zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Sáng kiến kinh nghiệm

Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Sử dụng véc tơ giải toán hình học

Chia sẻ: Caphesua | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:33

Báo xấu

55
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến kinh nghiệm được hoàn thành với mục tiêu nhằm ôn tập kiến thức véc tơ trong mặt phẳng và trong không gian; Rèn luyện thêm kĩ năng tính toán, biểu diễn véc tơ; Kĩ năng chọn bộ véc tơ cơ sở phù hợp; Cung cấp thêm một phương pháp giải toán mới; Cung cấp một hệ thống các bài có mức độ từ dễ đến khó; Gợi ý cho học sinh lớp 10, lớp 11 phương pháp giải toán hình học bằng kiến thức véc tơ.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Sử dụng véc tơ giải toán hình học

Đỗ Xuân Thuỷ SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ________________________________________________ THPT Triệu Thái BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. LỜI GIỚI THIỆU Hình học là môn học hay và khó đối với các em học sinh THCS. Khi học lên THPT, các em được cung cấp thêm kiến thức hình học mới như véc tơ để thêm công cụ nghiên cứu hình học. Tuy vậy, do là kiến thức mới mẻ, kĩ năng của học sinh còn nhiều hạn chế, các tài liệu tham khảo thường chỉ là tập hợp các bài giải có sử dụng kiến thức véc tơ mà không có định hướng kiến thức, kĩ thuật sử dụng... nên ý thức sử dụng cũng như kĩ năng thực hành giải toán của các em học sinh còn hạn chế, dẫn đến việc học sinh THPT chỉ đơn thuần biết đến các dạng toán thực hành biến đổi véc tơ mà ít khi thấy được ứng dụng, sức mạnh của kiến thức mới. Lý do như kiến thức mới mẻ, các dạng toán đa dạng nhưng khó mà đôi khi không rõ ứng dụng, cách giảng dạy còn hànlâm…khiến cho người học là học sinh gặp nhiều khó khăn, lúng túng. Với tham vọng hướng dẫn cho các em học sinh THPT có thêm một công cụ giải toán mới đồng thời giúp các em thấy được cái hay cái đẹp của kiến thức mới mẻ này. Đề tài mong muốn: Thể hiện véc tơ có thể ứng dụng giải toán. Rèn luyện kỹ năng sử dụng véc tơ để giải toán: rèn luyện sử dụng các phép toán véc tơ, xây dựng bộ véc tơ gốc, cách biểu diễn véc tơ. Giúp cho học sinh thấy được sức mạnh của phương pháp, ứng dụng của kiến thức. Các bài tập sử dụng dưới đây là kết quả sưu tầm của tác giả, hầu hết lời giải đều do tác giả tự thực hiện. 2. SÁNG KIẾN “ SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ” 3. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN: Đỗ Xuân Thủy Trường THPT Triệu Thái Số điện thoại:0914334575 E_mail:doxuanthuy.phttrieuthai@vinhphuc.edu.vn 4. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN: 1
Đỗ Xuân Thuỷ SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ________________________________________________ THPT Triệu Thái Sáng kiến áp dụng cho học sinh lớp 10 khi bắt đầu học về khái niệm véc tơ, học sinh lớp 11 khi học về véc tơ trong không gian; nâng cao năng lực toán học hình học véc tơ cho các em học sinh, đặc biệt là các em học sinh khá giỏi. Mục tiêu: ♠ Ôn tập kiến thức véc tơ trong mặt phẳng và trong không gian. ♠ Rèn luyện thêm kĩ năng tính toán, biểu diễn véc tơ. ♠ Kĩ năng chọn bộ véc tơ cơ sở phù hợp. ♠ Cung cấp thêm một phương pháp giải toán mới. ♠ Cung cấp một hệ thống các bài có mức độ từ dễ đến khó. ♠ Gợi ý cho học sinh lớp 10, lớp 11 phương pháp giải toán hình học bằng kiến thức véc tơ. 5. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC ÁP DỤNG THỬ Áp dụng lần đầu vào ngày tháng năm 2016. 6. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN: CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ BẢN I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VÉC TƠ r ur r r a=b 1. Hai véc tơ bằng nhau: a = b r r a b r r 2. Trong mặt phẳng toạ độ véc tơ u cùng phương với véc tơ v r r � ∃k : u = kv. r r r 3. Cho hai véc tơ không cùng phương a và b . Khi đó mọi véc tơ x đều phân r r tích được một cách duy nhất theo hai véc tơ a và b , nghĩa là có duy nhất r r r một cặp số (h, k) sao cho x = ha + kb . Bình luận: đây là cơ sở cho phương pháp ứng dụng véc tơ chứng minh hình học… bằng việc xây dựng một bộ 2 véc tơ không cùng phương hợp lý. 4. Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (khác 0 và khác 1): uuur uuur uuur uuur uuuur OA − kOB MA = k MB. Khi đó ta có: OM = với mọi điểm O. 1− k 2
Đỗ Xuân Thuỷ SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ________________________________________________ THPT Triệu Thái Bình luận: Đây là công thức hay được sử dụng trong các tính toán. GV dạy SGK cơ bản xây dựng thêm công thức này cho HS. uuur uuur uuur 5. AB = OB − OA với mọi điểm O. 6. Hai tam giác ABC và A’B’C’ cùng trọng tâm lần lượt là G, G’ AA' BB' CC ' rr . rr 7. Hai véc tơ a, b vuông góc � a.b = 0. rr rr ( ) a.b 8. cos a; b = r r . | a || b | II. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN 1) 3 điểm A, B, C thẳng hàng nếu thoả mãn một trong các trường hợp sau: uuur uuur a) Tồn tại một số k sao cho AB = k AC . uur uur uuur b) Với mọi điếm S, nếu tồn tại đẳng thức: SA = xSB + ySC với x + y = 1 . uur uur uuur Lưu ý, nếu chỉ có đẳng thức SA = xSB + y AC thì ta chỉ chứng tỏ được rằng 4 điểm S, A, B, C đồng phẳng. rr r r 2) Cho ba véc tơ không đồng phẳng a, b và c . Khi đó mọi véc tơ x đều rr r phân tích được một cách duy nhất theo ba véc tơ a, b và c , nghĩa là có duy r r r r nhất một cặp số m,n, k và p sao cho x = ma + nb + pc . Bình luận: đây là cơ sở cho phương pháp ứng dụng véc tơ chứng minh hình học… bằng việc xây dựng một bộ 3 véc tơ không đồng phẳng hợp lý. 3) 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng nếu thoả mãn một trong các trường hợp sau: uuur uuur uuur a) 3 véc tơ AB, AC , AD đồng phẳng. uur uur uuur uuur b) Với mọi điếm S, nếu tồn tại đẳng thức: SA = xSB + ySC + zSD với x + y + z =1. Ngược lại: 1) Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng. với một điểm S bất kì, ta có: uuur uuuur uur SA = xSB + ySC thì x + y = 1. 4a). Cho 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng. với một điểm S bất kì, ta có: uuur uuuur uur uuur SA = xSB + ySC + zSD thì x + y + z = 1. rrr r r r 4b). 3 véc tơ a, b,c đồng phẳng � ∃(x, y) : a = xb + yc. CHƯƠNG II: MỘT VÀI KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 3
