SKKN: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7

Sáng kiến kinh nghiệm: 2017 – 2018<br /> Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7<br /> <br /> <br /> I. MỞ ĐẦU<br /> 1. Lý do chọn đề tài<br /> Toán học giữ vai trò quan trọng đối với khoa học kỹ thuật. Nó ngày càng  <br /> thu hút sự quan tâm của nhiều người đối với việc học toán ở trường học và kích  <br /> thích sự ham muốn của học sinh  ở mọi lứa tuổi. Là một giáo viên giảng dạy bộ <br /> môn Toán và Vật lý, tôi nhận thấy phần kiến thức về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng <br /> nhau là hết sức cơ  bản trong chương trình đại số  lớp 7. Trong Chương II Tỉ lệ <br /> thức là phương tiện giúp ta giải các bài toán về  đại lượng tỉ  lệ  thuận, tỉ  lệ <br /> nghịch. Trong môn hình học để  học tốt định lý Talet, tam giác đồng dạng thì <br /> không thể thiếu kiến thức về phần tỉ lệ thức. Trong môn Vật lý cũng vậy muốn  <br /> giải quyết tốt về các bài toán chuyển động không đều thì phần tỉ lệ thức và tính <br /> chất dãy tỉ số bằng nhau cũng không thể thiếu.<br />   Tuy  phần tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau quan trọng như vậy nhưng bản <br /> thân tôi qua quá trình giảng dạy và dự  giờ  động nghiệp tôi nhận thấy với các <br /> dạng toán tỉ lệ thức tôi thấy chưa hệ thống hóa được các dạng bài tập, chưa đưa <br /> ra được nhiều hướng suy luận khác nhau của một bài toán và chưa đưa ra được  <br /> các phương pháp giải khác nhau của cùng một bài toán để  kích thích tính sáng <br /> tạo của học sinh. Về tiết luyện tập giáo viên thường đưa ra một số  bài tập rồi <br /> cho học sinh lên chữa hoặc giáo viên chữa cho học sinh chép. Và đưa ra nhiều <br /> bài tập càng khó thì càng tốt. Trong nhiều trường hợp thì kết quả  dẫn  đến  <br /> ngược lại, học sinh cảm thấy nặng nề, không tin tưởng vào bản thân trở  nên <br /> chán nản việc học.<br /> Vì vậy giáo viên cần phài có phương pháp giải bài tập theo dạng và có <br /> hướng dẫn giải bài tập theo nhiếu cách khác nhau nhằm hình thành tư  duy toán  <br /> học cho học sinh, cung cấp cho học sinh những kỹ năng thích hợp để giải quyết  <br /> bài toán một cách thích hợp.<br />  Học sinh thường lĩnh hội kiến thức một cách thụ  động, chưa tìm ra cách <br /> giải cho từng dạng toán cụ  thể, không có tính sáng tạo trong bài làm. Khi học  <br /> phần này học sinh thường mắc sai lầm trong lời giải. Gặp các dạng toán hơi <br /> phức tạp là các em sợ  làm không được nên lười suy nghĩ. Để  các em không sợ <br /> các dạng toán như  vậy và tránh các sai lầm mà các em mắc phải và có phương <br /> <br /> <br /> <br /> GV: Hoàng Thị Nguyệt 1 Trường THCS Lê Văn Tám<br />  Sáng kiến kinh nghiệm: 2017 – 2018<br /> Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7<br /> <br /> pháp khi giải các bài tập liên quan đến phần này tôi đã quyết định chọn đề  tài <br /> “Kinh nghiệm dạy một số  dạng toán về  tỉ  lệ  thức và dãy tỉ  số  bằng nhau  <br /> trong đại số 7” làm đề tài nghiên cứu.<br /> 2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài<br /> ­ Học sinh có kỹ năng phân tích để nắm yêu cầu của đề<br /> ­ Tránh các lỗi sai thường mắc phải khi giải bài tập<br /> ­ Nhận dạng các bài tập và chọn chọn phương pháp giải phù hợp<br /> ­ Học sinh hứng thú học tập môn toán.<br /> 3. Đối tượng nghiên cứu<br /> Cách giải một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại <br /> số 7 chương III.<br /> 4. Giới hạn của đề tài<br /> Các bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong chương trình đại số <br /> 7 chương III.<br /> Học sinh lớp 7A1 và 7A2 trường THCS Lê Văn Tám xã Bình Hòa, huyện <br /> Krông Ana, tỉnh Đăklăk.<br /> Thời gian: Năm học 2017 – 2018<br /> 5. Phương pháp nghiên cứu<br /> ­ Phương pháp nghiên cứu tài liệu SGK, sách tham khảo.<br /> ­ Phương pháp kiểm tra, đánh giá.<br /> ­ Phương pháp phát vấn, đàm thoại nghiên cứu vấn đề.<br /> ­ Phương pháp luyện tập, thực hành.<br /> ­ Phương tổng kết rút kinh nghiệm.<br /> II. Phần nội dung:<br /> 1. Cơ sở lý luận:<br /> Nhân loại ngày càng phát triển nên tri thức ngày càng được đòi hỏi cao <br /> hơn. Chính vì vậy việc giảng dạy trong nhà trường đòi hỏi phải được nâng cao <br /> <br /> <br /> GV: Hoàng Thị Nguyệt 2 Trường THCS Lê Văn Tám<br />  Sáng kiến kinh nghiệm: 2017 – 2018<br /> Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7<br /> <br /> chất lượng toàn diện đào tạo thế  hệ  trẻ  cho đất nước có tri thức cơ  bản có  <br /> phẩm chất đạo đức của người lao động.<br /> Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy của học sinh đặc biệt rèn các  <br /> thao tác trí tuệ  hình thành những phẩm chất tư duy sáng tạo, bài tập toán nhằm  <br /> đánh giá mức độ kết quả dạy và học, đánh giá mức độ  độc lập và trình độ  phát <br /> triển của học sinh<br /> Dạy toán và học toán là quá trình tư duy liên tục cho nên việc đúc kết kinh <br /> nghiệm, tìm tòi kiến thức của người dạy, học toán là không thể thiếu. Trong đó <br /> việc mà nhiều giáo viên trăn trở là phải chuyển tải kinh nghiệm làm thế nào để <br /> dạy tốt để học sinh lĩnh hội dễ dàng? Vậy việc dạy như thế nào để các em nắm <br /> chắc kiến thức cơ  bản một cách hệ  thống mà còn giải được các bài toán nâng  <br /> cao thì giáo viên phải truyền đạt kiến thức hấp dẫn, sinh động và nắm kiến thức  <br /> một cách có hệ  thống, dẫn dắt học sinh đi từ  điều đã biết đến điều chưa biết.  <br /> Đôi khi giáo viên phải biết nhìn nhận, phân tích và chỉnh sửa những sai lầm <br /> thường xuyên mắc phải cho học sinh.<br /> 2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu:<br /> Xuất phát từ thực tiễn đổi mới phương pháp dạy học giáo dục thì việc tự <br /> học, tự  quản giúp cho học sinh phát huy tính tích cực, gây hứng thú trong học  <br /> tập, phát triển tư duy cho các em đồng thời nâng cao chất lượng giáo dục.<br /> Ngoài Sách giáo khoa thì các em còn có sách bài tập giúp cho các em có  <br /> điều kiện hệ thống hóa kiến thức và cũng như  để  khắc sâu cho các em khi vận <br /> dụng giải bài tập. Bên cạnh đó công nghệ  thông tin ngày càng được phát triển <br /> giúp các em tiếp cận càng nhiều và biết được nhiều thông tin hơn nên các em dễ <br /> dàng tìm tòi được các nội dung mình cần quan tâm, nó giúp cho các em tăng tính <br /> tích cực và tự học nhiều hơn.<br /> Một số  học sinh thường mắc sai lầm khi giải bài toán dạng áp dụng tính <br /> chất của dãy tỉ số bằng nhau do các em chưa hiểu rõ tính chất của dãy tỉ số bằng <br /> nhau.<br /> Nhiều học sinh khi làm bài các em đọc đề bài không kỹ, nên phân tích bài  <br /> toán không chính xác dẫn đến việc giải bài toán bị sai.<br /> Dạng toán tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau là dạng toán tương đối khó. Đa <br /> số học sinh không thích học ở phần này. Khi học phần này đòi hỏi các em phải <br /> tích cực, chịu khó đọc sách tham khảo nhiều. Vì đây là một phần tương đối khó <br /> <br /> <br /> GV: Hoàng Thị Nguyệt 3 Trường THCS Lê Văn Tám<br />  Sáng kiến kinh nghiệm: 2017 – 2018<br /> Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7<br /> <br /> nhưng số tiết học ở lớp thì quá ít chỉ có 4 tiết nhưng bài tập ứng dụng nó lại rất <br /> nhiều không chỉ trong toán học mà cả trong vật lý. Đặc biệt nhất là thi học sinh <br /> giỏi văn hóa và luyện toán qua mạng thì phần này nó chiếm một phần rất lớn. <br /> Bên cạnh đó khi thao giảng đa số  giáo viên ngại thao giảng phần này cho nên  <br /> việc đúc rút kinh nghiệm trong quá trình dạy còn nhiều hạn chế.<br /> 2. Nội dung và hình thức của giải pháp.<br /> a. Mục tiêu của giải pháp<br /> ­ Học sinh giải quyết được các bài tập về  tỉ  lệ  thức và dãy tỉ  số  bằng <br /> nhau.<br /> ­ Phát triển năng lực tư  duy, phát huy nâng cao mức độ  năng lực của các <br /> em.<br /> ­ Phát huy tính tự giác, độc lập của học sinh trong việc giải quyết bài tập.<br /> ­ Giáo viên hệ thống hóa lại kiến thức cho học sinh<br /> ­ Lựa chọn các bài tập phù hợp với từng loại đối tượng học sinh.<br /> ­ Hướng dẫn các em phân tích bài toán và từng bước giải quyết vấn đề.<br /> ­ Giao nhiệm vụ cho từng cá nhân tổ và chỉ rõ thời gian hoàn thành nhiệm <br /> vụ.<br /> ­ Thường xuyên kiểm tra và đánh giá chất lượng, kỹ  năng giải toán của  <br /> học sinh.<br /> b. Nội dung, cách thực hiện các giải pháp.<br /> Để giúp cho học sinh lĩnh hội, nắm chắc được kiến thức và giải quyết bài <br /> tập một cách độc đáo, sáng tạo chặt chẽ, trình bày sáng sủa, khoa học thì người  <br /> giáo viên cần kiểm tra xem các em nắm được nội dung lý thuyết đến mức nào và <br /> giúp các em nắm chắc kiến thức lý thuyết thì khi đó việc vận dụng lý thuyết vào  <br /> giải bài tập mới phát huy hiệu quả và nội dung lý thuyết là vô cùng quan trọng <br /> khi giải bài tập. Do vậy người giáo viên không chỉ  đơn thuần cung cấp lời giải <br /> cho các em mà quan trọng hơn là dạy cho các em biết suy nghĩ, tìm ra con đường  <br /> hợp lý để giải bài toán và tìm ra chỗ sai của các em, tìm hướng khắc phục giúp <br /> các em không còn lo ngại khi gặp vấn đề.<br /> Các việc làm cụ thể.<br /> + Lý thuyết về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau.<br /> ­ Định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức.<br /> * Định nghĩa<br /> <br /> <br /> <br /> GV: Hoàng Thị Nguyệt 4 Trường THCS Lê Văn Tám<br />  Sáng kiến kinh nghiệm: 2017 – 2018<br /> Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7<br /> <br /> a c<br /> Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỷ số  =  (b,d   0)<br /> b d<br /> Các số hạng a và d được gọi là số hạng ngoại tỉ, b và c gọi là số hạng trung tỷ.<br /> * Tính chất<br /> Tính chất 1: (Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức)<br /> a c<br /> Nếu  =  (b, d   0) thì a.d=c.b<br /> b d<br /> Tính chất 2: (Tính chất hoán vị)<br /> a c a b d c d b<br /> Nếu a.d = b.c và a, b, c, d   0 thì ta có các tỉ lệ thức  = , = , = , =<br /> b d c d b a c a<br /> Nhận xét: Từ 1 trong 4 tỉ lệ thức trên ta suy ra được 3 tỉ lệ thức còn lại.<br /> ­  Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.