intTypePromotion=1

Tài liệu ôn thi Đại học: Chuyên đề về cực trị

Chia sẻ: Kim Anh Anh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:17

0
187
lượt xem
37
download

Tài liệu ôn thi Đại học: Chuyên đề về cực trị

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu ôn thi Đại học với Chuyên đề về cực trị sau đây sẽ trình bày về: một số dạng câu hỏi thường gặp ở bài toán cực trị, cách giải một số dạng câu hỏi, bài tập về cực trị. Mời các bạn cùng tham khảo ôn tập và đạt hiệu quả cao.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Tài liệu ôn thi Đại học: Chuyên đề về cực trị

  1. Tµi liÖu «n thi ®¹i häc Su tÇm vµ biªn so¹n : L.Q.T Chuyªn ®Ò 3 :Chuyªn ®Ò vÒ cùc trÞ . Mét sè d¹ng c©u hái thêng gÆp ë bµi to¸n cùc trÞ : 1) T×m m ®Ó hµm sè cã C§ hoÆc CT hoÆc cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu . 2) T×m m ®Ó hµm sè cã mét ®iÓm cùc trÞ , 3 ®iÓm cùc trÞ ( hµm bËc 4 ) hoÆc kh«ng cã cùc trÞ . 3) T×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i , cùc tiÓu sao cho hoµnh ®é c¸c ®iÓm cùc trÞ tho¶ m·n mét yªu cÇu nµo ®ã cña bµi to¸n. 4) T×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i , cùc tiÓu sao cho tung ®é c¸c ®iÓm cùc trÞ tho¶ m·n mét yªu cÇu nµo ®ã cña bµi to¸n. 5) T×m m ®Ó hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i ®iÓm x0 vµ t¹i ®ã lµ ®iÓm cùc ®¹i hay cùc tiÓu ? 6) T×m quü tÝch cña ®iÓm cùc trÞ 7) LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua 2 ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ hµm sè vµ ®êng th¼ng ®ã tho¶ m·n mét sè yªu cÇu nµo ®ã. 8) VÞ trÝ cña c¸c ®iÓm cùc trÞ ®èi víi c¸c trôc to¹ ®é 9) VÞ trÝ cña ®iÓm cùc trÞ ®èi víi ®êng th¼ng cho tríc ( c¸ch ®Òu , n»m vÒ mét phÝa , n»m vÒ hai phÝa, ®èi xøng nhau qua ®êng th¼ng ...) 10) T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè cã ba ®iÓm cùc trÞ t¹o thµnh tam gi¸c ®Òu , tam gi¸c vu«ng c©n .( ®èi víi hµm bËc 4 trïng ph¬ng ). 11) T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè cã 3 ®iÓm cùc trÞ t¹o thµnh mét tam gi¸c nhËn ®iÓm G cho tríc lµm träng t©m 12) øng dông cña cùc trÞ trong c¸c bµi to¸n chøng minh bÊt ®¼ng thøc , gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh. C¸ch gi¶i mét sè d¹ng c©u hái : C©u hái d¹ng1 : Lu ý c¸c kiÕn thøc sau :
  2. Tµi liÖu «n thi ®¹i häc Su tÇm vµ biªn so¹n : L.Q.T - Cho hµm sè y=f(x) liªn tôc trªn (a,b) , x0 lµ mét ®iÓm thuéc (a;b). NÕu y’ ®æi dÊu khi ®i qua x0 th× ta nãi : Hµm sè f ®¹t cùc trÞ t¹i ®iÓm x0 + NÕu y’ ®æi dÊu tõ - sang + th× hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm x0. Gi¸ trÞ f(x0) ®îc gäi lµ gi¸ trÞ cùc tiÓu cña hµm sè vµ kÝ hiÖu lµ fCT = f(x0).