SỨC BỀN VẬT LIỆU Phần 1 - GS.TS Phạm Ngọc Khánh

Ứ

Ệ

S C B N V T LI U Ậ Ề Ph n 1 ầ

GS.TS: Ph m Ng c Khánh ọ ạ DD: 0904047071

Tài li u tham kh o:

ệ

ả

ạ

ọ

Ph m Ng c

Khánh và NNK

Ứ

Ậ

Ề

S C B N V T  LI UỆ

ừ

ấ

ả

Nhà xu t b n T

đ ể

i n Bách khoa

ộ

Hà n i 2006

N i dung: 6 ch

ng

ộ

ươ

ệ

ữ

ơ ả

ế ề

ứ

ặ ắ

ư

ạ ặ ố

ẳ

1. Nh ng khái ni m c b n 2. Kéo(nén) đúng tâm 3. Tr ng thái ng su t-Các thuy t b n ấ 4. Đ c tr ng hình h c c a m t c t ngang ọ ủ 5. U n ph ng 6. Xo n thanh tròn ắ

Ch

ng 1 :

ươ

NH NG KHÁI NI M C B N

Ơ Ả

Ữ

Ệ

N i dung

ộ

t và NL Đ c l p tác d ng c a

ế

ộ ậ

ủ

ụ

ả

1. Khái ni mệ thi 2. Các gi l cự

ạ ự

3. Ngo i l c và n i l c ộ ự 3 +O

1.1 Khái ni mệ 1. M c đích:

Là môn KH nghiên c u các ph

ng

ứ

ươ

ắ ạ

ị

ụ pháp tính toán công trình trên 3 m tặ : ộ ề B n ch c lâu dài 1) Tính toán đ b n: ề Bi n d ng

ả

ả

ị

đ uầ

Kinh tế

Nh m đ t

ạ 2 đi u ki n ề

ệ :

ằ

K thu t ậ

ỹ

ng pháp nghiên c u:

ươ

ứ

ế ợ

ữ

ự

ế

2. Ph K t h p gi a lý thuy t và th c nghi m

ệ

Quan sát thí nghi mệ

ơ ồ ự S đ th c

Đ ra các gi

thi

ề

ả

t ế

S đ tính toán

ơ ồ

ơ Công c toán c lý

ụ

ng pháp

ư

ươ

Đ a ra các ph tính toán công trình

Ki m đ nh

ể

ị

Th c nghi m ki m tra l ệ

ự

ể

i ạ

công trình

ứ

ạ ng nghiên c u: 2 lo i 3. Đ i t ố ượ ề ậ ệ + CHLT: V t r n tuy t đ i 1) V v t li u: ệ ố + SBVL: VL th c:V t r n có bi n d ng:

VLdh

ậ ắ ự

ậ ắ

ế

ạ

P

P

P

P

a)

b)

P

d

VL đàn h i ồ

dh

D >> D dh

d

D > D d

dh

VL d o ẻ

D D D

ể D ng thanh

ạ

2) V v t th : ề ậ ẫ

ẳ cong,g y khúc – m t c t không đ i, m t c t thay đ i ổ

= m t c t + tr c thanh: Th ng, ụ ặ ắ

ặ ắ ổ

ặ ắ

Thanh th ngẳ

Thanh g y khúc ẫ

Thanh cong

1.2 Các GT và NLĐLTD c a l c

ủ ự

thi

ế

ấ không đ ng ch t

ấ ) và

ồ

đ ng h

ẳ

1. Các gi t : ả ờ ạ ), đ ng ch t( 1) VL liên t c(ụ r i r c ồ ị ướ ) ng d h ng( ướ ệ

ồ

ạ

ạ

ế

ướ

c c a v t ậ ủ ự

ậ

ệ ự

ủ

ụ

ủ

ự

2) Ý nghĩa: BT ph c t p= t ng các BT đ n gi n

2) VL làm vi c trong giai đo n đàn h i 3) Bi n d ng do TTR gây ra< so v i kích th ớ 4) VL tuân theo đ nh lu t Hooke: bi n d ng TL l c TD ị ạ ế ủ ự 2. Nguyên lý đ c l p tác d ng c a l c ụ ộ ậ 1) Nguyên lý:Tác d ng c a h l c =t ng tác d ng c a ụ ổ các l c thành ph n ầ ứ ạ

ả

ổ

ơ

Ví d :ụ

q

P

yc

A B C

P

yC=y1+y2

y1

q

A B C

y2

A B C

ộ ự

ạ ự

ậ

ậ

ể

ự

, l c đ ng

ự

ự

ộ

ệ

ế

:Truy n qua m t đi m

ng) – ể ộ

ng đ q – ộ

ề

ộ

1.3 Ngo i l c và n i l c 1. Ngo i l c : ạ ự Đ nh nghĩa: L c các v t ngoài TD vào V t th ị Phân lo i: ạ : l c tĩnh 1) Theo tính ch t TDấ ố: Truy n qua di n ề ự : l c phân b 2) Theo PP truy n l c ề ự tích ti p xúc (PB th tích, PB m t, PB đ ườ ặ ể L c t p trung c ự ậ ườ 2. N i l c : ộ ự 1) Đ nh nghĩa: Đ tăng c a l c phân t ị 2) Cách xác đ nh: ph

ủ ự ng pháp m t c t

ử ặ ắ

ươ

ị

ặ

ắ

ộ

ủ

ầ

ằ ữ ự để

ậ ỏ ắ ự

3. N i dung c a ph ể + V t th  cân b ng­m t c t  ầ để + B  1 ph n, gi  1 ph n  ằ ườ

ứ

ố

cân b ng­  ng

ự ự

ơ

ươ ng pháp m t c t : ắ 2ph nầ ặ ạ ặ  xét. T i m t  ự  –n i ộ ộ n i l c ấ độ :  ng su t 

H p n i l c=véc t  chính+mô men chính

x

P1

S

Mx

c t thêm l c  l c là l c phân b , c ộ ợ N,Q,M

Pn

P1

Mz

A

Qx Nz

A

B

K

My

z

Qy

P2

P2

P3

y

Hình 1-7

Hình 1-6

ệ

ố

ự

ữ

ự

ộ

ạ

PX

=

)

z �

0

( Z P i

S

n � = i 1

P1

4. M i liên h  gi a n i l c và ngo i l c:                                                    x

PX

=

)

t

=� N z ọ ự    l c d c =� Q 0 x �

x

( X P i

zx

n � = i 1

l c c t ự ắ

A

z

K s

z

PX

)

�

= Y 0

=� Q

Y

( Y P i

n � = i 1

t

zy

P2

PX

y

)

�

=� M

= m 0 x

x

( m P x i

n � = i 1

Mô men u nố

Hình 1-9

PX

)

�

=� M

= m 0 y

Y

( m P y i

n � = i 1

PX

)

�

=� M

Mô men xo nắ

= m 0 z

z

( m P z i

n � = i 1

ố

ữ

ự

ứ

ộ

ệ

ấ

P1

5. M i liên h  gi a n i l c và  ng su t

x

ặ

ắ

Trên toàn  m t c t

dF=s

N

Trên  phân tố dN z

z

z

z

F

Q

dFN= s dFQ= t

x

zx

dQ

dF=t

x

zx

zx

F

dQ

dF=t

Q

y

zy

y

zy

F

= s

M

dFQ= t ydFM= s

x

z

dM

ydF

x

z

F

t

z

= s

xdFM= s

y

z

dM

y

z

F

) x dF

M

M ( M= t +t y

( = t

zx

zy

z

dM

+ t y

xdF ) x dF

z

zx

zy

F

z

s

zy

dF

P2

y

t

ự

ế

ạ

ườ

ố

ế

ế   6. Các lo i liên k t và ph n l c liên k t    4 loai liên k t th G i c   nh

ố đị , g i ố

ả ặ ng g p:  tượ

di

ngđộ , ngàm và ngàm tr

D mầ

D mầ

+

V A

A

B

D mầ

HA

ur uuur uur = R H A

D mầ

V

VA

Kh p c đ nh(kh p đôi)

ớ

ớ

b)

Kh p di đ ng(kh p đ n)