<br /> a c a c a +c a −c<br /> + Từ tỷ lệ thức  =  ta suy ra  = = =  ( với b d, b ­d)<br /> b d b d b+d b−d<br /> a c e a+c+e a −c +e<br /> + Mở  rộng từ  dãy tỉ  số  bằng nhau  = = = = = ... (Giả <br /> b d f b+d + f b−d + f<br /> thiết các tỷ số đều có nghĩa)<br /> ­  Chú ý.<br /> a b c<br /> Khi có dãy tỉ  số   = = ta nói các số  a, b, c tỉ  lệ với các số  2; 3; 4 ta  <br /> 2 3 4<br /> cũng có thể viết a : b : c = 2 : 3 : 4<br /> Vì tỉ  lệ  thức là một đẳng thức nên có tính chất của đẳng thức, từ  tỉ  lệ  thức  <br /> 2 2<br /> a c a c a c a c ka k c<br /> =  suy ra:  = = . ;k. = k . ; 1 = 2 ( k1, k2 0)<br /> b d b d b d b d k1b k 2d<br /> 3 3 3 2<br /> a c e a c e a c e a c e<br /> Từ  = =  suy ra = = = . . ;  = .<br /> b d f b d f b d f b d f<br /> <br /> Sau khi học sinh đã nắm chắc lý thuyết thì việc vận dụng lý thuyết vào <br /> giải bài tập là vô cùng quan trọng. Do vậy người giáo viên không chỉ đơn thuần <br /> <br /> <br /> <br /> GV: Hoàng Thị Nguyệt 5 Trường THCS Lê Văn Tám<br />  Sáng kiến kinh nghiệm: 2017 – 2018<br /> Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7<br /> <br /> cung cấp lời giải mà quan trọng hơn là dạy cho các em biết suy nghĩ, tìm ra con <br /> đường hợp lý để  giải bài toán. Tuy nhiên khi giải bài tập dạng này tôi không <br /> muốn dừng lại  ở những bài tập SGK, SBT mà tôi muốn giới thiệu thêm một số <br /> bài tập điển hình, bài tập nâng cao và giải những bài tập đó.<br /> +   Các dạng bài tập<br /> Thông qua việc giảng dạy học sinh sau khi học xong tính chất của tỉ  lệ <br /> thức, tôi cho học sinh cũng cố  để  nắm vững và hiểu sâu, khắc sâu về  các tính  <br /> chất cơ  bản, tính chất nở  rộng của tỉ  lệ  thức, của dãy tỉ  số  bằng nhau. Sau đó <br /> cho học sinh làm thêm các bài tập cùng loại để tìm ra một định hướng, quy luật  <br /> nào đó để  làm cơ  sở  cho việc chọn lời giải, có thể  minh họa điều đó bằng các  <br /> dạng toán, bằng các bài toán từ đơn giản đến phức tạp sau đây.<br /> <br /> <br /> Dạng 1<br /> Lập tỉ lệ thức từ các tỉ số đẳng thức, tỉ lệ thức hoặc từ <br /> các số cho trước.<br /> a) Phương pháp giải<br /> + Nếu có các tỉ số cho trước thì tìm xem các tỉ số nào bằng nhau trong các <br /> tỉ số đã cho.<br /> + Nếu có các đẳng thức thì vận dụng tính chất 2 để lập tỉ lệ thức.<br /> + Nếu có 1 tỉ  lệ  thức chúng ta có thể  lập thêm ba tỉ  lệ  thức nữa, bằng  <br /> cách:<br /> ­ Giữ nguyên ngoại tỉ đổi chỗ trung tỉ<br /> ­ Giữ nguyên trung tỉ đổi chỗ ngoại tỉ<br /> ­ Đổi chỗ các ngoại tỉ với nhau, trung tỉ với nhau.<br /> + Nếu có các số hạng thì xem bốn số nào thỏa mãn đẳng thức dạng a.d = <br /> b.c rồi từ đó lập các tỉ lệ thức.<br /> b) Bài tập<br /> Bài toán 1: Các tỉ số sau đây có lập thành các tỉ lệ thức hay không?<br /> <br /> <br /> <br /> GV: Hoàng Thị Nguyệt 6 Trường THCS Lê Văn Tám<br />  Sáng kiến kinh nghiệm: 2017 – 2018<br /> Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7<br /> <br /> a) 0,5 : 15 và 0,15 : 50                            b)  0,3 : 2,7 và 1,71 : 15,39<br /> Giải:<br /> 0,5 1 0,15 3<br /> a) Ta có: 0,5 : 15 =  =    và    0,15 : 50 =  =<br /> 15 30 50 1000<br /> 3 1<br /> Vì   nên các tỉ số  0,5 : 15  và 0,15 : 50   không lập thành tỉ lệ thức<br /> 1000 30<br /> 0,3 1 1, 71 1<br /> b) Ta có: 0,3 : 2,7 = =     và   1,71 : 15,39  =  =<br /> 2, 7 9 15,39 9<br /> Suy ra: 0,3 : 2,7 = 1,71 : 15,39<br /> Vậy  0,3 : 2,7 và 1,71 : 15,39  lập thành tỉ lệ thức.<br /> Bài toán 2: Hãy lập tất cả tỉ lệ thức có thể lập được từ các số sau:<br /> a) 0,16;  0,32;  0,4;  0,8              b) 1; 2; 4; 8<br /> Giải<br /> (Hướng dẫn học sinh sử dụng tính chất 2)<br /> a) Ta có: 0,16 . 0,8 = 0,32 . 0,4 ( = 0,128)<br /> Suy ra ta lập được các tỉ lệ thức sau:<br /> 0,16 0, 4 0,16 0, 32 0,32 0,8 0, 4 0,8<br /> =    ;    =   ;    =     ;     =<br /> 0,32 0,8 0, 4 0,8 0,16 0, 4 0,16 0, 32<br /> b) Tương tự ta có: 1. 8 = 2. 4(= 8)<br /> 1 4 1 2 2 8 4 8<br /> Suy ra ta lập được các tỉ lệ thức sau:  = ;      = ;      = ;      =<br /> 2 8 4 8 1 4 1 2<br /> Bài tập áp dụng :<br /> Bài 1: Trong các tỉ số sau, hãy chọn các tỉ số thích hợp để lập thành một tỉ <br /> lệ thức:<br /> 10 :15; 16 : ( −4); 14 : 21; −5 :15; 12 : ( −3);<br />  <br /> −12 : 3, 6<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> GV: Hoàng Thị Nguyệt 7 Trường THCS Lê Văn Tám<br />  Sáng kiến kinh nghiệm: 2017 – 2018<br /> Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7<br /> <br /> Bài 2: Có thể lập được một tỉ lệ thức từ 4 số trong các số sau không (mỗi <br /> số chọn một lần). Nếu có lập được bao nhiêu tỉ lệ thức ?<br /> a) 3; 4 ;5 ;6 ;7                   b) 1; 2; 4; 8; 16          c) 1; 3; 9; 27; 81; 243.<br /> <br /> <br /> <br /> Dạng 2<br /> Tìm số hạng chưa biết<br /> a) Tìm một số hạng chưa biết của một tỉ lệ thức.<br /> * Phương pháp.<br /> Áp dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức<br /> a c b.c a.d a.d<br /> Nếu  = a.d = b.c a= ;b = ;c =<br /> b d d c b<br /> Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích của hai trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết.<br /> Muốn tìm trung tỉ chưa biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết.<br />  Bài tập<br /> Bài tập 1 (Bài 42 SGK/Tr26)<br /> Tìm x trong tỉ lệ thức sau: ­0,52 : x = ­9,36 : 16,38<br /> (Bài toán dạng này các em có thể sử dụng kiến thức tìm 1 số hạng khi biết <br /> b.c b.c a.d a.d<br /> 3 trong số 4 số hạng của tỉ lệ thức:   a = ;d = ;b = ;c = )<br /> d a c b<br /> Giải<br /> ­0,52 : x = ­ 9,36 : 16,38<br /> Suy ra:<br /> x. ( −9, 36 ) =−0,52.16, 38<br />             −0, 52.16, 38<br /> x= = 0,91<br /> −9, 36<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> GV: Hoàng Thị Nguyệt 8 Trường THCS Lê Văn Tám<br />  Sáng kiến kinh nghiệm: 2017 – 2018<br /> Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7<br /> <br /> Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia ta có thể nâng mức độ khó hơn  <br /> như sau:<br /> 1 2 3 2<br /> a, .x : =1 :<br /> 3 3 4 5<br /> 1 2<br /> b, 0, 2 :1 = : (6 x +7)<br /> 5 3<br /> (hướng dẫn cho học sinh có thể  đưa tỉ  lệ  thức trên về  dạng đơn giản rồi tìm x <br /> như bài tập trên)<br /> Bài tập 2 (Bài 69a SBT/Tr20)<br /> x −60<br /> Tìm x biết:  =<br /> −15 x<br /> (Bài toán này ta thấy có 2 số hạng chưa biết trong 4 số hạng của tỉ lệ thức  <br /> nhưng có điểm đặc biệt là hai số hạng chưa biết này giống nhau và cùng ở một <br /> vị trí là cùng ngoại tỉ nên ta đưa về dạng luỹ thừa bậc hai).<br /> Giải<br /> x −60<br /> Ta có:  =  suy ra  x.x = −15.(−60) x 2 = 900 x 2 = 30 2<br /> −15 x<br /> <br /> (Đến đây học sinh thường đưa ra được giá trị x = 30 mà quên mất còn giá <br /> trị  x = ­30 cho nên giáo viên cần nhắc nhở  và nhấn mạnh cho học sinh để  khi <br /> gặp những trường hợp như thế này các em không còn quên nữa)<br /> Ta thấy trong tỉ  lệ  thức có hai số  hạng chưa biết nhưng hai số  hạng đó <br /> giống nhau nên ta đưa về  dạng lũy thừa bậc hai. Ta có thể  nâng cao bằng tỉ  lệ <br /> thức:<br /> Tìm x biết:<br /> x −1 −60<br /> a) =<br /> −15 x −1<br /> x −1 9<br /> b) =<br /> 7 x +1<br /> Ở câu a, b cần chú ý cho học sinh khi lũy thừa có số mũ chẵn<br /> <br /> <br /> <br /> GV: Hoàng Thị Nguyệt 9 Trường THCS Lê Văn Tám<br />  Sáng kiến kinh nghiệm: 2017 – 2018<br /> Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7<br /> <br /> x − 1 −60<br /> ( x − 1) ( x − 1)<br /> 2 2<br /> VD:  = = (−15).(−60) = 900<br /> −15 x − 1<br /> Hs thường sai lầm khi giải chỉ  suy ra x – 1 = 30 suy ra x = 31 mà quên mất  <br /> trường hợp x – 1 = ­30. Giáo viên cần phải hướng dẫn cho học sinh trong trường  <br /> hợp này phải đưa ra hai trường hợp x–1= 30 và x–1= ­30 từ  đó suy ra x = 31  <br /> hoặc x = ­29.<br /> x −3 5<br /> Bài tập 3: Tìm x trong tỉ lệ thức  =<br /> 5 −x 7<br /> (Ở bài toán này ta có nhiều cách để giải quyết bài toán cho nên khi giải giáo viên  <br /> hướng dẫn và cho học sinh làm theo nhiêu cách khác nhau)<br />       Cách 1: Lấy tích trung tỉ bằng tích ngoại tỉ rồi tính.<br /> Giải<br /> x −3 5<br /> T ừ  =  suy ra<br /> 5 −x 7<br /> ( x −3).7 =(5 −x ).5<br /> 7 x −21 =25 −5 x<br />   12 x =46<br /> 5<br /> x =3<br /> 6<br /> Cách 2: Biến đổi rồi áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:<br /> Giải<br /> x −3 5 x −3 5 − x<br /> T ừ  =  suy ra  =<br /> 5 −x 7 5 7<br /> Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:<br /> x −3 5 − x x −3 + 5 − x 2 1<br /> = = = =<br /> 5 7 5 +7 12 6<br /> x −3 1 5 5<br /> = 6( x − 3) = 5 x −3 = x =3<br /> 5 6 6 6<br /> b) Tìm nhiều số hạng chưa biết:<br /> <br /> <br /> <br /> GV: Hoàng Thị Nguyệt 10 Trường THCS Lê Văn Tám<br />  Sáng kiến kinh nghiệm: 2017 – 2018<br /> Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7<br /> <br /> +) Xét bài toán cơ bản thường gặp sau:<br /> x y z<br /> Tìm các số x, y, z thỏa mản  = =  (1) và  x + y + z = d (2)<br /> a b c<br /> (Trong đó a, b, c, a + b + c   0 và a, b, c là các số cho trước)<br /> Cách giải:<br /> Cách 1: Đặt ẩn phụ.<br /> x y z<br /> Đặt   = = = k<br /> a b c<br /> x = k .a; y = k .b; z = k .c  thay vào (2) ta có:<br /> k.a + k.b + k.c = d<br />  k.(a + b + c) = d<br /> d<br />  k = <br /> a +b +c<br /> a.d b.d c.d<br /> Từ đó tìm được  x = ;y = ;z =<br /> a +b +c a +b +c a +b +c<br />      Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.<br /> Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:<br /> x y z x +y +z d<br /> = = = =<br /> a b c a +b +c a +b +c<br /> a.d b.d c.d<br /> x= ;y= ;z =<br /> a +b + c a +b + c a +b + c<br /> * Hướng khai thác từ bài toán trên như sau:<br /> ­ Giữ nguyên điều kiện (1) và thay đổi điều kiện (2) như sau:<br /> +k1 x +k 2 y +k3 z =e<br /> +k1 x 2 +k 2 y 2 +k3 z 2 = f<br /> +x. y.z = g<br /> ­ Giữ nguyên điều kiện (2) và thay đổi điều kiện (1) như sau:<br /> <br /> <br /> GV: Hoàng Thị Nguyệt 11 Trường THCS Lê Văn Tám<br />  Sáng kiến kinh nghiệm: 2017 – 2018<br /> Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7<br /> <br /> x y y z<br /> + = ; =<br /> a1 a2 a3 a4<br /> +a2 x =a1 y; a4 y =a3 z<br /> +b1 x =b2 y =b3 z<br /> b x −b3 z b y −b1 x b z −b2 y<br /> + 1 = 2 = 3<br /> a1 a2 a3<br /> <br /> * Bài tập:<br /> Bài tập 1: Tìm x, y biết:<br /> x y<br /> a)  =  và  x. y =90<br /> 2 5<br /> x y<br /> b)  =  và  x. y = 252<br /> 7 9<br /> x y<br /> c)  =  và  x 2 − y2 = 4<br /> 5 3<br /> Giải:<br /> Khởi điểm bài toán đi từ  đâu, nếu đi từ  tính chất cơ  bản thì nên đi theo  <br /> tính chất nào? Nếu đi từ  định nghĩa thì nên làm như  thế  nào? Học sinh thường  <br /> mắc sai lầm như sau:<br /> x y x. y 90<br /> = = = =9<br /> 2 5 2.5 10<br /> x = 2.9 =18<br /> y =5.9 =45<br /> Tôi đã yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan và hướng <br /> cho các em các hướng giải quyết.