intTypePromotion=1

SKKN: Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng

Chia sẻ: Lê Thị Trà Giang | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:32

0
249
lượt xem
17
download

SKKN: Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài "Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng" với mục tiêu nhằm nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đồng thời vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để giải một số bài toán hay.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: SKKN: Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng

“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”<br /> <br /> MỤC LỤC<br /> <br /> PHẦN I: MỞ ĐẦU<br /> <br /> Mục Tên đề mục Trang<br /> 1 Lý do chọn đề tài 2<br /> <br /> 2 Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài 3<br /> <br /> 3 Đối tượng nghiên cứu 3<br /> <br /> 4 Phạm vi nghiên cứu 3<br /> <br /> 5 Phương pháp nghiên cứu 4<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> PHẦN II: NỘI DUNG<br /> <br /> Mục Tên đề mục Trang<br /> 1 Cơ sở lý luận để thực hiện đề tài 4<br /> <br /> 2 Thực trạng 4<br /> <br /> 3 Giải pháp, biện pháp, nội dung 7<br /> <br /> 4 Kết quả 27<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> PHẦN III: KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ<br /> <br /> Mục Tên đề mục Trang<br /> 1 Kết luận 28<br /> <br /> 2 Kiến nghị 28<br /> <br /> 3 Tài liệu tham khảo 30<br /> <br /> <br /> <br />  Dương Thị Kim Nhân 1         THCS Lê Đình Chinh<br /> “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> PHẦN I:   PHẦN MỞ ĐẦU<br /> 1. Lý do chọn đề tài:<br /> a)  Cơ  sở  lý luận:  Đại đa số  học sinh cấp hai không thích học môn hình học  <br /> chính vì vậy chất lượng môn hình học thấp kéo theo chất lượng môn Toán không cao. <br /> Đối với học sinh lớp 9 kỹ  năng chứng minh tứ  giác nội tiếp đường tròn là rất quan  <br /> trọng. Để chứng minh tứ giác nội tiếp đòi hỏi phải có kiến thức chắc chắn về quỹ tích <br /> cung chứa góc, quan hệ  giữa góc và đường tròn, định lý đảo về  tứ  giác nội tiếp, …. <br /> Đặc biệt phải biết hệ thống các kiến thức đó sau khi học xong chương III hình học 9 . <br /> b) Cơ sở thực tiễn: Trên thực tế ngoài cách chứng minh tứ giác nội tiếp rất cơ <br /> bản thể hiện  ở định lý đảo “Tứ  giác nội tiếp” Trang 88 SGK toán 9 tập 2 thì SGK đã  <br /> đặc biệt hoá, chia nhỏ  để  hình thành bốn dấu hiệu nhận biết tứ  giác nội tiếp. Tuy  <br /> nhiên chưa đặt các dấu hiệu thành một hệ thống phương pháp chứng minh tứ giác nội <br /> tiếp một đường tròn cho học sinh; nhiều học sinh không hiểu cơ sở của dấu hiệu. Dẫn  <br /> đến học sinh rất lúng túng khi tìm cách chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn.<br /> ­ Với học sinh lớp 9 đây là dạng toán mới lạ nhưng lại hết sức quan trọng giúp  <br /> học sinh nhìn nhận lại được các bài toán đã giải  ở  lớp 8 để  có cách giải hay cách lý  <br /> giải căn cứ khác. Đối với các em khi học các bài toán về đường tròn thì chuyên đề  tứ <br /> giác nội tiếp và những bài toán liên quan là rất quan trọng. Đóng vai trò là đơn vị kiến <br /> thức trọng tâm của nội dung Hình học lớp 9, mà đa số các em mới chỉ biết đến chứng <br /> minh một tứ  giác nội tiếp đường tròn là như  thế  nào, còn ít biết vận dụng phương <br /> pháp tứ giác nội tiếp để làm gì ? <br />       ­ Mặt khác ta biết rằng có nhiều phương pháp để chứng minh một tứ giác là nội  <br /> tiếp đường tròn. Khi biết một tứ giác nội tiếp đường tròn thì suy ra được góc trong ở <br /> một đỉnh bằng góc ngoài ở đỉnh đối diện với nó hay vận dụng các Định lý về mối liên  <br /> hệ giữa các loại góc của đường tròn để tìm ra những cặp góc bằng nhau. Với phương <br /> pháp tứ giác nội tiếp ta có thể vận dụng để giải một số bài toán hay và khó <br /> <br /> <br />  Dương Thị Kim Nhân 2         THCS Lê Đình Chinh<br /> “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”<br /> <br /> ­ Với lý do đó, tôi đã chọn đề  tài nghiên cứu cho mình là:“Một số  phương <br /> pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng” nhằm trước hết giải quyết <br /> khó khăn trong thực tế  giảng dạy của mình, của giáo viên trong trường, cũng mong  <br /> được trao đổi với các đồng nghiệp khác. Rất mong được sự đóng góp chân thành để đề <br /> tài được phát huy hiệu quả.<br /> <br /> <br /> 2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài:<br /> a) Mục tiêu: Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ các phương pháp <br /> chứng minh tứ giác nội tiếp đồng thời vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để giải  <br /> một số bài toán hay và khó như: <br /> + Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn.<br /> + Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định.<br /> + Chứng minh quan hệ giữa các đại lượng.<br /> + Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm.<br /> + Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình<br /> + Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm cực trị…<br /> ­ Ngoài ra còn góp phần nâng cao chất lượng bộ  môn toán  ở  trường THCS, giúp học <br /> sinh lớp 9 giải được các bài toán về tứ giác nội tiếp từ cơ bản đến nâng cao..