Toàn A1: Quản trị kinh doanh

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

=====(cid:9)=====

GIẢI TÍCH 1

(Dùng cho sinh viên hệ đào tạo đại học từ xa ngành QTKD)

Lưu hành nội bộ

HÀ NỘI - 2007

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

GIẢI TÍCH 1

Biên soạn :

TS. VŨ GIA TÊ

LỜI NÓI ĐẦU

Giải tích (Toán cao cấp A1) là học phần đầu tiên của chương trình toán dành cho sinh viên các nhóm ngành Quản trị kinh doanh. Để học tốt môn Toán cao cấp theo phương thức Đào tạo từ xa, bên cạnh các học liệu: sách, giáo trình in, băng đĩa hình,..., sách hướng dẫn cho người học toán cao cấp là rất cần thiết. Tập sách hướng dẫn này được biên soạn là nhằm mục đích trên. Tập sách được biên soạn theo chương trình qui định năm 2001 của Bộ Giáo dục Đào tạo và theo đề cương chương trình được Học viện Công nghệ BC-VT thông qua năm 2007.

Sách hướng dẫn học toán cao cấp A1 bám sát các giáo trình của các trường đại học đang giảng dạy chuyên ngành Quản trị kinh doanh, giáo trình dành cho hệ chính qui của Học viện Công nghệ BC-VT biên soạn năm 2001 và kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm của tác giả. Chính vì thế, tài liệu này có thể dùng để học tập và tham khảo cho sinh viên của tất cả các trường, các ngành đại học và cao đẳng.

Cách trình bày trong sách thích hợp cho người tự học, đặc biệt phục vụ đắc lực trong công tác đào tạo từ xa. Trước khi nghiên cứu các nội dung chi tiết, người đọc nên xem phần giới thiệu của mỗi chương để thấy được mục đích, yêu cầu chính của chương đó. Trong mỗi chương, mỗi nội dung, người đọc có thể tự đọc và hiểu được thông qua các ví dụ minh hoạ. Sau các chương, người đọc phải tự trả lời được các câu hỏi ôn tập dưới dạng trắc nghiệm. Nhờ các ví dụ minh hoạ được đưa ra từ đơn giản đến phức tạp, người đọc có thể coi đó là bài tập mẫu để tự giải các bài tập có trong tài liệu. Người đọc có thể tự kiểm tra, đánh giá kiến thức, khả năng thu nhận dựa vào phần hướng dẫn và đáp số được cung cấp ở những trang cuối sách.

Cũng cần nhấn mạnh rằng, nội dung chính của toán cao cấp là phép tính vi phân và phép tính tích phân mà nền tảng của nó là phép tính giới hạn của hàm số. Chính vì thế chúng tôi trình bày khá tỉ mỉ hai chương đầu của tài liệu để người học tự đọc cũng có thể có được các kiến thức vững vàng để đọc tiếp các chương sau. Trong quá trình tự đọc và học qua mạng, tuỳ theo khả năng tiếp thu, học viên có thể chỉ cần nhớ các định lý và bỏ qua phần chứng minh của nó.

Nhân đây tác giả cũng lưu ý rằng ở bậc trung học phổ thông của nước ta, chương trình toán cũng đã bao hàm các kiến thức về vi, tích phân. Tuy nhiên các nội dung đó chỉ mang tính chất giới thiệu do lượng thời gian hạn chế, do cấu tạo chương trình. Vì thế nếu không tự đọc một cách nghiêm túc các định nghĩa, định lý cũng sẽ vẫn chỉ nắm được một cách hời hợt và như vậy rất gặp khó khăn trong việc giải các bài tập toán cao cấp.

Sách gồm 5 chương tương ứng với học phần gồm 45 đến 60 tiết:

Chương I: Hàm số và giới hạn

Chương II: Đạo hàm và vi phân.

Chương III: Hàm số nhiều biến số

Chương IV: Phép tính tích phân.

Chương V: Phương trình vi phân

Tuy rằng tác giả đã cố gắng rất nhiều, song thời gian bị hạn hẹp.Vì vậy các thiếu sót còn tồn tại trong cuốn sách là điều khó tránh khỏi. Tác giả chân thành chờ đón sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp, học viên xa gần và xin cảm ơn về điều đó.

Chúng tôi bày tỏ sự cám ơn đối với Ban Giám đốc Học viện Công nghệ BC-VT, Trung tâm Đào tạo BC-VT1, Phòng Đào tạo Đại học từ xa và các bạn đồng nghiệp trong Bộ môn Toán của Học viện Công nghệ BC-VT đã khuyến khích động viên, tạo điều kiện cho ra tập tài liệu này

Hà Nội, ngày 7 tháng 6 năm 2006

Tác giả

Chương 1: Hàm số một biến số

CHƯƠNG I: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN

MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU

Mọi vật xung quanh ta đều biến đổi theo thời gian. Chúng ta có thể nhận thấy điều đó qua sự chuyển động cơ học của các vật thể: ô tô, máy bay; sự thay đổi của các đại lượng vật lý: nhiệt độ, tốc độ, gia tốc; sự biến động kinh tế trong một xã hội: Giá cổ phiếu, lãi suất tiết kiệm,.... Tất cả các loại hình đó được gán một tên chung là đại lượng hay hàm số, nó phụ thuộc vào đối số nào đó, chẳng hạn là thời gian. Xem xét hàm số tức là quan tâm đến giá trị, tính chất và biến thiên của nó. Việc đó đặt ra như một nhu cầu khách quan của con người và xã hội.

Trong chương này, chúng ta cần nắm được các nội dung sau:

1. Mô tả định tính và định lượng các hàm số sơ cấp cơ bản. Nhận biết hàm số sơ cấp, tính

chất giới hạn và liên tục của nó.

2. Khái niệm giới hạn của hàm số trong các quá trình khác nhau, các tính chất về giới hạn

và thành thạo các phương pháp khử các dạng bất định dựa trên phép thay thế các VCB, VCL tương đương, đặc biệt các giới hạn đáng nhớ:

lim x +∞→

lim x −∞→

lim x 0 →

x sin

sin x

1 x

⎛ ⎜ ⎝

x ⎞ =⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

x ⎞ =⎟ ⎠

3. Khái niệm liên tục, gián đoạn của một hàm số. Các tính chất hàm số liên tục trên một

đoạn kín.

4. Các hàm số thường dùng trong phân tích kinh tế.

NỘI DUNG

1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ

1.1.1. Các định nghĩa cơ bản

A. Định nghĩa hàm số

(cid:22)

f X :

→

(cid:54)

( ) f x

Cho X là tập không rỗng của (cid:22) . Một ánh xạ f từ X vào (cid:22) gọi là một hàm số một biến số

( Xf

)

X gọi là tập xác định của f , gọi là tập giá trị của f . Đôi khi ký hiệu

( xf

∈

, x gọi là đối số ( biến độc lập), y gọi là hàm số (biến phụ thuộc)

B. Hàm số chẵn, hàm số lẻ

, ∈−∈∀ X

Cho X đối xứng với 0 tức là

xf )(

(

)

−

. Hàm số f (x) chẵn khi và chỉ khi

xf )(

(

f −−=

Hàm số f (x) lẻ khi và chỉ khi

C. Hàm số tuần hoàn

Chương 1: Hàm số một biến số

*τ +∈(cid:22) ,(

+(cid:22) được kí hiệu là tập các số

Hàm số f (x) gọi là tuần hoàn trên X nếu tồn tại

x ∈∀

dương) sao cho thì

x+τ X∈ và f (x+τ)= f (x).

Số T dương bé nhất trong các số τ gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn f(x).

.X x ∈

D. Hàm số đơn điệu

Cho f (x) với

)

∀

∈

≤

( xf

, xx 1

, xX 1

⇒≤ x 2

( xf 1

. 1. Nói rằng f (x) tăng nếu

)

∀

∈

( xf

, xx 1

, xX 1

⇒< x 2

( xf 1

. và f (x) tăng ngặt nếu

)

∀

∈

≥

( xf

, xx 1

, xX 1

⇒≤ x 2

( xf 1

. 2. Nói rằng f (x) giảm nếu

)

∀

∈

( xf

, xx 1

, xX 1

⇒< x 2

( xf 1

. và f (x) giảm ngặt nếu

3. Nói rằng f (x) đơn điệu nếu nó tăng hoặc giảm.

Nói rằng f (x) đơn điệu ngặt nếu nó tăng ngặt hoặc giảm ngặt.

E. Hàm số bị chặn

1. Hàm số f (x) bị chặn trên trong X nếu tồn tại số A sao cho :

≤

x ∈∀

, )( xfX

x X B f x ( )

∀ ∈

≤

. 2. Hàm số f (x) bị chặn dưới trong X nếu tồn tại số B sao cho:

3. Hàm số f (x) bị chặn trong X nếu tồn tại các số A,B sao cho:

∈∀ x

, BX

≤

)( xf

≤

F. Hàm số hợp

( Xf

⊂)

(cid:22)

g f X :

→

(cid:54)

( ))

( g f x

gọi ánh xạ Cho f : X →(cid:22) và g: Y →(cid:22) với

Hay y = g( f (x)) là hàm số hợp của hai hàm f và g.

G. Hàm số ngược

f X :

X Y ,

→

⊂(cid:22)

Cho song ánh

→− :1 Y

−=(cid:54) x f

)(1 y

Ánh xạ ngược gọi là hàm số ngược của f

y =

là Thông thường đối số kí hiệu là x, hàm số kí hiệu là y, vậy hàm ngược của

−= f

)(1 x

)(xf 1−f

là hàm số . Vì thế trên cùng mặt phẳng toạ độ Oxy, đồ thị của hai hàm số f và

đối xứng nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ I và III.

1.1.2. Các hàm số sơ cấp cơ bản

A. Hàm luỹ thừa

+(cid:22) vào (cid:22) , xác

Choα∈(cid:22) . Hàm luỹ thừa với số mũ α ,được kí hiệu là αP , là ánh xạ từ

(cid:22)

P x ( )

xα

x ∀ ∈

* , α+

định như sau

Chương 1: Hàm số một biến số

)0(

0>α , coi rằng

0=α , coi rằng

)0(0 P

αP

Nếu . Nếu

)(xPα

cho bởi h.1.1 Đồ thị của

1>α

1=α

< α <

0=α

0<α

O 1

H.1.1

B. Hàm mũ cơ số a

* \{1}

exp

+(cid:22) , xác định như

+∈(cid:22)

. Hàm mũ cơ số a, kí hiệu là Xét , là ánh xạ từ (cid:22) vào

(cid:22)

, exp

x ∀ ∈

y =

sau: Đồ thị của cho bởi h.1.2.

C. Hàm lôgarit cơ số a

* \{1}

log ,là ánh xạ ngược với ánh xạ

exp , a

+∈(cid:22)

. Hàm lôgarit cơ số a, kí hiệu là Xét

x y ( ,

)

y ,

log

∀

x ⇔ =

* (cid:22) (cid:22) ∈ × +

như vậy

log=

Đồ thị của hàm số cho bởi hình h.1.3.

Chú ý: Hàm luỹ thừa có thể mở rộng khi miền xác định là (cid:22) .

y y

logax, a>1

ax, a>1

1 O 1 x

ax, 0 < a < 1

x logax, 0

H.1.2 H.1.3

Tính chất của hàm số lôgarit

log

1 =a

Chương 1: Hàm số một biến số

log

x y ,

∀

* ∈(cid:22) +

log

glo

log

−

x y

(cid:22)

log

α x

α ∀ ∈

, log

log

a b ,

a .log

∀

∈

* (cid:22) +

, log

x ∀ ∈

= −

loga

* (cid:22) +

1 a

Chú ý: Sau này người ta thường lấy cơ số a là số e và gọi là lôgarit Nêpe hay lôgarit tự

log

ln ln

x a

0, 434294...

e =

1 ln10

, e = 2,718281828459045…, nhiên của x, kí hiệu y = lnx và suy ra

D. Các hàm số lượng giác

Các hàm số lượng giác: sinx, cosx, tgx, cotgx đã được xét kỹ trong chương trình phổ thông

trung học. Dưới đây chúng ta chỉ nhắc lại một số tính chất cơ bản của chúng.

Tính chất:

1. sinx xác định trên (cid:22) , là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì T = 2πvà bị chặn:

− ≤

≤ ∀ ∈(cid:22) x

1 sin

2. cosx xác định trên (cid:22) , là hàm số chẵn, tuần hoàn với chu kì T = 2πvà bị chặn:

− ≤

≤ ∀ ∈(cid:22) x

1 cos

, k π+

∈(cid:28) }, là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kỳ π=T

và 3. tgx xác định trên (cid:22) \{

π 2 ) .

(

−∞

+∞

nhận giá trị trên khoảng

kπ ∈(cid:28) }, là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kỳ π=T ,k

và nhận

)

+∞

−∞

. giá trị trên khoảng 4. cotgx xác định trên (cid:22) \{ (

E. Các hàm số lượng giác ngược

−

]1,1

⎡ ⎢ ⎣

ππ ⎤ [ , −→⎥ 2 2 ⎦

1. Hàm arcsin (đọc là ác-sin) là ánh xạ ngược của sin:

] 1,1 −→−

⎡ ⎢ ⎣

ππ ⎤ , . ⎥ 2 2 ⎦

Kí hiệu là arcsin:[

arcsin

sin

x =⇔

−∈∀

[ −∈∀

] ,1,1

⎡ ⎢ ⎣

ππ ⎤ , , ⎥ 2 2 ⎦

Vậy ta có:

Đồ thị của y = arcsinx cho trên hình 1.4

Chương 1: Hàm số một biến số

y y

arccosx

π 2

arcsinx

π 2

-1 − 1 1 x O x O

cos

[ −→π

[ ,0:

]

arccos

cos

x =⇔

kí hiệu: H.1.4 H.1.5 ]1,1

]π,0 [ [ y ,0 ∈∀

] , π

2. Hàm arccosin (đọc là ác- cô- sin) là ánh xạ ngược của [ ] 1,1 →− ] [ ,1,1 −∈∀

arcsin

sin(arcsin

)

−

[ ,0

]π

π 2

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ∈⎟ ⎠

⎞ =⎟ ⎠

⎛ cos ⎜ ⎝

Đồ thị hàm số y = arccosx cho trên hình 1.5

arccos

arcsin

π 2

(cid:22) kí hiệu:

Vậy

−

→

π π , 2 2

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

arctg

(cid:22) :

π π , 2 2

⎛ → −⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

3. Hàm arctang (đọc là ác-tang) là ánh xạ ngược của

arctgx

tgy

(cid:22) , ∀ ∈ ∀ ∈ −

x ⇔ =

π π , 2 2

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

Vậy ta có

Đồ thị của y = arctgx cho trên hình 1.6.

)π →(cid:22) kí hiệu:

arc

cot

(cid:22) :

π⎛ 0, → ⎜ 2 ⎝

⎞ ⎟ ⎠

4. Hàm arccôtang (đọc là ác-cô-tang) là ánh xạ ngược của cotg: (0,

arc

cot

(cid:22) , ∀ ∈ ∀ ∈

x ⇔ =

π⎛ 0, ⎜ 2 ⎝

⎞ ⎟ ⎠

Vậy ta có

Đồ thị hàm y = arccotgx cho trên hình 1.7

Chương 1: Hàm số một biến số

π 2

arctg

π 2

arccotg

π 2

H.1.6

H.1.7

Chương 1: Hàm số một biến số

(cid:22)

, cot

( g arc

cot

)

x ∀ ∈

arctgx

arc

cot

π 2

Vậy

Người ta gọi hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit, các hàm số lượng giác và các

hàm số lượng giác ngược là các hàm số sơ cấp cơ bản.

H. Đa thức, hàm hữu tỉ.

(

,...,

)

+∈(cid:22) sao cho

x ∈∀

)( xP

i xa

, a a 0 1

a n

∑

1. Ánh xạ P: X →(cid:22) được gọi là đa thức khi và chỉ khi tồn tại n ∈ (cid:178) và

0≠na

, gọi n là bậc của đa thức, kí hiệu degP(x) = n Nếu

2. Ánh xạ f : X →(cid:22) được gọi là hàm hữu tỉ khi và chỉ khi tồn tại hai đa thức

∈∀ x

)( xQX

≠

)( xf

)( xP )( xQ

P, Q: X →(cid:22) sao cho

)( xf

)( xP )( xQ

Gọi là hàm hữu tỉ thực sự khi và chỉ khi: degP(x) < degQ(x)

3. Hàm hữu tỉ tối giản là các phân thức có dạng:

Bx +

C +

A kax ( − )

+ px

kq )

( 2 x

hoặc

, , CBAqpa

2 −

là các số thực và <0 Trong đó k ∈(cid:178) * ,

Dưới đây ta đưa ra các định lí được chứng minh trong lí thuyết đại số

β m

k 1

β 1

)

...(

k ()

)

...(

)

−

)( xP

α 1

xp 1

q 1

( xa n

α l

xp m

q m

Định lí 1.1: Mọi đa thức bậc n với các hệ số thực đều có thể phân tích ra thừa số trong dạng:

),1 l

p q β ∈(cid:22) ,

( = α i i

ik của đa thức, còn

là các nghiệm thực bội trong đó

−

,...,2,1=

n ,

k i

β j

+ ∑ 2

∑

1 =

với và

Định lí 1.2: Mọi hàm hữu tỉ thực sự đều có thể phân tích thành tổng hữu hạn các hàm hữu tỉ tối

giản. .

1.1.3. Hàm số sơ cấp

c osx

Định nghĩa: Hàm số sơ cấp là những hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và các phép lấy hàm hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ bản và các hằng

( ) f x

2 arcsinx

−= e

−

số, chẳng hạn là một hàm số sơ cấp.

1.1.4. Các hàm số trong phân tích kinh tế

A. Hàm cung và hàm cầu

Khi phân tích thị trường hàng hóa và dịch vụ, các nhà kinh tế sử dụng khái niệm hàm cung (supply function) và hàm cầu (demand function) để biểu diễn sự phụ thuộc của lượng cung và lượng cầu của một loại hàng hóa vào giá trị của hàng hóa đó. Hàm cung và hàm cầu biểu diễn

Chương 1: Hàm số một biến số

( D p

)

( Q S p Q d

tương ứng là: , trong đó: p là giá hàng hóa,

sQ là lượng cung (quantity dQ là lượng cầu

supplied), tức là lượng hàng hóa mà người bán bằng lòng bán ở mỗi mức giá;

(quantity demanded), tức là lượng hàng hóa mà người mua bằng lòng mua ở mỗi mức giá.

Tất nhiên, lượng cung và lượng cầu hàng hóa không chỉ phụ thuộc vào giá cả của hàng hóa đó, mà còn chịu ảnh hưởng của nhiều yếu tố khác, chẳng hạn như thu nhập và giá của các hàng hóa liên quan. Khi xem xét các mô hình hàm cung và hàm cầu ở dạng nêu trên người ta giả thiết rằng các yếu tố khác không thay đổi. Quy luật thị trường trong kinh tế học nói rằng, đối với các hàng hóa thông thường, hàm cung là hàm đơn điệu tăng, còn hàm cầu là đơn điệu giảm. Điều này có nghĩa là, với các yếu tố khác giữ nguyên, khi giá hàng hóa tăng lên thì người bán sẽ muốn bán nhiều hơn và người mua sẽ mua ít đi. Các nhà kinh tế gọi đồ thị của hàm cung và hàm cầu là đường cung và đường cầu. Giao điểm của đường cung và đường cầu gọi là điểm cân bằng của thị

Q Q Q d

tức là người bán bán hết và người mua mua trường. Ở mức giá cân bằng p ta có

1 −

đủ, thị trường không có hiện tượng dư thừa hoặc khan hiếm hàng hóa.

(

S Q p D Q d

. Trong kinh tế học nhiều khi người ta vẫn gọi hàm cung và hàm cầu: Chú ý: Trong các tài liệu kinh tế người ta thường sử dụng trục hoành để biểu diễn lượng Q, trục tung để biểu diễn giá p. Cách biểu diễn như vậy tương ứng với việc biểu diễn hàm ngược của )

các hàm này là hàm cung và hàm cầu. Đồ thị của chúng được cho trên H.1.8.

B. Hàm sản xuất ngắn hạn

1( S Q−=

p D Q−=

Các nhà kinh tế học sử dụng khái niệm hàm sản xuất để mô tả sự thuộc của sản lượng hàng hóa (tổng số lượng sản phẩm hiện vật) của một nhà sản xuất vào các yếu tố đầu vào của sản xuất, như vốn và lao động v,v…

H.1.8

Trong kinh tế học khái niệm ngắn hạn và dài hạn không được xác định bằng một khoảng thời gian cụ thể, mà được hiểu theo nghĩa như sau:

Ngắn hạn là khoảng thời gian mà ít nhất một trong các yếu tố sản xuất không thay đổi. Dài hạn là khoảng thời gian mà tất cả các yếu tố sản xuất có thể thay đổi.

Khi phân tích sản xuất, người ta thường quan tâm đến hai yếu tố sản xuất quan trọng là vốn (capital) và lao động (labor), được kí hiệu tương ứng là K và L.

( ) Q f L =

Trong ngắn hạn thì K không thay đổi, do đó hàm sản xuất ngắn hạn có dạng:

Chương 1: Hàm số một biến số

trong đó L là lượng lao động được sử dụng và Q là mức sản lượng tương ứng. Chú ý rằng người ta xét hàm sản xuất sản lượng Q và các yếu tố sản xuất K, L được đo theo luồng (flow), tức là đo theo định kì (hàng ngày, hàng tuần, hàng tháng, hàng năm v,v…)

C. Hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm lợi nhuận

Tổng doanh thu (total revenue), tổng chi phí (total cost) và tổng lợi nhuận (total profit) của nhà sản xuất phụ thuộc vào hàng hóa. Khi phân tích sản xuất, cùng với hàm sản xuất, các nhà kinh tế học còn sử dụnh các hàm số:

1. Hàm doanh thu là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của tổng doanh thu, kí hiệu TR vào sản lượng Q:

TR = TR(Q)

Chẳng hạn, tổng doanh thu của nhà sản xuất cạnh tranh là hàm bậc nhất:

TR = pQ

trong đó p là giá sản phẩm trên thị trường.

2. Hàm chi phí là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của tổng chi phí, kí hiệu TC vào sản lượng Q:

TC = TC(Q)

)Q ( π π=

. 3. Hàm lợi nhuận là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của tổng lợi nhuận, kí hiệu π vào sản lượng Q:

Hàm lợi nhuận có thể xác định thông qua hàm doanh thu và hàm chi phí:

π= TR(Q) − TC(Q).

D. Hàm tiêu dùng

Lượng tiền mà người tiêu dùng dành để mua sắm hàng hóa và dịch vụ phụ thuộc vào thu nhập. Các nhà kinh tế sử dụng hàm tiêu dùng để biểu diễn sự phụ thuôc của biến tiêu dùng, kí hiệu C (consumption) vào biến thu nhập Y (income):

C = f(Y)

Theo qui luật chung, khi thu nhập tăng, người ta có xu hướng tiêu dùng nhiều hơn, do đó hàm tiêu dùng là hàm đồng biến.

1.2.GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

1.2.1. Khái niệm về giới hạn

(

A. Định nghĩa giới hạn

−

)( a

) a + δδ

Ω δ

Ta gọi −δ lân cận của điểm a ∈(cid:22) là tập

)

(

)

+∞

, A

( +∞Ω A

với A>0 và khá lớn. Gọi A- lân cận của ∞+ là tập

)

(

)

−−∞=

( −∞Ω B

với B>0 và khá lớn. Gọi B- lân cận của ∞− là tập

)( a

\)( a

⇒

)( xf

l <−

{ } a

,0 Ω∃>∀ η

x Ω∈∀⊂ η

Cho f xác định ở lân cận điểm a (có thể không xác định tại a ) 1. Nói rằng f có giới hạn là l khi x dần đến a (gọi tắt: có giới hạn là l tại a) nếu

2. Nói rằng f có giới hạn là ∞+ tại a nếu

⇒

)( a

\)( a

)( xf

{ } a

Ω∃>∀ η

x Ω∈∀⊂ η

Chương 1: Hàm số một biến số

f− có giới hạn là ∞+

tại a 3. Nói rằng f có giới hạn là ∞− tại a nếu

4. Nói rằng f có giới hạn là l tại ∞+ nếu

)

(

)

⇒+∞Ω∈∀⊂+∞Ω∃>∀

)( xf

l <−

5. Nói rằng f có giới hạn là l tại ∞− nếu

(

)

(

)

⇒−∞Ω∈∀⊂−∞Ω∃>∀

)( xf

l <−

6. Nói rằng f có giới hạn là ∞+ tại ∞+ nếu

(

)

(

)( xf

Ω∃>∀

, Ω∈∀⊂+∞ X

) ⇒+∞

f− có giới hạn là ∞+ tại

7. Nói rằng f có giới hạn là ∞− tại ∞+ nếu và chỉ nếu

, xX

(

)( xf

,0 Ω∃>∀

Ω∈∀

) ⇒−∞

f− có giới hạn là ∞+ tại ∞−

. ∞+ 8. Nói rằng f có giới hạn là ∞+ tại ∞− nếu ) ⊂−∞

)(xf

Khi nói rằng có giới hạn hữu hạn tại a hoặc tại 9. Nói rằng f có giới hạn là ∞− tại ∞− khi và chỉ khi )(xf có giới hạn là l tại a hoặc tại ∞±

)(xf

∞±

. Ngược lại , nói rằng nó có giới hạn vô hạn. có giới hạn là ∞±

B. Định nghĩa giới hạn một phía.

,0 >∃>∀

)( a

⊂

x ∀

x ⇒<−<

)( xf

−

. l 1 ε <

Ω∃ η

1. Nói rằng f có giới hạn trái tại a là 1l nếu

∀>∃>∀

⇒<−<

)( xf

−

0, x

. l 2 ε <

2. Nói rằng f có giới hạn phải tại a là 2l nếu

Kí hiệu f có giới hạn là l tại a thường là:

f x ( )

)( xf

lim a x →

l → x a →

hoặc

, = +∞ −∞

f x lim ( ) x →

f x ; lim ( ) →±∞

−

)( xf

( af

)

Tương tự có các kí hiệu:

l 1

lim → − x a

Kí hiệu f có giới hạn trái tại a là 1l , thường dùng

)( xf

( af

)

l 2

lim → + x a

−

Tương tự

)

( af

. l

)( xf

lim a x →

Hệ quả: Điều kiện cần và đủ để là

1.2.2. Tính chất của hàm có giới hạn.

A. Tính duy nhất của giới hạn

)( xf

lim x → a

Định lí 1.3: Nếu thì l là duy nhất.

B. Tính bị chặn

)(xf

)( xf

lim x → a

thì bị chặn trong một lân cận của a. Định lí 1.4: Nếu

Chứng minh:

Chương 1: Hàm số một biến số

\)( a

⇒

)( xf

l <−

,1=ε

{ } a

,0 η Ω∈∀>∃ η

Lấy

)( xf

≤+− l

)( xf

+≤+− l

Hay

Chú ý:

+∞=

−∞=

cũng chứng minh tương tự. • Trường hợp

)(xf

không bị chặn trong lân cận của a thì không có giới hạn hữu hạn • Định lí đảo: Hàm

tại a.

sin

)( xf

1 x

Chẳng hạn không có giới hạn hữu hạn tại 0.

C. Tính chất thứ tự của giới hạn và nguyên lí kẹp.

)( xf

lim a x →

. Khi đó: Định lí 1.5: Cho

)( xf

: < ca

c < thì trong lân cận đủ bé của

1. Nếu

<)( xf

l < thì trong lân cận đủ bé của

2. Nếu

)( xf

: c

l <<

3. Nếu thì trong lân cận đủ bé của

Chứng minh:

\)( a

)( xf

<⇒−<− c

)( xf

⇒

{ } a

η 1

Ω∈∀∃>−= η 1

−= ld

\)( a

)( xf

⇒−<−

)( xf

⇒

{ } a

η Ω∈∀∃ x 2 η 2

Min

\)( a

)( xf

=∃ η

<⇒ c

{ } a

( ηη 2,1

Ω∈∀ η

Chú ý: Định lí trên không còn đúng khi thay các bất đẳng thức ngặt bằng các bất đẳng thức không ngặt.

)( xf

lim → x a

khi đó Định lí 1.6: Cho

)(xf

c ≤

c ≤ l

1. Nếu trong lân cận của a thì

≤)( xf

l ≤ d

trong lân cận của a thì 2. Nếu

)( xf

≤

l ≤≤

trong lân cận của a thì 3. Nếu

Nhờ vào lập luận phản chứng, chúng ta thấy định lí trên thực chất là hệ quả của định lí 1.

, , hgf

)( xf

)( xg

)( xh

≤

Định lí 1.7( Nguyên lí kẹp): Cho ba hàm số thoả mãn: trên X; và

)( xf

)( xh

)( xg

lim a x →

lim x → a

lim a x →

Khi đó

∃>∀

x ∀

ax −

)( xf

l <−

0 :

, ηη 1 2

⇒< η 1

)( xh

ax −

l <−

η ⇒< 2

)( xf

l <−

Chứng minh:

)

= η Min

: 0

∈∀

⇒<−<

( , 1 ηη 2

)( xh

l <−

Lấy thì

. ε

)( xf

)( xg

)( xh

)( xg

⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩ =

<−⇒

≤− l

<− l

lim a x →

Tức là

+∞=

−∞=

Chú ý: Định lí đúng với các trường hợp

Chương 1: Hàm số một biến số

+∞=

)( xf

)( xg

≤

lim xf )( x a →

+∞=

lim xg )( x a →

Định lí 1.8: Nếu trong lân cận của a có và thì:

,0 ∀∃>∀ x

− ax

)( xf

: 0

η 1

η ⇒< 1

Chứng minh:

− ax

)( xf

≤

)( xg

: 0

, η ∀∃ x 2

η ⇒< 2

Mặt khác

g x ( )

Min

∀ x

− ax

η ⇒<

)( xg

, ( ηη 2 1

→ − ∞ x →

chứng tỏ Lấy

Chú ý:

+∞=

−∞=

• Định lí đúng với trường hợp

f x ( )

→ − ∞ x →

• Tương tự có định lí khi

D. Các phép tính đại số của hàm số có giới hạn

Định lí 1.9: (Trường hợp giới hạn hữu hạn):

f x ( )

l → ⇒ x a →

l → x a →

f x ( )

0 → ⇔ x →

0 → x a →

f x ( )

g x ( )

f x ( )

g x ( )

l → và 1 x →

l → ⇒ 2 x →

l l → + 1 2 x →

f x ( )

. λ

l λ

∈(cid:22)

l → ⇒ x a →

→ x a →

f x ( )

f x g x ( ). ( )

)(xg

⇒

0 → và x →

0 → x a →

5. bị chặn trong lân cận của

f x ( )

g x ( )

f x g x ( ). ( )

l → và 1 x →

l → ⇒ 2 x →

l l . → 1 2 x →

f x ( )

( ) g x

l → và 1 x →

→ ≠ ⇒ x →

( ) f x ( ) g x

l 1 → l x → 2

Định lí 1.10 (Trường hợp giới hạn vô hạn):

≥)( mxg

f x ( )

g x ( )

→ + ∞ và x →

→ + ∞ x →

trong lân cận của a thì 1. Nếu

xg )(

≥ m

f x ( )

f x g x ( ). ( )

→ + ∞ và x →

→ + ∞ x →

trong lân cận của a thì 2. Nếu

E. Giới hạn của hàm hợp

(cid:22)

(cid:22) và

g ,

→

( Xf

⊂)

Cho

g y ( )

f x ( )

g f x

( ))

(

b → và x →

l → thì y →

l → x a →

Định lí 1.11: Nếu

: 0

)( yg

,0 y ∀∃>∀

, η

⇒<−

l <−

: 0

)( xf

x ∀

⇒<−<

b <−

∃ δ η

δ η

Chứng minh:

0 :

(

))

xfg

g f x

( ))

(

ax < −

x ∀

l <−

δη ⇒<

l → x a →

, vậy

Chương 1: Hàm số một biến số

F. Giới hạn của hàm đơn điệu

(cid:22)

(cid:22) hoặc

a b : ( , )

a b ,

→

∈

,a b ∈(cid:22) và là hàm tăng.

f x M M

Định lí 1.12: Cho

≤

lim ( ) −→ b x

1. Nếu f bị chặn trên bởi M thì

+∞=

lim xf )( −→ x b

2. Nếu f không bị chặn trên thì

f x giảm trên (a,b).Kết quả cho trên hình 1.9

( )

: ( , )

a b →(cid:22) Kết luận Đồ thị

Định lí 1.12 có thể suy diễn cho trường hợp

x ( )

→ −→ x b

Sup f x ( ) ab ( , )

Tăng và bị

chặn trên a b

Giảm và bị

f x ( )

→ −→ x b

Inf f x ( ) ( , ) a b

chặn dưới

Giảm và bị

f x ( )

→ +→ x a

Sup f x ( ) ( , ) a b

chặn trên

f x ( )

Inf f x ( )

→ +→ x a

Tăng và bị

chặn dưới

Tăng và không

f x ( )

→ + ∞ −→ x b

bị chặn trên

Giảm và không

f x ( )

→ − ∞ −→ x b

bị chặn dưới

f x ( )

→ + ∞ +→ x a

Giảm và không

bị chặn trên

f x ( )

→ − ∞ +→ x a

Tăng và không

bị chặn dưới

H.1.9

Chương 1: Hàm số một biến số

)(xf

Định lí 1.13: Nếu xác định tại a và tăng ở lân cận của a thì luôn tồn tại một giới hạn trái

xf )(

af )(

xf )(

≤

−

lim x a →

và một giới hạn phải hữu hạn tại a đồng thời có hệ bất đẳng thức:

Chứng minh:

)(xf

)(af

tăng và bị chặn trên bởi ở lân cận bên trái của a. Rõ ràng:

)(xf

)(af

tăng và bị chặn dưới bởi ở lân cận bên phải của a.

Theo định lí 1.12, chúng ta nhận được kết quả cần chứng minh. Ta có kết quả

tương tự khi f giảm. Hình 1.10. mô tả định lí 1.13.

( +af

)

)(af

( −af

)

0 a x

H.1.10

1.2.3. Các giới hạn đáng nhớ

lim x 0 →

x sin

sin x

A. (1.1)

{ }0\

ππ , 2 2

⎛ −∈ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

Chứng minh: Dễ dàng thấy được

cos

sin x

. thì có bất đẳng thức kép:

cos

lim x 0 →

. Vậy suy ra công thức (1.1) Dùng định nghĩa chứng minh được

lim x +∞→

lim x −∞→

1 x

x ⎞ =⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

x ⎞ =⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

B. (1.2)

+∞=

−∞=

lim x +∞→

lim +→ 0 x

(1.3) C.

+(cid:22) nên tại ∞+

x .2ln

l ==

. Chứng minh: Vì lnx tăng trên hàm số có giới hạn hữu hạn hoặc là ∞+

lim x +∞→

lim x ∞→

Giả sử có giới hạn hữu hạn l thì

ln 2 ln

ln 2

+ → = +

vô lý. Tuy nhiên ln 2

, ln

x ∀ ∈

= −

* (cid:22) +

→ + ∞ →+∞

→ − ∞ x →

1 x

Vậy

Chương 1: Hàm số một biến số

sin

lim x ±∞→

lim → + 0 x

1 x

Ví dụ 1: Chứng minh:

Giải:

sin

x <

0>∀ε

{ }0\)0(εΩ∈∀x

có . (εbé)

: 0

sin

, x εη ∀=

ε ⇒<

Lấy

0>∀ε

>⇔<

1 x

1 ε

để

> ⇒ <

0 →

. ε

* (cid:22) x ∃ ∈ ∀ +

1 xx →±∞

1 x

Vậy Chứng tỏ

1 −+

−

(

lim 4 x →

lim x ∞→

31 2

x 2 −+ x 2 −+

Ví dụ 2: Tính

. 2

→ 4 x →

2.2 2 2.3

2 3

1 3 2

2( (

x x

x 2 + − 2 x − −

− −

2 x 4).( 2) − + x 4).( 2 1 3) + + 2

1 + −

1 − =

→ x →∞

1 + +

−

cos

Giải:

3cos 2

lim x 0 →

− x

Ví dụ 3: Tính

sin2

−

cos

(cos

x )3cos

x 3 2

3cos 2

− x

1( −+− 2 x

x 2 x

sin

= −

x 2 2

1 2

9 2

1 → − + = 2 x →

9 2

x 2

x 3 2

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

x 3 2 2 ⎞ ⎟ ⎠

1 x

Giải:

)

lim x →∞

( , lim 1 sin 0 →

x x

⎛ ⎜ ⎝

⎞− 1 ⎟ 1 + ⎠

Ví dụ 4: Tính

−

x 1 + 2

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎛ . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝

2 ⎞ x 2 ⎟ ⎟+ 2 1 ⎠

-2 e

−

→ x →∞

x x

2 x +

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞− 1 ⎟ 1 + ⎠

1 x

sin x

1 sin

1 sin +

Giải:

( 1 sin = +

)

e → x 0 →

(

D. Sự tồn tại giới hạn của các hàm sơ cấp

xf )(

)

xf ( 0

0x thì

lim x x →

Định lí 1.14: Hàm số sơ cấp xác định tại

Chương 1: Hàm số một biến số

1.3. ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ(VCB) VÀ ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG LỚN(VCL)

1.3.1. Đại lượng VCB

A. Định nghĩa:

→(cid:22) , gọi là đại lượng VCB tại a nếu như

: Xα

xα ( )

→ , a có thể là ∞+ x →

Hàm số

hoặc - ∞

)( xf

−

)(α x

lim a x →

điều kiện cần và đủ là hàm số là VCB tại a. Hệ quả: Để tồn tại

B. Tính chất đại số của VCB

Dựa vào tính chất đại số của hàm có giới hạn, nhận được tính chất đại số của các VCB

sau đây:

,...,2,1

)(α cũng là

( ixi ),

i x

)(α , tích ∏

1 =

1. Nếu là các VCB tại a thì tổng ∑

VCB tại a

)(xf

(

)(xα là VCB tại a,

xfxα ). )(

bị chặn trong lân cận của a thì là VCB tại a. 2. Nếu

C. So sánh các VCB

(

x )(

x βα ),

Cho là các VCB tại a.