Đỗ Xuân Thuỷ SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ________________________________________________ THPT Triệu Thái I. PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ TRÊN MẶT PHẲNG Khi dạy và học về véc tơ, ta thấy được một số ứng dụng của véc tơ như chứng minh hai tam giác cùng trọng tâm, CM thẳng hàng, vuông góc. Các ví dụ đưa ra đều quen thuộc, người HS ít đột phá sử dụng véc tơ để giải những bài toán hình học vốn đã được giải bằng một phương pháp khác. Đành rằng phương pháp véc tơ không hẳn có ưu điểm hơn các phương pháp khác, nhưng người HS cần có ý thức bồi dưỡng tư duy, ý thức tránh lối mòn trong tư duy, tìm hiểu khám phá vẻ đẹp của phương pháp. Các dạng toán sau đây rất quen thuộc với học sinh yêu hình học, nhưng đã có khi nào ta nghĩ rằng có thể sử dụng véc tơ để giải nó chưa. 1. Tính góc. Ch ứng minh quan hệ vuông góc Bài 1. (THTT T9/257) Chứng minh rằng trong một tam giác vuông 2 trung tuyến thuộc hai cạnh góc vuông cắt nhau theo một góc nhọn có giá trị côsin không nhỏ hơn 0,8. Hướng dẫn: Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC, G là trọng tâm tam giác ABC. Đặt AB = c, AC = b. Phương pháp véc tơ: Việc đầu tiên HS phải chọn một bộ véc tơ cơ sở (VTCS) gồm hai véc tơ không cùng phương. Kinh nghiệm chọn là: + Hai véc tơ cùng gốc (dễ biểu diễn véc tơ) + Hai véc tơ vuông góc hoặc tính được tích vô hướng. B F G A E C uuur 2 uur 2 uuur uuur Ta có AG = AI � AB + AC 3 3 ( ) 4
Đỗ Xuân Thuỷ SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ________________________________________________ THPT Triệu Thái uuur uuur uuur 1 uuur 2 uuur uuur uuur uuur 2 uuur 1 uuur GB = AB − AG = AB − AC ; GC = AC − AG = − AB + AC 3 3 3 3 uuur uuur uuur uuuur GB.GC 2 ( b2 + c2 ) cos(GB, GC ) = cos(GB, GE ) = uuur uuur = . GB . GC ( 4b + c ) ( 4c + b ) 2 2 2 2 2 ( b2 + c 2 ) 4 ( b2 + c2 ) 4 Áp dụng BĐT Caushy, = = 0,8 ( 4b 2 + c 2 ) ( 4c 2 + b 2 ) ( 4b 2 + c 2 ) + ( 4c 2 + b 2 ) 5 Vậy cos(GB, GC ) 0,8. Bài 2. Gọi K là trung điểm của cạnh AB của hình vuông ABCD, L là điểm AL chia trong đường chéo AC theo tỉ số . Chứng minh rằng: KLD ﾷ = 900. LC Hướng dẫn. Phương pháp véc tơ: uuur uuur B1 Bài tập này ta có thể chọn bộ véc tơ gốc AB, AD chung gốc và vuông góc. uuur 1 uuur uuur 3 uuur uuur B2 Biểu diễn các véc tơ AK = AB, AL = AB + AD (chú ý chúng chung gốc). 2 4 ( ) uuur uuur uuur 1 uuu r 3 r uuur uuur uuur uuu 3 uuur 1 uuur B3 Biểu diễn KL = AK − AL = − AB − AD; KD = AD − AL = − AB + AD . uuur uuur 4 4 4 4 B4 Lấy tích vô hướng LK .LD = 0. BÌNH LUẬN: Bài tập trên không khó giải với nhiều HS lớp 10. Ở đây ta rèn luyện 3 kĩ năng: chọn bộ véc tơ gốc, biểu diễn véc tơ và tính tích vô hướng. Những kĩ năng này cần thiết cho nội dung véc tơ trong không gian học ở lớp 11, 12. Bài 3. Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc với AC, H thuộc đoạn AC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AH và DC. Chứng minh rằng: BM MN. Hướng dẫn Phương pháp véc tơ: 5
