Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN: 978-604-82-2981-8
48
ax
lr
1
)(
x
μ
MỘT THUẬT TOÁN PHẦN TỬ HỮU HẠN MỜ CẢI TIẾN
PHÂN TÍCH TĨNH KẾT CẤU CÓ THAM SỐ ĐẦU VÀO
LÀ CÁC SỐ MỜ TAM GIÁC TỔNG QUÁT
Nguyễn Hùng Tuấn
Trường Đại học Thủy lợi, email: hungtuan@tlu.edu.vn
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Thuật toán PTHH mờ là sự kết hợp giữa
các kỹ thuật của phương pháp PTHH và các
phép toán trong lý thuyết tập mờ [1], để xác
định đáp ứng kết cấu trong trường hợp các
tham số đầu vào không chắc chắn được cho
dưới dạng số mờ. Trong các hướng tiếp cận
để đưa ra các thuật toán PTHH mờ, việc sử
dụng phương pháp mặt đáp ứng [2] trong lý
thuyết xác suất- thống kê toán học được xem
là thuận tiện hơn cả, do giảm được khối
lượng mà vẫn đảm bảo được độ chính xác
theo yêu cầu tính toán, nhờ vận dụng hợp lý
các phương án lấy mẫu và các thuật toán tối
ưu để xác định đáp ứng kết cấu. Trong [3],
chúng tôi đã đề xuất một thuật toán PTHH
mờ phân tích tĩnh kết cấu hệ thanh, với các
tham số đầu vào là các số mờ tam giác cân,
để xác định đáp ứng kết cấu là các chuyển vị
mờ. Trên cơ sở thuật toán trên, bài báo này sẽ
trình bày một thuật toán PTHH mờ cải tiến
đối với các tham số đầu vào là các số mờ tam
giác tổng quát. Thông qua ví dụ minh họa, so
sánh với kết quả theo thuật toán [3] và kết
quả được xem là "chuẩn" theo thuật toán tối
ưu hóa mức α [4], cho thấy hiệu quả của
thuật toán đề xuất.
2. NỘI DUNG CỦA THUẬT TOÁN ĐỀ XUẤT
2.1. Xác định các biến chuẩn trong mô
hình thay thế
Theo lý thuyết thống kê, biến chuẩn Xi
được xác định theo công thức:
(1)
trong đó: xi - biến gốc;
i
x- giá trị trung bình các quan sát
trên biến xi;
si - sai lệch chuẩn.
Theo công thức (1), muốn xác định biến
chuẩn Xi ta phải thực hiện nhiều quan sát trên
biến xi. Tuy nhiên, có thể thực hiện đơn giản
hơn nhờ vận dụng các kết quả nghiên cứu
toán học của các tác giả Dubois D., Prade H.
[5] về quy tắc chuyển đổi từ đại lượng mờ
sang đại lượng ngẫu nhiên, từ đó xác định kỳ
vọng μi và độ lệch chuẩn σi của biến ngẫu
nhiên tương đương. Kết quả được thực hiện
đối với số mờ tam giác tổng quát thể hiện
trên Hình 1.
Hình 1. Số mờ tam giác tổng quát i
x
~
Theo nguyên lý thông tin không đầy đủ [5]
về chuyển đổi từ đại lượng mờ sang đại
lương ngẫu nhiên, ta thu được hàm mật
độ phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
tương đương.
