SKKN: Phương pháp tìm hàm đặc trưng trong giải hệ phương trình bằng công cụ hàm số

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN<br /> <br /> <br /> <br /> 1. Tên sáng kiến: Phương pháp tìm hàm đặc trưng trong giải hệ  phương trình  <br /> bằng công cụ hàm số<br /> <br /> 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục đào tạo<br /> <br /> 3. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ  ngày 20 tháng 9 năm 2016 đến ngày 15 tháng  <br /> 05 năm 2016.<br /> 4. Tác giả: <br /> <br /> Họ và tên: Nguyễn Văn Khoa<br /> <br /> Năm sinh: 1983<br /> Nơi thường trú: Xã Xuân Thành ­ Huyện Xuân Trường ­ Tỉnh Nam Định<br /> Trình độ chuyên môn: Thạc sỹ toán học<br /> Chức vụ công tác: Phó Hiệu trưởng<br /> Nơi làm việc: Trường THPT Xuân Trường<br /> Địa chỉ liên hệ: Xóm 2 ­ Xã Xuân Thành ­ Huyện Xuân Trường ­ Tỉnh Nam Định<br /> Điện thoại: 0917.842.399<br /> Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến: 100%<br /> 5. Đơn vị áp dụng sáng kiến: <br /> <br /> Tên đơn vị: Trường THPT Xuân Trường<br /> Địa chỉ: Xã Xuân Hồng­Huyện Xuân Trường­Tỉnh Nam Định<br /> Điện thoại: 03503.886.167<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1<br />  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM<br /> <br /> Phương pháp tìm hàm đặc trưng trong giải hệ phương trình bằng công cụ hàm <br /> số<br /> <br /> I. ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN <br /> Hệ  phương trình là một chủ  đề  rất quan trọng trong các chủ  đề  toán học  ở <br /> trường trung học phổ  thông. Trong những năm gần đây, bài toán hệ  phương trình  <br /> trong các kỳ thi đại học (bây giờ là thi THPT Quốc gia), kỳ thi học sinh giỏi, thi khảo  <br /> sát chất lượng của các Sở  giáo dục, của các trường trên toàn quốc… xuất hiện với <br /> tần suất rất lớn và ngày càng đa dạng về nội dung và phương pháp giải. Các bài toán <br /> được các tác giả  ra đề  khéo léo giấu đi những tính chất quen thuộc nên học sinh <br /> thường gặp nhiều khó khăn để tìm ra cách giải quyết bài toán.<br /> Hệ  phương trình có mặt trong các đề  thi toán 12 thường có thể  sử  dụng  <br /> phương pháp hàm số  để  giải quyết. Người ra đề  cũng dựa vào những hàm cơ  bản <br /> mà biết trước được tính đơn điệu của nó trên  ﾡ  hoặc trên một miền nào đó để chọn <br /> làm hàm đặc trưng. Khi đã chọn được hàm đặc trưng, người ta chọn tiếp hai biến u,  <br /> v (với độ phức tạp tùy ý) để gắn vào phương trình dạng  f ( u ) = f ( v )  và biến đổi đi <br /> để được một phương trình mới. Lúc này đòi hỏi học sinh phải nắm chắc kiến thức,  <br /> thành thục kỹ năng biến đổi mới có thể tìm ra chìa khóa để giải quyết bài toán.<br /> Nhưng thực tế, với lớp hệ  phương trình này, đa số  các em lớp 12 đều gặp <br /> những trở  ngại nhất định, một trong những trở  ngại đó là tìm ra hàm đặc trưng của <br /> một phương trình trong hệ, dẫn đến gặp bế  tắc trong việc tìm ra lời giải. Đấy là  <br /> chưa kể đến những kỹ  năng khác để  giải phương trình như  biến đổi tương đương,  <br /> đặt  ẩn phụ, nhân liên hợp…học sinh đã quên (do phần này học  ở  chương trình lớp <br /> 10).<br /> Với mong muốn giúp các em học sinh có phương pháp, kỹ năng tốt, nắm bắt  <br /> được bản chất vấn đề, không còn bỡ ngỡ khi gặp các hệ phương trình dạng này, tôi  <br /> suy nghĩ rằng, cần phải hệ thống lại kiến thức, phân dạng bài tập cụ thể, hình thành <br /> phương pháp và cần có phân tích đối với lớp các bài toán đó để  học sinh hiểu, vận  <br /> dụng và có tư  duy logic cho những bài tập có dạng tương tự. Chính vì vậy, tôi đã  <br /> chọn đề tài “Phương pháp tìm hàm đặc trưng trong giải hệ phương trình bằng <br /> công cụ hàm số” để giúp học sinh có được một phương pháp tốt để giải hệ phương  <br /> trình, cũng như phương trình và bất phương trình.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP<br /> <br /> 1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến<br /> Trước đây, khi giảng dạy hay ôn tập cho học sinh lớp 12 phần hệ  phương  <br /> trình, giáo viên thường sẽ  giới thiệu cho học sinh một chuyên đề: “ phương pháp  <br /> hàm số giải hệ phương trình”, đi vào giảng dạy cụ thể, giáo viên sẽ nêu ra phương  <br /> pháp chung chung rồi cho học sinh làm một hệ  thống các bài tập liên quan đến hàm  <br /> số mà không chia nhỏ hơn nữa. <br /> Với cách giảng dạy đưa ra một hệ thống các bài tập như thế, học sinh không <br /> nắm được cách thức để  tìm ra hàm đặc trưng. Không phân biệt được sự  giống và <br /> khác nhau giữa các cách đó. Do đó, hiệu quả giảng dạy không cao.