Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực mô hình hoá toán học cho học sinh thông qua dạy học chủ đề hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:90

Thêm vào BST

Báo xấu

14
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm là vận dụng phương pháp MHH trong việc dạy học hệ BPT bậc nhất hai ẩn góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường THPT, giúp HS rèn luyện năng lực vận dụng kiến thức toán học để giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực mô hình hoá toán học cho học sinh thông qua dạy học chủ đề hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NAM ĐÀN 2 SÁNG KIẾN KINH NGHỆM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN LĨNH VỰC: TOÁN HỌC Nhóm tác giả: PHẠM THỊ THU HÀ SĐT: 0983640595 LÊ THỊ HỒNG SĐT: 0988335629 TỔ: TOÁN - TIN Năm học: 2022 – 2023
MỤC LỤC PHẦN 1. ĐẶT VẤN ĐỀ .......................................................................................... 0 1. Lí do chọn đề tài .................................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................................. 2 3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu ...................................................... 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................................ 2 5. Phương pháp nghiên cứu ....................................................................................... 3 6. Thời gian thực hiện................................................................................................ 3 7. Tính mới của đề tài ................................................................................................ 3 8. Tính khả thi khi thực hiện ..................................................................................... 3 PHẦN 2. NỘI DUNG .............................................................................................. 4 A. CƠ SỞ KHOA HỌC .......................................................................................... 4 1. Cơ sở lý luận .......................................................................................................... 4 1.1. Năng lực toán học ............................................................................................... 4 1.1.1. Năng lực tư duy và lập luận toán học. ............................................................. 4 1.1.2. Năng lực mô hình hoá toán học....................................................................... 5 1.1.3. Năng lực giải quyết vấn đề toán học. .............................................................. 5 1.1.4. Năng lực giao tiếp toán học. ............................................................................ 5 1.1.5. Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán. .......................................... 5 1.2. Mô hình hoá toán học và năng lực mô hình hoá toán học ................................. 5 1.2.1. Mô hình hoá toán học ...................................................................................... 5 1.2.2. Năng lực mô hình hoá toán học....................................................................... 5 1.3. Khung năng lực mô hình hoá toán học của học sinh trung học phổ thông .................. 6 1.4. Quy trình mô hình hoá toán học ......................................................................... 6 1.4.1. Giai đoạn 1: Toán học hóa .............................................................................. 6 1.4.2. Giai đoạn 2: Giải bài toán................................................................................ 7 1.4.3. Giai đoạn 3: Hiểu và thông dịch...................................................................... 7 1.4.4. Giai đoạn 4: Đối chiếu thực tế......................................................................... 7 1.5. Vai trò của hoạt động mô hình hoá toán học trong dạy học toán ...................... 7 1.5.1. Tăng cường mối liên hệ toán học với thực tiễn............................................... 7 1.5.2. Phát triển năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn ............................................... 8 1.5.3. Phát triển các kĩ năng toán học........................................................................ 8 2. Tổng quan kiến thức về bất phương trình; hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn .. 9 2.1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn ....................................................................... 9 2.1.1. Định nghĩa bất phương trình bậc nhất hai ẩn .................................................. 9 2.1.2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ........................ 9 2.2.2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ................... 9 2.2.3. Phương pháp tìm cực trị của biểu thức F ( x; y ) = ax + by trên một miền đa giác........................................................................................................................... 10 3. Cơ sở thực tiễn và thực trạng vấn đề nghiên cứu ................................................ 10