Đỗ Xuân Thuỷ SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ________________________________________________ THPT Triệu Thái N D C M H A B Không giảm tổng quát ta chọn hình chữ nhật ABCD sao cho AB = 1, AD = d . uuur uuur B1 Chọn bộ véc tơ gốc AB, AD chung gốc và vuông góc. HA BA2 1 Ta có tính chất trong tam giác vuông: = 2 = 2 HC BC d B2 Biểu diễn các véc tơ qua bộ véc tơ gốc: uuur 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur uuur + HA = − 2 HC � AH = d 1+ d2 AC = 1+ d 2 ( ) AB + AD (Điểm H chia AC theo tỉ số 1 − 2 ) d uuuur 1 uuur uuur uuur + AM = 2 AH = 1 2(1 + d 2 ) AB + AD( ) uuur uuur uuur 1 uuur uuur + AN = AD + DN = AB + AD . 2 uuur uuur uuuur 2d 2 + 1 uuur 1 uuur B3 Biểu diễn MB = AB − AM = AB − AD 2(1 + d 2 ) 2(1 + d 2 ) uuuur uuur uuuur d2 uuur 2d 2 + 1 uuur MN = AN − AM = AB + AD . 2(1 + d 2 ) 2(1 + d 2 ) uuur uuuur B4 Lấy tích vô hướng MB.MN = 0. Bài 4. (APMO 98) Cho tam giác ABC. Gọi D là chân đường cao hạ từ A. Gọi E, F là điểm khác D nằm trên một đường thẳng đi qua D sao cho AE vuông góc với BE, AF vuông góc với CF. Fọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn BC, EF. Chứng minh rằng đường thẳng AN vuông góc NM. Hướng dẫn Phương pháp véc tơ: 6
Đỗ Xuân Thuỷ SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ________________________________________________ THPT Triệu Thái A F N E B D C M Không giảm tổng quát, giả sử DA = 1; DC = t . chọn bộ 2 véc tơ gốc uuur r uuur r r r DA = a, DC = c, đôi một vuông góc. Ta có : | a |= 1;| c |= t . Giả sử: uuur r uuur r r uuur r r DB = b.c, DE = xa + yc; DF = (kx )a + (ky )c (2 véc tơ cùng phương). Khi đó: uuur uuur uuur r r BE = DE − DB = xa + ( y − 1)c + uuur uuur uuur uuuur r AE = DE − DA = ( x −1)a + yc uuur uuur uuur uuur BE ⊥ AE � BE. AE = 0 � x 2 + ty 2 = x + tby uuur uuur uuur r r AF = DF − DA = (kx − 1)a + (ky )c + uuur uuur uuur r r CF = DF − DC = (kx )a + (ky − 1)c uuur uuur uuur uuur AF ⊥ CF � AF .CF = 0 � k ( x 2 + ty 2 ) = x + ty Mặt khác uuur uuur uuuur DB + DC b + 1 r DM = = c 2 2 uuur uuur r r uuur DE + DF (k + 1) xa + (k + 1) yc DN = = 2 2 r r uuuur uuur uuuur (k + 1) xa + (ky + y − b − 1)c NM = DN − DM = 2 r uur uuur uuur uuur (kx + x − 2)a + ( ky + 1) yc AN = DN − DA = 2 uuuur uuur 2 2 2 2 MN . AN = (k + 1) � � k ( x + ty ) + ( x + ty ) − 2 x − tby − ty � � Thay x 2 + ty 2 = x + tby , k ( x 2 + ty 2 ) = x + ty vào biểu thức trên ta được: uuuur uuur MN . AN = 0 , suy ra điều phải chứng minh. 7
Đỗ Xuân Thuỷ SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ________________________________________________ THPT Triệu Thái BÌNH LUẬN: Lời giải không phụ thuộc hình vẽ, tính toán nhiều tuy vậy phương pháp giải tiến hành lại rõ ràng. 2. Chứng minh quan hệ cùng phương, thẳng hàng, song song , đồng quy. Bài 1. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm đối xứng với D qua trung điểm các cạnh của ∆ABC. CMR điểm D và trọng tâm của 2 tam giác ABC, MNP thẳng hàng. Hướng dẫn Phương pháp véc tơ: B M P A N C Ta có DA DB DC DG; DM DN DP DG . Áp dụng quy tắc hình bình hành ta uuur uuuur có 2DG = DG1 suy ra đpcm. Bài 2. (IMO 23) Trên các đường chéo AC và CE của lục giác đều ABCDEF, ta AM CN lần lượt lấy 2 điểm M, N sao cho k. Biết rằng B, M, N thẳng hàng. AC CE Tìm k. Hướng dẫn Phương pháp véc tơ: 8