<br /> <br /> 2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến<br /> <br /> 2.1. Các kiến thức cơ bản<br /> 2.1.1. Các định lý<br /> Cho hàm số  y = f ( x )  có đạo hàm trên khoảng  ( a; b ) .<br /> a)  Nều   f ' ( x ) 0   với mọi   x ( a; b ) , dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm thì <br /> hàm số  f ( x )  đồng biến trên  ( a; b ) .<br /> b)  Nếu   f ' ( x ) 0   với mọi   x ( a; b ) , dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm thì <br /> hàm số  f ( x )  nghịch biến trên  ( a; b ) .<br /> 2.1.2. Các tính chất<br /> Tính chất 1: Giả sử hàm số  y = f ( x )  đồng biến (nghịch biến) trên khoảng  ( a; b )  và <br /> <br /> u; v ( a; b ) , khi đó  f ( u ) = f ( v ) � u = v.  <br /> Tính chất 2: Nếu hàm số  y = f ( x )  đồng biến trên  ( a; b )  và  y = g ( x )  là hàm hằng <br /> <br /> hoặc là một hàm số  nghịch biến trên  ( a; b )  thì phương trình  f ( x ) = g ( x )  có nhiều <br /> <br /> nhất một nghiệm thuộc khoảng  ( a; b ) .<br /> Nếu có   x0 ( a; b )   sao cho   f ( x0 ) = g ( x0 )   thì phương trình   f ( x ) = g ( x )   có <br /> nghiệm duy nhất  x0  trên  ( a; b ) .<br /> Chú ý: Khoảng  ( a; b )  nêu trong tính chất có thể thay bởi các miền<br /> (− ; a ) , ( − ; a ] , [ a; b ] , ( a; b ] , [ a; b ) , ( b; + ) , [ b; + ) , ( − ;+ ).<br /> <br /> <br /> 3<br /> 2.2. Giải pháp cụ thể<br /> <br /> 2.2.1. Hệ chứa một phương trình có luôn dạng  f ( u ) = f ( v )<br /> Khi đó, ta chỉ  cần xét luôn hàm đặc trưng   f ( t )   với  t D , chứng minh hàm  <br /> luôn đơn điệu trên D, từ đó có được u = v, tức là tìm được mối liên hệ đơn giản hơn  <br /> giữa x và y. Thực hiện thế vào phương trình còn lại đưa về  phương trình một  ẩn.  <br /> Vận dụng các phương pháp: biến đổi tương tương, nhân lượng liên hợp, đặt  ẩn  <br /> phụ, đánh giá….để giải phương trình này.<br /> x3 − y 3 = y − x ( 1)<br /> Bài 1. Giai hê ph<br /> ̉ ̣ ương trinh: <br /> ̀<br /> x 2 + xy + y 2 = 1 ( 2)<br /> Giải. Ta có  ( 1) � x 3 + x = y 3 + y � f ( x ) = f ( y ) , với  f ( t ) = t 3 + t .<br /> Xét hàm số  f ( t )  với  t ﾡ .<br /> Có  f ' ( t ) = 3t 2 + 1 > 0 ∀t ��<br /> ﾡ f ( t )  đồng biến trên  ﾡ .<br /> Do đó  f ( x ) = f ( y ) � x = y<br /> Thế vào (2) ta được  x 2 + x 2 + x 2 = 12 � x = �2 .<br /> Vậy, hệ đã cho có nghiệm  ( x; y ) = ( 2;2 ) , ( −2; −2 ) .<br /> 1 1<br /> x+ = y+ 2 ( 1)<br /> x +12<br /> y +1<br /> Bài 2. Giai hê ph<br /> ̉ ̣ ương trinh:  <br /> ̀    <br /> 4 3x 2 + 2 x − 2<br /> 9x + 2 =<br /> 2<br /> ( 2)<br /> y y<br /> <br /> Giải. <br /> Điều kiện:  y 0 <br /> 1<br /> Xét hàm số  f ( t ) = t + , t ﾡ  <br /> t +1<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> t 4 + t 2 + ( t − 1)<br /> 2<br /> 2t t 4 + 2t 2 − 2t + 1<br /> có  f ' ( t ) = 1 − = = > 0, ∀t ﾡ<br /> (t + 1) (t + 1) (t + 1)<br /> 2 2 2 2 2 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> suy ra hàm số  f ( t )  đồng biến trên  ﾡ .<br /> <br /> Phương trình (1) có dạng  f ( x ) = f ( y ) � x = y<br /> Thay  x = y  vào phương trình (2) ta được:<br /> 4 3x 2 + 2 x − 2 4 2<br /> 9x + 2 =<br /> 2<br /> � 9 x 2 + 2 = 3x − + 2 ( 4)<br /> x x x x<br /> <br /> <br /> 4<br />  2 4 4<br /> Đặt  u = 3 x − � u 2 = 9 x 2 + 2 − 12 � 9 x 2 + 2 = u 2 + 12<br /> x x x<br /> Phương trình (5) trở thành<br /> u+2 0 u −2<br /> u = 2 u 2 + 12 = u + 2 ���<br /> �2 � u=2<br /> u + 12 = u 2 + 4u + 4 u=2<br /> <br /> 2 1 7<br /> Với  ta có  3 x − = 2 � 3x 2 − 2 x − 2 = 0 � x =<br /> x 3<br /> �<br /> 1 + 7 1 + 7 ��1− 7 1− 7 �<br /> ̣ ̣<br /> Vây hê đã cho có nghiệm  ( x; y )  la: <br /> ̀� ; �,� ; �.<br /> � 3 3 �� 3 3 �<br /> <br /> x +1 + 4 x −1 = y4 + 2 + y ( 1)<br /> Bài 3. Giải hệ phương trình   <br /> x 2 + 2 x ( y − 1) + y 2 − 6 y + 1 = 0 ( )<br /> 2<br /> <br /> Phân tích: Ta dễ dàng nhận thấy phương trình (1) có luôn dạng  f ( u ) = f ( v ) , thậy  <br /> <br /> <br /> ( )<br /> 4<br /> vậy  ( 1) � 4<br /> x −1 + 2 + 4 x −1 = y4 + 2 + y .