(βα o= )

α → thì nói rằng α là VCB cấp cao hơn β tại a, kí hiệu β → x

tại a, 1. Nếu

cũng nói rằng β là VCB cấp thấp hơn α tại a.

α → ≠ thì nói rằng βα, β → x

là các VCB ngang cấp tại a. 2. Nếu

1=c

βα ~

là các VCB tương đương tại a. Khi đó kí hiệu tại a. Đặc biệt thì nói rằng βα,

βα c~

ngang cấp tại a thì tồn tại hằng số c khác không để: tại a. Rõ ràng nếu βα,

(

)

k o αγ =

3. Nếu thì nói rằng γ là VCB có cấp cao hơn k so với VCB α tại a

≠

kcαγ ~

4. Nếu thì nói rằng γ là VCB có cấp k so với VCB α tại a

, ββαγ 1 1

lim x a →

α β

α 1 β 1

Hệ quả 1: Nếu tại a thì

ββα ~

(βα o= )

tại a thì tại a . Hệ quả 2: Nếu

Hệ quả 3: Qui tắc ngắt bỏ VCB cấp cao:

*α là VCB cấp thấp nhất trong số các VCB

Nếu

*β là VCB cấp thấp nhất trong số các VCB

( , i =α ( , i =β

)m ,1 )n

α i

∑

i = 1 n

lim x a →

* α * β

β j

∑

= 1

tại a . Khi đó: và

Chú ý: Các VCB đáng nhớ là:

Chương 1: Hàm số một biến số

xα

0 >

→ 0 x →

a < <

(

) 1 a

( 0, 0

) 1

→ →−∞

→ →+∞

sinx

tgx

0, arcsin

→ 0 x →

0 → 0 x →

arctg

0 → x → 0

1.3.2. Đại lượng VCL

A x ( )

A. Định nghĩa

→ + ∞ hoặc ∞− x →

Hàm số A: X →(cid:22) gọi là đại lượng VCL tại a nếu như

(a có thể là ∞+ hoặc ∞− ).

x =α )(

)(xA

1 )( xA

Hệ quả: Để là VCL tại a thì cần và đủ là là VCB tại a.

B. Tính chất của VCL

,...,2,1

)∞+

)∞−

( ixAi ),

tại a thì tổng 1. Nếu là các VCL cùng dấu ( hay (

)( i xA

∑

= 1

là VCL mang dấu đó tại a.

,...,2,1

( ixBi ),

)( i xB

= 1

Nếu là VCL tại a là các VCL tại a thì tích ∏

)(xA

)(xf

2. Nếu là VCL tại a và giữ nguyên dấu tại a và lân cận của nó thì

xfxA ). )(

(

là VCL tại a.

C. So sánh các VCL

xBxA ), )(

(

Cho là các VCL tại a

)(xA

)(xB

→ ∞ thì nói rằng

( ) A x B x → ( ) x

là VCL cấp cao hơn 1. Nếu tại a, hay B là

VCL có cấp thấp hơn A tại a

→ ≠ thì nói rằng BA,

A x ( ) B x → ( ) x

2. Nếu là VCL ngang cấp tại a.

BA ~

1=c

là các VCL tương đương tại a, kí hiệu tại a. Đặc biệt thì nói rằng BA,

BBAA 1 1

lim x a →

xA )( )( xB

xA )( 1 xB )( 1

tại a thì Hệ quả 1: Nếu

)(xA

)(xB

BA +

là VCL cấp cao hơn tại a thì . Hệ quả 2: Nếu

Hệ quả 3: Qui tắc ngắt bỏ các VCL cấp thấp:

*A là các VCL cấp cao nhất trong số các VCL

,...,2,1

*B là VCL

( ixAi ),

và Nếu

,...,2,1

( xB j

cấp cao nhất trong số các VCL tại a thì ta có

Chương 1: Hàm số một biến số

)( xA i

∑

1 = n

lim x a →

* xA )( * xB )(

)( xB j

∑

1 =

Chú ý: Các VCL sau đây thường hay dùng:

xα

( α

)

→ + ∞ →+∞

a < <

(

) a 1

( , 0

) 1

→ + ∞ →+∞

→ + ∞ →−∞

log

a < <

(

) 1 log

( , 0

) 1

→ + ∞ →+∞

→ + ∞ x →

log

a < <

(

) 1 log

( , 0

) 1

→ − ∞ →+∞

→ − ∞ x →

sin

x .

cos

lim x ∞→

1 x

sin x

⎛ lim ⎜ 0 x → ⎝

⎞ , ⎟ ⎠

0, cos

sinx

1 ≤ ⇒

lim sin .cos x →

→ 0 x →

1 x

Ví dụ 5: Tính

0, sin

1 ≤ ⇒

lim x →∞

→ x →∞

1 x

sin x

Giải:

lim 0 x →

2sin 4sin

x x

x sin

x − 2 x

⇒

lim x 0 →

x x

x 2~2sin x 4~4sin

x x

2sin 4sin

2 4

1 2

⎫ ⎬ ⎭

Ví dụ 6: Tính

sin,

⇒

lim x 0 →

x − 2 x

x x

x sin

Giải:

lim x ∞→

x 2

x x

1 1

1 x −+ 2 2 x −

x ++ 3 2 x +

+ −

Ví dụ 7: Tìm

lim x ∞→

x 2

x 2 x

1 2

1 x −+ 2 x 2 −

lim x ∞→

x x

1 x

x x

1 1

+ −

x ++ 3 x 2 +

Giải:

1.4. SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

1.4.1. Các khái niệm cơ bản

A. Hàm liên tục tại một điểm

)(xf

Xa ∈ . Nói rằng

X →(cid:22) và

Cho liên tục tại a nếu

xf )(

af )(

xf )(

)

lim x a →

lim( x a →

hay

xf )(

af )(

x ∀>∃>∀

ax −

⇒< η

−

Tức là

B. Hàm liên tục một phía tại a

a X

→ ∈(cid:22) ,

Cho Nói rằng hàm f liên tục bên trái tại a nếu

Chương 1: Hàm số một biến số

−

xf )(

af (

)

af )(

lim → − x a

xf )(

af (

)

af )(

lim → + x a

Hàm f liên tục bên phải tại a nếu

)(xf

−

af (

)

af (

)

af )(

Hệ quả: Để hàm liên tục tại a điều kiện cần và đủ là:

C. Hàm liên tục trên một khoảng

)(xf

Xx ∈ thì nói rằng nó liên tục trên tập X .

1. Hàm liên tục tại mọi điểm

)(xf

liên tục trên khoảng mở (a,b) và liên tục trái tại b, liên tục phải tại a nói rằng 2. Hàm

nó liên tục trên [a,b]

D. Điểm gián đoạn của hàm số

x = . a

)(xf

−

không liên tục tại a, nói rằng có điểm gián đoạn tại 1. Nếu

af (

)

x = là điểm gián

−

là các số hữu hạn thì gọi 2. Nếu a là điểm gián đoạn và

af (

)

)(xf

( af ), + − )

ah f )(

đoạn loại 1 của hàm số và gọi là bước nhảy của tại a.

)(xf

tăng (giảm) ở lân cận điểm a khi đó liên tục tại a khi và chỉ khi Hệ quả: Nếu

=ah f )(

. Điều này suy ra từ định lí 1.13 của hàm số đơn điệu.

)(xf

và không phải là điểm gián đoạn loại 1 thì nói rằng 3. Nếu a là điểm gián đoạn của

)(xf

x = . a

có điểm gián đoạn loại 2 tại

Các định nghĩa trên được mô tả trên hình 1.11.

2a O

3a b

y y

2a O

4a a

loại 1 loại 2 liên tục từng khúc

H.1.11

E. Hàm liên tục từng khúc

(cid:22)

, a b

(cid:22) .

→

∈

[

Hàm

] Nói rằng hàm f liên tục từng khúc trên [

]ba,

nếu như chỉ có một số hữu hạn các điểm

gián đoạn loại 1 của hàm số trên đoạn đó.

Chương 1: Hàm số một biến số

1.4.2. Các phép toán đại số của hàm liên tục

(cid:22)

f g ,

→

a X λ

∈

Định lí 1.15: Cho

)(xf

liên tục tại a thì liên tục tại a. 1. Nếu

xgxf ), )(

(

xf )(

xg )(

cùng liên tục tại a thì liên tục tại a. 2. Nếu

)(xf

)(xfλ liên tục tại a.

liên tục tại a thì 3. Nếu

xgxf ), )(

(

xgxf )( ).

(

liên tục tại a thì liên tục tại a. 4. Nếu

(

xgxf ), )(

≠xg )(

xf )( )( xg

liên tục tại a và thì liên tục tại a. 5. Nếu

(cid:22)

(cid:22) và

Xf (

)

)(xf

a X ∈

→

. ⊂ Nếu

liên Định lí 1.16: Cho

: Y xfg ( ( ))

)( yg

)(af

→ b =

liên tục tại thì hàm hợp liên tục tại a. tục tại a và

Chứng minh tương tự như chứng minh định lí về giới hạn của hàm hợp.

Chú ý:

• Định lí 1.16 cũng được phát biểu tương tự cho f liên tục trên X và g liên tục trên Y.

• Sử dụng định lí 1.16, nhận được các giới hạn quan trọng dưới đây:

xfg (

(

))

xf (

))

lim x a →

lim( x a →

log

)

Vì khi thỏa mãn định lí 1.16 thì do đó:

log

lim x 0 →

1( x

)

(1.4)

lim x 0 →

1ln( + x

a x

(1.5) Đặc biệt

a ≠<

lim x 0 →

− x

(1.6)

log

(

=⇒−

lim 0 x →

lim 0 y →

− x

y 1(

log

)

1 log

−

( 1

. Theo (1.4) sẽ có: Thật vậy gọi

α=

lim 0 x →

) + α x x

(1.7)

1ln(

)

1ln(

)

α⇒−

(

) 1

−

( 1

lim 0 x →

) x x

xy )( x

x ln( x

ln(

y y +

⎛ ⎜⎜ lim 0 x → ⎝

⎞ α=⎟⎟ ⎠

Gọi

Từ trên dễ dàng nhận được định lý sau:

x = thì liên tục tại a.

Định lý 1.17: Mọi hàm số sơ cấp xác định tại

a b →(cid:22) là liên tục,

a < . b

[

Cho 1.4.3. Tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn ]

A.Tính trù mật của hàm số liên tục

)(xf

)(

(

)( =cf

( )ba ,∈

]ba,

và thì tồn tại để liên tục trên [

Định lí 1.18: Nếu 26

Chương 1: Hàm số một biến số

]ba,

n ba ,

Chứng minh: Thực hiện phương pháp chia đôi đoạn [ được điểm c sẽ dừng lại. Nếu không tìm được c thì nhận được dãy các đoạn lồng nhau [ ( . Nếu trong quá trình chia đôi tìm ] )n

)

−

b n

a n

af ( n

bf ( n

ab − n 2

trong đó và .

)

cf )(

)

cf )(

≤

≥

af ( n

bf ( n

b n

lim n ∞→

lim( n ∞→

lim n ∞→

lim( n ∞→

và Suy ra

),( ba

c ∈

trong đó

)(xf

)( =cf . Vậy liên tục trên [

0 . ]ba,

Định lí 1.19: Nếu khi đó nhận giá trị trung gian

)(af

)(bf

bfaf ),

(

∈∀ γ

c ∈∃

] ,)(

[ ] cfba , )(

)(xf [

giữa và , nghĩa là:

Chứng minh :

)(af=γ

)(bf=γ

Định lí đúng với hoặc .

af )(

bf )(

af )(

bf (

xg )(

xf )(

<γ<

γ−

Giả sử và xét Đặt và

ag )(

bg )(

),( ba

c ∈

)( =cg

. Theo định lí 1.18 thì tồn tại để liên tục trên [ ]ba, γ=)(cf . hay

)(xf

]ba,

thì đạt được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên B.Tính bị chặn của hàm số liên tục liên tục trên [

]ba,

Định lí 1.20: Hàm số [

)

xf )(

xf (

)

∈

∃

x ∈∀

≤

]ba [ ,

xf ( m

xx , Mm

có , nghĩa là: ] [ , , ba

Chúng ta không chứng minh định lí này.

TÓM TẮT NỘI DUNG CHƯƠNG I

• Các khái niệm và tính chất cơ bản về hàm số: định nghĩa hàm số, hàm số tuần hoàn, hàm số chẵn, lẻ, hàm số hợp, hàm số ngược, hàm số cho dưới dang tường minh, dạng ẩn, dạng tham số. Tính chất cơ bản của hàm số: đơn điệu, bị chặn.

• Các hàm số sơ cấp cơ bản: hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit, hàm số lượng giác, hàm số lượng giác ngược, đa thức, hàm hữu tỉ. Hàm số sơ cấp.

• Các hàm số được dùng trong phân tích kinh tế

• Định nghĩa giới hạn của hàm số tương ứng với các quá trình Chẳng hạn, f có giới hạn là l khi x dần đến a (gọi tắt: có giới hạn là l tại a) nếu

)( a

\)( a

)( xf

⇒

<− l

{ } a

,0 Ω∃>∀ η

Ω∈∀⊂ x η

• Tính chất của hàm có giới hạn.

A. Tính duy nhất của giới hạn

)( xf

lim x a →

Nếu thì l là duy nhất.

B. Tính bị chặn

)( xf

)(xf

lim x a →

thì bị chặn trong một lân cận của a. Nếu

C. Tính chất thứ tự của giới hạn và nguyên lí kẹp.

Chương 1: Hàm số một biến số

)( xf

lim a x →

Cho . Khi đó:

)( xf

: < ca

c < thì trong lân cận đủ bé của

1. Nếu

<)( xf

l < thì trong lân cận đủ bé của

2. Nếu

)( xf

: c

l <<

3. Nếu thì trong lân cận đủ bé của

c ≤ l

)(xf

c ≤

trong lân cận của a thì 4. Nếu

l ≤ d

≤)( xf

trong lân cận của a thì 5. Nếu

l ≤≤

)( xf

≤

trong lân cận của a thì 6. Nếu

, , hgf

)( xf

)( xg

)( xh

)( xf

)( xh

≤

lim x a →

Cho ba hàm số thoả mãn: trên X;

)( xg

lim x a →

khi đó

)( xf

)( xg

≤

+∞=

lim xf )( → x a

+∞=

lim xg )( → x a

7. Nếu trong lân cận của a có và thì:

D. Các phép tính đại số của hàm số có giới hạn

(Trường hợp giới hạn hữu hạn):

f x ( )

l → ⇒ x a →

l → x a →

f x ( )

0 → ⇔ x →

0 → x a →

f x ( )

g x ( )

f x ( )

g x ( )

l → và 1 x →

l → ⇒ 2 x →

l l → + 1 2 x →

f x ( )

. λ

l λ

∈(cid:22)

l → ⇒ x a →

→ x a →

)(xg

f x ( )

f x g x ( ). ( )

⇒

0 → và x →

0 → x a →

bị chặn trong lân cận của 5.

f x ( )

g x ( )

f x g x ( ). ( )

l → và 1 x →

l → ⇒ 2 x →

l l . → 1 2 x →

( ) g x

f x ( )

→ ≠ ⇒ x →

l → và 1 x →

( ) f x ( ) g x

l 1 → l x → 2

(Trường hợp giới hạn vô hạn):

f x ( )

g x ( )

≥)( mxg

→ + ∞ và x →

→ + ∞ x →

trong lân cận của a thì 1 .Nếu

f x ( )

xg )(

f x g x ( ). ( )

≥ m

→ + ∞ và x →

→ + ∞ x →

2. Nếu trong lân cận của a thì

E. Giới hạn của hàm số hợp

g y ( )

f x ( )

g f x

( ))

(

l → thì y →

b → và x →

l → x a →

Nếu

F. Giới hạn của hàm số bị chặn

(cid:22)

(cid:22) hoặc

a b : ( , )

a b ,

,a b ∈(cid:22) và là hàm tăng.

→

∈

Cho

f x M M

≤

lim ( ) −→ b x

3. Nếu f bị chặn trên bởi M thì

Chương 1: Hàm số một biến số

+∞=

lim xf )( −→ x b

4. Nếu f không bị chặn trên thì

G. Giới hạn của hàm số sơ cấp

xf )(

)

xf ( 0

0x thì

lim x x →

• Các giới hạn đáng nhớ

Hàm số sơ cấp xác định tại

lim x 0 →

sin x

x sin

lim x +∞→

lim x −∞→

1 x

⎛ ⎜ ⎝

x ⎞ =⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

x ⎞ =⎟ ⎠

+∞=

−∞=

lim +→ 0 x

lim x +∞→

log

)

log

lim x 0 →

1ln( + x

1( x

a x

Đặc biệt 4.

a ≠<

lim x 0 →

− x

• Đại lượng VCB

A. Định nghĩa:

: Xα

→(cid:22) , gọi là đại lượng VCB tại a (trong quá trình x dần về a) nếu như

xα ( )

Ánh xạ

→ , a có thể là ∞+ x →

( hoặc - ∞ )

)( xf

)(α x

−

lim a x →

điều kiện cần và đủ là hàm số là VCB tại a. Để tồn tại

B. Tính chất đại số của VCB

,...,2,1

)(α cũng là

( ixi ),

i x

)(α , tích ∏ i x

1 =

1. Nếu là các VCB tại a thì tổng ∑

VCB tại a

)(xf

(

)(xα là VCB tại a,

xfxα )( ).

2. Nếu bị chặn trong lân cận của a thì là VCB tại a.

C. So sánh các VCB

(βα o= )

α → thì nói rằng α là VCB cấp cao hơn β tại a, kí hiệu β → x

1. Nếu tại a, cũng

nói rằng β là VCB cấp thấp hơn α tại a.

α → ≠ thì nói rằng βα, β → x

là các VCB ngang cấp tại a. 2 .Nếu

βα ~

1=c

là các VCB tương đương tại a. Khi đó kí hiệu tại a. thì nói rằng βα,

βα c~

ngang cấp tại a thì tồn tại hằng số c khác không để tại a. Rõ ràng nếu βα,

(

)

k o αγ =

3. Nếu thì nói rằng γ là VCB có cấp cao hơn k so với VCB α tại a

kcαγ ~

≠

4. Nếu thì nói rằng γ là VCB có cấp k so với VCB α tại a

Chương 1: Hàm số một biến số

, ββαγ 1 1

lim x a →

α β

α 1 β 1

5. Nếu tại a thì

(βα o= )

ββα ~

tại a thì tại a . 6. Nếu

7. Qui tắc ngắt bỏ VCB cấp cao:

*α là VCB cấp thấp nhất trong số các VCB

Nếu

*β là VCB cấp thấp nhất trong số các VCB

( , i =α ( , i =β

)m ,1 )n

α i

∑

1 i = n

lim x a →

* α * β

β j

∑

1 =

• Đại lượng VCL

tại a . Khi đó: và

A. Định nghĩa

A x ( )

Ánh xạ A: X →(cid:22) gọi là đại lượng VCL tại a (trong quá trình x dần về a)nếu như

→ + ∞ hoặc ∞− ,(a có thể là ∞+ x →

hoặc ∞− ).

)(xA

x =α )(

1 xA )(

là VCL tại a thì cần và đủ là là VCB tại a. Để

B. Tính chất của VCL

,...,2,1

)∞+

)∞−

( ixAi ),

tại a thì tổng 1. Nếu là các VCL cùng dấu ( hay (

)( i xA

∑

1 =

là VCL mang dấu đó tại a.

,...,2,1

)( i xB

( ixBi ),

1 =

2. Nếu là VCL tại a là các VCL tại a thì tích ∏

)(xA

)(xf

3. Nếu là VCL tại a và giữ nguyên dấu tại a và lân cận của nó thì

xfxA )( ).

(

là VCL tại a.

C. So sánh các VCL

(

xBxA )( ),

Cho là các VCL tại a

)(xA

)(xB

→ ∞ thì nói rằng

( ) A x B x → ( ) x

là VCL cấp cao hơn 1. Nếu tại a, hay B là

VCL có cấp thấp hơn A tại a

→ ≠ thì nói rằng BA,

( ) A x B x → ( ) x

2. Nếu là VCL ngang cấp tại a.

BA ~

1=c

là các VCL tương đương tại a, kí hiệu tại a. thì nói rằng BA,

BBAA 1 1

lim x a →

xA )( )( xB

xA )( 1 )( xB 1

3. Nếu tại a thì

)(xA

)(xB

BA +

là VCL cấp cao hơn tại a thì . 4. Nếu

Chương 1: Hàm số một biến số

5. Qui tắc ngắt bỏ các VCL cấp thấp:

*A là các VCL cấp cao nhất trong số các VCL

,...,2,1

*B là VCL

( ixAi ),

Nếu và

,...,2,1

( xB j

xA )( i

∑

1 = n

lim → x a

lim x a →

* xA )( * )( xB

xB )( j

∑

1 =

tại a thì ta có cấp cao nhất trong số các VCL

• Các khái niệm cơ bản về sự lien tục của hàm số A. Hàm liên tục tại một điểm

)(xf

Xa ∈ . Nói rằng

X →(cid:22) và

Cho liên tục tại a nếu

xf )(

af )(

xf )(

)

lim x a →

lim( x a →

hay

xf )(

af )(

x ∀>∃>∀

ax −

−

η ⇒<

Tức là

B. Hàm liên tục một phía tại a

a X

→ ∈(cid:22) ,

−

xf )(

af (

)

af )(

lim → − x a

Cho Nói rằng hàm f liên tục bên trái tại a nếu

xf )(

af (

)

af )(

lim → + x a

Hàm f liên tục bên phải tại a nếu

)(xf

−

af (

)

af (

)

af )(

Để hàm liên tục tại a điều kiện cần và đủ là:

C. Điểm gián đoạn của hàm số

x = . a

)(xf

−

không liên tục tại a, nói rằng có điểm gián đoạn tại 1.Nếu

af (

)

x = là điểm gián đoạn

−

là các số hữu hạn thì gọi 2.Nếu a là điểm gián đoạn và

af (

)

)(xf

+ − )

ah f )(

là bước nhảy của tại a. loại 1 của hàm số và gọi

)(xf

=ah f )(

Nếu tăng (giảm) ở lân cận điểm a khi đó liên tục tại a khi và chỉ khi .

D. Các phép toán đại số của hàm liên tục

)(xf

1. Nếu liên tục tại a thì liên tục tại a.

xgxf ), )(

(

xf )(

xg )(

2 Nếu cùng liên tục tại a thì liên tục tại a.

)(xf

)(xfλ liên tục tại a.

liên tục tại a thì 3. Nếu

xgxf ), )(

(

xgxf )( ).

(

liên tục tại a thì liên tục tại a. 4. Nếu

xgxf ), )(

(

≠xg )(

xf )( )( xg

liên tục tại a và thì liên tục tại a. 5. Nếu

(cid:22)

(cid:22) và

g ,

Xf (

)

)(xf

→

a X ∈

→

. ⊂ Nếu

liên tục tại a 6. Cho

Chương 1: Hàm số một biến số

)( yg

)(af

xfg

(

))

b =

và liên tục tại thì hàm hợp liên tục tại a.

x = thì liên tục tại a.

7. Mọi hàm số sơ cấp xác định tại

E.Tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn

)(xf

)(

(

)( =cf

( )ba ,∈

và thì tồn tại để 1 .Nếu

)(xf

)(af

)(bf

]ba, ]ba,

2. Nếu khi đó nhận giá trị trung gian giữa và , liên tục trên [ liên tục trên [

bfaf ),

(

∈∀ γ

c ∈∃

[

] ,)(

[ ] cfba , )(

nghĩa là:

)(xf

]ba,

, 3. Hàm số liên tục trên [ thì đạt được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên [

nghĩa là:

)

xf )(

xf (

)

≤

∃

∈

x ∈∀

[ , ba

] ,

]ba [ ,

xf ( m

xx , Mm

có

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG I

1.1. Hàm số không xác định tại a thì không có giới hạn tại a?

Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

1.2. Hàm số bị chặn tại lân cận điểm a thì có giới hạn tại a?

Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

1.3. Hàm số không bị chặn tại lân cận điểm a thì có giới hạn tại a là vô cùng?

Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

1.4. Tổng hoặc tích vô hạn các hàm số có giới hạn hữu hạn tại a là hàm có giới hạn tại a?

Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

1.5. Tổng hoặc tích hai hàm số không có giới hạn hữu hạn tại a là hàm không có giới hạn tại a?

Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

1.6. Hàm số có giới hạn trái và phải tại điểm a thì có giới hạn tại a ?

Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

1.7. Tích vô hạn các VCB cũng là một VCB?

Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

1.8. Tổng vô hạn các VCB cũng là một VCB?

Đúng (cid:0) Sai (cid:0) 1.9. Tổng hữu hạn các VCL cũng là một VCL? Đúng (cid:0) Sai (cid:0) 1.10. Hàm số liên tục tại điểm a thì có giới hạn tại a? Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

Chương 1: Hàm số một biến số

1.11. Hàm số liên tục trái và phải tại điểm a thì liên tục tại a?

Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

1.12. Hàm số xác định tại điểm a thì liên tục tại a?

Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

1.13. Hàm số liên tục trên khoảng mở (a,b) thì bị chặn trên khoảng đó?

Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

1.14. Hàm số liên tục trên khoảng mở (a,b) thì không thể có GTNN, GTLN trên khoảng đó?

1.15. Hàm số liên tục trên khoảng (a,b) và

( ) 0

Đúng (cid:0) Sai (cid:0) f a f b > thì vô nghiệm trên khoảng đó? ( )

Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

f x ( )

rccos(lgx)

),1(

)10(

1 ( 10

1.16. Cho hàm số . Tính .

1.17. Tìm miền xác định và miền giá trị của các hàm số:

xf )(

2 −=

)( xg

1 2 +

, , b. a.

)( xk

= 2

−

xh )(

−

c. , d. .

1.18. Xét xem hàm số có chẵn hoặc lẻ không và phác hoạ đồ thị của nó.

xg )(

=)(

−

a. , b. ,

xh )(

xk )(

−=

x −+

−

, d. . c.

1.19. Xét xem hàm số nào tuần hoàn và tìm chu kì của nó

)( xf

3sin

)( xg

sin

a. , b. ,

tgx

)( xk

sin

=)(

, d. . c.

1.20. Tìm hàm ngược của các hàm số sau:

= x

2 +

,12 −

a. , b. ,

y =

1 x −

x 2

, d. , c.

x −−

−

1.21. Tìm các giới hạn

lim x 2 →

lim x 1 →

... ++ x 1 −

) 16

−

( x ( 3 x

)10

a. , b. ,

Chương 1: Hàm số một biến số

1 −

(

)

−

ax −

( x

lim x a →

1 →

100 x lim 50 x

x 2 x 2

)

− −

1 + 1 +

) na − ( ax −

c. , d. .

1.22. Tìm các giới hạn

lim x +∞→

x + x 1 +

+ 1

x +

a. , b. .

x n

−

x α

x β

1.23. Tìm các giới hạn

lim 0 x →

− x

1. x

, b. . a.

tgx

sin

1.24. Tìm các giới hạn

lim 0 x →

lim a x →

− x

x − ax −

cos

3cos

cos

−

, b. , a.

lim 0 x →

x .2 x

x − 2 sin

x cos . 1 cos −

c. , d. .

1.25. Tìm các giới hạn

1 −−

lim x +∞→

→

lim 2 x

x − 5 x −

2 +

, b. . a.

x x

x 1 −

1 − 1 +

1.26. Tìm các giới hạn

lim x +∞→

lim x ∞→

3 2

x x

1 1

x x

1 1

x +− x ++

− +

⎛ ⎜⎜ ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

, b. , a.

⎛ ⎜⎜ ⎝ ( cos

⎞ ⎟⎟ ⎠ )x

( lim − 21 x 0 →

lim 0 x →

, d. . c.

ln(

sin

)1 −+

( sin

[ sin

lim x +∞→

lim π x → 2

x β

1 +

, b. , a. 1.27. Tính giới hạn các hàm số sau )tgx

−

0 > .

(

)

lim n →∞

lim x 0 →

e sin

sin

− −

x α e x α

x β

c. , d.

1 sin

cot

2 xg

1.28. Tính giới hạn các hàm số sau

)

( lim + 1 x 0 →

1 tgx + sin 1 x +

⎛ lim ⎜ x 0 → ⎝

⎞ ⎟ ⎠

a. , b. ,

lim x ∞→

e 2 e

+ +

( 2ln ( 3ln

) )x

. c.

2 4 −

−

≠

)(

) 2 x

1.29. Xét sự liên tục của các hàm số sau:

=)(

( ) f x

( ⎧ ⎪ = ⎨ A ⎪⎩

a. , b.

Chương 1: Hàm số một biến số

)(xf

]1,0 và chỉ nhận giá trị hữu tỉ và

1 2

⎞ =⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

1.30. Hàm . liên tục trên [

2 2

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Hãy tính

1.31. Chứng minh rằng mỗi phương trình đại số bậc lẻ có ít nhất một nghiệm thực.

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

CHƯƠNG II: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU

Phép tính vi phân của hàm một biến số gắn liền với phép tính đạo hàm của hàm số. Khái niệm đạo hàm là một trong những tư tưởng quan trọng nhất của giải tích. Trong chương I, chúng ta đã đặt vấn đề xem xét hàm số, nhưng vấn đề cốt lõi của hàm số là tốc độ biến thiên của nó chưa được xét đến. Nhờ vào khái niệm đạo hàm người ta có thể khảo sát toàn diện một đại lượng biến thiên. Khái niệm đạo hàm gắn liền với các đại lượng vật lý: vận tốc tại thời điểm t của một vật chuyển động, nhiệt dung của vật thể ở nhiệt độ to, cường độ dòng điện,v.v...; gắn liền với các hiện tượng hoá học: tốc độ phản ứng hoá học ở thời điểm t; gắn liền với các bài toán kinh tế xã hội: tốc độ tăng trưởng kinh tế, phương án tối ưu trong giao thông, trong sản xuất kinh doanh, v.v....

Các nội dung cơ bản cần nắm vững gồm:

1. Phân biệt các khái niệm: đạo hàm, vi phân, tính khả vi của hàm số. Ý nghĩa của chúng.

2. Nắm vững các qui tắc tính đạo hàm, vi phân của hàm số dựa vào: bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản; các tính chất của hàm số khả vi, đặc biệt công thức đạo hàm của hàm số hợp.

3. Công thức đạo hàm và vi phân cấp cao của các hàm số sơ cấp cơ bản, từ đó nhận được công thức Taylor của chúng. Ý nghĩa của công thức Taylor.

4. Ứng dụng đạo hàm: khử các dạng bất định (qui tắc Lôpitan), xét sự biến thiên của hàm số, tìm cực trị của hàm số, tìm điểm uốn và xét tính lồi hoặc lõm của hàm số.

NỘI DUNG

2.1. ĐẠO HÀM

(cid:22)

f X :

→

X φ ≠

X(cid:22) là tập các ánh xạ đã nói ở trên, còn

Từ nay về sau ta coi rằng và X không thu về một điểm, tức là X là

fC là đồ thị của hàm số f .

khoảng nào đó trên (cid:22) , và

2.1.1. Đạo hàm tại một điểm

2.1.1.1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

a X a h X f

+ ∈

∈

∈(cid:22) . Nói rằng f khả vi tại a nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

(

)( af

−

lim 0 h →

) haf + h

Cho

)(' af

)(a

df dx

Giới hạn này thường kí hiệu hay gọi là đạo hàm của f tại a.

f x ( )

y a '( )

thì đạo hàm của hàm số tại a còn được kí hiệu Nếu cho hàm

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

(

)( af

−

haf ) + h

Δ )( af x Δ

gọi là tỉ số của các số gia hàm số và số gia đối số. Tỉ số

2.1.1.2. Định nghĩa đạo hàm một phía

XhaXa

∈+

∈ ,

(

)( af

−

lim +→ 0 h

) haf + h

1. Cho . Nói rằng f khả vi phải tại a nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

)(' a

f p

Giới hạn này kí hiệu là , gọi là đạo hàm phải của f tại a.

XhaXa

∈+

∈ ,

(

)( af

−

lim −→ 0 h

) haf + h

2. Cho . Nói rằng f khả vi trái tại a nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

)(' aft

Giới hạn này kí hiệu là , gọi là đạo hàm trái của f tại a.

a )('

af )('

af )(' t

Hệ quả 1: Để f khả vi tại a điều kiện cần và đủ là f khả vi trái và phải tại a đồng thời

Hệ quả 2: (điều kiện cần của hàm khả vi): Nếu f khả vi tại a thì f liên tục tại a

*(cid:22) được kí hiệu tập các số thực khác không)

Xha ∈+

* h ∈(cid:22) để

(

)( af

−

Chứng minh: Lấy , (

(

)

)( af

. h

haf +

haf ) + h

f a ( )

(

−

rõ ràng

(

'( ) f a

f a h

( ) f a

⇒

→ 0 h →

) + → 0 h →

f a h ) + h

mà . Chứng tỏ f liên tục tại a.

Chú ý:

1. f có thể liên tục tại a nhưng không khả vi tại a chẳng hạn các hàm dưới đây và đồ thị của chúng trên hình 2.1. mô tả điều đó

=)(

f ∈ (cid:22)(cid:22) cho bởi

. liên tục tại 0 nhưng không khả vi tại 0 vì không có •

)0('

0→h

11 =≠−=

giới hạn khi , ở đây ta thấy:

=)(

+∈ (cid:22)(cid:22) cho bởi

+∈(cid:22)

+(cid:22) được kí hiệu tập các số không âm)

→ + ∞ ( +→ 0 h

h h

1 h

x sin.

≠

liên tục tại 0 nhưng không khả vi tại 0 vì với •

xf )(

f ∈ (cid:22)(cid:22) cho bởi

1 ⎧ ⎪ x ⎨ ⎪⎩ 0

•

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

h sin.

1 h

sin

f x ( )

(0)

≤ → = x →

1 h

liên tục tại 0 vì nhưng không khả vi vì

0→h

f x ( )

không có giới hạn khi

H.2.1

1. Nếu f khả vi phải (hoặc trái) tại a thì f liên tục phải (hoặc trái) tại a.

2. Nếu f khả vi phải và trái tại a thì f liên tục tại a.

2.1.1.3.Ý nghĩa hình học của đạo hàm

(

))

afaA

fC tại điểm

. Tiếp tuyến Nếu f khả vi tại a thì tồn tại tiếp tuyến của đồ thị

)(' af

. này không song song với trục 0y và có hệ số góc là

f không khả vi tại a mà tồn tại

)(' a

)(' aft

f p

và . Lúc đó gọi điểm Trường hợp

afaA

(

∈))

fC ,và hai bán tiếp tuyến tại A không song song với nhau.

là điểm góc của

f a ( )

(

−

→ + ∞ hoặc −∞ +→ h 0

f a h ) + h

f a ( )

(

−

Trường hợp f không khả vi tại a nhưng có

afaA

(

))

fC có một

→ + ∞ hoặc −∞ thì tại −→ h 0

f a h ) + h

đường cong hoặc

bán tiếp tuyến song song với Oy. Hình 2.2. mô tả các nội dung trên.

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

f a ( )

H.2.2

2.1.1.4. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm

)(tr

Cho chất điểm chuyển động tại thời điểm t được định vị bởi véc tơ bán kính

(cid:71) r t ( )

(Xem hình 2.3.)

H.2.3

)(tr

r =

là phương trình chuyển động của chất điểm. Gọi

tr (

)

t 1,t

tr ( 1

tr (

)

véc tơ bán kính của chất điểm là Giả sử tại thời điểm

vTB

2 t

− −

r Δ t − 1

tr )( 1 t 1

Gọi là vận tốc trung bình từ thời điểm 1t đến 2t

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

)( 1tv

2 →− t 1

(cid:71) r t (

)

(cid:71) v t ( ) 1

(cid:71) • r t ( ) 1

lim t t → 1

2 t

− −

(cid:71) r t ( ) 1 t 1

Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm 1t sẽ là giới hạn của tỉ số trên khi

Vậy vận tốc tức thời của chất điểm chính bằng đạo hàm của véc tơ bán kính theo thời gian t.

2.1.1.5. Ý nghĩa của đạo hàm đối với các bài toán kinh tế

f x ( )

Xét mô hình hàm số:

Q f L ( ) = sử dụng thêm một đơn vị lao động

Trong đó x và y là các biến số kinh tế (ta coi biến độc lập x là biến số đầu vào và biến số phụ thuộc y là biến số đầu ra). Trong kinh tế học người ta quan tâm đến xu hướng biến thiên của biến 0x khi biến độc lập x thay đổi một lượng nhỏ. Chẳng hạn, khi xét mô phụ thuộc y tại một điểm người ta thường quan tâm đến số lượng sản phẩm hiện vật tăng thêm khi hình sản xuất

)

1xΔ = suy ra

y Δ ≈

x 0(

x biểu diễn 0(

0x và khi

Khi hàm số khả vi tại . Như vậy, đạo hàm

)

x là giá trị y – cận biên của x tại điểm 0(

các nhà kinh tế gọi xấp xỉ lượng thay đổi giá trị của biến số y khi biến số x tăng thêm một đơn vị. Trong kinh tế học, 0x . Đối với mỗi hàm kinh tế, giá

trị cận biên có tên gọi cụ thể như sau:

• Đối với mô hình hàm sản xuất

Q f L ( ) =

f L được gọi là sản phẩm hiện vật cận biên

)

thì

0L . Sản phẩm hiện vật cận biên của lao động được kí

của lao động tại

/ ( ) f L

LMPP (hiệu là Marginal LMPP cho biết xấp xỉ lượng sản

LMPP phẩm hiện vật gia tăng khi sử dụng thêm một đơn vị lao động.

