I. M ĐUỞ Ầ
1. Lí do ch n đ tàiọ ề
Đng tr c m t bài toán ,đc bi t là bài toán khó ng i làm toán luôn đt raứ ướ ộ ặ ệ ườ ặ
ph ng h ng gi i quy t. Tuy nhiên đi v i ng i ham mê toán còn đi tìm cácươ ướ ả ế ố ớ ườ
cách gi i quy t khác nhau, nh t là tìm đc cách gi i hay ng n g n và m i lả ể ấ ượ ả ắ ọ ớ ạ
thì l i càng kích thích tính tò mò khám phá và lòng say mê h c toán .ạ ọ
Hi n nay trong các đ thi THPT Qu c gia ,đ thi ch n h c sinh gi i th ngệ ề ố ề ọ ọ ỏ ườ
xu t hi n bài toán hình h c không gian t ng h p (c đi n) mà đó l i gi i đòiấ ệ ọ ổ ợ ổ ể ở ờ ả
h i v n d ng khá ph c t p các ki n th c hình h c không gian nh : ch ng minhỏ ậ ụ ứ ạ ế ứ ọ ư ứ
quan h song song, quan h vuông góc, d ng hình đ tính góc và kho ng cách,ệ ệ ự ể ả
tính th tích kh i đa di n… Vi c ti p c n các l i gi i đó th c t cho th y th tể ố ệ ệ ế ậ ờ ả ự ế ấ ậ
s là m t khó khăn cho h c sinh, nh t là h c sinh có l c h c trung bình, ch ngự ộ ọ ấ ọ ự ọ ẳ
h n bài toán tính kho ng cách gi a hai đng th ng chéo nhau. Trong khi đó,ạ ả ữ ườ ẳ
n u b qua yêu c u b t bu c ph i d ng hình mà ch d ng m c đ tính toánế ỏ ầ ắ ộ ả ự ỉ ừ ở ứ ộ
thì rõ ràng ph ng pháp t a đ t ra hi u qu h n vì t t c m i tính toán đu đãươ ọ ộ ỏ ệ ả ơ ấ ả ọ ề
đc công th c hóa. V i nh ng lí do nh trên, t th c t gi ng d y, v i kinhượ ứ ớ ữ ư ừ ự ế ả ạ ớ
nghi m thu đc, tôi đã ti n hành th c hi n đ tài sáng ki n cho năm 2016 v iệ ượ ế ự ệ ề ế ớ
n i dung ộ“S d ng ph ng pháp t a đ đ tính kho ng cách trong bài toánử ụ ươ ọ ộ ể ả
hình h c không gian”ọ
2. M c đích nghiên c uụ ứ
V i vi c nghiên c u đ tài ớ ệ ứ ề “S d ng ph ng pháp t a đ đ tính kho ngử ụ ươ ọ ộ ể ả
cách trong bài toán hình h c không gian” ọs giúp h c sinh ,đc bi t là điẽ ọ ặ ệ ố
t ng h c sinh h c m c đ khá, k c trung bình có th tính đc các bàiượ ọ ọ ở ứ ộ ể ả ể ượ
toán v kho ng cách m t cách d dàng thông qua công th c có s n.ề ả ộ ễ ứ ẵ
3. Đi t ng nghiên c uố ượ ứ
Đi t ng nghiên c u c a sáng ki n này là h c sinh m c đ đi trà l p 12-ố ượ ứ ủ ế ọ ở ứ ộ ạ ớ
THPT Tr n Phú –Thanh Hóa. T t nhiên v i t ng đi t ng h c sinh mà s cóầ ấ ớ ừ ố ượ ọ ẽ
nh ng ví d minh h a ho c các bài toán áp d ng s là khác nhauữ ụ ọ ặ ụ ẽ
4. Ph ng pháp nghiên c uươ ứ
Sáng ki n kinh nghi m này đc trình b y theo hình th c t ng h p lý thuy tế ệ ượ ầ ứ ổ ợ ế
sách giáo khoa , bài toán minh h a đi n hình theo th t t đn gi n đn ph cọ ể ứ ự ừ ơ ả ế ứ
t p và m t s bài t p áp d ng .Qua đó mong mu n khai thác thêm đc cái hayạ ộ ố ậ ụ ố ượ
cái đp c a toán h c và đng th i góp ph n tăng thêm k năng gi i toán cho h cẹ ủ ọ ồ ờ ầ ỹ ả ọ
sinh.