<br /> ­ Chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm về một số  phương pháp chứng minh tứ  giác  <br /> nội tiếp<br /> ­ Bản thân rèn luyện chuyên môn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm<br /> Như  vậy, giáo viên có thể  giúp học sinh nắm vững, khai thác sâu, đầy đủ  một <br /> cách có hệ thống đơn vị kiến thức “Tứ giác nội tiếp trong một đường tròn”.<br /> ­ Ngoài những mục tiêu như  trên thì ý của tôi khi thực hiện sáng kiến là có sự  lồng <br /> ghép nho nhỏ cách phát triển bài toán từ một bài toán ban đầu để tìm ra nhiều phương  <br /> pháp chứng minh khác nhau.<br /> b) Nhiệm vụ:<br /> Những nhiệm vụ cụ thể của đề tài là:<br /> <br /> <br />  Dương Thị Kim Nhân 3         THCS Lê Đình Chinh<br /> “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”<br /> <br /> ­  Đưa ra các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp có minh họa.<br /> ­  Đưa ra các loại bài tập vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp hay và khó có bài tập  <br /> minh họa.<br /> 3. Đối tượng nghiên cứu:<br /> :“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”<br /> 4. Phạm vi nghiên cứu:<br /> ­ Nghiên cứu về một số phương pháp hướng dẫn học sinh chứng minh tứ giác nội tiếp  <br /> trong một đường tròn và cách vận dụng<br /> ­ Nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu tham khảo, sách nâng cao toán 9.<br /> ­ Phụ đạo và nâng cao kiến thức cho học sinh lớp 9A1, 9A2 năm học 2014­2015 trường  <br /> THCS Lê Đình Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk.<br /> 5. Phương pháp nghiên cứu:<br /> ­ Nghiên cứu lý thuyết.<br /> ­ Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập của học sinh.<br /> ­ Đưa ra tập thể tổ chuyên môn thảo luận<br /> ­ Thực hiện giảng dạy trên lớp và các tiết chuyên đề  cho học sinh lớp 9A1, 9A2 <br /> trường THCS Lê Đình Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krông Ana<br /> ­ Điều tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi tiến hành giảng dạy .<br /> PHẦN II<br /> NỘI DUNG<br /> 1.Cơ sở lí luận để thực hiện đề tài:<br /> Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường duy <br /> nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ  thông. Là <br /> giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ  dàng, <br /> phát huy tư  duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn toán là môn học hội tụ  được những <br /> yêu cầu đó<br /> Đặc điểm của lứa tuổi HS THCS là muốn vươn lên làm người lớn, muốn tự <br /> mình khám phá, tìm hiểu trong quá trình nhận thức. Các em có khả  năng điều chỉnh <br /> <br /> <br />  Dương Thị Kim Nhân 4         THCS Lê Đình Chinh<br /> “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”<br /> <br /> hoạt động học tập, sẵn sàng tham gia các hoạt động học tập khác nhau nhưng cần <br /> phải có sự hướng dẫn, điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của thầy, cô giáo. <br /> Hình thành và phát triển tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo cho HS là một quá trình lâu <br /> dài.<br />   Dạng toán chứng minh tứ giác nội tiếp là dạng toán rất quan trọng trong chương <br /> trình toán 9 và làm cơ  sở  để  học sinh làm tốt các bài toán có liên quan trong chương <br /> trình toán trung học cơ sở . Vấn đề  đặt ra là làm thế  nào để  học sinh chứng minh tứ <br /> giác nội tiếp một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả  cao. Để  thực hiện tốt  <br /> điều này đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng như quan sát, nhận <br /> xét, đánh giá bài toán, đặc biệt là kĩ năng giải bài toán hình học , kĩ năng vận dụng bài <br /> toán, tuỳ theo từng đối tượng học sinh mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở <br /> các phương pháp đã học để giúp học sinh học tập tốt hơn. <br /> <br /> <br /> 2. Thực trạng:<br /> 2.1. Thuận lợi, khó khăn:<br /> a/ Thuận lợi:<br /> ­ Xã Quảng Điền là một xã giàu truyền thống cách mạng, dân cư  chủ  yếu là <br /> người Quảng Nam nhưng lại có truyền thống rất hiếu học. Đặc biệt có sự  quan tâm  <br /> của Đảng uỷ, UBND xã, sự quan tâm của các tổ chức, đoàn thể trong xã đối với công <br /> tác giáo dục, đảm bảo cơ sở vật chất cho công tác giảng dạy của nhà trường. <br />   ­ Hội cha mẹ  học sinh hoạt động tích cực , phối hợp tốt với nhà trường trong <br /> các hoạt động, duy trì tương đối hiệu quả việc học tập của con em trong địa phương.<br /> ­ Phòng Giáo dục Đào tạo va lãnh đ<br /> ̀ ạo nhà trường thường xuyên quan tâm tới tất  <br /> cả các hoạt động chuyên môn của trường.<br />  ­ Hội khuyến học Xã hết sức nhiệt tình, quan tâm đến phong trào giáo dục xã <br /> nhà nói chung và trường THCS Lê Đình Chinh nói riêng .<br />  ­ Đội ngũ giáo viên nhiều kinh nghiệm nhà trường còn có một đội ngũ thầy cô  <br /> trẻ, khoẻ, nhiệt tình và hăng say công việc.