ơ

ớ

ộ

ớ

MA

B

A

H

D mầ

D mầ

D mầ

M

V

V

Ngàm tr

tượ

Ngàm

d)

c)

a) ố ị

ươ

Ch ng 2 Kéo (nén) đúng tâm

ị

ộ ự

ứ

ơ ọ ủ ậ ệ ề

ứ

ấ

ộ N i dung: 1. Đ nh nghĩa và n i l c 2. ng su t ấ 3. Bi n d ng ạ ế 4. Đ c tr ng c h c c a v t li u ư ặ 5. Đi u ki n b n và ng su t cho phép ệ ề 6. Bài toán siêu tĩnh 7+4

z

z

ị

ộ ự

1. Đ nh nghĩa:

2.1 Đ nh nghĩa và n i l c ị Theo n i l c

L c d c

ộ ự : trên m t c t ngang: N

ặ ắ

ự

ọ

z

Nz<0

N

>0

+ Bi u đ n i l c: Đ th N

ồ ộ ự

ồ ị z=f(z)

ể



 Theo ngo i l c

ạ ự : + H p l c c a ngo i l c trùng z

ợ ự

ạ ự

ủ

+ Thanh 2 đ u n i kh p gi a thanh không có l c tác d ng

ữ

ụ

ự

ầ

ớ

ố

2. N i l c:

ộ ự

+ M t thành ph n:

>0-kéo, N

<0-Nén

ầ l c d c

ọ : N

ự

ộ

z

 Cách v : 4 b

c:

ẽ

ướ

ị

1. Xác đ nh ph n l c (n u c n) 2. Chia đo n: C s : S bi n đ i c a ngo i l c

ế ả ự ơ ở ự ế

ầ ổ ủ

ạ ự

ạ

z

= f(z)

ừ

ặ ắ

3. Xét t ng đo n: dùng PP m t c t ->N 4. V đ th c a các hàm s trên: Bi u đ n i l c

ạ ẽ ồ ị ủ

ồ ộ ự

ố

ể

ộ ự PP m t c t ặ ắ

Cách xác đ nh n i l c: ị

a)

P2=10KN q=5KN/m z 1 2 3 P1= 8KN P3=12KN

B A C D 1 2 3 1m 1m 2m

(1)

z

b)

N

P=

( )1 Z

1

P1 Nz

(2)

c)

=

N

( )2 Z

P P 1 2

P2 P1 Nz -

(3)

d)

N

qz

( )3 Z

= - + P 3

z q P3 Nz

z

e)

8KN 8KN

12KN 2KN 2KN

Nz

Hình 2-2

ồ ộ ự ị ặ ớ ụ

 Quy c v bi u đ n i l c: ẽ ể ướ 1. Tr c chu n // tr c thanh (m c đ nh) ụ ẩ 2. Tr c n i l c vuông góc v i tr c chu n(m c ộ ự

ẩ

ặ

ể

ấ

ồ ể

ồ

ụ ụ đ nh) ị t 3. Đ các tr s c n thi ề ế 4. Đ tên bi u đ trong d u tròn sát v i bi u đ ề ồ ớ 5. Đ d u c a bi u đ trong d u tròn ề ấ 6. K các đ ẻ

ị ố ầ ể ủ ườ

ẩ ng vuông góc v i tr c chu n

ấ ớ ụ

ấ

Ứ Ứ

ặ ắ ệ

thi

ớ ọ

ế

ẳ

thớ

m t c t ặ ắ

t =

ẻ ặ ắ s 6

0

0

t: GT m t c t ph ng,GT các th d c ấ

z

a)

2.2 ng su t ấ 1. ng su t trên m t c t ngang: 1) Quan sát thí nghi m: K ĐT //z và vuông góc 2) Các gi ả 3) Tính ng su t: ứ dz / dz

s = e z

zE

e = d z



P

P

N

= s dF

F

F= s

z

z

z

s = z

b)

F

N z F

 + D 

s

Hình 2-3

const

s = z

zN

N = z F

zN

zN

z

dz + d

dz

dz

s

dF

u

Ứ

ấ

ặ

2.  ng su t trên m t nghiêng

u

s

a >

t = 2

z

S = u

0

cos

sin 2

�

0 z

s = s u

z

uv

z 2

uv

s s a a t

S =

v

v 0

t = - 2 sin

sin 2

�

s = s v

z

vu

dFcosa

z 2

s a a

ấ

ủ

t

ế + B t bi n c a TTUS s + s = s =

const

u

v

z

t t

ủ ứ

ế

ấ

+ Lu t

i  ng c a  ng su t ti p

t

ậ đố ứ t = - uv

vu

t

zN

zN

2.3 Bi n d ng ạ ế 1. Bi n d ng d c ọ ạ

ế

h

h+ d

h

D = 

= dz

dz

= dz z

 � � n 0

 � � n 0

 i � � n o

N z EF

b

b+ d

dz + d

dz

dz

b

=

D = 

nst

=t

zN const, EF co

 N z F E

d e

ệ ố

e = z

dz dz

d

2. Bi n d ng ngang và h s Poisson Ph Ph

ạ ng d c:z ọ ng ngang:x, y

ế ươ ươ

e = x

e = y

e = e = - x y

z

b b

h h

d d m e

H s BD ngang-H s Poisson-HS n hông ệ ố

ệ ố

ở

m

Ví d : ụ V bi u đ n i l c và tính bi n d ng:

ế

ạ

1

ồ ộ ự 

2

q

EF

C

B

/ 2 

ẽ ể = + = +40 P zN = = + - P qz

q / 4 0 z  q / 4 qz 0 z /4

/ 2

zN

A =  P q / 4

D = D + D  1

/ 2

/ 2

= +

= +

D =  1

q / 4

 1  N z 1 EF

 2  q . .EF . 4 2

2  q 8EF

+

-



q / 4

zN

-

= dz

0

=  2

/ 2 E 0

2 N z EF



0

D = D + D  1

= +  2

2  q + = + 0 8EF

2  q > 8EF

D >

0

0

D

Thanh b dãn,

ị

D < Thanh b coị

ơ ọ ủ

ậ ệ

Fo

o

ẫ ẫ

P B ồ A Đ ng h áp l c ự ồ N

Hình 2-8

C

E

P M (m u)ẫ Pmax

2.4 Đ c tr ng c h c c a v t li u ư ặ M u thí nghi m ệ +M u thép,gang s = e +GĐ ĐH:OA: s = P / F tl 0 tl

s = c

P / F c 0

Pch D

Hình 2-9

s = B

P / F B 0

D  O

Hình 2-10

Pmax

Pmax

+GĐ Ch yả +GĐ c ng c : ố ủ đ i : Đ dãn t ỷ ố

ộ

-

Hình 2-11

1

 0

d = 

100%

 0

Đ th t t

đ i:

B

ộ ắ ỷ ố

h c

B

h đ

h c

 t

F 0

F 1

O

y =

100%

O

F 0

s E s E C M F C D s B A s s - s s s e 0,2% e

Hình 2-12

Hình 2-13

đặ

ư c tr ng

ả ơ ọ

ủ

ệ

ậ

+ B ng 2.1(T23), 2.2(T27): Các  c  h c c a v t li u(GTrình)

B

h c

s D C

k

B

h đ

s A s s

CT. 3

h đ

h c

n

ệ

ậ

ỏ

s e s s

A C

B

ủ ố ả

ố ế

ưở

ộ

CT3

+ Nén: ạ +D ng phá h ng c a v t li u: + M t s  y u t   nh h

ớ Đ ng t i  TCH

s Gang

Hình 2-14

Hình 2-15

Hình 2-16

a)

c)

b)

Hình 2-17

2.5 Đi u ki n b n và US cho phép 1. Đi u ki n b n:

ề

ề ệ

ạ PP US cho

)

(

[

VL d oẻ

max

s a

C

a N

K

K

N

s s s s

] s =

[

s

ề ệ i tr ng phá ho i, ề PP t ả ọ phép,PP tr ng thái gi i h n. ớ ạ ạ ] [ ]  max  s = 0

0 n

VL dòn

B

]

[ F s

]

s

ọ

ơ ả

F F

ặ

N F [ N FN s N ]

[

s

BT ki m tra ể b nề 2. Ba bài toán c b n: BT ch n TTR cho phép BT ch n m t ọ c t ắ

ặ ắ

ị ự

ư

ổ

Ví d :ụ   Cho thanh AB, m t c t thay đ i, ch u l c nh hình 2-23.