<br /> <br /> Đến đây ta thực hiện xét hàm đặc trưng   f ( t ) = t + t 4 + 2 .<br /> <br /> 2t 3<br /> Ta có  f ' ( t ) = + 1  chưa xác định được dấu.<br /> t4 + 2<br /> Để  ý rằng, miền D của t là hợp miền của  4 x − 1 0  và y, nếu ta chặn được biến <br /> y 0  thì với việc xét hàm số  f ( t )  trên  D = [ 0; + )  thì  f ' ( t ) 0, ∀t 0.<br /> Từ  (1) ta khó chặn được biến y, xét đến  (2), ta coi đây là phương trình bâc 2 ẩn x,  <br /> tham số y, dựa vào điều kiện có nghiệm ta sẽ chặn được biến y.<br /> Giải. Điều kiện  x 1.  <br /> Coi (2) là phương trình bậc hai ẩn x, điều kiện để tồn tại x là<br /> ( y −=1)�۳ y 2<br /> 2<br /> ∆=<br /> ' −−+ 6y 1 4y 0 y 0<br /> Đặt  u = 4 x − 1,  suy ra  u 0.  Phương trình (1) trở thành: <br /> <br /> u4 + 2 + u = y4 + 2 + y ( 3)<br /> 2t 3<br /> Xét  f ( t ) = t + 2 + t ,  với  t<br /> 4<br /> 0.  Ta có  f ' ( t ) = + 1 > 0, ∀t 0 <br /> t4 + 2<br /> Do đó phương trình (3) tương đương với  y = u , nghĩa là  x = y 4 + 1.  <br /> <br /> Thay vào phương trình (2) ta được:  y ( y + 2 y + y − 4 ) = 0 ( 4)  <br /> 7 4<br /> <br /> <br /> <br /> Hàm  g ( y ) = y 7 + 2 y 4 + y − 4  có  g ' ( y ) = 7 y 6 + 8 y 3 + 1 > 0  với  ∀y 0.<br /> <br /> 5<br /> Mà  g ( 1) = 0,  nên (4) có hai nghiệm không âm là  y = 0  và  y = 1  <br /> Với  y = 0  ta được nghiệm  ( x; y ) = ( 1;0 ) ; với  y = 1  ta được nghiệm  ( x; y ) = ( 2;1)  <br /> Vậy nghiệm  ( x; y )  của hệ đã cho là  ( 1;0 )  và  ( 2;1) .<br /> Nhận xét: Phương trình  f ( u ) = f ( v ) � u = v  chỉ khi hàm số   f ( t )  đơn điệu  <br /> <br /> trên  D  và  u , v D . Nếu hàm đặc trưng  f ( t )  có đạo hàm  f ' ( t )  chưa xác định một  <br /> dấu  (luôn   dương   hoặc   luôn   âm)  trên   ﾡ   thì   ta   phải   tìm   cách   chặn   biến   x; y để <br /> u, v D  và  f ( t )  đơn điệu trên  D . Để  chặn biến  x, y  ta có thể dựa vào điều kiện  <br /> xác định của hệ phương trình, điều kiện để  phương trình bậc hai  ẩn  x  tham số   y<br /> (hoặc ẩn  y  tham số  x ) có nghiệm, hoặc nhận xét điều kiện của biểu thức để hệ có  <br /> nghiệm  (chẳng   hạn: B = 0,<br />  A � +B 0 A 0 ; <br /> <br /> A B = c < 0 � A < 0; A2 + B 2 = 1 � −1 ��<br /> A, B 1 ,….)<br /> x3 − y 3 = 3x − 3 y ( 1)<br /> Bài 4. Giải hệ phương trình: <br /> x2 + y 4 = 1 ( 2)<br /> Giải. Ta có  ( 1) � x 3 − 3 x = y 3 − 3 y � f ( x ) = f ( y ) , với  f ( t ) = t 3 − 3t.<br /> Từ phương trình (2) suy ra  x 1, y 1.<br /> <br /> Xét hàm số  f ( t )  với  t �[ −1;1] , ta có  f ' ( t ) = 3t 2 − 3 �0 ∀t �[ −1;1]<br /> Suy ra  f ( t )  nghịch biến trên  [ −1;1] , do đó  f ( x ) = f ( y ) � x = y .<br /> Thay vào (2) ta được:<br /> <br /> −1 + 5 −1 + 5<br /> x2 + x4 = 1 � x4 + x2 − 1 = 0 � x2 = � x=�<br /> 2 2<br /> � −1 + 5 −1 + 5 �� −1 + 5 −1 + 5 �<br /> Vậy, hệ đã cho có nghiệm  ( x; y ) = � ; �;�− ;− �<br /> � 2 2 �� 2 2 �<br /> � �� �<br /> <br /> 2.2.2. Phương pháp nhân liên hợp tìm hàm đặc trưng<br /> <br />  Hệ chứa dạng liên hợp  � ( ax ) + 1�.� ( by ) + 1 �= 1  <br /> 2 2<br /> ax + by +<br /> �<br /> � �<br /> ��� �<br /> �<br /> ( ax ) ( ax )<br /> 2 2<br /> Phương pháp: Nhận xét  ax + + 1 > ax + = ax + ax 0<br /> <br /> � 1<br /> ( ax ) + 1�.� ( by ) + 1 �= 1 � by + ( by )<br /> 2 2 2<br /> ax +<br /> Nên  � by + +1 =<br /> � ��<br /> � � �<br /> � ( ax )<br /> 2<br /> ax + +1<br /> <br /> ( by ) + 1 = ( − ax ) + ( −ax )<br /> 2 2<br /> � by + +1<br /> <br /> <br /> 6<br /> Bằng cách xét hàm đặc trưng  f ( t ) = t + t 2 + 1 , ta chứng minh được  f ( t )  đồng biến  <br /> trên  ﾡ , do đó phương trình trên  � by = −ax .<br /> Ngoài phương pháp trên, ta có thể sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp  <br /> để tìm ra mối liên hệ giữa x và y.<br /> 1<br /> * Với hệ chứa biểu thức dạng  t + t 2 + 1 ,  , khi phân tích, tìm tòi lời giải ta  <br /> t + t2 +1<br /> cũng nên thử nhân liên hợp cho các dạng thức trên để tìm lời giải bài toán.<br /> x2 + 2x + y − 8 = 6 y + 4x + 2 ( 1)<br /> )( y+ )<br /> Bài 1. Giải hệ phương trình <br /> ( 3x + 1 + 9x2 1+ y2 = 1 ( 2)<br /> Giải. Điều kiện:  y + 4 x + 2 0<br /> Ta có  3 x + 1 + 9 x 2 > 3 x + 9 x 2 = 3 x + 3 x 0<br /> 1<br /> Nên  ( 2 ) � y + 1 + y = � y + 1 + y 2 = −3 x + 1 + 9 x 2<br /> 2<br /> <br /> 3x + 1 + 9 x 2<br /> <br /> <br /> � y + 1 + y 2 = ( −3x ) + 1 + ( −3 x )<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> Xét hàm số  f ( t ) = t + t 2 + 1  trên  ﾡ  có: <br /> t t2 +1 + t t +t<br /> f '( t ) = 1 + = > 0 ∀t ﾡ<br /> t2 +1 t2 +1 t2 +1<br /> Nên hàm số  f ( t )  đồng biến trên  ﾡ .