. Tại mỗi điểm L, Physical Product of labor):

TR TR Q

(

)

TR Q gọi là doanh thu cận biên tại điểm

)

(

• Đối với mô hình hàm doanh thu

thì

MR TR Q

)

/ (

0Q . Doanh thu cận biên được kí hiệu là MR (Marginal Revenue): sản lượng Q, MR cho biết xấp xỉ lượng doanh thu tăng thêm khi xuất thêm một đơn vị sản phẩm. Đối với doanh nghiệp cạnh tranh ta có:TR pQ MR p

= ⇒ = (p là giá sản phẩm trên thị trường).

. Tại mỗi mức

TC TC Q

(

)

TC Q được gọi là chi phí cận biên tại điểm

(

)

• Đối với mô hình hàm chi phí

thì

MC TC Q

)

/ (

0Q . Chi phí cận biên được kí hiệu là MC (Marginal Ccst)): lượng Q, MC cho biết xấp xỉ lượng chi phí tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm

. Tại mỗi mức sản

C Y được gọi là xu hướng tiêu dùng cận biên tại

)

C C Y ( ) =

• Đối với hàm tiêu dùng

thì

0Y . Xu hướng tiêu dùng cận biên được kí hiệu là MPC (Marginal Propensity to Consume): / ( ) MPC C Y = thêm $1 thu nhập.

. Tại mỗi mức thu nhập Y, MPC là số đo xấp xỉ lượng tiêu dùng gia tăng khi có

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

5Q =

Chẳng hạn, hàm sản xuất của một doanh nghiệp là . Ở mức sử dụng L = 100 đơn vị

lao động (chẳng hạn 100 giờ lao động một tuần), mức sản lượng tương ứng là Q = 50 sản phẩm. Sản phẩm cận biên của lao động tại điểm L = 100 sẽ là:

0, 25

LMPP Q

(khi L = 100)

Điều này có nghĩa là khi tăng mức sử dụng lao động hàng tuần từ 100 lên 101 thì sản lượng hàng tuần sẽ tăng thêm khoảng 0,25 đơn vị hiện vật.

2.1.2. Các phép tính đại số của các hàm khả vi tại một điểm

Định lí 2.1: Cho f và g khả vi tại a khi đó:

(

a )()'

af )('

ag )('

f + khả vi tại a và

a )()'

af )('

∀ ∈(cid:22) ,

f λ λ

( f λ

. λ

2. khả vi tại a và

gf .

(

gf .

a )()'

agaf ). )(

agaf )(' ).

(

agaf ). )('

(

khả vi tại a và 3.

a )(

≠ag )(

f g

agaf )( ). − 2 )( ag

f g

⎛ ⎜⎜ ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

4. Nếu thì khả vi tại a và .

Định lí 2.2: (Đạo hàm của hàm hợp).

(cid:22)

(cid:22) với

f X :

g Y :

Xf (

a X ∈

→

⊂)

)(af

Cho . Nếu f khả vi tại a và g khả vi tại

thì hàm hợp gof khả vi tại a và

(

gof

a )()'

af ('

( afg

) .)(

(2.1)

Định lí 2.3: (Đạo hàm của hàm ngược).

Xa ∈ và

:f X →(cid:22) đơn điệu ngặt và liên tục trên X khả vi tại

≠af )('

Giả sử

1 : −

f X (

)

)(af

→(cid:22) khả vi tại

'1 −

và Khi đó hàm ngược của f là

af )(

)

)(

1 af )('

(2.2) (

C là đồ thị của hàm

1−f

( , afaA

) ∈)(

1−f

Nếu gọi thì các tiếp tuyến tại và

aafA (

(

)

C −∈ f

đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ I và III

Hình 2.4. mô tả điều đó

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

C − 1f

'( ) 0 f a ≠

'( ) 0 f a =

H.2.4

2.1.3. Đạo hàm trên một khoảng (ánh xạ đạo hàm)

f ∈(cid:22) khả vi tại mỗi điểm

a b∈ ( , )

⊆(cid:22)

A.Định nghĩa: Cho

' : ( , )

a b →(cid:22)

x (cid:54)

)(' x

Kí hiệu ánh xạ

)(xf

)(' xf

trên (a,b) thường kí hiệu hay là ánh xạ đạo hàm hay đạo hàm của

)(xf

ba ⊆),(

(

ba ),(

x ∈∀

df dx

. Cũng nói rằng khả vi trên

B.Các tính chất

Các định lí dưới đây suy ra một cách dễ dàng từ các định lí ở mục 3.12.

f g X →(cid:22) khả vi trên X , (tức là ,

=),( ba

Định lí 2.4: Cho ) khi đó.

(

f + khả vi trên X và

' +

∀ ∈(cid:22) ,

f λ λ

f λλ = ( f )'

(2.3) 2. khả vi trên X và

gf .

(

gf .

gf '

3. khả vi trên X và

≠xg )(

f g

gf ' − 2 g

⎛ ⎜⎜ ⎝

⎞ =⎟⎟ ⎠

4. trên X thì khả vi trên X và

,...,

Bằng một phép qui nạp đơn giản, nhận được:

f 1

khả vi trên X thì Nếu n ∈ (cid:178) * và

∑

1 =

⎛ ⎜ ⎝

' ⎞ =⎟ ⎠

khả vi trên X và ∑

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

...

' k

1 −

1 +

∑

∏

1 =

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

khả vi trên X và ∏

( Xf

)

X f ∈(cid:22) và

g ∈(cid:22) . Nếu f khả vi trên X và g khả vi trên

Định lí 2.5: Cho thì gof khả

vi trên X và

(

)

ofg '(

gof = )'

(2.1’)

(

)(

)

h '(

ogof

ofg '

hogof =

Mở rộng

f ∈(cid:22) đơn điệu ngặt trên X , khả vi trên X và

≠xf )('

Định lí 2.6: Cho trên X khi đó

1−f

( Xf

)

khả vi trên và

(

1 =− )'

1 f

(2.2’)

2.1.4. Đạo hàm của các hàm số thông thường

A. Hàm số mũ

f x ( )

f ,

→(cid:22) (cid:22) :

x h +

(

f x ( )

−

Cho

→

f x h ) + h

− h

(nhờ vào công thức (1.6))

(

x e =)'

(2.4) Vậy hàm mũ khả vi trên (cid:22) . Đặc biệt

* +

B. Hàm số lôgarit

f x ( )

log

y f ,

∈ (cid:22)(cid:22) . Hàm ngược

x =

Cho

y =⇒

1 ln

(2.5)

ln=

1 x

thì Đặc biệt

* +

(cid:22) lấy logarit cả 2 vế sẽ có

C. Hàm luỹ thừa

f x ( )

(cid:22) ,

α α x y

∈

∈ (cid:22)

ln α= y

Cho

Sử dụng đạo hàm của hàm hợp ta có

=⇒=

1 αα − x

' y y

1 x

(2.6)

1−αx

0≤x

1 − ααx

Trường hợp xác định thì ta vẫn có tuỳ theo α để biểu thức

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

(cid:22)

D. Hàm lượng giác

f x ( )

sin ,

x f

[ ∈ −

] 1,1

sin(

sin

−

sin

cos

hx ) + h

cosh h

sinh h

sin2

h 2

sin

cos

sinh h

2sin

h 2

Cho

→ 0 h →

0 → 0 h →

sinh h

Theo công thức (1.1) suy ra

x cos ,

∀ ∈(cid:22)

(2.7) Vậy (sin ) '

)( xf

cos

Tương tự có thể chỉ ra cũng khả vi trên (cid:22)

cos

sin

(cos

sin

π 2

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⇒⎟ ⎠

⎛ cos ⎜ ⎝

⎞ −=⎟ ⎠

(cid:22)

(2.8) và

∈

, k π

π ⎧ ⎨ 2 ⎩

⎫ (cid:28) và ⎬ ⎭

cos

suy ra tgx khả vi trên

( tgx

1 +=

sin cos

x x

x + 2 cos

sin x

1 2 cos

⎛ ⎜ ⎝

' ⎞ =⎟ ⎠

(2.9)

(cid:22)

kπ ∈ ,k

{

} (cid:28) và

cotgx khả vi trên

(cot

cot

2 xg

)

−=

1( +−=

1 2 sin

. (2.10)

]1,1 −

E. Hàm lượng giác ngược

xf )(

arccos

fy ,

)(xf

∈

)1,1(−

[ ,0

][ π

ta sẽ chứng minh khả vi trên . Cho

cos

sin

cos

−=

−

,0( π∈y )

xy .

vì Thật vậy hàm ngược của nó

(arccos

−=

cos

−

(2.11) Vậy

(arcsin

−

Tương tự (2.12)

arctgx

(

1 x +

(2.13)

arc

(

cot

−=

1 x +

(2.14)

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

F. Hàm cho theo tham số

f ∈(cid:22) dưới dạng tham số

: (

y ,

, ) α β

→

→(cid:22)

Cho

x y

)( t t )(

ϕ ψ

) ,( βα

= =

∈

t víi

⎧ ⎨ ⎩

Cụ thể

yx,

)(1 x

−= ϕ khả vi và

)(' tϕ khác không trên T,

Nếu khả vi trên T, tồn tại hàm ngược

thì theo công thức tính đạo hàm của hàm số ngược và hàm số hợp sẽ nhận được

dy dx

t )(' )(' t

ψ ϕ

(2.15)

v x ( )

u x

v u u ,

( ) 0, >

G. Đạo hàm lôgarit

Nếu f có dạng tích của các nhân tử với số mũ cố định hoặc ( ) f x thì ta có thể xét đạo hàm logarit của f tương tự như hàm luỹ thừa trong mục C hoặc hàm số mũ

trong mục A. Sau đó sử dụng định lí đạo hàm của hàm hợp.

xvxu ),

(

x )(

=)(

γβα ωvu

,α β γ∈(cid:22) còn các hàm

ω khả vi trên

xf X và luôn dương trên X . Khi đó.

xf )(

ln ωγ

Thật vậy trong đó

γβα

f f

u ' u

v ' v

' ω ω

xf )('

xf )(

⇒

u ' u

v ' v

' ω ω

⎛ γβα ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

(2.16)

+ γ

)( xf

α e

Hoặc có thể biểu diễn

Các cách tính đạo hàm thông qua công thức đạo hàm của hàm lôgarit gọi là đạo hàm lôga.

(cid:22)

y C const =

x ∀ ∈

' 0 =

x ∀ ∈

(cid:22)

α x

x X

∈

∀ ∈

x X ∀ ∈ ⊂

, α

1 α − α x

(cid:22)

sin

cos

x ∀ ∈

(cid:22)

cos

x sin

x ∀ ∈

= −

x ∀ ∈

(cid:22)

(cid:28)

(cid:22)

(cid:28)

tgx

2 tg x

k , π

, k π

x ∀ ∈

∈

1 = +

x ∀ ∈

∈

1 2 cos

π ⎧ ⎨ 2 ⎩

⎫ ⎬ ⎭

π ⎧ ⎨ 2 ⎩

⎫ ⎬ ⎭

H. Bảng các đạo hàm của các hàm số thông dụng

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

(cid:22)

cot

y ,

(1 cot

2 g x

)

x ∀ ∈

∈

= −

= − +

x ∀ ∈

∈

, k π

{

} (cid:28)

{

} (cid:28)

1 2 sin

(cid:22)

x ∀ ∈

log

x ∀ ∈

* (cid:22) +

1 ln

)1,1(

arcsin

−∈∀

[ −∈∀

] 1,1

−

)1,1(

arccos

−=

−∈∀

[ −∈∀

] 1,1

−

(cid:22)

arctgx

x ∀ ∈

1 x +

(cid:22)

arc

cot

x ∀ ∈

= −

x ∀ ∈

1 x +

sin

≠

Ví dụ 1: Hãy tính đạo hàm tại 0 của các hàm số sau (nếu có)

xf )( 1

1 ⎧ ⎪ x ⎨ ⎪⎩ 0

1 3

xf )( 2

2 3

xf )( 3

sin

(0)

f h ( ) 1

f 1

1 h

Giải:

sin

'(0)

1 0 → = h → 0 h

− h

1 3

(0)

f h ( ) 2

)(2 xf

= → + ∞ , 0 h →

− h

h h

1 2 3

2 3

(0)

f h ( ) 3

2. không khả vi tại 0

= → + ∞ +→ 0

− h

h h

1 1 3

)(3 xf

→ − ∞ , −→ h 0

không khả vi tại 0

Ví dụ 2: Tính đạo hàm, vẽ đồ thị của hàm số và đạo hàm của nó các hàm sau đây.

y =

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

ln=

Giải:

)(' xy

x ,

≤

Trước hết ta hãy tính

x x

2 , x x − 2 , x

, x

≥

⎧ ' y ⇒ = ⎨ ⎩

⎧− ⎪ = ⎨ 2 ⎪⎩

−

)0('

=⇒=

0 ,

0 .

y t

lim −→ x 0

x x

)1( −

trên (cid:22)

y =⇒

'=⇒ y

* x ∈(cid:22)

0 0

< >

) x − x x

1 x

ln( ⎧ ⎨ ln ⎩

1 x − 1 x

⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

2. với

-1

Hình 2.5. mô tả các đồ thị của y và y’

H.2.5

1ln(

)

arctgt

t −=

⎧ ⎨ ⎩

−

)

Ví dụ 3 : Tính đạo hàm 'xy của hàm số

y x

t 2

dy dx

− 1ln(

( td d

arctgt 2 ) t +

1 1 t + 2 t t +

Giải:

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

2.2. VI PHÂN CỦA HÀM SỐ

2.2.1. Định nghĩa vi phân tại một điểm

)(adf

Xa ∈ . Vi phân của f tại a kí hiệu

∈(cid:22)

khả vi tại xác định bởi công Cho

thức

)( adf

). haf

(2.17) với h ∈(cid:22)

)(adf

là một hàm tuyến tính của h Vậy

'( ) 1,

.1= h

=)(

= ∀ ∈(cid:22) vậy

Xét hàm số trên R ,

)( adf

(' af

dy a ( )

f a dx '( ).

Từ đó cũng thường kí hiệu hoặc

)(xf

Hệ quả: Để khả vi tại a điều kiện cần và đủ là tồn tại hằng số λ∈(cid:22) và một

)(hα tại 0 sao cho

VCB

(

)

af )(

h )(

haf +

−

hh αλ +

)(' af=λ

đồng thời .

)(xf

)(' af

(

)( af

−

Thật vậy khả vi tại a khi và chỉ khi tồn tại

af )('

lim h 0 →

) haf + h

f a ( )

(

−

nghĩa là

f a '( )

h ( )

−

0 → h 0 →

f a h ) + h

(

)

af )(

hhaf ).

h )(

haf +

−

α+

hay

λ=)(' af

Vậy

Tương tự như đạo hàm tại một điểm, ta nhận được tính chất đại số của vi phân.

Xa ∈ thì

f g ∈(cid:22) và khả vi tại ,

Định lí 2.7: Nếu

)

fd (

ag )(

adf )(

adg )(

)(

)

adf )(

afd ( λ

2. với λ∈(cid:22)

(

( )

(cid:68) d f g a )( )

f a dg a ( )

g a df a ( )

≠ag )(

a )(

adfag )(

)(

adgaf

)(

−

(

))(

f g

1 2 ag )(

⎛ ⎜⎜ ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

khi 4.

Chú ý:

(

)

af )(

x =Δ

haf +

−

Δ=

là số gia của hàm số ứng với số gia đối số . Vậy nếu

khả vi tại a thì với h khá bé sẽ có công thức tính gần đúng số gia của hàm số • )(xf

adf )(

(

)

f a ( )

df a ( )

f a h +

≈

af )( ≈Δ

. Từ đó nhận được

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

)(af

• Xét hàm hợp gof . Nếu f khả vi tại a và g khả vi tại theo định lí 2 thì gof khả vi

tại a. Tức là

a ( )

gof

'( )

a h

f a ( )

f a h '( )

( )

( d gof

)

(

)

(

)

(

) f a df a ( )

Như vậy dù x là biến độc lập hay biến phụ thuộc thì dạng vi phân đều giống nhau.

Người ta nói vi phân cấp 1 có tính bất biến.

2.2.2. Vi phân trên một khoảng

),( ba

ba ⊆),(

f ∈(cid:22) khả vi trên

Cho . Vi phân của hàm số trên được xác định theo

công thức

)( xdf

). hxf

),( ba

x ∈

với .

Tương tự như định lí trên, ta nhận được định lí sau đây.

gf ,

),( ba

Định lí 2.8: Nếu khả vi trên thì trên khoảng đó cũng thoả mãn các hê thức sau.

)

fd (

xg )(

xdf )(

xdg )(

)(

)

xdf )(

fd ( λ

(

( )

(cid:68) d f g x )( )

f x dg x ( )

g x df x ( )

≠xg )(

)( x

xdfxg )(

)(

xdgxf

)(

−

(

))(

f g

1 2 xg )(

⎛ ⎜⎜ ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

4. khi

sin

'40

Ví dụ 4: Tính gần đúng

Giải:

sin

cos

x )('

)( =

, ta có Đặt

'40

π 3

.40 .60

ππ = 180 270

Chọn , khi đó

sin

'40

sin

cos

.60

≈

πo 270

Theo công thức xấp xỉ ta có:

.

866,0

006

872,0

≈

3 2

1 2

π 270

Ví dụ 5: Một hình cầu bằng kim loại bán kính R , khi nóng lên bán kính nở thêm một đoạn RΔ .

Tính thể tích mới của hình cầu một cách chính xác và gần đúng.

5 cm ,

1,0

R =Δ

Áp dụng bằng số

Giải:

Công thức tính thể tích V của hình cầu là:

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

4 R π= 3

R Δ+

Sau khi giãn nở, bán kính hình cầu là , thể tích mới của hình cầu tính chính xác

868,176

)

V =Δ+

Δ+

)1,05( +

( π

là:

π

4 3

V ≈Δ

( Số gia của thể tích gần bằng vi phân) và khi đó Nếu tính gần đúng, ta xem :

4 π 3

'. R =Δ

4 R π

. Δ

R 2 1,0.5.4 π

thể tích xem như hàm số của đối số R . Vậy:

cm π

,166

666

R π

5 π

Thể tích ban đầu của hình cầu:

π

4 3

,176

666

≈Δ+

Vậy thể tích mới của hình cầu tính gần đúng là:

π

868,176

,176

666

202

−

Sai số tuyệt đối trong bài toán này là:

cm π

0011

202 π 868,176 π

Như vậy sai số tương đối là:

2.3. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO

2.3.1. Đạo hàm cấp cao

A.Định nghĩa

)(' xf

khả vi tại 1. Cho f khả vi trên X , nếu

Xa ∈ thì nói rằng f có đạo hàm cấp 2 tại f n )()( a

)(xf

. Tương tự đạo hàm cấp n của tại a, kí hiệu là a và kí hiệu đạo hàm đó là

)(" af f n − (

)()1 x

chính là đạo hàm của hàm tại a.

f n )()( x

2. Nói rằng trên khả vi đến cấp n (hay n lần) trên X khi và chỉ khi tồn tại

X ,

f n − (

)()1 x

)(xf f n )()( x

n ∈(cid:178) trong đó

là đạo hàm của

)(xf

3. Nói rằng khả vi vô hạn lần trên X khi và chỉ khi khả vi mọi cấp trên X , .

)()0( x

xf )(

Sau đây thường kí hiệu

Chú ý:

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

,p q∀

∈(cid:178) sao cho

≤+

)

(

()

(

)

qp +

ta có • Nếu f khả vi đến cấp n trên X thì

)

(

)(nf

( −nf )1

thường chứa trong tập xác định của • Tập xác định của

B.Định lí 2.9:

(cid:22)

, ,

f g

(cid:22) , n ∈(cid:178)* khả vi n lần trên X , khi đó trên X có các hệ thức sau đây

∈

λ∈

n )(

Cho

)

n )(

f λ

1. (

) n )( λ =

)( n

(

)

(

)

kn −

2. (

k fC n

) ∑ =

gọi là công thức Leibnitz 3. (

≠xg )(

f g

4. trên X thì khả vi n lần trên X

2.3.2. Vi phân cấp cao

A.Định nghĩa

). ha

Xa ∈ thì biểu thức

gọi là vi phân cấp n tại a kí 1. Nếu f khả vi đến cấp n tại

)(afd n

n )( afd

)( ha

n )( afd

)( dxa

)(= n f

()( n f )(= n f

hiệu là . Vậy là hay

2. Nếu f khả vi đến cấp n trên X thì vi phân cấp n của f trên X được kí hiệu là

Xxxfd n

(

∈),

n ( )

)( n

và xác định theo công thức sau

)( hx

)( dxx

n d y x ( )

x dx ( )

∈∀

xfdXx , )(

hoặc

B.Công thức tính vi phân cấp cao

Từ định lí về đạo hàm cấp cao, trực tiếp nhận được các công thức tính vi phân cấp cao

dưới đây

gf ,

Định lí 2.10: Nếu khả vi đến cấp n trên X thì khi đó

(

n fd

n gd

+ ) g

(cid:22)

d ,

n d f

∈

( ) λ λ =

kn −

2. Với

(

). gf

k . dfdC

k n

∑

≠xg )(

f g

4. Nếu thì có vi phân đến cấp n.

Chú ý:

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

)(n

d n

f g

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎛ ⎜⎜ ⎝

cũng như . • Không có công thức tổng quát cho

xf )(

3 fgx , (

)

2 f ⇒=

( xfg )(

)

5 x dx

4 x dx

⇒

( dg f x ( )

)

( d g f x ( )

)

• Tính bất biến của vi phân bị phá vỡ khi lấy vi phân cấp cao (từ 2 trở lên), Ví dụ sau sẽ chứng tỏ điều đó. Cho hàm hợp gof , trong đó

fdf

)

⇒

( dg f

)

( d g f

)

Mặt khác

2 dxx

2 fgd (

)

4 dxx

⇒

≠

mà

f x ( )

∈(cid:22) , m ∈(cid:178)

Ví dụ 6: Cho

f n )()( x

Tính với n ∈ (cid:178)

1 −

−

xf )('

x )("

mm (

...

−

km −

k )()( x

( mm

1 )...(

−

+−

Giải:

nm −

mm (

1 )...(

−

+−

)()( n x

mn < nÕu mn = nÕu mn > nÕu

⎧ ⎪ m ! ⎨ ⎪ 0 ⎩

Chứng tỏ

)( xf

sin

n ( )

(cid:22)

x ( )

sin

Ví dụ 7: Chứng minh nếu thì

x ∀ ∈

π 2

⎛ x n +⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

, n ∈ (cid:178) *

Giải:

(sin

cos

sin

π 2

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

Trường hợp n =1. Đúng

n )(

(

sin

(

)( x

nx +

π 2

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ =⎟ ⎠

⎛ cos ⎜ ⎝

⎞ ⇒⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

Giả sử công thức đúng với n

nx ( ) (cos )

cos

Tương tự cũng nhận được

x n +

x ∀

π 2

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

n∀ ∈(cid:178)

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

)( xf

sin

2= x

Ví dụ 8: Tính đạo hàm cấp 100 của hàm số

100

100(

)

100(

)

−

x )(

(

(2 )

(sin

)

k xC 100

∑

100(

)

100(

)

)99(

)98(

x )(

(sin

)

(

(sin

)

(

(sin

)

0 xC 100

1 xC 100

2 xC 100

9900

sin(

200

sin

) π

99 π 2

⎞ +⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

sin2

200

cos

9900

sin

−

Giải: Áp dụng công thức Leibnitz

: ( 1,1)

− →(cid:22)

Ví dụ 9: Cho

f n )()( x

)( xf

(

3 x

2 x + 2 ()1 −

hãy tính

)(xf

−

xf )(

1 4

(

1 4

1 −

1 +

5 2

)( n

−

)1.( −

− )1.(

n − .)1.(

x )(

(

1 4

n ! )1 −

n ! )1 +

n + ( )!1 2 n + x − )1

(

1 4

5 2

Giải: Phân tích thành các phân thức tối giản

2.4. CÁC ĐỊNH LÍ VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH

2.4.1. Định lí Phéc ma (Fermat)

A. Điểm cực trị của hàm số

Xa ∈ khi và chỉ khi tồn tại

f ∈(cid:22) . Gọi hàm số đạt cực trị địa phương tại

a ⊂)(δΩ

Cho

xf )(

af )(

xf )(

af )(

−

≥

−

≤

)(a

δΩ∈∀

hoặc . để

Trường hợp thứ nhất xảy ra nói rằng f đạt cực tiểu địa phương tại a, trường hợp sau nói

rằng f đạt cực đại địa phương tại a.

xf )(

af )(

xf )(

af )(

−

Nếu chỉ có hoặc nói rằng hàm số đạt cực trị địa

phương ngặt tại a.

B. Định lí Fermat

)(xf

=af )('

Định lí 2.11: Nếu khả vi tại a và đạt cực trị địa phương tại a thì

)(a

xf )(

af )(

−

≤

)(aδΩ sao cho

δΩ∈∀

Chứng minh: Theo giả thiết tồn tại ta có

(Ta đã giả thiết hàm đạt cực đại địa phương)

)(a

* h∀ ∈(cid:22) sao cho

δΩ∈+

sẽ có

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

(

)( af

−

0 ⇒>

≤

(

)( af

−

0 ⇒<

≥

) haf + h ) haf + h

⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

0→h

⇒ af )('

af )(' )(' af

0 0

≤ ≥

⎧ ⎨ ⎩

sẽ có Chuyển qua giới hạn khi

Hàm đạt cực tiểu địa phương cũng được chứng minh tương tự

Chú ý:

• Sau này thường nói rằng hàm đạt cực trị tại a theo nghĩa là đạt cực trị địa phương tại a.

)(xf

xác định

• Nếu hàm đạt cực trị tại a thì a phải là điểm trong của X . Như vậy nếu trên [a, b] thì không có khái niệm đạt cực trị tại đầu mút a và b, có chăng chỉ nói về các đạo hàm trái tại b và phải tại a.

)(xf

khả vi phải và trái tại a và • Định lí Fermat có thể phát biểu tổng quát hơn: Nếu

đạt cực đại (cực tiểu) tại a thì

)('

≤a

≥aft )('

f p

và

(

)('

≥a

≤aft )('

f p

và )

• Hàm số có cực trị tại a chưa chắc khả vi tại a

f x ( )

f 0,

x ∀ ≠

( ) 0

Chẳng hạn có cực tiểu chặt tại 0 vì .

f h ( )

(0)

Tuy nhiên không khả vi tại 0 vì

0→h

− h

h h

không có giới hạn khi

=af )('

≤

0 víi

chưa chắc đạt cực trị tại a, chẳng hạn • Hàm số khả vi tại a và

xf )(

)0('

≥

0 víi

⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩

có tuy nhiên Vậy nó không có cực trị tại 0.

[

],a b

2.4.2. Định lí Rôn (Rolle)

f ∈(cid:22) thoả mãn.

Định lí 2.12: Cho

1. f liên tục trên [a, b]

2. f khả vi trên (a, b)

af )(

bf )(

),( ba

c ∈

=cf )('

. Khi đó tồn tại sao cho 3.

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

f a ( )

f b ( )

a c

H.2.6

Chứng minh:

)(xf

sẽ đạt giá trị nhỏ nhất m và lớn Theo tính chất của hàm liên tục trên [a, b] thì

nhất M trên [a, b]

xf )(

xfMin )( [ ] ba ,

xfMax )( [ ] ba ,

Inf [ ] ba ,

Sup [ ] ba ,

;

xf )(

const

xf )('

ba ),(

⇒

0 ∈∀=

Nếu m = M thì

af )(

bf )(

)(afM =

)(bfm =

nên không có đồng thời và hoặc Nếu m < M, vì

. Chứng tỏ hàm đạt giá trị nhỏ nhất m hoặc lớn nhất M tại điểm và

xf )(

cf )(

xf )(

≥

=cf )('

)(afm = c ∈ ),( ba

)(bfM = cf )( ≤

hoặc theo định lí Fermat thì Tức là

Chú ý:

• Định lí Rolle có thể minh hoạ hình học như sau :

),( ba

c ∈

( , cfcM

) ∈)(

fC song

Tồn tại ít nhất một điểm với tại đó tiếp tuyến của

song với trục 0x. Xem hình 3.6.

),( ba

)

c ∈

)1,0(∈θ

a ab ( += θ −

tương ứng số sao cho • Điểm

[

],a b

2.4.3. Định lí số gia hữu hạn. (định lí Lagơrăng (Lagrange))

f ∈(cid:22) thoả mãn:

Định lí 2.13: Cho

1. liên tục trên [a, b]

),( ba

c ∈

để có 2. khả vi trên (a, b). Khi đó tồn tại

bf )(

af )(

cfab )(' ( )

−

(2.18)

Chứng minh:

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

f b ( )

f a ( )

[

],a b

x ( )

f x ( )

−

x a −

ϕ∈(cid:22) xác định bởi

)(xϕ liên

(

)

− b a −

Xét hàm Rõ ràng

a )(

b )(

af )(

),( ba

c ∈

=ϕϕ

. Theo định lí Rolle tồn tại sao tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) và

=cϕ )('

)( bf

)( af

)(' cf

−

)(' cϕ

− ab −

)( bf

)( af

cho

)

bf )(

af )(

abcf )(

−

)(' cf

− ab −

hay Suy ra

). hcf

af )( =Δ

),1,0(

∈

a +=

h θ

trong đó Như vậy

Chú ý:

Định lí Lagrange có thể minh hoạ hình học như sau :

),( ba

c ∈

( , cfcM

) ∈)(

với mà tiếp tuyến tại đó song song Tồn tại ít nhất một điểm

( afaA , )(

) ,

( bfbB ,

))(

với đường thẳng AB, trong đó . Xem hình 2.7.

a b ( , )

Hệ quả 1: (Định lí giới hạn của đạo hàm )

a b f ( , ),

∈

∈(cid:22)

x 0

thoả mãn: Cho

)(xf

liên tục tại 1.

)(xf

ba \),(

{ }0 x

2. khả vi trên

)(' xf

)(' x

0x và

lim x x →

3. liên tục tại . Khi đó f khả vi tại

Chứng minh:

,0 >∃>∀

)(' x

lim x x →

\),( ba

)(' x

x ∈∀

−

l <−

η ⇒<

: 0

{ } x 0

x 0

nên sao cho Vì

)

]0, xx

0xx ,(

cx ∈

, như vậy tồn tại sao cho Áp dụng định lí Lagrange trên [

xf )(

)

(

)

−

xf ( 0

x 0

xcf ('

−

η<

x 0

)

và đương nhiên

(' cf

l =−

ε<−

x )

)( xf x

− −

( xf 0 x 0

Từ đó suy ra

)(' xf

(' xf 0

0x .

Điều này chứng tỏ và từ điều kiện của định lí suy ra liên tục tại

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

f b ( )

f a ( )

H.2.7

Chú ý:

[

],a b

Chúng ta nhận được định lí tương tự đối với đạo hàm trái hoặc phải

f ∈(cid:22) thoả mãn:

Hệ quả 2: Cho

1. f liên tục phải tại a

(

)( af

−

2. f khả vi trên (a,b)

)(' x

)(' a

lim +→ a x

lim +→ 0 h

) haf + h

( , )a b

3. khi đó có

f ∈(cid:22)

thoả mãn. Hệ quả 3: Cho

ba ),(

x ∈ 0

1. f liên tục tại

ba \),(

{ }0 x

)

2. f khả vi trên

x )('

)

+∞=

−∞

+∞=

−∞

lim x x →

)( xf x

− −

( xf 0 x 0

khi đó 3.

[

], a b

2.4.4. Định lí số gia hữu hạn suy rộng (Định lí Côsi(Cauchy))

f g ∈(cid:22) thoả mãn: ,

Định lí 2.14: Cho

gf ,

liên tục trên [a, b] 1.

gf ,

khả vi trên (a, b) (2.19) 2.

xg )('

ba ),(

),( ba

x ∈∀

c ∈

0 ≠

bf )( )( bg

af )( )( ag

cf )(' )(' cg

− −

. Khi đó tồn tại để có 3.

Chứng minh: 57

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

ag )(

bg )(

ag )(

bg )(

≠

Trước hết thấy ngay , vì nếu , theo định lí Rolle suy ra tồn tại

),( ba

c ∈

=cg )('

[

],a b

để , vô lí theo giả thiết.

ϕ∈(cid:22) cho bởi

)( xg

)( xf

)( af

−

)( x =ϕ

−

(

))( ag

)( bf )( bg

)( af )( ag

− −

Xét hàm số

),( ba

0)('

c ∈

=cϕ

để , Hàm ϕ thoả mãn các điều kiện của định lí Rolle nên tồn tại

)(' cg

)(' cf

−

bf )( bg )(

af )( )( ag

cf )(' )(' cg

)( bf )( bg

)( af )( ag

− −

tức là hay

Chú ý:

=)(

• Thấy ngay rằng định lí Lagrange là trường hợp riêng của định lí Cauchy (lấy trên [a, b] )

af )(

bf )(

). • Định lí Rolle là trường hợp riêng của định lí Lagrange (cho

2.5. ỨNG DỤNG CÁC ĐỊNH LÍ VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH

2.5.1. Công thức Taylo (Taylor), công thức Maclôranh (McLaurin)

A.Định nghĩa

deg

Xa ∈ . Gọi đa thức

≤)(

)(xPn

xPn

với 1. Cho hàm f khả vi đến cấp (n + 1) tại

)

(

)

)( a

( P n

thoả mãn điều kiện

)(xf

tại lân cận điểm a, hay là phần chính qui của khai triển hữu là đa thức Taylor của

)(xf

hạn bậc n tại a của

)(xf

)(xPn

2. Nếu a = 0 thì gọi là đa thức McLaurin của

B.Định lí 2.15:

)(xf

)(xPn

)( n

(

)

(

)

af )(

ax −

... ++

ax −

xP )( n

a )( n !

af )(' !1

Nếu là đa thức Taylor của tại lân cận của a thì nó là duy nhất và có dạng

Chứng minh:

)(

)(xQn

xQxP )( − n

Giả sử tồn tại đa thức thứ hai là khi đó hiệu là đa thức có

x = bội n + 1, chứng tỏ

xP )( n

xQ )( n

bậc không vượt quá n và có nghiệm

(

)

axA

(

)

−

... ++

−

A 0

axA 1

)( xP n

Đặt

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

k )(

)

(

)

,...,1,0

)

a )(

(

( P n

Ak ! k

A =⇒ k

a )( !

(

)

(

)

ax −

)( xP n

∑

)( a !

Chứng tỏ

C.Công thức Taylor

)(xf

)(xPn

Cho là đa thức Taylor của tại lân cận của a

xf )(

)(xf

−

xr )( n

xP )( n

1. Gọi là phần dư Taylor bậc n tại a của

)(xrn

(

Hệ quả: Phần dư có dạng:

(

)

xa ),(

ax −

c ∈

xr )( n

f (

c )( )!1

với (2.20)

a +=

ax −

( θ

tức là , gọi là phần dư trong dạng Lagrange

Chứng minh:

...

a )(

ar )( n

ar )(' n

)( n r n

Rõ ràng

xG )(

(

)

aG )(

' aG )(

...

)( n aG )(

( G n

)()1 a

(

)!1

ax −

⇒

Đặt và

)(a

x ≠ và a

δΩ∈

, theo định lý Cauchy sẽ có Với

xa ),(

c ∈ 1

xr )( n )( xG

) )

xr ar )( )( − n n aGxG )( )( −

' crn ( 1 ' ( cG 1

)

∈

c , 2

a c ( , 1

) )

' ( ) r a n G a '( )

) )

− −

' r c ( n 1 ' G c ( 1

' r c ( n 1 G c '( 1

c r "( n 2 G c "( 2

= ,

Sau (n +1) lần áp dụng định lí Cauchy, kết quả sẽ là

)

xa ),(

∈

⊂

... ⊂⊂

ca ,( n

1 −

(

xr )( n )( xG

( r n G

c )( )1 )( c

(

với

c )(

(

Gc ),

c )(

(

)!1

( r n

(

mà

(

)

ax −

xr )( n

f (

c )( )!1

(

)

(

))

ax −

1 +

. Suy ra

(

)

(

)

)( xf

ax −

∑

)( a !

( ( a θ + ( )!1 n +

(2.21) 2.

)(xf

(

)

(

)

1 +

Được gọi là công thức Taylor bậc n, hay khai triển hữu hạn bậc n hàm tại lân cận của a

)( xf

∑

)0( !

(

( x θ )!1

3. (2.22)

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

)(xf

Được gọi là công thức McLaurin bậc n, hay khai triển hữu hạn bậc n của tại lân cận của 0.

(

Chú ý:

( +nf

(

)

ax −

(

f (

c )( )!1

xr )( n ax ) −

x → nghĩa là

)

ax −

( (0

)( xr n

bị chặn ở lân cận của a thì rõ ràng dần đến 0 khi • Nếu

( +nf

)(xf

ở lân cận của a • Với giả thiết

)

ax −

( (0

)(xPn

)( xr n

bằng đa thức với sai số là . bị chặn ở lân cận của a thì có thể lấy gần đúng )n

(

)

−

) θ

xr )( n

( x θ n !