§iÓm M(x0; f(x0)) ®îc gäi lµ ®iÓm cùc tiÓu cña ®å thÞ hµm sè y = f(x). + NÕu y’ ®æi dÊu tõ + sang - th× hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i ®iÓm x0. Gi¸ trÞ f(x0) ®îc gäi lµ gi¸ trÞ cùc ®¹i cña hµm sè vµ kÝ hiÖu lµ fC§ = f(x0). §iÓm M(x0; f(x0)) ®îc gäi lµ ®iÓm cùc tiÓu cña ®å thÞ hµm sè y = f(x). - Cã thÓ dïng y’’ ®Ó x¸c ®Þnh C§ , CT cña hµm sè : y '( x0 ) = 0 + Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i ®iÓm x0 y ''( x0 ) < 0 y '( x0 ) = 0 + Hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm x0 y ''( x0 ) > 0 - NÕu dÊu cña y’ mµ phô thuéc vµo dÊu cña mét tam thøc bËc hai th× §K ®Ó hµm sè cã cùc trÞ hoÆc §K ®Ó hµm sè cã C§ , CT lµ tam thøc bËc hai ®ã cã hai nghiÖm ph©n biÖt v× nÕu mét tam thøc bËc hai ®· cã hai nghiÖm ph©n biÖt th× hiÓn nhiªn tam thøc ®ã sÏ ®æi dÊu hai lÇn khi ®i qua c¸c nghiÖm. VÝ dô ¸p dông: x 2 − 2mx + 3m + 1 1. Cho hµm sè y = , t×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i, cùc x−2 tiÓu. 2. Cho hµm sè y = −2 x + m x 2 + 1 , t×m m ®Ó hµm sè cã cùc tiÓu. ( Gîi ý : dïng y’’ ). C©u hái d¹ng2 : Lu ý c¸c kiÕn thøc sau : - Sè lÇn ®æi dÊu cña y’ khi ®i qua nghiÖm cña nã ®óng b»ng sè cùc trÞ cña hµm sè y = f(x). - C¸ch gi¶i d¹ng bµi tËp : T×m m ®Ó hµm sè cã 3 ®iÓm cùc trÞ:
  3. Tµi liÖu «n thi ®¹i häc Su tÇm vµ biªn so¹n : L.Q.T + TÝnh y’ vµ biÖn luËn sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh y’ = 0, nÕu ph¬ng tr×nh y’ = 0 nhËn ®îc lµ hµm bËc 3 ta cã thÓ sö dông c¸c ®k ®Ó ph¬ng tr×nh bËc ba cã ba nghiÖm ph©n biÖt . C¸ch 1: NÕu nhÈm ®îc 1 nghiÖm cña pt th× pt b3 ph©n tÝch ®îc thµnh tÝch cña mét nh©n tö bËc nhÊt víi mét nh©n tö bËc 2 th× biÖn luËn cho nh©n tö bËc hai cã 2 nghiÖm ph©n biÖt kh¸c nghiÖm cña nh©n tö bËc nhÊt . C¸ch 2 : NÕu kh«ng nhÈm ®îc nghiÖm th× ta cã thÓ sö dông t¬ng giao gi÷a ®å thÞ hµm bËc 3 víi trôc Ox ®Ó t×m ®k cho pt bËc 3 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt. - C¸ch gi¶i d¹ng bµi tËp : T×m m ®Ó hµm sè cã 1 ®iÓm cùc trÞ: NÕu pt y’= 0 nhËn ®îc lµ pt bËc nhÊt hoÆc bËc 2 th× ®¬n gi¶n , ta chØ xÐt TH pt nhËn ®îc lµ pt bËc 3 ®Çy ®ñ C¸ch 1: NÕu nhÈm ®îc 1 nghiÖm cña pt th× pt b3 ph©n tÝch ®îc thµnh tÝch cña mét nh©n tö bËc nhÊt víi mét nh©n tö bËc 2 th× biÖn luËn cho nh©n tö bËc hai cã nghiÖm kÐp trïng víi nghiÖm cña nh©n tö bËc nhÊt . C¸ch 2 : NÕu kh«ng nhÈm ®îc nghiÖm th× ta cã thÓ sö dông t¬ng giao gi÷a ®å thÞ hµm bËc 3 víi trôc Ox ®Ó t×m ®k cho pt bËc 3 cã 1 nghiÖm duy nhÊt ( chó ý 2 trêng hîp ). - C¸ch gi¶i d¹ng bµi tËp : T×m m ®Ó hµm sè kh«ng cã cùc trÞ : ta chØ viÖc biÖn luËn cho pt y’= 0 v« nghiÖm hoÆc cã nghiÖm nhng kh«ng ®æi dÊu qua nghiÖm ( tøc lµ trêng hîp y’ = 0 cã nghiÖm béi ch½n ) VÝ dô ¸p dông : 1. Cho hµm sè y = mx3 + 3mx 2 − (m − 1) x + 1 , t×m m ®Ó hµm sè kh«ng cã cùc trÞ .