II. N I DUNG SÁNG KI N KINH NGHI MỘ Ế Ệ
1. C s lý lu n c a sáng ki n kinh nghi mơ ở ậ ủ ế ệ
Các ki n th c đc s d ng trong sáng ki n này đu thu c ph m vi ki nế ứ ượ ử ụ ế ề ộ ạ ế
th c đc trình bày trong Sách giáo khoa Hình h c 12 chu n và nâng caoứ ượ ọ ẩ
(ch ng III), các ví d đc t ng h p t các bài t p trong Sách giáo khoa vàươ ụ ượ ổ ợ ừ ậ
1
Sách bài t p, các bài toán l y t các đ thi th THPT Qu c gia, thi h c sinh gi iậ ấ ừ ề ử ố ọ ỏ
các c p. ấ
Các kí hi u th ng dùng trong sáng ki n:ệ ườ ế
+ VTPT: vect pháp tuy n, VTCP: vect ch ph ngơ ế ơ ỉ ươ
+ (XYZ): m t ph ng qua 3 đi m X, Y, Zặ ẳ ể
+ d(X,(P)): kho ng cách t đi m X đn m t ph ng (P)ả ừ ể ế ặ ẳ
+ d((P),(Q)): kho ng cách gi a hai m t ph ng song song (P) và (Q)ả ữ ặ ẳ
+ d(a,b): kho ng cách gi a hai đng th ng chéo nhau ả ữ ườ ẳ a và b.
Các ki n th c c n nhế ứ ầ ớ
a.Kho ng cách gi a 2 đi m :ả ữ ể
Kho ng cách gi a hai đi m A(xả ữ ể A;yA;zA) và B(xB;yB;zB) là:
2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB x x y y z z
= − + − + −
b.Kho ng cách t đi m đn đo n th ng:ả ừ ể ế ạ ẳ
Kho ng cách t M đn đu ng th ng (d) ả ừ ế ờ ẳ
Đng th ng ườ ẳ
∆
đi qua
0
M
có VTCP
u
r
thì kho ng cách t đi m ả ừ ể
M
đn đngế ườ
th ng ẳ
∆
là:
0
[M , ]
( , )
M u
d M
u
∆ =
uuuuur r
r
c. Kho ng cách t đi m đn m t ph ngả ừ ể ế ặ ẳ
Kho ng cách t Mả ừ 0(x0;y0;z0) đn m t ph ng ( ): Ax+By+Cz+D=0 cho b iαế ặ ẳ ở
côngth cứ
0 0 0
02 2 2
Ax
( , ) By Cz D
d M
A B C
α
+ + +
=+ +
d.Kho ng cách gi a 2 đng th ng chéo nhau:ả ữ ườ ẳ
Đng th ng (d) điqua M(xườ ẳ 0;y0;z0);có VTCP
1 2 3
( ; ; )a a a a
=
r
Đng th ng (d’)qua M’(x’ườ ẳ 0;y’0;z’0) có VTCP
Khi đó kho ng cách gii a hai đng th ng (d) và (d’) là : ả ữ ưở ẳ
[ , ']. '
( , ')
[ , ']
hop
day
a a MM V
d d d S
a a
= =
r uur uuuuur
r uur
ĐC BI T: Ặ Ệ Tính kho ng cách gi a hai đng th ng AB, CD khi bi t t a đ ả ữ ườ ẳ ế ọ ộ
c a chúng ủ
,
( , )
,
AB CD AC
d AB CD
AB CD
� �
� �
=� �
� �
uuur uuur uuur
uuur uuur
Đ ể“S d ng ph ng pháp t a đ đ tính kho ng cách trong bài toán hìnhử ụ ươ ọ ộ ể ả
h c không gian” ọta có “Ba b c c b n”ướ ơ ả sau đây:
+ Xây d ng h tr c t a đ thích h pự ệ ụ ọ ộ ợ
+ Xác đnh t a đ các đi m liên quanị ọ ộ ể
2
+ Chuy n bài toán hình không gian t ng h p v bài toán t ng ngể ổ ợ ề ươ ứ
trong không gian t a đ và v n d ng các công th c thích h p (ch ng minhọ ộ ậ ụ ứ ợ ứ
vuông góc, song song, tính th tích, góc, kho ng cách…). ể ả