Đỗ Xuân Thuỷ SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ________________________________________________ THPT Triệu Thái B C A D M N F E MC NE k Gt k MC ( k )MA; MA NC k k NE ( k ) NC Mà BE (BA BC) nên BM k BC ( k ) BA k k . Do B, M, N thẳng hàng nên . BN (k ) BE k BC k k Từ đó tính được k (0
Đỗ Xuân Thuỷ SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ________________________________________________ THPT Triệu Thái HD. Đặt ON n OA; OM mOB NM mnCD. (Do ON/OA = OB/OD; OM/OB = OA/OC). Bài 4. Cho ΔABC. Đương tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với AB, AC tại M, N. Vẽ đường trung bình DE (// AB) của tam giác. Đường phân giác góc B cắt DE tại P. Chứng minh rằng 3 điểm M, N, P thẳng hàng. Hướng dẫn Phương pháp véc tơ: Đặt AB = c, BC = a, CA = b. e , e , e là các véc tơ đơn vị của tia BC, CA và AB. + BC CA AB a e b e ce . + NA (p a )e ; AM (p a )e suy ra NM NA AM (p a )(e e ). C N E D P O A B M a a a Tam giác PEB cân tại E nên PE = EB = PE e ; EB e ; BM (p b)e và b c b e e e nên PM e e . Từ đây suy ra M, N, P thẳng hàng. a a Bài 5. Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm D, DB EC KA E, K sao cho: k. Giả sử BE cắt AD tại B’, CK cắt BE tại C’, DC EA KB AD cắt CK tại A’. Chứng minh rằng 3 tam giác ABC, DKE và A’B’C’ có cùng trọng tâm. Hướng dẫn Phương pháp véc tơ: 10
Đỗ Xuân Thuỷ SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ________________________________________________ THPT Triệu Thái a) Giả thiết suy ra AD AB k AC ... suy ra AD BE CF . k BC k BA b) Giả sử BE x BC'. (1). Gt có; BE (2) k BC y BA BC BA (3). Thay (2)(3) Giả sử C' C yC' K BC' y y ( y)( k) k k k vào (1) được x BC' BE. Từ đó BC' BE . k k k 3. Tính tỉ số đoạn thẳng, tỉ số diện tích Các bài tập có thể giải bằng phương pháp kẻ đường phụ, định lý Talet…Ở đây ta dùng phương pháp véc tơ nhằm nêu sự ứng dụng đa dạng của phương pháp, đồng thời rèn luyện kĩ năng biến đổi, biểu diễn véc tơ cho HS. Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A, AB = AC = 2;BC = 1. Từ B kẻ đường cao HA BH. Tìm tỉ số . HC A H 2 B C 1 Hướng dẫn Phương pháp véc tơ: uur uur uuur uuur uur BA - kBC uuur uur uur Giả sử HA = kHC � BH = ; CA = BA - BC 1- k uur uuur uur uur uur uur uur 2 uur 2 uur uur BH.AC = 0 � (BA - BC)(BA - kBC) = 0 � BA + kBC - (1 + k)BA.BC = 0 uur uur uur 2 uur 2 uur uur uur uur Mà 2BA.BC = BA + BC - (BA - BC)2 � 2BA.BC = 4 + 1- 4 = 1 . 1+ k Vậy: 4 + k - = 0� k =- 7 2 11
Đỗ Xuân Thuỷ SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ________________________________________________ THPT Triệu Thái Bài 2. Cho tam giác KLM, trên cạnh KL lấy điểm A sao cho KA/AL = 1/3; trên cạnh LM lấy điểm B sao cho LB/BM = 4/1. Gọi C là giao điểm của KB và AM. Biết dt(KLC) = 2(đvdt). Tính diện tích của tam giác KLM. Hướng dẫn Phương pháp véc tơ: L A B C K M Giả sử KC x KB ( x ) (1). dt (KLM) dt (KLM) dt (KLB) LM KB . x. Ta đi tính x. dt (KLC) dt (KLB) dt (KLC) LB KC Giả thiết suy ra KB KL KM (2). y Giả sử CA yCM ( y ). Suy ra KC KA KM mà KA KL nên y y x y ( y) KC KL KM (3). Từ (1)(2)(3) suy ra x = 5. ( y) y y x y Bài 3. Cho tam giác ABC. Trên cạnh AC lấy điểm M, trên cạnh BC lấy điểm N sao cho AM = 3MC, NC = 2NB. Gọi O là giao điểm của AN và BM. Tính diện tích (ABC) biết diện tích(OBN) bằng 1(đvdt). Hướng dẫn Phương pháp véc tơ: dt (KLM) dt (KLM) dt (KLB) LM KB . x (với AN = xON). dt (KLC) dt (KLB) dt (KLC) LB KC 12
