S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O THANH HOÁ Ở Ụ Ạ
TR NG THPT MAI ANH TU NƯỜ Ấ
SÁNG KI N KINH NGHI MẾ Ệ
S D NG TÍNH ĐN Ử Ụ Ơ ĐI U ỆC A HÀM S Đ GI I M T S BÀIỦ Ố Ể Ả Ộ Ố
TOÁN V PH NG TRÌNH, B T PH NG TRÌNH, HỀ ƯƠ Ấ ƯƠ Ệ
PH NG TRÌNH TRONG CH NG TRÌNH TOÁN PH THÔNGƯƠ ƯƠ Ổ
Ng i th c hi n:ườ ự ệ Mai S Th yỹ ủ
Ch c v :ứ ụ Hi u tr ngệ ưở
SKKN thu c môn:ộ Toán
M C L CỤ Ụ
N i dungộTrang
M c l cụ ụ 1
1. M đuở ầ 2
2. N i dung sáng ki n kinh nghi mộ ế ệ 3
2.1. C s lý lu nơ ở ậ 3
2.2. Th c tr ng v n đ tr c khi áp d ng sáng ự ạ ấ ề ướ ụ
ki nế4
2.3. Các gi i pháp đã s d ng đ gi i quy t v n ả ử ụ ể ả ế ấ
đề4
2.4. Hi u qu c a sáng ki n đi v i ho t đng ệ ả ủ ế ố ớ ạ ộ
giáo d c, v i b n thân, đng nghi p và nhà tr ngụ ớ ả ồ ệ ườ 17
3. K t lu nế ậ 18
3.1. K t lu nế ậ 18
3.2. Ki n nghế ị 18
2
1. M ĐUỞ Ầ
1.1. Lý do ch n đ tài:ọ ề
Trong toán h c ph thông, các bài toán v ph ng trình và b t ph ngọ ổ ề ươ ấ ươ
trình, h ph ng trình chi m m t v trí đc bi t quan tr ng, nó xu t hi n h uệ ươ ế ộ ị ặ ệ ọ ấ ệ ầ
h t trong các k thi tuy n sinh các c p, k thi ch n h c sinh gi i toán c p t nh,ế ỳ ể ấ ỳ ọ ọ ỏ ấ ỉ
c p Qu c Gia…. Đi u t t nhiên khi g p nh ng bài toán v ph ng trình, b tấ ố ề ấ ặ ữ ề ươ ấ
ph ng trình và h ph ng trình không d ng c b n h c sinh ph i m t r tươ ệ ươ ở ạ ơ ả ọ ả ấ ấ
nhi u th i gian, công s c đ gi i quy t nó. Đi v i nh ng bài toán đó đ bài tuyề ờ ứ ể ả ế ố ớ ữ ề
đc phát bi u h t s c ng n g n, sáng s a và đp đ nh ng h c sinh l i g pượ ể ế ứ ắ ọ ủ ẹ ẽ ư ọ ạ ặ
r t nhi u khó khăn khi đi tìm l i gi i. Đng tr c v n đ trên trong quá trìnhấ ề ờ ả ứ ướ ấ ề
gi ng d y và b i d ng h c sinh gi i, tôi đã luôn trăn tr và đi tìm nh ng thu tả ạ ồ ưỡ ọ ỏ ở ữ ậ
gi i, nh ng h ng đi c th đ giúp h c sinh tìm tòi có h ng phán đoán, cóả ữ ướ ụ ể ể ọ ướ
ph ng pháp gi i quy t v n đ t t nh t. Nh ng chúng ta đã bi t không có m tươ ả ế ấ ề ố ấ ư ế ộ
chìa khoá v n năng nào có th “m khoá” đc m i bài toán. Trong khi đó vi cạ ể ở ượ ọ ệ
gi ng d y toán h c nói chung và trong b i d ng h c sinh gi i toán nói riêng,ả ạ ọ ồ ưỡ ọ ỏ
vi c làm cho h c sinh gi i quy t đc v n đ đt ra c a bài toán m t cách sángệ ọ ả ế ượ ấ ề ặ ủ ộ
t o, hoàn ch nh là r t c n thi t. Trong bài vi t này, d a trên kinh nghi m m t sạ ỉ ấ ầ ế ế ự ệ ộ ố
năm gi ng d y, luy n thi Đi h c và b i d ng h c sinh gi i toán, tôi xin nêuả ạ ệ ạ ọ ồ ưỡ ọ ỏ
lên m t vài h ng gi i quy t bài toán v ph ng trình, b t ph ng trình, hộ ướ ả ế ề ươ ấ ươ ệ
