428
SỬ DỤNG PHẦN MỀM GEOGEBRA TRONG GIẢNG DẠY MỘT SỐ
BÀI TOÁN QUỸ TÍCH HÌNH HỌC LỚP 11
Nguyễn Thị Kim Ngân 1
1. Khoa Sư phạm, Đại học Thủ Dầu Một
TÓM TẮT
Bài viết giới thiệu sử dung phần mềm Geogebra để minh họa, dự đoán và kiểm tra kết
quả một số bài toán quỹ tích trong nội dung Toán Hnh học lớp 11 theo tinh thần của Chương
trnh giáo dục phổ thông môn Toán năm 2018.
Từ khóa: bài toán quỹ tích, Phần mềm Geogebra.
1. GIỚI THIỆU
Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán -Ban hành kèm thông tư số 32/2018/TT-
BGDĐT ngày 26 tháng 12 năm 2018 của Bộ trưởng Bộ giáo dục và đào tạo (Bộ giáo dục và
đào tạo, 2018) có nêu việc chú trọng tính ứng dụng, gắn kết với thực tiễn, thể hiện qua các hoạt
động thực hành và trải nghiệm trong giáo dục Toán học. Việc sử dụng phần mềm trong giảng
dạy môn này là cần thiết. Phần mềm Geogebra (tham khảo trang web [2] và tài liệu (J.
Hohenwarter, M. Hohenwarter ,2012)) được giới thiệu sử dụng trong sách giáo khoa môn Toán
từ lớp 6 đến lớp 12 theo chương trình giáo dục phổ thông môn Toán năm 2018. Trong bài viết
này, tôi sử dung Geogebra để minh họa, dự đoán và kiểm tra kết quả một số bài toán quỹ tích
trong nội dung Toán Hình học lớp 11 (Trần Văn Hạo và nnk., 2010), từ đó gợi ý đưa ra hướng
giải quyết bài toán.
2. SỬ DỤNG PHẦN MỀM GEOGEBRA TRONG GIẢNG DẠY MỘT SỐ BÀI TOÁN
QUỸ TÍCH HÌNH HỌC LỚP 11
2.1. Nội dung Hình học trong chương trình Toán Hình học lớp 11 (Bộ giáo dục và
đào tạo, 2018)
Trong chương trình mới, nội dung Hình học lớp 11 tập trung Hình học không gian: Đường
thẳng, mặt phẳng và các quan hệ trong không gian. Việc sử dụng phần mềm minh họa kiến thức
này rất trực quan sinh động, giúp học sinh hiểu và liên hệ kết nối kiến thức toán (các công thức
đường thẳng, mặt phẳng, vị trí... trong không gian) với bài toán thực tế (thiết kế bản vẽ xây
dựng và tính toán khối lượng vật liệu công trình ...)
Một chuyên đề ứng dụng toán học vào giải quyết vấn đề thực tiễn trong chương trình mới
này là chuyên đề Phép biến hình phẳng. Trong chương trình Toán phổ thông trước đó, nội dung
Phép biến hình phẳng được dạy trong một chương sách giáo khoa Hình học lớp 11 (Trần Văn
Hạo và nnk., 2010). Và trong sách giáo khoa này có giới thiệu một số bài toán Áp dụng phép
429
biến hình để giải toán (Bài đọc thêm cuối chương 1). Trong các bài toán này, có một số bài toán
quỹ tích (tập hợp những điểm có cùng tính chất) và tác giả nhận thấy việc sử dụng phần mềm
Geogebra giúp minh hoa, dự đoán kết quả các bài toán này rất hữu ích, từ đó gợi ý cách giải
quyết bài toán. Trong mục tiếp theo, tác giả nêu một số ví dụ cụ thể về vấn đề này.
2.2. Một số ví dụ sử dụng phần mềm Geogebra trong giảng dạy một số bài toán quỹ
tích
Ví dụ 1 (Trần Văn Hạo và nnk., 2010, Bài toán 3, trang 38). Cho tam giác ABC. Gọi H
là trực tâm của tam giác, M là trung điểm cạnh BC. Php đối xứng tâm M biến H thành H’.
Chứng minh rằng H’ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Đầu tiên, ta sử dụng phần mềm Geogebra để vẽ hình.
- Vẽ đường tròn tâm O và 2 điểm B,C trên đường tròn. Chọn A là 1 điểm trên đường
tròn (Point on object) – Hình 1.
Hình 1
- Vẽ trực tâm H của tam giác ABC và trung điểm M của đoạn BC.