• Người ta đã chứng minh phần dư viết trong dạng khác, gọi là dạng Cauchy:

D.Công thức McLaurin của các hàm thường dùng

f x ( )

∀ ∈(cid:22) .

kf (

) (0) 1, =

∀ ∈(cid:178)

Ta có

)

= ∑

x k

Suy ra (2.23)

f x ( )

x sin ,

∀ ∈(cid:22) x

0 ,

(

)

(

)

(cid:178)

x ( )

sin

(0)

sin

⇒

m ∀ ∈

π 2

k π 2

m ( 1) , −

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎧ ⎨ ⎩

sin

)

)1( −

∑

x 2( m

)!1

(2.24)

cos

)

)1( −

∑

x 2( m

(cid:22)

f x ( )

. (2.25) Tương tự

(1 = +

∈

x X ∈

α α ) ,

(

)() x

1 )...(

1)(1

− α )

−

k +−

( αα

f k )0()(

1 )...(

−

k +−

( αα

−

k +−

( αα

, X phụ thuộc α. Với x ở lân cận của 0, k∀ ∈(cid:178) ta có

)

α )

1 +=

∑

1 )...( α ! k

1 =

. (2.26) Suy ra

Các trường hợp đặc biệt:

1−=α

• Với

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

)1(

...

)

+−=

−+−

1 +

)

++=

... ++

1 −

⇒

=α

1 2

)

+=+

−

1 2

1 8

• Với

−=α

1 2

)

1 −=

1 2

3 8

1 1 +

• Với

1ln(

)

xf )(

(

(cid:178)

x ( )

( 1)

(0)

n ( 1) . !,

= −

⇒

= −

n ∀ ∈

1 +

(

n ! 1) +

1 −

. Trong lân cận 0 thì 3.

1ln(

)

)1(

...

)

x −=

−++

x 2

x n

(2.27)

f x ( )

tgx=

...

−

Trong lân cận của 0 hàm khả vi mọi cấp 4.

tgx

)

x = +

x x

sin cos

x 3

...

−

x 3! 2 x 2!

x 5! 4 x 4!

Ta biểu diễn (2.28)

2.5.2. Qui tắc Lôpitan (L’Hospital)

a X f g

, ,

∈

∈(cid:22) thoả mãn các điều kiện sau:

Cho

{ }a

a \)(δΩ

liên tục tại a và khả vi ở lân cận 1.

)(' xg

\)( a

≠

{ }a

δΩ∈∀

lim a x →

)(' xf )(' xg

lim a x →

)( xf )( xg

)( af )( ag

− −

Khi đó .

x ∀>∃>∀

ax −

⇒< α

l <−

)(' f x )(' xg

Chứng minh:

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

ax −

α<

{ }a

\)(αΩ∈

Lấy sao cho . Theo định lí Cauchy sẽ tồn tại

−

ax −

{ }a

\)(αΩ∈

xf )( )( xg

af )( )( ag

cf (' (' cg

) )

− −

sao cho để có

)( a

⇒

>∀ ε

,0 ∈∀>∃ α

l <−

Ω α

)( xf )( xg

)( af )( ag

− −

Chứng tỏ

lim a x →

)( xf )( xg

)( af )( ag

− −

nghĩa là

Chú ý:

af )(

ag )(

thì rõ ràng qui tắc L’Hospital cho ta điều kiện đủ để tìm giới hạn • Nếu

lim a x →

0 0

)(' xf )(' xg

xf )( xg )(

dạng

xf )(

xg )(

∞=

lim x a →

1 xf )(

1 xg )(

, thì bằng cách xét các hàm số và và như vậy • Nếu

∞ ∞

cũng nhận được điều kiện để tìm giới hạn dạng .

∞=a

∞=l

hoặc kết • Nhận thấy rằng trong phép chứng minh qui tắc L’Hospital nếu

quả vẫn đúng.

• Cần lưu ý rằng qui tắc L’Hospital chỉ cho điều kiện đủ để tìm giới hạn. Bởi vì khi không

lim x→ a

)(' f x )(' xg

)( xf )( xg

(

−

vẫn có thể tồn tại . Chẳng hạn : tồn tại

lim x ∞→

cos + x 2

1 2

sin 2

cos + )'2( x

. Tuy nhiên không tồn tại

lim x→ a

)(' xf )(' xg

• Để tìm đương nhiên có thể áp dụng qui tắc L’Hospital trong đó f và g thay

'f và

'g . Như vậy, trong một bài toán tìm giới hạn , có thể lặp lại qui tắc L’Hospital một số

bởi

lần.

lim x 0 →

x 1(

x sin cos x

)

− −

Ví dụ 10: Tính

Giải:

)

lim 0 x →

x 1(

)

sin x cos x

1 3

− −

)

x 2

⎞ ⎟⎟ ⎠

1 6 ⎛ ⎜⎜ ⎝

Áp dụng các công thức khai triển hữu hạn sẽ nhận được

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

cos

e x − −

−

lim → + x 0

− sin

1 x

Ví dụ 11: Tính

x )(0

)

e x − −

+−−

( 1

)

cos

)

x )(0

−

x 2

⎛ ⎜⎜ ⎝

⎞ =⎟⎟ ⎠

sin

)

−

x 6

)

x 0( )

−

Giải:

lim 0 x →

− sin

1 cos − x

x 2 ) x

x x

Vậy

1ln(

Ví dụ 12: Tìm

( >α

lim x 0 →

lim +→ x 0

α ) x + x β

, b. a.

)) '

ln(1

Giải:

lim x 0 →

(ln(1 x + α x ( ) ' β

α = ⇒ β

) + α α = x β β

α x + α β

a. Nhận xét

lim x 0 →

lim 0 x →

x − α

(

ln 1 α x

(ln 1 α x

b. , .Vậy I = 0.

Ví dụ 13: Tính

(

( >α , b. )0

> αa ,1

lim x +∞→

x ln αx

xα x a

, , a.

Giải:

→

+∞→x

lim x +∞→

x ln αx

)' (ln x α )' ( x

1 x 1 α − x α

1 α x α

1−

khi chứng tỏ a.

0≤− nα

( (

α α x x = x x a a ln

)' )'

α −

−

( αα

b. , lấy đạo hàm hữu hạn n lần sao cho . Khi đó

lim x +∞→

→ +∞→

n +− n a

xα x a

1 )...( α x a ln

chứng tỏ

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

, xx

Vậy ta đã so sánh được các VCL tại ∞ .

1 cos

1 −

1 ln

(cot

)

lim x 0 →

sin x

⎞ ⎟ ⎠

⎛ lim ⎜ ⎝ x 0 →

Ví dụ 14: Bằng phương pháp lôga hãy tính các giới hạn sau đây

Giải:

→ 0+→ x

I =⇒ 1

1 cos

1 −

sin

−

sin x

cos

1 cos

−

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

(ln

sin

−

cos

−

cos x

x − 2 sin

sin x

(

−

−→ 0 →x

1 3

x − 2 sin

x 2

cos

sin

cos ( x

sin )' x

sin x sin x

− +

cos

sin x

−

1 3

I =⇒ 2

1 ln

cot

ln(cot

)

1 ln

)

(

−

(ln

1 gx cot

1 2 sin

−=

−→ +→xx 0

x x

sin

cos

gx cot x )' (ln

1 x

1 −=⇒ I e 3

(theo ví dụ 4)

2.6. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

[

],a b

2.6.1. Tính đơn điệu của hàm khả vi

f ∈(cid:22) thỏa mãn:

Định lí 2.16: Cho

1. f liên tục trên đoạn [a, b]

2. f khả vi trên khoảng (a, b)

x )('

ba ),(

∈∀=

khi đó f(x) không đổi trên [a, b] 3.

Chứng minh:

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

ba ],[

(

)

∈

c ∈

Lấy bất kỳ . Theo định lí Lagrange tồn tại sao cho

1 xx , tùy ý vậy f(x) không đổi trên

xx , 1 xcf )(

xf (

)

xf (

)

2 −

−

0 ⇒=

xf ( 1

x 1

xf ( 1

1, xx 1

vì

đoạn [a, b], tức là f(x) = const trên [a, b]

ba ),(

x )('

∈∀≥

Định lí 2.17: Cho f liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b). Để f tăng trên [a, b] thì cần và đủ là f

Chứng minh:

a b ( , ),

ba ),(

∈

∀ ∈(cid:22) sao cho

h ∈+

x 0

xf (

)

−

≥

h ) h

, ta có: * Giả sử f tăng trên [a, b]. Cho

0→h

0 ≥x )

Qua giới hạn khi nhận được

ba ],[

fba ), ,(

x )('

∈

x ∈∀

≥

xx , 1

* Ngược lại, giả sử . Lấy tùy ý . Áp dụng định lí

[

]

(

)

c ∈

1 xx ,

xf (

)

(

)

cf )('

−

xf ( 1

x 1

sẽ có sao cho: Lagrange trên

)(

xf (

)

))

xf )(

( x −⇒

−

0 ⇒≥

x 1

xf ( 1

tăng trên [a, b]

Thay f bởi –f sẽ nhận được định lí trong trường hợp hàm giảm.

2.6.2. Điều kiện hàm số đạt cực trị

)('

(

a ),

f ∈(cid:22) . Nếu tồn tại lân cận

a ⊂

≥x

a δ−

Ω )(δ

Định lí 2.18: Cho và trên và

)('

(

a ),

≤x

a δ+

trên thì f có một cực đại tại a.

Định lí này suy trực tiếp từ định lí 2.17 trong mục 2.6.1 và định nghĩa cực trị của hàm số.

)(aδΩ

(

)( n

)1 −

af )('

...

a )(

≠

và thỏa mãn điều kiện: Định lí 2.19: Cho có đạo hàm liên tục đến cấp n tại lân cận

Khi đó:

f n

)()(

, đạt cực đại nếu a. Nếu n chẵn thì f(x) đạt cực trị tại a: đạt cực tiểu nếu

f n

)()(

b. Nếu n lẻ thì f(x) không đạt cực trị tại a.

Chứng minh:

(

)( n

)1 −

1 −

(

)

(

)

ax −

(

)

++ ...

xf )(

af )(

)( θ n

f (

a )( )!1

−

af )(' !1

)( n

(

n ,)

xa ),(

xf )(

af )(

ax −

∈

)( θ ! n

Trong lân cận đủ bé của a, ta có công thức Taylor tại lân cận đó:

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

(

nax ) −

≥

a. Nếu n chẵn thì

)()( >θnf

)(aδΩ

Giả sử f(n)(a) > 0, do tính liên tục của f(n)(x) ở lân cận a nên trong .

Vậy f đạt cực tiểu tại a.

xf )(

af )(

≤

chứng tỏ f đạt cực đại tại a. Giả sử f(n)(a) > 0, khi đó

f n

)()(

≠a

)nax −

)(aδΩ

đổi dấu ở lân cận trong khi đó . Giả sử

a )(

= f

)()( >θnf

do tính liên tục của f(n)(x) nên ở lân cận khá bé của a. Lúc đó b. Nếu n lẻ, ( f n )(

()( n

)

)( −θ

có dấu thay đổi khi x đi qua a. Vậy

xf )(

af )(

x < a

nếu

xf )(

af )( Suy ra f(x) không đạt cực trị tại a.

x > a

2 3

nếu .

x ( −

(cid:22)

Ví dụ 15: Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số:

{ } \ 0;1

Giải: Hàm số xác định x∀ ∈(cid:22) và khả vi trên

/ =y

−=

1−

2 3

1 2

1 3 x

1 x −

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

, khi .Giải phương trình này nhận được

/y ta có bảng biến thiên của hàm số:

Từ biểu thức của

∞−

∞+

1 2

0 1 x

∞+

- + 0 - + y’ 3 2

1 1 y

)1;

(),0;

(−∞

1 2

Vậy hàm số giảm trong các khoảng

;1(),

;0(

) +∞

1 2

)0(

1)1( =

min

hàm số tăng trong các khoảng

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

)

(

= y

max

1 2

2.7. BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ BÉ NHẤT

)(xf

Bài toán: Cho hàm số xác định trên tập X . Tìm giá trị bé nhất (GTBN) , giá trị

lớn nhất (GTLN) của hàm số trên tập đó.

)(xf

x ∈1

)

( xf

≤

∈∀

( 1 xfm =

đạt GTBN là m tại khi và chỉ khi : Nói rằng hàm

)(xf

)

( xf

x ∈2 ),

≥

∈∀

( 2 xfM =

đạt GTLN là M tại khi và chỉ khi : Nói rằng hàm

2.7.1. Hàm liên tục trên đoạn kín [a, b]

Theo tính chất liên tục của hàm số trên một đoạn kín bao giờ cũng tồn tại m,M. Theo định lý Fermat nếu hàm khả vi tại x0 và đạt cực trị tại đó thì f’(x0) = 0. Vì cực trị có tính địa phương nên các điểm tại đó hàm đạt GTBN, GTLN chỉ có thể là hoặc các điểm tại đó hàm số không khả vi hoặc các điểm làm đạo hàm triệt tiêu hoặc các điểm a, b. Từ đó các quy tắc tìm m, M tương ứng x1, x2 như sau:

a. Tìm các giá trị f(a), f(b).

b. Tìm các giá trị của hàm số tại các điểm hàm số không khả vi.

c. Tìm giá trị của hàm số tại các điểm làm triệt tiêu đạo hàm f’(x).

d. So sánh các giá trị tìm được ở trên để tìm ra giá trị bé nhất, đó là m, tìm ra giá trị lớn

nhất, đó là M.

2.7.2. Hàm liên tục trên khoảng mở, khoảng vô hạn

Trong trường hợp này, thay vì tính f(a), f(b), ta tìm giới hạn của hàm số khi x dần tới a, dần đến b, hoặc dần đến ∞ . Tuy nhiên phải xem xét hàm số có đạt được giới hạn này không. Các bước tiếp theo thực hiện như mục trên.

3 (

2 2 ) , 0

−

3 ≤ ≤

Ví dụ 16: Tìm GTBN, GTLN của hàm số

)3(

3 9

,0)0( =

Giải:

0)2( =

−

. Hàm số khả vi trên khoảng (0, 3) \ {2}.

1=x

1)1( =

4 3

−

khi ,

đạt được tại

3=x

( xx { 9,1,0min { 9,1,0max

)2 } 0 = } 3 =

đạt được tại

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

1,0,

+∞<≤

Ví dụ 17: Tìm GTBN, GTLN của hàm số

Giải:

;1,0(

) +∞ .

)1,0(

+∞=

Hàm số khả vi trên khoảng

lim, x +∞→

lim x +∞→

(ln

0)1 =

1−= e

( ey

1 − ee

1 ) − =

khi

1−= e

min

1 1 e

⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩

⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭

Vậy đạt được tại

Hàm số không có GTLN.

2.8. HÀM LỒI

2.8.1. Khái niệm về hàm lồi, hàm lõm và điểm uốn

A. Định nghĩa

:f X →(cid:22) được gọi là lồi nếu

1. Ánh xạ

],1,0[

)

xf (

)

) λ

∀

, ∈∀∈

1( −+

≤

1( −+

xx , 1

( x λ 1

xf ( 1

(2.29)

Nói rằng f là lõm khi và chỉ khi –f là lồi.

Đồ thị của hàm lồi f trên (a, b) được mô tả trên hình 2.8.

(

)), xMxf

(

( xf

)),

1( −+

) λ

x λ 1

xMx 2 1

)

( 2xf

)

( xf

1( −+

) λ

( xf 1

( 1xf ) )(xf

là đồ thị của hàm số f Đặt

H.2.8

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

(

)

1 MM ,

fC , mọi điểm

fCM ∈ có hoành độ nằm giữa các hoành độ của M1 và M2 đều nằm phía dưới đoạn M1M2 . Nói cách khác đường cong nằm dưới mọi dây cung tương ứng

Như vậy ánh xạ f lồi khi và chỉ khi với bất kỳ cặp điểm của

ba ],[

cb ],[

∪

f ∈(cid:22) . Giả sử

2. Cho

mà f lồi (lõm) trên [a, b], f lõm (lồi) trên [b, c] Khi đó điểm U(b, f(b)) gọi là điểm uốn của đồ thị Cf của hàm số. Như vậy điểm uốn là điểm phân biệt giữa các cung lồi và cung lõm của đồ thị hàm số.

B. Định lí

Xa ∈∀

Định lí 2.20: Để f là lồi trên X điều kiện cần và đủ là , tỷ số gia tại a của f tăng trên

}{\ a

)( xf

)( af

, tức là

}{\ a

)(τ xa

− ax −

tăng trên .

Chứng minh:

∈, Xcba

sao cho a

P(AC), P(BC) là các hệ số góc của các đường AB, AC, BC.

b )(

ABP (

),

c )(

ACP (

)

=

=

τ a

. Do vậy định lí được chứng minh khi ta chỉ ra Như vây

)

τ a )

ABP (

ACP (

≤

là điều kiện cần và đủ của hàm lồi.

b

c

=

−+

a λ

1( λ )

=

]1,0[∈

λ

bc − ac −

Đặt , trong đó

f

c ))

af )(

cf )(

1( −+

≤

1( −+

( a λ

λ

λ

) λ

(

( cfab ) )(

−

( ) bfac )( −⇔ ≤ )( )( bf af

) afbc )( − )( cf

+ )( af

⇔

≤

− ab −

− ac −

f lồi có nghĩa là:

)

)

ABP (

ACP (

≤

hay

2.8.2. Điều kiện hàm lồi

Định lí 2.21: Giả sử f là lồi trên X khi đó f khả vi phải và trái tại mọi điểm trong của X và

Xcba

, ∀ ,

∈

)( cf

)( bf

)( bf

)( af

f

)(' b

f

)(' b

≤

≤

≤

t

p

− bc −

− ab −

X

sao cho a < b < c, ta có

f ∈(cid:22) khả vi. Để f lồi trên X điều kiện cần và đủ là f’ tăng trên X

Định lí 2.22: Cho

Chứng minh:

b

a < . Theo định lí 1 ta có:

Xba ∈,

Giả sử f lồi trên X , lấy sao cho

69

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

)( bf

)( af

bf )('

f

x )('

)(' af

≤

⇒

≤

− ab −

tăng trên X

]1,0[∈λ

sao cho a < b và , đặt Ngược lại cho f’(x) tăng trên X, cho

x

=

−+

a λ

1( λ ) b

( các trường hợp a = b hoặc là tầm thường). Áp dụng định lí

Xba ∈, ,0 = λλ dxa ,( ),

1 bx ),(

c

∈

= ∈

xf )(

af )(

(

cfax )(' )

1(

cfab )(' )

−

=

−

=

−

−

)( λ

bf )(

xf )(

dfxb )(' ( )

−

=

−

=

−

( dfab ) )(' λ

Lagrange cho f trên [a, x], [x, b] thì tồn tại sao cho

cf )('

df )('

xf )(

af (

))

1(

bf )(

xf (

))

≤

⇒

−

≤

−

−

( λ

)( λ

xf )(

af )(

bf )(

≤

1( −+

λ

) λ

. Nghĩa là Vì f’ tăng nên

Chứng tỏ f lồi trên X.

f

≥x 0)("

Hệ quả 1: Cho f khả vi hai lần trên X. Để f là lồi điều kiện cần và đủ là

Xa ∈ , f khả vi hai lần trên X ,

X f ∈(cid:22) với

Hệ quả 2: Để u(a, f(a)) là điểm uốn của đồ thị hàm

điều kiện cần và đủ là f”(a) = 0 và f”(x) đổi dấu khi x đi qua điểm a.

ln

a ,

0

y

=

>

a x

a x

Ví dụ 18: Xét tính lồi, lõm và tìm điểm uốn của đồ thị hàm số

Giải:

0>x

'

1(

ln

)

y

−=

+

a x

a 2 x

)

" y

=

ln23( +

a x

a 3 x

3 2

Hàm số khả vi mọi cấp khi .

0"=y

0

ae

ln23 +

=

x =

a x

3 2

3 2

khi hay

0"
0">y

.ea

ae

x >

x <

3 2

3 2

Ta có khi và khi .

ae

,0 ae

ae

3 +∞,2

xU =

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

−

3 2

ae

−=

yU

3 2

, lồi trong khoảng vậy Vậy hàm số lõm trong khoảng

TÓM TẮT NỘI DUNG CHƯƠNG II

• Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

X

a X a h X f

,

,

+ ∈

∈

∈(cid:22) . Nói rằng f khả vi tại a nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

Cho

70

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

(

)( af

−

lim 0 h →

) haf + h

)(' af

)(a

df dx

• Định nghĩa đạo hàm một phía

Giới hạn này thường kí hiệu hay gọi là đạo hàm của f tại a.

XhaXa

∈+

∈ ,

(

)( af

−

lim +→ 0 h

) haf + h

1. Cho . Nói rằng f khả vi phải tại a nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

)(' a

f p

Giới hạn này kí hiệu là , gọi là đạo hàm phải của f tại a.

XhaXa

∈+

∈ ,

(

)( af

−

lim −→ 0 h

) haf + h

2. Cho . Nói rằng f khả vi trái tại a nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

)(' aft

Giới hạn này kí hiệu là , gọi là đạo hàm trái của f tại a.

f

)(' a

)(' af

=

=

)(' af t

p

Để f khả vi tại a điều kiện cần và đủ là f khả vi trái và phải tại a đồng thời

• Các phép tính đại số của đạo hàm tại một điểm

Nếu f khả vi tại a thì f liên tục tại a

Cho f và g khả vi tại a khi đó:

(

g

f

g

a )()'

af )('

ag )('

f + khả vi tại a và

+

=

+

1.

a ) '( )

f a '( )

f λ λ

f λ

∀ ∈(cid:22) ,

λ=

2. khả vi tại a và (

( )

gf .

(cid:68) f g

a ) '( )

f a g a '( ) ( )

f a g a '( )

=

+

'

'( ) f a g a

( )

3. khả vi tại a và (

0

( ) a

)( ≠ag

=

f g

'( ) ( ) f a g a − 2 ( ) g a

f g

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

thì khả vi tại a và . 4. Nếu

5. Đạo hàm của hàm hợp:

(cid:22)

(cid:22) với

,

,

f X :

g Y :

Xf (

Y

a X ∈

→

→

⊂)

)(af

Cho . Nếu f khả vi tại a và g khả vi tại

(

gof

a )()'

'

af ('

).

=

( afg

) .)(

thì hàm hợp gof khả vi tại a và

6. Đạo hàm của hàm ngược:

0

:f X →(cid:22) đơn điệu ngặt và liên tục trên X khả vi tại

≠af )('

Xa ∈ và

Giả sử

f

1 : −

( f X

)

)(af

→(cid:22) khả vi tại

và Khi đó hàm ngược của f là

71

'1 −

f

)( af

=

)

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số )(

1 )(' af

• Các phép tính đại số của các hàm khả vi trên một khoảng

(

X

:

f g X →(cid:22) khả vi trên X , (tức là ,

=),( ba

) khi đó. Cho

g

f

g

f

g

(

)'

'

f + khả vi trên X và

+

=

' +

1.

'

f λ λ

∀ ∈(cid:22) ,

f λλ = f )' (

) '

'

2. khả vi trên X và

fg

f g '

fg

=

+

'

fg

'

3. fg khả vi trên X và (

0

)( ≠xg

f g

f g

gf ' − 2 g

⎛ ⎜⎜ ⎝

⎞ =⎟⎟ ⎠

Y

4. trên X thì khả vi trên X và

)

( Xf

X f ∈(cid:22) và

g ∈(cid:22) . Nếu f khả vi trên X và g khả vi trên

5. Cho thì gof khả

(

ofg '(

)

f

'

(

)'

h '(

ogof

)(

ofg '

)

f

'

gof = )'

hogof =

X

vi trên và . Mở rộng

0

f ∈(cid:22) đơn điệu ngặt trên X , khả vi trên X và

≠xf )('

6 .Cho trên X khi đó

f

(

1 =− )'

1−f

( Xf

)

1 f

'

• Bảng các đạo hàm của các hàm số thông dụng

• Định nghĩa vi phân tại một điểm

khả vi trên và

f

,X

f

Xa ∈ . Vi phân của f tại a kí hiệu

)(adf

∈(cid:22)

khả vi tại xác định bởi công Cho

df a ( )

f a dx '( ).

=

• Các phép tính đại số của vi phân tại một điểm

thức:

Cho f và g khả vi tại a khi đó:

fd (

ag )(

)

adf )(

adg )(

+

=

+

1.

)(

)

adf )(

( afd λ

λ

=

2. với λ∈(cid:22)

agfd .

)(

(

)

adgaf )(

)(

adfag )(

)(

=

+

3.

0

≠ag )(

adfag )(

)(

adgaf

)(

d

a )(

=

−

(

))(

f g

1 2 ag )(

⎛ ⎜⎜ ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

• Các phép tính đại số của vi phân trên một khoảng

X

4. khi

X

),( ba

f g ∈(cid:22) khả vi trên ,

⊆),( ba

. Vi phân của hàm số trên được xác định theo Cho

df x ( )

f x dx '( )

),( ba

=

x ∈

công thức: với .

)

fd (

xg )(

xdf )(

xdg )(

+

=

+

1.

72

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

)(

x

)

xdf )(

( fd λ

λ

=

2.

xgfd .

)(

(

)

xdgxf )(

)(

xdfxg )(

)(

=

+

3.

0

≠xg )(

xdfxg )(

)(

xdgxf

)(

d

x )(

=

−

(

))(

f g

1 2 xg )(

⎛ ⎜⎜ ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

• Đạo hàm cấp cao

khi 4.

f

)()0( x

xf )(

( ) ( ) nf

x và xác định như sau:

=

n

(

1)

−

df

x ( )

( ) n

f

x ( )

=

dx

. Đạo hàm cấp n được kí hiệu là Qui ước:

qp

n

,p q∀

∈(cid:178) sao cho

≤+

q

)

p

(

()

(

)

qp +

f

f

=

ta có Nếu f khả vi n lần trên X thì

)

• Các phép tính đại số của đạo hàm cấp cao

X

(

(cid:22)

, ,

f g

(cid:22) , n ∈(cid:178)* khả vi n lần trên X , khi đó trên X có các hệ thức sau đây

λ∈

∈

)( n

)( n

)( n

f

g

f

g

+

=

+

Cho

)

)( n

f

f λ

1. (

) )( n λ =

n

n )(

k

(

)

(

)

kn −

2. (

fg

g

k fC n

) ∑ =

k

0

=

gọi là công thức Leibnitz 3. (

0

≠xg )(

f g

• Vi phân cấp cao

n

( ) n

n

4. trên X thì khả vi n lần trên X

n )( afd

)( dxa

n d f x ( )

f

x dx ( )

)(= n f

=

• Các phép tính đại số của vi phân cấp cao

,

gf ,

n

Nếu khả vi đến cấp n trên X thì khi đó

d

(

f

n fd

n gd

+ ) g

=

+

n

1.

(cid:22)

d ,

f

n d f

λ

∈

( ) = λ λ

n

n

kn −

2. Với

d

(

). gf

k . dfdC

g

=

k n

∑

k

0

=

3.

0

≠xg )(

f g

• Định lí Fermat

thì có vi phân đến cấp n. 4. Nếu

73

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

)(xf

0

=af )('

• Định lí Rôn (Rolle)

[

],a b

Nếu khả vi tại a và đạt cực trị địa phương tại a thì

f ∈(cid:22) thoả mãn.

Cho

1. f liên tục trên [a, b]

2. f khả vi trên (a, b)

0

af )(

bf )(

),( ba

=

c ∈

=cf )('

. Khi đó tồn tại sao cho 3.

)

),( ba

c

c ∈

)1,0(∈θ

ab a ( += θ −

• Định lí số gia hữu hạn. (định lí Lagơrăng (Lagrange))

[

],a b

tương ứng số sao cho Điểm

f ∈(cid:22) thoả mãn:

Cho

1. liên tục trên [a, b]

),( ba

c ∈

bf )(

af )(

cfab ( ) )('

−

=

−

• Định lí số gia hữu hạn suy rộng (Định lí Côsi(Cauchy))

[

], a b

để có 2. khả vi trên (a, b). Khi đó tồn tại

f g ∈(cid:22) thoả mãn: ,

Cho

gf ,

liên tục trên [a, b] 1.

gf ,

khả vi trên (a, b) 2.

xg )('

ba ),(

),( ba

x ∈∀

c ∈

=

0 ≠

bf )( )( bg

af )( )( ag

cf )(' )(' cg

− −

• Công thức Taylo (Taylor), công thức Maclôranh (McLaurin)

3. . Khi đó tồn tại để có

deg

n

Xa ∈ . Gọi đa thức

≤)(

)(xPn

xPn

với 1. Cho hàm f khả vi đến cấp (n + 1) tại

k

)

(

k

)

)( a

f

)( a

,0

n

=

=

k

( P n

thoả mãn điều kiện

)(xf

là đa thức Taylor của tại lân cận điểm a, hay là phần chính qui của khai triển hữu

)(xf

hạn bậc n tại a của

)(xf

)(xPn

gọi là đa thức McLaurin của 2. Nếu a = 0 thì

)(xf

)(xPn

n )(

f

n

)( af

(

)

(

)

=

+

ax −

... ++

ax −

)( xP n

)(' af !1

)( a ! n

Nếu là đa thức Taylor của tại lân cận của a thì nó là duy nhất và có dạng

74

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

)(xf

xf )(

=

−

xr )( n

xP )( n

3. Gọi là phần dư Taylor bậc n tại a của

)(xrn

(

n

)1

+

n

1

+

Phần dư có dạng:

(

)

xa ),(

=

ax −

c ∈

xr )( n

f (

n

c )( )!1

+

với

c

),

1

( θ

θ

a +=

ax −

<

<

0

• Công thức McLaurin của các hàm thường dùng

k

n

x

n

, gọi là phần dư trong dạng Lagrange

(0

x

)

e

+

= ∑

x k

!

k

0

=

1

2

m

+

n

2

2

m

n

+

1.

sin

x

(0

x

)

=

)1( −

+

∑

x 2( m

)!1

+

0

m

=

2

m

n

2

1

m

n

+

2.

x

cos

(0

x

)

=

)1( −

+

∑

x 2( m

)!

0

m

=

n

)1

−

k +−

( αα

k

n

. 3.

1(

x

α )

x

(0

x

)

+

1 +=

+

∑

1 )...( α ! k

k

1 =

2

n

n

n

1

x

x

)1(

...

x

(0

x

)

+−=

−+−

+

1

x

1 +

2

n

n

1

x

x

x

(0

x

)

++=

... ++

+

1

x

1 −

2

n

n

n

1 −

4. .

1ln(

x

)

)1(

...

(0

x

)

+

x −=

−++

+

x 2

x n

3

5

x

−

+

3

3

5.

(0

x

)

tgx

x +=

+

=

=

x 3

sin cos

x x

1

−

+

x !3 2 x !2

x !5 4 x !4

• Qui tắc Lôpitan (L’Hospital)

X

6.

a X f g

, ,

∈

∈(cid:22) thoả mãn các điều kiện sau:

Cho

{ }a

a \)(δΩ

1. liên tục tại a và khả vi ở lân cận

g x '( )

0 ,

x

a ( ) \

≠

{ } a

∀ ∈ Ω δ

2.

l

l

=

=

lim a x →

lim a x →

xf )(' xg )('

xf )( xg )(

af )( ag )(

− −

3. Khi đó

75

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

• Tính đơn điệu của hàm khả vi

[

],a b

f ∈(cid:22) thỏa mãn:

Cho

1. f liên tục trên đoạn [a, b]

2. f khả vi trên khoảng (a, b)

f

x )('

,0

x

ba ),(

∈∀=

. Khi đó f(x) không đổi trên [a, b] 3.

f

x )('

,0

x

ba ),(

∈∀≥

• Điều kiện hàm số đạt cực trị

X

Cho f liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b). Để f tăng trên [a, b] thì cần và đủ là

X

f

)('

0

(

a ),

f

)('

0

f ∈(cid:22) . Nếu tồn tại lân cận

a ⊂

≥x

a δ−

≤x

Ω )(δ

1. Cho và trên và

(

a ),

a δ+

trên thì f có một cực đại tại a.

)(aδΩ

(

n

n )(

)1 −

af )('

...

f

a )(

,0

f

a )(

0

=

=

=

≠

2. Cho có đạo hàm liên tục đến cấp n tại lân cận và thỏa mãn điều kiện:

Khi đó:

f n

)()(

0

>a

, đạt cực đại nếu a Nếu n chẵn thì f(x) đạt cực trị tại a: đạt cực tiểu nếu

f n

)()(

0

.

• Khái niệm về hàm lồi, hàm lõm và điểm uốn

b .Nếu n lẻ thì f(x) không đạt cực trị tại a.

:f X →(cid:22) được gọi là lồi nếu

X

],1,0[

f

x

)

)

xf (

)

λ

) λ

λ

) λ

∀

, ∈∀∈

1( −+

≤

1( −+

xx , 1

2

( x λ 1

xf ( 1

2

2

Ánh xạ

Nói rằng f là lõm khi và chỉ khi –f là lồi.

f

≥x 0)("

1. Cho f khả vi hai lần trên X. Để f là lồi điều kiện cần và đủ là

Xa ∈ , f khả vi hai lần trên X , điều

X f ∈(cid:22) với

2. Để u(a, f(a)) là điểm uốn của đồ thị hàm

X

kiện cần và đủ là f”(a) = 0 và f”(x) đổi dấu khi x đi qua điểm a.

f ∈(cid:22) khả vi. Để f lồi trên X điều kiện cần và đủ là f’ tăng trên X

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG II.

3. Cho

0x thì khả vi tại đó?

2.1. Hàm số liên tục tại

Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

76

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

2.2. Hàm số khả vi tại

0x thì liên tục tại đó?

Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

0x khì và chỉ khi có đạo hàm tại đó?

2.3. Hàm số khả vi tại

Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

0x khi có các đạo hàm trái và phải tại đó?

2.4. Hàm số khả vi tại

Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

0x là một hàm khả vi tại đó?

2.5. Tổng, tích, hai hàm số khả vi tại

Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

0x là một hàm không khả vi tại đó?

2.6. Tổng, tích, thương các hàm số không khả vi tại

Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

0x thì có tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ tại

0x ?

2.7. Hàm số đạt cực trị tại

Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

0x thì có đạo hàm cấp hai tại điểm 0x ?

2.8. Hàm số đạt cực trị tại

Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

0x thì đạt GTLN hoặc GTNN tại điểm 0x ?

2.9. Hàm số đạt cực trị tại

Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

2.10. GTLN hoặc GTNN đạt đựợc tại điểm 0x là giá trị cực trị tại đó?

Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

2.11. Hàm số liên tục trên khoảng hở (a,b) và có đạo hàm trên khoảng đó thì các kết luận của định lí Rolle, Lagrange vẫn đúng?

Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

2.12. Định lí Rolle, Lagrange, Cauchy khẳng định tính đuy nhất về giá trị trung bình?

Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

2.13. Phần dư Taylor, phần dư Cauchy của hàm số tại điểm 0x là đa thức của x?

Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

2.14. Qui tắc Lôpitan mô tả điều kiện cần và đủ cho phép tính giới hạn?

Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

2.15. Vi phân cấp 3 của hàm số có tính bất ?

77

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

2.16. Dùng định nghĩa hãy tính các đạo hàm các hàm số

xf )(

2

x

1

=

+

a.

)( xf

x +=

1 x

1

x

+

b.

)( xf

=

x

c.

xf

x

=)(

d.

2.17. Tính đạo hàm của các hàm số:

y

ln(

x

x

)1

ln

tg

=

+

2 +

y =

x 2

2

sin 2

x

2

1 x

b. a.

y

arcsin

y

e

=

=

4

1

x

+

3

2

x

c. d.

y

1

y

arctg

=

+

=

2

3

1 2

1 x

1

x

−

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

f. e.

1

2.18. Tính đạo hàm của các hàm số

y

=

y

ln

=

2

x x

x x

ln ln

1 1

− +

2

ax

x

−

2

x

1

b. a.

y

ln

y

=

=

4

1(

cos

5)4 x

+

1

ax

−

c. d.

2.19. Tính đạo hàm của các hàm số

y

cos 2

y

1

tg

x

=

=

+

+

1 x

1 1

x x

− +

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

a. b.

y

arcsin

y

log

log

x

=

log=

3

2

5

1 1

x x

− +

c. d.

cos

x

2.20. Tính đạo hàm sau bằng phương pháp đạo hàm lôga:

y

(sin

x

)

=

2xx

y =

b. a.

78

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

x

43

(

x

)1

2

x

+

y

=

y

=

− 2

5

x

1

x +

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

(

x

)3

−

2

2

sin

x

3

c. d.

y

(

x

)1

y

=

+

=

)1 2

xx ( 2 ( x

+ )1

−

e. f.

2

2.21. Tính đạo hàm sau bằng phương pháp đạo hàm lôga

y

y

x 2 x

1 xx

=

x−= x

x

x

a. b.

y

x ln(

x

)1

=

x −−

y

x

=

logcos

x sin

x

e

d. c.

cos

2.22. Tính vi phân của hàm số

ln

y

tg

=

−

x 2

1 2

x 2

sin2

x

3

a.

),1(

df

)1(

)0

xf )(

x

2

x

1

fΔ

( >a

=

−

+

2

b. Cho . Tính

)0

2a

a

a

x

( >a

x <<

+≈+

x a 2

x

1 x

chứng minh c. Với

1=x

6

3

y

2,0=dx

=

+

+

x

1 2

2

d. tại và

x

x

2.23. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số:

y

2

y

ln(

ax

b

)

=

−+ 2

=

+

b. a.

x

y

y =

=

ax cx

b d

+ +

c. c.