<br /> <br /> <br />  Dương Thị Kim Nhân 5         THCS Lê Đình Chinh<br /> “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”<br /> <br /> ­ Thuận lợi lớn nhất khi thực hiện đề  tài của tôi đó chính là HS, dạng toán này <br /> là dạng hơi khó nhưng các em đó cố gắng chăm chú lắng nghe đặc biệt là các em HS <br /> giỏi luôn thích tìm tòi và thường xuyên đặt câu hỏi cho tôi  để  tôi gợi mở  khi các em <br /> thực hiện<br /> b/ Khó khăn: <br /> ­ Nhân dân xã Quảng Điền đa số  nhiều gia đình đông con sống chủ  yếu bằng <br /> nghề nông đời sống kinh tế còn nhiều khó khăn, trình độ dân trí không đồng đều, hằng <br /> năm chịu nhiều  ảnh hưởng của thiên tai. Do đó hoàn cảnh gia đình còn gặp nhiều khó  <br /> khăn nên chưa thực sự  quan tâm đến việc học của con em mình dẫn đến ảnh hưởng  <br /> không nhỏ  đến việc đầu tư  thời gian, vật chất, tinh thần cho con em họ. Từ đó  ảnh <br /> hưởng đến kết quả học tập của học sinh và của nhà trường. <br /> ­ Đa số HS không yêu thích môn hình học, thậm chí còn sợ học môn này nên thời <br /> gian đầu làm sáng kiến các em chưa thực sự thích nên cũng không dám sáng tạo gì thêm  <br /> do đó không phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2.2. Thành công, hạn chế:<br /> a/. Thành công: Với nội dung của đề  tài nghiên cứu:“Một số  phương pháp chứng <br /> minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”sau khi áp dụng vào thực tiễn tôi nhận thấy <br /> đã rèn luyện được cho học sinh kĩ năng giải toán hình học có hiệu quả  đặc biệt là <br /> phần chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn <br /> b/. Hạn chế: Vì đây là dạng toán mà đa số các em học yếu đều không thích học nên  <br /> nói thật phần vận dụng tứ giác nội tiếp vào chứng minh các bài tập thì đa số  các em <br /> học sinh khá giỏi có hứng thú hơn các em trung bình và yếu. Để  đề  tài trên được áp  <br /> dụng vào thực tiễn giảng dạy và đem lại hiệu quả  cần phải có lượng thời gian nhất  <br /> định. Tuy nhiên trong phân phối chương trình số tiết hình học  ở   lớp 9 là tiết hai tiết/  <br /> tuần. Riêng phần tứ  giác nội tiếp được hai tiết (1 tiết lý thuyết và một tiết bài tập)  <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  Dương Thị Kim Nhân 6         THCS Lê Đình Chinh<br /> “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”<br /> <br /> chính vì vậy mà giáo viên không có thời gian để luyện tập nhiều .Với những lý do trên <br /> đề tài khó có thể áp dụng và đem lại hiệu quả mong muốn.  <br /> 2.3. Mặt mạnh, mặt yếu:<br /> a/.  Mặt mạnh:<br /> ­ Khi vận dụng đề tài này vào giảng dạy tôi nhận thấy phần lớn học sinh không <br /> còn lúng túng trong khi giải bài toán hình học, đa số các em đó nhận dạng được bài tập <br /> và đó biết lựa chọn cách giải nhanh, gọn, hợp lí và trình bày lời giải tương đối chặt  <br /> chẽ. Những em học sinh khá giỏi đặc biệt là ôn thi học sinh giỏi các em rất hào hứng  <br /> trong việc áp dụng tứ giác nội tiếp vào chứng minh hình học.<br /> b/. Mặt yếu:<br /> ­ Tâm lý học sinh không thích học môn hình học nên khi chưa thưc hiện đề  tài <br /> dường như  các em ( kể  cả  học sinh giỏi) cũng không muốn khám phá dạng toán này.  <br /> Đại đa số các em thích học Đại số hơn. Điều đó cũng dễ hiểu vì tuy đã được học phần <br /> lý thuyết cơ bản song số bài tập để củng cố để khắc sâu, để bao quát hết các dạng thì  <br /> lại không nhiều, không có sức thuyết phục để  lôi kéo sự  hăng say học tập của học  <br /> sinh. Mức độ kiến thức của dạng toán này tương đối trừu tượng và phức tạp.<br /> 2.4. Nguyên nhân:<br /> Thực tế  học sinh  ở  trường THCS Lê Đình Chinh tiếp thu bài còn chậm và vận dụng <br /> kiến thức từ  lý thuyết vào làm bài tập còn hạn chế. Nguyên nhân chủ  yếu của khó  <br /> khăn trên là:<br /> ­ Học sinh không đam mê môn Hình học<br /> ­ Khả năng phán đoán ,định hướng không tới đích .<br /> ­ Không năng động trong khi chứng minh và vẽ  hình .Chính vì vậy hướng dẫn  <br /> cho học sinh nắm chắc về khái niệm để vận dụng vào chứng minh là điều quan trọng .<br /> ­ Do thời lượng luyện tập giờ chính khóa còn ít, vì vậy học sinh chưa có thời  <br /> gian để ôn tập, làm bài tập, giải bài tập nhiều. <br /> 2.5. Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra:<br /> <br /> <br /> <br /> <br />  Dương Thị Kim Nhân 7         THCS Lê Đình Chinh<br /> “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”<br /> <br />   Đề  tài:“Một số  phương pháp chứng minh Tứ  giác nội tiếp và cách vận <br /> dụng” góp phần nâng cao kiến thức, tư duy toán học, khả năng phân tích, chứng minh  <br /> hình học cho học sinh, đồng thời giúp cho giáo viên trau dồi kiến thức, nâng cao chất <br /> lượng và hiệu quả giảng dạy.<br /> ­ Như đã nói ở trên, trong phân phối chương trình của môn toán 9 không có thời <br /> lượng dành riêng cho vấn đề nghiên cứu này. Do đó để thực hiện đề tài này, giáo viên <br /> cần phải lồng ghép vào các tiết luyện tập, các tiết ôn tập chương, các tiết ôn tập học  <br /> kì 2, các tiết phụ đạo học sinh yếu kém và bồi dưỡng học sinh giỏi.<br /> ­ Trong quá trình giảng dạy môn Toán, vai trò của người thầy trong việc tạo <br /> hứng thú cho học sinh đặc biệt quan trọng, do đó mỗi giáo viên phải thường xuyên đưa <br /> học sinh vào các tình huống có vấn đề để các em tư duy, tự tìm tòi kiến thức mới qua  <br /> mỗi dạng toán. Đồng thời phải biết động viên, khích lệ, biểu dương sự  cố gắng của <br /> các em, trân trọng thành quả đạt được của các em .