<br /> Do đó,  f ( y ) = f ( −3x ) � y = −3x .<br /> Thế vào phương trình (1), ta được:<br /> ( ) ( )<br /> 2<br /> x 2 − x − 8 = 6 x + 2 � x 2 + 2 x + 1 = 3 x + 2 + 2 x + 2 + 1 � ( x + 1) = 3<br /> 2<br /> x + 2 +1<br /> <br /> + Với  x + 1 = 3( x + 2) + 3 � x + 1 − 3 = 3( x + 2)<br /> <br /> x 3 −1 x 3 −1<br /> ( ) (<br /> x2 + 2x 1 − 3 + 4 − 2 3 = 3( x + 2) ) ( ) (<br /> x2 − x 1 + 2 3 − 2 + 2 3 = 0 )<br /> x 3 −1<br /> � � x = 2+2 3<br /> ( x + 1) ( x − 2 − 2 )<br /> 3 =0<br /> <br /> (<br /> + Với  − x − 1 = 3 ( x + 2 ) + 3 � − x − 1 + 3 = 3 ( x + 2 ) )<br /> Phương trình vô nghiệm do  x −2  thì  − x − 1 + 3 ( ) ( )<br /> 2 − 1 + 3 < 0 < 3( x + 2)<br /> Với  x = 2 + 2 3 � y = −6 − 6 3 . Thử lại thấy thỏa mãn.<br /> (<br /> Vậy hệ đã cho có nghiệm  ( x; y ) = 2 + 2 3; −6 − 6 3 )<br /> <br /> 7<br />  ( x 2 + 1 + x)( y 2 + 1 + y ) = 1 ( 1)<br /> Bài 2. Giải hệ phương trình <br />  4 x + 2 + 22 − 3 x = y 2 + 8 ( 2)<br /> 22<br /> Giải. Điều kiện:  −2 x<br /> 3<br /> Do  1 + y 2 − y > y2 − y = − y + y 0, ∀y ﾡ<br /> <br /> Nên nhân hai vế của phương trình (1) với  1 + y 2 − y  ta được<br /> <br /> ( 1) � x + 1 + x2 = ( − y ) + ( − y)<br /> 2<br /> +1 (3)<br /> <br /> Xét hàm số  h ( t ) = t + t 2 + 1 , t ﾡ  <br /> <br /> t t2 +1 + t t +t<br /> Ta có  h ' ( t ) = 1 + = > 0, ∀t ﾡ  <br /> t2 +1 t2 +1 t2 +1<br /> Suy ra hàm số  h ( t )  đồng biến trên  ﾡ .<br /> Do đó  ( 3) � x = − y .<br /> Thay  y = − x  vào phương trình (2) ta được:  4 x + 2 + 22 − 3 x = x 2 + 8<br /> Nhẩm được nghiệm x = 2 , thực hiện nhân liên hợp ta thu được nghiệm   x = 2   và <br /> <br /> 4 3<br /> phương trình:  − = x + 2  (*)<br /> x+2 +2 22 − 3 x + 4<br /> đặt  VT = f ( x) ; VP = g ( x)<br /> −4 9<br /> Ta có:  f ( x) = − < 0  và <br /> 2 x + 2.(2 + x + 2) 2 2 22 − 3 x .(2 + 22 − 3 x ) 2<br /> � 22 �<br /> g ( x) = 1 > 0  với  ∀x �−2; �.<br /> � 3 �<br /> � 22 �<br /> −2;<br /> Suy ra f ( x)  nghịch biến,  g ( x)  đồng biến trên  �<br /> � 3� �<br /> Mà  f (−1) = g (−1) = 1  suy ra phương trình (*) có nghiệm duy nhất  x = −1  <br /> Vậy nghiệm  ( x; y )  của hệ đã cho:  ( 2; −2 ) , ( −1;2 )<br /> <br /> <br /> Bài 3. Giải hệ phương trình <br /> ( x+ )(<br /> x2 + 1 y + y 2 + 1 = 1 ) ( 1)<br />  <br /> x + 3− x = 2y − 4 2 − y + 5<br /> 2 2<br /> ( 2)<br /> Giải. Ta có  ( 1) � x = − y , thế vào (2) ta được:<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 8<br />  y 2 + 5 − 4 2 − y − 3 + y = 0 � ( y 2 − 1) + 4 1 − 2 − y + 2 − 3 + y = 0 ( ) ( )<br /> � 4 1 �<br /> � ( y − 1) �y +1+ − �= 0<br /> � 1+ 2 − y 2 + 3 + y �<br /> y =1<br /> 4 1<br /> g ( y) = y +1+ − = 0 ( 4)<br /> 1+ 2 − y 2 + 3 + y<br /> <br /> Hàm số  g ( y )  với  y �[ −3;2] , ta có: <br /> <br /> 2 1<br /> g '( y ) = 1 + + > 0, ∀y �[ −3;2]  <br /> ( ) ( )<br /> 2 2<br /> 2 − y. 1+ 2 − y 2 3 + y. 2 + 3 − y<br /> <br /> Phương trình (4) có duy nhất nghiệm  y = −2<br /> Vậy hệ có nghiệm  ( x; y ) = ( −1;1) , ( x; y ) = ( 2; −2 ) .<br /> <br /> <br /> Bài 4. Giải hệ phương trình: <br /> ( x+ x2 + 4 )( y+ y2 + 4 = 2 )<br /> 27 x 6 + 8 y − 2 = x 3<br /> <br /> Giải. Ta có  ( 1) � x + x 2 + 4 = 2 ( y2 + 1 − y )<br /> ( −2 y ) + 4 + ( −2 y ) � f ( x ) = f ( −2 y ) (*), với  f ( t ) = t + 1 + t 2<br /> 2<br /> � x + x2 + 4 =<br /> <br /> 1+ t2 + t<br /> Xét hàm số  f ( t )  với  t ﾡ , ta có  f ' ( t ) = >0<br /> 1+ t2<br /> 1+ t2 + t t2 + t t +t<br /> (Vì  > = 0)<br /> 1+ t2 1+ t2 1+ t2<br /> nên hàm số  f ( t )  đồng biến trên  ﾡ .<br /> Do đó  ( *) � x = −2 y.<br /> Thế vào phương trình (2) ta được: <br /> <br /> ( 2 ) � 27 x 6 − 4 x − 2 = x3 � ( 3x 2 )<br /> 3<br /> + 3x 2 = x3 + 3x 2 + 4 x + 2<br /> <br /> � ( 3 x 2 ) + ( 3 x 2 ) = ( x + 1) + ( x + 1) � g ( 3 x 2 ) = g ( x + 1) , với  g ( t ) = t + t .<br /> 3 3 3<br /> <br /> <br /> <br /> Xét hàm số  g ( t )  với  t ﾡ , ta có  g ' ( t ) = 3t 2 + 1 > 0, ∀t ﾡ  nên  g ( t )  ĐB trên  ﾡ .