2.24. Tính các đạo hàm cấp cao sau:

y

sin)1

x

=

( 2 + x x

a. , tính y(20)

y

=

, tính y(10) b.

e x x sin.

e

x

y

=

c. , tính y(n)

y

ax

sin.

bx

sin=

d. , tính y(n)

2.25. Dùng qui tắc L’Hospital tìm các giới hạn sau:

79

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

x 2

xe

1

−

x

) a

lim x a →

lim 1 x →

ln( e ln(

)

e

ax − x e −

lim x +∞→ x

1

sin

x

−

x π 2

tg

x

π x

a. b. c.

lim 0 x →

lim −→ x 1

x

)

ln x ln21 sin

x

π 2 1ln( −

lim 0 ++→ x

g

x

cot

π 2

d. e. f.

2.26. Tìm các giới hạn sau:

ln

x .

ln(

x

)1

−

−

1 x

lim x 1 →

1 x

e

1

−

⎛ lim ⎜ ⎝ x 0 →

⎞ ⎟ ⎠

p

q

100 −

a. b.

1 − 2 e x

x

−

p

q

lim x 0 →

x

1

x

−

⎛ lim ⎜ 1 −→ ⎝ 1 x

⎞ ⎟ ⎠

c. d.

−

−

lim x 1 →

π cot

gx

π cos

2

x

1(2

x

)

1(3

x

)

1 −

1 3 −

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

⎛ ⎜⎜ lim π ⎝ x → 2

e. f.

x

2

cos

x

2

2.27. Tìm các giới hạn sau:

x ln )

)

x

1 xx )

e

lim + 1( x 0 →

lim + ( x 0 →

lim ( tgx π x → 2

1 2

x

1 2

x

x

a

x

ln

a

−

1 xe

ln(

)1

−

, b. , c. a.

x

x

lim x 0 →

lim x 0 →

tgx x

b

x

ln

b

−

⎛ lim ⎜ ⎝ x 0 →

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

d. , , e. f. .

2

3 2

2.28. Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của các hàm số sau:

y

)1

y

x

1(

x

)

y

x

ln

x

= x (

−

=

+

=

x

b. c. a.

y

x

ax

(,2

a

x

)0

y

=

=

−

>

e x

d. e.

2 3

2 3

2.29. Tìm cực trị các hàm số sau:

y

1(2

x

xx

)

y

x

)2

y

xx

)2

=

−

=

+

x ( −

=

( +

−

x

1 +

2x 2

a. b. c.

y

xe

y

2

cos

3

cos

y

=

=

=

+

ln x

x 2

x 3

e. f. d.

80

Chương2: Phép tính vi phân hàm số một biến số

x

1

x +−

0

1

≤≤ x

y

,

=

2

x

1

x ++

2

2

2.30. Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của các hàm số: 2 a.

y

,

0

,1

a

,0

b

0

+

=

x <<

>

>

a x

x

b 1 −

b.

y

tgx 2

tg

2 x

,

=

−

0

<≤ x

π 2

c.

0

1

≤≤ x

,

y

arctg

=

1 1

x x

− +

d.

81

Chương3: phép tính vi phân hàm số nhiều biến số

CHƯƠNG III. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU

t T e z−=

Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số là sự mở rộng một cách tự nhiên và cần thiết của phép tính vi phân hàm số một biến số. Các bài toán thực tế thường xuất hiện sự phụ thuộc một biến số vào hai biến số hoặc nhiều hơn, chẳng hạn nhiệt độ T của một chất lỏng biến đổi theo độ , nhiệt lượng toả ra trên dây dẫn phụ thuộc vào sâu z và thời gian t theo công thức điện trở của dây, cường độ của dòng và thời gian dẫn điện theo công thức Q

,v.v…Vì vậy, khảo sát hàm số nhiều biến số vừa mang tính tổng quát vừa mang

2 RI t

0, 24

=

tính thực tiễn. Để học tốt chương này, ngoài việc nắm vững các phép tính đạo hàm của hàm một biến số, người học phải có các kiến thức về hình học không gian (xem [ ]2 ).Trong chương này, yêu cầu người học nắm vững các nội dung chính sau:

n(cid:22) (n chiều).

1. Các khái niệm chung của không gian

Mô tả được miền xác định và đồ thị của hàm hai biến.

2. Phép tính đạo hàm riêng và vi phân toàn phần.

Nắm vững các qui tắc tính đạo hàm riêng trên cơ sở tính đạo hàm của hàm một biến. Công thức tính đạo hàm riêng của hàm số ẩn. Công thức vi phân toàn phần và biết cách áp dụng vào phép tính gần đúng.

3. Nắm vững khái niệm và cách tính đạo hàm theo hướng. Giải thích được đạo hàm riêng theo các biến x, y, z chính là đạo hàm theo hướng các trục Ox, Oy, Oz.

4. Bài toán tìm cực trị.

Qui tắc tìm cực trị tự do, phương pháp nhân tử Lagrange.

NỘI DUNG

3.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

3.1.1. Không gian n chiều

* Ta đã biết mỗi điểm trong không gian 3 chiều được đặc trưng hoàn toàn bởi bộ 3 số (x, y, z) là 3 tọa độ Descartes của nó: x là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ.

Tổng quát như sau: Mỗi bộ có thứ tự n số thực

(

xx ,

,...,

)

1

2

nx

có nghĩa là điểm n chiều M có các toạ độ

. Tập các điểm

hiệu M

)

, xx

(

xx ,

2

1

1

2

nx gọi là không gian Euclide n chiều. Kí hiệu tập này là

gọi là một điểm n chiều. Kí ,..., nx n(cid:22) .

M

(

,...,

)

xx , 1

2

* Cho M

n∈(cid:22) , N

n∈(cid:22) . Gọi khoảng cách giữa M và N, kí hiệu

(

yy ,

,...,

(

)

,...,

)

,..., nx xx ,

1

2

1

ny

nx 2 d(M, N), là số thực tính theo công thức:

82

Chương3: phép tính vi phân hàm số nhiều biến số

n

2

2

2

NMd

(

,

)

(

x

y

)

......

(

x

y

)

(

x

y

)

=

−

+

+

−

=

−

1

1

n

n

i

i

∑

i

1 =

2

3

Tương tự như trong

(cid:22) (cid:22) (cid:22) ta nhận được bất đẳng thức tam giác trong

,

,

n(cid:22) . Tức là với 3

CAd ,

)

(

(

CBd ,

(

)

điểm A, B, C bất kỳ trong ≤

n(cid:22) ta có: BAd , ) +

0

n

(cid:22)

(M ) M =

∈

* Cho

n∈(cid:22) và

xxM (

,

,...,

)

0>ε . Tập

gọi là ε- lân

0

: d(M, M ) 0

εΩ

0 1

0

0 2

nx

{

} < ε

* Cho

. Điểm

n E ⊂(cid:22) . Điểm

M

E

)

(

cận hoặc lân cận bán kính ε của M0 hoặc hình cầu mở tâm M0 bán kính ε (H.3.1a). )0 EM ∈ gọi là điểm trong của E nếu có

( >∃⊂

ε

Ω

ε

đều chứa những điểm thuộc E và điểm

N n∈(cid:22) gọi là điểm biên của E nếu bất kỳ

)

(MεΩ

. Tập E gọi là mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong, gọi là

(

)0

>∀εE

(H.3.1a).

EE

không thuộc đóng nếu nó chứa mọi điểm biên của nó. Tập các điểm biên của E kí hiệu E∂ . Bao đóng của E hay tập E đóng ký hiệu E và có E ∂

= ∪

* Tập E gọi là bị chặn hay giới nội nếu như tồn tại số N sao cho

E

(0)

.

⊂ Ω

N

2(cid:22) ; một mặt cong kín trong

3(cid:22) ) (H.3.1a).

* Tập E gọi là liên thông nếu mỗi cặp điểm M1, M2 trong E đều được nối với nhau bởi một đường cong liên tục nào đó nằm trọn trong E. Tập liên thông E gọi là đơn liên nếu nó bị giới hạn bởi một mặt kín (một đường cong kín trong Tập liên thông E gọi là đa liên nếu nó bị giới hạn bởi từ hai mặt kín trở lên rời nhau từng đôi một (H.3.1b).

Ví dụ 1: Xét các tập sau trong

2(cid:22) .

2

2

A

x

y

:)

=

+

<

{ ,( yx

=B

−

và

}4 2(cid:22)

})0,0(),0,1(),2,1( {

2

2

2

2

:)

x

y

- đường tròn tâm O bán kính 2,

A

:)

x

y

- hình

A =∂

+

=

=

+

≤

}4

{ yx ,(

}4

Giải: { yx ,( tròn kể cả biên.

83

Chương3: phép tính vi phân hàm số nhiều biến số

A,

2(cid:22) là các tập liên thông, B không liên thông (gồm 3 điểm rời rạc).

2(cid:22) không giới nội (cả mặt phẳng 0xy).

A, B là các tập giới nội,

3.1.2. Định nghĩa hàm nhiều biến số

n

Cho

D ⊂(cid:22) . Gọi ánh xạ:

:f D →(cid:22)

(cid:54)

M(x , x ,...., x ) D

u

f (M)

(cid:22) là một hàm số của n biến số

Hay là

∈

=

=

∈

1

2

n

f (x , x ,...., x ) 2 n

1

,....,

là các biến số độc lập, còn

xác định trên D. D gọi là miền xác định của hàm số f;

, xx 1

2

nx

u gọi là biến số phụ thuộc.

3.1.3. Miền xác định của hàm nhiều biến số

Người ta quy ước: Nếu cho hàm số u = f(M) mà không nói gì về miền xác định D của nó thì phải hiểu rằng miền xác định D của hàm số là tập hợp các điểm M sao cho biểu thức f(M) có nghĩa.

Miền xác định của hàm số thường là tập liên thông. Sau đây là một số ví dụ về miền xác định của hàm số 2 biến số, 3 biến số.

Ví dụ 2: Tìm miền xác định của các hàm số sau và mô tả hình học các miền đó:

y

2

2

a)

, b)

z

ln(

x

y

)

, c)

u

=

+

=

z

1

x

y

=

−

−

2

2

2

9

x

y

z

−

−

−

Giải:

2

2

2

2

a. Miền xác định là tập

1

x

y

0

hay

x

1

. Đó là hình tròn

2 (x, y) ∈(cid:22) sao cho

−

−

≥

+ y

≤

đóng tâm O bán kính bằng 1 (H.3.2a). Hình tròn đóng này có thể mô tả bởi hệ bất phương trình:

1

x

1

≤≤−

2

2

1

x

1

x

−

−

y ≤≤

−

⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩

2

b. Miền xác định là tập

(x, y) ∈(cid:22) thoả mãn x + y > 0 hay y > -x. Đó là nửa mặt phẳng có

biên là đường y = -x (H.3.2b). Nửa mặt phẳng này được mô tả bởi hệ bất phương trình:

x

x +∞<<∞− y +∞<<−

⎧ ⎨ ⎩

2

2

2

x

y

z

9

. Đó là hình cầu mở tâm O bán

c. Miền xác định là tập

3 (x, y, z) ∈(cid:22) thoả mãn

+

+

<

kính bằng 3 (H.3.2c). Hình cầu mở này mô tả bởi hệ bất phương trình:

x

3

3

<<−

2

2

x

x

9

9

−

−

y ≤≤

−

2

2

2

2

x

y

x

y

9

9

−

−

−

z ≤≤

−

−

⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

84

Chương3: phép tính vi phân hàm số nhiều biến số

y

y

2

y

x

y

1 x

1

x

-1

x

1

0

0

-1

2

y

1 x

H.3.2b

H.3.2a

z

3

3

y

3

x

H.3.2c

3.1.4. Ý nghĩa hình học của hàm hai biến số

3

Cho hàm 2 biến z = f(x,y) với

. Tập các điểm

,( Dyx ∈)

(x, y, z) ∈(cid:22) với z = f(x,y) gọi là đồ

thị của hàm số đã cho. Như thế đồ thị của hàm 2 biến thường là một mặt cong trong không gian 3 chiều Oxyz. Đồ thị của hàm số mô tả một cách trực quan hàm số thể hiện được ý nghĩa hình học của hàm số. Dưới đây ta xét các mặt cong đặc biệt và đơn giản, thông dụng trong toán học và ứng dụng.

A. Mặt phẳng:

2

2

. Chẳng hạn

có

C

A

Mặt phẳng là đồ thị của hàm hai biến tuyến tính, nói cách khác phương trình mặt phẳng có 2 B dạng: Ax + By + Cz + D = 0 trong đó

0

0≠C

>

+

+

z

(

D

Ax

By

)

, hàm số này xác định trên

2(cid:22) .

−=

+

+

1 C

B. Ellipsoid

Ellipsoid là mặt cong, phương trình chính tắc của nó có dạng (H.3.3)

2

2

2

1

+

+

=

2

2

2

x a

y b

z c

85

Chương3: phép tính vi phân hàm số nhiều biến số

Đây là hàm hai biến cho dưới dạng không tường minh (dạng ẩn). Hàm số là đa trị. Chẳng hạn coi z là biến phụ thuộc vào x và y thì miền xác định là hình ellipse có các bán trục a và b:

2

2

+

1 ≤

2

2

x a

y b

2

2

2

2

Khi a = b = c = R ta có mặt cầu tâm gốc toạ độ và bán kính là R:

x

y

z

R

+

+

=

C. Paraboloid elliptic

2

2

Phương trình chính tắc của paraboloid elliptic có dạng (H.3.4):

z

=

2

x a

y + 2 b

2

2

Miền xác định của hàm số trên là

2(cid:22) . Khi a = b tức là phương trình có dạng:

x

y

2 za

+

=

Gọi đó là paraboloid tròn xoay.

D. Mặt trụ bậc 2

* Mặt trụ elliptic (H.3.5) có phương trình chính tắc:

86

Chương3: phép tính vi phân hàm số nhiều biến số

2

2

1

+

=

2

2

x a

y b

* Mặt trụ hyperbolic (H.3.6) có phương trình chính tắc:

2

2

x

y

1

−

−=

2

2

a

b

* Mặt trụ parabolic (H.3.7) có phương trình chính tắc:

y

2

px

2 =

E. Mặt nón bậc 2

Phương trình chính tắc của mặt nón có dạng (H.3.8)

2

2

2

0

+

−

=

2

2

2

x a

y b

z c

3.1.5. Giới hạn của hàm số nhiều biến số

Khái niệm giới hạn của hàm số nhiều biến số cũng được đưa về khái niệm giới hạn của hàm một biến số. Ở đây một biến số đóng vai trò là khoảng cách d(M0, M) giữa hai điểm M0 và M 2(cid:22) . trong không gian

n(cid:22) . Để đơn giản trong cách viết chúng ta xét trong không gian 2 chiều

nếu

∞→n

* Nói rằng dãy điểm Mn(xn, yn) dần đến điểm M0(x0, y0); kí hiệu

M n → khi 0M

x

x

=

0

n

(

,

hay là

0) =

n

MMd 0

lim n ∞→

y

y

=

0

n

lim n ∞→ lim n ∞→

⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩

( xf

y

)

l

,

=

* Cho hàm z = f(x,y) xác định ở lân cận M0(x0, y0), có thể trừ điểm M0. Ta nói rằng hàm f(M) có giới hạn là l khi M(x,y) dần đến M0(x0, y0) nếu mọi dãy điểm Mn(xn, yn) thuộc lân cận dần đến M0 ta đều có:

n

n

lim n ∞→

f x y ( ,

)

) lMf

(

hay

Thường kí hiệu

= l

=

,

)

x y ( ,

lim x ) ( → 0

y 0

lim MM →

0

Sử dụng ngôn ngữ

"," δε có thể định nghĩa như sau: Hàm số f(M) có giới hạn l khi

,0

0:0

(

,

)

) lMf

(

>∀ ε

>∃ δ

<

⇒< δ

<−

ε

0MM → nếu

MMd 0

Chú ý: 1. Tất cả các khái niệm giới hạn vô hạn hoặc các định lí về giới hạn: tổng, tích, thương, giới hạn thứ tự, nguyên lí kẹp đều giống như hàm số một biến số.

2. Từ định nghĩa ta nhận thấy: Giới hạn l của hàm số

f x y khi )

( ,

M M→ không 0

phụ thuộc đường đi của M tiến đến

0M , vì thế nếu chỉ ra hai đường đi của M tiến đến

f M tiến đến hai giá trị khác nhau thì hàm số không có giới hạn tại

(

)

0M mà

0M .

Ví dụ 3: Tìm các giới hạn

b.

c.

a.

2

2

2

xy 2

2

(

yx ,

)0,0(

lim ) →

(

)0,0(

(

)0,0(

, yx

yx ,

lim ) →

lim → )

y

x

xy +

x

2 yx 2 y +

x

y

+

Giải:

87

Chương3: phép tính vi phân hàm số nhiều biến số

2

2

a. Ta có

y

,

OMd

(

,

)

x

y

0 ≤−

=

+

2

x

2 yx 2 y +

2

2

khi

εδ

ε

,0 =∃>∀

0

x

y

y

<

+

y < ⇒ < ⇒

δ

δ

0 − ≤

< =

δ ε

2

x

2 x y 2 y +

0

Vậy

=

2

(

)0,0(

yx ,

lim → )

x

2 yx 2 y +

2

yxM ,(

)

O

)0,0(

→

b. Cho

theo đường y = Cx, C = const (hằng số) thì

=

2

2

2

y

x

1(

xy +

Cx 2 xC ) +

chứng tỏ dãy giá trị hàm có giới hạn khác nhau phụ thuộc vào C.

⇒

=

2

2

2

lim x 0 →

x

y

1

xy +

C C +

Theo chú ý 2, suy ra hàm không có giới hạn.

x

0

=

c.

Tương tự a. suy ra

. y

y .

0 − ≤

≤

xy 2

2

xy 2

2

2

2

(

)0,0(

yx ,

lim ) →

x

y

+

x

y

x

y

+

+

3.1.6. Sự liên tục của hàm số nhiều biến số

A. Định nghĩa

* Hàm số f(M) xác định trên miền D và

. Ta nói rằng hàm số f(M) liên tục tại

DM ∈0

0M

( Mf

)

( Mf

)

=

nếu

.

0

lim MM →

0

* Hàm số f(M) xác định trên miền D. Nói rằng hàm số liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm

DM ∈ .

D

DMNf

* Hàm số f(M) liên tục trên miền đóng D nếu nó liên tục trên miền D và liên tục tại mọi điểm . N ∂∈

theo nghĩa

( Mf

),

(

)

∈

=

lim NM →

* Nếu đặt

(

,

)

( xf

, yx

)

(

,

)

gọi là số gia toàn phần của hàm số tại

Δ

=

Δ+

y −Δ+

yxf 0

0

0

0

yxf 0

0

(

,

)

0

khi

và

.

0→Δx

Δ

→

0→Δy

(x0,y0) thì hàm số f(x,y) liên tục tại (x0, y0) nếu như

yxf 0

0

B. Tính chất

Hoàn toàn tương tự như hàm một biến số ta có tính chất quan trọng sau đây:

Định lý 3.1: Nếu f(x,y) liên tục trong miền đóng D giới nội thì nó đạt giá trị lớn nhất và giá

, DMDM

∈

để có bất đẳng thức kép:

trị bé nhất trong miền D tức là:

∈∃ 1

2

( Mf

)

( Mf

)

( Mf

),

DM

≤

≤

∈∀

1

2

88

Chương3: phép tính vi phân hàm số nhiều biến số

3.2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

3.2.1. Đạo hàm riêng

Cho hàm số u = f(x,y) xác định trong miền D và

,

y

D

∈)

. Cố định y = y0 trong hàm

( xM 0

0

0

số đã cho sẽ nhận được hàm số một biến số u = f(x, y0). Nếu hàm số này có đạo hàm tại x0 thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng của f(x, y) đối với x tại M0(x0, y0) và kí hiệu như sau:

(

x

)

hay

(

)

hay

(

)

hay

,

)

0 yxu x′ (

0

f x′

0 yx ,

0

0 yx ,

0

0 y ,

0

f ∂ x ∂

u ∂ x ∂

gọi đó là số gia riêng của hàm f(x, y) theo biến

yx ,

)

(

,

)

,

Đặt

)

xf (

Δ+

−

Δ

=

0

yxf 0

0

0

0

yxfx ( 0 x tại (x0, y0) và ta có:

,

)

Δ

x

0

(

)

=

, yx 0

0

lim 0 x →Δ

( yxf 0 x Δ

f ∂ x ∂

Tương tự ta có định nghĩa đạo hàm riêng của hàm số đối với y tại M0(x0, y0) và ký hiệu:

(

x

)

,

(

)

,

(

)

,

,

)

0 yxu y′ (

0

f y′

0 yx ,

0

0 yx ,

0

0 y ,

0

f ∂ y ∂

u ∂ y ∂

Chú ý: Có thể chuyển toàn bộ các phép tính đạo hàm của hàm một biến số: cộng, trừ, nhân, chia, … sang phép tính đạo hàm riêng.

Ví dụ 4: Tính đạo hàm riêng sau:

u

3 x y

u

,

(1,2),

(1,1)

a.

.

=

/ x

u′ y

y

(

),0

),

)

u

x

x

yxu ,(

yxu ,(

.

b.

=

>

′ x

′ y

c.

u

2 zx

arctg

zyxu ,(

,

),

zyxu ,(

,

),

zyxu ), ,(

,

.

=

′ x

′ y

′ z

y z

Giải:

a.

6)2,1(

,( yxu

2 yx

,

3) =

=

′ x

′⇒ u x

)

1)1,1(

yxu ,(

x

.

=

′ y

3 ′⇒= u y

y

y

,1 −

ln

u

yx

u

x

x

b.

=′ x

=′ y

c.

xzarctg

,

2), =

′ zyxu x ,(

y z

1

,

zyx ,( ),

2 zx

=

=

′ u y

22 zx 2

2

2

1 z

y

z

y

+

1

+

2

z

yz

1

2

2

x

arctg

2 zx

x

arctg

.

zyx ,( ),

(

)

=

−

=

−

′ u z

y 2

2

2

2

y z

y z

z

y

y

z

+

1

+

2

z

89

Chương3: phép tính vi phân hàm số nhiều biến số

3.2.2. Vi phân toàn phần

A. Định nghĩa

,x

y

Δ Δ của các đối số có dạng:

* Cho hàm số u = f(x, y) xác định trong miền D chứa (x0, y0). Nếu số gia toàn phần của hàm số tại (x0, y0) ứng với số gia

yBxA

x

y

(

,

)

.

.

(3.1)

. α

. β

Δ

Δ+Δ+Δ+Δ=

yxf 0

0

dần đến 0 khi

trong đó A, B là những số chỉ phụ thuộc vào (x0, y0), còn βα,

y

x

0

,0 →Δ→Δ

0MM → tức là . . yBxA Δ+Δ

thì nói rằng hàm số f(x, y) khả vi tại M0, còn biểu thức

khi được gọi là vi phân toàn phần của hàm số tại M0 và kí hiệu là df(x0, y0), hay du(x0, y0). Như vậy

)

.

.

,

yBxA Δ+Δ=

yxdf ( 0

0

* Hàm số u = f(x, y) được gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm của miền D.

B. Điều kiện cần của hàm số khả vi

Định lý 3.2: Nếu f(x, y) khả vi tại (x0, y0) thì liên tục tại đó.

y

x

0

,0 →Δ→Δ

khi

.

Từ (3.1) suy ra

(

,

)

0

Δ

→

yxf 0

0

),

(

)

(

.

, yx 0

, yx 0

0

0

Định lý 3.3: Nếu f(x, y) khả vi tại (x0, y0) thì hàm có các đạo hàm riêng tại (x0, y0) và ′= fA x

′= fB y

Chứng minh:

Từ (3.1) suy ra:

)

,

(

Δ

)

,

Δ

0

y

0

x

A +=

B +=

, α

β

yxf 0 y

( yxf 0 x Δ

Δ

Vậy

f

f

B

(

)

A ,

(

)

chứng tỏ

=

=

yx , 0

0

yx , 0

0

′ x

′ y

,

)

,

)

f

(

)

y

(3.2)

=

x Δ +

Δ

df x y ( 0 0

′ ( f x y 0 x 0

′ y

x y , 0 0

C. Điều kiện đủ của hàm số khả vi

Định lý 3.4: Nếu hàm số u = f(x, y) có các đạo hàm riêng

f

yx ,(

),

f

yx ,(

)

liên tục tại

′ x

′ y

M0(x0,y0) thì f(x, y) khả vi tại M0(x0, y0).

Chứng minh:

Ta có

(

,

)

xf (

yx ,

)

(

,

)

Δ

=

y −Δ+

yxf 0

0

0

0

yxf 0

0

xf (

yx ,

)

(

,

)

(

,

)

(

,

=

Δ+

y −Δ+

y Δ+

y −Δ+

+

Δ+ [

]

[

])

0

yxf 0

0

0

yxf 0

0

yxf 0

0

Áp dụng công thức số gia hữu hạn (công thức Lagrange) cho hàm một biến số f(x, y0 + ∆y) tại lân cận x0 và f(x0, y) ở lân cận y0 sẽ nhận được:

)

(

,

(

)

( xf

, yx

x

, yx

Δ+

y −Δ+

y x ΔΔ+

0

0

yxf 0

0

0

Δ+ θ 1

0

′=Δ+ ) y f x

y

y

(

,

)

(

,

)

(

)

y −Δ+

yxf 0

0

yxf 0

0

yx , 0

0

ΔΔ+ θ 2

′= f y

0

0,1

1

<

<

<

<

Trong đó

θ 1

θ 2

Cũng theo giả thiết

f

yx ,(

),

f

yx ,(

)

liên tục tại (x0, y0) nên:

′ x

′ y

90

Chương3: phép tính vi phân hàm số nhiều biến số

f

(

x

yx ,

(

)

y

)

( α

+

x , ΔΔ

0

Δ+ θ 1

0

yx , 0

0

′ x

′=Δ+ ) f y x

(

(

)

)

f

+

, x y ΔΔ

( β

′ y

, yx 0

0

′=Δ+ ) y f y

θ 2

, yx 0

0

Trong đó

khi

.

0

y

x

0

α

→ β

,0 →

,0 →Δ→Δ

Từ đó nhận được:

(

,

)

(

)

(

x

x

y

y

Δ

βα) Δ+Δ+Δ

yxf 0

0

′= f x

, yx 0

0

′+Δ f y

, yx 0

0

chứng tỏ hàm số khả vi tại (x0, y0).

2(cid:22) thì rõ ràng:

Nếu xét các hàm số h(x, y) = x và g(x, y) = y trong

dh(x, y) = dx = 1.∆x

dg(x, y) = dy = 1.∆y

Vậy vi phân toàn phần của hàm số f(x, y) tại (x0, y0) có thể viết dưới dạng:

(3.2)’

,

)

(

)

(

)

dx

dy

( yxdf 0

0

′= f x

, yx 0

0

′+ f y

, yx 0

0

D. Ý nghĩa của vi phân toàn phần

Nếu hàm số f(x, y) khả vi tại (x0, y0) thì rõ ràng:

(

,

)

,

Δ

=

βα) x y Δ+Δ+

yxf 0

0

( yxdf 0

0

y

x

0

,0 →Δ→Δ

Vì rằng

khi

.

0

≤

βα

→+

x

y

x y Δ+Δ βα 2 2 Δ+Δ

Suy ra df(x0, y0) khác số gia toàn phần ∆f(x0, y0) một vô cùng bé có bậc cao hơn vô cùng bé

2

y

x

0

. Vậy với

khá bé sẽ nhận được:

Δ ,

x Δ y

,0 →Δ→Δ

y

x

2 ρ= Δ + Δ khi

.

df

f ≈Δ

Từ đó nhận được

x y ,

)

(

,

)

,

)

(3.3)

+ Δ

y + Δ ≈

+

f x ( 0

0

f x y 0

0

df x y ( 0 0

Công thức (3.3) thường được sử dụng để tính gần đúng giá trị của hàm số.

Chú ý: Tính khả vi của tổng, tích, thương hai hàm cũng giống như hàm một biến số.

Ví dụ 5: Thực hiện phép tính vi phân các hàm số:

,1

df

a. Cho f(x,y) = x cos xy, tính

với Δx = 0,01 , Δy = 0,02.

π 4

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

2

(

xyey )

x −

b. Cho f(x,y) = xy2,

. Tính df(x,y).

Giải:

a.

,( yx

)

cos

xy

xy

sin

xy

,

,

,1

1

−

=

−

′ f x

′ xf

π 4

2 2

π 4

⎛ ⎜ ⎝

⎞ =⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

,( yx

)

sin

xy

,

,

,1

2−= x

′ f y

′ yf

π 4

2 2

⎛ ⎜ ⎝

⎞ −=⎟ ⎠

91

Chương3: phép tính vi phân hàm số nhiều biến số

,1

1

02,0.

df

1

.

−

−=

+

−

π 4

2 2

π 4

2 2

2 2

π 4

⎞ 01,0. ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ 01,0. ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ =⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

2

2

xy

xy

2

b.

f

yx ,(

)

e

y

(

x

ey )

,

=

+

−

′ x

2

2

xy

xy

f

yx ,(

)

e

2

xyx (

,

−=

+

−

′ y

2

xy

2

,( yxdf

)

e

y

(

x

y

)

xy

(

x

y

=

+

−

+

−

[ 2

}dy ] 1) − .

[ { 1

) ey ] dx

Ví dụ 6:

a. Tính gần đúng

arctg

.

05,1 97,0

b. Một hình trụ bằng kim loại có chiều cao h = 20 cm và bán kính đáy r = 4 cm. Khi nóng lên h và r nở thêm các đoạn Δh = Δr = 0,1 cm. Hãy tính gần đúng thể tích hình trụ khi nóng lên.

Giải:

a. Ta viết

arctg

. Xét hàm số

,( yxf

arctg

= arctg

=)

05,1 97,0

x y

05,01 03,01

+ −

arctg

xf (

yx ,

)

Rõ ràng

=

Δ+

y Δ+

, trong đó x0 = y0 = 1, Δx = 0,05 và Δy=-0,03.

0

0

05,1 97,0

Áp dụng công thức xấp xỉ (3.3) ta có:

y

y

f

xf (

yx ,

)

xf (

,

)

xdf (

,

)

)1,1(

05,0).1,1(

).(1,1(

)03,0

Δ+

y ≈Δ+

+

=

−

0

0

0

0

0

′+ f x

′+ f y

0

,

)

)

,( yx

,( yx

=

−=

=

−=

′ f x

′ f y

2

2

2

2

2

2

y

x

y

x

1 y

x 2 y

y +

x +

1

1

+

+

2

2

1 x y

1 x y

x y ,

)

arctg

.0, 05

.0, 03

+ Δ

y + Δ ≈

+

=

+

0, 04 0, 785 0, 04 0,825. +

=

=

f x ( 0

0

1 1 + 1 2

1 2

π 4

2

V

2 Vhr ,

Vrh ,

b. Ta có

=

π

2 π

r π

=′ r

=′ h

Áp dụng công thức (1.3):

2

3

rV (

hr ,

)

2 hr

rh

2 20.4.

2 1,0.4.

337.

6,

cm

Δ+

h ≈Δ+

+

r +Δ

h ≈Δ

+

+

≈

π

2 π

r π

π

1,0.20.4.2 π

π

π

3

3,0

.

Chứng tỏ sai số tuyệt đối không quá

≈

cmπ và sai số tương đối không quá

0,3 337

1 100

π π

3.2.3. Đạo hàm riêng cấp cao

Đạo hàm riêng cấp hai của một hàm là đạo hàm riêng các đạo hàm riêng cấp một của nó. Hàm hai biến f(x,y) có 4 đạo hàm riêng cấp hai sau đây:

2

2

f

f

f

f

=′′ xy

=′′ yx

=′′ x

=′′ y

∂ x ∂

f ∂ x ∂

∂ y ∂

f ∂ x ∂

∂ x ∂

f ∂ y ∂

∂ y ∂

f ∂ y ∂

⎞ , ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎛ ⎜ ⎝

⎞ , ⎟ ⎠

⎛ ⎜⎜ ⎝

⎞ ⎟⎟ , ⎠

⎛ ⎜⎜ ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

92

Chương3: phép tính vi phân hàm số nhiều biến số

2

2

2

2

hay

,

,

,

f 2

f 2

f ∂ yx ∂∂

f ∂ xy ∂∂

∂ x ∂

∂ y ∂

Hoàn toàn tương tự ta cũng có các định nghĩa đạo hàm riêng cấp cao hơn của hàm nhiều biến hơn.

2

4

y

z

−

+

Ví dụ 7: Tính các đạo hàm riêng

biết

,( zyxf ),

xe

.

=

f

,

f

,

f

)3( xyx

)3( xyz

)3( 2 yx

Giải:

x

2

y

4

z

x

2

y

4

z

x

2

y

4

z

−

+

−

+

−

+

f

e

,

f

e

,

f

2

e

−=

2

=′ x

=′′ x

)3( 2 yx

2

4

2

4

2

4

x

y

z

x

y

z

x

y

z

−

+

−

+

−

+

f

2

e

,

f

2

e

,

f

8 e

−=

−=

−=′′ xy

)3( xyx

)3( xyz

Nhận xét: Trong ví dụ trên có

f

f

.

=

)3( xyx

)3( 2 yx

Định lý 3.5(Schwarz): Nếu f(x,y) có các đạo hàm riêng hỗn hợp

xyf ′′ và

yxf ′′ trong lân cận

)

và liên tục tại M0(x0, y0) thì các đạo hàm hỗn hợp bằng nhau tại M0:

)

)

.

0MδΩ ( ′′ ( Mf xy

0

′′= ( Mf yx

0

Chứng minh: Lấy t, s đủ bé. Lập các hàm số sau đây trong lân cận M0:

g(x, y) = f(x + t, y) – f(x, y)

h(x, y) = f(x, y + s) – f(x, y)

Rõ ràng g(x0, y0 + s) – g(x0, y0) = h(x0 + t, y0) – h(x0, y0) Áp dụng định lý Lagrange cho hàm g(x0, y) tại y0 nhận được:

(

,

)

(

,

)

)

,

s

s

+

−

=

yxg 0

0

yxg 0

0

θ+ 1

0

0

′ y

, yt

s

)

(

x

(

=

+

+

+

]s

. ( yxgs [ fs

0

θ 1

′− f y

, yx 0

0

θ 1

′ y

0

s

Tiếp tục áp dụng định lý Lagrange cho hàm

yx ,(

)

tại x0 nhận được:

′ f y

0

θ+ 1

s

fst

x

s

(

,

)

(

,

)

(

yt ,

)

+

−

=

+

+

yxg 0

0

yxg 0

0

0

θ 2

0

θ 1

′′ yx

Hoàn toàn tương tự cũng có:

y

fst

x

s

xh (

yt ,

)

xh (

,

)

(

)

+

−

=

+

+

0

0

0

0

0

yt , γ 1

0

γ 2

′′ xy

f

x

y

x

y

Cho

0

, do tính liên tục nhận được

(

,

)

(

,

)

, →st

0

0

0

0

′′ xy

′′= f yx

Chú ý: Định lý trên cũng mở rộng cho các đạo hàm cấp cao hơn và hàm nhiều biến hơn.

3.2.4. Vi phân cấp cao

Ta nhận thấy

cũng là một hàm số của x, y nên có thể xét vi

)

)

)

,( yxdf

,( yx

dx

,( yx

dy

′= f x

′+ f y

2

,(

,(

))

(

)

phân của nó. Nếu df(x,y) khả vi thì vi phân của nó gọi là vi phân cấp hai của f(x, y), kí hiệu yxfd

và nói rằng f(x, y) khả vi đến cấp 2 tại (x, y).

yxdfd

=

n

n

1 −

yxfd

Tổng quát vi phân cấp n, nếu có sẽ kí hiệu:

,(

)

dd (

yxf ,(

))

=

Công thức vi phân cấp 2 như sau:

93

Chương3: phép tính vi phân hàm số nhiều biến số

2

,(

)

,(

(

))

yxfd

yxdfd

dx

dy

dx

dx

dy

=

=

+

+

+

∂ x ∂

f ∂ x ∂

f ∂ y ∂

∂ y ∂

f ∂ x ∂

f ∂ y ∂

⎛ ⎜⎜ ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎛ ⎜⎜ ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

2

2

2

2

2

dx

dxdy

dy

=

+

+

+

f 2

f 2

f ∂ yx ∂∂

f ∂ xy ∂∂

∂ y ∂

∂ x ∂

⎛ ⎜⎜ ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

Giả sử các đạo hàm riêng hỗn hợp liên tục, theo định lý Schwarz ta có:

2

2

2

2

2

2

,(

)

2

dy

dxdy

dx

yxfd

+

+

=

(3.4)

f 2

f 2

∂ y ∂

f ∂ yx ∂∂

∂ x ∂

Người ta dùng kí hiệu luỹ thừa tượng trưng để viết gọn như sau:

yxdf ,(

)

dx

dy

yxf ,(

)

=

+

∂ x ∂

∂ y ∂

⎛ ⎜⎜ ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

n

n

(3.5)

Tổng quát có

yxfd

,(

)

dx

dy

yxf ,(

)

=

+

∂ x ∂

∂ y ∂

⎛ ⎜⎜ ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

3.2.5. Đạo hàm của hàm số hợp

n

Cho

D ⊂(cid:22) và các ánh xạ

m : Dϕ →(cid:22)

f :

(D)ϕ →(cid:22)

=

1

y 1 y

=

2

y (x , x ,..., x ) 1 2 n y (x , x ,..., x ) 2 n

2

u

với

hay

=

u(y , y ,..., y ) 2 m

1

=

m

m

1

⎧ ⎪ ⎪ 1 ⎨ .................................. ⎪ ⎪ y (x , x ,..., x ) y ⎩ 2 n

m

(cid:22)

f

(cid:68) Dϕ

: →

Ánh xạ tích

cụ thể là

u

f ( (M)), M D,

(M)

= ϕ

∈ ϕ

⊂(cid:22) gọi là hàm số hợp.

xác định trên miền

Để cho đơn giản, sau đây ta xét n = 2, m = 2, khi đó hàm hợp f ϕ(cid:68) phẳng D

Định lý 3.6 : Cho u = f(x,y) với x = x(s, t); y = y(s, t) thoả mãn:

Các biến trung gian x(s, t), y(s, t) có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (a, b),

f(x, y) khả vi tại điểm (x0, y0) = (x(a, b), y(a, b)). Khi đó hàm hợp u = u(s, t) có đạo hàm riêng cấp 1 tại (a, b) tính theo công thức:

+

=

x ∂ s ∂

u ∂ s ∂

u ∂ x ∂

u ∂ y ∂

y ∂ s ∂

(3.6)

=

+

u ∂ t ∂

u ∂ x ∂

x ∂ t ∂

u ∂ y ∂

y ∂ t ∂

Công thức (3.6) có thể viết dưới dạng ma trận:

94

Chương3: phép tính vi phân hàm số nhiều biến số

=

u u ∂ ∂ t s ∂ ∂

u u ∂ ∂ x y ∂ ∂

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

x ∂ s ∂ y ∂ s ∂

x ∂ t ∂ y ∂ t ∂

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

được gọi là ma trận Jacobi của x, y đối với t, s; còn định thức của ma trận này gọi

x ∂ s ∂ y ∂ s ∂

x ∂ t ∂ y ∂ t ∂

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ là định thức Jacobi của x, y đối với t, s hay Jacobian của x, y đối với t, s và ký hiệu:

=

(3.7)

yxD ),( tsD ),(

x ∂ s ∂ y ∂ s ∂

x ∂ t ∂ y ∂ t ∂

Ví dụ 8: Tính các đạo hàm riêng

x

2

2

u

e

ln

y

,

x

st

,

y

s

t

.

