Tµi liÖu «n thi ®¹i häc Su tÇm vµ biªn
so¹n : L.Q.T
Chuyªn ®Ò 3 :Chuyªn ®Ò vÒ cùc trÞ .
Mét sè d¹ng c©u hái thêng gÆp ë bµi to¸n cùc trÞ :
1) T×m m ®Ó hµm sè cã C§ hoÆc CT hoÆc cã cùc ®¹i vµ cùc
tiÓu .
2) T×m m ®Ó hµm sè cã mét ®iÓm cùc trÞ , 3 ®iÓm cùc trÞ ( hµm
bËc 4 ) hoÆc kh«ng cã cùc trÞ .
3) T×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i , cùc tiÓu sao cho hoµnh ®é c¸c
®iÓm cùc trÞ tho¶ m·n mét yªu cÇu nµo ®ã cña bµi to¸n.
4) T×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i , cùc tiÓu sao cho tung ®é c¸c
®iÓm cùc trÞ tho¶ m·n mét yªu cÇu nµo ®ã cña bµi to¸n.
5) T×m m ®Ó hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i ®iÓm x0 vµ t¹i ®ã lµ ®iÓm cùc
®¹i hay cùc tiÓu ?
6) T×m quü tÝch cña ®iÓm cùc trÞ
7) LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua 2 ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ
hµm sè vµ ®êng th¼ng ®ã tho¶ m·n mét sè yªu cÇu nµo ®ã.
8) VÞ trÝ cña c¸c ®iÓm cùc trÞ ®èi víi c¸c trôc to¹ ®é
9) VÞ trÝ cña ®iÓm cùc trÞ ®èi víi ®êng th¼ng cho tríc ( c¸ch ®Òu ,
n»m vÒ mét phÝa , n»m vÒ hai phÝa, ®èi xøng nhau qua ®êng
th¼ng ...)
10) T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè cã ba ®iÓm cùc trÞ t¹o thµnh tam gi¸c
®Òu , tam gi¸c vu«ng c©n .( ®èi víi hµm bËc 4 trïng ph¬ng ).
11) T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè cã 3 ®iÓm cùc trÞ t¹o thµnh mét tam
gi¸c nhËn ®iÓm G cho tríc lµm träng t©m
12) øng dông cña cùc trÞ trong c¸c bµi to¸n chøng minh bÊt ®¼ng
thøc , gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh.
C¸ch gi¶i mét sè d¹ng c©u hái :
C©u hái d¹ng1 : Lu ý c¸c kiÕn thøc sau :
Tµi liÖu «n thi ®¹i häc Su tÇm vµ biªn
so¹n : L.Q.T
- Cho hµm sè y=f(x) liªn tôc trªn (a,b) , x0 lµ mét ®iÓm thuéc (a;b). NÕu
y’ ®æi dÊu khi ®i qua x0 th× ta nãi : Hµm sè f ®¹t cùc trÞ t¹i ®iÓm x0
+ NÕu y’ ®æi dÊu tõ - sang + th× hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm x0.
Gi¸ trÞ f(x0) ®îc gäi lµ gi¸ trÞ cùc tiÓu cña hµm sè vµ kÝ hiÖu lµ fCT =
f(x0).§iÓm M(x0; f(x0)) ®îc gäi lµ ®iÓm cùc tiÓu cña ®å thÞ hµm sè y =
f(x).
+ NÕu y’ ®æi dÊu tõ + sang - th× hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i ®iÓm x0.
Gi¸ trÞ f(x0) ®îc gäi lµ gi¸ trÞ cùc ®¹i cña hµm sè vµ kÝ hiÖu lµ fC§ = f(x0).
§iÓm M(x0; f(x0)) ®îc gäi lµ ®iÓm cùc tiÓu cña ®å thÞ hµm sè y = f(x).
- Cã thÓ dïng y’’ ®Ó x¸c ®Þnh C§ , CT cña hµm sè :
+ Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i ®iÓm x0
0
0
'( ) 0
''( ) 0
y x
y x
=
<
+ Hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm x0
0
0
'( ) 0
''( ) 0
y x
y x
=
>
- NÕu dÊu cña y’ mµ phô thuéc vµo dÊu cña mét tam thøc bËc hai th×
§K ®Ó hµm sè cã cùc trÞ hoÆc §K ®Ó hµm sè cã C§ , CT lµ tam
thøc bËc hai ®ã cã hai nghiÖm ph©n biÖt v× nÕu mét tam thøc bËc
hai ®· cã hai nghiÖm ph©n biÖt th× hiÓn nhiªn tam thøc ®ã sÏ ®æi
dÊu hai lÇn khi ®i qua c¸c nghiÖm.