<br /> Cách 1:<br /> Dùng phương pháp tính giá trị  của dãy số  để  tính. Đó là hình thức hệ <br /> thống hóa, khái quát hóa về kiến thức (Vận dụng theo cách 1. Đặt ẩn phụ đã nêu <br /> trên) và học sinh đã có lời giải phù hợp.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> GV: Hoàng Thị Nguyệt 12 Trường THCS Lê Văn Tám<br />  Sáng kiến kinh nghiệm: 2017 – 2018<br /> Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7<br /> <br /> x y x = 2k<br /> Đặt  = =k<br /> 2 5 y = 5k<br /> <br /> Mà  x. y =90<br /> 2k .5k =90<br /> 10k 2 =90<br /> k =3<br /> k 2 =9<br /> k =−3<br /> <br /> ­ Với:<br /> k =3 x = 2.3 = 6<br /> y = 5.3 =15<br /> ­ Với:<br /> k = −3 x = 2.(−3) = −6<br /> y = 5.( −3) = −15<br /> <br /> Vậy  ( x; y ) = ( 6;15 ) ; ( x; y ) = ( −6; −15 )<br /> <br /> Cách 2:<br /> Khái quát hóa toàn bộ  tính chất của tỉ  lệ  thức, có tính chất nào liên quan <br /> đến tích các tỉ số  với nhau và học sinh đã chọn lời giải theo hướng thứ hai như <br /> sau:<br /> 2 2<br /> x y x y x. y<br /> Ta có: Ta có:  = = =  (tính chất mở rộng của tỉ lệ thức)<br /> 2 5 2 5 2.5<br /> <br /> x2 y2 x. y 90<br /> = = = =9<br /> 4 25 2.5 10<br /> x2<br /> =9 x 2 = 36 x= 6<br /> 4 Vậy <br /> 2<br /> y<br /> =9 y 2 = 225 y = 15 ( x; y ) = ( 6;15 ) ; ( x; y ) = ( −6; −15 )<br /> 25<br /> Qua việc khái quát hóa, hệ thống hóa. Các em đã vận dụng tốt nó để  làm <br /> các phần b, c, d.<br /> <br /> <br /> GV: Hoàng Thị Nguyệt 13 Trường THCS Lê Văn Tám<br />  Sáng kiến kinh nghiệm: 2017 – 2018<br /> Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7<br /> <br /> Bài tập 2:<br /> x y z<br /> Tìm 3 số x, y, z biết  = =  và x + y + z = 27<br /> 2 3 4<br /> <br /> (Bài này giáo viên nên cho 2 học sinh lên làm theo hai cách)<br /> Giải:<br /> Cách 1: Đặt ẩn phụ.<br /> x y z<br /> Đặt  = = = k<br /> 2 3 4<br />  x = 2k ; y = 3k ; z = 4k<br /> Từ x + y + z = 27 suy ra 2k + 3k + 4k = 27   9k = 27   k = 3<br /> Khi đó x = 6; y = 9; z = 12<br /> Vậy x = 6; y = 9; z = 12<br /> Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau<br /> Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:<br /> x y z x + y +z 27<br /> = = = = =3<br /> 2 3 4 2 +3 +4 9<br /> x = 2.3 =6; y =3.3 =9; z = 4.3 =12<br /> <br /> Từ bài toán trên ta có thể thành lập các bài toán sau:<br /> x y z<br /> Bài tập 3: Tìm 3 số x, y, z biết   = = và 2x + 3y – 5z = ­21<br /> 2 3 4<br /> (Ở bài toán này hệ số trước các biến ở điều kiện 2 không cùng với hệ số <br /> của các biến  ở điều kiện 1 nữa cho nên khi học sinh giải theo cách 2 phải biến <br /> đổi điều kiện 1 sao cho hệ số của các biến ở điều kiện 1 cùng với hệ số của các <br /> biến ở điều kiện 2 rồi mới áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.)<br /> Giải:<br /> Cách 1:  Đặt ẩn phụ.<br /> x y z<br /> = =  = k<br /> 2 3 4<br /> <br /> <br /> GV: Hoàng Thị Nguyệt 14 Trường THCS Lê Văn Tám<br />  Sáng kiến kinh nghiệm: 2017 – 2018<br /> Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7<br /> <br /> Cách 2: Biến đổi rồi áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.<br /> x y z 2x 3y 5z<br /> Từ  = =  suy ra  = =<br /> 2 3 4 4 9 20<br /> Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:<br /> 2x 3y 5z 2 x +3 y −5 z −21<br /> = = = = =3<br /> 4 9 20 4 +9 −20 −7<br /> x = 6; y = 9; z =12<br /> <br /> Vậy x = 6, y = 9, z = 12 hoặc x = ­6, y = ­9, z = ­12<br /> Bài tập 4<br /> x y z<br /> Tìm 3 số x, y, z biết  = =  và x.y.z = 648<br /> 2 3 4<br /> Chú ý:  Ở  dạng bài tập này tương tự  bài tập 1 nhưng nó khó hơn là đưa <br /> thêm một tỉ  số. Giáo viên cũng phải chú ý cho học sinh  ở  điều kiện 2, trong <br /> x y x. y<br /> trường   hợp   này   đa   số   học   sinh   hay   áp   dụng   tương   tự = =     hay <br /> a b a.b<br /> x y z x. y.z<br /> = = =  cho nên dẫn đến việc giải bài toán bị sai.<br /> a b c a.b.c<br /> <br /> Đa số các em hay giải bài toán này như sau:<br /> x y z x. y.z 648<br /> = = = = =27<br /> 2 3 4 2.3.4 24<br /> Suy ra: x = 54, y = 81, z = 108<br /> Cho nên khi giải bài toán dạng này giáo viên cần phải nhấn mạnh, nhắc rõ <br /> a c a + c a −c a.c<br /> tính chất của dãy tỉ  số  bằng nhau cho các em.  = = =  Để <br /> b d b +d b −d b.d<br /> các em khi gặp các bài toán dạng này khỏi bị mắc sai lầm.<br /> Giải bài toán này có 2 cách thực hiện.