- Vẽ H’ là điểm đối xứng của H qua điểm M (Reflect object in point) – Hình 2.
Hình 2
-- Khi đó, ta thấy H’ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có thể kiểm tra
mối quan hệ này (Relation) – Hình 3.
Hình 3
430
- Khi A chạy trên đường tròn (Animation on), H’ cũng chạy (Trace on) trên đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC – Hình 4.
Hình 4
Gợi ý cách giải: Từ những nhận xét trên, ta sẽ chứng minh H’ thuộc đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC
- Sử dụng giả thiết M là trung điểm BC và H’ đối xứng H qua M, ta suy ra BHCH’ là hình
bình hành. Suy ra BH’ song song với CH và do đó cũng vuông góc với AB hay 𝐴𝐵𝐻′
=90°.
- Tương tự, ta cũng có 𝐴𝐶𝐻′
=90°. Do đó tứ giác ABH’C là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Suy ra điều phải chứng minh - Hình 5.
Hình 5
431
Nhận xét: Vì H là ảnh của H’ qua php đối xứng tâm M nên theo trên khi A chạy trên
đường tròn (O) thì H chạy trên đường tròn (O’) là ảnh của đường tròn (O) qua php đối xứng
tâm M - Hình 6.
Hình 6
Ví dụ 2 (Trần Văn Hạo và nnk., 2010, Bài toán 6, trang 39). Cho tam giác ABC nội tiếp
đường tròn tâm O bán kính R. Các đỉnh B, C cố định còn A chạy trên đường tròn đó. Chứng
minh rằng trọng tâm G của tam giác ABC chạy trên một đường tròn.
Đầu tiên, ta sử dụng phần mềm Geogebra để vẽ hình.
- Vẽ tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R và trọng tâm G của tam giác đó.
- Cho A chạy trên đường tròn (animation on) và lưu vết điểm G (trace on). Ta thấy G
chạy trên đường tròn màu đỏ - Hình 7.
Hình 7
432
Gợi ý cách giải: Từ nhận xét trên ta có thể giải bài toán như sau
- Gọi D là trung điểm BC, khi đó D cố định (vì BC cố định) và 𝐴𝐺 =2
3𝐴𝐷 (tính chất
trọng tâm).
- Gọi O’ là điểm nằm trên OD sao cho 𝑂𝑂′ = 2
3𝑂𝐷. Khi đó O’G song song với OA và do đó
𝑂′𝐺
𝑂𝐴 =𝐷𝐺
𝐷𝐴 =𝐷𝑂′
𝐷𝑂 =1
3⇒ 𝑂′𝐺 = 1
3𝑂𝐴 =1
3𝑅.
Vậy G chạy trên đường tròn tâm O’ bán kính 𝑅
3.
Nhận xét: 𝐷𝐺 =1
3𝐷𝐴 nên G là ảnh của A qua phép vị tự tâm D, tỉ số 1
3. Khi A chạy trên
đường tròn (O) thì G chạy trên đường tròn (O’) là ảnh của đường tròn (O) qua phép vị tự trên,
nghĩa là 𝐷𝑂′ = 1
3𝐷𝑂.
Ví dụ 3 (Trần Văn Hạo và nnk., 2010, Bài toán 7, trang 40). Cho điểm A nằm trên nửa
đường tròn tâm O đường kính BC. Dựng về phía ngoài của tam giác ABC hình vuông ABEF.
Gọi I là tâm đối xứng của hình vuông. Chứng minh rằng khi A chạy trên nửa đường tròn đ cho
thì I chạy trên một nửa đường tròn.
Đầu tiên, ta sử dụng phần mềm Geogebra để vẽ hình.
- Cho A nằm trên nửa đường tròn tâm O, đường kính BC.
- Dựng về phía ngoài tam giác ABC hình vuông ABEF và I là tâm đối xứng của hình
vuông
- Khi A chạy trên nửa đường tròn, ta thấy I chạy trên nửa đường tròn màu đỏ, đường kính BD,
ở đây D là giao điểm của đường thẳng AE với nửa đường tròn tâm O, đường kính BC – Hình 8.
Hình 8
Gợi ý cách giải: Từ nhận xt trên, đầu tiên ta chứng minh D cố định và do 𝐷𝐼𝐵
=90°
nên I chạy trên nửa đường tròn đường kính BD.
- Do D,A nằm trên trục đối xứng của BF nên DB=DF và 𝐷𝐹𝐴
= 𝐷𝐵𝐴
.