<br /> <br /> 1 13<br /> Do vậy,  g ( 3x 2 ) = g ( x + 1) � 3x 2 = x + 1 � x =<br /> 6<br /> <br /> <br /> <br /> 9<br />  �<br /> 1 + 13 −1 − 13 ��1 − 13 −1 + 13 �<br /> Vậy, hệ đã cho có nghiệm  ( x; y )  là:  � ; �;� ; �<br /> � 6 6 �� 6 6 �<br /> <br /> <br /> Bài 5. Giải hệ phương trình: <br /> ( )(<br /> y 2 + 1 + 1 x − y + x2 + 2 x + 2 = y 2 )<br /> ( 8 y − 11) 2 x 2 + 1 − 3 = ( 3 x + 1) ( y − 1)<br /> Giải.  Do   y = 0   không thỏa mãn hệ  phương trình nên với   y 0 , nhân hai vế  với <br /> <br /> y 2 + 1 − 1 0  ta được:<br /> <br /> ( 1) � x − y + ( x + 1) ( x + 1)<br /> 2 2<br /> +1 = y2 + 1 −1 � x + 1+ + 1 = y + y2 + 1<br /> � f ( x + 1) = f ( y )<br /> <br /> Với  f ( t ) = t + t 2 + 1 .<br /> <br /> 1+ t2 + t t2 + t t +t<br /> Xét   hàm   số   f ( t ) = t + t + 1, t<br /> 2<br /> ﾡ ,   ta   có   f ' ( t ) = > = 0 <br /> 1+ t2 1+ t2 1+ t2<br /> với  ∀t ﾡ , suy ra  f ( t )  đồng biến trên  ﾡ .<br /> Do đó  f ( x + 1) = f ( y ) � y = x + 1 , thế vào (2) ta được:<br /> <br /> 3 x 2 + x − ( 8 x − 3) 2 x 2 + 1 + 3 = 0 � ( 8 x − 3) 2 x 2 + 1 = 3 x 2 + x + 3<br /> 3 3<br /> x x<br /> �� 8 �� 8<br /> ( 8 x − 3) ( 2 x + 1) = ( 3x + x + 3)<br /> 2<br /> � 2 2 2 �<br /> 119 x 4 − 102 x 3 + 63 x 2 − 54 x = 0<br /> 3<br /> x 6 13<br /> � 8 � x= �y=<br /> 7 7<br /> 119 x 3 − 102 x 2 + 63x − 54 = 0<br /> <br /> �6 13 �<br /> Vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm  ( x; y ) = � ; �.<br /> �7 7 �<br /> Bài 6. (HSG tỉnh Nam Định 2013) Giải hệ phương trình: <br /> <br /> xy + 2 = y x 2 + 2<br /> y 2 + 2 ( x + 1) x 2 + 2 x + 3 = 2 x 2 − 4 x.<br /> Phân tích: Ta thấy phương trình thứ  nhất của hệ  là phương trình bậc nhất  <br /> ẩn y nên ta sẽ rút y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai của hệ.<br /> Giải. ĐKXĐ:  x �ﾡ ; y �ﾡ . <br /> <br /> Ta có  xy + 2 = y x + 2 � y<br /> 2<br /> ( )<br /> x2 + 2 − x = 2 � y =<br /> 2<br /> x2 + 2 − x<br /> � y = x2 + 2 + x  <br /> <br /> <br /> 10<br /> Thế vào phương trình thứ hai trong hệ, ta có :<br /> <br /> ( )<br /> 2<br /> x2 + 2 + x + 2 ( x + 1) x 2 + 2 x + 3 = 2 x 2 − 4 x<br /> <br /> � 1 + x x 2 + 2 + 2 x + ( x + 1) x 2 + 2 x + 3 = 0 .<br /> <br /> � ( x + 1) � ( x + 1) + 2 �= ( − x ) � ( −x) + 2 � (*)<br /> 2 2<br /> 1+ 1+<br /> �<br /> � �<br /> � �<br /> � �<br /> �<br /> <br /> (<br /> Xét hàm số  f (t ) = t 1 + t 2 + 2  với  t ) ﾡ . Ta có <br /> <br /> t2<br /> f '(t ) = 1 + t 2 + 2 + > 0, ∀t ��<br /> ﾡ f (t )  đồng biến trên  ﾡ . <br /> t2 + 2<br /> 1<br /> Mặt khác, phương trình (*) có dạng  f ( x + 1) = f (− x) � x + 1 = − x � x = − � y = 1<br /> 2<br /> .<br /> �1 �<br /> Vậy hệ đã cho có nghiệm là  ( x; y ) = �− ;1�.<br /> �2 �<br /> <br /> 2.2.3. Tìm hàm đặc trưng dạng bậc ba dạng  f ( t ) = at 3 + bt 2 + ct + d<br /> <br /> 2.2.3.1. Hệ chứa một phương trình có dạng <br /> a1 x3 + b1 x 2 + c1 x + d1 = a2 y 3 + b2 y 2 + c2 y<br /> Phương pháp: Ta tìm cách biến đổi phương trình trên về dạng:<br /> m. ( ax + b ) + n ( ax + b ) = m. ( cy + d ) + n ( cy + d ) � f ( ax + b ) = f ( cy + d )<br /> 3 3<br /> <br /> <br /> Đến đây, ta xét hàm số  f ( t )  và chứng minh hàm  f ( t )  luôn đồng biến (nghịch biến)  <br /> trên D.<br /> Suy ra:  f ( ax + b ) = f ( cy + d ) � ax + b = cy + d  và thế vào phương trình còn lại.<br /> Lưu ý: miền  D = D1 D2  với  D1 , D2 là miền của  ax + b  và  cy + d .<br /> <br /> Bài 1.  (Đại học khối A năm 2012) Giải hệ phương trình: <br /> x3 − 3x 2 − 9 x + 22 = y 3 + 3 y 2 − 9 y<br /> 1<br /> x2 + y 2 − x + y =<br /> 2<br /> Phân tích: Hai vế của phương trình đầu đều có dạng bậc 3 (với hai biến x,  <br /> y), nên ta định hướng đưa phương trình đầu về  dạng   f ( u ) = f ( v ) , tuy nhiên hàm  <br /> <br /> đặc trưng lúc đó   f ( t ) = t 3 − 12t   không đơn điệu trên   ﾡ   do đó ta phải chặn biến.  <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 11<br />  2 2<br /> � 1� � 1�<br /> Nhìn vào phương trình thứ  2 ta thấy đưa được về   �x − �+ �y + � = 1   suy ra <br /> � 2� � 2�<br /> <br /> 1 1<br /> x− 1; y − 1.<br /> 2 2<br /> <br /> ( x − 1) − 12 ( x − 1) = ( y + 1) − 12 ( y + 1) ( 1)<br /> 3 3<br /> <br /> <br /> Giải. HPT  � 1� � 1�<br /> 2 2  <br /> �x − �+ �y + � = 1 ( 2)<br /> � 2� � 2�<br /> � 1 �3 1<br /> �−1 x − 1 −<br /> � x −1<br /> � 2 �2 2<br /> Từ (2), suy ra  � �<br /> � 1 � 1 3<br /> −1 y + 1 − y +1<br /> � 2 �2 2<br /> � 3 3�<br /> − ; �, ta có   f ' ( t ) = 3 ( t 2 − 4 ) < 0,   suy ra   f ( t )  <br /> Xét hàm số   f ( t ) = t 3 − 12t   trên   �<br /> � 2 2�<br /> nghịch biến.