=

=

=

−

Giải:

x

x

st

2

2

,

e

ln

ty .

e

.

2.

s

e

t

ln(

s

t

)

=

+

=

−

+

2

2

t

s

1 y

s 2 −

u ∂ s ∂

⎡ ⎢⎣

x

x

st

2

2

.

e

ln

sy .

e

.

e

s

ln(

s

t

)

=

+

t )2.( −

=

−

−

2

2

s

t

1 y

⎤ ⎥⎦ t 2 −

u ∂ t ∂

⎡ ⎢⎣

⎤ ⎥⎦

2

2

2

2

2

2

,

Ví dụ 9: Cho

u

r

x

y

z

. Chứng minh

u

u

u

0

.

=

=

+

+

=′′+′′+′′=Δ u

x

y

z

1 r

Giải:

Nhận xét: hàm số

u ′′ , sau đó thay x bởi y và

u

= đối xứng với x, y, z. Do đó ta chỉ cần tính

2x

1 r

z.

u

,

−=

′=′ −=′ ru . x x

x 3 r

1 2 . r

x r

2

2

,

u

x .3

.

+

−=

+

−=′′ x

1 3 r

1 4 r

x r

x 3 5 r

1 3 r

2

2

2

x

z

(3

)

+

+

0

.

Suy ra

u −=Δ

+

−=

+

=

y 5 r

3 3 r

3 3 r

3 3 r

Chú ý: Nếu u = f(x, y), y = y(x) khi đó u là hàm số hợp của một biến x. Do vậy người ta đưa

′

ra khái niệm đạo hàm toàn phần và công thức tính sẽ là:

.

y

.

=

+

du dx

f ∂ x ∂

f ∂ y ∂

3.2.6. Vi phân của hàm hợp

Xét hàm hợp u = f(x, y), x = x(s, t), y = y(s, t).

95

Chương3: phép tính vi phân hàm số nhiều biến số

Nếu hàm hợp có các đạo hàm riêng

liên tục thì nó khả vi và ta có:

,

u ∂ s ∂

u ∂ t ∂

du

ds

dt

=

+

u ∂ s ∂

u ∂ t ∂

Bây giờ ta biểu diễn du qua biến trung gian x, y theo công thức (3.6) có:

du

ds

dt

=

+

+

+

u ∂ x ∂

x ∂ s ∂

u ∂ x ∂

x ∂ t ∂

u ∂ y ∂

y ∂ s ∂

u ∂ y ∂

y ∂ t ∂

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎛ ⎜⎜ ⎝

⎛ ⎜⎜ ⎝

ds

dt

ds

dt

+

=

+

u ∂ y ∂

y ∂ s ∂

y ∂ t ∂

u ∂ x ∂

x ∂ s ∂

x ∂ t ∂

⎞ ⎟ ⎠

⎞ +⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎛ ⎜ ⎝

dx

dy

.

=

+

u ∂ x ∂

u ∂ y ∂

Như vậy dạng của công thức vi phân cấp 1 không đổi dù x, y là các biến độc lập hay là hàm của các biến s, t. Tính chất này gọi là tính chất bất biến dạng của vi phân cấp 1.

Chú ý: Cũng như hàm một biến số, vi phân cấp cao không có tính bất biến dạng.

3.2.7. Đạo hàm của hàm số ẩn

A. Hàm ẩn một biến

Cho một hệ thức giữa hai biến, x, y dạng: F(x, y) = 0

(3.8)

x y x

( ))

sao cho ( ,

xy )(

x

trong đó F(x, y) là hàm hai biến xác định trong miền mở D chứa (x0, y0) và F(x0, y0) = 0. Giả D∈ và F(x, y(x)) = 0. Hàm số y = y(x) sử rằng

δ

x ∈∀

+

∃

−

) , δ

(

0

x , 0

gọi là hàm ẩn của x xác định bởi phương trình (3.8).

Định lý 3.7: Nếu F(x, y) thoả mãn các điều kiện:

F liên tục trong lân cận

)

và F(M0) = 0.

( 0MδΩ

Các đạo hàm riêng

trong lân cận

)

(

thì phương

liên tục và

,

0) ≠

yx , 0

0

( 0MδΩ

F ∂ y ∂

F ∂ x ∂

F ∂ y ∂

x

và ta có:

trình (3.8) xác định một hàm ẩn y(x) khả vi liên tục trong khoảng

(

) ε

− x ,

ε + 0

0

(3.9)

−=

dy dx

′ F x ′ F y

Chú ý: Để nhận được công thức (3.9) chúng ta chỉ việc lấy vi phân 2 vế của (3.8) trong đó có y = y(x) và áp dụng tính bất biến của dạng vi phân cấp 1.

Thật vậy dF(x, y) = 0 hay

hay

0

. Từ đó suy ra (3.9).

0=

. =′

′ dxF x

′+ dyF y

′+′ F yF x y

Ví dụ 10: Tính

)1(y′

biết

xy

e

x sin

y

−

π=

Giải:

Lấy đạo hàm toàn phần (hay vi phân) và coi y là hàm của x hai vế của phương trình đã cho có:

x

x

y

yx

e

sin

y

e

cos

yy .

0

+

−′

−

=′

96

Chương3: phép tính vi phân hàm số nhiều biến số

Thay

vào phương trình hàm ẩn, nhận được:

. Dùng phương pháp đồ

y

(1)

e

y sin (1)

1=x

π− =

thị giải phương trình này, nhận được nghiệm

.

π=)1(y

e

e

y

Vậy

)1(

sin

cos

π

π

. π

′+ y

−

−

′ 0)1( =

.

y

′ )1(

−=

π e 1 +

′′

Ví dụ 11: Tính

x

arctgy

′, yy

biết

y +−

0=

Giải:

Lấy đạo hàm toàn phần hai vế coi y = y(x)

2

1

2

y

y

1

0

1

+′− y

=′⇒=

2 +=′⇒ yy

2

y 2

′ y

+ y

1

y +

2

y

2(1

)

′′

′

.

y ⇒ =

′′ y ⇒ = −

Lấy đạo hàm tiếp ta có

2

yy

2 yy

2

yy

2 +′

=′′

′− ′ ) 2 (1 y y y

+ 5 y

B. Hàm ẩn hai biến

Định lý 3.8: Cho phương trình hàm ẩn F(x, y, z) = 0 và F(x, y, z) thoả mãn các điều kiện:

F(x, y, z) liên tục trong hình cầu mở

)

và F(M0) = F(x0, y0, z0) = 0;

( 0MδΩ

Các đạo hàm riêng

,

,

liên tục và

′ (

trong hình cầu

)

0) ≠

′ ′ FFF y z

′ x

zyxFz , , 0

0

0

0MδΩ (

Khi đó phương trình hàm ẩn xác định một hàm ẩn z = z (x, y) có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận

)

,

đồng thời:

0

( 0 yxεΩ

F

(3.10)

,

−=

−=

z ∂ x ∂

z ∂ y ∂

′ F x ′ F z

′ y ′ F z

Tương tự như định lý 3.7. ta không chứng minh định lý này.

Cũng như trong trường hợp hàm ẩn một biến, để tính các đạo hàm riêng cũng như vi phân của

hàm ẩn ta lấy vi phân toàn phần hai vế của phương trình hàm ẩn sau đó đi tìm

,

,

dz

z ∂ x ∂

z ∂ y ∂

Ví dụ 12: Cho xyz = x + y + z. Coi z là hàm số ẩn, hãy tính

z

,

z

,

dz

.

′ x

′ y

Giải:

Lấy vi phân toàn phần phương trình hàm ẩn sẽ có:

d(xyz) = d(x + y + z)

yz dx + zx dy + xy dz = dx + dy + dz

(xy – 1) dz = (1- yz) dz + (1-zx) dy

dz

yz

)1

dx

(

zx

)1

−=

−

+

−

[ (

]dy

1

1 xy −

z

.

,

−=′⇒ z x

−=′ y

yz yx

xz xy

1 1

1 1

− −

− −

97

Chương3: phép tính vi phân hàm số nhiều biến số

3.2.8. Đạo hàm theo hướng. Građiên (Gradient)

A. Định nghĩa:

Cho u(x, y, z) xác định trên miền

(

,

D

, một hướng được đặc trưng

3 D ⊂(cid:22) và

∈)

, zyxM 0

0

0

0

→ (cid:65)

(cos

, cos

, cos ) α β γ

=

bởi véc tơ

, như vậy:

→ (cid:65) có véc tơ đơn vị

→ (cid:65) → (cid:65)

→ (cid:65)

→ (cid:65)

),

Oy (

,

),

Oz (

,

)

→ (cid:65) . Người ta gọi cos , cos , cos

α

=

=

β

γ

=

α β γ là các côsin

2

(Ox, (cid:71) (cid:65) . Rõ ràng

cos

1.

c os

c os

chỉ phương của

α

+

2 β

+

2 γ

= (H.3.9)

(

)

)

Lấy

, lập tỉ số

DM ∈ sao cho

(cid:65)ρ=MM

=

0

0

u Δ ρ

0MuMu ( − ρ

Nếu tỉ số trên có giới hạn hữu hạn khi

thì giới hạn ấy được gọi là đạo hàm của hàm

0→ρ

(

M

)

tức là:

u(M) theo hướng (cid:65) tại M0 và kí hiệu là

0

u ∂ (cid:71) (cid:65) ∂

(

(

)

u ∂

0

(

)

M

=

0

lim 0 ρ →

MuMu ) − ρ

(cid:65)∂

Chú ý:

1. Cũng giống như ý nghĩa của đạo hàm, có thể coi rằng đạo hàm theo hướng (cid:65) biểu thị tốc

độ biến thiên của hàm u(M) theo hướng (cid:65) .

2. Nếu (cid:65) có hướng của trục Ox thì

. Giả sử

,

,

)

thì

)

khi

y

z

xM (

, ρ+

zy , 0

0

0

)0,0,1(0(cid:65)

xM ( 0

0

0

0

đó:

98

Chương3: phép tính vi phân hàm số nhiều biến số

(

,

)

( xu

+

−

, ρ

u ∂

0

, zy 0

, zyxu 0

0

0

(

(

M

)

M

=

0

0

lim) = 0 → ρ

) 0 ρ

u ∂ x ∂

(cid:65)

∂

0

Chứng tỏ các đạo hàm riêng

,

,

là đạo hàm của hàm u theo hướng của các trục Ox, Oy,

′ uuu y

′ x

′ z

Oz.

B. Công thức tính

cos

cos

cos

,

,

thì:

Định lý 3.9: Nếu hàm số u(x, y, z) khả vi tại M0(x0, y0, z0) và (cid:65) bất kỳ có các côsin chỉ phương

γβα

u ∂

(

)

(

)

cos

(

)

cos

(

)

cos

(3.11)

M

M

M

M

=

α

+

β

+

γ

0

0

0

0

u ∂ z ∂

u ∂ x ∂

u ∂ y ∂

(cid:65)

∂

Chứng minh:

) u u M u M

(

(

)

(

)

(

(

(

)

)

Δ =

=

−

Δ +

Δ +

Δ +

) u M x u M y u M z o ρ

Theo ý nghĩa của hàm khả vi ta có: ′ x

0

′ y

0

′ z

0

0

trong đó (

)

.

o ρ là VCB bậc cao hơn ρ khi

0→ρ

Mặt khác

suy ra:

x =Δ

y =Δ

z =Δ

cos , αρ

cos , βρ

cos γρ

o

.

)cos

)cos

)cos

=

+

+

+

α

β

γ

′ u M ( x

0

′ u M ( y

0

′ u M ( z

0

u Δ ρ

) ( ρ ρ

0→ρ

Chuyển qua giới hạn khi

sẽ có (3.11)

C. Građiên

3

Cho u(x, y, z) có các đạo hàm riêng tại

M (x , y , z ) D∈ ⊂(cid:22) . 0

0

0

0

Gọi véc tơ

(

),

),

(

(

))

là građiên của hàm u(x, y, z) tại M0 và kí hiệu là

′ MuMuMu ( y

′ x

′ z

0

0

0

grad u(M0).

grad

Mu (

)

(

),

),

(

(

))

=

′ MuMuMu ( y

′ x

′ z

0

0

0

0

(3.12)

(

(

(

iMu )

jMu )

kMu )

′= x

0

′+ y

0

′+ z

0

i

,

, kj

là các véc tơ đơn vị của các trục Ox, Oy, Oz.

trong đó

D. Liên hệ giữa građiên và đạo hàm theo hướng.

Định lý 3.10: Nếu u(M) khả vi tại M0 thì tại đó có:

→ (cid:65)

. (3.13)

ch gradu

gradu

=

=

0 .

(cid:71) (cid:65)

u ∂ (cid:71) (cid:65) ∂

Chứng minh:

Ta có

cos

cos

cos

nên (3.11) có thể viết như sau:

i

j

k

+

+

α

β

γ

=(cid:65) 0

u ∂

(cid:65)

(

)

(cid:65) ).

)

M

grad

Mu (

grad

Mu (

=

=

θcos

0

0

0

0

0

(cid:65)

∂

99

Chương3: phép tính vi phân hàm số nhiều biến số

,

1

trong đó θ là góc giữa hai véc tơ (cid:65) và grad u(M0), mà

0 =(cid:65)

)

cos

)

. Vậy nhận được công thức (3.13)

grad

Mu (

ch

grad

Mu (

=θ

0

0

(cid:65)

u ∂

1

Chú ý: Từ (3.13) suy ra

max

)

)

khi

(

grad

Mu (

M

cos =θ , tức là (cid:65) cùng phương

=

0

0

(cid:65)

∂

với grad u(M0) chứng tỏ grad u(M0) cho ta biết phương theo nó tốc độ biến thiên của u tại M0 có giá trị tuyệt đối cực đại.

3

3

Ví dụ 13: Cho

u

x

y

z

xyz

=

+

+

33 +

, M0(1, 2, -3), (cid:65) (2, 1, -2).

u ∂

.

(

)

Tính grad u(M0) và

0M

(cid:65)∂

Giải:

2

2

2

3

,3

3

,3

3

3

u

x

uyz

y

uzx

z

xy

+

+

+

=′ x

=′ y

=′ z

Vậy grad u(1, 2, -3) = (3 – 18, 12 – 9, 27 + 6) = (-15, 3, 33) = 3(-5, 1, 11)

u ∂

31

.11

.1

.5

,

,

−

−

+

−

(cid:65) (2, 1, -2)

(cid:65) =⇒ 0

2 3

1 3

2 3

2 3

1 3

2 3

(cid:65)

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⇒⎟ ⎠

⎛ 3)3,2,1( =− ⎜ ⎝

⎞ −=⎟ ⎠

∂

3.3. CỰC TRỊ

3.3.1. Cực trị tự do

A. Định nghĩa và điều kiện cần của cực trị

2

Điểm

M (x , y ) ∈(cid:22) gọi là điểm cực đại (địa phương) của hàm f(M) nếu có lân cận đủ bé

0

0

0

của M0 để trong lân cận đó (trừ M0) xảy ra bất đẳng thức f(M) < f(M0) Tương tự ta có khái niệm điểm cực tiểu (địa phương) của hàm số f(M).

Điểm M0(x0, y0) trong các trường hợp trên gọi chung là điểm cực trị. Tương tự như định lý Fermat đối với hàm một biến số, ta có điều kiện cần của cực trị dưới đây.

Định lý 3.11. Nếu f(x, y) đạt cực trị tại M0 và có các đạo hàm riêng tại đó thì các đạo hàm riêng bằng 0.

Chứng minh: Giả sử f(x, y) đạt cực trị tại (x0, y0). Theo định nghĩa suy ra hàm một biến f(x,y0) đạt cực trị tại x0, f(x0, y) đạt cực trị tại y0. Theo định lý Fermat ta có:

)

0

0

hay

=

(

) 0 =

, yx 0

0

,( yxdf dx

f ∂ x ∂

= xx

0

,

)

y

0

,

hay

x

y

=

(

) 0 =

0

0

( xdf 0 dy

f ∂ y ∂

= yy

0

Chú ý: Điểm mà tại đó các đạo hàm riêng bằng không gọi là điểm dừng của hàm số. Như vậy điểm dừng chưa chắc là điểm cực trị. Chẳng hạn u = xy có điểm dừng là (0 0) nhưng trong bất

100

Chương3: phép tính vi phân hàm số nhiều biến số

(

)

(

)

x

kỳ lân cận nào của gốc toạ độ (0, 0) đều có các điểm

và

để

2

(

,

)

f

)0,0(

xf (

,

y

)

f

)0,0(

,0

x

2 y , y ,0

0

và

(lấy

).

>

<

>

<

>

yxf 1 1

2

2

x 1

1 yx , 1 y ,0 > 1

2

2

B. Điều kiện đủ của cực trị

Trong thực tế thường gặp hàm hai biến f(x, y) và để tìm cực trị của nó, người ta thường sử dụng định lí sau đây, coi như là điều kiện đủ để hàm đạt cực trị. Ta không chứng minh định lý này.

Định lý 3.12. Giả sử f(x, y) có đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại lân cận điểm dừng (x0, y0) và gọi:

2

2

2

(

,

),

(

,

),

(

x

,

y

)

(3.14)

x

y

C

x

y

B

A

và

AC

=

=

=

=Δ

2 B −

0

0

0

0

0

0

f 2

f 2

f ∂ yx ∂∂

∂ y ∂

∂ x ∂

Nếu Δ > 0 thì hàm số không đạt cực trị tại (x0, y0)

Nếu Δ = 0 thì chưa kết luận gì được về (x0, y0)

Nếu Δ < 0 thì hàm số đạt cực trị tại (x0, y0)

Cụ thể đạt cực đại nếu A < 0, đạt cực tiểu nếu A > 0.

Ví dụ 14: Xét cực trị của hàm số

4

4

2

2

z

x

y

x

2

xy

y

.

=

+

−

−

−

Giải:

Nhận xét: Hàm số z khả vi mọi cấp trên

2(cid:22) , ta có thể áp dụng định lý 3.12.

* Tìm điểm dừng:

3

3

3

z

y

x

x

2

0

2

4

−

=

−

y

⇒

⇒

3

x y = ( 2xx

)1

0

z

x

y

y

0

2

2

4

−

=

−

=

−

x

y

x = 2 3 x

0

=−−

=′ x =′ y

⎧ ⎨ ⎩

⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩

⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩ Nhận được ba điểm dừng:

,

,

1 1

x y

0 0

x y

x y

= =

= =

1 −= 1 −=

⎧ ⎨ ⎩

⎧ ⎨ ⎩

⎧ ⎨ ⎩

*

2

2

2

zA

12

x

B

C

12

y

2

−=

=

−

−

2

2

x

y

−

−

,2 ( 6)1

,2 ) 1

6(44 0

=′′= x −=Δ )0,0( Δ =

Nhận thấy z(0,0) = 0.

Với x = y =

2

0

thì

z

với n > 1

−

1 n

1 1 , nn

2 2 n

1 2 n

⎞ <⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ =⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

,

0

, y = -

thì

z

.

Với x =

−

1 n

1 n

1 n

1 n

2 4 > n

⎞ =⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

Như vậy trong bất kỳ lân cận nào của gốc toạ độ ta luôn tìm được các điểm (tìm được n) để hàm đổi dấu, chứng tỏ hàm không đạt cực trị tại (0, 0)

101

Chương3: phép tính vi phân hàm số nhiều biến số

Δ (1, 1) = Δ (-1, -1) = -96 < 0 và A (1, 1) = A(-1, -1) = 10 > 0.

Vậy hàm đạt cực tiểu tại (1,1) và (-1, -1)

Giá trị cực tiểu là z (1,1) = z(-1, -1) = -2.

3.3.2. Cực trị có điều kiện

A. Định nghĩa và điều kiện cần

,(

0

)

nếu thoả mãn

2∈(cid:22) gọi là điểm cực đại của hàm số f(x, y) với ràng buộc (hoặc có điều kiện) đồng thời tồn tại lân cận đủ bé của

0

)

(

Điểm M0(x0, y0) =yxϕ

0M trên đường

,(

)

cong ràng buộc

=yxϕ

0 =Mϕ 0 , trong lân cận đó có bất đẳng thức f(M) < f(M0)

Tương tự ta có khái niệm điểm cực tiểu của hàm số với ràng buộc

,(

)

0

=yxϕ

Để đơn giản bài toán tìm cực trị của hàm hai biến với điều kiện

,(

)

0

được kí hiệu như

=yxϕ

sau:

(3.15)

) = 0

extf yx ,( ⎧ ⎨ ) yx ,( ϕ ⎩

Trong đó ext là viết tắt của từ extremum nghĩa là cực trị.

Định lý 3.13. Giả sử M0(x0, y0) là điểm cực trị có điều kiện của hàm số f(x,y) với điều kiện (3.15) và thoả mãn:

Các hàm f(x, y) và

)

yxϕ ,(

có các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trong lân cận của M0(x0, y0)

của đường cong ràng buộc (3.15)

)

yxϕ ,(

. Khi đó tồn tại số thực λ thoả mãn hệ

M0(x0, y0) không phải là điểm dừng của hàm phương trình:

f

x

y

x

y

(

,

)

(

,

)

0

+

=

(3.16)

f

0 x

0 y

0 y

0 x

(

,

)

,

(

)

0

+

=

′ x ′ y

0

0

′ ϕλ x ′ ϕλ y

0

0

⎧ ⎨ ⎩

Chú ý: Hàm số

yxL ,(

,

yxf ,(

)

yx ,(

)

) λ

=

+

λϕ

được gọi là hàm Lagrange và λ được gọi là

)

)

,

,

,

x

y

y

( ϕ

λ 0

0

0

0

0

nhân tử Lagrange. Như vậy với điều kiện cho phép ta sẽ đi tìm điểm dừng (x0, y0, λ0) của hàm ′= Lagrange (do điều kiện tiên quyết ( =0), tiếp theo xem xét một số các xF λ

điều kiện của bài toán (3.15) để có kết luận chính xác xem điểm (x0, y0) có phải là điểm cực trị có điều kiện hay không.

Ví dụ 15: Tìm cực trị của hàm số z = x2 + y2 với ràng buộc ax + by + c = 0, c ≠ 0, a2 + b2 > 0. Giải: Về hình học, đây là bài toán tìm cực trị của bình phương khoảng cách từ gốc toạ độ đến các điểm trên đường thẳng (H.3.10). Vậy bài toán có duy nhất cực tiểu đó là chân đường vuông góc hạ từ O tới đường thẳng.

102

Chương3: phép tính vi phân hàm số nhiều biến số

y

(

x

)

0 y ,

0

c b

yx ,(

)

x

0

c a

H.3.10

Lập hàm Lagrange: L = x2 + y2 + λ(ax + by + c)

2

x

0

L

+

=

a λ

y

L

2

0

+

=

b λ

Tìm điểm dừng của L:

ax

by

0

+

c =+

=′ x =′ y =′ L λ

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

Thay

x

,

y

vào phương trình cuối nhận được:

−=

−=

b λ 2

a λ 2

2

2

a

b

)

c

,

−

+

−=

λ

=

2

2

λ ( 2

b

a

2 c +

,

y

x −=⇒

−=

2

2

2

2

a

b

a

b

bc +

ac +

,

là điểm cực tiểu và giá trị cực tiểu bằng

−

−

Điểm dừng duy nhất M0

2

2

2

2

a

b

a

b

ac +

bc +

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

2

.

2

2

a

b

c +

B. Điều kiện đủ

Định lý 3.14. Giả sử f(x, y) và

)

yxϕ ,(

có đạo hàm riêng cấp 2 liên tục ở lân cận (x0,y0) và

(x0, y0, λ) là điểm dừng của hàm Lagrange, khi đó:

2

2

2

2

,

y

,

(

x

,

y

,

dx

2

L

(

x

,

y

,

dxdy

(

x

,

y

,

dy

* Nếu

) λ

) λ

) λ

+

( 2 xLd

) λ

′′ xy

0

0

0

0

0

0

0

0

′′= L x

′′+ L y

xác định dấu đối với dx, dy trong miền thoả mãn ràng buộc:

2

2

,

,

,

(

(

)

)

x

y

x

y

x

y

dx

dy

dx

,0

0

( d ϕ

≠

+

=

0

0

0

0

0

0

′+ ϕ y

′= ϕ x

) dy thì f(x,y) đạt cực trị có ràng buộc tại (x0, y0). Đạt cực đại nếu d2L(x0, y0,λ) >0 và đạt cực tiểu nếu d2L(x0, y0,λ) <0. * Nếu d2L(x0, y0,λ) không xác định dấu trong miền nói trên thì hàm không đạt cực trị ràng buộc tại (x0, y0).

103

Chương3: phép tính vi phân hàm số nhiều biến số

ext x (

z

)

Ví dụ 16: Giải bài toán

y + + 1

= 0,

y

0,

z

0

>

>

⎧ ⎪ xyz ⎨ ⎪ > x ⎩

Giải: * Hàm Lagrange: L(x,y,z,λ) = x + y + z + λ(xyz - 1) * Tìm điểm dừng:

yz

0

λ

1 = +

=

/ L x

zx

0

λ

1 = +

=

/ L y

xy

0

λ

1 = +

=

xyz

1 0

=

− =

/ L z / L λ

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

và x = y = z = 1

xyz

0

d

(

)

Nhân 2 vế của phương trình thứ nhất với x và để ý đến phương trình thứ tư sẽ nhận được 1−=λ * Xét dấu của d2L(1,1,1,-1) với dx, dy, dz thoả mãn

và dx2 + dy2 + dz2 ≠ 0

=

zyx

1 ===

Ta có

2

2

2

0

,

L

L

, Lz

, Lx

y

−=′′ xy

−=′′ yz

−=′′ zx

′′=′′==′′ L L x z

y

2 Ld

dxdy

dydz

dzdx

Suy ra

)1,1,1,1(

(2

)

−=−

+

+

Mặt khác

d

(

xyz

)

(

yzdx

zxdy

xydz

)

dx

dy

dz

0

=

+

+

=

+

+

=

)1,1,1(

)1,1,1(

Suy ra dz = - dx – dy

2

2

2

2 Ld

dxdy

dx

dy

dx

dy

dx

dy

khi dx2 + dy2+dz2 > 0

)1,1,1,1(

(2

(

2 ))

(

)

0

−=−

−

+

=

+

+

+

>

Vậy hàm số đạt cực tiểu có ràng buộc tại (1,1,1) và min (x + y + z) = 3

TÓM TẮT NỘI DUNG CHƯƠNG III.

2

2

)

l

) lMf

(

=

=

hay

,

• Giới hạn :

d M M

(

,

)

(

x

)

(

y

)

y

=

−

+

−

0

x 0

0

lim MM →

0

lim yx ),(

n )

( xf , y n yx ( , → 0

0

,0

0:0

(

,

)

) lMf

(

nếu

<

<−

ε >∀

δ >∃

δ ⇒<

ε

MMd 0

. Ta nói rằng hàm số

• Sự liên tục của hàm số: Hàm số f(M) xác định trên miền D và

DM ∈0

Mf (

)

Mf (

)

=

f(M) liên tục tại

0

0M nếu

lim MM →

0

gọi đó là số gia riêng của

,

xf (

)

yx ,

)

(

,

)

Δ

=

Δ+

−

• Đạo hàm riêng: Đặt

0

0

yxf 0

0

yxfx ( 0

0 hàm f(x, y) theo biến x tại (x0, y0) và ta có:

)

,

Δ

0

x

,

,

)

,

(

)

=

, yx 0

0

0

0

′ ( xf x y

lim x 0 →Δ

f ∂ x ∂

( yxf 0 x Δ

Tương tự ta có định nghĩa đạo hàm riêng của hàm số đối với y tại M0(x0, y0) và ký hiệu:

104

Chương3: phép tính vi phân hàm số nhiều biến số

,

)

(

x

)

,

(

)

,

(

)

,

0

0 yx ,

0

0 yx ,

0

0 yxu y′ (

f y′

0 y ,

0

f ∂ y ∂

u ∂ y ∂

Có thể chuyển toàn bộ các phép tính đạo hàm của hàm một biến số: cộng, trừ, nhân, chia,… sang phép tính đạo hàm riêng.

• Vi phân toàn phần của hàm số f(x, y) tại (x0, y0) và công thức tính gần đúng :

,

)

(

)

(

)

dx

dy

( yxdf 0

0

, yx 0

0

, yx 0

0

′= f x

′+ f y

df

hay

x y ,

)

(

,

)

,

)

f ≈Δ

+ Δ

y + Δ ≈

+

f x ( 0

0

f x y 0

0

df x y ( 0 0

• Đạo hàm riêng cấp cao

2

2

f

f

f

f

=′′ xy

=′′ yx

=′′ x

=′′ y

∂ y ∂

f ∂ y ∂

∂ x ∂

f ∂ y ∂

∂ y ∂

f ∂ x ∂

∂ x ∂

f ∂ x ∂

⎞ , ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ , ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎛ ⎜⎜ ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎛ ⎜⎜ ⎝

⎞ ⎟⎟ , ⎠

2

2

2

2

hay

,

,

,

f 2

f 2

f ∂ yx ∂∂

f ∂ xy ∂∂

∂ x ∂

∂ y ∂

)

)

.

• Công thức Schwarz :

0

0

′′ ( Mf xy

′′= ( Mf yx

• Vi phân cấp cao

2

2

2

2

2

2

yxfd

,(

)

dx

2

dxdy

dy

=

+

+

f 2

f 2

f ∂ yx ∂∂

∂ y ∂

∂ x ∂

Người ta dùng kí hiệu luỹ thừa tượng trưng để viết gọn như sau:

n

nd f x y ( ,

)

dx

dy

f x y ( ,

)

=

+

∂ y ∂

∂ x ∂

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

• Đạo hàm của hàm số hợp

,

=

+

=

+

u ∂ s ∂

u ∂ x ∂

x ∂ s ∂

u ∂ y ∂

y ∂ s ∂

u ∂ x ∂

u ∂ y ∂

y ∂ t ∂

x ∂ t ∂

u ∂ t ∂

F

,

,

• Đạo hàm của hàm ẩn

−=

−=

−=

dy dx

z ∂ x ∂

z ∂ y ∂

′ F x ′ F z

′ y ′ F z

′ F x ′ F y

• Đạo hàm theo hướng. Nếu hàm số u(x, y, z) khả vi tại M0(x0, y0, z0) và (cid:65) bất kỳ có các côsin chỉ phương

thì:

cos

cos

cos

,

,

γβα

u ∂

M

M

M

(

)

(

)

cos

(

)

cos

(

M

)

cos

α

β

γ

=

+

+

0

0

0

0

u ∂ z ∂

u ∂ x ∂

u ∂ y ∂

(cid:65)

∂

grad

Mu (

)

(

),

),

(

(

))

=

• Građiên:

0

0

0

0

′ MuMuMu ( y

′ x

′ z

) iMu

(

) jMu

(

) kMu

(

0

0

0

′= x

′+ y

′+ z

i

,

, kj

là các véc tơ đơn vị của các trục Ox, Oy, Oz.

trong đó

u ∂

ch

gradu

=

(cid:65)

(cid:65)

∂

105

Chương3: phép tính vi phân hàm số nhiều biến số

f

(

) 0 =

/ x

• Cực trị: Giải hệ

f

(

) 0 =

x y , 0 0 x y , 0 0

/ y

⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩

2

2

2

A

(

x

,

y

),

B

(

x

,

y

),

C

(

x

,

y

)

Gọi

AC

=

=

=

=Δ

2 B −

0

0

0

0

0

0

f 2

f 2

f ∂ yx ∂∂

∂ x ∂

∂ y ∂

Nếu Δ > 0 thì hàm số không đạt cực trị tại (x0, y0)

Nếu Δ = 0 thì chưa kết luận gì được về (x0, y0)

Nếu Δ < 0 thì hàm số đạt cực trị tại (x0, y0)

Cụ thể: đạt cực đại nếu A < 0, đạt cực tiểu nếu A > 0

• Cực trị có điều kiện. Phương pháp nhân tử Lagrange

)

,

(

, x y

+

) 0 =

Tìm

(

)

,

,

)

(

(

f

, x y

, x y

+

) 0 =

x y λ thoả mãn hệ phương trình: 0

0

′ λϕ x ′ λϕ y

) 0 =

′ ⎧ ( f x y x ⎪ ′ ⎨ y ⎪ ( , x y ϕ ⎩

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG III

3.1. Miền liên thông D là miền có biên chỉ là một đường cong kín.

Đúng Sai

,

)

f x y

(

,

)

3.2. Nếu tồn tại

thì tồn tại

và chúng bằng nhau.

f x y 0

,

)

x y ( ,

lim ( y y → 0

lim x ) ( → 0

y 0

Đúng Sai

3.3. Hàm số f(x,y) có đạo hàm riêng tại

(

)

thì khả vi tại đó.

x y , 0 0

Đúng Sai

3.4. Hàm số f(x,y) khả vi tại

(

)

thì liên tục tại đó .

x y , 0

0

Đúng Sai

3.5. Hàm số f(x,y) khả vi tại

(

)

thì có các đạo hàm riêng tại đó .

x y , 0

0

Đúng Sai

//

//

(

),

f

(

)

(

)

f

(

)

3.6. Tồn tại

thì

=

x y , 0 0

// yx

x y , 0

0

x y , 0

0

// yx

x y , 0

0

xyf

xyf

Đúng Sai

3.7. Nếu f(x,y) có đạo hàm riêng liên tục đến cấp hai và

x

x t y ( ),

y t ( )

khả vi đến cấp hai

=

=

2

2

2 d f

2

=

+

+

// f dx dy . xy

// f dx 2 x

// f dy 2 y

Đúng Sai

3.8. Hàm số f(x,y) đạt cực trị và khả vi tại

(

)

thì các đạo hàm riêng triệt tiêu tại đó.

x y , 0

0

Đúng Sai

3.9. Các đạo hàm riêng triệt tiêu tại

(

)

thì hàm số đạt cực trị tại đó

x y , 0

0

Đúng Sai

106

Chương3: phép tính vi phân hàm số nhiều biến số

3.10. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại

(

)

D∈ thì đạt cực trị tại đó

x y , 0 0

Đúng Sai

3.11. Tìm miền xác định của các hàm số sau:

2

2

2

2

a.

z

ln

xy

, b.

=

z

9

x

y

x

y

1

=

−

−

−

+

− ,

z

c.

, d.

.

=

z

=

−

2

y

x

1 −

y

y

1 x +

1 x −

3.12. Tính đạo hàm riêng các hàm số sau:

2

2

2

z

sin

,

z

ln(

x

x

y

),

b.

a.

y=

=

+

+

x y

3

y

z

x

,

x

0

c.

=

> , d.

z =

y arctg . x

3.13. Chứng minh các hệ thức sau đây với các điều kiện tương ứng

2

2

xz

2

z

ln(

x

xy

y

)

.

a.

yz+

= , với

=

+

+

/ x

/ y

2

2

yz

0

b.

z

f x (

y

)

,f(t) khả vi.

xz+

= , với

=

−

/ x

/ y

3.14. Tính đạo hàm của các hàm số hợp sau:

2

2

2

u

22 v

−

a.

z

e

,

u

c osx,v= x

y

.

=

=

+

2

2

z

u ln(

v

),

u

xy v ,

.

b.

=

+

=

=

x y

3.15. Tính vi phân toàn phần của các hàm số sau:

z

ln

tg

.

a.

=

y x

z

x e c

.

b.

( osy + xsiny)

=

3.16. Tính đạo hàm của các hàm số ẩn xác định bởi các phương trình tương ứng

3 x y

3 y x

2, a a

c onst

, tính

/y .

a.

−

=

=

arctg

,

a

c onst,

tính

/y .

b.

=

=

x+y a

y a

z

/

z

x+ y+z = e , tính

c.

,x

/ z y

3

3

3

/

d.

x + y +z = 3xyz , tính

z

,x

/ z . y

3.17. Chứng minh các hệ thức sau đây, với các điều kiện tương ứng

2

//

, với

z

xf

(

)

, f(t) khả vi liên tục đến cấp hai.

a.

z= (

=

)xy

// z z 2 x

// 2 y

x y

107

Chương3: phép tính vi phân hàm số nhiều biến số

2

2

2

2

0

.

b.

