PH N 1: M ĐUẦ Ở Ầ
1.1. Lý do ch n đ tàiọ ề
Trong ch ng trình Hình h c 12, bài toán vi t ph ng trình đng th ngươ ọ ế ươ ườ ẳ
trong không gian là bài toán hay và không quá khó. Đ làm t t bài toán này đòiể ố
h i h c sinh ph i n m v ng ki n th c hình h c không gian, m i quan hỏ ọ ả ắ ữ ế ứ ọ ố ệ
gi a đng th ng, m t ph ng. Là d ng toán luôn có m t trong các đ thi t tữ ườ ẳ ặ ẳ ạ ặ ề ố
nghi p THPT và thi vào Cao đng, Đi h c nên yêu c u h c sinh ph i làm t tệ ẳ ạ ọ ầ ọ ả ố
đc d ng toán này là h t s c c n thi t.ượ ạ ế ứ ầ ế
Do đó trong quá trình d y h c đòi h i đi ngũ các th y cô giáo ph i tíchạ ọ ỏ ộ ầ ả
c c h c t p, không ng ng nâng cao năng l c chuyên môn, đi m i ph ngự ọ ậ ừ ự ổ ớ ươ
pháp d y h c theo h ng phát huy tích c c, t giác, ch đng và sáng t o c aạ ọ ướ ự ự ủ ộ ạ ủ
h c sinh, b i d ng kh năng t h c, kh năng v n d ng ki n th c vào th cọ ồ ưỡ ả ự ọ ả ậ ụ ế ứ ự
t , đem l i s say mê, h ng thú h c t p cho h c sinh.ế ạ ự ứ ọ ậ ọ
Trong quá trình gi ng d y tôi th y h c sinh còn g p nhi u lúng túngả ạ ấ ọ ặ ề
trong vi c gi i quy t m t bài toán hình h c t a đ nói chung, có th có r tệ ả ế ộ ọ ọ ộ ể ấ
nhi u nguyên nhân d n đn tình tr ng nói trên, nh ng theo tôi, nguyên nhânề ẫ ế ạ ư
ch y u là khi h c hình h c to đ, h c sinh ch “gi i hình h c b ng đi s ”ủ ế ọ ọ ạ ộ ọ ỉ ả ọ ằ ạ ố
mà không đ ý đn các tính ch t hình h c.ể ế ấ ọ
Các ph ng pháp gi i còn mang tính ch t ch quan, r i r c, g p bài toánươ ả ấ ủ ờ ạ ặ
nào thì ch chú tr ng tìm cách gi i cho riêng bài toán đó mà không có m t cáchỉ ọ ả ộ
nhìn t ng quát. Chính vì v y d n đn tình tr ng các em b lúng túng tr c cácổ ậ ẫ ế ạ ị ướ
câu h i m c dù các câu h i đó ch xoay quanh m t v n đ: ỏ ặ ỏ ỉ ộ ấ ề Vi t ph ng trìnhế ươ
đng th ng trong không gian.ườ ẳ
V i vai trò là m t giáo viên d y Toán và qua nhi u năm gi ng d y, đớ ộ ạ ề ả ạ ể
trao đi cùng các th y cô đng nghi p v i mong mu n tìm ra h ng gi iổ ầ ồ ệ ớ ố ướ ả
quy t đn gi n nh t cho m t bài toán, làm cho h c sinh nh đc ki n th cế ơ ả ấ ộ ọ ớ ượ ế ứ
c b n trên c s đó đ sáng t o. ơ ả ơ ở ể ạ
Tôi xin trình bày m t s kinh nghi m c a mình v vi c gi i quy t bàiộ ố ệ ủ ề ệ ả ế
toán Vi t ph ng trình đng th ng trong không gianế ươ ườ ẳ đó là:
"GIÚP H C SINH NH N D NG VÀ PH NG PHÁP GI I CÁC BÀIỌ Ậ Ạ ƯƠ Ả
TOÁN VI T PH NG TRÌNH ĐNG TH NG TRONG KHÔNG GIAN".Ế ƯƠ ƯỜ Ẳ
V i ý t ng trên, tôi đã phân ra các d ng bài t p vi t ph ng trìnhớ ưở ạ ậ ế ươ
đng th ng t d đn khó đ h c sinh ti p c n m t cách đn gi n, d nhườ ẳ ừ ễ ế ể ọ ế ậ ộ ơ ả ễ ớ
và t ng b c giúp h c sinh hình thành t duy t h c, t gi i quy t v n đ.ừ ướ ọ ư ự ọ ự ả ế ấ ề
Ngoài ra, giúp cho các em làm t t các bài thi t t nghi p cũng nh thi vào cácố ố ệ ư
tr ng Cao đng và Đi h c.ườ ẳ ạ ọ
1
1. 2. M c đích nghiên c uụ ứ
M c đích nghiên c u c a đ tài v i mong mu n giúp h c sinh:ụ ứ ủ ề ớ ố ọ
+ Kh c ph c đc nh ng y u đi m đã nêu trên, t đó đt đc k tắ ụ ượ ữ ế ể ở ừ ạ ượ ế
qu cao khi gi i bài toán nói riêng và đt k t qu cao trong quá trình h c t pả ả ạ ế ả ọ ậ
nói chung.