2. Th c tr ng c a v n đ tr c khi áp d ng sáng ki nự ạ ủ ấ ề ướ ụ ế
Trong quá trình gi ng d y nhi u năm t i tr ng THPT Tr n Phú –Thanh hóaả ạ ề ạ ườ ầ
là
m t tr ng m i thành l p do đó có nhi u h c sinh còn h n ch v m t t duyộ ườ ớ ậ ề ọ ạ ế ề ặ ư
đc bi t là t duy hình h c . Khi d y bài toán v tính kho ng cách trong hìnhặ ệ ư ọ ạ ề ả
h c không gian nhi u h c sinh không làm đc bài này.Khi ch a áp d ng sángọ ề ọ ượ ư ụ
ki n ch có m t s ít em làm đc nh ng ph i loay hoay v i s h tr c aế ỉ ộ ố ượ ư ả ớ ự ỗ ợ ủ
Th y.Qua ki m tra kh o sát hai l p 12B và 12C t i tr ng THPT Tr n Phú đầ ể ả ớ ạ ườ ầ ể
đi ch ng l p 12B áp d ng sáng ki n và l p 12C không áp d ng sáng ki n k tố ứ ớ ụ ế ớ ụ ế ế
qu thu đc nhả ượ ư
sau :
Th i gian và k t qu th c nghi mờ ế ả ự ệ
Th ngàyứMôn/L pớSĩ s ốS h c sinh ố ọ
không gi i ả
đc bài toánượ
S h c sinhố ọ
gi i đc bàiả ượ
toán
Th t ngàyứ ư
9/3/2016 Toán – 12C 43 36 7
Th sáu ngàyứ
11/3/2016 Toán – 12B 44 12 32
Qua th c t áp d ng trên đ so sánh ta th y vi c áp d ng sáng ki n vào gi ngự ế ụ ở ể ấ ệ ụ ế ả
d y đã mang đn hi n qu rõ r t, không nh ng th vi c áp d ng sáng ki n cònạ ế ệ ả ệ ữ ế ệ ụ ế
t o ra s h ng thú h c t p cho h c sinh đc bi t t o ra t duy tìm tòi sáng t oạ ự ứ ọ ậ ọ ặ ệ ạ ư ạ
trong quá trình h c t p c a các em . Sau nh ng năm tr c ti p gi ng d y ôn thiọ ậ ủ ữ ự ế ả ạ
t t nghi p, đi h c cao đng tr c đây cũng nh ôn thi THPT Qu c gia hi nố ệ ạ ọ ẳ ướ ư ố ệ
nay và b i d ng h c sinh khá gi i ,h c sinh d thi h c sinh gi i tr ng , gi iồ ưỡ ọ ỏ ọ ự ọ ỏ ườ ỏ
t nh tôi đã đi tìm tòi các cách gi i phù h p trong đó ỉ ả ợ “S d ng ph ng pháp t aử ụ ươ ọ
đ đ tính kho ng cách trong bài toán hình h c không gian” ộ ể ả ọ là nh ngữ
ph ng pháp nh th và tôi đã m nh d n c i ti n ph ng pháp này đng th iươ ư ế ạ ạ ả ế ươ ồ ờ
áp d ng sáng ki n này trong các năm h c t 2005- 2006 đn nay tr ng THPTụ ế ọ ừ ế ở ườ
Tr n Phú Thanh Hoá.ầ
3.Các gi i pháp đã s d ng đ gi i quy t v n đ ả ử ụ ể ả ế ấ ề
3.1 . Các ví d minhụ
Đ làm sáng t đi u này tôi xin đa ra 10 ví d đi n hình và 8 bài t p áp d ngể ỏ ề ư ụ ể ậ ụ
cho sáng ki n nh sauế ư
3
Ví d 1 .ụ Cho hình l p ph ng ABCD.A’B’C’D’ có c nh b ng 1 và I là tâm ậ ươ ạ ằ c aủ
ABCD. G i P là trung đi m c a A’D’.Tính theo ọ ể ủ
a
kho ng cách gi a c p đngả ữ ặ ườ
th ng A’B, B’D và c p đng th ng PI, AC’. ẳ ặ ườ ẳ
Gi iả
T ng t ví d 1, ta ch n h tr c Oươ ự ụ ọ ệ ụ xyz sao cho:
O
A, tia AB
tia Ox, tia AD
tia Oy,
tia AA’
tia Oz.