Bi

t ế

ậ ệ

ứ

ấ

F1 = 4cm2 F2 = 6cm2, P1 = 5,6 kN, P2 = 8,0kN. V t li u làm thanh có ]n =

2

< s 2

s s

)

ấ (

[

3 4.10 kN / m

3 5.10 kN / m

K

ng su t cho phép kéo [ ể = max

]k = 5MN/m2, ng su t cho phép nén [ ] = = 4 K

 DB:

2

< s 2

s

(

)

[

3 14.10 kN / m

3 15.10 kN / m

N

= 4

= max

] = N

2, 4 ề 6.10- 5, 6 4.10-

ứ N 15MN/m2. Ki m tra b n cho thanh ? = DB F 2 N = AC F 1

 AC:

s

a)

F2 B C A F1 P3 P1 P2

2,4 2,4

NZ

b)

5,6 5,6 KN

s 4,0

Z

c)

Các ng su t pháp đ u nh h n ng su t cho phép, thanh th a mãn

ỏ ơ ứ

ứ

ề

ấ

ấ

ỏ

đi u ki n b n.

ệ

ề

ề

14 9,33 · 103KN/m2

c m t c t ngang c a thanh AB và BC c a m t giá treo trên

 Ví d ụ : Xác đ nh kích th

ị

ướ

ặ ắ

ộ

ng (hình 2-21), bi

t r ng: Trên giá treo m t v t n ng có tr ng l

ng P = 10KN. Thanh

ọ

ủ ộ ậ ặ

ủ ượ

ằ

ế ằ ặ ắ

ứ ọ

ữ

ậ

]t = 60 MN/m2. Thanh BC làm b ng ằ ]g = 5 MN/m2, m t c t ngang hình ch nh t có

ấ ướ

ề ộ

ề

s

t ườ AB làm b ng thép m t c t tròn có ng su t cho phép [ ấ ớ s g có ng su t cho phép khi nén d c th [ ỗ ặ ắ ứ s kích th c gi a chi u cao (h) và chi u r ng (b) là h / b =1,5. t ỷ ố =

ữ +

x

N cos =0

x

BC

AB +

2m

0 N = =

0 P N sin =0 BC a = 15kN P cot g a = -

Y m m a B NAB A X a a a P n n P NBC

P / sin

18kN

y y ABN = - BCN

C 3m

a) b)

Hình 2-21

4

2

AB

=

=

=

2,5.10 m

d 1,8cm

=�

F AB

3

-

N [

]

15 60.10

t

s

4

2

BC

=

=

=

=

=

=

= 36.10 m h.b 1,5b.b

b 5cm h

7,5cm

�

F BC

3

-

N [

]

18 5.10

g

s

2.6 Bài toán siêu t nh ĩ

VA

VA

Đ liên k t

ế

ủ

P/2

A

2

A 2

ế

2 / 

ế

C

C

1

P1

P

2 / 

ằ

ế

B

B

ệ ơ ả

VB

P/2 Nz

Hình 2-28

ng - H c b n) ủ

ộ

i:ả ừ ế ng đ ươ ổ ế

ệ

ệ

ắ

ổ

ph n l c và n i l c ộ ự

ổ

-

D = 

0

0

�

= = V V A B

-

 Bài toán tĩnh đ nh: ị  Bài toán siêu tĩnh: Th a liên k t. ừ B c ST=s liên k t th a ừ ố ậ  Cách gi + B liên k t th a thay b ng PL liên k t ỏ (Thanh t ươ + Thêm PT b sung: Bu c ĐK BD c a h thay th = ĐK BD c a h ST (PT B sung -H PT chính t c) ủ ệ i PT CB+PT b sung + Gi ả ự ả y = y 0 P V -V =0 A  V + B EF

B  P = 2EF

P 2

ầ

ớ

C n nh :

Z

ự

ằ

ươ

ặ

N i l c:

ng pháp m t

ộ c t ắ

ọ đ ể

ặ

đị    Xác  nh b ng ph const

N s = z

N = z F

ạ ắ

T i m i  i m trên m t  c t ngang

ấ

ng su t:

Ứ Bi n d ng: ế ạ

D = 

= dz

dz

= dz z

 � � n 0

 � � n 0

 i � � n o

N z EF

=

d e

[

]

[

]

[

]

s s s s

Đi u ki n b n:

(

)

ệ ề

ề

,

z

K

N

N z F

ậ

ắ

ộ

Bài t p:B t bu c: 2.2  2.4  2.7  2.9   2.11  2.14   2.18

2.21

ươ

Ch

ng 3

ạ

ứ

ấ

Tr ng thái ng su t Và các thuy t b n

ế ề

ộ

N i dung

ứ

ấ

ế

ấ

ạ

1. Khái ni mệ 2. Nghiên c u tr ng thái ng su t ph ng ẳ ạ ứ 3. Liên h gi a ng su t và bi n d ng ệ ữ ứ 4. Lý thuy t b n ế ề 4+1

ợ ấ ả

ấ

ng t

3.1 Khái ni mệ 1. TTUS t ạ ọ

ể : T p h p t ậ ể

i đi m đó – T p h p t các m t c a phân t ặ ủ

t c các ng su t ứ t c các ợ ấ ả ậ ố bao quanh

i m t đi m ộ theo m i ph ạ ươ thành ph n US trên ầ đi m đó.

ể

y

y

y

yz

C

s t

yxt

xy

t

x

zx

xz

o

s t t

x

zy

z

x

z

z

b)

a)

t s

Hình 3-1

x

y

xy

yz

zx

yx

zy

xz

z

ấ ế

t = t xy

t = t yx zx

t = t zx

zy

yz

 Lu t đ i ng c a ng su t ti p: ủ ứ ậ ố ứ  Còn 6 bi n đ c l p ộ ậ ế

s s s t t t t t t

: ng chính, ng su t chính,Phân lo i TTUS

ạ

ấ

ứ

t =

0

ng chính: Pháp tuy n ngoài c a m t chính

ủ

ế

ứ

ặ

ả

ặ

s > s > s 2

1

3

ự

2. M t chính,Ph ặ ươ M t chính: M t có ặ ặ Ph ươ ặ US chính: ng su t pháp trên m t chính ấ Phân t chính:C 3 m t là m t chính ặ ố Phân lo i TTUS:C s đ PL: D a vào USC ạ ơ ở ể Phân lo i: 3 lo i: Kh i (a), Ph ng (b), Đ ng (c) ố ạ

ườ

ẳ

ạ

2

2

3

s s s

1

1

1

1

s s s s s s

3

s

2

2

a)

b)

c)

s s

Hình 3-3

ẳ

ứ

s + s x

x

y

=

=

+ y

0

0

u �

v �

cos2 -

sin 2

�

s = u

xy

2

2

s - s a t a

ả ặ

x

y

a + t

sin 2

cos2

t = uv

xy

2

s - s a

s + s x

y

y

x

s - s

cos2 +

sin 2

s = v

xy

2

2

- a t a

y

x

ủ

sin 2

cos2

t = - uv

xy

2

y

const

s - s a - t a

3.2 nghiên c u TTUS ph ng:2PP 1. B ng gi i tích: ằ  US trên m t nghiêng dt(ABCD)=dF dt(ABFE)=dFcosα dt(EFCD)=dFsinα  B t bi n c a TTUS ế ấ s + s = s + s = v

y

x

u

u

u

dy

u

u

xy

xy

 Lu t đ i ng c a US ti p

ậ ố ứ

ủ

ế

x

x

x

uv

uv

B s s A t t a a s s t t

x

dz

yx

v

yx

y

z

y

t = - uv

vu

a)

b)

F C dx t D E t t s s

Hình 3-4

 USC và Ph ng chính ươ  M t chính: M t m t chính ặ ặ ặ

0

a

2

0

= b xy

=

t b

0

tg2

tg

k90

�

a = + �

uv

a = - 0

0

a=a

0

t

2

x

y

s - s

= -

=

s

2

0

max, mi

n

s� �

v u

a=a

0

t

ud d

a

s + s x

y

x

y

s -

2 xy

=s max i n m

2

2

s� � �

2 � + t � �

s

*

0

uv

=

= a

+

t

0

max, min

k45

� �

0

t a

d d

a

xy

xy

= -

= -

t t

t

g

max

a

max

y

x

min

s - s s - s

ồ ị

ằ

2. B ng PP Đ th (vòng Mo)

2

s + s x

y

x

2

+ t y

s - s

(

)