VÝ dô ¸p dông:
1. Cho hµm sè
2
2 3 1
2
x mx m
yx
− + +
=−
, t×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i, cùc
tiÓu.
2. Cho hµm sè
2
2 1y x m x= − + +
, t×m m ®Ó hµm sè cã cùc tiÓu. ( Gîi
ý : dïng y’’ ).
C©u hái d¹ng2 : Lu ý c¸c kiÕn thøc sau :
- Sè lÇn ®æi dÊu cña y’ khi ®i qua nghiÖm cña nã ®óng b»ng sè cùc
trÞ cña hµm sè y = f(x).
- C¸ch gi¶i d¹ng bµi tËp : T×m m ®Ó hµm sè cã 3 ®iÓm cùc trÞ:
Tµi liÖu «n thi ®¹i häc Su tÇm vµ biªn
so¹n : L.Q.T
+ TÝnh y’ vµ biÖn luËn sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh y’ = 0, nÕu ph¬ng
tr×nh y’ = 0 nhËn ®îc lµ hµm bËc 3 ta cã thÓ sö dông c¸c ®k ®Ó ph¬ng
tr×nh bËc ba cã ba nghiÖm ph©n biÖt .
C¸ch 1: NÕu nhÈm ®îc 1 nghiÖm cña pt th× pt b3 ph©n tÝch ®îc
thµnh tÝch cña mét nh©n tö bËc nhÊt víi mét nh©n tö bËc 2 th× biÖn
luËn cho nh©n tö bËc hai cã 2 nghiÖm ph©n biÖt kh¸c nghiÖm cña
nh©n tö bËc nhÊt .
C¸ch 2 : NÕu kh«ng nhÈm ®îc nghiÖm th× ta cã thÓ sö dông t¬ng
giao gi÷a ®å thÞ hµm bËc 3 víi trôc Ox ®Ó t×m ®k cho pt bËc 3 cã 3
nghiÖm ph©n biÖt.
- C¸ch gi¶i d¹ng bµi tËp : T×m m ®Ó hµm sè cã 1 ®iÓm cùc trÞ: NÕu
pt y’= 0 nhËn ®îc lµ pt bËc nhÊt hoÆc bËc 2 th× ®¬n gi¶n , ta chØ
xÐt TH pt nhËn ®îc lµ pt bËc 3 ®Çy ®ñ
C¸ch 1: NÕu nhÈm ®îc 1 nghiÖm cña pt th× pt b3 ph©n tÝch ®îc
thµnh tÝch cña mét nh©n tö bËc nhÊt víi mét nh©n tö bËc 2 th× biÖn
luËn cho nh©n tö bËc hai cã nghiÖm kÐp trïng víi nghiÖm cña
nh©n tö bËc nhÊt .
C¸ch 2 : NÕu kh«ng nhÈm ®îc nghiÖm th× ta cã thÓ sö dông t¬ng
giao gi÷a ®å thÞ hµm bËc 3 víi trôc Ox ®Ó t×m ®k cho pt bËc 3 cã 1
nghiÖm duy nhÊt ( chó ý 2 trêng hîp ).
- C¸ch gi¶i d¹ng bµi tËp : T×m m ®Ó hµm sè kh«ng cã cùc trÞ : ta chØ
viÖc biÖn luËn cho pt y’= 0 v« nghiÖm hoÆc cã nghiÖm nhng
kh«ng ®æi dÊu qua nghiÖm ( tøc lµ trêng hîp y’ = 0 cã nghiÖm béi
ch½n )
VÝ dô ¸p dông :
1. Cho hµm sè
3 2
3 ( 1) 1y mx mx m x= + − − +
, t×m m ®Ó hµm sè kh«ng cã
cùc trÞ .
Tµi liÖu «n thi ®¹i häc Su tÇm vµ biªn
so¹n : L.Q.T
2. Cho hµm sè
4 2 2
. ( 9) 10y m x m x= + − +
, t×m m ®Ó hµm sè cã 3 ®iÓm cùc
trÞ.