<br /> ­ Ngày nay, phương pháp dạy học ở bậc THCS nói chung đã có nhiều biến đổi  <br /> tích cực, điều kiện về vật chất ngày càng được nâng lên rõ rệt.  Nhưng để  đạt được  <br /> kết quả  tốt yêu cầu mỗi giáo viên phải đầu tư  nhiều thời gian cho việc soạn bài và <br /> đặc biệt là phải tận tụy với công việc, tránh tư  tưởng chủ  quan chỉ  cho học sinh tìm  <br /> hiểu ở mức độ sơ sơ, đưa ra lời giải ngay khi học sinh chưa suy nghĩ. Sự đầu tư nhiệt  <br /> tình của người giáo viên sẽ được đền bù xứng đáng bằng kết quả của học sinh.<br /> 3. Giải pháp, biện pháp:<br />  3.1. Mục tiêu của giải pháp, biện pháp:<br /> ­ Những giải pháp, biện pháp được nêu trong đề tài này nhằm mục đích trang bị <br /> cho học sinh lớp 9 một cách có hệ thống về phương pháp giải các dạng bài tập chứng <br /> minh tứ giác nội tiếp và vận dụng từ cơ bản đến nâng cao, nhằm giúp cho học sinh có  <br /> khả năng vận dụng tốt dạng toán này.<br />  3.2. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp:<br /> <br /> <br /> <br /> <br />  Dương Thị Kim Nhân 8         THCS Lê Đình Chinh<br /> “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”<br /> <br />  ­ Bằng quan sát thực tế giảng dạy các giờ toán chứng minh tứ giác nội tiếp, bài <br /> toán tổng hợp có sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp để chứng minh và tính toán của  <br /> GV THCS.<br /> ­ Bằng kinh nghiệm đứng lớp và bồi dưỡng ôn thi học sinh lớp 9 , những năm <br /> trước đây thấy học sinh rất ít em phát hiện được tứ giác nội tiếp một cách nhanh nhất, <br /> nhất là những bài toán không dễ  chứng minh ngay được tổng hai góc đối diện của tứ <br /> giác bằng 180 độ. Hay HS cứ phải đưa về tổng hai góc đối diện bằng 180 độ nên dài,  <br /> nhiều khi dẫn đến sai. <br /> ­ Bằng đọc tài liệu để nắm các cơ  sở lý luận khoa học về phương pháp chứng <br /> minh và tính chất của tứ  giác nội tiếp . Đặc biệt là tìm cách nhận biết nhanh tứ  giác <br /> nội tiếp trước khi phải chứng minh tổng hai góc đối diện bằng 180 độ  trong các bài <br /> toán có chứng minh tứ giác nội tiếp hoặc có sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp .<br /> ­ Bằng việc tham khảo và học hỏi ý kiến của đồng nghiệp nhất là những thầy  <br /> cô dạy toán giỏi trong tổ, trong trường.<br /> ­ Bằng thử nghiệm đề tài của mình trong bài dạy giải toán ở trên lớp, phụ  đạo <br /> HS yếu kém, bồi dưỡng học sinh giỏi .<br /> ­ Và cuối cùng là bằng việc đi từ vấn đề đơn giản, riêng lẻ của bài dạy đến các  <br /> định lý và bài toán khó hơn, phức tạp hơn tổng hợp lại một hệ thống các phương pháp <br /> chứng minh tứ giác nội tiếp .<br /> Từ  các phương pháp trên đây đối chiếu với lý luận và thực tế  tôi rút ra được <br /> kinh nghiệm nhỏ trong quá trình áp dụng đề tài cụ thể như sau: <br /> <br /> *Nội dung:<br /> 1/ .Chuẩn bị :<br /> ­ Phần trọng tâm của lý thuyết, điều cần ghi nhớ.<br /> ­ Phân loại các bài tập để vận dụng chứng minh từng phần ghi nhớ.<br /> 2/ .Phần lý thuyết:<br /> <br /> <br /> <br /> <br />  Dương Thị Kim Nhân 9         THCS Lê Đình Chinh<br /> “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”<br /> <br /> 2.1/  Định nghĩa: Nếu qua  bốn  đỉnh của    A <br /> <br /> một tứ  giác có một đường tròn thì tứ  giác  B <br /> <br /> đó gọi là tứ giác nội tiếp trong một đường <br /> tròn và đường tròn đó gọi là đường tròn  C  D <br /> <br /> ngoại tiếp tứ giác. <br /> <br /> <br /> 2.2/ Định lý : Trong một tứ giác nội tiếp một đường tròn tổng các góc đối diện nhau <br /> bằng hai góc vuông .<br /> * Đảo lại : Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối diện nhau bằng hai góc vuông thì tứ <br /> giác đó nội tiếp được trong một đường tròn . <br /> ᄉA + C<br /> ᄉ = 2v<br /> Khi đó : Tứ giác ABCD nội tiếp (O)     B<br /> ᄉ +D ᄉ = 2v<br /> <br /> <br /> 2.2.1/  Chú ý: Hình chữ  nhật ,hình vuông và hình thang cân luôn luôn nội tiếp được  <br /> trong   một   đường   tròn   vì   các   tứ   giác   này   đều   có   tổng   hai   góc   đối   bù   nhau  <br /> <br /> <br /> <br /> A B A B<br /> <br /> <br /> <br /> D C C<br /> D<br /> <br /> <br /> (Đây là cách nhận biết tứ giác nội tiếp một cách nhanh nhất mà chưa cần phải chứng  <br /> minh)<br /> 3. Một số vấn đề liên quan đến tứ giác nội tiếp:<br /> 3.1. Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp: <br /> Một tứ  giác sẽ  là tứ  giác nội tiếp được trong một đường tròn nếu có một trong các <br /> điều kiện sau :<br />   +) Bốn đỉnh cùng cách đều một điểm nào đó  ( đ/n)<br /> +) Tổng các góc đối diện bằng 2v ( định lý đảo)<br /> <br /> <br /> <br />  Dương Thị Kim Nhân 10         THCS Lê Đình Chinh<br /> “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”<br /> <br /> +) Từ  hai đỉnh kề  nhau nhìn cạnh  ứng với hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng  <br /> nhau của tứ giác ABCD  có :  DAC<br /> ᄉ ᄉ<br /> = DBC =α Tứ giác ABCD nội tiếp<br /> +) Hai đỉnh cùng nhìn xuống một cạnh dưới một góc vuông<br />        (Tứ giác ABCD có:  DAC<br /> ᄉ ᄉ<br /> = DBC = 900 )  Tứ giác ABCD nội tiếp    <br /> + Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.