; b) = 60 và a.b = 300

= = = 5 Ta có : ƯCLN(a; b) a.b BCNN(a; b) 300 60

=> a = 5a’; b = 5b’; ƯCLN(a’; b’) = 1 => a.b = 5a’.5b’ = 25 a’.b’ = 300 => a’.b’ = 12

a’ 1 3 2

b’ 12 4 6

Kết luận thỏa mãn thỏa mãn loại

a 5 15

b 60 20

(cid:0) Do 413 chia cho số đó dư 25 nên 413 – 25 = 390 chia hết cho a (cid:0) Do 298 chia cho số đó dư 28 nên 298 – 28 = 270 chia hết cho a

Vậy có hai cặp số thoả mãn điều kiện bài toán là 5; 60 và 15; 20. Ví dụ 3: Tìm một số biết 413 chia cho số đó dư 25 và 298 chia cho số đó dư 28 ? Hướng dẫn : Gọi số cần tìm là a.

Nên a là ƯC(270; 390) và a > 28. Mà :

{

} 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30

= ƯC(270; 390)

Vậy số cần tìm là 30.

23 Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N

(cid:0) Bài tập tự luyện :

Qua bài tập trên rõ ràng trình độ khái quát hóa của học sinh được nâng lên cao hơn, cách nhìn nhận bài toán chia hết cũng từ đó mà sâu sắc hơn, học sinh có cách làm bài toán chia hết tốt hơn và khoa học hơn.

Bài 1: Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 84 và ƯCLN của chúng bằng 6 Bài 2: Tìm hai số tự nhiên có tích bằng 24300 và ƯCLN của chúng bằng 45. Bài 3: Tìm hai số tự nhiên có tích bằng 4320 và BCNN của chúng bằng 45. Bài 4: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất có 3 chữ số sao cho chia cho 11 thì dư 5, chia cho 13 thì dư 8. Dạng 8: SỬ DỤNG DẦU HIỆU CHIA HẾT ĐỂ GIẢI TOÁN VUI VÀ TRÒ CHƠI Môn toán vốn là môn khoa học rèn kỹ năng, rèn tư duy vì vậy trong quá trình học sẽ rất căng thẳng, làm cho học sinh trở nên mệt mỏi, dẫn đến việc tiếp thu tri thức của học sinh thiếu tích cực. Vì vậy, tôi có ý tưởng phải tạo ra một không khí bớt căng thẳng và sôi nổi hơn, từ đó có thể liên hệ bài học với thực tiễn nên tôi đưa thêm một số ví dụ sau : Ví dụ 1 : Nam đến quầy văn phòng phẩm mua 3 bút bi như nhau, 15 quyển vở như nhau, 6 bút chì như nhau. Nam đưa cho cô bán hàng 100000đ, cô bán hàng trả lại 20000đ. Nam nhận tiền và nói : Cô nhầm rồi. Cô bán hàng tính lại và thấy Nam nói đúng. Hỏi dựa vào đâu mà Nam tính nhanh như vậy ? Hướng dẫn : Ta thấy số tiền mỗi loại như nhau nên :

(cid:0)

(cid:0) = số tiền 1 quyển x 15

(cid:0) Số tiền mua bút bi = số tiền 1 bút x 3 Số tiền mua vở Số tiền mua bút chì = số tiền 1 bút x 6 chia hết cho 3 chia hết cho 3 chia hết cho 3

Vậy tổng số tiền An phải trả sẽ chia hết cho 3, nhưng cô bán hàng trả lại 20000, tức là số tiền An phải trả là 80000 không chia hết cho 3. Vì vậy cô bán hàng đã tính nhầm. Ví dụ 2: Trò chơi “Đua ngựa về đích” Ngựa

1 2 3 4 5 6 7 8 9 Đích 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7

Hai bạn An và Bình đua ngựa về đích, mỗi lần đến lượt phải đi ít nhất một ô và nhiều nhất 3 ô, người nào đưa ngựa về đích trước là người ấy thắng cuộc. Nếu An đi trước, hãy làm “Quân sư” để An thắng cuộc ?

24 Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N

Hướng dẫn :

An muốn thắng cuộc thì trước khi chiếm được đích An phải để lại cho Bình nhiều hơn 3 ô (4 ô; 5 ô; hoặc 6 ô). Nhưng nếu An để lại 5 hoặc 6 ô mà Bình chỉ đi 1 ô An sẽ thua. Vì thế An chỉ để lại 4 ô, như vậy mỗi lần đi An phải để lại số ô là bội của 4, do đó lần đi đầu tiên An phải điều chỉnh sao cho để lại B(4) ô.