<br /> Cách 1: Đặt ẩn phụ<br /> x y z<br /> Đặt:   = =  = k<br /> 2 3 4<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> GV: Hoàng Thị Nguyệt 15 Trường THCS Lê Văn Tám<br />  Sáng kiến kinh nghiệm: 2017 – 2018<br /> Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7<br /> <br /> Cách 2: Biến đổi điều kiện (1)<br /> x y z<br /> T ừ  = =<br /> 2 3 4<br /> 3<br /> x x y z 648<br /> = . . = =27<br /> 2 2 3 4 24<br /> x3<br /> =27 x 3 =216 x =6<br /> 8<br /> <br /> Từ đó tìm được y = 9, z = 12<br /> Bài tập 5<br /> Tìm x, y, z biết 3x = 2y; 4x = 2z và x + y + z = 27<br /> (Bài tập dạng này ở điều kiện 1 là 2 tỉ lệ thức chứ không phải 1 tỉ lệ thức  <br /> nên gặp dạng này các em thường khó xử lý và nhiều em không biết cách làm nên  <br /> khi dạy giáo viên phải phân tích rõ bài toán cho các em. Ở đẳng thức thứ nhất và <br /> thứ đều có biến x nên yêu cầu các em phải phân tích và đưa hai đẳng thức về hai <br /> x<br /> tỉ lệ thức sao cho nó đều có   )<br /> a<br /> <br /> Giải<br /> x y<br /> Từ 3x = 2y  =<br /> 2 3<br /> x z<br /> Từ 4x = 2z  =<br /> 2 4<br /> x y z<br /> Suy ra  = =  sau đó giải tiếp như bài tập 1<br /> 2 3 4<br /> Bài tập 6: Tìm x, y, z biết :<br /> a) 3x = 5y = 8z và x + y + z = 158<br /> b) 2x = 3y; 5y = 7z và 3x + 5z ­ 7y = 60<br /> c) 2x = 3y = 5z và x + y ­ z = 95<br /> Giải:<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> GV: Hoàng Thị Nguyệt 16 Trường THCS Lê Văn Tám<br />  Sáng kiến kinh nghiệm: 2017 – 2018<br /> Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7<br /> <br /> Đối với bài toán 6 có vẽ  khác lạ  hơn so với các bài toán trên. Song tôi đã  <br /> nhá các em lưu ý đến sự thành lập tỉ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích hoặc đến  <br /> tính chất của đẳng thức. Từ  đó các en có hướng giải và chọn lời giải cho phù <br /> hợp.<br /> Cách 1: Dựa vào sự thành lập tỉ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích ta có lời  <br /> giải sau:<br /> x y x 1 y 1 x y<br /> Ta có: 3x = 5y    . . hay<br /> 5 3 5 8 3 8 40 24<br /> <br /> y z y 1 z 1 y z<br /> 5y = 8z    . . hay<br /> 8 5 8 3 5 3 24 15<br /> x y z x y z 158<br />   2<br /> 40 24 15 40 24 15 79<br />  x = 40 . 2 = 80<br /> y = 24 . 2 = 48<br /> z = 15 . 2 = 30<br /> Vậy x = 80; y = 48; z = 30<br /> Cách 2: Dựa vào tính chất phép nhân của đẳng thức. Các em đã biết tìm  <br /> bội số chung nhỏ nhất của 3; 5; 8. Từ đó các em có lời giải bài toán như sau:<br /> Ta có: BCNN (3; 5; 8) = 120<br /> 1 1 1<br /> Từ 3x = 5y = 8z   3x. 5y. 8z.<br /> 120 120 120<br /> x y z x + y +z 158<br /> Hay  = = = = =2  <br /> 40 24 15 40 +24 +15 79<br />  x = 40 . 2 = 80<br /> y = 24 . 2 = 48<br /> z = 15 . 2 = 30<br /> Vậy x = 80; y = 48; z = 30<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> GV: Hoàng Thị Nguyệt 17 Trường THCS Lê Văn Tám<br />  Sáng kiến kinh nghiệm: 2017 – 2018<br /> Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7<br /> <br /> Cách 3: Tôi đã đặt vấn đề: Hãy viết tích giữa hai số  thành một thương. <br /> Điều đó đã hướng ra cho các em tìm ra cách giải sau :<br /> x y z<br /> = =<br /> Từ  3x = 5y = 8z    1 1 1<br /> 3 5 8<br /> Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:<br /> x y z x y z 158<br /> 240<br /> 1 1 1 1 1 1 79<br /> 3 5 8 3 5 8 120<br /> 1<br />  x =  .240 80<br /> 3<br /> 1<br /> y =  .240 48<br /> 5<br /> 1<br /> z =  .240 30<br /> 8<br /> Vậy x = 80; y = 48; z = 30<br /> Qua ba hướng giải trên, đã giúp các em có công cụ  để  giải bài toán và từ <br /> đó các em sẽ lựa chọn lời giải nào phù hợp, dễ hiểu, logic. Cũng từ đó giúp các <br /> em phát huy thêm hướng giải khác và vận dụng để giải các phần b và c.<br /> Để  giải được phần b thì yêu cầu cac em phải có tư  duy một chút để  tạo  <br /> nên tích trung gian như sau:<br /> + Từ 2x = 3y   2x.5 = 3y.5 hay 10x = 15y          (1)<br /> + Từ 5y = 7z   5y.3 = 7z.3 hay 15y = 21z           (2)<br /> Từ (1) và(2) ta có: 10x = 15y = 21z<br /> x y z 3x 5z 7y 60<br /> 840<br /> 1 1 1 1 1 1 15<br /> 3. 5. 7.<br /> 10 15 21 10 21 15 210<br /> 1<br />  x =  .840 84<br /> 10<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> GV: Hoàng Thị Nguyệt 18 Trường THCS Lê Văn Tám<br />  Sáng kiến kinh nghiệm: 2017 – 2018<br /> Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7<br /> <br /> 1<br /> y =  .840 56<br /> 15<br /> 1<br /> z =  .840 40<br /> 21<br /> Vậy  x = 84; y = 56; z = 40.<br /> Kết quả thu được: Các em đã tìm được ra hướng giải và tự lấy được ví dụ <br /> về dạng toán này.<br /> Bài tập 7: Tìm x, y, z biết<br /> x 1 y 2 z 2<br /> a)  vµ x 2y z 12<br /> 5 3 2<br /> x 1 y 2 z 3<br /> b)  vµ2x 3y z 50<br /> 2 3 4<br />  Để  tìm được lời giải của bài toán này tôi cho các em nhận xét xem làm <br /> thế nào để xuất hiện được tổng x + 2y – z = 12 hoặc 2x + 3y – z = 50 hoặc 2x +  <br /> 3y – 5z  = 10.<br /> Với phương  pháp phân tích, hệ thống hóa đã giúp các em nhận ra ngay và <br /> có hướng đi cụ thể.<br /> Cách 1: Dựa vào tính chất của phân số  và tính chất của dãy tỉ  số  bằng <br /> nhau ta có lời giải như sau:<br /> x −1 y − 2 z − 2 2( y − 2) 2 y − 4<br /> a) Ta có:  = = = =<br /> 5 3 2 2.3 6<br /> Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: <br /> x −1 2 y − 4 z − 2 x −1 + 2 y − 4 − ( z − 2) x + 2 y − z − 3 12 − 3<br /> = = = = = =1<br /> 5 6 2 5 +6 −2 9 9<br />  x ­ 1 = 5  x = 6<br /> y ­ 2 = 3  y = 5<br /> z ­ 2 = 2  z =4<br /> Cách 2 : Đặt ẩn phụ.