<br /> Do đó  ( 1) � x − 1 = y + 1 � y = x − 2 ( 3)<br /> 1<br /> 2 2 x=<br /> � 1� � 3� 2<br /> Thay vào (2), ta được:  �x − �+ �x − � = 1 � 4 x − 8 x + 3 = 0 �<br /> 2<br /> <br /> � 2� � 2� 3<br /> x=<br /> 2<br /> �1 3 � �3 1 �<br /> Thay vào (3), ta được nghiệm của hệ là  ( x; y ) = � ; − �;  ( x; y ) = � ; − � <br /> �2 2 � �2 2 �<br /> x3 − y 3 = 3 ( x − y 2 ) + 2 ( 1)<br /> Bài 2. Giải hệ phương trình <br /> x2 + 1 − x2 − 3 2 y − y 2 + 2 = 0 ( 2)<br /> Giải. Điều kiện  −1 x 1;0 y 2.<br /> <br /> Ta có  ( 1) � x 3 − 3 x = ( y − 1) − 3 ( y − 1) ( 3)<br /> 3<br /> <br /> <br /> <br /> Do  0 �y �2 � −1 �y − 1 �1<br /> Xét hàm số   f ( t ) = t 3 − 3t  với  −1 t 1 , có  f ' ( t ) = 3t 2 − 3 �0, ∀t �[ −1;1]  nên hàm số <br /> <br /> f ( t )  đồng biến trên  [ −1;1] .<br /> <br /> Do đó  ( 3) � f ( x ) = f ( y − 1) � x = y − 1  hay  y = x + 1<br /> Thế vào (2) ta được <br /> x2 + 1 − x2 − 3 1 − x2 + 2 = 0 � x2 + 2 = 2 1 − x2 � x4 + 8x2 = 0 � x = 0<br /> Với  x = 0 � y = 1  (thỏa mãn điều kiện).<br /> <br /> <br /> 12<br /> Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất  ( x; y ) = ( 0;1) .<br /> x3 − 2 y 3 + 3 ( x − 2 y ) = 3 xy ( x − y ) ( 1)<br /> Bài 3. Giải hệ phương trình   <br /> 2 x3 = ( 1 + 4 y − 3x 2 ) 2 x + 1 ( 2)<br /> 1<br /> Giải. Điều kiện:  x − .<br /> 2<br /> Phương trình  ( 1) � ( x − y ) + 3 ( x − y ) = y 3 + 3 y  <br /> 3<br /> (3)<br /> <br /> Xét hàm số  f ( t ) = t 3 + 3t ,  với  t ﾡ . <br /> Ta có  f ' ( t ) = 3t 2 + 3 > 0, ∀t ﾡ  nên  f ( t ) = t 3 + 3t  đồng biến trên  ﾡ .  <br /> Khi đó: (3) có dạng  f ( x − y ) = f ( y ) � x − y = y � x = 2 y.  <br /> <br /> Thế vào (2) ta được:  2 x = ( 1 + 2 x − 3 x ) 2 x + 1  <br /> 3 2<br /> (4)<br /> <br /> Đặt  t = 2 x + 1, t 0,  khi đó (4) trở thành:  2 x 3 = t 3 − 3 x 2 t � 2 x3 + 3x 2 t − t 3 = 0  <br /> Nếu  t = 0  thì  x = 0  không thỏa mãn (4)<br /> x<br /> 3 = −1 2<br /> �x � �x � t x = −t<br /> Nếu  t 0,  chia hai vế cho  t 3  ta được:  2 � �+ 3 � �− 1 = 0 ��  <br /> �t � �t � x 1 t = 2x<br /> =<br /> t 2<br /> 1<br /> 1 − x 0<br /> �− x 0 � 2<br /> Với  x = −t ,  ta có  x = − 2 x + 1 ���<br /> �2 �x = 1 + 2 x = 1− 2  <br /> �x 2 = 2 x + 1 �<br /> x = 1− 2<br /> Với  2x = t , ta có <br /> x 0<br /> <br /> x 0 1+ 5<br /> x= 1+ 5<br /> 2 x = 2 x + 1 ���<br /> � 2 � 4 x=  <br /> 4x − 2x −1 = 0 4<br /> 1− 5<br /> x=<br /> 4<br /> � 1− 2 � � 1+ 5 1+ 5 �<br /> Vậy hệ đã cho có hai nghiệm  ( x; y )   là:  �<br /> 1 − 2; �  và  � ; � <br /> � 2 � � 4 8 �<br /> <br /> y 3 + y = x3 + 3x 2 + 4 x + 2 ( 1)<br /> Bài 4. Giải hệ phương trình <br /> 1 − x2 − y = 2 − y −1 ( 2)<br /> Giải. Điều kiện  −1 x 1;0 y 2 . <br /> <br /> ( 1) � ( x + 1)<br /> 3<br /> + x + 1 = y3 + y (3)<br /> <br /> <br /> 13<br /> Xét hàm số   f ( t ) = t 3 + t , t ﾡ   có   f ' ( t ) = 3t 2 + 1 > 0, ∀t ﾡ   nên hàm số   f ( t )   đồng <br /> biến trên  ﾡ<br /> Do đó,  ( 3) � f ( x + 1) = f ( y ) � y = x + 1<br /> Thế vào (2) ta được:  1 − x 2 + 1 = 1 + x + 1 − x (4)<br /> t2 − 2<br /> Đặt  t = 1 + x + 1 − x ( t 0 ) � t 2 = 2 + 2 1 − x2 � 1 − x2 =<br /> 2<br /> t2 − 2 t=0<br /> Phương trình (4) trở thành  + 1 = t � t 2 − 2t = 0 �<br /> 2 t=2<br /> <br /> Với  t = 0 , ta có   1 + x + 1 − x = 0 � 2 + 2 1 − x 2 = 0  (vô nghiệm)<br /> Với  t = 2  ta có  1 + x + 1 − x = 2 � 2 + 2 1 − x 2 = 4 � 1 − x 2 = 1 � x = 0<br /> Với  x = 0 � y = 1  (thỏa mãn điều kiện).<br /> Vậy hệ đã cho có nghiệm  ( x; y ) = ( 0;1) .<br /> <br /> 2 x + xy x 2 y 2 + 2 + ( xy + 1) x 2 + 4 x + 6 + 3 = 0 ( 1)<br /> Bài 5. Giải hệ phương trình: <br /> xy ( xy − 1) + x 2 y 2 = ( x + 1) ( x 2 + x + 1) ( 2)<br /> Phân tích: Nhân thấy cả hai phương trình không độc lập được x, y ở hai vế, nhưng  <br /> để ý ở phương trình (2), nếu xem  z = xy thì z, x độc lập ở hai vế, đến đây ta biến đổi  <br /> để xuất hiện hàm đặc trưng.<br /> ( 2 ) � xy ( x 2 y 2 − 2xy + 1) + x 2 y 2 = ( x + 1) ( x 2 + x + 1)<br /> � xy ( x 2 y 2 − xy + 1) = ( x + 1) �<br /> ( x + 1) − ( x + 1) + 1�<br /> 2<br /> � �<br /> � f ( xy ) = f ( x + 1)<br /> với  f ( t ) = t 3 − t 2 + t .