Ta thấy có 18 ô mà 18 chia cho 4 dư 2 nên lần đầu An phải đi vào ô số 2.

(cid:0) Nếu Bình đi 1 ô thì An đi 3 ô (cid:0) Nếu Bình đi 2 ô thì An đi 2 ô (cid:0) Nếu Bình đi 3 ô thì An đi 1 ô

Sau đó :

(cid:0) (cid:0)

Do đó: Vòng 1 : An đi 1 ô (để chiếm được ô số 2), sau đó Bình sẽ đi từ 1 đến 3 ô. Vòng 2 : An đi số ô bằng 4 trừ đi số ô mà Bình đi của vòng 1, chiếm được ô số thứ 6. Cứ như vậy, An sẽ chiếm được các ô số 10; 14 và đưa ngựa về đích trước Bình. Ví dụ 3: Hai bạn Minh và Bảo chơi trò chơi lấy bi trong hộp có 100 viên bi. Mỗi người lần lượt phải lấy từ 4 đến 8 viên bi, người lấy được viên bi cuối cùng là người thắng cuộc. Minh được đi trước. Hãy nêu cách chơi để giúp Minh thắng cuộc. Hướng dẫn : Muốn thắng cuộc, Minh phải để lại cho đối phương 12 viên bi, muốn vậy phải để lại 24 viên bi, … tức là số bi để lai phải chia hết cho 12. Số lớn nhất chia hết cho 12 chưa vượt quá 100 là 96. Do đó, để thắng cuộc thì đầu tiên Minh lấy 4 viên bi, để lại 96 viên bi. Khi Bảo lấy k viên bi (4 k 8) thì Minh lấy 12 – k viên bi. Số bi Minh để lại lần lượt là 84; 72;…; 24; 12. Lúc đó Bảo phải lấy số bi từ 4 đến 8 và Minh lấy nốt số còn lại. Vậy Minh là người thắng cuộc. Đến đây chắn chắn môn Toán trở nên lí thú, bổ ích đối với các em, qua các trò chơi, bài toán vui này, kiến thức của các em đã được vận dụng và kiểm nghiệm, học sinh sẽ hào hứng học hơn, chính những bài toán vui này giúp các em có thời gian thư giãn mà không tách rời việc học, theo đúng tinh thần “Học mà chơi, chơi mà học”.

(cid:0) Bài tập tự luyện : Bài 1 : Xướng số

25 Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N

Người A đứng xướng từ 1 đến 10. Người B cộng thêm vào số vừa xướng của người A một số từ 1 đến 10. Cứ như vậy, ai xướng được số để cộng lại được 100 trước thì thắng cuộc. Hỏi người A phải xướng như thế nào để thắng cuộc.

Bài 2 :

Có một hộp đựng 120 hòn bi và 1 hòn bi đỏ ở dưới nhất. Mỗi người được nhặt từ 3 đến 6 hòn bi (lấy từ trên xuống), ai lấy được hòn bi đỏ là thắng cuộc. Lần đầu Hoa lấy 2 hòn bi, hỏi Văn phải lấy như thế nào để chắc chắn thắng cuộc. Bài 3: Có 100 que diêm đặt trên bàn. Lan và Mai cùng chơi, mỗi người được lấy từ 2 đến 4 que diêm, ai nhặt que cuối cùng là người thắng cuộc. Lan nhặt trước, hỏi lần đầu Lan phải nhặt mấy que để chắc chắn thắng cuộc. Trên đây là một số bài tập tôi đã trang bị cho học sinh trong năm học vừa qua, tuy chưa được nhiều nhưng đã củng cố được kiến thức chắc cho các em. Mong được các thầy cô góp ý thêm. C. Kết quả sau thực nghiệm : Qua nghiên cứu, theo dõi và thực hiện sáng kiến kinh nghiệm của bản thân ở lớp 6A sau một năm học thực hiện đề tài trang bị cho các em hệ thống bài tập vận dụng các kiến thức giải các bài toán chia hết trong N tôi đã thấy có kết quả rõ rệt, có sự chuyển biến rõ nét trong nhận thức của các em.

Việc tiếp thu chắc chắn kiến thức ngay từ gốc, biết cách phân tích bài toán, nắm chắc cách trình bày và được mở mang kiến thức qua các bài tập nâng cao học sinh có sự hứng thú học tập một cách thực sự phát huy được tính tích cực của học sinh.