Đỗ Xuân Thuỷ SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ________________________________________________ THPT Triệu Thái x AN AO (1). Giả thiết suy ra AN AC AB (2). Giả sử x AB y AM y OB yOM AO = AB AC (3). Thay (2),(3) vào(1) tính y y ( y) được x =10. A M O N B C Bài 4. Cho tam giác ABC. Điểm K chia trung tuyến AD theo tỉ số 3. Đường thẳng BK chia diện tích tam giác ABC theo tỉ số nào ? Hướng dẫn Phương pháp véc tơ: A F K D B C dt ( ABF ) FA x Giả sử BF x BK (1). Giả thiết BK BA BD BA BC (2). dt (CBF ) FC BA x BC Mà BF (3) nên từ (1)(2)(3) suy ra x = 3/2. x Bài 5. (TH&TT T6/345) Trên 2 cạnh AB, AC của tam giác ABC lần lượt lấy 2 AE CD điểm E, D sao cho . Gọi M là giao điểm của BD và CE. Xác định vị trí EB DA 13
Đỗ Xuân Thuỷ SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ________________________________________________ THPT Triệu Thái của E, D sao cho diện tích tam giác BMC đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị đó theo diện tích của tam giác ABC. Hướng dẫn Phương pháp véc tơ: AE CD dt (ABC) dt (ABC) dt (BDC) AC BD Giả sử . Ta có . . . EB DA m dt (BMC) dt (BDC) dt (BMC) DC BM DA AC BD dt ( ABC) Ta có m m . Đặt x (m ) x. Ta đi tính x. DC DC BM dt (BMC) +) BD x BM MD ( x )MB CD ( x )CB x CM CA CB ( x) ( m) x x (2) (vì CD CA. ). m +) Giả sử x y y m m CM yCE ; m x x m ( m) x m m(m ) dt (ABC) dt (ABC) Từ đây suy ra m dt (BMC) . dt (BMC) m II. PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN Từ kinh nghiệm biểu diễn véc tơ trong mặt phẳng, HS có thể mở rộng phương pháp véc tơ trong không gian giải quyết được nhiều dạng toán như CM đồng phẳng, CM song song, CM vuông góc, tính góc, tính tỉ số đoạn thẳng… Sau đây là một số minh họa. Bài 1. (Bài 32t56, SBTHH11): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của SC, N là trung điểm của OB ( O = BD AC ) SI a) Tìm I = SD ( AMN ). b) Tính . ID QUAN HỆ SONG SONG 1. Hướng dẫn: Phương pháp véc tơ: 14
Đỗ Xuân Thuỷ SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ________________________________________________ THPT Triệu Thái s I M D A O N B C a) Xem hình vẽ. uuur uuur r ur uuur r uuur r uuur ur uur uur uur AS − x AD s − xd b) Đặt AS = s, AB = b, AD = d . Giả sử IS = xID. Khi đó AI = = . 1− x 1− x uuuur 1 r r ur uuur 1 uuur uuur 3 r 1 ur ( ) ( Mặt khác AM = s + b + d , AN = AB + AO = b + d . Do 3 véc tơ 2 2 4 2 ) uur uuuur uuur uur uuuur uuur AI , AM , AN đồng phẳng nên tồn tại 2 số m, n sao cho: AI = m AM + n AN hay 1 r ur m r r ur �3 r 1 ur � 1− x ( s − xd ) = 2 ( �4 ) s + b + d + n� b + d � 2 � 1 m = 1− x 2 1 r u r m r r �m 3n � �m + n � u r m 3n 3 � ( s − xd ) = s + � + � b+� � d suy ra + =0 �x=− . 1− x 2 �2 4 � � 2 � 2 4 5 m + n −x = 2 1− x Bài 2. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. a) Hãy xác định đường thẳng (d) cắt cả hai đường thẳng AC’ và BA’ đồng thời song song với B’D’. AI b) Gọi I = (d ) �AC '; J = (d ) �BA '. Tính . AC ' Hướng dẫn: Phương pháp véc tơ: 15