, với

=

+

u

r

x

y

=

=

+

u ∂ 2 x ∂

u ∂ 2 y ∂

1 ln , r

2

2

2

2

2

0

c..

, với

u

ln

r

,

r

x

y

.

=

+

=

=

+

u ∂ 2 x ∂

u ∂ 2 y ∂

2

2

2

2

2

2

0

d.

.

, với

+

+

=

u

,

r

x

y

z

=

=

+

+

u ∂ 2 x ∂

u ∂ 2 y ∂

u ∂ 2 z ∂

1 r

)

3.18. Cho

u

2 3 xy z

,

M

(1, 2, 1),

(0, 4, 3)

=

M−

− . Tính

0

1

u M ( ∂ (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . 0 M M ∂ 0

1

2

2

2

)

u

x y z ( ,

, ),

(cid:71) r

,

(cid:71) , r

3.19. Cho

. Tính

gọi là véc tơ bán kính.

=

+

+

=

2

2

2

z c

x a

y b

u M ( ∂ (cid:71) r ∂

)

gradu

Khi nào

=

u M ( ∂ (cid:71) r ∂

1

)

u

,

(cid:71) l

3.20. Cho

.Tính

?

c α β γ ( os ,cos ,cos )

=

2

2

2

1 = = r

u M ( ∂ (cid:71) l ∂

x

y

z

+

+

)

Khi nào

.

0

=

u M ( ∂ (cid:71) l ∂

3.21. Tìm cực trị của các hàm số

x

.

a.

z

e

(

x

xy )(

)4

=

+

y +−

3

3

b.

z

x

y

3

xy

.

=

+

−

2

2

c.

2(

2)(

),

z

ax

x

by

y

.

0≠ab

=

−

−

2

2

d.

ln4

ln10

z

x

xy

y

x

. y

=

+

+

−

−

3

3

e.

z

x

y

y

.

=

+

x −−

4

4

2

2

f.

z

x

y

2

x

4

xy

2

y

.

=

+

−

+

−

z

xy

,

=

+

+

với x > 0, y > 0 .

g.

50 x

20 y

3

3

h.

z

x

y

2 yx

.

=

+

−

3.22. Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến mặt phẳng x + 2y + 3z = 3.

2

2

3.23. Cho ellipse

1

+

= , tìm các điểm trên đó có khoảng cách gần nhất đến đường

x 4

y 9

thẳng 3x – 4y = 0.

108

Chương 4: Phép tính tích phân

CHƯƠNG IV: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN

MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU

Phép tính tích phân là phép tính cơ bản thứ hai của toán cao cấp. Đây là phép tính ngược của phép tính vi phân. Chính vì thế để tính tích phân nhanh chóng, chính xác cần thông thạo phép tính đạo hàm của hàm số. Cần nắm vững các nội dung sau đây:

1. Định nghĩa tích phân xác định, ý nghĩa của nó. Điều kiện tồn tại tích phân xác định.

2. Định nghĩa nguyên hàm, tích phân bất định và phân biệt với tích phân xác định.

3. Công thức Niutơn- Lépnit, điều kiện áp dụng.

4. Phương pháp tính tích phân: dựa vào bảng nguyên hàm các hàm số sơ cấp, tính chất

của tích phân và hai phương pháp cơ bản (đổi biến số và tích phân từng phần).

5. Các bài toán ứng dụng tích phân xác định.

6. Tích phân suy rộng. Ý nghĩa và ứng dụng của nó.

NỘI DUNG

4.1. KHÁI NIỆM VỀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

4.1.1. Định nghĩa tích phân xác định

(cid:22)

f

:

a b ,

,

→

a b <

[

]

Cho

i

n

,0=

( ix , )

a

...

b

=

<

=

<

<

<

x 0

x n

x 1

−1

1. Ta gọi một họ hữu hạn các điểm sao cho

λ

=

x n là một phân hoạch (hay một cách chia) đoạn [

]ba,

Max Δ x i ni 0 1 −≤≤

và gọi , trong đó

,0

n

1

−

=

−

x Δ i

1

ix , i

x = + i

( ) n℘

là bước của phân hoạch đã chọn. Tập phân hoạch kí hiệu là

iξ , sao cho

,0

n

1

∈

=

−

] i ,

ξ i

[ xx , i i

1

+

n

1 −

(

2. Ta gọi một cách chọn ứng với phân hoạch là một cách lấy n điểm

σ

=

f Δξ x ) i i

i

0

=

là tổng Riơman (Riemann) của hàm f ứng với một 3. Ta gọi số thực ∑

f

]baR [ ,∈

( ) nσ .

phân hoạch và một cách chọn. Rõ ràng với sẽ có dãy tổng Riemann σ. Kí hiệu là

I

n →σ

mà hữu hạn ( không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a,b] và cách 4. Nếu

]ba,

0→λ iξ ứng với cách chia đó ) thì I gọi là tích phân xác định của f trên [

b

)( dxxf

chọn các điểm , kí

]ba,

a

b

n

1 −

. Nếu tồn tại I thì nói rằng f khả tích trên [ hiệu là ∫

dxxf )(

f

=

) x ( Δξ i i

∑

∫

lim 0 → λ

i

0

=

a

(4.1) Như vậy

109

Chương 4: Phép tính tích phân

b

là lấy tích phân từ a đến b, a là cận dưới, b Trong kí hiệu trên: ∫ là dấu lấy tích phân, ∫

a )(xf

là cận trên của tích phân, x là biến lấy tích phân, là hàm dưới dấu tích phân, dx là vi phân

của biến lấy tích phân.

0

≥xf )(

Chú ý:

thì tổng Riemann chính là tổng diện tích các hình chữ nhật có kích thước tương ứng

,0

1

n

−

=

. Đó là diện tích của hình thang gần đúng diện tích của hình thang cong • Chúng ta sẽ nhận được ý nghĩa hình học của tích phân xác định như sau: Nếu ]ba, f i ) ( , ξ i

b

x

=

=

xa ,

fC của hàm số, các đường thẳng

b

trên [ ixΔ và giới hạn bởi trục Ox, đường cong . Như vậy

dxxf )(

]fCba , ,

∫

a

. chính là diện tích của hình thang cong đã mô tả ở trên, kí hiệu là hình thang [

y

0

b

x

a

iξix

1+ix

Xem hình 4.1.

b

b

H.4.1

)(xf

f

t )(

dt

dxxf )(

]ba,

∫=

a

a

n

1 −

. Bởi vì tích phân ở vế phải cũng • Nếu khả tích trên [ thì ∫

(

=

σ n

f Δξ x ) i i

∑

i

0

=

chính là giới hạn của dãy tổng Riemann , vì cả hai đều thực hiện phân hoạch

[ ]ba, phân

b

a

với cùng một hàm số f . Như vậy tích phân xác định không phụ thuộc vào biến lấy tích

dxxf )(

dxxf )(

∫−=

a

b

a

(4.2) • Người ta định nghĩa ∫

0

dxxf )(

=

a

(4.3) Đặc biệt ∫

110

Chương 4: Phép tính tích phân

4.1.2. Điều kiện tồn tại tích phân xác định

A. Điều kiện cần

Định lí 4.1: Nếu f khả tích trên [a, b] thì f bị chặn trên [a, b]

Chứng minh: Lý luận phản chứng:

)

( nσ dần đến ∞+

bằng cách lấy Giả sử f không bị chặn trên, khi đó lập được dãy con của

các điểm

iξ trong lân cận không bị chặn trên của f . Chứng tỏ không tồn tại giới hạn hữu hạn ,m M ∈(cid:22) sao cho

)(

xMxfm

nσ . Vậy f bị chặn trên, tương tự f cũng bị chặn dưới. Tức là tồn tại ≤

∈∀

≤

,

]ba [ ,

của

B. Điều kiện đủ

)(xf

Định lí 4.2: Nếu liên tục trên [a, b] thì khả tích trên đoạn đó

)(xf

đơn điệu và bị chặn trên [a, b] thì khả tích trên đoạn đó. Định lí 4.3: Nếu

)(xf

liên tục từng khúc trên [a, b] thì khả tích trên đoạn đó. Hệ quả: Nếu

Dưới đây ta đưa ra các định lí và sẽ không chứng minh, về một lớp hàm khả tích, lớp hàm này chứa tất cả các lớp hàm đã xét ở trên

)(xf

)(xf

bị chặn trên [a, b] và chỉ có hữu hạn điểm gián đoạn thì khả tích Định lí 4.4: Nếu

trên [a, b]

xfkxf )(

,)(

.

k

const

)

)(xf

=

(

khả tích trên [a, b] thì cũng khả tích trên Định lí 4.5: Nếu

[a, b].

gf ,

khả tích trên [a, b] thì tổng, hiệu, tích của chúng cũng khả tích trên [a, b]

] , ⊂βα

]ba, [

. Ngược lại

Định lí 4.6: Nếu Định lí 4.7: Nếu f khả tích trên [a,b] thì khả tích trên mọi đoạn [ nếu [a, b] được tách ra thành một số đoạn và trên mỗi đoạn đó hàm khả tích thì

f khả tích trên[a, b].

4.1.3. Các tính chất của tích phân xác định

gf , khả tích trên [a, b] và a < b, λ là hằng số.

b

c

b

Cho

),( ba

c ∈

)( dxxf

)( dxxf

)( dxxf

=

+

∫

∫

∫

a

a

c

b

với 1.

)( dxxf

)( dxxf

=

λ

∫

a

b ∫ λ a

b

b

b

2.

)( xf

)( xg

)( dxxf

)( dxxg

+

=

+

(

) dx

∫

∫

∫

a

a

a

b

3.

0

≥xf )(

dxxf )(

0

≥

∫

a

4. Nếu trên [a, b] thì

111

Chương 4: Phép tính tích phân

b

b

)( xf

( xg

),

≥

x ∈∀

)( dxxf

)( dxxg

]ba [ ,

∫≥

a

a

b

5. Nếu thì ∫

0

0≥f

)( dxxf

0

>

]ba [ ,

x 0 ∈

( 0 >xf )

a

6. Nếu và trên [a,b], f liên tục tại thì ∫

xf )(

),

x

(

)

)

≥

xf ( 0

x 0

( 0xδΩ∃

δΩ∈∀

1 2

(

)

x

∈

)

( xf 0

x 0

Ω δ

để Thật vậy

)( xe

=

\

(

)

x

∈

]

x 0

Ω δ

Xét

( xe

),

1 ⎧ ⎪ 2 ⎨ ⎪⎩ 0 )( xf ≥

x ∈∀

[ , ba ]ba [ ,

b

b

2).

(

0

dxxf )(

dxxe )(

=

>

δxf 0

∫

≥ ∫

1 2

a

a

b

b

. Theo 5. Suy ra

)( dxxf

)( xf

dx

≤

∫

∫

a

a

b

7.

xMxfm

)(

,

∈∀

≤

≤

abm

(

)

)(

(

)

−

≤

abMdxxf ≤

−

]ba [ ,

∫

a

b

b

thì 8. Nếu

Mdxxf

)(

)( dxxf

=

m ≤⇒

≤

μ

∫

1 ∫− ab

1 ab −

a

a

. Đặt

b

dxxf )(

)

=

( ab μ −

∫

a

Gọi μ là giá trị trung bình của f trên [a, b], khi đó ta có

c

)(xf

[ ]ba ,∈

b

liên tục trên [a, b] theo định lí 1.19 của mục 1.4.3 sẽ tồn tại sao cho Nếu

f x dx ( )

f c b a

( )(

)

=

−

)(cf=μ

∫

a

. Do đó:

c

c

1

a = +

b a −

< < . Vậy công thức trên có thể

θ

]ba [ ,∈

( θ

), 0

Giá trị có thể biểu diễn

b

viết dưới dạng

f x dx ( )

), 0

1

=

+

b a ( − θ

b a −

< < θ

( f a

) ) (

∫

a

:

0

≥xf )(

fC đồ thị của hàm

trên [a, b] bao giờ cũng tìm

)(cf

có diện tích bằng diện tích

. Xem hình 4.2 Như vậy trên đường cong ))( ( cfcM , được điểm để hình chữ nhật có kích thước b-a và ]fCba , của hình thang cong [ ,

112

Chương 4: Phép tính tích phân

y

B

M3

2

M

M 1

A

0

x

b

a

H.4.2

4.1.4. Công thức Niutơn-Lépnít (Newton-Leibnitz).

A. Hàm tích phân của cận trên

x

)(xf

[ ]ba ,∈

]ba [ ,

0x cố định,

x 0 ∈

. Cho khi đó theo định lí Cho

)(xf

]xx ,0

x

6 thì hàm với x tuỳ ý trong [a, b]. Hàm số khả tích trên [a, b]. Lấy khả tích trên [

f

)( t

dt

)(φ x

∫=

x

0

(4.4)

)(xf

gọi là hàm tích phân của cận trên hay tích phân của hàm theo cận trên

f x khả tích trên [a, b] thì

( )

)(xφ là hàm liên tục trên [a, b]

*

Định lí 4.8: Nếu

hx

),( ba

.∈+

x ∈

h ∈(cid:22) sao cho

]ba [

hx +

)( x

)

)( x

f

)( t

dt

=

hx +

−

=

=

φΔ

( φ

φ

h μ

∫

x

và Chứng minh: Lấy xét số gia hàm số tại x :

f

f

f

f

≤

≤

μ

≤

≤

Inf hxx , +

Sup hxx , +

Inf [ ] , ba

[

]

[

]

Sup [ ] , ba

trong đó (Theo tính chất 8.)

0

),( ba

Δ

( ) xφ

x ∈

)(xφ liên tục tại

0

→ , vậy h →

Từ đó

)(xφ liên tục phải tại a, liên tục trái tại b.

Chú ý: Cũng tương tự như trên ta sẽ chứng minh

)(xf

liên tục trên [a, b] thì Định lí 4.9: Nếu

xf

)(' x =φ

x ∈∀

,)(

)(xφ khả vi trên [a, b] và có [ , ba

]

. (4.5)

( ) x

−

φ

( φ

Chứng minh:

), 0

1

( f x

),( ba

μ

h θ

θ

=

=

+

< < , với h khá bé

x ∈

) x h + h

ta có Lấy

f x (

)

)(xf

)(xf

hθ+

0→h

Vì thì dần đến . Theo định nghĩa của

đạo hàm, giới hạn đó chính là liên tục tại x nên khi )(' xφ

xf )(

x =φ )('

Vậy

)(' a

)( af

)(' b

=

=

,

)( bf

φ p

φ t

Tương tự, ta chứng minh được các đạo hàm một phía:

113

Chương 4: Phép tính tích phân

Hệ quả:

Xx

)( x

( βα ), x

∈∀

(

)( x

)( , xfX

), x βα

X ⊂

]

β

khả vi trên thì Nếu liên tục trên X và[

f

f

)(' xG

)(' x

)(' x

dt

)( xG

)( t

=

−

( ) )( x ββ

( )( x αα

)

∫=

)( x f )( x

α

(4.6) khả vi trên X và

B. Nguyên hàm của hàm số và tích phân bất định

Định nghĩa:Cho

X và thoả mãn:

Xx

xf

f F X →(cid:22) . Gọi F là một nguyên hàm của f trên X nếu F khả vi trên , : )(' xF

∈∀

=

, )(

.

)(xf

)(xF

C

( ) F x C

,

+

là một liên tục trên X thì sẽ có nguyên hàm trên X và nếu

} ∈(cid:22)

Định lí 4.10: Nếu nguyên hàm thì tập hợp các nguyên hàm của f là {

)(xf

x

Chứng minh: Theo định lí 4.9, rõ ràng tồn tại nguyên hàm của là

f

( ) x

( ) t dt

( ) x

φ

φ

=

⇒

∫

x 0

có đạo hàm cấp 1 liên tục

C

)(xF

( ) F x C

,

+

∀ ∈(cid:22) cũng là nguyên

Giả sử là một nguyên hàm của f trên X thì

'

hàm của f vì

xf

Xx

)( CxF

' )( xF

+

=

=

∈∀

, )(

)

. (

)( xF

)( x

φ−

X , ngoài ra

'

)( xF

)( x

)( xf

)( xf

0

khả vi trên Ngược lại nếu φ là một nguyên hàm nào đó của f trên X thì

−

φ

=

−

=

)

xF )(

x )(

const

x )(

CxF )(

trên X (

⇒

−

φ

=

⇒

φ

=

+

trong đó C ∈(cid:22) .

)(xf

)(xf

, Tập hợp các nguyên hàm của trên X gọi là tích phân bất định của

)( dxxf

. Vậy Kí hiệu ∫

)( dxxf

)( CxF

=

+

∫

(4.7)

)(xF

)(xf

Trong đó là một nguyên hàm của trên X .

C. Công thức Newton-Leibnitz.

)(xf

)(xF

b

Định lí 4.11: Nếu liên tục trên [a, b] có một nguyên hàm là trên [a, b] thì

)( dxxf

)( bF

)( aF

=

−

∫

a

(4.8)

bF )(

aF )(

)(xF

−

b axF )(

được kí hiệu gọi là biến phân từ a đến b của . Đại lượng

x

Chứng minh: Theo định lí trên, tồn tại C ∈(cid:22) sao cho

xF )(

,

Cx )( +

= φ

f

dt

)( t

)(φ x

∫=

a

trong đó

114

Chương 4: Phép tính tích phân

b

b

f

C

)( bF

)( t

)( dxxf

φ

=

)( Cb +

=

Cdt +

=

+

∫

∫

a

a

aF )(

CCa )(

=

φ

+

=

b

)( bF

)( aF

)( dxxf

−

∫=

a

. Vậy

Chú ý: Công thức Newton-Leibnitz cho cách tính tích phân của các hàm liên tục bằng cách tìm một nguyên hàm của hàm số đó rồi tính biến phân của nó từ a đến b.

4.2. HAI PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

4.2.1. Phép đổi biến

:[

]

,

,[

([

,

].

ϕ α β →(cid:22) , ϕ có đạo hàm liên tục trên

,[ βα và ]

ba⊂βαϕ ])

f

:[ , ]

a b →(cid:22) , f liên tục trên [a, b]

Định lý 4.12: Nếu

β

khi đó:

dt

t (

).

f

=

' t (( )). ϕϕ

∫

∫

α

(4.9)

) ( βϕ dxxf )( ( ) αϕ Chứng minh: Theo giả thiết f liên tục, suy ra tồn tại nguyên hàm của nó F(x) có đạo hàm liên tục Theo công thức Newton - Leibnitz nhận được:

F

))

F

=

−

(( βϕ

)) (( αϕ

) ( βϕ dxxf )( ) ( αϕ

∫

F

tϕ có đạo hàm liên tục trên ( ( ))

,[ βα và ]

Theo định lý về hàm hợp ta có

t ((

))

(

' t )(

F ϕ là nguyên hàm của

f ϕϕ ).

f

' ))}

)( t

)( t

(({ F t ϕ

' ). ( ϕϕ

=

=

' ' . F ϕ ϕ

.Chứng tỏ .

F

))

F

−

(( βϕ

)) (( αϕ

. Chứng tỏ phép biến đổi tích phân Vậy tích phân vế trái là

)(t

x ϕ=

đã được chứng minh.

:[

]

,

ϕ α β →(cid:22) với ϕ đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên

,[ βα ]

f

:[ , ]

a b →(cid:22) , f liên tục trên [a, b]

Định lý 4.13: Nếu

)(x

f x dx ( )

g t dt g

( )

,

)]

=

t ϕ=

a ϕϕ ([ b ( ),

b )(

ϕ

b

mà liên tục trên , khi đó: với

)( dxxf

)( tg

dt

∫=

a

a )(

ϕ

(4.10) ∫

Định lý ở đây được chứng minh tương tự như định lý 1, ở đây đã thực hiện phép đổi

)(x

t ϕ=

biến tích phân .

Chú ý: Khi thực hiện phép đổi biến, nhận được tích phân có cận mới. Tuỳ theo các hàm dưới dấu tích phân mà chọn một trong hai cách đổi biến.

115

Chương 4: Phép tính tích phân

4.2.2. Phép tích phân từng phần

:[ , ]

,

,u v có đạo hàm liên tục trên [a, b] thì:

u v a b →(cid:22) và

b

b

Định lý 4.14: Nếu

dxxvxu

). dxxvxu

)(

('

). )( xvxu

(

)('

).

(

=

b a

∫−

(4.11) ∫

a a ,u v có đạo hàm liên tục, dễ dàng nhận được công thức sau:

u

'. vdx

. vu

'. dxvu

=

Chứng minh: Nếu

∫−

∫

.( vu

)'

'.

. vu

u

'

vdx

'. dxvu

=

'. vuvu +

⇒

=

+

∫

∫

b

b

u

vdx

'

. vu

'. dxvu

=

b a

Thật vậy

∫−

a

a

Suy ra ∫

a

a

Ví dụ 1: Chứng minh các công thức dưới đây:

)( dxxf

( af

) dxx

=

−

∫

0

0

π

π

2

2

a. Cho f liên tục trên [0, a] thì ∫

f

(sin

dxx )

f

(cos

dxx )

∫=

0

0

π

xf

f

(sin

) dxx

(sin

) dxx

=

b. Cho f liên tục trên [0, 1] thì: ∫

ππ ∫ 2

0

0

∫

nÕu

)( xf lµ hµm

lÎ sè

a

)( dxxf

=

∫

)( dxxf

2

nÕu

)( xf lµ hµm

sè

ch½n

a

−

∫

0

0 ⎧ ⎪ a ⎨ ⎪ ⎩

c. Cho f liên tục trên [-a, a] thì

(

,

)

−∞

+∞

T

a T +

(cid:22)

f x dx ( )

f x dx ( )

,

=

a ∀ ∈

∫

∫

0

a

d. Cho f liên tục trên và tuần hoàn với chu kỳ T thì:

Giải:

Đổi biến x = a – t a.

t−π

t−

π 2

0

a

a

Đổi biến x = b. và đổi biến x =

)( dxxf

)( dxxf

)( dxxf

=

+

∫

∫

∫

0

a

a

−

−

a

a

a

0

c.

f

f

x

dx

)( dxxf

(

) dxx

)( dxxf

)({ xf

(

)}

=

−

⇒

=

+

−

∫

∫

∫

∫

a

a

0

0

−

−

a

Đổi biến x = - t,

)( dxxf

0

(

),

)(xf

xf )(

x

=

⇔

f −−=

∈∀ x

[0,

a]

a

−

là hàm số lẻ . Do đó: ∫

116

Chương 4: Phép tính tích phân

a

a

)(xf

xf )(

f

(

x

),

⇔

=

−

)( dxxf

2

)( dxxf

=

∈∀ x

[0,

a]

∫

0

a

−

T

0

Ta +

Ta +

là hàm số chẵn . Do đó: ∫

)( dxxf

)( dxxf

)( dxxf

)( dxxf

=

+

+

∫

∫

∫

∫

a

a

a

0

d.

(

)

xf )(

Txf +

=

a

a

0

Ta +

f

f

dt

)( dxxf

( dtTt

)

)( t

)( dxxf

=

+

=

−=

∫

∫

∫

∫

T

a

0

0

T

Ta +

)( dxxf

)( dxxf

=

∫

Đổi biến x = t + T và nhớ rằng sẽ có:

0

a

suy ra ∫

a

2

2

Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:

I

a

x

dx

=

−

1

∫

0

π

2

a.

I

dx

=

2

sin x 2 cos

x

∫ + 1

0

b.

Giải:

x

a

a

sin

,0

=

∈

t ∈⇒

xt ,

[ ,0

]

π ⎤ ⎥ 2 ⎦

⎡ ⎢ ⎣

π 2

I

a

t

aa

cos

cos

=

at

dt

1

= ∫

π 4

0

a. Đổi biến

cos

,0

t

=

∈

xx ,

]0,1 [

π ⎤ t ∈⇒⎥ 2 ⎦

⎡ ⎢ ⎣

0

I

arctgt

=

=

2

1 0

2

−= ∫

1

π 4

dt t +

1

b. Đổi biến

π 2

n

Ví dụ 3: (Tích phân Wallis)

cos

xdx

n ,

=

∈

nI

∫

0

Tính (cid:178)

n

n

2

−

1 −

Giải:

u

cos

dv

cos

xdx

(

n

)1

cos

sin

x

=

=

du =⇒

−

=

x ,

x sin

dxx

v ,

π 2

n

n

2

2

1 −

−

I

cos

x

sin

x

(

n

)1

cos

x

1(

cos

dxx )

=

+

−

−

n

π 2 0

∫

0

1

n

I

(

)1

(

)1

n

I

n

I

I

=

−

−

=⇒−

n

n

n

n

2

2

−

−

− n

a. Đặt

117

Chương 4: Phép tính tích phân

π 2

cos

I

I

I

I

I

=

=

=

=

=

=

=

dxx

1 ,

2

0

3

1

0

I 1

∫

π , 2

1 2

1 2

π . , 2

2 3

2 3

0

2(

1

2

.

...

.

=

=

I m 2

− m

1 2

π . 2

m 2(

!)!1 − !)! m

π . 2

3 4

m 2 m (2

3 )2

m 2

− −

1.

...

.

=

I m 2

=+ 1

2( m

2(

2 3

m (2 m 2

)2 1

m m +

2

1

− −

m !)! !)!1 +

(

n

nÕu

n

ch½n

π 2

=

I n

(

n

nÕ

n lÎ u

!)!1 − !! n !)!1 − !! n

⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

.

4.3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

)( dxxf

)( CxF

)(xF

=

+

∫

)(xf

Ta đã biết rằng là một nguyên hàm của trên X Trong đó

trên X và C là hằng số tuỳ ý.

4.3.1. Bảng các nguyên hàm thông dụng

A. Tính chất cơ bản của tích phân bất định.

Trước hết thấy ngay rằng các tính chất sau đây của tích phân bất định là hiển nhiên.

'

)( dxxf

xf

, )(

)( dxxf

=

=

gf , )

∫ dxxfd )(

có nguyên hàm, λ∈(cid:22)

)( xf

)( xg

)( dxxf

)( dxxg

+

=

+

) dx

∫

∫

2.

)( dxxf

)( dxxf

=

. λ

∫ λ

3.

)(xf

)(xF

) ( xuxuf )( )('

có một nguyên hàm là thì có một nguyên hàm là Cho 1. ( ∫ ( ∫ ∫ 4. Nếu

))(xuF

(

khi u có đạo hàm liên tục, tức là

)( dxxf

)( CxF

)('

)(

df x ( )

f x C

( )

=

⇒+

=

=

+

) ( dxxuxuf

( )( xuF

) C +

∫

∫

∫

, đặc biệt

B. Bảng các nguyên hàm

118

Chương 4: Phép tính tích phân

)(xf

)(xF

*

1

xα α∈ ,

{ } −(cid:22) \ 1

+(cid:22)

1

+ αx α +

xln

*(cid:22)

1 x

Tập xác định X Hàm số Nguyên hàm

* (cid:22)

, 0

1

a < ≠

xa α α∈ ,

xa α

a

1 αln

(cid:22)

xeα

xeα

1 α

cos

x

sin x

(cid:22)

cos

x

−

sin x

(cid:22)

(cid:22)

cos

x

ln−

(cid:22)

\

k

+

∈

, k π

π ⎧ ⎨ 2 ⎩

⎫ (cid:28) ⎬ ⎭

cot

gx

(cid:22)

\

ln

sin

x

kπ ∈ ,k

{

} (cid:28)

tgx

2

tg

x

1 +=

(cid:22)

\

k

+

∈

, k π

x

1 2 cos

π ⎧ ⎨ 2 ⎩

⎫ (cid:28) ⎬ ⎭

cot

gx

−

(cid:22)

\

kπ ∈ ,k

{

} (cid:28)

cot

2 xg

1 +=

x

1 2 sin

tgx

* (cid:22)

, a

arctg

∈

2

2

a

x

1 +

x a

1 a

\

{ } 1,1−(cid:22)

ln

2

1

1 x−

1 1

x x

1 2

+ −

(cid:22)

1

ln(

x

1

2x

)

+

+

2

1

x+

1

*

\

{ } ,a a−(cid:22)

,

arcsin

Ra ∈

2

2

x a

a

x

−

\

[ ] 1,1−(cid:22)

ln

x

1

+ x

2 −

1

1 2 −x

(cid:22)

4.3.2. Hai phương pháp cơ bản tính tích phân bất định

A. Phương pháp tích phân từng phần

,u v có dạo hàm liên tục trên X khi đó

xdvxu )(

)(

xvxu )( ).

(

xduxv )( )(

Cho

=

−

∫

∫

trên X (4.12)

119

Chương 4: Phép tính tích phân

Chú ý:

k

x α

α x

α x

• Phương pháp này thường áp dụng tính các tích phân các hàm số có dạng sau đây:

xP

ln)(

xP

sin)(

)( xP

cos

arcsin

arctgx

cos

sin

x α

α

x β

exPx )( ,

,

xPx )( ,

xPx )( ,

e ,

x β e,

*

, ,

,

,

α β∈(cid:22) P(x) là đa thức.

trong đó: k ∈(cid:178),

exP

xα)(

dx

x α

x α

)( exP

dx

)( exQ

C

=

+

∫ Trong đó

deg

deg

xP )(

xQ )(

=

, ta có thể dùng phương pháp hệ số bất định. • Để tính ∫

• Trong quá trình tính toán có thể phải lặp lại một số hữu hạn lần phương pháp tích phân

từng phần.

B. Phương pháp đổi biến số

)(t

x ϕ=

Đặt , với ϕ đơn điệu và ϕ có đạo hàm liên tục trên Y khi đó

dxxf )(

t )('

dt

f

=

[ ] t )( ϕϕ

)(1 x

t

−= ϕ

(4.13)

tg )(

dt

∫ dxxf )(

∫ )(x

t ψ=

=

Đặt khi đó

dxxf )(

tg )(

=

tdt

x )(

ψ=

∫

∫

(4.14)

Chú ý:

Đổi biến số để tính nguyên hàm theo biến mới dễ dàng hơn. Trong kết quả phải trở về biến

lấy tích phân bất định ban đầu. Điều này khác hẳn khi tính tích phân xác định.

Ví dụ 4: Tính các tích phân sau:

I

=

1

∫

x

x

(

dx )1 +

3

a.

I

2

sin 3

dxx 2

∫=

x

b.

2

Giải:

x

t

dx

2 tdt

=

>

=

t ,

0 ,

I

2

2

arctg

=

=

=

Cx +

1

2

2

∫

∫

t

)

1

2 tdt 1( t +

dt t +

3

2

a. Đặt

x

t

dx

dt

=

3= t

,

t

2

3

I

3. t

dt

sin

tdt

cos

=

=

3 −=

Cx +

2

∫

∫ 3

sin 2 t

b. Đặt

I

dx

=

∫

(

x

x )1

1

+

21 ++ 2 x −

+

Ví dụ 5: Tính:

Giải:

t

x

dx

2 tdt

=

+

=

1 ,

Đặt

120

Chương 4: Phép tính tích phân

2

1

2 t

I

2

dt

dt

=

ln

arctg

C

=

−

=

−

+

t ( 2

∫

∫

t

t

1

1

t

t 2 + 3 t 1 −

2 −

1

t 2 2 + 2 t ++

)1 − t ++

2 3

+ 3

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

2

(

2

x

ln

arctg

C

=

−

+

x

2

2 3

11 ++ 3

)11 x −+ x 1 +++

x 1 +

I

23

dx

=

∫

Ví dụ 6: Tính:

Giải:

2

x

t

dx

tdt

1 =+

=

,

I

t 3

tdt

t 3

dt

t 3

C

=

=

−

=

−

+

2

∫

∫

t 3. t 3ln

1 3ln

t 3. t 3ln

1 )3(ln

2

1

x

+

2

x

13ln.1

=

+

(

) C +−

2

3 )3(ln

Đặt

4.3.3. Cách tính tích phân bất định của các hàm số hữu tỉ

n 1 −

f (x)

x

, n

Nhận xét:

=

∈(cid:178)

nx

t =

{ } \ 0,1

n P(x ) n Q(x )

, bằng cách đổi biến sẽ • Nếu hàm hữu tỉ có dạng

)( dxxf

dt

=

∫

∫

1 n

)( tP tQ )(

nhận được:

Như vậy ta đã hạ thấp bậc của các đa thức có mặt trong hàm f

• Mọi hàm hữu tỉ (đôi khi gọi là phân thức hữu tỉ) không thực sự đều phân tích thành tổng

của một đa thức với một phân thức hữu tỉ thực sự.

• Sử dụng định lí 2 trong mục 2.1.2 và tính chất của tích phân bất định, thấy rằng quá trình

tích phân các hàm hữu tỉ là quá trình tích phân các phân thức tối giản.

Dưới đây ta trình bày phương pháp tích phân các phân thức tối giản thực sự.

(cid:22)

I

, a

=

∈

n

∫

dx (x a) −

A. Tích phân các phân thức tối giản loại thứ nhất

const

1=n

C =

ln

Cax

x < hoặc a

x > a

=

+

−

dx −∫ ax

thì , với khi xét Nếu

n

* ∈(cid:178)

C

.

−=

+

{ } \ 1

n

n

1 −

∫

)

(

n

(

)

1

dx ax −

1 −

1 ax −

thì Nếu

2

(cid:22) và

b

I

dx ,

,a, b, c

−

4ac 0, n <

* ∈(cid:178)

=

, λ μ

∈

n

∫

(ax

x λ + μ 2 bx c) + +

0=λ

B. Tích phân các phân thức tối giản loại thứ hai

• Nếu

121

Chương 4: Phép tính tích phân

I

=

2

∫ μ

ax

(

nc )

dx bx +

+

2

2

ax

2

2

ax

bx

b

4

ac

=Δ

−

+

c −=+

+

Δ a 4

b + Δ−

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎫ ⎪ , ⎬ ⎪⎭

⎧ ⎪ 1 ⎨ ⎪⎩

n

2

ax

Biến đổi

I

=

−

t

=

2

n

Δ− 2 a

)

dt ∫ + 1( t

4 a Δ

b + Δ−

⎛ μ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

Thực hiện đổi biến Suy ra

=

)( tJ n

2

n

)

Dẫn đến tính bằng phương pháp truy toán.

arctgt

C

=

=

+

)( tJ 1

2

∫

1

dt ∫ + 1( t dt t +

Trước hết

2

2

n

=

+

tJ )( n

1

2

n

n

+

∫

dt 2 ) t

1(

1(

)

t t +

t +

J

(2

Jn

J

)

=

+

−

n

n

n

1

+

n

2

1(

)

t t +

2

nJ

2(

n

)1

J

−

+

n

n

=+ 1

n

2

1(

)

t t +

Tích phân từng phần sẽ có

Chú ý:

arctgt

1(

=

dt =⇒

2+ tg

θ

) d θθ

nJ bằng phép đổi biến

n

(2

)1

−

J

cos

=

d θθ

n

1

n

− =

∫

∫

1(

+

d θ 2 ) tg θ

(2

−n

Có thể tính

cos

θ)1

(phần B mục 1.2.3) rồi tính nguyên hàm, sau đó trở về biến t. Tuyến tính hoá

.0≠λ

2

ax

+

I

dx

=

2

∫

(

n)

λ 2 a

ax

bx

+

2 a μ λ c +

dx

b

=

+

−

n

n

2

∫

∫

+ bx

c

ax

c

ax

λ 2 a

)

(

)

(

2 ax 2 +

b +

dx bx +

+

2 a μλ ⎛ ⎜ 2 a λ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

2

• Nếu

u

ax

bx

c

=

+

+

dx

C

=

=

+

n

n

2

1 −

∫

∫

ax

+ bx

c

(

)

1

du n u

1 bx

n

ax

c

(

)

ax 2 2 +

b +

1 −

+

+

Tích phân thứ nhất tính được nhờ phép đổi biến

nJ đã trình bày ở trên.

Tích phân thứ hai tính theo

J

I

=

=

2

∫

∫

(x

)1

dx 13x +

dx 3 +

Ví dụ 7 Tính và

Giải:

122

Chương 4: Phép tính tích phân

.

.

=

=

−

3

2

x

1 2 x

x

x

x

1

(

)(1

)1

1 3

1

1 3

1

1 +

+

x +−

1 +

x 2 − x +−

2

dx

dx

ln(

x

)1

x

=

=

−+−

I 1

2

x 2

∫

∫

1

x

1 2

2( x

3 2

1 2

x 2 − x +−

3)1 −− 1 x +−

dx

2

1

x

Phân tích

arctg

C

+

=

=

=

I 1

2

∫

∫

1

x

dx x +−

− 3

2 3

x

−

1 2

3 4

2 ⎞ +⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

2

x

1

2

Trong đó

I

ln

x

ln(

x

)1

x

arctg

C

=

1 −+

++−

+

1 3

1 6

− 3

1 3

Cuối cùng

3

I

dx

(3

I

J

)

=

+

=

+

−

3

3

2

3

∫ 3

1

x

(

x

)1

1

x

x +

x +

x +

Bằng phép tích phân từng phần sẽ có

I

xJ )(

2

=

+

3x

1

1 3

x +

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

x

2

1

2

x

x

x

arctg

C

ln

ln(

)1

=

1 −+

++−

+

+

x 3

(3

x

)1

2 9

1 9

+

2 33

− 3

Suy ra

4.3.4. Tính nguyên hàm các phân thức hữu tỉ đối với một số hàm thông dụng

A. Hàm hữu tỉ đối với sin và côsin

R

(sin

x

,

cos

) dxx

1. Trường hợp tổng quát.

trong đó R là ‘’phân thức hữu tỉ hai biến’’ Xét ∫

tg

t =

x 2

2

sin

x

cos

x

dx

=

=

=

,

,

2

2

1 1

1

t t

2 t t +

− +

2 dt 2 1 t +

dt

Thực hiện phép đổi biến: . Khi đó

)( tP tQ )(

Khi đó đưa về dạng ∫

)(tP và

)(tQ thường là cao, làm cho quá trình tính toán rất nặng nhọc.