  4. Tµi liÖu «n thi ®¹i häc Su tÇm vµ biªn so¹n : L.Q.T 2. Cho hµm sè y = m.x 4 + (m 2 − 9) x 2 + 10 , t×m m ®Ó hµm sè cã 3 ®iÓm cùc trÞ. C©u hái d¹ng 3 : Ph¬ng ph¸p chung ®Ó gi¶i nh sau : - TÝnh y’ vµ t×m ®k ®Ó y’ = 0 cã nghiÖm sao cho tån t¹i C§ , CT cña hµm sè - Gi¶ sö x1, x2 lµ c¸c nghiÖm cña pt y’ = 0 theo Vi – Ðt ta cã : −b x1 + x2 = a c x1.x2 = a - KÕt hîp ®Þnh lý Vi - Ðt víi yªu cÇu vÒ hoµnh ®é cña bµi to¸n vµ ®k t×m ®îc ë bíc thø nhÊt ®Ó t×m ra ®k cña tham sè . VÝ dô ¸p dông : 1 1 3 1 1. Cho hµm sè y = x3 − (sin a + cos a) x 2 + ( sin 2a).x + t×m a ®Ó hµm sè 3 2 4 3 cã cùc ®¹i cùc tiÓu sao cho hoµnh ®é c¸c ®iÓm cùc trÞ lµ x1,x2 tho¶ m·n x1+x2 = x12+x22. 2. Cho hµm sè : y = (m+2)x3 + 3x2 + mx -5. a) T×m m ®Ó hµm sè cã C§ vµ CT . b) T×m m ®Ó hµm sè cã C§ vµ CT tho¶ m·n xC§+xCT = -2 C©u hái d¹ng 4 : Ph¬ng ph¸p chung ®Ó gi¶i nh sau : - TÝnh y’ vµ t×m ®k ®Ó y’ = 0 cã nghiÖm sao cho tån t¹i C§ , CT cña hµm sè - Gi¶ sö x1, x2 lµ c¸c nghiÖm cña pt y’ = 0 theo Vi – Ðt ta cã : −b x1 + x2 = a c x1.x2 = a - T×m mèi liªn hÖ gi÷a tung ®é ®iÓm cùc trÞ víi hoµnh ®é t¬ng øng cña nã b»ng c¸ch :
  5. Tµi liÖu «n thi ®¹i häc Su tÇm vµ biªn so¹n : L.Q.T + ) NÕu y = f(x) lµ hµm ®a thøc th× ta lÊy y chia cho y’ ®îc phÇn d lµ R(x), khi ®ã ycùc trÞ =R(xcùc trÞ ) . u ( x) u ( x0 ) u '( x0 ) +) NÕu y = v( x) vµ (x0,y0) lµ ®iÓm cùc trÞ th× : y0 = = . v( x0 ) v '( x0 ) - KÕt hîp ®Þnh lý Vi- Ðt víi yªu cÇu vÒ tung ®é cña bµi to¸n vµ ®k t×m ®îc ë bíc thø nhÊt ®Ó t×m ra ®k cña tham sè . VÝ dô ¸p dông : 2 x 2 − 3x + m 1. Cho hµm sè y = (Cm ) t×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i cùc x−m tiÓu sao cho tung ®é c¸c ®iÓm cùc trÞ lµ y1,y2 tho¶ m·n y1. y2 > 8 2. Cho hµm sè : y = (m+2)x3 + 3x2 + mx -5. a) T×m m ®Ó hµm sè cã C§ vµ CT . b) T×m m ®Ó hµm sè cã C§ vµ CT tho¶ m·n yC§+yCT = -2 C©u hái d¹ng 5 : Ph¬ng ph¸p chung ®Ó gi¶i nh sau : • C¸ch 1 : + T×m ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x0 : y’(x0) = 0 + KiÓm tra ®iÒu kiÖn ®ñ : LËp b¶ng xÐt dÊu cña y’ xem cã ®óng víi gi¸ trÞ t×m ®îc cña tham sè th× hµm sè cã ®¹t cùc trÞ t¹i xo hay kh«ng . Tõ b¶ng nµy còng cho biÕt t¹i x0 hµm sè ®¹t C§ hay CT. y '( x0 ) = 0 • C¸ch 2 : §K cÇn vµ ®ñ ®Ó hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x0 lµ : y ''( x0 ) 0 sau ®ã dùa vµo dÊu cña y’’ ®Ó nhËn biÕt x0 lµ C§ hay CT. y '( x0 ) = 0 • Chó ý : §K cÇn vµ ®ñ ®Ó hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x0 lµ: y ''( x ) < 0 0 y '( x0 ) = 0 §K cÇn vµ ®ñ ®Ó hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i x0 lµ: y ''( x0 ) > 0 VÝ dô ¸p dông : 1. Cho hµm sè y = 3cos3x+mcosx.T×m m ®Ó hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x = π/3 , t¹i ®ã lµ cùc ®¹i hay cùc tiÓu ?