3.1. Về bài toán nội dung mô hình hoá chủ đề hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn 11 3.2. Thực trạng vận dụng mô hình hoá trong dạy học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn........................................................................................................................ 12 B. THIẾT KẾ MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG MÔ HÌNH HOÁ TRONG DẠY HỌC HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ........................................... 16 1. Nguyên tắc thiết kế mô hình hoá toán học .......................................................... 16 1.1. Nguyên tắc 1: Đảm bảo tính khoa học của toán học ........................................ 16 1.2. Nguyên tắc 2: Làm rõ tính ứng dụng của toán học trong thực tiễn ................. 16 1.3. Nguyên tắc 3: Chú trọng rèn luyện kĩ năng giải quyết vấn đề ......................... 17 1.4. Nguyên tắc 4: Đảm bảo tính khả thi và tính vừa sức ....................................... 17 2. Thiết kế hoạt động mô hình hoá toán học trong dạy học chủ đề “hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn”............................................................................................... 18 3. Xây dựng hệ thống bài tập mô hình hoá trong dạy học chủ đề “hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn”............................................................................................... 34 3.1. Bài toán lập phương án sản xuất để có doanh thu (hay lãi) cao nhất. .............. 35 3.2. Bài toán lập phương án sản xuất, tiêu dùng để có chi phí thấp nhất. ............... 41 3.3. Bài toán khẩu phần thức ăn .............................................................................. 45 3.4. Bài toán thực tiễn khác ..................................................................................... 50 C. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .......................................................................... 56 1. Mục đích thực nghiệm ......................................................................................... 56 2. Nội dung thực nghiệm ......................................................................................... 56 3. Phương pháp thực nghiệm................................................................................... 56 4. Kết quả và xử lí kết quả thực nghiệm ................................................................. 57 D. KHẢO SÁT SỰ CẤP THIẾT VÀ TÍNH KHẢ THI CỦA CÁC GIẢI PHÁP ĐỀ XUẤT ............................................................................................................... 60 1. Mục đích khảo sát ................................................................................................ 60 2. Nội dung và phương pháp khảo sát ..................................................................... 60 2.1. Nội dung khảo sát ............................................................................................. 60 2.2. Phương pháp khảo sát và thang đánh giá ......................................................... 61 3. Đối tượng khảo sát .............................................................................................. 61 4. Kết quả khảo sát về sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đã đề xuất.... 61 4.1. Sự cấp thiết của các giải pháp đã đề xuất ......................................................... 62 4.2. Tính khả thi của các giải pháp đề xuất ............................................................. 63 PHẦN 3. KẾT LUẬN ........................................................................................... 65 1. Kết luận................................................................................................................ 65 2. Kiến nghị ............................................................................................................. 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................... 65 PHỤ LỤC
DANH MỤC VIẾT TẮT MHH: Mô hình hoá GV: Giáo viên HS: Học sinh SGK: Sách giáo khoa THPT: Trung học phổ thông BPT: Bất phương trình