R

u

2 uv

= s 2 xy

+ t = C u

2 uv

2

2

� � �

2 � + t = � �

� � �

2 � � �

� � � �

2 � � � �

s - -

x

y

x

y

=

+ t

R

2 xy

C

, 0

Vòng tròn

2

s -

s� � �

2 � � �

x

s + s� � 2 �

� � �

x

u

u

y

y

t t s

uv

uv

x

x

y

// x

y

xy

xy

y

yx

= -

= -

tg

max

max

y

x

min

y

min

x

max

x

t K P t a t P I t s q C b L B M A t t A B O s s C E O t a s - s s - s s P’ s s y s x+s 2 s s

Hình 3-7

Hình 3-6

Xác đ nh ng su t trên m t nghiêng, ng su t chính ặ

ứ

ứ

ấ

ấ

ị

Ví d ụ : Phân t

ứ

ấ

ạ

ằ

ố

ứ

ặ

ị

cho trên hình 3-5 n m trong tr ng thái ng su t ph ng. Hãy xác đ nh các ng su t trên m t nghiêng m-m và các ấ ứ

ẳ ng su t chính. ấ

3

y

a)

b)

m

t t s

m

1

x

// x

50 MN/m2

// x

12,5 MN/m2

u

m 60

u

u

0

m

-300

v

25 MN/m2

b)

3= 27

1=52

a)

u= 20

uv= 39

s P’ P’ s C L L M C M O O a A -25 A -25 B 50 B 50E s t s P P N s K s s t

Hình 3-5

Hình 3-9

0

50

t = - 25

a = - 12,5

30

s = + x

s = - y

xy

2

2

20, 4MN / m

= 27,3MN / m tg

= 0,1617

0 9 11'

= max

= - min

max

max

s s a a

3.3 Liên h gi a US và BD ệ ữ

1. Đ nh lu t Hooke t ng quát:

ổ

ậ

ị

(

)

e = x

s + s x

y

z

s - m

(

� � )

e = y

s + s y

z

x

� �

� �

s - m

(

)

e = z

s + s z

x

y

� �

� �

1 � � E 1 E 1 E

s - m

2. Đ nh lu t Hooke khi tr

ậ

ị

ượ : t

t = g G

= G

)

E ( + m 2 1

3.4 Lý thuy t b n

ế ề

t v đ b n c a v t li u

ế ề ộ ề

ậ ệ

ủ

[

]

[

]

s a

i min

max

= N

= K

0N n

0K n

s s s s s

t

1. Khái ni m:ệ + Khó khăn v LT và TN ề thi + TB là các gi ả 2. Các thuy t b n: ế ề 1) TB US pháp l n nh t: ấ ớ 2) TB US ti p l n nh t:

ế ớ

ấ

[

] t =

s = s + t 2

[

]

t a

2

4

max

tt

0 n

s = s + t 2

s

[

]

2

3

3) TB Th năng BĐHD:

ế

tt

s

0K

[

]

s = s tt

1

3

K

4) TB Mo:

0N0

s - s s s

ắ

ộ

ậ Bài t p:B t bu c:  3.5 a) b)   3.6   3.10

ươ

ặ

ng 4              Ch Đ c tr ng hình h c ọ ư C a hình ph ng

ủ

ẳ

ộ

N i dung:

ụ

ứ c gi ướ

ả

1. Khái ni mệ 2. Mô men tĩnh và mô men quán tính 3. Công th c chuy n tr c SS c a MMQT ủ ể i bài toán xác đ nh mô men 4. Các b ị quán tính chính trung tâm c a hình ph ng ẳ ủ ộ ụ ố ứ có ít nh t m t tr c đ i x ng ấ 3+1

4.1 Khái ni mệ

s =

ươ

N F

ng sau: F và các đ i l

ư  cho ị ự

ặ ắ ả

ặ ả

ưở

Ch ng 2: Các ch ng đ c tr ng ươ ạ ượ ng đ n kh năng ch u l c hình d ng m t c t nh h ạ ế ế ấ Các ĐTHH c a m t c t ặ ắ c a k t c u: ủ

ủ

P

P

y

x

x

y

a)

b)

Hình 5-1

ĩ

y

ụ

A

dF

3

y

=

S

ydFS=

x

y

F

r

F

o

x

x

SS i n 0= 0xS

Hình 5-2

4.2 mô men t nh và MMQT 1. Mô men tĩnh c a F đ i v i tr c x, tr c y: ố ớ ụ ủ ] [ S= xdF S m S F = > < = S 0, 0, 0 S Tính ch t:ấ Tr c xụ 0 là tr c trung tâm khi: ụ Tr ng tâm C(x

ủ

ọ

c, yc) c a m t c t:

S

=

=

x

y

C

C

y F

ặ ắ S x F

2

4

ủ =

=

>

J

0, m

x

x

y

2. MMQT c a F đ i v i tr c x, y: ố ớ ụ 2 y dF J x dF J , J � � y F F JJ=

J

i

n



3. MMQT c c:ự

2

4

>

J

= dF J

J

J

0 m

+ x

y

r= r F

r r

4. MMQT ly tâm:

4

=

> < =

J

xydF J

0, 0, 0 m

J=

xy

xy

F

0=

xyJ

ệ ụ ộ ệ ụ

ề

ệ

ệ ụ

ộ ạ ọ ộ ệ ụ

ộ

H tr c xy – h tr c quán tính chính: ệ ụ m t hình có vô s HTQTC. ố H tr c xCy – H tr c quán tính chính trung tâm:2 đi u ki n: ệ ụ 1) Là H tr c quán tính chính i tr ng tâm C. 2) G c t a đ t ố ọ M t hình nói chung ch có m t h tr c QTCTT. ỉ MMQT c a F đ i v i HTQTCTT g i là ố ớ

ọ MMQTCTT

ủ

ủ

ố

ộ

đơ

ả

n gi n:

Ví d :ụ  Tính MMQT c a m t s  hình

y

y

y

dy

dy

y

h

h

o

dD

o r

x

j dj

x

by

y

x0

C

o

F

x

b

b

dr

Hình 5-8

Hình 5-7

Hình 5-6

4

3

3

h 3 2

4

=

(

) h =

J

1

=

=

=

=

=

J

J

2 y b

dy

x

x

D 32

d D

2 y dF � F

by 2

bh 2 1

p - h r

4

h 2 � h 2

h 2

4

=

=

=h

J

2J

2J

0,1d

- - p

=

x

y

J

x

0

d 32

bh 12 3 bh 36

r

ủ

ứ 4.3 Công th c CTSS c a  MMQT

y

Y

A

dF

Y

H xoy: Bi

t J

ệ

y

ế x,Jy,Jxy,Sx, Sy Y

XY

X

F

o

x

b

x



O’

,J

, J

=?

a

X

X

Hình 5-10

H ệ XO’Y Tìm J X=x+a Y=y+b

2

2

=

=

+

=

+

+

J

) 2 y b dF

X

2

=

+

( � F +

=

+

=

+

+

+

J

2 Y dF � F J

2bS

2 b F J

J

y dF 2b ydF b dF � � F F + a F J

� F J

2aS

aS

bS

abF

X

x

x

Y

y

XY

y

x

y

xy

2

=

+

=

+

=

+

J

J

2 b F

J

J

a

F

J

J

F b a

H xCy: ệ X

x

Y

y

XY

x

y

ả

c gi i BT xác  nh

đị ấ

ụ

ướ ủ đ

đầ

ụ

ọ

ả Ch n h  tr c ban  ệ

c,yc): n gi n

u

T a

C

y F Ci i

+ +

+ y F y F C2 2

... y F Cn n

C1 1

F n

4.4 Các b MMQTCTT c a hình có ít nh t  1tr c(y)  x đị 1. Xác  nh C(x Chia F n hình  đơ ọ độ i(xci,yci) Tính yc:  xc=0, tính yc: = =