  6. Tµi liÖu «n thi ®¹i häc Su tÇm vµ biªn so¹n : L.Q.T 2. Cho hµm sè y = x3 − 3mx 2 + 3(m 2 − 1) x + m t×m m ®Ó hµm sè ®Ó hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x = 2 . C©u hái d¹ng 6 : T×m quü tÝch ®iÓm cùc trÞ : Th«ng thêng c¸ch gi¶i t- ¬ng tù nh viÖc tÝnh nhanh ycùc trÞ .( ®¬n gi¶n nªn kh«ng ®Ò cËp s©u ) C©u hái d¹ng 7 : a) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm cùc ®¹i, cùc tiÓu cña ®å thÞ hµm sè y= f(x) (C¸ch gi¶i ®· qu¸ th«ng th¹o kh«ng ®Ò cËp s©u) b) T×m m ®Ò ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ hµm sè (§THS) tho¶ m·n mét sè yªu cÇu cho tríc : - T×m m ®Ó hµm sè cã cùc trÞ .( hay quªn bíc nµy ) - LËp pt ®êng th¼ng ®i qua c¸c ®iÓm cùc trÞ - Cho ®êng th¼ng võa lËp tho¶ m·n yªu cÇu ®Ò bµi . - §èi chiÕu , kÕt kîp tÊt c¶ c¸c ®k kiÖn cña tham sè rót ra kÕt luËn. c) CMR víi mäi m , ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm cùc trÞ cña §THS lu«n ®i qua mét ( hoÆc nhiÒu ) ®iÓm cè ®Þnh. - CM r»ng víi mäi m hµm sè lu«n cã cùc trÞ . - LËp pt ®êng th¼ng (dm) ®i qua c¸c ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ hµm sè ( cßn chøa tham sè ) - T×m ®iÓm cè ®Þnh mµ víi mäi m th× ®êng th¼ng (dm) lu«n ®i qua( ®· cã thuËt to¸n). - KÕt luËn. d) CMR c¸c ®iÓm cùc trÞ cña §THS lu«n n»m trªn mét ®êng th¼ng cè ®Þnh ( chØ viÖc t×m ®t ®i qua c¸c ®iÓm cùc trÞ , thÊy c¸c yÕu tè cña ®t nµy cè ®Þnh tõ ®ã rót ra kÕt luËn) e) Chó ý :
  7. Tµi liÖu «n thi ®¹i häc Su tÇm vµ biªn so¹n : L.Q.T - §èi víi hµm bËc 4 kh«ng nh÷ng cã kh¸i niÖm ®êng th¼ng ®i qua c¸c ®iÓm cùc trÞ mµ cßn cã thÓ cã kh¸i niÖm Parabol ®i qua c¸c ®iÓm cùc trÞ ( khi phÇn d cña phÐp chia y( cã bËc 4) cho y’( cã bËc 3) cã bËc lµ 2 ).Khi ®ã còng cã thÓ cã c¸c c©u hái t- ¬ng tù nh trªn ®èi víi Parabol nµy VÝ dô ¸p dông : 1. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm cùc ®¹i vµ cùc tiÓu cña §THS sau : y = x3 –x2 - 94x + 95. x 2 − 2mx + m 2. Cho hµm sè , t×m m ®Ó hµm sè cã C§ , CT ; viÕt PT ®- x+m êng th¼ng ®i qua ®iÓm C§ , CT cña §THS. 4 x 3. CMR C¸c ®iÓm cùc trÞ cña §THS y = − x3 − 3x 2 + 8 x lu«n n»m trªn 4 mét ®êng Parabol x¸c ®Þnh. 4. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua c¸c ®iÓm cùc ®¹i , cùc tiÓu cña §THS sau : 1 a) y = − x3 − (m − 1) x 2 − (m 2 − 2m) − m(m − 1) 3 x2 − x − 2 b) y = x−4 C©u hái d¹ng 8: VÞ trÝ cña c¸c ®iÓm cùc trÞ ®èi víi c¸c trôc to¹ ®é. b2 1. VÞ trÝ cña c¸c ®iÓm cùc trÞ cña hµm ®èi víi hÖ trôc Oxy. b1 BT1: T×m m ®Ó §THS cã mét ®iÓm cùc trÞ n»m ë gãc phÇn t thø (I) , mét ®iÓm cùc trÞ n»m ë gãc phÇn t thø (III). BT2: T×m m ®Ó §THS cã mét ®iÓm cùc trÞ n»m ë gãc phÇn t thø (II) , mét ®iÓm cùc trÞ n»m ë gãc phÇn t thø (IV). Ph¬ng ph¸p gi¶i : + §K1 : y’ = 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1,x2 tr¸i dÊu.