Khi đó, ta có:
A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1),
C(1;1;0), B’(1;0;1), D’(0;1;1), C’(1;1;1).
Vì P l n l t là trung đi m c a A’D’ nên , ầ ượ ể ủ
P(0;
1
2
;1) và I là tâm c a ABCDủ
1 1
( ; ;0)
2 2
I
Ta có:
' (1;0; 1), ' ( 1;1; 1), ' ' (1;0;0)A B B D A B= − = − − =
uuuur uuuur uuuuur
' , ' . ' ' 6
( ' , ' ) 6
' , '
A B B D A B
d A B B D
A B B D
� �
� �
= =�� �
� �
uuuur uuuur uuuuur
uuuur uuuur
.
M t khác, ặ
1 1
( ;0; 1), ' (1;1;1), (0; ;1)
2 2
PI AC AP= − = =
uur uuuur uuur
, ' . 14
( , ') 28
, '
PI AC AP
d PI AC
PI AC
� �
� �
= =�� �
� �
uur uuuur uuur
uur uuuur
.
Nh n xét:ậ Vi c s d ng ph ng pháp t a đ vào vi c gi i bài toán ta có cáchệ ử ụ ươ ọ ộ ệ ả
làm đn gi n d hi u và có th dùng cho m i đi t ng h c sinh.ơ ả ễ ể ể ọ ố ượ ọ
Ví d k ti p ta chuy n sang m t đi t ng hình không gian khác, đó hìnhụ ế ế ể ộ ố ượ
chóp đc bi t hình t di n có ba c nh xu t phát t m t đnh đôi m t vuông gócặ ệ ứ ệ ạ ấ ừ ộ ỉ ộ
nhau (g i t t là tam di n vuông) ph ng án t a đ hóa còn hi u qu h n.ọ ắ ệ ươ ọ ộ ệ ả ơ
Ví d 2.ụ Cho hình chóp S.ABC có SC = CA = AB =
2a
, SC
⊥
(ABC), tam giác
ABC vuông t i ạA. Các đi m ểM, N l n l t di đng trên tia ầ ượ ộ AS và CB sao cho AM
= CN = t (0 < t < 2a).
a) Tính đ dài đo n ộ ạ MN theo a và t. Tìm t sao cho MN ng n nh t;ắ ấ
b) Khi đo n ạMN ng n nh t, ch ng minh ắ ấ ứ MN là đng vuông góc chung c aườ ủ
BC và SA.
Gi iả
Nh n xét:ậ T i v trí đi m A ho c đi m C ta nh n th y đã có m t c p c nhạ ị ể ặ ể ậ ấ ộ ặ ạ
vuông góc (AB
⊥
AC, CS
⊥
CA, CS
⊥
CB) nh ng ch a đt đ đi u ki n c n thi tư ư ạ ủ ề ệ ầ ế
là ph i có ba c nh đôi m t vuông góc cùng xu t phát t m t đnh, do đó ta ả ạ ộ ấ ừ ộ ỉ d ngự
đng th ng qua A và vuông góc v i (ABC)ườ ẳ ớ (đng th ng này song song v iườ ẳ ớ
SC).