PHẦN 1. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lí do chọn đề tài Nghị quyết số 29 – NQ/TW ngày 04/11/2013 của Hội nghị Ban chấp hành Trung ương khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đã xác định: “ Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học. Học đi đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”. Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể 2018, trong dạy Toán đã đề ra một trong những mục tiêu chung là hình thành và phát triển các năng lực toán học cho HS, bao gồm: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng học lực MHH toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán, …. Như vậy, năng lực MHH toán học hay giải quyết vấn đề toán học gắn với thực tiễn được chú trọng và đề cao trong tất cả các năng lực toán học cần có ở HS, tạo cơ hội để HS được trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn. Toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất và đời sống. Với vai trò đặc biệt, Toán học trở nên thiết yếu đối với mọi ngành khoa học, góp phần làm cho đời sống xã hội ngày càng hiện đại và văn minh hơn. Để theo kịp sự phát triển mạnh mẽ của khoa học và công nghệ, chúng ta cần phải đào tạo những con người lao động có hiểu biết, có kĩ năng và ý thức vận dụng những thành tựu của Toán học trong điều kiện cụ thể nhằm mang lại những kết quả thiết thực. Mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn đóng vai trò quan trọng trong quá trình tạo động cơ và hình thành tri thức toán học cho HS; liên hệ thực tiễn giúp HS học tập toán một cách tích cực, chủ động và có ý nghĩa hơn. Để làm sáng tỏ mối liên hệ này, người GV dạy toán cần có năng lực vận dụng những khái niệm toán học ở trường phổ thông để thiết kế và mô tả các mô hình toán học trong cuộc sống; HS cần hiểu và vận dụng những kiến thức toán học đã học để giải thích, dự đoán, kiểm chứng và MHH các vấn đề trong cuộc sống. Trong dạy học toán ở trường phổ thông, mô hình được sử dụng có thể là hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hoặc mô hình ảo trên máy tính điện tử. MHH trong dạy học toán là quá trình giúp HS tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin, của các phần mềm dạy học. Vận dụng MHH toán học trong giảng dạy sẽ giúp GV phát huy được tính tích cực học tập của HS, giúp HS có thể tự trả lời câu hỏi “môn Toán có ứng dụng gì trong thực tiễn và có vai trò quan trọng gì trong việc giải thích các hiện tượng thực tiễn”, điều này có ý nghĩa rất lớn trong việc gợi động cơ học tập ngay từ đầu cho HS. 1
Quá trình MHH các tình huống thực tiễn cho thấy mối quan hệ giữa thực tiễn với các vấn đề trong SGK dưới góc nhìn của toán học. Do vậy, nó đòi hỏi HS cần vận dụng thành thạo các thao tác tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa. Ở trường phổ thông, những ứng dụng của toán học vào thực tiễn trong chương trình và SGK, cũng như trong thực tế dạy học Toán chưa được quan tâm một cách đúng mức và thường xuyên. Trong SGK môn Toán và các tài liệu tham khảo về Toán thường chỉ tập trung rèn luyện cho HS vận dụng kiến thức toán học ở trong nội bộ môn Toán là chủ yếu, số lượng ví dụ, bài tập Toán có nội dung thực tế trong các SGK Đại số THPT để HS học và rèn luyện còn rất ít. Một vấn đề quan trọng nữa là trong thực tế dạy học Toán ở trường phổ thông, GV không thường xuyên rèn luyện cho HS thực hiện những ứng dụng của toán học vào thực tiễn và HS rất hay gặp khó khăn và dễ nản chí khi gặp những bài toán có lời văn. Trong chương trình môn toán ở lớp 10, chủ đề “ hệ BPT bậc nhất hai ẩn” có mối liên hệ chặt chẽ với thực tiễn và có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học, đặc biệt trong các bài toán kinh tế: bài toán sản xuất, bài toán phân phối hàng hóa, bài toán khẩu phần thức ăn…. Từ những lý do trên, chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu cho sáng kiến kinh nghiệm là: “Phát triển năng lực mô hình hoá toán học cho học sinh thông qua dạy học chủ đề hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn” 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm là vận dụng phương pháp MHH trong việc dạy học hệ BPT bậc nhất hai ẩn góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường THPT, giúp HS rèn luyện năng lực vận dụng kiến thức toán học để giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn. 3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu 3.1. Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp MHH trong dạy học hệ BPT bậc nhất hai ẩn, quy trình MHH, hệ thống bài tập MHH. 3.2. Phạm vi nghiên cứu: Lớp 10 ở trường THPT. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu đặc điểm của phương pháp MHH vận dụng trong các tình huống dạy học điển hình trong chương trình toán THPT. - Nghiên cứu đặc điểm của chương trình SGK Đại số lớp 10 theo định hướng phát triển năng lực cho HS. - Xây dựng được một hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn vận dụng phương pháp MHH toán học trong dạy học về hệ BPT bậc nhất hai ẩn. 2
- Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng giả thuyết khoa học và đánh giá tính khả thi, hiệu quả của việc vận dụng phương pháp MHH trong dạy học môn Toán ở trường THPT. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận, điều tra, khảo sát, phân tích tổng hợp, thực nghiệm sư phạm. 6. Thời gian thực hiện - Từ tháng 8 đến tháng 10/2022 nghiên cứu cơ sở lý luận, các kiến thức liên quan đến BPT bậc nhất hai ẩn; hệ BPT bậc nhất hai ẩn. - Từ tháng 11 đến tháng 12/2022: Viết đề cương sáng kiến kinh nghiệm. - Từ tháng 12/2022 tháng 04/2023: Triển khai viết sáng kiến, thực nghiệm, đánh giá kết quả, rút kinh nghiệm và hoàn thiện sáng kiến kinh nghiệm. 7. Tính mới của đề tài - Góp phần làm rõ thêm vai trò quan trọng của việc vận dụng phương pháp MHH để giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn. - Đề xuất được những quan điểm cơ bản đối với việc thiết kế một số tình huống MHH trong dạy học Toán chủ đề hệ BPT bậc nhất hai ẩn; xây dựng hệ thống bài toán có nội dung thực tiễn và đưa ra được những gợi ý, những chỉ dẫn về vận dụng phương pháp MHH để giải quyết hệ thống bài tập đó. - Nâng cao hiệu quả dạy và học nội dung hệ BPT bậc nhất hai ẩn nói riêng và Đại số lớp 10 ở trường THPT nói chung, tăng cường tính ứng dụng thực tiễn của toán học trong chương trình môn Toán ở trường THPT. 8. Tính khả thi khi thực hiện Đề tài này đã được áp dụng cho các em HS lớp 10 trường THPT Nam Đàn 2 trong năm học 2021 - 2022 và đặc biệt là trong học kì 1 năm học 2022 - 2023. 3
PHẦN 2. NỘI DUNG A. CƠ SỞ KHOA HỌC 1. Cơ sở lý luận 1.1. Năng lực toán học Năng lực toán học là khả năng của cá nhân biết lập công thức, vận dụng và giải thích toán học trong nhiều ngữ cảnh. Năng lực toán học phổ thông là khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trò của kiến thức toán học trong cuộc sống; vận dụng và phát triển tư duy toán học để giải quyết các vấn đề của thực tiễn, đáp ứng nhu cầu đời sống hiện tại và tương lai một cách linh hoạt; là khả năng phân tích, suy luận, lập luận, khái quát hóa, trao đổi thông tin hiệu quả thông qua việc đặt ra, hình thành và giải quyết vấn đề toán học trong các tình huống, hoàn cảnh khác nhau, trong đó chú trọng quy trình, kiến thức và hoạt động. Năng lực toán học phổ thông không đồng nhất với khả năng tiếp nhận nội dung của chương trình toán trong nhà trường phổ thông truyền thống, mà điều cần nhấn mạnh đó là kiến thức toán học được học, vận dụng và phát triển như thế nào để tăng cường khả năng phân tích, suy luận, lập luận, khái quát hóa và phát hiện được tri thức toán học ẩn dấu bên trong các tình huống, các sự kiện. 1.1.1. Năng lực tư duy và lập luận toán học. Năng lực tư duy là tổng hợp những khả năng cá nhân về ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải quyết vấn đề, xử lý và linh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng vào thực tiễn. Năng lực lập luận toán học là khả năng của mỗi cá nhân dựa vào những tiền đề cho trước, sử dụng ngôn ngữ toán học, bằng phương pháp luận để đưa ra kết luận đúng. 4
1.1.2. Năng lực mô hình hoá toán học. Năng lực MHH toán học là khả năng cá nhân về phiên dịch các vấn đề thực tiễn thông qua phương tiện ngôn ngữ viết sang ngôn ngữ biểu tượng, kí hiệu, bảng biểu, đồ thị… 1.1.3. Năng lực giải quyết vấn đề toán học. Năng lực giải quyết vấn đề là khả năng cá nhân sử dụng hiệu quả các quá trình nhận thức, hành động và thái độ, động cơ, xúc cảm để giải quyết các tình huống mà ở đó không có sẵn quy trình, thủ tục, giải pháp thông thường. 1.1.4. Năng lực giao tiếp toán học. Năng lực giao tiếp toán học là khả năng cá nhân sử dụng ngôn ngữ toán học để tiếp nhận, chuyển tải các ý tưởng, kiến thức, đưa ra lập luận, chứng minh, phản ánh, thảo luận trong quá trình giao tiếp để đạt được mục tiêu dạy học. 1.1.5. Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán. Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện dạy học toán là khả năng của cá nhân hiểu, biết sử dụng, bảo quản các công cụ, phương tiện khoa học để đạt được mục tiêu dạy học. 1.2. Mô hình hoá toán học và năng lực mô hình hoá toán học 1.2.1. Mô hình hoá toán học MHH toán học là quá trình chuyển đổi từ vấn đề thực tế sang vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học. Cụ thể, MHH toán học là toàn bộ quá trình chuyển đổi từ vấn đề thực tiễn sang vấn đề toán học và ngược lại, cùng với các yếu tố liên quan đến quá trình đó như: xây dựng lại tình huống thực tiễn, lựa chọn mô hình toán học phù hợp, làm việc trong một môi trường toán học, giải thích, đánh giá kết quả liên quan đến tình huống thực tiễn và điều chỉnh mô hình cho đến khi có được kết quả hợp lí. 1.2.2. Năng lực mô hình hoá toán học Theo chương trình giáo dục phổ thông môn toán năm 2018, năng lực MHH toán học đối với HS cấp THPT thể hiện qua việc: - Thiết lập được mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, sơ đồ, hình vẽ, bảng biểu, đồ thị,...) để mô tả tình huống đặt ra trong một số bài toán thực tiễn. - Giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập. - Lí giải được tính đúng đắn của lời giải (những kết luận thu được từ các tính toán là có ý nghĩa, phù hợp với thực tiễn hay không). Đặc biệt, nhận biết được cách đơn giản hoá, cách điều chỉnh những yêu cầu thực tiễn (xấp xỉ, bổ sung thêm giả thiết, tổng quát hoá,...) để đưa đến những bài toán giải được. 5
Như vậy, có thể thấy thông qua hoạt động MHH sẽ phát triển hứng thú học tập, kích thích sự tìm tòi, sáng tạo trong quá trình khám phá, lĩnh hội kiến thức mới; giúp các em thông hiểu các khái niệm và quá trình toán học, hệ thống hóa khái niệm, ý tưởng toán học và nắm được cách xây dựng mối liên hệ giữa các ý tưởng đó. 1.3. Khung năng lực mô hình hoá toán học của học sinh THPT Căn cứ vào nội dung Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể môn Toán (11/2018), căn cứ các năng lực cốt lõi của GV bộ môn Toán, căn cứ kết quả về thực trạng năng lực MHH toán học của HS, theo nhóm tác giả, khung năng lực MHH toán học của HS THPT có một số thành tố năng lực cơ bản sau: - Năng lực nhận diện tình huống mô hình toán học từ bối cảnh thực tiễn: Quan sát nhận diện tình huống là một công cụ cực kì giá trị của quá trình học tập. Điểm tạo nên một năng lực MHH toán học tốt chính là khả năng quan sát, nhận biết những chi tiết bản chất của tình huống. - Năng lực sử dụng ngôn ngữ trong quá trình MHH toán học: Khi hoạt động ngôn ngữ toán học diễn ra trong giao lưu, nó thể hiện dưới bình diện giao tiếp toán học. Khi đó, ngôn ngữ toán học là phương tiện chủ yếu để HS giao tiếp, tiếp nhận hay chuyển tải các kiến thức, kĩ năng toán học với thầy, với bạn (hoạt động giao tiếp toán học). - Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán: Những tiến bộ trong công nghệ có ảnh hưởng đến cách mọi người tạo ra, chia sẻ, sử dụng và phát triển thông tin trong xã hội, và những người trẻ cần phải có kĩ năng cao trong việc sử dụng công cụ, phương tiện thông tin và truyền thông. - Năng lực xây dựng mô hình toán học: Xây dựng mô hình toán học, là quá trình chúng ta di chuyển giữa thực tế và toán học để tạo nên mô hình toán học, giúp HS sử dụng công cụ toán học cho giải quyết nhiệm vụ trên mô hình toán học. - Năng lực làm việc với mô hình toán học: HS làm việc với mô hình toán học là quá trình cần thiết trong giải quyết nhiệm vụ toán học, nhờ đó giải quyết được vấn đề thực tiễn có mô hình toán học này. - Năng lực đánh giá, điều chỉnh mô hình: HS biết đánh giá năng lực MHH toán học của bản thân và thành viên tham gia, việc xây dựng mô hình ban đầu thường chưa phải là cuối cùng, nó cần được điểu chỉnh và sửa chữa cho phù hợp hơn trong quá trình thực hiện giải quyết nhiệm vụ toán học, cũng như nhiệm vụ thực tiễn. 1.4. Quy trình mô hình hoá toán học 1.4.1. Giai đoạn 1: Toán học hóa Toán học đã xâm nhập vào cuộc sống đời thường, trong lao động sản xuất và trong nghiên cứu của mọi ngành khoa học, đó là quá trình toán học hóa các vấn đề 6
thực tiễn. Theo chúng tôi cho rằng: “Khả năng xây dựng mô hình toán học của một tình huống thực tế, được coi là cơ sở của việc toán học hóa các tình huống thực tế”. Từ đó có thể hiểu quá trình toán học hóa vấn đề thực tế là quá trình đưa vấn đề đó về dạng toán học. Đối với HS THPT, hoạt động toán học hóa các vấn đề thực tế diễn ra khi HS đối mặt với các tình huống thực tiễn có ảnh hưởng trực tiếp đến cuộc sống cá nhân. Các em HS phải nỗ lực chuyển những tình huống này về dạng toán học phổ thông để giải quyết, phục vụ cho hoạt động thực tiễn của bản thân mình. Cụ thể là trước tình huống đối mặt trong cuộc sống, các em phải liên tưởng tới những tri thức toán học phù hợp để từ đó đặt ra được bài toán và tìm cách giải quyết nhằm thỏa mãn nhu cầu của mình. 1.4.2. Giai đoạn 2: Giải bài toán Sử dụng các công cụ và phương pháp toán học thích hợp để giải bài toán, bao gồm cả sự hỗ trợ của công nghệ thông tin. Yêu cầu HS lựa chọn, sử dụng các