Đỗ Xuân Thuỷ SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ________________________________________________ THPT Triệu Thái A’ D’ B’ C’ A D B C uuur r uuur r uuur ur uur uuur uur uuur Giả sử AA ' = a, AB = b, AD = d và AI = xIC ', JB = y JA'. Khi đó: uur r r r uuur r r ( ) AI = x a + b + c , AJ = 1 1− y ( − ya + b và ) ur uuur uur �− y �r � 1 �r r uuuuur r ur I J = AJ − AI = � − x� a+� − x�b − xc. Mặt khác D ' B ' = b − d và IJ song �1− y � � 1− y � −y 1 song với D’B’ nên tồn tại một số thực k sao cho: − x = 0, − x = k , − x = k. 1− y 1− y 1 Ta tính được x = −1; y = . Từ đây suy ra cách dựng đường thẳng (d) và tính được 2 Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Hai điểm M và N lần lượt BM NC thay đổi trên các đoạn thẳng SB, AC sao cho: = = x(0 < x 1). Gọi G là MS NA trọng tâm tam giác SCD. a) CMR MN luôn song song một mặt phẳng cố định khi x thay đổi. b) Tìm x để (GMN ) //( SAD). c) Tìm x để NG //( SAB). AI 1 = . AC ' 2 Hướng dẫn: Phương pháp véc tơ: 16
Đỗ Xuân Thuỷ SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ________________________________________________ THPT Triệu Thái s M C D O N A B uuur r uuur r uuur ur uuur uuur uuur uuur a) Đặt AS = s, AB = b, AD = d . Giả thiết suy ra MB = − xMS , NC = − xNA hay uuur uuur r r uuur r ur uuuur AB + x AS b + xs uuur AC b + d AM = = , AN = = suy ra 1+ x 1+ x 1+ x 1+ x uuuur 1 ur r 1 uuur x uuur uuuur uuur uuur MN = 1+ x ( d − xs = ) 1+ x AD − 1+ x AS hay MN , AD, AS đồng phẳng hay MN //mp(SAD). uuuur uuur uuur b) Ta tìm x để GM // mp(SAD) hay tìm x sao cho: GM , AD, AS đồng phẳng. uuur 1 uuur uuur uuur 1 r r ur Ta có ( AG = AS + AD + AC = s + b + 2d . 3 3 ) ( ) Từ đây ta có uuuur uuur uuuur � x 1�r �1 1 �r 2 ur GM = AG − AM = � − � s+� − � b − d. 1+ x 3 � � � 1+ x 3 � 3 uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur GM , AD, AS đồng phẳng nên tồn tại 2 số m, n sao cho: GM = m AD + n AS hay �x 1� r �1 1� r 2 ur r ur � − � s+� − � b − d = ns + md . Từ đây suy ra x = 2. �1+ x 3 � � 1+ x 3 � 3 uuur uuur uuur 1r �1 1 �r � 1 2� ur c) GN = AN − AG = − s + � − � b+� − � d. 3 � 1+ x 3 � � 1+ x 3 � uuur uuur uuur uuur uuur uuur NG //( SAB) GN , AB, AS đồng phẳng hay GN = m AB + n AS hay 1r �1 1 �r � 1 2� ur r r 1 − s+� − � b+� − � d = ns + mb từ đây tính được x = . 3 � 1+ x 3 � � 1+ x 3 � 2 17
Đỗ Xuân Thuỷ SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ________________________________________________ THPT Triệu Thái Bài 4. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M là một điểm trên đoạn AB’ sao cho AM/MB’ = 5/4. mp(P) qua M và (P) song song với A’C và BC’ cắt CC’ tại NC N. Xác định thiết diện của hình lăng trụ với mp(P). Tính . NC ' Hướng dẫn: Phương pháp véc tơ: A’ C’ B’ N M A C B uuur r uuur r uuur r uuuur r r uuuur r r r Đặt AA ' = a, AB = b, AC = c. Dễ dàng tính được A ' C = c − a, BC ' = a − b + c . uuur 5 uuuur uuuur 5 uuuur 5 r r Từ giả thiết ta có: MA = − MB ' nên AM = AB ' = (a + b). Giả sử uuur uuuur 4 9 9 uuur uuuur uuur AC − x AC ' − x r r NC = xNC ' � AN = = a + c. Ta có 1− x 1− x uuuur uuur uuuur �− x 5 �r 5 r r MN = AN − AM = � − � a − b + c. �1− x 9 � 9 Từ giả thiết ta có MN, A’C, BC’ đồng phẳng hay ta có sự biểu diễn: uuuur uuuur uuuur �− x 5 �r 5 r r r r r MN = m A ' C + nBC ' hay � − a � − b + c = ( − m + n ) a − nb + ( m + n )c . Từ đây tính �1− x 9 � 9 được x = 2. BÌNH LUẬN: Nhiều học sinh khi giải bài tập này rất dễ vẽ nhầm hình do lấy điểm M trên đoạn AB’ không chính xác dẫn tới điểm N nằm ngoài đoạn CC’. Bằng cách giải trên ta có thể “điều chỉnh” hình vẽ hợp lý dẫn tới thiết diện dựng được chính xác. 18