+ Tìm đc m t ph ng pháp t i u nh t đ gi i toán, cũng nh nângượ ộ ươ ố ư ấ ể ả ư
cao thêm v m t ki n th c, k năng, k x o trong vi c nh n d ng và ph ngề ặ ế ứ ỹ ỹ ả ệ ậ ạ ươ
pháp gi i các bài toán thích h p. T đó phát huy, kh i d y, s d ng hi u quả ợ ừ ơ ậ ử ụ ệ ả
ki n th c v n có c a h c sinh, gây h ng thú h c t p cho các em.ế ứ ố ủ ọ ứ ọ ậ
1. 3. Đi t ng nghiên c u.ố ượ ứ
- Các d ng toán vi t ph ng trình c a đng th ng và ph ng phápạ ế ươ ủ ườ ẳ ươ
gi ng d y toán ả ạ
- H c sinh l p 12A1, 12A2 Tr ng THPT Tô Hi n Thành - TP Thanhọ ớ ườ ế
Hóa năm h c: 2015 - 2016.ọ
1. 4. Ph ng pháp nghiên c u:ươ ứ
- Ph ng pháp nghiên c u lý lu n: Nghiên c u sách giáo khoa, sách bàiươ ứ ậ ứ
t p, sách tài li u tham kh o và các đ thi ậ ệ ả ề
- Ph ng pháp đi u tra th c ti n : D gi , quan sát vi c d y và h c ph nươ ề ự ễ ự ờ ệ ạ ọ ầ
bài t p nàyậ
- Ph ng pháp th c nghi m s ph m ươ ự ệ ư ạ
- Ph ng pháp th ng kêươ ố
2
PH N 2: N I DUNGẦ Ộ
2.1. C s lý lu nơ ở ậ
Ki n th c c b nế ứ ơ ả : Trong ch ng trình Sách giáo khoa Hình H c L p 12ươ ọ ớ
Chu n thì ẩphư¬ng tr×nh c aủ đng th ng trong không gian có hai d ng đóườ ẳ ạ
là: Ph ng trình tham s ươ ố và ph ng trình chính t cươ ắ .
ĐÓ viÕt phư¬ng tr×nh c aủ đng th ng trong không gian ườ ẳ cÇn
ph¶i x¸c ®Þnh hai yÕu tè:
+ Mét ®iÓm mµ đng th ng ườ ẳ ®i qua.