  8. Tµi liÖu «n thi ®¹i häc Su tÇm vµ biªn so¹n : L.Q.T + §K2 : §å thÞ hµm sè kh«ng c¾t Ox ( ph¬ng tr×nh y = 0 v« nghiÖm) + §K 3 : • Víi BT1 : a(m) > 0 • Víi BT2 : a(m) < 0 ( Trong ®ã a(m) lµ hÖ sè chøa m cña tam thøc bËc 2 cña tö sè cña y’) Chó ý : §èi víi nh÷ng bµi to¸n mµ yªu cÇu ph¶i gi¶i mét hÖ ®k ®Ó cã kÕt qu¶ , ta thêng gi¶i mét sè ®k ®¬n gi¶n tríc råi kÕt hîp chóng víi nhau xem sao , ®«i khi kÕt qu¶ thu ®îc lµ s v« lý th× kh«ng cÇn gi¶i thªm c¸c ®k kh¸c n÷a. VÝ dô ¸p dông : mx 2 + (m 2 + 1) x + m + 4m3 1. Cho hµm sè y = , t×m m ®Ó §THS cã mét x+m ®iÓm cùc trÞ n»m ë gãc phÇn t thø I , mét ®iÓm cùc trÞ n»m ë gãc phÇn t thø III. mx 2 + (m 2 + 1) x + m + 4m3 2. Cho hµm sè y = , t×m m ®Ó §THS cã mét x+m ®iÓm cùc trÞ n»m ë gãc phÇn t thø II , mét ®iÓm cùc trÞ n»m ë gãc phÇn t thø IV. 2.VÞ trÝ cña c¸c ®iÓm cùc trÞ cña hµm y = a.x3 + bx 2 + cx + d (a 0) ®èi víi hÖ to¹ ®é Oxy. a) T×m m ®Ó hµm sè cã C§, CT sao cho C§ ,CT n»m vÒ mét phÝa Oy b) T×m m ®Ó hµm sè cã C§, CT sao cho C§ ,CT n»m vÒ hai phÝa Oy. c) T×m m ®Ó hµm sè cã C§, CT sao cho C§ ,CT c¸ch ®Òu Oy. d) T×m m ®Ó hµm sè cã C§, CT sao cho C§ ,CT n»m vÒ mét phÝa Ox. e) T×m m ®Ó hµm sè cã C§, CT sao cho C§ ,CT n»m vÒ hai phÝa Ox. f) T×m m ®Ó hµm sè cã C§, CT sao cho C§ ,CT c¸ch ®Òu Ox.
  9. Tµi liÖu «n thi ®¹i häc Su tÇm vµ biªn so¹n : L.Q.T  Ph¬ng ph¸p gi¶i : * Bíc 1 : T×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i , cùc tiÓu : y’ = 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1 , x2 . * Bíc 2 : C¸c ®k a) C§ ,CT n»m vÒ mét phÝa Oy � x1.x2 > 0 b) C§ ,CT n»m vÒ hai phÝa Oy � x1.x2 < 0 c) C§ ,CT c¸ch ®Òu Oy : + §K cÇn : xuãn = 0 ( ®iÓm uèn thuéc trôc Oy) gi¸ trÞ cña tham sè. + §K ®ñ : Thay gi¸ trÞ t×m ®îc cña tham sè vµo vµ thö l¹i. + KÕt luËn vÒ gi¸ trÞ “ hîp lÖ” cña tham sè. d)C§ ,CT n»m vÒ mét phÝa Ox � y1. y2 > 0 e) C§ ,CT n»m vÒ hai phÝa Ox � y1. y2 < 0 f) C§ ,CT c¸ch ®Òu Ox : + §K cÇn : yuãn = 0 ( ®iÓm uèn thuéc trôc Ox) gi¸ trÞ cña tham sè. + §K ®ñ : Thay gi¸ trÞ t×m ®îc cña tham sè vµo vµ thö l¹i. + KÕt luËn vÒ gi¸ trÞ “ hîp lÖ” cña tham sè.  Chó ý : Cã thÓ kÕt hîp c¸c ®k ë bíc 1 vµ bíc 2 ®Ó ®k trë nªn ®¬n gi¶n , gän nhÑ, ch¼ng h¹n nh c©u: “T×m m ®Ó hµm sè cã C§, CT sao cho C§ ,CT n»m vÒ mét phÝa Oy “ cã thÓ gép hai ®k trë thµnh : Ph¬ng tr×nh y’ = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt d¬ng.... C©u hái d¹ng 9: VÞ trÝ cña c¸c ®iÓm cùc trÞ cña hµm sè y = f(x, m) (Cm) ®èi víi ®êng th¼ng (d) : Ax + By +C =0 cho tríc. a) T×m m ®Ó §THS cã C§, CT thuéc hai phÝa cña (d) B1: XÐt y’ = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1,x2 thuéc TX§. B2: Gi¶ sö A(x1,y1) , B(x2,y2) lµ to¹ ®é cña c¸c ®iÓm cùc trÞ khi ®ã A, B thuéc hai phÝa cña (d) � ( A.x1 + B. y1 + C )( A.x2 + B. y2 + C ) < 0 .