phương pháp và công cụ toán học thích hợp để thành lập và giải quyết vấn đề sử dụng ngôn ngữ toán học. Ở giai đoạn này công nghệ thông tin sẽ hỗ trợ HS phân tích dữ liệu, thực hiện tính toán phức tạp và đưa ra đáp số của bài toán. 1.4.3. Giai đoạn 3: Hiểu và thông dịch Hiểu lời giải của bài toán đối với tình huống trong thực tiễn (bài toán ban đầu). Hiểu được ý nghĩa lời giải của bài toán trong thực tiễn, trong đó cần nhận ra những hạn chế và khó khăn có thể có khi áp dụng kết quả này vào các tình huống thực tiễn. 1.4.4. Giai đoạn 4: Đối chiếu thực tế Xem xét lại các giả thuyết, tìm hiểu các hạn chế của mô hình toán học cũng như lời giải của bài toán, xem lại các công cụ và phương pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu thực tiễn để cải tiến mô hình đã xây dựng. Đây là giai đoạn đòi hỏi HS có hiểu biết rõ về các công cụ toán học cũng như việc sử dụng nó để giải quyết các vấn đề nảy sinh trong cuộc sống. Từ đó, xem lại các phương pháp và công cụ toán học đã sử dụng; xem lại các giả thuyết, hạn chế của mô hình và tiến tới cải tiến mô hình cũng như lời giải của bài toán. 1.5. Vai trò của hoạt động mô hình hoá toán học trong dạy học toán 1.5.1. Tăng cường mối liên hệ toán học với thực tiễn MHH là phương pháp xây dựng và cải tiến một mô hình toán học nhằm diễn đạt và mô tả các bài toán thực tiễn. Qua các nghiên cứu thực nghiệm, các nhà giáo dục toán học đã nhận ra được tầm quan trọng của phương pháp MHH trong quá trình dạy học toán ở trường phổ thông. Phương pháp này giúp HS làm quen với việc sử dụng các loại biểu diễn dữ liệu khác nhau; giải quyết các bài toán thực tiễn bằng cách lựa chọn và sử dụng các công cụ, phương pháp toán học phù hợp. Qua đó, giúp HS hiểu sâu và nắm chắc các kiến thức toán học. Quá trình MHH giúp 7
HS hệ thống hóa các khái niệm, ý tưởng toán học; nắm được cách thức xây dựng mối quan hệ giữa các ý tưởng đó. Hoạt động MHH toán học là một cách tiếp cận giúp HS vận dụng tri thức linh hoạt, tạo cơ hội cho các em học tập thông qua các vấn đề, tình huống gần gũi thực tiễn. Trong quá trình tìm hiểu và giải quyết các vẫn đề thực tiễn, MHH toán học cho phép HS phát hiện bản chất của vấn đề và giải quyết những vấn đề đó; tạo môi trường học tập đa dạng, mà trong đó HS được sử dụng các phương tiện toán học để giải quyết tình huống nảy sinh ở các lĩnh vực khác nhau. 1.5.2. Phát triển năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn Trong quá trình MHH toán học, HS được áp dụng các khái niệm đã học vào thực tiễn, sử dụng MHH toán học để thể hiện vấn đề, giải quyết vấn đề, rút ra kết luận và đưa ra dự đoán. Quá trình MHH toán học các tình huống thực tiễn cho thấy mối liên hệ giữa thực tiễn với các kiến thức toán học trong nhà trường. Trong quá trình này, HS được phân tích, thử nghiệm, sữa chữa, bổ sung cho mô hình phù hợp hơn. Như vậy, có thể nói, MHH toán học là một quá trình toán học có liên quan đến năng lực quan sát, suy luận, phân tích, diễn giải, tạo cơ hội cho HS phát triển năng lực giải quyết các vấn đề thực tiễn; MHH toán học cho phép HS nhận thấy lợi ích của toán học, gắn toán học với các môn học khác, phát triển khả năng giải quyết vẫn đề thực tiễn. 1.5.3. Phát triển các kĩ năng toán học Sử dụng công nghệ thông tin để hỗ trợ HS thực hiện các hoạt động MHH trong học tập toán ở trường phổ thông giúp các em rèn luyện các kĩ năng toán học cần thiết và thấy được ứng dụng trực tiếp của các kiến thức toán học trong thực tiễn. Từ đó, tăng hứng thú và niềm say mê học tập môn Toán, giúp các em học toán một cách có ý nghĩa hơn. Ngoài ra, các hoạt động MHH còn hỗ trợ rất hiệu quả cho phương pháp dạy học giải quyết vấn đề, nó giúp tạo các tình huống gợi vấn đề và tham gia trực tiếp vào quá trình giải bài toán. Hơn thế, với sự phát triển của công nghệ thông tin, các hoạt động MHH sẽ dễ dàng tiếp cận hơn ở nhà trường phổ thông, giúp HS có cơ hội học toán gắn với các tình huống thực tế, rèn luyện và phát triển năng lực toán học cần thiết cho cuộc sống. Sử dụng phương pháp MHH trong dạy học giúp HS phát triển các kĩ năng toán học, đồng thời nó còn hỗ trợ GV tổ chức dạy học theo phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề có hiệu quả hơn. Phương pháp MHH hỗ trợ GV tổ chức dạy học theo phương pháp giải quyết vấn đề có hiệu quả hơn và khuyến khích HS học tập, hiểu sâu kiến thức, rèn luyện các kĩ năng giải quyết vấn đề. GV nên sử dụng các dạng bài tập MHH theo nhóm nhỏ nhằm đạt được các mục đích sau đây: Rèn luyện cho HS năng lực phân tích và giải quyết các vấn đề thực tế. Trong suốt quá trình MHH, HS cần phải phân tích và tổng hợp, trừu tượng hóa và tổng quát hóa, so sánh và tương tự, hệ thống hóa và đặc biệt hóa, suy diễn và quy nạp,... 8