ph ng trình v i đ tài ươ ớ ề “S d ng tính đn đi u c a hàm s đ gi i m t s bàiử ụ ơ ệ ủ ố ể ả ộ ố
toán v ph ng trình, b t ph ng trình và h ph ng trình trong ch ng trìnhề ươ ấ ươ ệ ươ ươ
Toán ph thông”.ổ
1.2. M c đích nghiên c u:ụ ứ
3
Nh chúng ta đã bi t khi đng tr c m t bài toán thông th ng ph i nghiênư ế ứ ướ ộ ườ ả
c u, chuy n v bài toán quen thu c, đã bi t n u có th . Tuy nhiên vi c chuy nứ ể ề ộ ế ế ể ệ ể
v nh ng bài toán quen thu c không ph i lúc nào cũng làm đc. Chính vì v y,ề ữ ộ ả ượ ậ
vi c nghiên c u đ tài “S d ng tính đn đi u c a hàm s đ gi i m t s bàiệ ứ ề ử ụ ơ ệ ủ ố ể ả ộ ố
toán v ph ng trình, b t ph ng trình và h ph ng trình trong ch ng trìnhề ươ ấ ươ ệ ươ ươ
Toán ph thông”, s giúp cho h c sinh khi g p m t s ph ng trình, b t ph ngổ ẽ ọ ặ ộ ố ươ ấ ươ
trình, h ph ng trình d ng ch a quen, đã dùng các phép bi n đi t ngệ ươ ở ạ ư ế ổ ươ
đng, đt n ph , l ng giác hóa, hình h c… mà v n ch a gi i đc thì cóươ ặ ẩ ụ ượ ọ ẫ ư ả ượ
m t h ng suy nghĩ ti p theo là s d ng tính đn đi u c a hàm s đ gi iộ ướ ế ử ụ ơ ệ ủ ố ể ả
quy t bài toán đó.ế
1.3. Đi t ng nghiên c u:ố ượ ứ
Đ tài s nghiên c u v s d ng tính ch t đn đi u c a hàm s vào vi cề ẽ ứ ề ử ụ ấ ơ ệ ủ ố ệ
gi i m t s ph ng trình, b t ph ng trình và h ph ng trình.ả ộ ố ươ ấ ươ ệ ươ
1.4. Ph ng pháp nghiên c u: ươ ứ Trong đ tài tác gi đã xây d ng ph ngề ả ự ươ
pháp trên c s lý thuy t v tính đn đi u c a hàm s . ơ ở ế ề ơ ệ ủ ố
2. N I DUNG SÁNG KI N KINH NGHI MỘ Ế Ệ
2.1 C s lý lu n c a sáng ki nơ ở ậ ủ ế
Sáng ki n này d a trên c s lý thuy t v tính đn đi u c a hàm s . Cế ự ơ ở ế ề ơ ệ ủ ố ụ
th :ể
Ta xét
D
là m t trong các t p con d i đây c a ộ ậ ướ ủ
R
:
( ; ), a b
[ ; ), a b
( ; ],a b
( ; ), ( ; ],a a− −
( ; ), [ ; ), a a R+ +
.
2.1.1. Đnh nghĩa:ị Hàm s ố
( )f x
xác đnh trên ị
D
đc g i là:ượ ọ
i) Đng bi n trên ồ ế
D
n u ế
thì
1 2
( ) ( )f x f x<
ii) Ngh ch bi n trên ị ế
D
n u ế
thì
1 2
( ) ( )f x f x>
Hàm s ố
( )f x
đng bi n ho c nghich bi n trên ồ ế ặ ế
D
đc g i chung là đnượ ọ ơ
đi u trên ệ
D
.
2.1.2. Đnh lý:ị Hàm s ố
( )f x
xác đnh trên ị
D
có đo hàm trên ạ
D
:
i) N u ế
'( ) 0;f x x D ∀
thì hàm s ố
( )f x
đng bi n trên ồ ế
D
ii) N u ế
'( ) 0;f x x D ∀
thì hàm s ố
( )f x
đng bi n trên ồ ế
D
(D u ấ
" "=
ch x y ra t i m t s h u h n đi m trên ỉ ả ạ ộ ố ữ ạ ể
D
)
2.1.3. M t s tính ch t đc s d ng trong chuyên đ nàyộ ố ấ ượ ử ụ ề
Tính ch t 1:ấ Gi s hàm sả ử ố
( )f x
đn đi u trên t pơ ệ ậ
D
thì ph ngươ
trình
( ) 0f x =
có nhi u nh t m t nghi m thu cề ấ ộ ệ ộ
D
.