C©u hái d¹ng 3 : Ph¬ng ph¸p chung ®Ó gi¶i nh sau :
- TÝnh y’ vµ t×m ®k ®Ó y’ = 0 cã nghiÖm sao cho tån t¹i C§ , CT cña
hµm sè
- Gi¶ sö x1, x2 lµ c¸c nghiÖm cña pt y’ = 0 theo Vi – Ðt ta cã :
1 2
1 2
.
b
x x a
c
x x a
−
+ =
=
- KÕt hîp ®Þnh lý Vi - Ðt víi yªu cÇu vÒ hoµnh ®é cña bµi to¸n vµ ®k
t×m ®îc ë bíc thø nhÊt ®Ó t×m ra ®k cña tham sè .
VÝ dô ¸p dông :
1. Cho hµm sè
3 2
1 1 3 1
(sin cos ) ( sin 2 ).
3 2 4 3
y x a a x a x= − + + +
t×m a ®Ó hµm sè
cã cùc ®¹i cùc tiÓu sao cho hoµnh ®é c¸c ®iÓm cùc trÞ lµ x1,x2 tho¶
m·n x1+x2 = x12+x22.
2. Cho hµm sè : y = (m+2)x3 + 3x2 + mx -5.
a) T×m m ®Ó hµm sè cã C§ vµ CT .
b) T×m m ®Ó hµm sè cã C§ vµ CT tho¶ m·n xC§+xCT = -2
C©u hái d¹ng 4 : Ph¬ng ph¸p chung ®Ó gi¶i nh sau :
- TÝnh y’ vµ t×m ®k ®Ó y’ = 0 cã nghiÖm sao cho tån t¹i C§ , CT cña
hµm sè
- Gi¶ sö x1, x2 lµ c¸c nghiÖm cña pt y’ = 0 theo Vi – Ðt ta cã :
1 2
1 2
.
b
x x a
c
x x a
−
+ =
=
- T×m mèi liªn hÖ gi÷a tung ®é ®iÓm cùc trÞ víi hoµnh ®é t¬ng øng
cña nã b»ng c¸ch :
Tµi liÖu «n thi ®¹i häc Su tÇm vµ biªn
so¹n : L.Q.T
+ ) NÕu y = f(x) lµ hµm ®a thøc th× ta lÊy y chia cho y’ ®îc phÇn d lµ
R(x), khi ®ã ycùc trÞ =R(xcùc trÞ ) .
+) NÕu
( )
( )
u x
yv x
=
vµ (x0,y0) lµ ®iÓm cùc trÞ th× :
.
- KÕt hîp ®Þnh lý Vi- Ðt víi yªu cÇu vÒ tung ®é cña bµi to¸n vµ ®k t×m
®îc ë bíc thø nhÊt ®Ó t×m ra ®k cña tham sè .
VÝ dô ¸p dông :
1. Cho hµm sè
2
2 3 ( )
m
x x m
y C
x m
− +
=−
t×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i cùc
tiÓu sao cho tung ®é c¸c ®iÓm cùc trÞ lµ y1,y2 tho¶ m·n
1. 2
8y y >
2. Cho hµm sè : y = (m+2)x3 + 3x2 + mx -5.
a) T×m m ®Ó hµm sè cã C§ vµ CT .
b) T×m m ®Ó hµm sè cã C§ vµ CT tho¶ m·n yC§+yCT = -2
C©u hái d¹ng 5 : Ph¬ng ph¸p chung ®Ó gi¶i nh sau :
•C¸ch 1 :
+ T×m ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x0 : y’(x0) = 0
+ KiÓm tra ®iÒu kiÖn ®ñ : LËp b¶ng xÐt dÊu cña y’ xem cã ®óng víi gi¸
trÞ t×m ®îc cña tham sè th× hµm sè cã ®¹t cùc trÞ t¹i xo hay kh«ng . Tõ
b¶ng nµy còng cho biÕt t¹i x0 hµm sè ®¹t C§ hay CT.
•C¸ch 2 : §K cÇn vµ ®ñ ®Ó hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x0 lµ :
0
0
'( ) 0
''( ) 0
y x
y x
=
sau ®ã dùa vµo dÊu cña y’’ ®Ó nhËn biÕt x0 lµ C§ hay CT.
•Chó ý : §K cÇn vµ ®ñ ®Ó hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x0 lµ:
0
0
'( ) 0
''( ) 0
y x
y x
=
<
§K cÇn vµ ®ñ ®Ó hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i x0 lµ:
0
0
'( ) 0
''( ) 0
y x
y x
=
>
VÝ dô ¸p dông :
1. Cho hµm sè y = 3cos3x+mcosx.T×m m ®Ó hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i
x = π/3 , t¹i ®ã lµ cùc ®¹i hay cùc tiÓu ?