<br /> + Dùng tỉ lệ thức để chứng minh tứ giác nội tiếp….. <br /> 3.2. Vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để chứng minh một số bài toán hay  <br /> và khó.<br /> ­ Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn.<br /> ­ Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định.<br /> ­ Chứng minh quan hệ giữa các đại lượng.<br /> ­ Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm.<br /> ­ Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình<br /> ­ Chứng minh tứ giác nội tiếp để tìm cực trị…<br /> Sau đây là một số  phương pháp chứng minh tứ  giác nội tiếp đường tròn kèm  <br /> theo bài tập minh họa<br /> 3.3 ­ BÀI TẬP MINH HOẠ:<br /> 3.3.1. Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.<br /> *Phương pháp 1:  Dựa vào định nghĩa.<br />      * Bài toán 1:   <br /> A <br /> Cho   tam   giác   ABC   các   đường   cao   BB’,  B' <br /> C' <br /> CC’.   Chứng   minh   tứ   giác   BCB’C’   nội <br /> tiếp.<br /> Chứng minh: <br /> O <br /> B  C <br /> Lấy O là trung điểm của cạnh BC.<br /> ᄉ ' C = 900  (GT)<br /> Xét  BB’C có :  BB<br /> OB’ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền <br />  OB’ = OB = OC = r  (1)<br /> <br /> <br />  Dương Thị Kim Nhân 11         THCS Lê Đình Chinh<br /> “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”<br /> ᄉ ' C = 900  (GT)<br /> Xét  BC’C có :  BB<br /> <br /> Tương tự trên   OC’ = OB = OC = r  (2)<br /> Từ (1) và (2)   B, C’, B’, C   (O; r) <br />    BC’B’C nội tiếp đường tròn.<br /> Từ bài toán 1 này nếu ta thay đổi dữ  kiện là cho tam giác nội tiếp trong đường <br /> tròn và kẻ các đường cao, ta lại phải chứng minh tứ giác mới nội tiếp<br /> *Phương pháp 2: Dựa vào định lý<br /> Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn    ᄉA + C<br /> ᄉ = 1800  hoặc  B ᄉ = 1800                         <br /> ᄉ +D<br /> <br /> * Bài toán 2:  A N<br /> <br />    Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội <br /> E<br /> P<br /> tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, <br /> O<br /> H<br /> BE,CF   cắt   nhau   tại   H   và   cắt   đường <br /> B<br /> tròn(O) tại M,N,P . Chứng minh: D C<br /> <br /> <br /> a. Tứ giác CEHD nội tiếp. M<br /> <br /> <br /> Chứng minh: <br /> ᄉ<br /> a/ Xét    CEHD có :  CEH ᄉ<br /> = 900  và  CHD = 900 (GT)<br /> ᄉ<br /> CEH ᄉ<br /> + CDH = 1800  (Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)<br /> <br />    CEHD nội tiếp đường tròn.<br /> Từ bài toán 2 ta lại thay tam giác ABC đều và thay đổi dữ  kiện sau đó yêu cầu <br /> HS chứng minh tiếp điểm D cũng thuộc đường tròn<br />   *Bài toán 3:  A<br />    Cho   ABC đều. Trên nửa mặt phẳng bờ  BC  <br /> không chứa đỉnh A, lấy điểm D sao cho DB=DC <br /> 1<br /> 1<br /> ᄉ 1 C<br /> và DCB = ᄉACB   B 2 2<br /> 2<br /> Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp.<br /> D<br /> ᄉ ᄉ ᄉ<br /> * Chứng minh:  Ta có :  ABC đều =>  A = B = C = 60<br /> 0<br /> <br /> <br /> <br /> <br />  Dương Thị Kim Nhân 12         THCS Lê Đình Chinh<br /> “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”<br /> <br /> ᄉ = 1C<br />                             Mặt khác:   C ᄉ = 300  =>  ᄉACD = 90 0<br /> 2 1<br /> 2<br /> ᄉ =C<br />                            Do DB = DC =>   DBC cân => B ᄉ = 300   => ᄉABD = 900 .<br /> 2 2<br /> <br /> <br /> Tứ giác ABCD có  ᄉABD + ᄉACD = 1800 (Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)<br /> <br />  nên tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn đường kính AD<br /> * Khi ôn thi học sinh giỏi tôi đã thay bài toán trên một số  dữ  kiện liên quan đến quỹ <br /> tích cung chứa góc nhằm củng cố cách sử dụng định lý để chứng minh đồng thời củng <br /> cố kiến thức về lượng giác<br />    * Bài toán 4:  Cho đường tròn tâm O đường  A<br /> kính AB cố  định. Ax và Ay là hai tia thay đổi <br /> luôn tạo với nhau góc 600, nằm về  hai phía của <br /> O<br /> AB,  cắt  đường tròn (O)  lần  lượt  tại M  và  N. <br /> N<br /> Đường thẳng BN cắt Ax tại E, đường thẳng BM  M<br /> cắt   Ay   tại   F.   Gọi   K   là   trung   điểm   của   đoạn <br /> B<br /> thẳng EF.<br /> F<br /> EF E<br /> 1. Chứng minh rằng  = 3. K<br /> AB x<br /> y<br /> <br /> 2. Chứng minh OMKN là tứ giác nội tiếp.<br /> <br /> *Chứng minh: <br /> 1)  ᄉAMB = ᄉANB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)<br />  B là trực tâm của tam giác AEF <br />  AB  ⊥ EF<br />   ᄉNEF = NAB<br /> ᄉ (cùng phụ với  NFE<br /> ᄉ )<br />   ∆ vuông NEF  ∆ vuông NAB  (g.g)<br /> EF NE ᄉ  = tan600 =  3<br /> = = tan NAE<br /> AB NA<br /> <br /> <br /> 2)  MON<br /> ᄉ  là góc ở tâm cùng chắn cung MN  � MON<br /> ᄉ ᄉ<br /> = 2 MAN = 1200<br /> ᄉ<br /> EMF ᄉ<br /> = ENF = 900  tứ giác MNFE nội tiếp đường tròn đường kính EF tâm K.<br /> ᄉ<br /> � MKN ᄉ<br /> = 2 MEN = 2.300 = 600<br /> ᄉ<br /> � MON ᄉ<br /> + MKN = 1800  OMKN là tứ giác nội tiếp.