=

y

C

+ +

S x F

+ F F 1 2

... F n

F i

F n

ẻ

=

J=

J

J

J

2. K  xCy và tính MMQTCTT + i J xi x

i x

i x

2 i a F i

n

ủ

b1=14cm

C1

1

h1=2cm

x1 a1=4cm

Ví d :ụ Tính MMQTCTT c a hình Chia F=F1+F2 Ch n h tr c ban đ u x ệ ụ

ầ

ọ

1C1y1

x

C

C1(0,0), C2(0,8)

a2=4cm

8.2.14

C1 1

0.b h 1 1

=

=

=

y

4cm

C

2

+ + 2.14 2.14

+ y F y F C2 2 + F F 1 2

y

h2=14cm x2 C2

b2=2cm

Hình 5­17

4

3 2

+

=

+

+

J

J

1362, 66cm

2 a b h 1 1 1

1 J x

2 x

2 a b h 2 2

2

= x

a1=4cm, a2=4cm. K h tr c xCy ẻ ệ ụ 3 b h b h 2 1 1 12 12

� = � �

� � �

4

3 2

=

+

=

J

J

466, 66cm

y

1 J y

2 y

� � + � � � � 3 h b 1 1 12

h b 2 12

� � � � = + � � � � � � � �

Ứ Đ

CÔNG TH C  ÁNG  NHỚ

Y

b y

C

h

3

3

=

x a1=yc

=

J

J

x

y

a2

bh 12

hb 12

X

=

+

=

+

J

J

a

F

J

J

a

F

Y

y

2 2

X

x

2 1

=

ng chuy n

ể

= y F a F

S X

C

1

L ượ tr cụ

ắ

ộ

Bài t p:ậ B t bu c:

5.1   5.7 a) b)     5.9 a)  b)

ươ

ng

Ch 5 U n ph ng

ố

ẳ

ộ

N i dung:

ố ố ố

ẳ

ị ủ

ể

ị

1. Khái ni mệ 2. M i liên h vi phân gi a M,Q,q ữ ệ 3. U n thu n túy ph ng ẳ ầ 4. U n ngang ph ng ố 5. Chuy n v c a d m ch u u n ầ 9+6+1KT+1TN

y

x

y

y

ị

+ D m: Thanh ch y u ch u u n

5.1 Khái ni mệ 1. Đ nh nghĩa ầ

ủ ế

ố

ạ ự

ặ

ị + Theo ngo i l c:Ngo i l c (P,q) trùng v i tr c y ho c x ạ ự 2. N i l c trên m t c t ngang:

ặ ắ

ộ ự

ớ ụ Mx, Qy ho c Mặ

y,Qx

ầ

+ N u Qế

x Mx>0

ẳ

x =Qy =0 U n thu n túy ố x, Qy ><0  U n ngang ph ng ố

z

ặ ắ

ộ ự c d u c a n i l c

+ N u Qế Cách xác đ nh n i l c: PP m t c t Quy ủ

ộ ự

ị ấ

ướ

y

M

>0

Q

>0

Q

>0

Q

>0

ể

 Bi u đ n i l c: + BĐNL: Đ th M

ồ ộ ự ồ ị

+ Cách v : 4 b

x, Qy = f(z) c:

ẽ

ướ

ị

1. Xác đ nh ph n l c ế 2. Chia đo n: C s : S bi n đ i c a ngo i l c ạ

ả ự (n u c n) ầ ơ ở ự ế

ổ ủ

ạ ự y

x

= f(z),

ừ

ặ ắ

ạ ẽ ồ ị ủ

, Q ẽ ằ

ặ

3. Xét t ng đo n: dùng PP m t c t ->M 4. V đ th c a các hàm s trên ho c v b ng ố ồ ộ ự nh n xét: Bi u đ n i l c ể

ậ

đố

ớ i v i

ộ đ ể

ấ ắ Quy t c l y mô men  m t  i m(A)

1. L c t p trung(P):

r

A

ự ậ A

P



r

m

A

Q=qa

q

2. L c phân b (q):

ố

C

(P)=PxTay đòn(r) ự A

a



Q=qa/2

r

A

q

(q)=H p l c(Q) xTay đòn(r)  H p l c(Q) = di n tích c a bi u đ phân b

m ợ ự

ợ ự ệ

ủ

ồ

ể

ố

C

a

ặ

ể

ể

ạ

ồ

 Đi m đ t: T i trong tâm C c a bi u đ ủ 3. Mô men t p trung(M): ậ

A



m

(M)=M

Ví d :ụ V bi u đ n i l c c a các d m cho trên

ồ ộ ự

ẽ ể

ủ

ầ

P

h.v ẽ

q

B

B

A Qy

A Qy

qℓ

Pℓ

Mx

qℓ2/2

P

Mx

B

A

Qy

P/2

q

P/2

B

Pℓ/4

A Qy

Mx

qℓ/2

qℓ/2

M

A

B

Mx

Qy

M/ℓ

qℓ2/8

M/2

Mx

M/2

ướ ẽ ể

ị

ồ ộ ự ặ ớ ụ

ặ

ẩ

ể

ấ

ồ ể

ồ

c v bi u đ n i l c: Quy 1. Tr c chu n // tr c thanh (m c đ nh) ụ ẩ ụ 2. Tr c n i l c vuông góc v i tr c chu n(m c ộ ự ụ đ nh) ị t 3. Đ các tr s c n thi ề ế 4. Đ tên bi u đ trong d u tròn sát v i bi u đ ề ồ ớ 5. Đ d u c a bi u đ trong d u tròn ề ấ 6. K các đ ẻ

ị ố ầ ể ủ ườ

ẩ ng vuông góc v i tr c chu n

ấ ớ ụ

ậ

ậ

 bđQ=const bđM=b c nh t ấ

ậ

ậ

ấ

ạ

ể

ướ

ề

ẫ

ề ụ

ể

ạ

ề ậ ệ

 Các nh n xét: 1. Trên đo n: q=0 ạ q=constbđQ= b c nh t bđM=b c 2, q Q M 2. T i đi m có l c t p trung P tác d ng: ụ ự ậ c nh y: Chi u, đ l n bđQ có b ộ ớ ẩ bđM có mũi g y: Chi u MG theo chi u P 3. T i đi m có mô men t p trung tác d ng: bđQ không có d u hi u gì ấ bđM có b ẩ ướ

c nh y: Chi u, đ l n ề

ộ ớ

ệ

=

+

5.2 M i liên h vi phân gi a M,Q,q d = =z y 0

ữ q

0

ố Q dQ Q qdz �

y

y

y

dQ dz

a)

2

q(z)>0 - -

=

+

=

d

M 0 M dM M Qdz q

0

Q

�

�

x

x

q

dz = 2

dM dz

dz - - -

=

=

q

b)

q – b c nậ  Q-b c n+1, M-b c n+2 ậ

ậ

Mx+dMx Mx

x 2 d M 2 dz M c c trự

Qy+dQy Qy

dz

Hình 7-10

ạ ệ ố ệ ố

ị ng Q b ng q ằ ng M b ng Q ằ

c nh y, c c tr …

ướ

ự

ẩ

ị

i bài toán ng

c:Bi

t 1 bi u đ tìm các bi u đ và

ế

ể

ể

ồ

ồ

o * Nh n xét: ậ +T i MC có Q=0 +H s góc c a đ ườ ủ +H s góc c a đ ườ ủ * Ý nghĩa c a m i LHVP: ố ủ 1. ki m tra bi u đ :D ng,các b ể ồ ạ ể 2. V nhanh bi u đ ồ ể ẽ 3. Gi ượ ả TTR

ậ

ậ

ấ

ạ

ể

ướ

ề

ẫ

ề ụ

ể

ạ

ề ậ ệ

M c c tr :Ti p tuy n v i bđ M

ộ ớ ị ế

ế

ớ

c nh y: Chi u, đ l n ề ự i m t c t đó n m ngang

 Các nh n xét: ậ ậ bđQ b c n+1 bđM b c n+2 1. Trên đo n:q b c n ạ q=constbđQ= b c nh t bđM=b c 2, q Q M ậ ậ 2. T i đi m có l c t p trung P tác d ng: ụ ự ậ bđQ có b c nh y: Chi u, đ l n ộ ớ ẩ bđM có mũi g y: Chi u MG theo chi u P 3. T i đi m có mô men t p trung tác d ng: bđQ không có d u hi u gì ấ bđM có b ẩ ướ 4. T i m t c t có Q=0 ặ ắ ạ t ặ ắ ạ