  10. Tµi liÖu «n thi ®¹i häc Su tÇm vµ biªn so¹n : L.Q.T ( ë bíc nµy nÕu kh«ng x¸c ®Þnh ®îc to¹ ®é cô thÓ cña A , B ngêi ta cã thÓ dùa vµ mèi liªn hÖ gi÷a y1 vµ x1 , gi÷a y2 víi x2 vµ sö dông Vi- et ®èi víi PT y ‘ = 0) B3 : §èi chiÕu c¸c ®k vµ kÕt luËn b) T×m m ®Ó §THS cã C§, CT thuéc cïng phÝa víi (d) B1: XÐt y’ = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1,x2 thuéc TX§. B2: Gi¶ sö A(x1,y1) , B(x2,y2) lµ to¹ ®é cña c¸c ®iÓm cùc trÞ khi ®ã A, B thuéc cïng phÝa víi (d) � ( A.x1 + B. y1 + C )( A.x2 + B. y2 + C ) > 0 . B3 : §èi chiÕu c¸c ®k vµ kÕt luËn. c) T×m m ®Ó C§ , CT c¸ch ®Òu ®êng th¼ng (d). B1: XÐt y’ = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1,x2 thuéc TX§. B2 : C¸ch 1 : Gi¶ sö A(x1,y1) , B(x2,y2) lµ to¹ ®é cña c¸c ®iÓm cùc trÞ khi ®ã ta gi¶i ®k vÒ kho¶ng c¸ch t×m ra ®k cña tham sè C¸ch 2 : + §K cÇn : §iÓm uèn (víi hµm bËc 3) hoÆc giao ®iÓm 2 b2 tiÖm cËn ( víi hµm ) thuéc (d) b1 + §K ®ñ : Thay m vµo vµ kiÓm tra l¹i . d) T×m m ®Ó C§ , CT ®èi xøng nhau qua ®êng th¼ng (d). B1 : Nh trªn. B2 :Nh trªn. B3 : Cho AB vu«ng gãc víi d ( cã thÓ dïng hÖ sè gãc , còng cã thÓ dïng vÐc t¬ ph¸p tuyÕn) VÝ dô ¸p dông : x 2 + mx − m + 8 1. Cho hµm sè : y = x −1 a) m = ? HS cã C§ , CT b) m = ? C§, CT thuéc hai phÝa cña ®t : 9x -7y -1 = 0
  11. Tµi liÖu «n thi ®¹i häc Su tÇm vµ biªn so¹n : L.Q.T x 2 + 2mx + 2 2. T×m m ®Ó hµm sè y = cã C§ , CT c¸ch ®Òu x + y +2 = 0 x +1 3. T×m m ®Ó hµm sè y = x3 − 3mx 2 + 4m3 (Cm ) cã C§ , CT ®èi xøng nhau qua ph©n gi¸c cña gãc phÇn t thø I vµ thø III 4. T×m m ®Ó hµm sè y = x3 − 3x 2 + m 2 x + m (Cm ) cã C§ , CT ®èi xøng 1 5 nhau qua ®êng th¼ng y = x − 2 2
  12. Tµi liÖu «n thi ®¹i häc Su tÇm vµ biªn so¹n : L.Q.T C©u hái d¹ng 10: T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè cã ba ®iÓm cùc trÞ t¹o thµnh tam gi¸c ®Òu , tam gi¸c vu«ng c©n .( ®èi víi hµm bËc 4 trïng ph- ¬ng ). Ph¬ng ph¸p chung : - Bíc 1 : T×m ®iÒu kiÖn ®Ó hµm sè cã ba cùc trÞ . - Bíc 2 : Gäi A(x1,y1) , B(x2,y2), C (x3,y3) lµ täa ®é c¸c ®iÓm cùc trÞ trong ®ã B lµ ®iÓm n»m trªn Oy. Do hµm sè bËc 4 trïng ph¬ng nhËn trôc tung lµm trôc ®èi xøng nªn tam gi¸c ABC c©n t¹i B. TH1 : NÕu tam gi¸c ABC ®Òu chØ cÇn AB = AC . TH2 : NÕu tam gi¸c ABC vu«ng c©n (hoÆc vu«ng ) th× chØ cã thÓ uuu uuu r r AB. AC = 0 vu«ng c©n t¹i B nªn ta cã : AC 2 = AB 2 + BC 2 VÝ dô ¸p dông : Cho hµm sè y = x 4 − 2m 2 x 2 + 1 , t×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè cã ba ®iÓm cùc trÞ t¹o thµnh tam gi¸c vu«ng c©n. C©u hái d¹ng 11: T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè bËc 4 cã 3 ®iÓm cùc trÞ t¹o thµnh mét tam gi¸c nhËn ®iÓm G cho tríc lµm träng t©m. Ph¬ng ph¸p chung : + )T×m ®k ®Ó hµm sè cã ba ®iÓm cùc trÞ , gi¶ sö A(x1,y1) , B(x2,y2), C (x3,y3) lµ täa ®é c¸c ®iÓm cùc trÞ . + ) Theo gi¶ thiÕt G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC nªn ta cã : x1 + x2 + x3 = 3 x0 (1) y1 + y2 + y3 = 3 y0 (2) +) x1,x2,x3 lµ nghiÖm cña y’ = 0 nªn theo Vi- Ðt ta cã :