Quá đó đồng thời rèn luyện cho các em năng lực tư duy lôgíc và tư duy trừu tượng. Rèn luyện khả năng sáng tạo, đó là việc tiếp cận kho tàng tri thức mới, sử dụng những phương pháp và kỹ thuật mới trong phân tích và giải quyết vấn đề. 2. Tổng quan kiến thức về bất phương trình; hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn 2.1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn 2.1.1. Định nghĩa bất phương trình bậc nhất hai ẩn - BPT bậc nhất hai ẩn x, y là BPT có một trong các dạng ax + by  c; ax + by  c; ax + by  c; ax + by  c . Trong đó a, b, c là những số cho trước với a, b không đồng thời bằng 0 ; x và y là các ẩn. - Cho BPT bậc nhất hai ẩn ax + by  c (*). Mỗi cặp số ( x0 ; y 0 ) sao cho ax0 + by0  c được gọi là một nghiệm của BPT (*). - Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của BPT (*) được gọi là miền nghiệm của BPT đó. - Nghiệm và miền nghiệm của các BPT ax + by  c , ax + by  c và ax + by  c được định nghĩa tương tự. 2.1.2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn Các bước biểu diễn miền nghiệm của BPT ax + by  c trong mặt phẳng tọa độ O xy . Bước 1. Vẽ đường thẳng d :ax + by = c. Đường thẳng d chia mặt phẳng O xy thành hai nửa mặt phẳng. Bước 2. Lấy một điểm M ( x0 ; y0 ) không nằm trên d (ta thường lấy gốc tọa độ O nếu c  0 ). Tính ax0 + by0 và so sánh với c . Bước 3. Kết luận  Nếu ax0 + by0  c thì nửa mặt phẳng (không kể d ) chứa điểm M là miền nghiệm của BPT ax + by  c  Nếu ax0 + by0  c thì nửa mặt phẳng (không kể d ) không chứa điểm M là miền nghiệm của BPT ax + by  c . 2.2.2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn - Miền nghiệm của hệ BPT là giao các miền nghiệm của các BPT trong hệ. - Để biểu diễn miền nghiệm của hệ BPT bậc nhất hai ẩn, ta làm như sau: + Trong cùng mặt phẳng toạ độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi BPT trong hệ bằng cách gạch bỏ phần không thuộc miền nghiệm của nó. + Phần không bị gạch là miền nghiệm cần tìm. 9
2.2.3. Phương pháp tìm cực trị của biểu thức F ( x; y ) = ax + by trên một miền đa giác Bổ đề: Cho biểu thức F ( x; y ) = ax + by ( a, b là hai số đã cho không đồng thời bằng 0), trong đó ( x; y) là toạ độ của các điểm thuộc miền đa giác A1 A2 ...An thì giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của F ( x; y ) = ax + by (xét trên miền đa giác đã cho) đạt được tại một trong các đỉnh của miền đa giác trên. Chứng minh Trước hết chứng minh bổ đề trong trường hợp n = 5 và b  0 (các trường hợp còn lại xét tương tự). Giả sử M ( x0 ; y0 ) là một điểm đã cho thuộc miền đa giác. Qua điểm M và mỗi đỉnh của đa giác, kẻ các đường thẳng song song với đường thẳng ax + by = 0 . Trong các đường thẳng song song với đường thẳng ax + by = 0 , đường thẳng  qua M có phương trình a( x − x0 ) + b( y − y0 ) = 0  ax + by − ax0 − by0 = 0 . ax0 + by0 Đường thẳng  cắt trục tung tại điểm N (0; ). b ax0 + by0 Vì b  0 nên ax0 + by0 lớn nhất (nhỏ nhất) khi lớn nhất (nhỏ nhất). b Quan sát hình vẽ bên ta thấy F ( x; y ) = ax + by lớn nhất khi ( x; y) là toạ độ của điểm A1 và bé nhất khi ( x; y) là toạ độ của điểm A4 . Từ đó ta có bài toán sau: Bài toán. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = ax + by ( a, b là hai số đã cho không đồng thời bằng 0) với x, y thỏa mã hệ BPT bậc nhất hai ẩn (có miền nghiệm là miền đa giác A1 A2 ... Ai Ai +1... An ). Phương pháp Bước 1. Tìm miền đa giác A1 A2 ... Ai Ai +1... An là miền nghiệm của hệ BPT. Bước 2. Tìm tọa độ các đỉnh A1 , A2 ,..., An . Bước 3. Tính F ( xi ; yi ) trong đó Ai ( xi ; yi ) với i = 1, 2 ,..., n Bước 4. Kết luận Giá trị lớn nhất M = max F ( xi ; yi ), i = 1,2,...., n Giá trị nhỏ nhất m = min F ( xi ; yi ), i = 1,2,...., n . 3. Cơ sở thực tiễn và thực trạng vấn đề nghiên cứu 10
3.1. Về bài toán nội dung mô hình hoá chủ đề hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Như đã trình bày ở trên, Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn, phản ánh thực tiễn và có ứng dụng to lớn vào thực tiễn. Từ đó, ta có thể thấy mối quan hệ mật thiết giữa Toán học và thực tiễn. Việc liên hệ Toán học với thực tiễn trong chương trình và SGK trước đây cũng như sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000 chưa được quan tâm một cách đúng mức và thường xuyên và đến SGK theo chương trình giáo dục 2018 mới bắt đầu chú trọng và đưa vào một số bài toán áp dụng vào thực tiễn.Trong các SGK môn Toán và các tài liệu tham khảo về Toán thường chỉ chú ý tập trung làm rõ những vấn đề, những bài toán trong nội bộ Toán học nhưng cũng chưa đáp ứng được so với yêu cầu; số lượng các vấn đề lí thuyết, các ví dụ, bài tập Toán có nội dung liên môn và thực tế trong các SGK Đại số và Giải tích ở bậc THPT để HS học và rèn luyện còn rất ít. Cụ thể về chủ đề hệ BPT bậc nhất hai ẩn: 1) Đối với SGK chỉnh lí hợp nhất năm 2000, rất ít thấy các bài tập và các vấn đề toán học gắn liền với thực tiễn. Chẳng hạn, trong cuốn Đại số và Giải tích 11 (1999) chỉ tìm thấy: bài tập 8, 9, 10 (tr.10-11); ví dụ (tr.95); bài tập 7 (tr.96) và ví dụ 4 (tr.99). 