+ Mét vÐc t¬ ch ph ng c a đng th ng.ỉ ươ ủ ườ ẳ
Khi đó, n u đng th ng ế ườ ẳ
đi qua ®iÓm
000 ;; zyxM
và nhËn vÐc t¬
cbau ;;
lµm vÐc t¬ ch ph ng thì:ỉ ươ
Ph ng trình tham s c a đng th ng ươ ố ủ ườ ẳ
có d ng: ạ
ctzz
btyy
atxx
0
0
0
(t là tham s )ố
Ph ng trình chính t c c a đng th ng ươ ắ ủ ườ ẳ
có d ng ạ:
c
zz
b
yy
a
xx
000
0.. cba
Ki n th c có liên quan:ế ứ
1. Ph ng trình t ng quát c a (ươ ổ ủ
) có d ng: ạ
0 DCzByAx
0
222 cba
2. N u ế
)(
có ph ng trình: ươ
0 DCzByAx
thì véc t pháp tuy n c a ơ ế ủ
)(
là
CBAn ;;
3. N uế
)(
đi qua đi m ể
000 ;; zyxM
và nh n ậ
CBAn ;;
là véc t pháp tuy n ơ ế
thì ph ng trình c aươ ủ
)(
là :
0)()()( 000 zzCyyBxxA
4. N uế
)(
ch a hay song song v i giá c a hai vect không cùng ph ngứ ớ ủ ơ ươ
321 ;; aaaa
,
321 ;; bbbb
thì véc t pháp tuy n c a ơ ế ủ
)(
là :
122131132332 ;;; bababababababan
5. Cho
AAA zyxA ;;
và đi m ể
BBB zyxB ;;
- Vect ơ
AB
uuur
=
ABABAB zzyyxx ;;
- To đ trung đi m I c a AB là: ạ ộ ể ủ
)
2
;
2
;
2
(
BABABA
zzyyxx
I
Chú ý: Trªn c¬ së kiÕn thøc h×nh häc kh«ng gian líp 11, cã c¸c c¸ch x¸c
®Þnh đường thẳng như sau:
- Cã mét vµ chØ mét đường thẳng ®i qua hai ®iÓm phân biệt cho
trước.
- Cã mét vµ chØ mét đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng.
3
... Ngoµi ra cßn rÊt nhiÒu c¸ch x¸c ®Þnh đng th ngườ ẳ kh¸c n÷a.
2.2. Th c tr ng c a v n đ tr c khi áp d ng sáng ki n kinh nghi mự ạ ủ ấ ề ướ ụ ế ệ
Nh v y đ vi t ph ng trình c a đng th ng trong không gian (cư ậ ể ế ươ ủ ườ ẳ ụ
th là ph ng trình tham s ho c ph ng trình chính t c) ta c n ph i xácể ươ ố ặ ươ ắ ầ ả
đnh hai đi l ng:ị ạ ượ
+) Đi m mà đng th ng đi qua.ể ườ ẳ
+) Véct ch ph ng c a đng th ng.ơ ỉ ươ ủ ườ ẳ
Nh ng không ph i trong m i tr ng h p, ta đu có th tìm đc m tư ả ọ ườ ợ ề ể ượ ộ
cách d dàng hai đi l ng nói trên, và cũng nh nhi u v n đ khác c a toánễ ạ ượ ư ề ấ ề ủ
h c. ọ
Bài toán vi t ph ng trình đng th ng cũng ch y u có hai d ng: ế ươ ườ ẳ ủ ế ạ t ngườ
minh và không t ng minh ườ
D ng ạ t ng minhườ :
- Các đi l ng đ gi i quy t bài toán thì đ bài cho s n, d ng toán nàyạ ượ ể ả ế ề ẵ ạ
ch y u đ h c sinh c ng c công th c.ủ ế ể ọ ủ ố ứ
- D ng ạt ng minh ườ theo tôi đó là: Vi t ph ng trình tham s (ho cế ươ ố ặ
chính t c) c a đng th ng bi t:ắ ủ ườ ẳ ế
1) Đng th ng đi qua hai đi m.ườ ẳ ể
2) Đng th ng đi qua m t đi m và có véct ch ph ng.ườ ẳ ộ ể ơ ỉ ươ
D ng không ạ t ng minhườ :
- Các đi l ng đ gi i quy t bài toán thì đ bài không cho s n mà đcạ ượ ể ả ế ề ẵ ượ
n d i m t s đi u ki n nh t đnh nào đó.ẩ ướ ộ ố ề ệ ấ ị
- D ng toán này đòi h i ng i h c ph i bi t k t h p ki n th c, có tạ ỏ ườ ọ ả ế ế ợ ế ứ ư
duy logíc toán h c, v n d ng linh ho t các đi u ki n có trong đ bài.ọ ậ ụ ạ ề ệ ề
Trong đ tài này tôi xin đc bàn v các d ng toán không ề ượ ề ạ t ngườ
minh, đây cũng là d ng toán ch y u xu t hi n trong các đ thi t tạ ủ ế ấ ệ ề ố
nghi p và đi h c. Tùy thu c vào yêu c u c a các bài toán vi t ph ngệ ạ ọ ộ ầ ủ ế ươ
trình đng th ng trong không gian, thì tôi chia thành hai bài toán đ h cườ ẳ ể ọ
sinh d nh n d ng:ễ ậ ạ
Bài toán 1: Vi t ph ng trình đng th ng trong không gian bi t m tế ươ ườ ẳ ế ộ
đi m mà đng th ng đi qua. ể ườ ẳ
+ bài toán này: đ bài ch cho bi t m t đi m đi qua, không cho tr cỞ ề ỉ ế ộ ể ự
ti p ph ng c a đng th ng.ế ươ ủ ườ ẳ
+ Yêu c u ph i xác đnh ph ng c a đng th ng d a vào các đi u ki nầ ả ị ươ ủ ườ ẳ ự ề ệ
c a bài toán.ủ
4
Bài toán 2: Vi t ph ng trình đng th ng th a mãn m t s đi u ki n ế ươ ườ ẳ ỏ ộ ố ề ệ
cho tr c ướ
+ bài toán này: đ bài không cho tr c ti p đi m đi qua và ph ng c a Ở ề ự ế ể ươ ủ
đng th ng, ườ ẳ
+ Yêu c u ph i xác đnh các đi l ng đó d a vào các đi u ki n c a bàiầ ả ị ạ ượ ự ề ệ ủ
toán.