  13. Tµi liÖu «n thi ®¹i häc Su tÇm vµ biªn so¹n : L.Q.T −b x1 + x2 + x3 = (3) a c x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = (4) a −d x1 x2 x3 = (5) a +) Tõ ph¬ng tr×nh (2) kÕt hîp víi mèi liªn hÖ ®Æc biÖt gi÷a x1,x2,x3 vµ y1,y2,y3 ta t×m thªm ®îc mèi liªn hÖ gi÷a x1,x2,x3. KÕt hîp c¸c ph¬ng tr×nh , gi¶i hÖ t×m ®îc gi¸ trÞ cña tham sè, ®èi chiÕu víi c¸c ®iÒu kiÖn vµ kÕt luËn. VÝ dô ¸p dông : Cho hµm sè y = x 4 + 4 x3 + mx + m , t×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè cã ba ®iÓm cùc trÞ t¹o thµnh tam gi¸c ABC nhËn gèc to¹ ®é lµm träng t©m.
  14. Tµi liÖu «n thi ®¹i häc Su tÇm vµ biªn so¹n : L.Q.T Bµi tËp vÒ cùc trÞ : Cho hµm sè y = (m + 2) x3 + 3x 2 + mx − 5 t×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i , cùc tiÓu Cho hµm sè y = 2 x3 − 3(2m + 1) x 2 + 6m(m + 1) x + 1 CMR víi mäi gi¸ trÞ cña m , hµm sè lu«n cã cùc ®¹i cùc tiÓu vµ biÓu thøc xC§-xCT kh«ng phô thuéc vµo m. Cho hµm sè y = mx3 + 3mx 2 − (m − 1) x − 1 t×m m ®Ó hµm sè kh«ng cã cùc trÞ Cho hµm sè y = x 4 + 4mx3 + 3(m + 1) x 2 + 1 t×m m ®Ó hµm sè cã mét ®iÓm cùc trÞ mx 2 + (m + 1) x + 1 Cho hµm sè y = t×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu mx + 2 Cho hµm sè y = x3 − 3mx 2 + 3(m 2 − 1) x + m t×m m ®Ó hµm sè ®Ó hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x=2 . Cho hµm sè y = 2 x3 − 3mx 2 + 6(2m − 3) x + 1 t×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu vµ hoµnh ®é ®iÓm cùc ®¹i , cùc tiÓu thuéc ( -1 ; 1) 1 1 3 1 Cho hµm sè y = x3 − (sin a + cos a) x 2 + ( sin 2a).x + t×m a ®Ó hµm sè cã cùc 3 2 4 3 ®¹i cùc tiÓu sao cho hoµnh ®é c¸c ®iÓm cùc trÞ lµ x1,x2 tho¶ m·n x1+x2 = x12+x22 2 x 2 − 3x + m Cho hµm sè y = t×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i cùc tiÓu sao cho x−m tung ®é c¸c ®iÓm cùc trÞ lµ y1, y2 tho¶ m·n : y1 − y2 > 8
  15. Tµi liÖu «n thi ®¹i häc Su tÇm vµ biªn so¹n : L.Q.T x 2 + (m + 2) x + 3m + 2 Cho hµm sè y = t×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i cùc tiÓu x+2 1 sao cho yC§2+yCT2 > 2 mx 2 + 2mx + 1 Cho hµm sè y = t×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i cùc tiÓu sao x −1 cho : a) Mét ®iÓm cùc trÞ thuéc gãc phÇn t thø nhÊt , 1 ®iÓm ë gãc phÇn t thø III. b) Mét ®iÓm cùc trÞ thuéc gãc phÇn t thø II , 1 ®iÓm ë gãc phÇn t thø IV. mx 2 + 3mx + 2m + 1 Cho hµm sè y = t×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i cùc tiÓu sao x −1 cho : a) Thuéc mét phÝa cña Ox c) Thuéc mét phÝa cña Oy b) Hai phÝa cña Ox d) Hai phÝa cña Oy. 1 2 Cho hµm sè y = − mx3 + mx 2 + x + t×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i, cùc tiÓu 3 3 sao cho : a) Thuéc mét phÝa cña Oy d) Hai phÝa cña Ox. b) Hai phÝa cña Oy e) C¸ch ®Òu Ox