2) Đối với SGK theo chương trình giáo dục 2018, đã có nhiều bài toán ứng dụng thực tế trong đời sống hàng ngày. - Bộ sách “ Cánh Diều” của nhà xuất bản Đại học Sư phạm Mở đầu bài học là một lời dẫn liên quan đến bài toán thực tế (quảng cáo sản phẩm trên truyền hình là một hoạt động quan trọng trong kinh doanh của các doanh nghiệp) trang 25. Ở mục III (áp dụng vào bài toán thực tiễn) SGK đưa ra hai bài toán, một bài tìm giá trị lớn nhất (số lần xuất hiện quảng cáo của công ty là nhiều nhất) và một bài tìm giá trị nhỏ nhất (chỉ phí mua nguyên liệu là ít nhất) trang 28, 29. Phần bài tập SGK cũng đưa ra một bài toán về tiền lãi cao nhất (trang 31). - Bộ sách “ Kết nối tri thức với cuộc sống” của nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam. Mở đầu là một bài toán thực tế tìm giá trị lớn nhất (Nếu là chủ cửa hàng thì em cần đầu tư kinh doanh mỗi loại bao nhiêu máy để lợi nhuận thu về được là lớn nhất- trang 26). Bài toán vận dụng là một bài toán thực tế về giá trị lớn nhất - trang 30. Phần bài tập có bài 2.6 tìm giá trị nhỏ nhất (chi phí ít nhất – trang 30). - Bộ sách “ Chân trời sáng tạo” của nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam. Mục tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = ax + by trên một miền đa giác đưa ra hai ví dụ về tìm giá trị lớn nhất: ví dụ 4 (Bác Năm cần trồng bao nhiêu hecta cho mỗi loại cây để thu được nhiều tiền nhất), ví dụ 5 (Hãy lập phương án sản xuất hai loại sản phẩm trên sao cho có lãi cao nhất). Sau hai ví dụ là một bài tập vận dụng về tìm giá trị lớn nhất (Người đó nên pha chế bao nhiêu lít nước cam mỗi loại để có doanh thu cao nhất). Phần bài tập có 5 bài thì 4 bài (bài 2, 3, 4, 5) đều là bài toán thực tế (trang 38). 11
3.2. Thực trạng vận dụng mô hình hoá trong dạy học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Thông qua phiếu điều tra dành cho HS (phụ lục 1), chúng tôi đã tiến hành điều tra 127 HS ở các lớp 10C1, 10C2, 10C5 trường THPT Nam Đàn 2 năm học 2021 – 2022 và 126 HS ở các lớp 10C1, 10C2, 10C10 trường THPT Nam Đàn 2 năm học 2022 – 2023. Đối với mỗi câu hỏi trong phiếu HS sẽ trả lời bằng cách cho điểm tùy theo mức độ đồng ý của bản thân. Sau khi thu lại các phiếu chúng tôi sẽ tính điểm trung bình cho mỗi câu hỏi và kết quả thu được như sau: (1) Thống kê về mong muốn của HS được biết thêm những ứng dụng thực tiễn của những kiến thức Toán học. Biểu đồ 1.1. Mong muốn biết thêm ứng dụng thực tiễn của những kiến thức toán học Mức độ Số HS 7.91%1.97% Rất muốn 168 23.72% Muốn 60 66.40% Bình thường 20 Không muốn 5 Rất muốn Muốn Bình thường Không muốn Tổng số 253 (2) Thống kê của HS về mức độ thường xuyên tự tìm hiểu những ứng dụng trong thực tiễn của toán học. Biểu đồ 1.2. Mức độ thường xuyên tự tìm hiểu những ứng dụng trong thực tiễn của toán học Mức độ Số HS 7.91% Rất thường xuyên 20 18.97% Thường xuyên 48 53.36% Thỉnh thoảng 90 19.76% Không bao giờ 95 Rất thường xuyên Thường xuyên Tổng số 253 Thỉnh thoảng Không bao giờ Dựa vào các thống kê trên chúng tôi thấy đại đa số HS đều muốn được biết những ứng dụng của toán học vào thực tiễn, nhưng ngược lại hầu hết các em đều không thường xuyên tự mình tìm hiểu những ứng dụng trong thực tiễn của toán học. 12
Biểu đồ 1.3. Đánh giá của HS về mức độ thường xuyên giảng giải mối liên hệ toán học với thực tiễn của GV 0% 11.86% Mức độ Số HS 13.83% Rất thường xuyên 30 Thường xuyên 35 74.31% Thỉnh thoảng 188 Không bao giờ 0 Rất thường xuyên Thường xuyên Thỉnh thoảng Không bao giờ Tổng số 253 Dựa vào thống kê trên chúng tôi thấy GV đã có những sự quan tâm nhất định đến việc giảng dạy về mối liên hệ giữa toán học với thực tiễn, nhưng sự quan tâm này còn dừng lại ở mức độ thấp, mức độ chưa thường xuyên. (4) Thống kê ý kiến của HS về mối liên hệ giữa chủ đề hệ BPT bậc nhất hai ẩn với thực tiễn. Biểu đồ 1.4. Mối liên hệ giữa chủ đề hệ BPT bậc nhất hai ẩn với thực tiễn 0% Mức độ Số HS 20.94% Có nhiều 140 Có vừa 60 53.34% 23.72% Có ít 53 Không có 0 Có nhiều Có vừa Có ít Không có Tổng số 253 (5) Thống kê ý kiến của HS về mức độ khó khăn trong việc ứng dụng hệ BPT bậc nhất hai ẩn vào giải các bài toán thực tiễn. 13