ằ

Ví d :ụ V bi u đ n i l c c a d m

ồ ộ ự

ẽ ể

ủ

ầ

a)

a)

a

b

VA

VB

l

l

l

b)

b) qa/2

P.b l

c)

M=qa2 M q P B B A A C A D B E C P=qa a b 2a a VA VB VA VB a VA Qy qa qa/2 Qy M/l M/l 3qa/2 Ma/l Qy P.a l Mx Mx qa2/2 Mb/l Mx

H×nh 7­9

Pab/ lH×nh 7­8

qa2 qa2/2 9qa2/16

H×nh 7­11

6.3 U n thu n túy

ầ

ố

=

M M 0, Q

0

ị

x

y

ặ ắ

ứ

ấ

1. Đ nh nghĩa: 2. Tính ng su t trên m t c t ngang + Quan sát TN

b)

Mx

a) x Mx Mx y A c) z

y

Hình 7-12

ẫ

ườ ườ

ng th ng//z ẳ ng th ng vuông góc v i z ẳ

cong nh ng v n //z ư ớ v n vuông góc v i z

ẫ

ớ

Nh n xét: ậ 1. Các đ 2. Các đ Các góc vuông v n vuông

ẫ

ế

ả

  + Các gi  thi t:2

ắ

ướ

ế

ẳ : Tr

c và sau bi n d ng

1. GT v  m t c t ph ng

ặ

ề ặ ắ

ụ

ẳ

ớ

ề

ớ ọ  không

ạ m t c t ph ng và vuông góc v i tr c thanh. ẫ y và ép l n nhau ớ ị

đẩ ớ ọ

2. GT v  các th  d c        + Nh n xét: Các th  d c có th  b  co, có

ớ ị

ũ

có th  kg co c ng kg dãn: Th  trung hòa



ớ

.

ớ 0 ng trung hòa

s = s = Đườ x

y

ậ  th  b  dãn ớ t = xy

GT1.                       GT2.

L p Trung        hòa = 0 ?

0 0 s ?

z

z

s

+ D

dz

dz

dj

Tính OO1=dz, AA1=

Mx r

O

O1

= r

(

dz

d

+ D dz

= r + dz

) y d

A1

A

Mx x Mx y A y z j j y

y

=

dz

e = z

D

dz dz

Ey

s = e = E

r

E

=

z N

ydF 0 S

= ydF 0

z

= x

r

z = s = dF � z F

ụ

ụ

ụ

� � F F Tr c trung hòa là tr c trung tâm. y là tr c đ/x xy-HTQTCTT 

E

E

1

x

x

=

=

r

M

= ydF

J

y

x

x

z

s

= s � z F

= 2 y dF � F

M EJ

M J

x

x

r r r

x

x

x

x

x

x

y

w

= max

= xnk

= xk

y

w

= min

= xnn

= xn

M J

M w

J y

x

xk

xnk

M J

M w

J y

x

xn

xnn

3

ặ ắ

ủ

ố

Wx- mô đun ch ng u n c a m t c t ngang ố

s s

4

=

(

)

)

w

1

4 ,

( 3 0,1D 1

x

D 32

ộ ố

ủ

ơ

Wx- c a m t s hình đ n gi n ả

2

p - h - h

h =

z

=

D

d

w

x

x

x

d D

h

bh 6

2

=

b

w

x

s

bh 6

min

min

s s

n x n y

k

Mx

Mx s x

n n x y

h

Z

Z

z

n x k y

s x s z C

z

n k n x y

m ax

m ax

s s y y

a) b)

[

]

]

[

s a

i min

max

N

K

s s s

ẻ

z

s

max s a ủ

ị

] [ ặ ắ ả

= s

= s

[

ị ự ớ [

]

min

max

N

K

ọ

t->Hình r ng

ố

ỗ

ớ

s s

K

=

ố ứ

ậ ệ

ụ

ụ

s

y y

K xn N xn

N

s

=

=

ố ứ

ụ

ụ

ệ

ẻ

1

s

[ [ [ [

y y

K xn N xn

s

3. Ki m tra b n: ề ể  V t li u dòn: ậ ệ  V t li u d o: ậ ệ 4. Hình dáng h p lý c a m t c t ngang: ợ  Đ nh nghĩa: Cùng F mà kh năng ch u l c l n nh t. ấ ]  Ch n hình dáng: Jx càng l n càng t ] V t li udòn: Tr c x không là tr c đ i x ng ] ] Vât li u d o: Tr c x là tr c đ i x ng K ] N

ặ

5. Ba bài toán c b n: ơ ả

i tr ng cho

ọ ả ọ

Ki m tra ể b nề Ch n m t ọ c t ắ Ch n t phép

6.4 U n ngang ph ng

ẳ

ố

0

y

ị Ứ

b)

Mx x

1. Đ nh nghĩa: 2. ng su t trên m t c t ngang: ấ • US pháp:

x

Qy

y

s = z

c)

y M M Q A z

M0 M 0 Q x ặ ắ M J

x

• US ti p: công th c Jurapski:

ứ

ế

y Q

Hình 7-15

t = zy

c

t

/

x

C

2 h

max

c SQ x y b J

x

x

y yc

/

2 h

c

= max

y

y F=

Q3 y 2 F

c S x

c

t

FC

y

2

b

Q

Q

2

y

t = zy

= max

- t

y 2J

3 y 2 F

x

� h � 4 �

� � �

a)

Ớ

CÔNG TH C  ÁNG NH

Y

Ứ Đ b y

h

C

3

3

=

x a1=yc

=

J

J

x

y

a2

bh 12

hb 12

X

=

+

=

+

J

J

J

J

Y

y

2 a F 2

X

x

2 a F 1

=

= y F a F

S X

C

1

ề

[

]

[

]

s N

max

i min

N

K

s s s

]

[

max s a

z

2

s = s + t 2

s

[

]

4

tt

s s

3. Ki m tra b n: ể 1. V t li u dòn: ậ ệ 2. V t li u d o: ẻ ậ ệ • Theo thuy t b n: ế ề • TB US ti p l n nh t ấ : ế ớ • TB th năng bi n đ i hình dáng : ổ

ế

ế

2

s = s + t 2

[

]

3

tt

tr ố ượ

ớ

s s

[

]

[

] t =

• Chú ý: V i phân t • Theo TB US ti p l n nh t:

t thu n túy: ầ ấ

ế ớ

t a

max

2

s

[

]

• Theo TB th năng:

ế

[

] t =

t a

max

3

• Ví d :ụ

s

ị

qa / 2

= +� V A

S

m

ồ ộ ự = m 0 B 5qa / 2

 Ví d :ụ V bi u đ n i l c: ẽ ể  Xác đ nh ph n l c : 0

V , V A B

a)

l

Az0

A z 0 z 2

z2 z1 z3 S M=qa2 q 1 2 3 3 A E D B 1 2 3 C P=qa a 2a a VA VB

qa

Q

a qaz / 2

A

y

b)

a

- - qa qa/2 Qy qa/2

= -

3qa/2

 CB 2-2 Q

qa / 2 qz

y

-

2

2

=

+

) =

ả ự = +� = V A B S = V  Ki m tra: Đúng ể 0 y  V bi u đ n i l c: ồ ộ ự ẽ ể  AC 1-1 g c t i A ố ạ = = = - V M M V z x A Aza z 3a A z + - = V P qz A ( + M M V a

z

x

A

qa / 2 qaz / 2 qz / 2 c)

qa2/2 - -

Mx

zD0

a

qa2 qa2/2 9qa2/16

H×nh 7­11

z D 0 z = -

 DB: 3-3 = Q

2 qz / 2

qz M

y

x

 V b ng nh n xét

ẽ ằ

ậ

ủ

ặ ắ

c l c l n nh t.