c) Thuéc mét phÝa cña Ox. f) C¸ch ®Òu Oy Cho hµm sè y = x3 − 3mx 2 + 4m3 t×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i, cùc tiÓu sao cho hai ®iÓm cùc trÞ ®èi xøng nhau qua ®êng th¼ng y = x Cho hµm sè y = 2 x3 − 3(2m + 1) x 2 + 6m(m + 1) x + 1 t×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i, cùc tiÓu sao cho hai ®iÓm cùc trÞ ®èi xøng nhau qua ®êng th¼ng y = x +2. x 2 + mx − m − 2 Cho hµm sè y = t×m quü tÝch ®iÓm cùc ®¹i cùc tiÓu . x +1
  16. Tµi liÖu «n thi ®¹i häc Su tÇm vµ biªn so¹n : L.Q.T x 2 + m(m 2 − 1) x − m 4 + 1 Cho hµm sè y = CMR trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é tån t¹i duy x−m nhÊt mét ®iÓm sao cho ®iÓm nµy võa lµ ®iÓm cùc ®¹i øng víi mét gi¸ trÞ cña m , võa lµ ®iÓm cùc tiÓu øng víi mét gi¸ trÞ kh¸c cña m. Cho hµm sè y = 2 x3 − 3(3m + 1) x 2 + 12(m 2 + m) + 1 t×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i, cùc tiÓu, lËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm cùc ®¹i vµ cùc tiÓu. mx 2 + (m + 1) x + 1 Cho hµm sè y = lËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm mx + 2 cùc ®¹i vµ cùc tiÓu. Cho hµm sè y = x 4 + 4 x 3 + mx + m t×m m ®Ó hµm sè cã 3 ®iÓm cùc trÞ lËp thµnh mét tam gi¸c nhËn ®iÓm O (0;0) lµm träng t©m Cho hµm sè y = x 4 − 2mx 2 + 2m + m 4 t×m m ®Ó hµm sè cã 3 ®iÓm cùc trÞ lËp thµnh mét tam gi¸c ®Òu. Cho hµm sè y = mx 4 + (m 2 − 9) x 2 + 10 t×m m ®Ó hµm sè cã 3 ®iÓm cùc trÞ Cho hµm sè y = x 4 − 2m 2 x 2 + 1 t×m m ®Ó hµm sè cã 3 ®iÓm cùc trÞ lËp thµnh mét tam gi¸c vu«ng c©n. Cho hµm sè y = (1 − m) x 4 − mx 2 + 2m − 1 t×m m ®Ó hµm sè cã 1 ®iÓm cùc trÞ Cho hµm sè y = x 4 − 2(1 − m) x 2 − 3 t×m m ®Ó hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x=1 ax 2 + bx + c Cho hµm sè y = t×m a,b,c ®Ó hµm sè ®¹t cùc trÞ b»ng 1t¹i x=1 x−2 vµ ®êng tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ hµm sè vu«ng gãc víi ®êng th¼ng 1− x y= 2 1 Cho hµm sè y = mx + t×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i ,cùc tiÓu vµ kho¶ng x 1 c¸ch tõ ®iÓm cùc tiÓu ®Õn tiÖm cËn xiªn b»ng 2
  17. Tµi liÖu «n thi ®¹i häc Su tÇm vµ biªn so¹n : L.Q.T x 2 + (m + 1) x + m + 1 Cho hµm sè y = CMR víi mäi m hµm sè cã cùc ®¹i , cùc x +1 tiÓu vµ kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c ®iÓm cùc ®¹i vµ cùc tiÓu b»ng 20 Cho hµm sè y = ( x − m)( x 2 − 2 x − m − 1) t×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i ,cùc tiÓu t¹i x1,x2 sao cho x1.x2 = 1 x 2 + mx Cho hµm sè y = t×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i , cùc tiÓu vµ kho¶ng 1− x c¸ch gi÷a c¸c ®iÓm cùc ®¹i vµ cùc tiÓu b»ng 10 x 2 + (2m + 1) x + m 2 + m + 4 Cho hµm sè y = t×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i , cùc 2( x + m) tiÓu.TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c ®iÓm cùc ®¹i vµ cùc tiÓu.
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2