i
s
i
x
i
x
i
X
−
=
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN: 978-604-82-2981-8
49
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+∈
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
−
−∈
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
−
=
],[; ln
2
1
],[; ln
2
1
)(
laax
r
ax
l
alax
l
xa
l
xp
i
i
i
i
i
(2)
Xác định kỳ vọng μi và phương sai σi2
theo công thức:
2
ii
ra
la i
2
i
2
i
i
ra
la iii
μ dx ).p(xxσ
dx ).p(xxμ
−=
=
∫
∫
+
−
+
−
(3)
Thay (2) vào (3), (4) và biến đổi ta được
144
2)7(l
σ
4
r)-(l
-aμ
22
2
i
i
lrr ++
=
=
(5)
Vậy biến chuẩn trong mô hình thay thế là
12/2)7(l
4
r)-(l
ax
σ
μx
X22
i
i
ii
ilrr ++
+−
=
−
=
(6)
Với phép đổi biến trên, từ biến mờ gốc ban
đầu
()
LR
irlax ,,
~
= ta chuyển sang biến
mờ
()
LR
ccci rlaX ,,
~
=, tương ứng với là đại
lượng ngẫu nhiên Xi có phân phối (0, 1), trong
đó các giá trị trung tâm ac, độ rộng trái lc và độ
rộng phải rc xác định theo công thức sau
(7)
Từ công thức (7), nhận thấy đối với số mờ
tam giác cân, ta được ac = 0, lc = rc = 3. Nói cách
khác, phép đổi biến sử dụng trong [3] là trường
hợp đặc biệt của các công thức (6) và (7).
2.2. Lựa chọn mô hình thay thế (mô
hình mặt đáp ứng)
Trong [3], chúng tôi đã sử dụng mô hình
hồi quy đa thức bậc 2 không đầy đủ (mô hình
bậc 2 khuyết) làm mô hình thay thế. Tuy
nhiên, về mặt nguyên tắc, đối với đáp ứng kết
cấu là các chuyển vị mờ, mô hình hồi quy đa
thức bậc 2 đầy đủ sẽ mang tính tổng quát hơn
mô hình bậc 2 khuyết. Do đó, thuật toán đề
xuất sử dụng mô hình hồi quy đa thức bậc hai
đầy đủ đối với các biến mờ chuẩn xác định
theo công thức (6) làm mô hình thay thế, cho
đáp ứng kết cấu là các chuyển vị mờ:
nn-1 n
2
oii ijijiii
i1 i1, i j i1
y( ) a a X a X X a X
==< =
=+ + +
∑∑ ∑
X
(8)
Theo nguyên lý mở rộng [1], các giá trị tin
tưởng (mức thuộc α =1) đầu vào sẽ cho giá
trị tin tưởng ở đầu ra. Do đó, mô hình thay
thế theo công thức (8) cũng phải thỏa mãn
điều kiện này, nghĩa là
y(X = ac) =
(
)
ax =y
ˆ (9)
trong đó
(
)
ax =y
ˆ - chuyển vị tại giá trị tin
tưởng của đầu vào, được xác định theo
phương pháp PTHH tất định.
Các hệ số hồi quy trong (8) được xác định
theo phương pháp bình phương tối thiểu, với
điều kiện ràng buộc theo (9).
2.3. Thiết kế mẫu thử
Tương tự như [3], bài này chọn thiết kế
mẫu Box- Behnken.
2.4. Ước lượng sai lệch và chọn lựa
phương án
Tương tự như [3], ước lượng sai lệch của
phương án thứ j ( sử dụng X(j) làm tập kiểm
tra) xác định theo công thức :
(
)
miny
ˆ
yGSE 2
j)(
jjj →−= − (10)
2.5. Xác định đáp ứng kết cấu là các
chuyển vị mờ
Để xác định các chuyển vị mờ, cần giải
các bài toán quy hoạch phi tuyến trên các lát
cắt α của tham số mờ đầu vào. Thuật toán đề
xuất sử dụng thuật giải di truyền GA trong
Matlab 7.12, để tính toán trên các mô hình đa
thức bậc 2 đầy đủ.
3. VÍ DỤ MINH HỌA
Hình 2. Ví dụ minh họa
4
)(
2)(7
)3(3
2)(7
)3(3
4
)(
4
)(
22
22
rl
lrrl
rl
r
lrrl
lrrl
l
rl
a
c
c
c
−
−
++
+
=
++
+
+
−
=
−
=
(4)
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN: 978-604-82-2981-8
50
Cho hệ thanh trên Hình 2. Tiết diện các
thanh A1 = A2 = 5,0.10-4 m2. Mô đun đàn hồi
E
~
, các lực 21 PP
~
,
~
được xem xét là các số mờ
tam giác cân; độ cứng gối đàn hồi k
~
được
xem xét là số mờ tam giác không cân. Xét
các trường hợp sau :
Trường hợp 1:
E
~
= (210, 20, 20)LR GPa;
1
P
~
= (30, 3, 3)LR kN; 2
P
~
= (25, 3, 3)LR kN;
k
~
= (2000, 400, 0)LR kN/m.