ệ

ị

ượ ự ớ

ấ

ị ề

ệ

=

]

[

[

]

y

= s k xn

= max

min

= s N y xn

K

N

s s

5. Hình dáng h p lý c a m t c t ngang: ợ Cùng di n tích ch u đ 1. Đ nh nghĩa: 2. Đi u ki n:2

M max J

M max J

x

x

K

=

(

)

*

s

[ [

] ]

y y

K xn N xn

N

ặ ắ

ậ ệ

ậ ệ

t : m t c t r ng, ch I, T…

ặ ắ ỗ

ữ

ớ

ố

v t li u d o: (*)=1 m t c t đ/x; v t li u dòn (*) MC kg đ/x ẻ Wx càng l n càng t

s

6. Qu đ o ng su t chính: ỹ ạ ứ Đ nh nghĩa:

ế

ấ Các đ ườ ị đi m trùng v i ph ươ ớ

ể

ng cong mà ti p tuy n t ng ng su t chính t ấ

i m i ế ạ ỗ i đi m đó ể ạ

ứ

1

q B B s s

3

3 = s Nmax max= 90o

s a

z

3

zy

E s s E t a

max> 45o 1

s a) C

Mx

max

3

1

C t a s s s

Qy

max= 45o 1 =

z

max

zy

3

max< 45o 1

1 = s Kmax max=0

o

s t D D t a s s s A A b) a

Hình 7-20

Hình 7-21

V :ẽ

B trí v t

ủ

ấ

ậ

ố

Ý nghĩa c a qu đ o ng su t chính: ỹ ạ ứ li u ệ

6.5. chuy n v c a d m ch u U ị ủ

ể

ầ

ị

P

z

ầ

K

j =

y '

K’

z A y(z) B y’(z)=j (z)

ồ

A’ j (z)

i BTST

ộ ứ

y

Hình 8-1

ng trình vi phân đ

ả ng ĐH:

1. Khái ni m:ệ  Các thành ph n CV:2 Đ võng y ; góc xoay ộ  Đ ng đàn h i y = y(z) ườ  M c đích: Tính đ c ng,Gi ụ 2. Ph ườ ươ

1

1

–=

–=

,, )z(y

2y ''

1<<

2/32

z z

+

,, )z(y , ]))z(y(1[

r r

1

Mx Mx Mx Mx

=

=

=J'

y ''

y ''

M EJ

M EJ

y y Mx > 0 y’’< 0 Mx < 0 y’’> 0 - b) a) r

Hình 8-2

t l p ph

ế ậ

ươ

ườ

ng ĐH c a d m: ủ

ầ 3 PP:

3. Thi 1) PP tích phân tr c ti p:

ng trình đ ế ự

= -

y ''

M EJ

=

+

+

y

dz dz Cz D

= j =

y '

+ dz C

d

M EJ

� � � � �

� � �

M EJ

dy = - dz Ví d : xác đ nh y

ụ

ị

-

P

= -

A: j =

= M Pz y ''

= y '

+ = dz C

C

z

EJ=const

Pz E EJ

2 Pz + 2EJ

Pz EJ

=

+

y

y 'dz

+ Cz D

6=

z A B

3Pz 6EJ



A’

ĐKB:T i B ạ

=

j =



z

= y 0,

0

= - C

= , D

�

2

2  P 2EJ 3

= j =

y

y '

= y

y

A

A

Pz 2EJ

2  P 2EJ

Pz 6EJ

2  P z P + 2EJ

2  P = + 2EJ

3  P 3EJ

3  P 3EJ 3  j = - 3EJ

- -

2

j

2) PP Đ toán: ồ

=

= -

=

q

2

2 d y 2 dz

d dz

M EJ

d M dQ = dz dz

2

Đ t:ặ

d M dQ g

Q

y M �

�

= -

=

=

g

g

q

q

g

g

2

M EJ

dz

g dz

D m gi

ầ

ả

D m th t ậ

ầ

j -

A A B B

ầ ầ

Mgt=0 „ 0 Qgr

ng v i d m và đi u ki n

y=0 „ 0 y=0 „ 0 Mgt=0 „ 0 Qgr

ệ

.

ả

A B A B

„ 0 „ 0

Mgt Qgr

Mgt=0 Qgr=0

ọ

y„ 0 „ 0 y=0 =0

ộ ố

ệ ủ

„ 0 „ 0

y„ 0 „ 0

Mgt Qgr

y=0 „ 0

A A C C B

Mgt=0 „ 0 Qgr

y=0 „ 0

Yêu c u: D m,đi u ki n biên ề ệ ầ ng c a d m th t ph i t ả ươ ậ ủ đ ề ớ ầ ươ biên c a đ m gi ầ ủ Di n tích và tr ng tâm C a m t s hình (Xem Giáo trình)

B Mgt=0 „ 0 Qgr

D C D C B A A B

y„ 0 „ 0

y„ 0 „ 0

„ 0 „ 0

„ 0 „ 0

y=0 „ 0

y=0 0

Mgt Qgr

Mgt Qgr

Mgt=0 „ 0 Qgr

Mgt=0 „ 0 Qgr

q „

ầ

Ví d :ụ Tính yA, d m có EJ=const.

 P / EJ

P





P

M

=

=

= y M

>3 0

A

A g

 2 1 P   2 EJ 3

3  P 3EJ

A A B B

P qi+1(z)

3) Ph

ươ

ầ

a

)

)

qi(z) Ma

ng pháp thông s ban đ u: + D y

ố ( y z

( y z i

+ i 1

= )

) ( z ( y z

i

i z=a

ể

ỗ

ạ

( y

) z

(i) (i+1) D a

i

1 + y

) z (

Khai tri n theo chu i Taylo t Thay vào đ

c:ượ

y

z

) z (

2

3

D ya D

)

(

)

(

a

=

D+

D+

j

z )(

y

(

az

)

.

.

a

y i

+ 1

zy )( i

a

a

M EJ

az !2

Q a EJ

az !3

- D - D - - - D j

Hình 8-5

4

5

)a

z(

)a

z(

+

.

.

...

q a EJ

!4

, q a EJ

!5

D D - - - -

M , Q , q , q a

' a

a ố

ủ

ạ

ố

i z=a.

ẩ ủ hàm l c phân b t ố ạ

D D D D

, M , Q , q , q a

y , a

a

a

Trong đó các a Là các b c nh y c a mô men, l c c t, l c phân b và s gia c a đ o ự ắ ự ướ ự Các h s ệ ố Là các thông s đ u m i đo n, do đó ph

ố ầ

ạ

ỗ

a ng pháp này còn đ ươ c y ta xác đ nh đ

c g i ọ c

là ph

ượ

ị

' a ượ ượ

ươ

= -

= j

ng pháp thông s ban đ u. Có đ ầ ố = - , M EJy '', Q

y '

EJy '''

D D j D D D D

t ph

ng trình y, và tính y

 Ví d :ụ Vi

ế

ươ

A

B,

B ng thông s ban đ u:

ầ

ả

ố

j j M=qa2 P=4qa q

a

a

a

A C D B

VC=11qa/4 VA=9qa/4

Hình 8-8

Đo n AB a*=0

Đo n BC a*=a

Các thông số

ạ

ạ

Đo n ạ CDa*=2a

yD

0

0

?

0 j = 0

0

0

2

MD

= - M qa

0

0

= +

QD

9qa / 4

0P

-4qa

11qa/4

-q

D j

qD q '

0  0 0 0

0

D

Vi

t ph

ế

ươ

y 1

= j + z 0

2

3

-

0 z (

a ) 3

z

y

+ EJ

a

z

2a

2

= j + z 0

a 3!

3

3

4

2 qa z EJ 2! 2

- -

(

)

(

)

)

(

4qa EJ z

y

2a

z 3a

3

= j + z 0

ng trình đ võng: ộ 3 2 2 9qa z qa z 4E EJ 2! 4EJ 3! 9qa z 4EJ 3! 2 3 9qa z qa z + EJ 2! 4EJ 3!

4qa EJ

a 3!

q 3! EJ

z 2a 4!

11qa 4EJ j = +�

0

- - - - -

= z 2a

0

z 2a + 3! 3 qa 6EJ

đị

y 2 ạ

ươ

3

J

0 z

z

a

y 1

3

j

(

) 3

z

=

+

y

z

a

2a

2

qa 6EJ 3 qa 6EJ

3

3

4

3

2

- -

(

(

)

+

=

y

z

z ) + !4

2a

z 3a

3

= 0 Xác  nh         T i C: Ph độ ng trình   võng:  3 2 2 9qa z qa z - E + = EJ 2! 4EJ 3! 2 2 9qa z qa z + J2 4EJ 3! EJ 2! ( 2 3 4qa 9qa z qa z + EJ 2! 4EJ 3! EJ

qa 6EJ

4qa EJ ) z a 3!

a 3! 11qa 4EJ

z 2a 3!

q EJ

z 2a 4!