<br />    * Đặc biệt hoá bài toán 2: Phát triển thêm bài toán ta lại tiếp tục yêu cầu học sinh  <br /> chứng minh tiếp tứ giác BCEF nội tiếp<br /> <br />  Dương Thị Kim Nhân 13         THCS Lê Đình Chinh<br /> “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”<br /> <br /> * Bài toán 5 ( Đề mở rộng của bài toán 2) A N<br /> <br /> Câu b. Chứng minh bốn điểm B,C,E,F cùng nằm <br /> E<br /> P<br /> trên một đường tròn F<br /> O<br /> H<br /> <br /> <br /> B D C<br /> <br /> <br /> <br /> M<br /> <br /> *Chứng minh: Theo giả thiết:  BE là đường cao =>  BE ⊥ AC ᄉ<br /> BCE = 900<br /> <br />                        CF là đường cao =>  CF ⊥ AB ᄉ<br /> BFC = 900<br /> Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc  900  <br /> => E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC <br /> => Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn<br /> Hay tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC. <br /> Đây chính là cách sử  dụng cung chứa góc.Cũng từ  bài toán 2 ta thay dữ  kiện tam giác <br /> nội tiếp chắn nửa đường tròn để chứng minh tứ giác nội tiếp cụ thể của phương pháp  <br /> này như sau:<br /> *Phương pháp 4:    Dựa vào quỹ tích cung chứa góc <br />   * Bài toán 6: <br /> A<br /> Cho tam giác ACD. Lấy điểm B sao cho   B<br /> A, B nằm  ở cùng một nửa mặt phẳng bờ <br /> chứa DC và có   DAC<br /> ᄉ ᄉ<br /> = DBC .Chứng minh  C D<br /> O<br /> tứ giác ABCD nội tiếp . <br /> <br /> <br /> <br /> *Chứng minh: Thật vậy, giả sử   DAC<br /> ᄉ ᄉ<br /> = DBC = α  ( 0 < α < 180 ) Vì do DC cố định nên <br /> 0 0<br /> <br /> <br /> <br /> A, B nằm trên cung chứa góc   dựng trên đoạn DC (theo bài toán quỹ  tích cung chứa  <br /> góc ) <br /> Suy ra bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác ABCD nội tiếp . <br /> Khi cho  α = 900  ta có  DAC<br /> ᄉ ᄉ<br /> = DBC = 900<br /> <br /> <br />  Dương Thị Kim Nhân 14         THCS Lê Đình Chinh<br /> “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”<br /> <br /> Và A, B cùng một nửa mặt phẳng bờ  DC thế thì tứ  giác ABCD nội tiếp đường tròn <br /> đường kính DC. Sau khi đưa ra phương pháp đưa ra bài toán 7 để củng cố<br /> <br />      * Bài toán 7:  M<br /> <br /> Cho   ABC cân ở A nội tiếp (O). Trên tia <br /> A<br /> đối của tia AB lấy điểm M, trên tia đối <br /> 1 2<br /> <br /> của tia CA lấy điểm N sao cho AM=CN. <br />       Chứng minh   AMNO nội tiếp. O<br /> 1<br /> C<br /> B<br /> <br /> <br /> N<br /> <br /> <br /> * Chứng minh:<br /> <br /> Ta có:   ABC cân ở A và O là tâm đường tròn ngoại tiếp   ABC  ᄉA1 = ᄉA2  <br /> <br /> Mặt khác ta có:  AOC cân tại O (vì OA = OC)<br /> <br />   ᄉA2 = C<br /> ᄉ  nên  ᄉA = ᄉA = C<br /> 1 1 2<br /> ᄉ  <br /> 1<br /> <br /> <br /> Mà  ᄉA1 + OAM<br /> ᄉ ᄉ + OCN<br /> = 1800 và  C1<br /> ᄉ = 1800 ᄉ<br /> OAM ᄉ<br /> = OCN  <br /> ᄉ<br /> Xét:   OAM và  OCN có : OA = OC;  OAM ᄉ<br /> = OCN ; AM = CN<br /> <br />   OAM =  OCN (c.g.c)<br /> ᄉAMO = CNO<br /> ᄉ  hay ᄉAMO = ᄉANO  <br /> Do đó:     AMNO nội tiếp đường tròn (hai đỉnh kề  nhau M và N cùng nhìn cạnh OA <br /> dưới cùng một góc). Thế thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính DC. <br /> Cũng từ bài toán 1 ta lại thay đổi tiếp dữ kiện bài toán nhằm có thêm một cách  <br /> nữa chứng minh tứ giác nội tiếp đó là:<br /> *Phương pháp 5:  Chứng minh tứ giác nội tiếp bằng tỷ lệ thức:     <br /> *Chứng minh:<br />     * Bài toán 8: <br /> Cho tam giác ABC. Lấy một điểm D bất <br /> kỳ sao cho hai đường thẳng AB và CD cắt <br /> nhau tại M.<br /> C<br /> D<br /> <br />  Dươ ng Thị Kim Nhân 15         THCS Lê Đình Chinh<br /> M<br /> Ch ứng minh    ABCD nội tiếp. O<br /> A<br /> <br /> B<br /> “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”<br /> <br /> Nếu xét tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn <br /> Ta có: AB cắt DC tại M  ta suy ra được  ᄉABD = ᄉACD = 900  <br /> <br /> Vậy là :  MAC    MDB <br /> Đảo lại: Nếu  MAC     MDB . Với A   BM và D  MC <br /> thì tứ giác ABCD nội tiếp.<br /> Thật vậy, vì  MAC đồng dạng với  MDB suy ra ᄉABD = ᄉACD  => tứ  giác ABCD nội <br /> tiếp ( B, C ở cùng một nửa mặt phẳng bờ AD và nhìn AD dưới hai góc bằng nhau ) <br />  Từ đó nếu có  MAC    MDB, A  BM, <br /> D  MC  => Tứ giác ABCD cũng nội tiếp.<br />  Nhưng nếu ta xét theo tính chất của tam giác đồng dạng ta lại có từ   MAD <br /> <br /> MA MD<br /> đồng dạng với  MCB suy ra:  =      MA . MB = MC . MD<br /> MC MB<br /> Vậy là ta lại có cách chứng minh tứ giác nội tiếp bằng tỷ lệ thức:<br /> Nghĩa là nếu MA . MB = MC . MD => A  BM,  D  MC  => Tứ giác ABCD nội tiếp .<br /> <br /> Nhưng đối với bài tập này ta cũng chú ý  B C<br /> C<br /> cho học sinh   nếu vẽ  hình trong trường  M<br /> B A<br /> hợp b thì nó không phải tứ giác lồi. O<br /> D D<br /> A<br /> <br /> M<br /> a/ b/<br /> <br /> * Củng cố phương pháp này cho học sinh làm bài tập sau:<br /> Chứng minh:<br />      Bài toán 9: <br /> A<br /> Cho tam giác ABC vuông  ở  A. Kẻ  đường <br /> cao AH . Gọi I, K tương ứng là tâm đường <br /> R N<br /> tròn   nội   tiếp   tam   giác   ABH   và   ACH   .  K<br /> I 1<br /> Đường   thẳng   IK   cắt   AC   tại   N.   