<br /> Đến   đây,   ta   chứng   minh   hàm   f ( t )   đồng   biến,   ta   sẽ   suy   ra   xy = x + 1 ,   thế   vào  <br /> phương trình còn lại để tìm x.<br /> Giải. Điều kiện  x, y ﾡ .<br /> Ta có:  ( 2 ) � xy ( x y − 2 xy + 1) + x y = ( x + 1) ( x + x + 1)<br /> 2 2 2 2 2<br /> <br /> <br /> <br /> � xy ( x 2 y 2 − xy + 1) = ( x + 1) �<br /> (�x + 1) − ( x + 1) + 1�<br /> 2<br /> �<br /> � f ( xy ) = f ( x + 1)<br /> với  f ( t ) = t 3 − t 2 + t .<br /> Xét hàm số  f ( t )  trên  ﾡ , ta có  f ' ( t ) = 3t 2 − 2t + 1 = 2t 2 + ( t − 1) > 0, ∀t<br /> 2<br /> ﾡ .<br /> Do đó, hàm số  f ( t )  đồng biến trên  ﾡ .<br /> Suy ra,  f ( xy ) = f ( x + 1) � xy = x + 1 . Thế vào (1) ta được:<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 14<br />  ( 1) � 2 x + ( x + 1) x2 + 2x + 3 + ( x + 2) x2 + 4x + 6 + 3 = 0<br /> <br /> ( )<br /> � ( x + 1) 1 + x 2 + 2 x + 3 + ( x + 2 ) 1 + x 2 + 4 x + 6 = 0 ( )<br /> � ( x + 1) 1 + ( ( x + 1)<br /> 2<br /> )<br /> + 2 = ( − x − 2) 1 + ( ( − x − 2)<br /> 2<br /> +2 )<br /> � g ( x + 1) = g ( − x − 2 )<br /> <br /> ( )<br /> Với  g ( t ) = t 1 + t 2 + 2 = t + t t 2 + 2<br /> t2<br /> Xét hàm số   g ( t )   trên   ﾡ , ta có   g ' ( t ) = 1 + t + 2 + > 0, ∀t<br /> 2<br /> ﾡ   nên hàm số <br /> t2 + 2<br /> g ( t )  đồng biến trên  ﾡ . <br /> −3 1<br /> Do đó,  g ( x + 1) = g ( − x − 2 ) � x + 1 = − x − 2 � x = �y= .<br /> 2 3<br /> � 3 1�<br /> Vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm  ( x; y ) = � − ; �<br /> � 2 3�<br /> x3 + x − 2 = y 3 + 3 y 2 + 4 y ( 1)<br /> Bài 6. Giải hệ phương trình  2x + 1 x + 2<br /> 2 = ( 2)<br /> y+2 x +1<br /> Phân tích: Dễ dàng biến đổi được phương trình (1) về dạng  f ( x ) = f ( y + 1)<br /> <br /> , với  f ( t ) = t 3 + t  đồng biến trên  ﾡ . Do đó ta được  x = y + 1<br /> 2x + 1 x + 2<br /> Thế  vào  (2) ta có   2 = .  Đến đây, muôn sử  dụng phương pháp đặt  ẩn  <br /> x +1 x +1<br /> phụ, chúng ta phải tự đặt câu hỏi, các biểu thức trong phương trình có mối liên quan  <br /> <br /> ( ) = x + 1 , còn  ( x + 2 )  có mối liên hệ như thế  <br /> 2<br /> đặc biệt nào với nhau? Ta thấy  x +1<br /> <br /> nào?<br /> Chú ý rằng, ta luôn tìm được sự liên hệ:<br /> ax + b α ( mx + n ) + β ( cx + d ) cx + d<br /> = =α + β<br /> mx + n mx + n mx + n<br /> Vì vậy, ta sẽ tiến hành xác định  α , β  trong phân tích:<br /> x + 2 α ( x + 1) + β ( 2 x + 1) �α + 2β = 1 �α =3<br /> = ��<br /> � � . <br /> x +1 x +1 �α +β =2 �β = −1<br /> 2x + 1<br /> Giải. Điều kiện  x −1; y 0; 0<br /> y+2<br /> Có  ( 1) � x 3 + x = ( y + 1) + ( y + 1)  (*)<br /> 3<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 15<br /> Xét hàm số   f ( t ) = t 3 + t , t ﾡ  có  f ' ( t ) = 3t 2 + 1 > 0∀t ﾡ  nên  f ( t )  đồng biến trên <br /> <br /> ﾡ , do đó  ( *) � x = y + 1  hay  y = x − 1 . Thế vào (2) ta được:<br /> 2x + 1 x + 2 2x + 1 2x + 1<br /> 2 = �2 = 3− (3)<br /> x +1 x +1 x +1 x +1<br /> 2x + 1 t =1<br /> Đặt  = t(t 0 ) , phương trình trở thành:  t 2 + 2t − 3 = 0<br /> x +1 t = −3 ( loai )<br /> Với  t = 1  thay trở lại cho ta nghiệm của (3) là  x = 0 , suy ra  y = −1  (thỏa mãn ĐK)<br /> Vậy hệ đã cho có nghiệm  ( x; y ) = ( 0; −1)<br /> <br /> 2.2.3.2. Hệ chứa một phương trình dạng <br /> a1 x3 + b1 x 2 + c1 x + d1 = ( a2 y + b2 ) c2 y + d 2  <br /> Khi đó, ta căn cứ vào biểu thức  ( a2 y + b2 ) c2 y + d 2  để truy ra hàm đặc trưng<br /> a<br /> ( a2 y + b2 ) c2 y + d 2 = 2 �<br /> ( c2 y + d 2 ) + α �<br /> � c2 y + d 2<br /> c2 �<br /> α a2<br /> a2<br /> ( )<br /> 3<br /> = c2 y + d 2<br /> c2 y + d 2 +<br /> c2 c2<br /> a2 α a2<br /> Tiếp theo,  ta sẽ biến đổi vế trái về dạng  ( x + m ) + ( x + m )  (chú ý đưa hết <br /> 3<br /> <br /> c2 c2<br /> a2 3 α a2<br /> b1 x 2   vào trong khai triển bậc 3 rồi thực hiện xét hàm đặc trưng  f ( t ) = t + t<br /> c2 c2<br /> Bài 1. (Trích đề thi TSĐH khối A năm 2010) Giải hệ phương trình: <br /> ( 4x 2<br /> + 1) x + ( y − 3) 5 − 2 y = 0 ( 1)<br /> 4x2 + y 2 + 2 3 − 4x = 7 ( 2)<br /> Phân tích: Ta nhận thấy khó có thể bắt đầu với phương trình (2), để ý đến phương  <br /> trình (1),  4 x 2 + 1  là biểu thức bậc hai của  x  và  y − 3  có thể coi là biểu thức bậc hai  <br /> của  5 − 2 y . Nếu đặt  t = 5 − 2 y  thì:<br /> �5 − t 2 � −1 2<br /> ( y − 3) 5 − 2y = � t = ( t + 1) t<br /> − 3�<br /> �2 � 2<br /> Biểu thức  ( t + 1) t  có hình thức giống với  ( 4 x + 1) 2 x , do vậy ta sẽ biến đổi  ( 1)  về <br /> 2 2<br /> <br /> <br /> <br /> dạng  f ( u ) = f ( v ) . Để đưa về dạng này ta thường “cô lập” biến, do vậy sẽ chuyển  <br /> <br /> ( y − 3) 5 − 2 y  sang vế phải của  ( 1) .