Chú ý: Trong bài toán vi t ph ng trình đng th ng trong không gianế ươ ườ ẳ
tôi đc bi t chú ý đn các đi u ki n xác đnh c a đng th ng trong khôngặ ệ ế ề ệ ị ủ ườ ẳ
gian đó là:
- Cã mét vµ chØ mét đường thẳng ®i qua hai ®iÓm phân biệt cho
trước.
- Cã mét vµ chØ mét đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng.
T đó, tôi h ng cho h c sinh gi i quy t bài toán vi t ph ng trìnhừ ướ ọ ả ế ế ươ
đng th ng trong không gian theo hai cách sau:ườ ẳ
Cách 1: Tìm hai đi m mà đng th ng đi qua.ể ườ ẳ
Cách 2: Xác đnh hai m t ph ng cùng ch a đng th ng c n tìmị ặ ẳ ứ ườ ẳ ầ
M t v n đ đt ra đây là: Ph ng trình d ng t ng quát c a đngộ ấ ề ặ ở ươ ạ ổ ủ ườ
th ng không đc trình bày trong sách giáo khoa, v y n u h c sinh v n đẳ ượ ậ ế ọ ẫ ể
d i d ng t ng quát thì có đc ch p nh n hay không? n u không đc ch pướ ạ ổ ượ ấ ậ ế ượ ấ
nh n thì làm th nào?ậ ế
Cách kh c ph c không có gì khó khăn, ta có th h ng d n h c sinhắ ụ ể ướ ẫ ọ
chuy n v d ng tham s thông qua ví d sau:ể ề ạ ố ụ
Ví d 1:ụ (Cách th nh t) Đng th ng ứ ấ ườ ẳ ∆ là giao tuy n c a hai m tế ủ ặ
ph ng ẳ
052:)( zyx
và
012)( zyx
.
Ta có th đt b t kì m t n làm tham sể ặ ấ ộ ẩ ố
Đt: ặ
3 2 0 3 3 3 0 1
12 0 2 0 2
x y t x t x t
z t x y t x y t y t
− − + = − + = = −
� � �
= + ���
� � �
+ + = + + = = − +
� � �
V y ta có ph ng trình d ng tham s c a ậ ươ ạ ố ủ ∆:
( )
1
2
1
x t
y t t R
z t
= −
= − +
= +
Ví d 2:ụ (Cách th hai) Đng th ng ứ ườ ẳ ∆ là giao tuy n c a hai m t ph ngế ủ ặ ẳ
052:)( zyx
và
012)( zyx
.
+) V i ớ
1z
=
ta có:
( )
3 1
2 0 2
x y x I
x y y
− = =
� �
� �
+ = = −
� �
∆ đi qua
( )
1; 2;1M
−
.
+) Đng th ng ườ ẳ ∆ là giao tuy n c a hai m t ph ng nên có m t véct chế ủ ặ ẳ ộ ơ ỉ
ph ng là tích có h ng c a hai véc t pháp tuy n c a hai m t ph ng đó: ươ ướ ủ ơ ế ủ ặ ẳ
5