Đỗ Xuân Thuỷ SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ________________________________________________ THPT Triệu Thái Bài 5. Cho tứ diện SABC có G là trọng tâm tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) cắt các tia SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’, C’, G’. Chứng minh rằng: SG SA SB SC 3 = + + . SG ' SA ' SB ' SC ' Hướng dẫn: Phương pháp véc tơ: S A' C' G' B' A G C B SA SB SC SG uur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur Đặt = a, = b, = c, = t SA = aSA ', SB = bSB ', SC = cSC ', SG = tSG '. SA 'r uuSB uuu r 'uur SCuuur' SGr' uuuu uuur uuur uuur Ta có 3SG = SA + SB + SC � 3tSG ' = aSA ' + bSB ' + cSC '. uur uuur uuur r Trong mặt phẳng xét điểm I: aIA ' + bIB ' + cIC ' = 0, khi đó uuur uuur uuur uur uuuur uur aSA ' + bSB ' + cSC ' = (a + b + c ) SI hay 3tSG ' = (a + b + c) SI hay SG’ // SI vậy I thuộc đường thẳng SG hay I = SG �( P ) = G '. uuuur uuur Suy ra 3tSG ' = (a + b + c) SG ' hay 3t = a + b + c. Cách khác: Gọi I’, I lần lượt là trung điểm đoạn B’C’ và BC. Ta có: SB ' SC ' dt ( SB ' C ') dt ( SB ' I ') dt ( SC ' I ') . = = + SB SC dt ( SBC ) 2dt ( SBI ) 2dt ( SCI ) SB ' SC ' SI ' �SB ' SC ' � SB SC SI � . = � + �� + =2 (1). Mặt khác: SB SC 2SI �SB SC � SB ' SC ' SI ' SA ' SI ' dt ( SA ' I ') 2dt ( SA ' G ') dt (SG ' I ') . = = + hay: SA SI dt ( SAI ) 3dt ( SAG ) 3dt ( SGI ) SA ' SI ' 1 SG ' �2 SA ' SI ' � SA 2 SI SG . = � + �� + =3 (2). Từ (1) và (2) suy ra SA SI 3 SG �SA SI � SA ' SI ' SG ' SG SA SB SC 3 = + + . SG ' SA ' SB ' SC ' 19
Đỗ Xuân Thuỷ SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ________________________________________________ THPT Triệu Thái Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Điểm M di động trên cạnh SC, (P) là mặt phẳng qua AM và song song với BD. a) CMR (P) luôn chứa một đường thẳng cố định. SB SD SC b) Tìm H : H = ( P) �SB, K : K = ( P) �SD. CMR + − có giá trị không đổi. SH SK SM Hướng dẫn: Phương pháp véc tơ: s M K C H D O A B a) Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua điểm A và song song với BD. b) Dễ thấy KH // BD. Gọi I là giao điểm của SO với AM. Dễ thấy O’ là trung SD SB SC SO điểm của đoạn KH. Đặt= d, = = b, = t. Từ uur uur uuur uuur uuur SM uur uuur uuur uuur SH uuurSK SO ' SA + SB + SC + SD = 4SO ta có SA + bSH + bSK + d SM = uur uuur '. uur uuur r 4tSO Gọi I là điểm nằm trên mp(AHMK) thoả mãn: IA + bSH + bIK + d IM = 0. Khi đó uur uuur uuur uuur uur SA + bSH + bSK + d SM = (1 + b + c + d ) SI hay SI // SO’ suy ra I = SO ( AHMK ) uur uuur hay (1 + 2b + d ) SI = 4tSO ' � 1 + 2b + d = 4t. uur uuur uuur uuur uuur uur uur uur Mặt khác SB + SD = 2SO, b( SH + SK ) = 2bSI � 2tSI = 2bSI hay b = t. SB SD SC Từ đó suy ra 2t d = 1 � + − = 1. SH SK SM . 2. QUAN HỆ VUÔNG GÓC 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.