Chứng   M<br /> minh tứ giác HCNK nội tiếp được. B S H C<br /> <br />  Dương Thị Kim Nhân 16         THCS Lê Đình Chinh<br /> “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”<br /> <br /> Từ giả thiết dễ thấy HIK<br /> ᄉ = ᄉA = 900   (1) <br /> ᄉ = NCH<br /> giả sử tứ giác HCNK nội tiếp thì:  K ᄉ  (2) . Thế thì   HIK     ABC (3) <br /> 1<br /> <br /> <br /> Chứng minh (3):  HAB và  HCA  <br /> HA AB<br /> đồng dạng =>  =  (4)<br /> HC AC<br /> HA HI<br /> Chứng minh :  HAS    HCR   =   (5)<br /> HC HK<br /> HI HK<br /> Từ (4) và (5) =>  =  (6)<br /> AB AC<br /> Từ (1) và (6) => (3) => (2) => Tứ giác HCNK nội tiếp <br /> Ngoài những cách chứng minh tứ  giác nội tiếp như  trên thì ta cũng hướng cho  <br /> học sinh có thể khai thác sử dụng tính chất của hai góc kề bù <br /> *Phương pháp 3:   Sử dụng tính chất của hai góc kề bù: <br />    * Bài toán 10: Chứng minh tứ  giác ABCD có  D<br /> ᄉ = 1800  thì nội tiếp một đường tròn <br /> ᄉA + C<br /> x<br /> <br /> <br /> C O A<br /> <br /> B<br /> *Chứng minh: Gọi tia đối của tia AB là tia Ax chẳng hạn <br /> giả sử  xAD<br /> ᄉ ᄉ<br /> = BCD   thế thì vì   xAD<br /> ᄉ ᄉ<br /> + DAB = 1800   (kề bù)<br /> ᄉ<br /> BCD ᄉ<br /> + DAB = 1800  => Tứ  giác ABCD nội tiếp <br /> Thực chất của phương pháp này là  dựa vào tứ  giác có góc ngoài tại một đỉnh <br /> bằng góc trong của đỉnh đối diện nhưng khi mình đưa ra phương pháp sử  dụng tính  <br /> chất của hai góc kề  bù nhằm phát huy trí sáng tạo của học sinh ( Khi dạy có thể  hỏi <br /> các em thử dùng tính chất hai góc kề bù để chứng minh Tứ giác nội tiếp được không?)<br /> <br /> <br /> <br /> <br />  Dương Thị Kim Nhân 17         THCS Lê Đình Chinh<br /> “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”<br /> <br /> <br /> <br /> *Phương pháp 6 : Dựa vào tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của  <br /> đỉnh đối diện.<br /> *Bài toán 11:  <br /> M <br /> Cho   tứ   giác   ABCD   nội   tiếp   (O),   M   là <br /> A  E  P  B <br /> điểm chính giữa của cung AB. Nối M với  <br /> D, M với C cắt AB lần lượt ở E và P.    O <br /> <br /> Chứng minh tứ  giác PEDC nội tiếp được  D <br /> đường tròn.<br /> C <br /> Chứng minh: <br /> ᄉ<br /> Ta có :  MEP  là góc có đỉnh nằm bên trong (O)<br /> ᄉ + MB<br /> sᆴ(AD ᄉ )<br /> ᄉ<br /> � MEP =<br /> 2<br /> ᄉ<br /> sd DM<br /> ᄉ<br /> Mà  DCP = (góc nội tiếp)<br /> 2<br /> <br /> ᄉ sd ( ᄉAD + MA<br /> ᄉ )<br /> Hay  DCP =<br /> 2<br /> Lại có :  sđ  ᄉAM = sđ BM<br /> ᄉ<br /> <br /> ᄉ ᄉ<br /> Nên :  MEP =  DCP<br /> Nghĩa là:   PEDC có góc ngoài tại đỉnh E bằng góc trong tại đỉnh C<br /> Vậy   PEDC nội tiếp được đường tròn. <br /> 3.3.2. Vận dụng tứ giác nội tiếp vào chứng minh bài tập hay và khó:<br /> * Bài toán 1:  Tính số đo góc:<br />    Cho hình vẽ: E<br /> Hãy tìm số đo các góc của tứ giác ABCD<br /> 400<br /> <br /> <br /> B x<br /> C<br /> O x<br /> <br /> A 200<br />  Dương Thị Kim Nhân 18         THCS Lê Đình Chinh<br /> D F<br /> “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ᄉ<br /> * Giải:  Gọi số đo   BCE = x<br /> Do tứ giác ABCD nội tiếp nên :<br /> ᄉABC + ᄉADC = 1800<br /> <br /> Mà:  ᄉABC = 400 + x  và  ᄉADC = 200 + x   (theo t/c góc ngoài của tam giác)<br /> =>  400 + x + 200 + x = 180 0  <br /> =>  2 x = 1200 � x = 600<br /> ᄉ ᄉ ᄉ<br /> =>  ABC = 40 + x = 40 + 60 = 100 =>   BAD = 180 − BCD = 180 −120 = 60<br /> 0 0 0 0 0 0 0 0<br /> <br /> <br /> <br /> * Bài toán 2:  Chứng minh 3 điểm thẳng hàng:<br /> * Bài toán:   Cho 3 điểm A,B ,C trên một <br /> đường tròn .Chứng minh rằng chân đường  A<br /> <br /> vuông góc hạ  từ  một điểm M bất kỳ trên  <br /> đường   tròn   xuống   các   đường   thẳng  B O<br /> K<br /> AB,BC,CA   cùng   nằm   trên   một   đường <br /> I H<br /> thẳng . C<br /> M<br /> * Chứng minh :                                                                        <br /> ᄉ<br /> Ta có :  Tứ giác BHMI nội tiếp vì BHM ᄉ<br /> = BIM ᄉ =M<br /> = 1800      � H ᄉ   (1)<br /> 1 1<br /> <br /> <br />  Tứ giác MHKC nội tiếp (vì  H ᄉ  cùng nhìn MC dưới một góc vuông )<br /> ᄉ  và   K<br /> <br /> ᄉ =M<br />  � H ᄉ (2)<br /> 2 2<br /> <br /> <br /> ᄉ +B<br />  Ta có  � M ᄉ 1 = 900  (  BIM vuông tại I) Và  M<br /> ᄉ 2 + ᄉACM = 900  (  MKC vuông tại K)<br /> 1<br /> <br /> <br />   Mà  ᄉACM = B<br /> ᄉ     (  ABMC nội tiếp )  Suy ra  M<br /> 1<br /> ᄉ =M<br /> 1<br /> ᄉ         ( 3)<br /> 2<br /> <br /> <br /> ᄉ =H<br />  Từ ( 1), (2) và (3)  suy ra  H ᄉ<br /> 1 2<br /> <br /> <br /> ᄉ<br />  Mà  BHK ᄉ = 1800   ( B,H,C  thẳng hàng  )<br /> +H 2<br /> <br /> <br /> ᄉ<br /> BNK ᄉ<br /> H 1800   <br /> 1<br /> <br /> <br /> <br />  Dương Thị Kim Nhân 19         THCS Lê Đình Chinh<br /> “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”<br /> <br />   Do đó I , H ,K thẳng  hàng <br /> <br /> <br />  * Bài toán 3:  Chứng minh các góc bằng nhau:<br /> * Bài toán: Gọi H là giao điểm các đường  A<br /> cao   AA';BB';CC' .Chứng   minh   các   đường  B'<br /> cao của tam giác ABC là phân giác các góc  C' H<br /> của tam giác  A ' B ' C '  <br /> <br /> B C<br /> A'<br /> *Chứng minh : <br /> Xét tứ giác  BA ' HC '  có :<br /> ᄉ ' H = 900 (CC ' ⊥ AB )<br /> BC<br />    BA<br /> ᄉ ' H = 900 (AA' ⊥ BC )   <br /> ᄉ ' H + BA<br /> � BC ᄉ ' H = 1800<br /> <br /> Tứ giác  BA ' HC '  nội tiếp đường tròn đường kính BH .<br /> ᄉ 1 = ᄉA '1  (cùng chắn cung  HC ' )<br /> B (1)<br /> <br /> ­ Mặt khác : Xét tứ giác  ABA ' B '  có: <br /> ᄉAB ' B = 900 ( BB ' ⊥ AC )<br /> ᄉAA ' B = 900 (AA' ⊥ BC )  <br /> <br /> <br /> A’ ; B’ cùng nhìn xuống cạnh AB dưới một gócvuông .