Khi đó, ch n h tr c Oọ ệ ụ xyz nh hình v , v iư ẽ ớ
4
B’
x
y
A
BC
D
A’
C’
D’
z
I
P
OA
B
x
Cy
z
S
M
N
A
O(0;0;0), B(
2a
;0;0),
C(0;
2a
;0), S(0;
2a
;
2a
).
a). Tính đ dài đo n MN theo a và t. ộ ạ
Tìm t sao cho MN ng n nh t.ắ ấ
Theo gi thi t ả ế M thu c tia ộAS và AM = t
2 2
(0; ; )
2 2 2
t t t
AM AS M
a
=� �
uuuur uuur
T ng t , ươ ự N thu c tia ộCB và CN = t
2 2
( ; 2 ;0)
2 2 2
t t t
CN CB N a
a
= −� �
uuur uuur
.
V y ta có ậ
2 2
2 2 2
( 2 2) 2 4 3
2 2
t t
MN a t a at t= + − + = − +
.
H n n a, ơ ữ
2
2 2 2
2 2 6
2 4 3 ( 3 ) 3 3
3
a a a
MN a at t t= − + = − +
, d u đng th c x y raấ ẳ ứ ả
khi
2
3
a
t=
(th a 0 < ỏt < 2a). V y ậ
min
6 2
3 3
a a
MN t= =�
.
b) Khi đo n MN ng n nh t, ch ng minh MN là đng vuông góc chung c aạ ắ ấ ứ ườ ủ
BC và SA.
Khi MN ng n nh t, ta có ắ ấ
2
3
a
t=
nên
2 2 2 2 2
(0; ; ), ( ; ;0)
3 3 3 3
a a a a
M N
2 2 2
( ; ; )
3 3 3
a a a
MN = −�uuuur
M t khác ặ
(0; 2; 2), ( 2; 2;0)AS a a CB a a= = −
uuur uuur
. . 0 ,MN AS MN CB MN AS MN CB= = ⊥ ⊥� �
uuuur uuur uuuur uuur
hay MN là đng vuông góc chung c a ườ ủ SA và BC.
Nh n xét:ậ Qua ví d đã trình bày, ta nh n th y m t y u t thu n l i cho vi cụ ậ ấ ộ ế ố ậ ợ ệ
t a đ hóa là đi u ki n đôi m t vuông góc c a ba c nh cùng xu t phát t m tọ ộ ề ệ ộ ủ ạ ấ ừ ộ
đnh c a đa di n, thông th ng đi u ki n này đc n ch a ngay trong các giỉ ủ ệ ườ ề ệ ượ ẩ ứ ả
thi t cho tr c. Tuy v y, không ph i lúc nào đi u ki n trên cũng đc th a mãnế ướ ậ ả ề ệ ượ ỏ
nên trong m t s tr ng h p ta c n ph i có cách xây d ng h tr c t a đ m tộ ố ườ ợ ầ ả ự ệ ụ ọ ộ ộ
cách khéo léo h n. Ta xét ví d sau đây.ơ ụ
Ví d 3. ụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,
90ABC BAD= =
o
, BA =
BC = a, AD = 2a. C nh bên SA vuông góc v i đáy, SA = ạ ớ
2a
. G i H là hìnhọ
chi u vuông góc c a A lên SB. ế ủ
Tính theo
a
kho ng cách t H đn m t ph ng (SCD).ả ừ ế ặ ẳ
Gi iả
Ch n h tr c t a đ Oọ ệ ụ ọ ộ xyz nh hình v , v i ư ẽ ớ A
O(0;0;0), B(a;0;0), D(0;2a;0),
C(a;a;0), S(0;0;
2a
). Khi đó
( ; ; 2), ( ; ;0)SC a a a CD a a= − = −
uuur uuur
Do đó: (SCD) có VTPT là
2 2 2
, ( 2; 2; 2 )SC CD a a a
� �
=
� �
uuur uuur
( ) :1.( ) 1.( ) 2.( 0) 0SCD x a y a z− + − + − =�
5