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> GV: Hoàng Thị Nguyệt 19 Trường THCS Lê Văn Tám<br />  Sáng kiến kinh nghiệm: 2017 – 2018<br /> Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7<br /> <br /> x 1 y 2 z 2<br /> Đặt:  k<br /> 5 3 2<br /> x ­ 1 = 5k   x = 5k + 1<br /> y ­ 2 = 3k   y = 3k + 2<br /> z ­ 2 = 2k  z = 2k + 2<br /> Ta có: x + 2y ­ z = 12   2k + 1 + 2(3k + 2) ­  (2k  + 2) = 12<br /> 9k + 3 = 12<br /> k = 1<br /> Vậy  x = 5.1 + 1 = 6<br /> y = 3.1 + 2 = 5<br /> z = 2.1 + 2 = 4<br /> Với các phương pháp cụ  thể  của từng hướng đi các em đã vận dụng để <br /> giải câu b và c của bài toán.<br />  Bài tập 8:    Tìm x, y, z biết rằng :<br /> <br /> y z 1 x z 2 x y 3 1<br /> x y z x y z<br /> Đối với bài toán này hơi khác lạ  so với những bài toán trước. Vậy ta sẽ <br /> phải khởi đầu từ đâu? Đi từ kiến thức nào? Điều đó yêu cầu các em phải tư duy  <br /> chọn lọc để xuất hiện x + y + z. Tôi đã gợi ý cho các em đi từ ba tỉ số đầu tiên  <br /> để xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau và đã có lời giải như sau:<br /> Giải<br /> Điều kiện : x, y, z   0 và x + y + z   0<br /> Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:<br /> y + z + 1 x + z + 2 x + y − 3 y + z + 1 + x + z + 2 + x + y − 3 2( x + y + z )<br /> = = = = =2<br /> x y z x+ y+ z x+ y+ z<br /> 1 1<br /> Suy ra :  2  x + y + z =  0,5<br /> x y z 2<br /> <br /> <br /> <br /> GV: Hoàng Thị Nguyệt 20 Trường THCS Lê Văn Tám<br />  Sáng kiến kinh nghiệm: 2017 – 2018<br /> Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7<br /> <br /> x + y = 0,5 ­ z<br /> y + z = 0,5 ­ x<br /> x + z = 0,5 ­ y<br /> Thay các giá trị vừa tìm  được của x, y, z vào tỉ số trên ta có:<br /> y + z +1 0,5 − x + 1<br /> +) =2 =2<br /> x x<br />   0,5 ­ x + 1 = 2x<br />  1,5 = 3x<br />  x = 0,5<br /> x+ z+2 0,5 − y + 2<br /> +)  =2<br /> y y<br />  2,5 ­ y = 2y<br />  2,5 = 3y<br /> 5<br />  y = <br /> 6<br /> x+ y−3 0,5 − z − 3<br /> +)  =2 =2<br /> z z<br />  ­2,5 ­ z = 2z<br />  ­2,5 = 3z<br /> 5<br />  z = <br /> 6<br /> 5 5<br /> Vậy (x; y; z) = ( 0,5;  ; ­ )<br /> 6 6<br /> <br /> Bài tập vận dụng.<br /> Bài 1 : Tìm x, y, x biết :<br /> <br /> x y z x y y z<br /> a)   với  5 x y 2 z 28        b)   ,   với  2 x 3 y z 124<br /> 10 6 21 3 4 5 7<br /> <br /> <br /> GV: Hoàng Thị Nguyệt 21 Trường THCS Lê Văn Tám<br />  Sáng kiến kinh nghiệm: 2017 – 2018<br /> Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7<br /> <br /> x y x y z<br /> e)   với  x 2 y2 4                       f)  x y z<br /> 5 3 y z 1 z x 1 x y 2<br /> Bài 2 : Tìm các số x, y, x biết :<br /> x 1 y 2 z 3<br /> a)  3x 2 y , 7 y 5 z  với  x y z 32       b)     với  2 x 3 y z 50<br /> 2 3 4<br /> <br /> <br /> <br /> Dạng 3:<br /> Chứng minh đẳng thức khi biết một tỉ lệ thức<br /> (hoặc một dãy tỉ số bằng nhau) cho trước<br /> 1. Phương pháp<br /> Việc hệ  thống hóa, khái quát hóa các kiến thức của tỉ  lệ  thức còn có vai  <br /> trò rất quan trọng trong việc chứng minh tỉ lệ thức, với hệ thống các bài tập đơn <br /> giản đến phức tạp, từ cụ thể cơ bản đến trừu tượng, mở rộng đã cho các em rất  <br /> nhiều hướng để giải quyết tốt yêu cầu bài toán.<br /> a c<br /> Để chứng minh tỉ lệ thức  =   ta có các phương pháp sau:<br /> b d<br /> Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng a.d = b.c<br /> a c<br /> Phương pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỉ số   =  có cùng 1 giá trị nếu trong đề <br /> b d<br /> bài đã cho trước 1 tỉ lệ thức, ta đặt giá trị chung của các tỉ số tỉ lệ thức đã cho là <br /> k từ đó tính giá trị của mỗi tỉ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k<br /> Phương pháp 3:  Dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỉ  số  bằng  <br /> nhau, tính chất của đẳng thức biến đổi tỉ số  ở vế trái (của tỉ lệ thức cần chứng  <br /> minh) thành vế phải.<br /> Phương pháp 4:  Dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỉ  số  bằng  <br /> nhau, tính chất của đẳng thức để  từ  tỉ  lệ  thức đã cho biến đổi thành tỉ  lệ  thức <br /> phải chứng minh.<br /> <br /> <br /> <br /> GV: Hoàng Thị Nguyệt 22 Trường THCS Lê Văn Tám<br />  Sáng kiến kinh nghiệm: 2017 – 2018<br /> Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7<br /> <br /> 1. Bài tập.<br /> a c<br /> Bài tập 1: Cho tỉ lệ thức  = 1  Với  a, b, c, d  0<br /> b d<br /> a −b c −d<br /> Chứng minh:  =  <br /> a c<br /> Giải<br /> Cách 1:<br /> a c<br /> = a.d =b.c<br /> b d<br /> Xét tích  ( a −b) c = a.c −b.c  <br /> <br /> Thay  b.c = a.d (a −b)c = a.c −a.d = (c −d )a    <br /> a −b c − d<br /> Vậy  (a − b)c = (c − d ) a =  <br /> a c<br /> a −b c −d<br /> Như   vậy   để   chứng   minh:   =   ta   phải   có   đẳng   thức <br /> a c<br /> ( a − b )c = ( c − d ) a .