Trường hợp 2:
E
~
= (210, 20, 20)LR GPa;
1
P
~
= (30, 3, 3)LR kN; 2
P
~
= (25, 3, 3)LR kN;
k
~
= (2000, 0, 400)LR kN/m.
Trường hợp 3:
E
~
= (210, 20, 20)LR GPa;
1
P
~
= (30, 3, 3)LR kN; 2
P
~
= (25, 3, 3)LR kN;
k
~
= (2000, 100, 500)LR kN/m.
Yêu cầu: xác định các chuyển vị mờ 11
~
,
~
vu .
Thực hiện tính toán theo thuật toán đề xuất
và theo [3], sử dụng thuật toán tối ưu hóa
mức α [4] làm chuẩn để so sánh. Trong
khuôn khổ bài báo, kết quả tính toán các
chuyển vị mờ 1
~
u tại các lát cắt α = 0 được thể
hiện ở Bảng 1. Các kết quả đối với chuyển vị
mờ 11
~
,
~
vu đối với trường hợp 3 được thể hiện
trên Hình 3, Hình 4. Các kết quả tính toán
này cho thấy tính chính xác của thuật toán đề
xuất (sai lệch tương đối lớn nhất của thuật
toán đề xuất là 0.8%).
Bảng 1. Chuyển vị mờ u1 tại lát cắt α = 0
Trường
hợp
Chuyển vị u1 tại lát cắt
α = 0 theo thuật toán
đề xuất (m)
Chuyển vị u1 tại lát cắt
α = 0 theo thuật toán
tối ưu hóa mức α (m)
Chuyển vị u1 tại lát cắt
α = 0 theo mô hình đa thức
bậc 2 không đầy đủ (m)
1 [0.000239, 0.001351] [0.000238, 0.001352] [0.000208, 0.001326]
2 [0.000189, 0.001329] [0.000188, 0.001329] [0.000162, 0.001295]
3 [0.000226, 0.001357] [0.000226, 0.001358] [0.000213, 0.001334]
Membership function
Hình 3. Chuyển vị mờ u1 (mm) Hình 4. Chuyển vị mờ v1 (mm)
4. KẾT LUẬN
Bài báo đã đề xuất một thuật toán phần tử
hữu hạn mờ trong phân tích tĩnh kết cấu, đối
với số mờ tam giác tổng quát, trên cơ sở cải
tiến thuật toán đã có trong [4]. Với việc sử
dụng biến mờ chuẩn và đưa ra tiêu chí lựa
chọn mô hình đa thức bậc 2 đầy đủ một cách
hợp lý, thuật toán đề xuất đã làm tăng độ
chính xác đối với kết quả tính toán chuyển vị
mờ kết cấu qua ví dụ kiểm chứng.
5. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] B.Bouchon, Meunier, Hồ Thuần, Đặng
Thanh Hà (2007), Logic mờ và ứng dụng,
Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội,
Hà Nội.
[2] Mason R.L., Guns R.F. and Hess J.L.
(2003), Statistical Design and Analysis of
Experiment: With Applications to
Engineering and Science, Second Editor,
John Wiley & Sons.
[3] Nguyễn Hùng Tuấn, Lê Xuân Huỳnh
(2013), "Một thuật toán phần tử hữu hạn mờ
phân tích tĩnh hệ thanh có tham số không
chắc chắn", Hội nghị Khoa học toàn quốc
Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XI, Hồ
Chí Minh 7 - 9/11/2013.
[4] Möller B., Beer M. (2004), Fuzzy
Randomness – Uncertainty in Civil
Engineering and Computational Mechanics,
Springer, Dresden.