<br /> 3 5<br /> Giải. Điều kiện  x ;y  <br /> 4 2<br /> <br /> 16<br /> Khi đó  ( 1) � ( 4 x + 1) .2 x = ( 5 − 2 y + 1) 5 − 2 y  <br /> 2<br /> (3)<br /> <br /> Xét hàm số  f ( t ) = ( t + 1) t = t + t ,  với  t<br /> 2 3<br /> ﾡ  <br /> <br /> Ta có  f ' ( t ) = 3t 2 + 1 > 0, ∀ t ﾡ  suy ra  f ( t )  đồng biến trên  ﾡ  <br /> x 0<br /> Do đó  ( 3) � 2 x = 5 − 2 y � 5 − 4 x 2   <br /> y=<br /> 2<br /> 5 − 4x2<br /> Thay  y =  vào phương trình (2) ta được:<br /> 2<br /> 2<br /> �5 �<br /> 4 x + � − 2 x 2 �+ 2 3 − 4 x − 7 = 0  <br /> 2<br /> (4)<br /> �2 �<br /> Phân tích: Phương trình (4) trông khá “phức tạp” nên ta định hướng sử dụng  <br /> phương pháp hàm số để giải quyết<br /> 3<br /> Nhận thấy  x = 0  và  x =  không là nghiệm của phương trình (4)<br /> 4<br /> 2<br /> �5 � � 3�<br /> Xét hàm số  g ( x ) = 4 x 2 + � − 2 x 2 �+ 2 3 − 4 x − 7  với  x �<br /> 0; �, ta có:<br /> �2 � � 4�<br /> �5 � 4 4 � 3�<br /> g ' ( x ) = 8 x − 8 x � − 2 x 2 �− = 4 x ( 4 x 2 − 3) − < 0, ∀x �<br /> 0; � <br /> �2 � 3 − 4x 3 − 4x � 4�<br /> � 3� �1 �<br /> Do đó  g ( x )  nghịch biến trên  �<br /> 0; �. Mà  g � �= 0  nên phương trình (4) có nghiệm <br /> � 4� �2 �<br /> <br /> 1<br /> duy nhất  x =  suy ra  y = 2 .<br /> 2<br /> �1 �<br /> Vậy hệ đã cho có nghiệm  ( x; y ) = � ;2 �.<br /> �2 �<br /> ( y 2 + 1) y + (1 − 2 x) 2 x − 2 = 0 ( 1)<br /> Bài 2. Giải hệ phương trình   <br /> ( y 2 − 2)( 3 4 x − 4 + y ) = 3 x − 1 ( 2)<br /> Phân tích:  Trong phương trình  (1),   ( y + 1) y   là hàm số  bậc ba đối với y; <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> (1 − 2 x) 2 x − 2   là hàm số  bậc ba đối với   t = 2 x − 2 , nên ta sẽ  thử  biến đổi về  <br /> dạng  f ( u ) = f ( v )  từ phương trình (1).<br /> Giải. Điều kiện :  x 1<br /> <br /> ( )<br /> 2<br /> Ta có: (1) ( y 2 + 1) y = � 2 x − 2 + 1� 2 x − 2   (3)<br /> �<br /> � �<br /> �<br /> <br /> <br /> 17<br /> Xét hàm số  f (t ) = t 3 + t   trên  ﾡ , có  f ' ( t ) = 3t 2 + 1 > 0, ∀t ﾡ<br /> nên  f (t )  đồng biến trên  ﾡ<br /> Do đó,  (3) f ( y ) = f ( 2 x − 2) � y = 2 x − 2  <br /> Thay vào (2) ta được :  (2 x − 4)( 3 4 x − 4 + 2 x − 2) = 3 x − 1       (4)<br /> x = 2  không phải là nghiệm của (4)<br /> 3x − 1<br /> x 2 : (4) 3<br /> 4x − 4 + 2x − 2 = .       <br /> 2x − 4<br /> 3x − 1<br /> Đặt  f ( x ) = 3 4 x − 4 + 2 x − 2 ;  g ( x ) =  ,  <br /> 2x − 4<br /> 4 1<br /> ta có  f ' ( x ) = + > 0, ∀x > 0  và <br /> 3 3 (4 x − 4) 2 2x − 2<br /> −10<br /> g '( x ) = < 0, ∀x �(1;2) và (2; +�)<br /> (2 x − 4) 2<br /> f ( x )  đồng biến trên (1;2) và (2;+ ) , g(x) nghịch biến trên (1;2) và (2;+ )<br /> <br /> Trên  [ 1;2 ) , ta có  min f ( x ) = 0;max g ( x ) = −1 (4) không có nghiệm.<br /> Trên   ( 2;+ ) ,   (4)   có   tối   đa   một   nghiệm.   Mà   f ( 3) = g ( 3) = 4 � x = 3   là <br /> nghiệm duy nhất của (4).<br /> Với  x = 3 � y = 2 . <br /> Vậy hệ có nghiệm duy nhất  ( x; y ) = ( 3;4 ) .<br /> <br /> 4 x 3 − 3 x + ( y − 1) 2 y + 1 = 0 ( 1)<br /> Bài 3. Giải hệ phương trình: <br /> 2 x 2 + x + − y ( 2 y + 1) = 0 ( 2)<br /> 1<br /> Giải. Điều kiện:  − y 0 <br /> 2<br /> ( 2 y + 1) − 3�<br /> � 2 y + 1 = ( −2 x ) − 3 ( −2 x ) (3)<br /> 3<br /> Phương trình (1)  � �<br /> �<br /> 1<br /> Vì  − y 0  nên  0 2 y + 1 1.  <br /> 2<br /> Từ phương trình (2) của hệ ta thấy để hệ có nghiệm thì <br /> 1<br /> 2 x 2 �x �0− � + x<br /> �� 0 0 2x 1 .<br /> 2<br /> Xét   hàm   số   f ( t ) = t 3 − 3t , t [ 0;1] ,   ta   có   f ' ( t ) = 3t 2 − 3 0, ∀t [ 0;1]   nên   hàm   số <br /> f ( t )   nghịch biến trên  [ 0;1]  ta suy ra <br /> <br /> <br /> <br /> 18<br />  x 0<br /> ( 3) � f ( −2 x ) = f ( )<br /> 2 y + 1 � −2 x = 2 y + 1 �<br /> y=<br /> 4x2 −1  <br /> 2<br /> 4x2 − 1<br /> Thế  y =  vào (2) ta được:<br /> 2<br /> <br /> )<br /> x=0<br /> 2 x 2 + x − 2 x.<br /> 1 − 4x2<br /> 2 (<br /> = 0 � x 2x + 1 − 2 ( 1 − 4x2 ) = 0 �<br /> 2 − 8x2 = 2x + 1