<br /> a c<br /> Cách 2: Đặt  = =k a = b.k ; c = d .k  <br /> b d<br /> a − b b.k − b b(k −1) k −1<br /> Xét  = = =  (1)<br /> a b.k b.k k<br /> c − d d .k − d d (k −1) k −1<br /> Và  = = =  (2)<br /> c d .k d .k k<br /> a −b c − d<br /> Từ (1) và (2)  =  <br /> a c<br /> a b c d<br /> Trong cách này ta chứng minh tỉ số    nhờ tỉ số thứ ba. Để <br /> a c<br /> có tỉ số thứ ba ta đặt giá trị số đã cho bằng giá trị k. Từ đó tính giá trị của một số <br /> hạng theo k.<br /> <br /> <br /> <br /> GV: Hoàng Thị Nguyệt 23 Trường THCS Lê Văn Tám<br />  Sáng kiến kinh nghiệm: 2017 – 2018<br /> Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7<br /> <br /> a c a b<br /> Cách 3: Từ tỉ số <br /> b d c d<br /> Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:<br /> a b a b a a b c d a b a b c d<br />  hay <br /> c d c d c c d c a a c<br /> Trong cách này sử dụng hoán vị trung tỉ rồi áp dụng tính chat của dãy tỉ số bằng  <br /> nhau rồi hoán vị ngoại tỉ một lần nữa.<br /> <br /> a2 b2 ab<br /> Bài tập 2: Cho tỉ lệ thức  2  với  a, b, c, d 0  và  c d <br /> c d2 cd<br /> a c a d<br /> Chứng minh:   hoặc <br /> b d b c<br /> Giải<br /> Đối với bài toán nàytôi phải phân tích cho học sinh ôn lại về lũy thừavà <br /> kiến thức về tính chất mở rộng của tỉ lệ thứcđể các em dễ nhận biết, dễ trình <br /> bày hơn. Tôi đã nhấn mạnh lại các công thức:<br /> 2 2<br /> a c a c a.c<br /> Nếu = = =  <br /> b d b d b.d<br /> Cách 1: Ta sử dụng cách biến đổi:<br /> <br /> a2 b2 ab a 2 +b 2 ab<br /> Vì  2   nên   2 − =0<br /> c d2 cd c +d 2<br /> cd<br /> <br /> (a 2 b 2 )cd ab (c 2 d2)<br /> 0<br /> (c 2 d 2 )cd<br /> a 2 cd b 2 cd c 2 ab d 2 ab<br /> 0<br /> (c 2 d 2 )cd<br /> ( a 2 cd c 2 ab) ( d 2 ab b 2 cd ) 0<br /> ac ( ad bc ) db( da bc ) 0<br /> ( ad bc )(ac db) 0<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> GV: Hoàng Thị Nguyệt 24 Trường THCS Lê Văn Tám<br />  Sáng kiến kinh nghiệm: 2017 – 2018<br /> Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7<br /> <br /> a c<br /> ad −bc = 0 ad = bc =<br /> b d<br /> a d<br /> ac −bd = 0 ac = bd =<br /> b c<br /> <br /> a2 b2 ab a c a d<br /> Vậy  2  hoặc <br /> c d2 cd b d b c<br /> <br /> a2 b2 ab a2 b2 2ab<br /> Cách 2:  Từ   2<br /> c d2 cd c2 d2 2cd<br /> Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :<br /> 2<br /> a 2 +b2 2ab a 2 + b 2 + 2ab ( a + b) 2 a +b<br /> = = = =        (1)<br /> c2 +d 2 2cd c 2 + d 2 + 2cd (c + d ) 2 c +d<br /> 2<br /> a 2 + b 2 2ab a 2 + b 2 − 2ab (a − b) 2 a −b<br /> và  2 = = 2 = =     (2)<br /> c +d 2<br /> 2cd c + d − 2cd (c − d )<br /> 2 2<br /> c −d<br /> 2 2<br /> a b a b<br /> Từ (1) và (2) <br /> c d c d<br /> a b a b<br /> ­ Xét trường hợp :      <br /> c d c d<br /> Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :<br /> <br /> <br /> a +b a + b + a −b 2a a <br /> = = =<br /> c +d c + d +c −d 2c c a b a c<br /> � = =<br /> a +b a +b − a +b 2b b c d b d<br /> = = =<br /> c +d c + d −c + d 2d d<br /> a b a b b a<br /> ­ Xét trường hợp :  <br /> c d c d c d<br /> Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> GV: Hoàng Thị Nguyệt 25 Trường THCS Lê Văn Tám<br />  Sáng kiến kinh nghiệm: 2017 – 2018<br /> Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7<br /> <br /> a + b b − a a + b + b − a 2b b <br /> = = = =<br /> c + d c − d c + d + c − d 2c c a b a d<br /> � = =<br /> a + b b − a a + b − b + a 2a a d c b c<br /> = = = =<br /> c + d c − d c + d − c + d 2d d<br /> Bài toán 3:  <br /> <br /> Cho 4 số  khác 0 là  a1 , a2 , a3 , a4  thỏa mãn  a2 2 = a1a3 ;a 3 2 = a2 a4    chứng <br /> <br /> a13 +a2 3 +a33 a<br /> tỏ rằng  = 1<br /> a2 +a3 +a4<br /> 3 3 3<br /> a1<br /> (Ở  bài này giáo viên nên hướng dẫn cho học sinh cách phân tích và biến  <br /> đổi diều kiện 2)<br /> Giải:<br /> Từ:<br /> a1 a<br /> a2 2 = a1a3 = 2 (1)<br /> a2 a3<br /> a2 a<br /> a 3 2 = a2 a4 = 3 (2)<br /> a3 a4<br /> <br /> a a a a13 a23 a33 a1 a2 a3 a1<br /> Từ (1), (2) suy ra  1 = 2 = 3 = = = . . = (3)<br /> a2 a3 a4 a23 a33 a4 3 a2 a3 a4 a4<br /> Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:<br /> <br /> a13 a2 3 a33 a13 + a2 3 + a33<br /> = = = (4)<br /> a23 a33 a43 a23 + a33 + a4 3<br /> <br /> a13 + a23 + a33 a1<br /> Từ (3), (4) suy ra   3 =<br /> a2 + a33 + a43 a1<br /> Ta cũng có thể chuyển bài tập 4 thành dạng sau:<br /> 3<br /> a1 a2 a3 a13 + a2 3 + a33 a1<br /> Cho  = =  chứng minh rằng   =<br /> a2 a3 a4 a2 3 + a33 + a43 a1<br /> <br /> <br /> GV: Hoàng Thị Nguyệt 26 Trường THCS Lê Văn Tám<br />  Sáng kiến kinh nghiệm: 2017 – 2018<br /> Đề tài: Kinh nghiệm dạy một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7<br /> <br /> ́ ơi dang nay ta s<br /> Đôi v ́ ̣ ̀ ử dung ph<br /> ̣ ương phap hai đăt ân phu k thi ta giai quyêt<br /> ́ ̣ ̉ ̣ ̀ ̉ ́ <br /> ̀ ́ ́ ̀ ́ ̉ ́ ̀ ̣ ̃ ̉ ơn va cac em lam nhanh<br /> gân hêt cac bai toan, giai theo cach nay hoc sinh dê hiêu h ̀ ́ ̀  <br /> hơn. Tuy nhiên đôi v<br /> ́ ơi hoc sinh kha gioi thi giao viên nên cung câp thêm nhiêu<br /> ́ ̣ ́ ̉ ̀ ́ ́ ̀ <br /> cach cho cac e.<br /> ́ ́<br /> Bài tập vận dụng:<br /> a c<br /> Bài 1: Cho tỉ  lệ  thức: . Chứng minh rằng ta có các tỉ  lệ  thức <br /> b d<br /> sau: (giả thiết các tỉ lệ thức sau đều có nghĩa)<br /> <br /> ab a 2 −b 2 a b c d<br /> a)