- - - - -

j =

y '

Ph

ng trình góc xoay:

ươ

2

0 z

a

j = 1

3 qa + 6EJ

2 qa z EJ 1!

9qa z J1 4EJ 2!

-

(

) 2

z

a

-

a

z

2a

j = 2

3 qa + 6EJ

2 qa z EJ 1!

2 9qa z + 4EJ 2!

2

2

3

-

(

4qa 1! EJ )

2! (

)

)

(

2a

z 3a

j = 3

3 qa + 6EJ

2 qa z EJ 1!

2 9qa z + 4EJ 2!

4qa EJ

z a 2!

11qa 4EJ

z 2a + 2!

q 4E EJ

z 2a 3!

Xác đ nh đ võng t

i A:

ộ

ị

ạ

ạ

4

=

y

= +J

B

y 1 z a =

3

j = j A

i B và góc xoay t 7qa 24EJ qa 24EJ

 = + 1 z 0 =

- - - - -

y

ộ ứ

]

f

y

[ �f

max

max 

f �� ���� 

Đ liên k t : Gi

i: Ch c n dùng các ph

ng trình

ả

ế

ỉ ầ

ươ

“th a” liên k t. B c ST c a d m=s liên k t th a tính

ừ

ừ

ủ

ế

ế

ầ

ố

ậ ế ơ

ổ



4. Bài toán tính toán đ c ng: 5. Bài toán siêu tĩnh: * D m tĩnh đ nh: ủ ầ ị cân b ng tĩnh h c. ọ ằ * D m ST: ầ chuy n đ i thành liên k t đ n. ể i:ả PT cân b ng+PT b sung. * Cách gi ổ 1) B LK th a thay b ng ph n l c liên k t: d m t ng. ả ự ỏ 2) Bu c đi u ki n bi n d ng d m TĐ=bi n d ng c a d m ST ầ

ng đ ươ ầ

ằ ằ ế

ươ ủ

ừ ề

ế ế

ầ ạ

ạ

ng trình b sung.

ổ

ệ Đ a thêm ph ươ i các ph ươ

ươ

ổ

ng đ

ươ

ươ

ầ

 ng trình b sung ng=ph n l c và n i l c ộ ự

ả ự

ộ ư 3) Gi ả ả ự ầ

ng trình cân b ng và các ph ằ ph n l c và n i l c c a d m t ộ ự ủ c a d m Siêu tĩnh. ủ

ồ ộ ự ủ

ẽ

ầ

ầ

q

Ví d :ụ V bi u đ n i l c c a d m cho trên hình v .EJ=const. ẽ ể D m 1 b c ST. ậ (

)



y

B

a) A B

+

=

(

q, V B ) =

0= (

)

)

y

q

y

0

B

q, V B

B

( y V B B

q

b) B A

VB

q 2 8

= +

= E 0

y

B

3  V B 3EJ

q 2 8 - c) M

= +-

V B

Q 5q 8

4  q 8EJ  3q 8

d) 3q 8

Hình 8-13

ắ

ộ

B t bu c:

Bài t p: ậ

7.1 b) e)  7.8  7.11  7.12  7.15  7.18 a)

7.20  7.22   7.23

ng 6

Ch ươ Xo n thanh tròn ắ

ộ

ấ

ặ

ắ

N i dung: 1.Khái ni mệ 2. ng su t trên m t c t

ạ

đ ề

ề

ệ

ệ

3.Bi n d ng  4. i u ki n b n và  i u ki n

Ứ ngang ế Đ ề c ngứ

ụ ướ

5.Tính lò xo hình tr  b

c

ng nắ

3+2

6.1 Đ nh nghĩa:

ị

Thanh tròn ch u xo n thu n túy: Trên m t c t ngang M ầ

ắ

ị

z .

ặ ắ MZ>0

M1 m2 MZ

a)

b)

MZ<0 z

Hình 6-1

)

( = zM f z

)

=

(

(

) M Nm 7029

Quy c d u c a n i l c ướ ấ ủ ộ ự Bi u đ n i l c: Đ th ồ ị ồ ộ ự ể ( ) w kw )  = M Nm 9950 ) ( n v/ph

( w maluc ) ( n v/ph

ể đồ ộ

ự

Ví d :ụ V  bi u  ẽ

n i l c:

a)

M2= 20 M3= 10 kNm M1=15kNm 1 3 2 m=5kNm/m

A C D E D’ 2 B 0,2 1m 1 0,5m 0,5m 3 0,8m

MAB M1

b)

z M3 MCD MBC M1 m

z z

c)

10 10kNm MZ 10 15

Hình 6-2

6.2 ng su t trên m t c t ngang

ặ ắ

Ứ

MZ

o

g = tg

o

A

A

r j g g j

B

r

ấ d dz

AA' = AB

dj

A’

a)

b)

dz

r t r g

Góc tr t = g =

tượ G G

r j

r

Hình 6-4

z

r=

t =

M

d dz F d

z

MZ

= t F

r r r r

r

ma

Góc xo n t

đ i ắ ỷ ố

=

q =

x

ma

R

x

3

t j q t

p d D

Hình 6-5

z

=

M J zM d dz GJr ) h = 4

(

w

1

t - h r

Hình 6-6

= max

M w

D 16

d D

r

 i

n



j =

=

const =

dz M , GJ z

= i 1 0

M= 1kNm 2 1 m=1kNm/m j r r r a) A

ạ 6.3 Bi n d ng ế M z GJ

M z GJ

r r 1 C B 2 z z

,

max

AB

1m 1m t j

Ví d :ụ dCB=2dAC=10cm. Tính

2

2

max

=

2kNm 2kNm b)

= 2 4kN / cm 40MN / m

= AC max

t MZ 1kNm

r

Hình 6-7

2

2

max

=

= 2 1kN / cm 10MN / m

= CB max

= 3

M w M w

t

1.10 = 3 0, 2.5 2.10 0, 2.10 1

M

CB

=

r

dz

= j + j AC

AB

CB

0

AC M + z GJ

CB  = z GJ

j r

1

=

+

=

+

r r

dz

= 0, 01 0, 025 0, 0125rad

7

4

8

0

1.z GJ

2.1 8.10 .0,1.10 .10

r -

r

6.4 Đi u ki n b n và đi u ki n c ng

ệ ứ

ề

ề Đ ề

ệ ệ

ề ề

1.  i u ki n b n:

BT ki m tra b n

ể

ề

z

[

] t =

max

t t

i tr ng cho

ọ ả ọ

M = x w

0 n

r

BT ch n t phép ặ ắ BT ch n m t c t

ọ

]

] t =

[ ế ă

[  Theo TB th  n ng:

3

s

[

]

[

ứ

ế

ấ

] t = ớ

2

s

Đ ề

ệ

[

]

q q

 Theo TB  ng su t ti p l n nh t: ấ ứ 2.   i u ki n c ng: M = x

max

z max GJr

6.5 Tính lò xo hình tr b

c ng n

ụ ướ

ắ

P

D- đ

ng kính lò xo; d- đ

ng kính dây LX

ườ

ườ

B c: kho ng cách gi a 2 vòng LX

ướ

ữ

ả

P

0- LX b

ụ

c ướ

a

[

]

=(vòng LX, tr c LX)>80 ng nắ

[

] t =

2

MZ=PR

s

2

A

n- s vòng LX ố =P M P

1

Q=P

D 2

P

a)

b)

t t R D

P

= t + t = 1

2

max

3

Q P=P D 2 + 0, 2d

R=D/2 t p

Hình 6-10

P = 2 d 4

MZ

=

+

1

3

[

]

t = 2

[

] t =

1, 6d � � p� D

� � �

Q F

R

R

2

PD 0, 4d 4

=

C

Đ c ng LX:

ộ ứ

3

Gd 8nD

s

Hình 6-11

l =

Đ co dãn c a LX:

ủ

ộ

P C

ắ

ộ

Bài t p:ậ B t bu c:

6.3  6.4   6.6  6.10