<br /> Suy ra  ABA ' B '  nội tiếp đường tròn đường kính AB.<br /> ᄉ 1 = ᄉA '2  (cùng chắn cung AB’)              <br /> Do đó :  B (2)<br /> Từ (1) và (2) suy ra :  ᄉA '1 = ᄉA '2<br /> Do đó  AA’ là phân giác của góc  C<br /> ᄉ ' A' B '  <br /> <br />      Chứng minh tương tự :  BB’ là phân giác của góc  ᄉA ' B ' C '  <br />                                  CC’  là phân giác của góc  ᄉA ' C ' B '<br />  Vậy các đường cao của tam giác ABC là phân giác của các góc tam giác A’B’C’<br /> *Bài toán 4: Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn<br /> <br />  Dương Thị Kim Nhân 20         THCS Lê Đình Chinh<br /> “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”<br /> <br />         a. Phương pháp: <br />         Nếu ta phải chứng minh 5 điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn, ta  <br /> có thể chứng  minh tứ giác ABCD nội tiếp và tứ giác ABCE nội tiếp. Suy ra 4 điểm A, <br /> B, C, D và 4 điểm A, B, C, E cùng nằm trên một đường tròn. Hai đường tròn này có ba  <br /> điểm chung là A, B, C thế  nên theo định lý về  sự  xác định đường tròn thì chúng phải  <br /> trùng nhau. Từ đó suy ra 5 điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn.<br />     b. Ví dụ  : (Bài toán về đường tròn      A   <br /> Euler)<br /> K   <br /> Chứng minh rằng, trong một tam giác  M   <br /> L    l   <br /> bất kì, ba trung điểm của các cạnh, ba  E   <br /> chân   của   các   đường   cao,   ba   trung  H   <br /> O   <br /> điểm của các đoạn thẳng nối trực tâm <br /> N    P   <br /> với đỉnh đều ở trên một đường tròn. C   <br /> B    I    D   <br /> *Chứng minh:<br /> Ta có: ME là đường trung bình của  AHC <br /> ND là đường trung bình của  BHC<br /> HC<br />  ME = ND = <br /> 2<br /> <br />  Tứ giác  MNDE là hình bình hành (1)<br /> Lại có : ME // CH; MN // AB (vì MN là đường trung bình của  HAB)<br /> Mà CH   AB (GT)<br />  ME   MN  (2)<br /> Từ (1) và (2)   Tứ giác MNDE là hình chữ nhật<br />          Gọi O là trung điểm của MD   O cũng là trung điểm của NE<br /> Nên hình chữ nhật MNDE nội tiếp (O; OM)<br /> Chứng minh tương tự ta được hình chữ nhật FMPD cũng nội tiếp (O; OM)<br /> ᄉ<br /> Vì   MID = 90     I   (O; OM)<br /> 0<br /> <br /> <br /> <br /> <br />  Dương Thị Kim Nhân 21         THCS Lê Đình Chinh<br /> “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”<br /> ᄉ ᄉ<br /> Vì   FLP = 90  ;  NKE = 90    L; K   (O; OM)<br /> 0 0<br /> <br /> <br /> <br /> Vậy ta có : 9 điểm M; K; E; P; D; I; N; F; L   (O; OM) (Điều phải chứng minh)<br /> * Bài toán 5:  Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định<br />      a. Phương pháp:<br />       Nếu ta phải chứng minh một đường tròn (ABC) đi qua một điểm cố định, <br /> Cách 1: Ta có thể xét thêm một điểm D cố định nào đó rồi chứng minh tứ giác ABCD  <br /> nội tiếp đường tròn. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.<br /> Cách 2: Ta chọn một điểm nào đó trên đường tròn (ABC) sau đó ta đi chứng minh điểm  <br /> đã chọn là điểm cố định.<br />     b.Ví dụ :   <br /> B <br /> Từ  một điểm A  ở  ngoài đường <br /> E <br /> tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, <br /> AC với đường tròn. Lấy điểm D  O <br /> A <br /> nằm giữa B và C. Qua D vẽ một <br /> D <br /> đường thẳng vuông góc với OD <br /> cắt AB, AC lần lượt tại E và F. C <br />       Khi điểm D di động trên BC,   F <br /> <br /> chứng   minh   rằng   đường   tròn <br /> (AEF) luôn đi qua một điểm cố <br /> định khác A.<br /> Chứng minh:<br /> ᄉ<br /> Ta có :  EBO = 90  (AB là tiếp tuyến với (O) tại B)<br /> 0<br /> <br /> <br /> <br /> ᄉ<br />               EDO = 90 (GT)<br /> 0<br /> <br /> <br /> <br />  hai đỉnh B và D cùng nhìn đoạn OE dưới một góc vuông.<br />    EBOD nội tiếp đường tròn<br /> ᄉ<br />   BEO ᄉ<br /> = BDO  (1)  (cùng chắn cung OB)<br /> <br /> Chứng minh tương tự ta có :   ODCF nội tiếp đường tròn <br /> <br /> <br /> <br />  Dương Thị Kim Nhân 22         THCS Lê Đình Chinh<br /> “Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”<br /> ᄉ<br />   OFC ᄉ<br /> = BDO  (2) (góc trong một đỉnh bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện)<br /> ᄉ<br /> Từ (1) và (2)    BEO ᄉ<br /> = OFC        AEOF nội tiếp đường tròn (theo dấu hiệu góc trong <br /> một đỉnh bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện)<br /> Vậy đường tròn (AEF) đi qua điểm O cố định.<br /> <br /> <br /> Bài toán 6:  Chứng minh tìm cực trị<br />     Ví dụ : <br /> Cho đường tròn (O),  dây AB  không  đi  M<br /> qua tâm. Trên cung nhỏ AB lấy điểm M <br /> E<br /> (M không trùng với A, B). Kẻ  dây MN <br /> vuông góc với AB tại H. Kẻ MK vuông  A<br /> H<br /> B<br /> góc với AN  ( K AN ) .  O<br /> <br /> 1) Chứng minh: Tứ  giác AMHK <br /> K<br /> nội tiếp<br /> 2) Chứng minh: MN là phân giác <br /> của góc BMK. N<br /> 3) Khi M di chuyển trên cung nhỏ <br /> AB. Gọi E là giao điểm của HK và BN. <br />                Xác định vị trí của điểm M để <br /> (MK.AN + ME.NB) có giá trị lớn nhất.<br /> Giải :<br /> ᄉ<br /> 1) Từ giả thiết:  
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2