4
Tính ch t 2:ấ N u ph ng trìnhế ươ
'( ) 0f x =
có m t nghi m trên t pộ ệ ậ
( ; )a b
thì
ph ng trìnhươ
( ) 0f x =
có nhi u nh t hai nghi m trênề ấ ệ
( ; )a b
.
Tính ch t 3:ấ N u hàm sế ố
( ) 0f x =
đn đi u trênơ ệ
D
thì v iớ
;u v D
ta
có:
( ) ( )f u f v u v= =�
.
Tính ch t 4:ấ
i)
( )f x
đng bi n trênồ ế
D
thì v iớ
;u v D
, ta có
( ) ( )f u f v u v< <�
.
ii)
( )f x
ngh ch ịbi n trênế
D
thì v iớ
;u v D
, ta có
( ) ( )f u f v u v< >�
.
Tính ch t 5.ấ S nghi m c a ph ng trình ố ệ ủ ươ
( ) ( )u x v x=
trên
D
là s giao đi mố ể
c a c a đ th các hàm s ủ ủ ồ ị ố
( ); ( )y u x y v x= =
(Trên
D
).
T tính ch t này và đnh lý: “N u hàm s ừ ấ ị ế ố
( )y f x=
liên t c trên ụ
[ ; ]a b
thì
hàm s ố
( )y f x=
đt đc giá tr l n nh t; giá tr nh nh t trên ạ ượ ị ớ ấ ị ỏ ấ
D
”, ta có: “N uế
hàm s ố
( )y f x=
liên t c trên ụ
[ ; ]a b
thì ph ng trình ươ
( )f x m=
có nghi m khi và chệ ỉ
khi
[ ; ] [ ; ]
[ min ( ); m ax ( )]
a b a b
m f x f x
.
Tính ch t 6.ấ T p nậghi m c a b t ph ng trìnhệ ủ ấ ươ
( ) ( )u x v x>
là t p h p cácậ ợ
hoành đ t ng ng v i ph n đ thộ ươ ứ ớ ầ ồ ị hàm số
( )y u x=
n m phía trên so v i ph nằ ở ớ ầ
đ thồ ị hàm s ố
( )y v x=
.
H qu :ệ ả
i) N u t n t i ế ồ ạ
min ( )
Df x
thì:
+) b t ph ng trình ấ ươ
( )f x m
đc nghi m đúng ượ ệ
x D∀��
min ( )
Df x m
+) b t ph ng trình ấ ươ
( )f x m
có nghi mệ
x D
� �
min ( )
D
f x m
ii) N u t n t i ế ồ ạ
m ax ( )
Df x
thì:
+) b t ph ng trình ấ ươ
( )f x m
đc nghi m đúng ượ ệ
x D
∀��
ax ( )
D
m f x m
+) b t ph ng trình ấ ươ
( )f x m
có nghi m ệ
x D� �
ax ( )
D
m f x m
2.2. Th c tr ng c a v n đ tr c khi áp d ng sáng ki nự ạ ủ ấ ề ướ ụ ế
Trong nh ng năm g n đây các đ thi tuy n sinh Đi h c, Cao đng, đ thiữ ầ ề ể ạ ọ ẳ ề
h c sinh gi i các c p có nhi u bài toán gi i ph ng trình, b t ph ng trình, họ ỏ ấ ề ả ươ ấ ươ ệ
ph ng trình mà h c sinh đã s d ng các ph ng pháp quen thu c nh : Bi nươ ọ ử ụ ươ ộ ư ế
đi t ng đng; ph ng pháp đt n ph , ph ng pháp l ng giác hóa;ổ ươ ươ ươ ặ ẩ ụ ươ ượ
ph ng pháp hình h c…. nh ng v n còn lúng túng, ch a tìm ra đc l i gi iươ ọ ư ẫ ư ượ ờ ả
ho c xác đnh đc đng l i nh ng ch a đa ra đc k t qu cu i cùng. Tuyặ ị ượ ườ ố ư ư ư ượ ế ả ố
nhiên n u h c sinh n m ch c tính đn đi u c a hàm s , có k năng v n d ngế ọ ắ ắ ơ ệ ủ ố ỹ ậ ụ
5