Các em học sinh khá, giỏi có điều kiện để trau rồi kiến thức của mình. Những học sinh trung bình nắm chắc kiến thức cơ bản để vận dụng cho những năm tiếp theo.

Phần lớn các em đã phân biệt được các dạng toán, từ đó đưa ra các bước giải bài toán một cách hợp lý hơn. Học sinh tự tin hơn khi đứng trước các bài toán chia hết, kỹ năng giải bài tập được các em vận dụng thành thạo hơn, từ đó các em yêu thích môn toán hơn.

*Kết quả cụ thể như sau: + Khi chưa áp dụng đề tài:

(cid:0) Lần 1 (15 phút) : Chứng minh rằng

(

)

) + + 2p 1

(cid:0) (cid:0) M a) aabb 11 b) + p 2 M 3 (cid:0) (cid:0)

Kết quả :

0 0.5-2.5 3.0-4.5 5.0-6.5 7.0-8.5

9.0-10

TB (cid:0)

Điểm

26 Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N

Số học sinh: 32 3 10 11 5 3 0 8

100

(cid:0) Lần 2 (20 phút) : Chứng minh rằng

3 4

+ + + + 4 4 ... 4 M 5

Kết quả :

0 0.5-2.5 3.0-4.5 5.0-6.5 7.0-8.5

9.0-10

TB (cid:0)

Điểm

10 2 Số học sinh: 32 9 11 6 4 0

+ Sau khi áp dụng đề tài :

100

Tôi đã kiểm tra khảo sát như sau :

+ + + * Lần 1 (20 phút) : Cho . Chứng minh rằng : = + S 6 6 6 ... 6

M a) S 42 M b) S 37

Kết quả :

0 0.5-2.5 3.0-4.5 5.0-6.5 7.0-8.5

9.0-10

Điểm

TB (cid:0)

)

28 Số học sinh: 32 0 4 10

+ a 3b + 8a 15b 0 7 * Lần 2 (20 phút) : Chứng minh rằng nếu ( 11 M thì ( 9 M ? 9

Kết quả :

0 0.5-2.5

3.0-4.5

5.0-6.5

7.0-8.5

9.0-10

Điểm

TB (cid:0)

31 0 Số học sinh: 32 0 1 7 12 11

- Học sinh có hứng thú hơn trước rất nhiều. - Học sinh định hướng một cách chính xác các dạng bài toán.

- Học sinh có cách trình bày chặt chẽ rõ ràng và đặc biệt thời gian hoàn thành bài toán được rút ngắn khoảng 50% so trước. - Nhiều HS tự tin hơn trong cách giải những bài tập khó.

:

* Ngoài kết quả chung của lớp 6A như trên, lớp 6A còn có: - Học sinh đạt giải nhì cuộc thi giải toán qua internet cấp huyện: 1 em. - Học sinh đạt giải ba cuộc thi giải toán qua internet cấp huyện: 1 em. -Học sinh đạt giải khuyến khích cuộc thi giải toán qua internet cấp huyện: 1 em. PHẦN III KẾT LUẬN- BÀI HỌC KINH NGHIỆM VÀ KIẾN NGHỊ

I.Kết luận Được sự chỉ đạo sâu sát của Phòng GD&ĐT, Ban giám hiệu nhà trường cũng như của Tổ chuyên môn thông qua việc đổi mới phương pháp dạy học, đổi mới sách giáo khoa do Bộ giáo dục đề ra và dựa trên thực tế giảng dạy và qua quá

27 Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N

trình thực hiện đề tài này tôi thấy rằng việc trang bị và rèn luyện cho học sinh lí thuyết và kiến thức cơ bản là rất quan trọng giúp học sinh từ chỗ nắm chắc kiến thức cơ bản dẫn đến hứng thú và say mê học tập. Từ đó nâng cao dần, mở mang thêm cho học sinh thông qua các bài tập nâng cao giúp cho học sinh khá, giỏi phát huy được khả năng của mình tạo nên một không khí học tập sôi nổi trên lớp học sinh tự tin vào bản thân mình. Tôi mong rằng, cùng với việc triển khai các chuyên đề, để phát huy tính tích cực của học sinh trong quá trình học toán, lấy học sinh làm trung tâm và những vấn đề mà tôi trình bày trên đây sẽ góp một phần nhỏ bé vào việc nâng cao hiệu suất lên lớp, nâng dần chất lượng học môn toán. Sau khi áp dụng đề tài này vào trong giảng dạy, tôi đã nhận thấy rằng hiệu quả của đề tài mang lại rất tốt: Tăng khả năng phân tích, khả năng tính toán, khả năng tư duy, khả năng lập luận chính xác và logic, khả năng sáng tạo, hứng thú và say mê học toán của học sinh được nâng lên đáng kể. Đặc biệt chất lượng dạy học được nâng lên một cách rõ rệt thể hiện ở kết quả áp dụng đề tài. Công việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh cần phải làm thường xuyên và làm lâu dài mới tạo thành kĩ năng giải toán cho học sinh.Qua đó cũng góp phần thúc đẩy nâng cao chất lượng giảng dạy cũng như chất lượng giáo dục. Từ đó tìm ra những học sinh năng khiếu trong nhà trường để có điều kiện bồi dưỡng cho các em và giúp các em phát huy hết khả năng giải toán của mình. II. Bài học kinh nghiệm:

Sau khi thực hiện đề tài này tôi thấy việc thực hiện các chuyên đề là rất cần thiết vì từ đó học sinh được nâng cao, mở rộng kiến thức, người thầy cũng được bồi dưỡng thêm về chuyên môn, nghiệp vụ.

Trong quá trình dạy học, giáo viên cần tổ chức cho học sinh tìm tòi cách giải, phát huy tính tích cực, gợi hướng tư duy cho học sinh, không áp đặt đặc biệt không chữa bài tập một cách tràn lan.

Bài tập trong SGK rất hay và cơ bản mà người thầy phải khai thác nó, tạo thành chiều sâu trong kiến thức cho học sinh nhưng để làm được điều này, đòi hỏi người thầy phải đầu tư thời gian, công sức và cả nhiệt huyết sư phạm.

Ngoài ra học sinh còn nắm vững các kiến thức và khắc sâu được kiến thức

đã học, rèn luyện khả năng phân tích và tìm mối các quan hệ giữa các bài toán, định hướng được các dạng bài toán để thực hiện, tăng khả năng sáng tạo và khả năng tự học của các em.

Đề tài mạng lại chất lượng và hiệu quả dạy học rất tốt.

III. Kiến nghị:

28 Hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm cách giải bài toán chia hết trong N

- Do thời gian học chính khoá có hạn mà kiến thức toán rộng lớn, trong đó có nhiều chuyên đề, nhiều dạng toán đòi hỏi người học sinh phải tích luỹ được nhiều kinh nghiệm thì mới có thể giải được những dạng bài đó. Do đó tôi đề nghị nhà trường tạo điều kiện về thời gian và cơ sở vật chất giúp giáo viên và học sinh có thêm những buổi ngoại khoá để cô trò cùng nhau trao đổi, tháo gỡ những thắc mắc, khó khăn trong việc học môn toán nói chung và môn số học nói riêng, giúp học sinh có thêm những kinh nghiệm giải toán và vốn kiến thức vững vàng để các em tiếp thu những kiến thức mới ở các lớp trên một cách tốt hơn. - Đối với ngành tổ chức những chuyên đề để giáo viên có điều kiện học hỏi và nâng cao nghiệp vụ chuyên môn để thúc đẩy được lòng yêu nghề của các thầy cô và thúc đẩy được sự tiến bộ của ngành.

Đề tài của tôi được áp dụng ở lớp 6A tại một trường THCS đã mang lại kết quả đáng mừng và rất rõ nét. Tuy nhiên trong đề tài chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến nhiệt tình của các quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp để đề tài được hoàn chỉnh hơn, và đề tài sẽ được ứng dụng có hiệu quả trong quá trình giảng dạy. Góp phần nâng cao chất lượng giáo dục ở địa phương nói riêng, cũng như toàn ngành giáo dục nói chung.

Qua việc nghiên cứu tôi nhận thấy có rất nhiều các thầy cô giáo tâm huyết với nghề đã nghiên cứu tìm tòi có rất nhiều những sáng kiến, những đề tài hay, những sáng kiến được giải cao nhưng việc triển khai và sử dụng những chất sám đó thì chưa được rộng dãi. Vì vậy qua việc viết đề tài này tôi cũng mong các cấp quản lí quan tâm hơn đến sự nhiệt tình của các thầy cô, mong rằng những ý tưởng hay không bị lãng phí có như vậy thì mới thúc đẩy được lòng say mê nghiên cứu của các thầy cô và nền giáo dục nước nhà ngày một vững mạnh hơn.

Xin chân thành cảm ơn các cấp ban ngành, cảm ơn các thầy cô!

Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm này không sao chép của người khác. Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm với lời cam đoan trên.

Ngày……….tháng ………năm 2016