Tuy nhiên bậc của

Sau đây ta xét một số trường hợp đặc biệt, với cách đổi biến thích hợp sẽ tính toán dễ dàng hơn.

2. Trường hợp đặc biệt thứ nhất.

R

x

x

R

x

x

(sin

,

cos

)

(

sin

,

cos

)

=

−

−

tgx

t

cot

gx

t =

=

thì đổi biến hoặc • Nếu

t

x

R

x

x

R

x

x

(sin

,

cos

)

(sin

,

cos

)

sin=

−=

−

thì đổi biến • Nếu

R

(sin

x

,

cos

x

)

(

sin

x

,

cos

x

)

t

cos

x

R −−=

=

thì đổi biến • Nếu

m

n

3. Trường hợp đặc biệt thứ hai.

R

x (sin , cos ) x

sin

x .cos

x

,

m n ,

=

∈(cid:28)

Khi

t

cos

x

=

• Nếu m lẻ thì đổi biến

t

x

sin=

• Nếu n lẻ thì đổi biến

123

Chương 4: Phép tính tích phân

tgx

t =

nm,

chẵn và không cùng dương thì đổi biến • Nếu

nm,

chẵn và cùng dương thì tuyến tính hoá sau đó tính nguyên hàm. • Nếu

xe , α

α ∈(cid:22)

B. Hàm hữu tỉ đối với

)(xf

I

x ) ( α ef

dx

Xét , trong đó là hàm hữu tỉ. Thực hiện phép đổi biến

t

x α e

dx

=

x α e α=

∫= dt ,

f

I

dt

=

∫

)( t t

1 α

, Khi đó

Đó là tích phân của hàm hữu tỉ đã xem xét trong phần 4.3.3

1

I

>

a ,

= ∫

dx cos

x

a

+

Ví dụ 8: Tính

Giải:

I

=

I

arctg

C

tg

=

t =

2 2

∫

1 tg 1

x 2

a a

x 2

dt a (

(

a

2)1 t

− +

2 )1 ++

−

1

a

−

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ +⎟ ⎠

Đặt thì ⇒

I

=

∫

sin4

x

x

5

dx cos +

+

Ví dụ 9: Tính

dt

2

1

2 t +

Giải:

I

2

tg

=

=

=

t =

2

2

2

∫

∫

∫

x 2

t 2

t (

8

)2

dt t 8 +

+

dt +

.4

.3

5

+

+

2

2

1

1 1

t t

2 t t +

− +

C

C

−=

+

−=

+

2

t

1 +

tg

2

+

1 x 2

Đổi biến ,

3

3

2

Ví dụ 10: Tính các tích phân sau.

dx

I

sin

x

cos

xdx

I

2

1

∫=

∫=

cos 4 sin

x x

2

2

4

a. , b. ,

I

x

cos

xdx

dx

I

4

3

6

sin∫=

∫=

sin cos

x x

, d. . c.

3

Giải:

t

sin

dt

cos

xdx

I

=

=

, dx

x ,

1

∫=

cos 4 sin

x x

2

2

cos

1

xdx

C

C

dt

dt

I

−=

−=

+

+

=

=

=

−

1

3

∫

∫

∫

x sin

1 3 t 3

1 ++ t

1 sin3

1 sin

x

x

cos 4 x

t − 4 t

1 4 t

1 2 t

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

3

2

a. đặt

I

x

cos

xdx

t

cos

dt

sin

xdx

=

−=

,

x ,

2

sin∫=

b. đặt

124

Chương 4: Phép tính tích phân

5

3

x

x

2

2

2

2

I

x

x

xdx

t

dt

C

sin

cos

sin

1(

t )

=

−=

−

=

−

+

2

∫

∫

cos 5

cos 3

2

I

t

tgx

dt

=

=

, dx

,

3

6

∫=

dx 2 cos

x

sin cos

x x

2

2

3

5

x

x

2

2

t

t

dt

C

dx

1(

)

I

=

=

+

=

+

+

=

3

2

6

∫

∫

∫

tg 3

tg 5

x x

x

x

x x

sin cos

1 2 cos

dx 2 cos

sin cos

2

4

2

đặt c.

I

sin

x

cos

xdx

sin

1(2 x

cos

)2

dxx

=

=

+

4

∫

∫

1 8

2

3

1(

)4cos

dxx

sin

2

xd

2sin

x

x

4sin

x

sin

3

−

+

=

−

+

Cx +

=

∫

∫

1 16

1 64

1 48

1 16

1 16

d.

*

R

∈

2

Ví dụ 11: Tính tích phân bất định sau

1(

, x α )

dx α e +

∫

Giải:

t

x α e

dt

dx

=

x α e α=

,

dt

=

=

−

−

2

2

2

Đặt

∫

∫

t

t

1 t

t

)

1(

1(

)

1

( t

dx x α e +

dt +

1 +

1 )1 +

1 α

1 α

⎛ ⎜⎜ ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

ln

ln

1ln(

)

t

t

C

x α e

C

=

−

1 ++

=

−

+

+

1

1

t

1 +

1 x α e +

1 α

1 α

⎛ x α ⎜ ⎝

⎛ ⎜ ⎝

⎞ +⎟ ⎠

⎞ +⎟ ⎠

∫

4.4. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Chú ý: Trong mục này khi xem xét một hình phẳng hay một vật thể, chúng ta cần để ý đến tính chất đối xứng của hình để đơn giản quá trình tính toán hoặc để chọn một hệ qui chiếu thích hợp để giải quyết bài toán được dễ dàng hơn.

4.4.1. Tính diện tích hình phẳng

A. Miền phẳng giới hạn bởi các đường cong trong toạ độ Đềcác(Descartes)

1f

y y

2g

1g

2f

d

c

O a b x O x

H.4.3

125

Chương 4: Phép tính tích phân

Giả sử miền phẳng D giới hạn bởi các đường:

x

x

a

b

y

y

=

=

<

=

=

a ,

( b ,

) ,

,

xf )( 1

xf )( 2

f 1, f

2

trong đó liên tục từng khúc trên

b

[a, b]. Gọi diện tích của miền phẳng D là S. Theo ý nghĩa hình học của tích phân xác định, nhận được công thức tính S như sau:

S

dx

=

−

)( xf 1

)( xf 2

∫

a

(4.15)

Tương tự, nếu D giới hạn bởi các đường:

y

d

c

d

x

x

y

=

<

=

=

c ,

( ,

) ,

,

yg )( 1

yg )( 2

1, gg

2

= [c, d] thì

d

trong đó liên tục từng khúc trên

S

dy

=

−

)( yg 1

)( yg 2

∫

c

(4.16)

t

t ≤≤

0

t 1

x y

tx )( ty )(

= =

⎧ ⎨ ⎩

β

,

B. Giả sử miền phẳng D giới hạn bởi đường cong cho dưới dạng tham số:

S

( txty ). )(

dt

∫=

α

(4.17) Khi đó

Ví dụ 10: Tính diện tích của hình elíp có các bán trục a,b.

2

2

1

=

+

2

2

x a

y b

Giải: Hình êlíp giới hạn bởi êlíp có phương trình

Do tính chất đối xứng của êlíp qua các trục toạ độ và do phương trình tham số

0

x

a

cos

t

y

b

sin

t

≤≤ t

π2

=

=

,

π 2

của êlíp có dạng: ,

S

4

ab

sin

2 . t

dt

ab

=

π =

∫

0

nên ta có:

Ví dụ 11: Hãy tính diện tích của hình giới hạn bởi trục hoành và một nhịp của đường Cycloid

x

t

( ta

sin

)

=

−

cho bởi phương trình tham số:

y

a

t

1(

cos

)

0

=

−

≤≤ t

π2

, . ( Xem hình 4.4)

y

2a

0 πa 2πa 3πa

H.4.4

126

Chương 4: Phép tính tích phân

π 2

2

2

2

2

S

cos

t

dt

a

cos

t

cos

t

a 3

π 2 a

=

−

=

+

=

2 π

( 1

)

) dt

( 21 −

∫

∫

0

0

Giải:

afaA )( ,

y

=

,

4.4.2. Tính độ dài đường cong phẳng

))(

(

, (

)

a b<

) , Trong đó f có đạo hàm liên tục trên [

], a b

A. Phương trình cho trong hệ toạ độ Descartes vuông góc Giả sử đường cong (cid:112)AB cho bởi phương trình ( xf )( bfbB ,

b

Nếu gọi l là độ dài cung (cid:112)AB thì l được tính theo công thức

l

1

f

2 )('

dxx

=

+

∫

a

(4.18)

B. Phương trình cho trong dạng tham số

t

t ≤ ≤

,ϕψcó đạo hàm liên tục trên [ t

]1 0,t

0

t 1

( ) t ( ) t

ϕ ψ

x =⎧ ⎨ y =⎩

t

1

.

l

2 )(' t

dt

=

ϕ

2 ψ )(' t +

∫

t

0

(4.19)

Ví dụ 12: Hãy tính độ dài của một nhịp Cycloid cho trong ví dụ 11.

)(' tx

a

1(

cos

t

) ,

y

'

a

sin

t

=

−

=

2

2

2

2

l

a

1(

cos

t

)

a

sin

t

dt

22

1

cos

t

dt

π a

π 2

=

−

+

=

−

∫

∫

0

0

π a

4

sin

dt

8

a

cos

8

a

=

=

=

0 π

∫

t 2

t 2

0

Giải:

3

a

cos

t

a

3 t sin ,

a

0, 0

t π 2

>

≤ ≤

⎧ =⎪ x ⎨ y = ⎪⎩

2 3

2 3

2 3

Ví dụ 13: Hãy tính độ dài của Astroid, phương trình tham số có dạng.

y

a

x

+

=

. ( Xem hình 4.5) hoặc trong hệ toạ độ Descartes có dạng

127

Chương 4: Phép tính tích phân

π 2

2

2

Giải:

x

'

cos

t

sin

t

y

sin

t

cos

t

l

6

a

2sin

tdt

cos

2 t

6

a

3 a −=

3' a =

=

3 a −=

=

,

π 2 0

∫

0

.

4.4.3. Tính thể tích vật thể

A. Công thức tổng quát

b

x

x = và a

=

<

a b ,

phương trình là Giả sử vật thể (V ) nằm giữa hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox, các mặt phẳng này có . Các thiết diện của vật thể (V ) vuông góc với trục Ox

a b ,

,

x

)

∈

=

( 0xS

[

x 0

x 0

] hình 4.6). Khi đó thể tích của vật thể (V ), kí hiệu là V, tính theo công thức

có diện tích tương ứng . (Xem nằm trên mặt phẳng có phương trình

z

)

( 0xS

y

O a b x

0x

a

b

H.4.6

V

)( dxxS

∫=

a

(4.20)

128

Chương 4: Phép tính tích phân

B. Công thức tính cho vật thể tròn xoay

)(xf

y =

y

a x

a

z

z

H.4.7

Vật thể (V) tròn xoay là vật thể được tạo thành do một hình thang cong giới hạn bởi các

x

a

,

, (

), y

=

x b =

a b <

0 = và

y

f x

x

a b ,

=

( ) 0, ≥

∈

[

]

đường: quay xung quanh trục

Ox (xem hình 4.8). Cụ thể hơn, phần không gian bị chiếm chỗ do hình thang cong quay xung quanh trục Ox gọi là vật thể tròn xoay.

Như vậy các thiết diện vuông góc với trục Ox là các hình tròn. Diện tích của thiết diện

x =

)

fπ .

0x

2 x ( 0

b

nằm trên mặt phẳng sẽ là . Từ đó nhận được công thức tính:

V

dxx

)(2π ∫= f

a

(4.20)

2

2

2

1

+

+

≤

2

2

2

x a

y b

z c

Ví dụ 14: Hãy tính thể tích của êlipxôít với các bán trục a, b, c:

Giải:

x

=

,

]aa ,

x 0

x 0

nằm trên mặt phẳng được giới hạn bởi elip có các bán Thiết diện của elipxôit vuông góc với trục Ox là một hình elíp. Thiết diện [ −∈

b

1

1

−

−

c ,

2 x 0 2 a

2 x 0 2 a

2

2

+

1 −=

2

2

z c

2 x 0 2 a

y b x

=

x 0

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

phương trình là trục

)

1

bc

=

−

π

( xS 0

2 x 0 2 a

⎛ ⎜⎜ ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

Theo ví dụ 1, diện tích thiết diện biểu diễn dưới dạng

129

Chương 4: Phép tính tích phân

a

2

3

1

abc

dx

V

bc

=

−

=

−

π

2 π

π

2

a 02

∫

4 3

x 3 a

x a

−

⎛ ⎜⎜ ⎝ a

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎛ ⎜⎜ abc ⎝

⎞ =⎟⎟ ⎠

Vậy

Ví dụ 15: Tính thể tích vật thể do một nhịp Cycloid quay xung quanh trục Ox

x y

ta ( 1( a

,

)

= =

− −

( −∞∈

+∞

t ) sin ) cos t

t

⎧ ⎨ ⎩

tạo ra. Biết Cycloid cho bởi phương trình tham số là.

2

3

3

V

y

dx

cos

t

)

dt

2 π 1(

=

=

−

a π

2 π a π

∫

∫

0

0

3

2

3

cos

t

3

cos

t

cos

t

)

dt

=

2 π 31( −

+

−

a π

∫

0

2 π

2 π

3

3

3sin

t

(1 cos 2 )

t dt

t (cos 3

3cos

tdt

)

a

a π

2 π

2 5 π

=

−

+

+

−

+

=

2 π 0

∫

∫

3 2

1 4

0

0

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

Giải:

4.5. TÍCH PHÂN SUY RỘNG

4.5.1. Tích phân suy rộng với cận vô hạn

aA

(cid:22)

:

f

a

,

,

a

(cid:22) , khả tích trên [ ∈

] , Aa >∀ ,

) +∞ →

+∞

)( dxxf

1. Cho . A. Định nghĩa [

a

+∞

Tích phân suy rộng của f với cận ∞+ được kí hiệu là: ∫

)( dxxf

a

A

+∞

hội tụ về số I ∈(cid:22) nếu Nói rằng tích phân suy rộng ∫

)( dxxf

I

)( dxxf

I

=

=

∫

∫+∞→ lim A

a

a

+∞

kí hiệu

)( dxxf

∞=I

a

phân kỳ. Nếu I không tồn tại hoặc , thì nói rằng tích phân suy rộng ∫

(cid:22)

f

:

a ,

, aB

aB

(cid:22) , khả tích trên [ ∈

] <∀ ,

(

] a , −∞ →

a

2. Cho

)( dxxf

∞−

a

. Tích phân suy rộng của f với cận ∞− , kí hiệu là ∫

)( dxxf

∞−

a

a

)( dxxf

J

)( dxxf

=

=

∫

∫

lim −∞→ B

B

∞−

hội tụ về số J ∈(cid:22) nếu Nói rằng tích phân suy rộng ∫

130

Chương 4: Phép tính tích phân

a

∞=J

)( dxxf

∞−

phân kỳ. Nếu J không tồn tại hoặc , thì nói rằng tích phân suy rộng ∫

A B ,

,

A B∀ ,

∈(cid:22) . Tích phân suy rộng của f với các cận

:f →(cid:22) (cid:22) khả tích trên [

]

+∞

3. Cho

)( dxxf

∞−

+∞

. vô hạn được kí hiệu là: ∫

)( dxxf

∞−

a

+∞

hội tụ khi và chỉ khi các tích phân suy rộng Nói rằng tích phân suy rộng ∫

)( dxxf

)( dxxf

a

∞−

a

+∞

+∞

(cid:22)

f x dx ( )

f x dx ( )

f x dx ( )

,

=

+

a ∀ ∈

∫

∫

∫

a

−∞

−∞

cùng hội tụ, a∀ ∈(cid:22) . Trong trường hợp này kí hiệu và ∫ ∫

)(xF

thì có thể Rõ ràng nếu f liên tục trên tập xác định của nó, và có nguyên hàm

+∞

)( dxxf

( AF )

)( aF

)( xF

=

−

=

∞+ a

∫

lim +∞→ A

a

a

)( dxxf

)( aF

( BF

)

)( xF

=

−

=

a ∞−

∫

lim −∞→ B

∞−

+∞

dxxf )(

AF ) (

BF (

)

xF )(

=

−

=

∞+ ∞−

∫

lim +∞→ A

lim −∞→ B

∞−

dùng kí hiệu Newton-Leibnitz như sau:

+∞

+∞

+∞

+∞

Ví dụ 16: Xét sự hội tụ, phân kỳ của các tích phân suy rộng sau:

(cid:22) , d.

(cid:22)

sin

xdx

,

a

∈

2

∫

∫

dx , ∈ xα α

dx + 2 1 x

1

a

dx 1 x +0

∞−

, c. , b. ∫ a. ∫

+∞

Giải:

0

arctgx

arctgx

arctg

=

=

−

=

∞+ 0

2

∫

lim +∞→ x

π 2

1

dx x +

0

a.

+∞

Vậy tích phân suy rộng đã cho hội tụ.

arctgx

arctgx

arctgx

π

=

=

−

=

=

∞+ ∞−

2

∫

lim x +∞→

lim x −∞→

ππ + 2 2

1

dx x +

∞−

b.

+∞

Vậy tích phân suy rộng trên hội tụ.

sin

xdx

cos

x

cos

a

cos

x

−=

=

−

∞+ a

∫

lim x +∞→

a

c.

cos

x

∞→x

Không tồn tại giới hạn của khi , vậy tích phân suy rộng đã cho phân

kỳ.

131

Chương 4: Phép tính tích phân

1

x

=

nÕu α

∞+

+∞ 1

=

∫

∞+

dx α x

1

1

≠

nÕu α

1 11 α − x

1 . − α

⎧ ln ⎪ ⎨ ⎪ 1 ⎩

1

>

d.

ln

x

+∞=

=

lim x +∞→

lim , x +∞→

1 1 α − x

1

<

nÕu 0 α ⎧ ⎨ nÕu α ∞ ⎩

+∞

Nhận thấy

1>α , khi đó

1≤α Chú ý:

∫

1

dx 1 = ααx −

1

Vậy tích phân hội tụ với , và phân kỳ với

Tương tự như ý nghĩa hình học của tích phân xác định, ở đây ta thấy:

)( ≥xf

0 được nhờ vào tích phân suy rộng với cận vô hạn

thì một miền vô hạn có diện tích hữu hạn, tính Nếu tích phân suy rộng hội tụ và

∞

B. Điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng

0

≥xf )(

)( dxxf

a

với . Sau đây ta xét trường hợp tích phân suy rộng ∫

)(xf

Các trường hợp tích phân suy rộng khác với giữ nguyên dấu, chúng ta có thể suy

A

diễn tương tự để nhận được các kết quả tương ứng.

) A

)( dxxf

(φ

∫=

a

Đặt

0

)

≥xf )(

)+∞,a

)+∞,a

( Aφ đơn điệu tăng trên [

, chứng tỏ . Từ định lí về giới Vì

trên [ hạn của hàm đơn điệu (Xem mục 1.2.2) suy ra:

aA

0

≥xf )(

] , Aa >∀ ,

+∞

Định lí 4.15: Cho hàm số để tích phân suy rộng và khả tích trên [

) A

L

A

(φ

RL ∈ sao cho

≤

∀

)( dxxf

,

∫

a

hội tụ, điều kiện cần và đủ là tồn tại

aA

xgxf )( ),

(

] , Aa >∀ ,

và khả tích trên [

xg

a

x

)( xf

≤

≤

, )(

+∞

+∞

khi đó Định lí 4.16:(Tiêu chuẩn so sánh) Cho các hàm số 0 b >≥∀

dxxg )(

)( dxxf

a

a

+∞

+∞

hội tụ. Nếu ∫ hội tụ thì ∫

)( dxxf

dxxg )(

a

a

phân kỳ Nếu ∫ phân kỳ thì ∫

b

+∞

+∞

Chứng minh:

)( dxxf

)( dxxf

)( dxxf

=

+

∫

∫

∫

a

a

b

+∞

Ta có thể biểu diễn

)( dxxf

a

+∞

)( dxxf

là đồng thời với sự hội tụ Như vậy sự hội tụ hay phân kỳ của tích phân suy rộng ∫

b

hay phân kỳ của tích phân suy rộng ∫

132

Chương 4: Phép tính tích phân

+∞

+∞

A

dxxg )(

dxxg )(

)( dxxg

L

A

⇒

≤

∀

,

∫

b

a

b

A

A

hội tụ . hội tụ, theo định lí 4.15 suy ra ∫ Nếu ∫

)( dxxf

)( dxxg

L

≤

A , ∀

∫

≤ ∫

b

b

+∞

Theo tính chất của tích phân xác định sẽ có

)( dxxf

b

A

+∞

hội tụ Chứng tỏ ∫

)( dxxf

)( dxxf

∫⇒

b

b

A 0

A 0

A 0

phân kỳ không bị chặn Nếu ∫

Mdxxf

)(

dxxg )(

Mdxxf

)(

M >∀

⇒>

≥

>

( b ,

)+∞

A 0 ∈∃ 0

∫

∫

∫

b

b

b

A

+∞

sao cho Tức là

dxxg )(

dxxg )(

b

b

phân kỳ Chứng tỏ ∫ không bị chặn theo định lí 4.15 suy ra ∫

), )( xgxf

(

aA

] , Aa >∀ ,

+∞

. Khi đó: Định lí 4.17: Cho các hàm số không âm và khả tích trên [

l

l ,

=

)( dxxf

* +

∈(cid:22) thì các tích phân suy rộng ∫

lim x →+∞

( ) f x g x ( )

a

+∞

và 1. Nếu

dxxg )(

a

+∞

+∞

cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. ∫

0

=

dxxg )(

)( dxxf

lim x +∞→

)( xf )( xg

a

a

+∞

+∞

2. Nếu hội tụ và ∫ hội tụ thì ∫

+∞=

dxxg )(

)( dxxf

lim x +∞→

xf )( )( xg

a

a

3. Nếu phân kỳ và ∫ phân kỳ thì ∫

Chứng minh:

b

x

l

ε

ε

ε

>

b >∃

<−⇒>∀

l +<

0 ,

0 ,

)( xf xg )(

1.

xg )(

l (

0

xg )()

xf )(

l (

xg )()

ε

ε

−⇒≥

<

<

+

+∞

Vì

c 0>=−

l ε

)( dxxf

a

+∞

+∞

hội tụ thì Lấy ε sao cho . Theo định lí 4.16: Nếu ∫

)() dxxg

dxxg )(

( ε l −

⇒

∫

a

a

+∞

+∞

hội tụ hội tụ. ∫

dxxg )(

)() dxxg

)( dxxf

( ε l

⇒

∫

a

+∞ ∫ +⇒ a

a

hội tụ hội tụ hội tụ. Nếu ∫

0

x

xf )(

xg )(

xg )(

ε

ε

=

b >∃

b ≤⇒>∀

≤

=

1 ,

0 ,

2. Lấy

133

Chương 4: Phép tính tích phân

+∞

)( dxxf

a

hội tụ Theo định lí 4.16 chứng tỏ ∫

b

x

M

xf )(

xg )(

M >∀

b >∃

⇒>∀

>

1=M

>

0 ,

0 ,

)( xf xg )(

+∞

, Lấy thì , Theo 3.

)( dxxf

a

phân kỳ định lí 2 suy ra ∫

)(xf

có dạng: Hệ quả 1: Giả sử với x đủ lớn hàm số

xh )(

0

)( xf

=

>

≥

k ,

0 ,

)( xh k x

+∞

. Khi đó

0

h

1>k

c +∞<≤≤

)( dxxf

a

+∞

Nếu và hội tụ. thì ∫

)( dxxf

)( xh

0

1≤k

>≥ c

a

Nếu và phân kỳ thì ∫

Trong đó c là hằng số.

0

( ) ~

,

0

f x

c

≥xf )(

≠ ) thì

c k x

1 x

+∞

và là VCB cấp k so với VCB ( Hệ quả 2: Nếu tại ∞+

1>k

1≤k

)( dxxf

a

hội tụ khi và phân kỳ khi ∫

Hệ quả 1 được suy ra trực tiếp từ định lí 4.16 và ví dụ 16d.

Hệ quả 2 được suy ra trực tiếp từ định lí 4.17 và ví dụ 16d.

2

∞+

+∞

3 2

dx

dx

dx

2

2

Ví dụ 17: Xét sự hội tụ, phân kỳ của các tích phân sau

+∞ − e x 2 x

x

x

1 x +

x 1 +0

1

1

a. ∫ , b. ∫ , c. ∫

3 2

1 2

Giải:

x

2 ~

x

⎛ x ⎜ ⎜ 1 +⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

1

a. theo hệ quả 2, tích phân suy rộng phân kỳ.

~

2

1 2 x

1

x

x

+

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

2

x

−

, tích phân suy rộng hội tụ b.

:

0

2

x

→ ⇒+∞

e x

1 2 x

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

, theo định lí 4.17, tích phân suy rộng hội tụ. c.

+∞

Dưới đây ta sẽ đưa ra định lí tổng quát về điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng.

)( dxxf

a

hội tụ, điều kiện cần và đủ là: Định lí 4.18 Để tích phân suy rộng ∫

134

Chương 4: Phép tính tích phân

'

A

)'

A )

>∀ ε

∃

>

>∀

( φ

−

( φ

<

ε

0 ,

a ,

,

A 0

AA 0

AA ⇒>∀ 0

'

A

dxxf )(

ε<

∫

A

Hay

'

'

A

A

dxxf )(

xf )(

dx

≤

∫

∫

A

A

Dựa vào tính chất của tích phân xác định

+∞

+∞

Ta nhận được hệ quả sau đây

)( xf

dx

)( dxxf

a

a

hội tụ. Hệ quả 3: Nếu ∫ hội tụ thì ∫

+∞

C. Sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ của tích phân suy rộng

)( dxxf

a

+∞

hội tụ tuyệt đối nếu tích phân suy rộng 1. Nói rằng tích phân suy rộng ∫

)( xf

dx

a

+∞

+∞

+∞

)( dxxf

)( dxxf

)( xf

dx

hội tụ. ∫

a

a

a

2. Nói rằng tích phân suy rộng ∫ bán hội tụ nếu ∫ hội tụ và ∫

+∞

phân kỳ.

)(xg

)( dxxf

a

+∞

hội tụ tuyệt đối và hàm số bị chặn trên Định lí 4.19: Nếu tích phân suy rộng ∫

)()( dxxgxf

[ )+∞,a

a

hội tụ tuyệt đối. thì ∫

Chứng minh:

.

. ≤ fMgf

+∞

+∞

Giả sử ,

). xgxf )(

(

dx

dxxgxf

)(

).

(

a

a

hội tụ tuyệt đối. Theo định lí 4.16 suy ra ∫ hội tụ, chứng tỏ ∫

+∞

+∞

+∞

ln

*

Ví dụ 18: Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng:

(cid:22)

dx

dx

,

,

k

∈

α

(cid:22) ; b. ∫ ∈

∫

x cos α 2 2 x k +

xx

xdx 1xe 2 −

x 2 1 −

0

0

1

a. ; c. ∫

Giải:

cos

~

∞→x

x α

≤

1 ,

x ∀ ;

2

2

x

1

+∞

1 2 x +∞

khi a. Nhận xét:

dx

dx

dx

=

+

∫

∫

∫

x cos α 2 2 x k +

1 k + x cos α 2 2 x k +

x cos α 2 2 x k +

0

0

1

Ta biểu diễn

135

Chương 4: Phép tính tích phân

Tích phân thứ nhất là tích phân xác đinh, hàm dưới dấu tích phân liên tục nên khả tích vậy hội tụ tuyệt đối. Tích phân thứ hai là suy rộng, theo định lí 4.19, hội tụ tuyệt đối. Vậy tích phân đã cho hội tụ tuyệt đối.

;0

=

=

x x 2

x 2

x

lim x 0 →

lim x 0 →

1

e

e

1

−

2

2

− x

a

+∞

+∞

a ,

0

=

+

>

xdx 2 x

xdx 2 x

xdx 2 x

∫

∫

∫

e

1

e

1

e

1

−

−

−

0

0

a

b. Vì

1

Tích phân thứ nhất hội tụ (đó là tích phân xác định vì hàm dưới dấu tích phân khả tích).

0

∞→x

:

1>λ ,có

→

=

x

x x 2

λ + x 2

1 λ x

e

e

1

1

−

−

+∞

Lấy khi .

0>a

dx Vì ∫ λ hội tụ, a x

x

1

suy ra tích phân suy rộng đã cho hội tụ.

0

=

=

=

x ln 2

− 2

lim x 1 →

lim x 1 →

lim x 1 →

1 x

x x

1 1

− +

xx

xx

1

1

−

−

a

+∞

+∞

c.

dx

dx

dx

=

+

ln x 2

ln x 2

ln x 2

∫

∫

∫

xx

1

1

xx

xx

−

−

−

1

1

a

1

>∀a

1 Tích phân thứ nhất hội tụ (tồn tại ) vì hàm dưới dấu tích phân khả tích trên[ ,1

] a ,

1

Ta có

1

2

∞→x

< λ nhận được

<

:

.

0

→

=

ln x 2

1 λ x

x ln 2 λ − x

1

xx

−

1

−

1 2 x

+∞

Lấy khi .

0

a

⇒>∀

dx Ta có ∫ λ hội tụ, a x

tích phân đã cho hội tụ.

4.5.2. Tích phân suy rộng với hàm dưới dấu tích phân có cực điểm

A. Định nghĩa

xf )(

f

: ( , ) \{x }

a b

ba ),(

∞=

→(cid:22) . Nói rằng

x ∈ 0

o

lim x x →

0

1. Cho . là cực điểm của f nếu

(bf

Hàm số có cực điểm tại a hoặc b nếu

(cid:22)

f

:

a b ,

, (

f b−

)

ba ,

0

→

= ∞

−

ε >∀

∞=+ ) (af hoặc , khả tích trên [

∞=− ) ] ε ,

)

[

b

đủ bé. Tích phân suy 2. Cho

)( dxxf

]ba,

a

b

b

−

. Nói rằng tích phân suy rộng hội tụ về I ∈(cid:22) nếu rộng của f trên [ , kí hiệu ∫

ε )( dxxf

I

I

)( dxxf

=

∫

∫=

lim 0 → ε

a

a

, kí hiệu

∞=I

)( dxxf

a

) thì nói rằng tích phân suy Nếu không tồn tại giới hạn hữu hạn (không có I hoặc b phân kỳ. rộng ∫

136

Chương 4: Phép tính tích phân

(cid:22)

f

a b : ( , ]

, (

f a+

)

→

= ∞

[

b ],

a ε+

b

)( dxxf

3. Cho khả tích trên

a

b

hội tụ về J nếu Nói rằng tích phân suy rộng ∫

J

=

∫

lim 0 → ε

a

+

)( dxxf ε

(hữu hạn).

Nếu không tồn tại J thì nói rằng tích phân suy rộng phân kỳ.

f

:

a b ,

),( ba

→(cid:22) ,

[

]

\{x } o

xo ∈

b

4. Cho là cực điểm của f

)( dxxf

a

x

b

0

hội tụ khi và chỉ khi các tích phân suy rộng Nói rằng tích phân suy rộng ∫

dxxf )(

)( dxxf

∫

x

a

0

x

b

b

0

)( dxxf

)( dxxf

)( dxxf

=

+

∫

∫

∫

x

a

a

0

cùng hội tụ, khi đó kí hiệu: và ∫

)(xf

]ba,

trừ ra các cực điểm của nó và có nguyên hàm là Chú ý: Nếu hàm

)(xF

b

b

liên tục trên [ , ta có thể dùng công thức Newton- Leibnitz và viết

dxxf )(

bF (

aF )(

dxxf )(

bF

(

a

=

−

−

=

+

) ε

) ε

∫

∫

lim 0 ε →

lim)( − 0 →

ε

a

a

hoặc

1

b

dx

Ví dụ 19: Xét sự tồn tại của các tích phân suy rộng sau:

(cid:22)

2

∫

(

dx , x a α α∈ ) −

1 x −

a

1 −

; b. a. ∫

Giải:

1

1

a

dx

dx

dx

,

)1,1(

a

=

+

−∈∀

2

2

2

∫

∫

∫

1

x

1

x

1

x

−

−

−

a

1 −

1 −

arcsin

a

arcsin

x

arcsin

x

arcsin

a

=

−

+

−

π=

1

lim x −→

lim 1 x →

a. Hàm dưới dấu tích phân có cực điểm là 1±

)

1

ax −

=

α víi

b a

b

=

b. Hàm dưới dấu tích phân có cực điểm là a

(

α )

dx ax −

1

≠

α víi

a

b a

(

1 α − )

1 . α −

1 ax −

⎧ ln( ⎪ ⎨ ⎪ 1 ⎩

1

<

∫

ln(

)

,

ax −

−∞=

=

+

+

lim x a →

lim x a →

(

1 α − )

1 ax −

1

>

nÕu 0 α ⎧ ⎨ nÕu α ∞ ⎩

Vì

1<α và phân kỳ với

1≥α .

Suy ra tích phân đã cho hội tụ với

137

Chương 4: Phép tính tích phân

B. Điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng

)(xf

),( ba

0

≥xf )(

giữ nguyên dấu trên . Giả sử trên Chúng ta giới hạn trường hợp

(bf

∞=− )

[ )ba,

b

−

và

ε )( dxxf

=

)( εφ

∫

a

Đặt

)(εφ là hàm số giảm ở lân cận bên phải của điểm 0. Từ định lí về giới hạn của

Rõ ràng

b

hàm đơn điệu, chúng ta nhận được định lí sau đây:

)(εφ bị chặn ở lân

)( dxxf

hội tụ, điều kiện cần và đủ là Định lí 4.20: Để tich phân suy rộng ∫

0

a ≤

)( εφ

ε >∀

0=ε

, L

, tức là cận bên phải điểm

Các định lí so sánh ở mục 4.5.1 hoàn toàn đúng cho các trường hợp tích phân suy rộng

với hàm dưới dấu tích phân có cực điểm. Các hệ quả tương tự với hệ quả 1,2 sẽ là:

(

b

)

)(xf

x <

hàm số có dạng Hệ quả 1’: Giả sử với x đủ gần b và

0

)( xg

)( xf

=

>

≥

k ,

0 ,

k

)( xg ( ) xb −

b

khi đó:

)( dxxf

0

xg )(

1
≤

c ∞<≤

a

b

và hội tụ. Nếu thì ∫

0

xg )(

>≥ c

1≥k

)( dxxf

a

c

Nếu và phân kỳ trong đó c là hằng số thì ∫

0

( ) ~

,

0

f x

c

≥xf )(

≠

k

1 xb −

b x −

(

)

) Hệ quả 2’: Nếu và là VCL cấp k so với VCL tại b (

b

thì

1
1≥k

)( dxxf

a

hội tụ khi và phân kỳ khi . ∫

1

1

θ

dx

Ví dụ 20: Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng sau:

k

1

<

θ

<

≤

,

0 ,

2

2

∫

∫

π 2

cos

cos

θ

d ϕ ϕ −

1(

x

1)(

2 xk

)

−

−

0

0

dx 0 ln x

1

+∞

p

x

−

x

1 − e

dx

dx x

x

; c. a. ; b. ∫

3

ex (

)

−− e

0

0

e. ∫ d. ∫

Giải:

1=x

1 2

1 x−1

, là VCL cấp so với VCL tại a. Hàm dưới dấu tích phân có một cực điểm

1=x

1

. Vậy tích phân suy rộng hội tụ.

0

1=x

=

lim +→ x 0

x

1 xln

1 ln

dx ∫ 0 ln x

. , vậy hàm có cực điểm tại b.

138

Chương 4: Phép tính tích phân

1 → 1 →

: x x

1 ln

1 −

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ 1 x ⎠

θ

, theo hệ quả 2’, tích phân suy rộng phân kỳ.

0 ,

,

<

≤

θ

θϕ =

∫

π 2

cos

cos

d ϕ − ϕ

θ

0

c. là cực điểm

cos

cos

sin2

θϕθϕ sin

sin2

ϕθθϕ sin

−

−=

=

ϕ

θ

+ 2

− 2

+ 2

− 2

θ ϕ − 2

:

=

→ ϕ θ →

cos

cos

1 sin

1 −

θ θ ϕ

1 ϕ −

θ

ϕ θ θ ϕ sin

sin

+ 2

− 2

Nhận xét

1

Vậy tích phân hội tụ.

x

0

=

,

dx x

x

−

∫

3

ex (

e

)

−

0

2

x

x

x

x

−

−

3

2 3

là cực điểm. d.

e

e

2

(

)

ex (

e

3 .2~)

x

0→x

−

=

xox +

⇒

−

khi

1

∞

∞

p

x

p

x

p

x

−

−

−

Theo hệ quả 2’, tích phân suy rộng hội tụ.

x

1 − e

dx

x

1 − e

dx

x

1 − e

dx

=

+

∫

∫

∫

1

0

0

1

p

x

−

e.

1≥p

x

1 − e

dx

0

, Nếu ta nhận được tích phân thông thường. Xét ∫

0=x

1
p

x

−

Nếu , nhận được tích phân suy rộng, hàm dưới dấu tích phân có cực điểm tại

:

1

x

1 − e

e

p

x

x − = → 0 →

1 1 − x

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

Nhận thấy , theo hệ quả 2’, tích phân suy rộng hội tụ khi

1

1

− p

<

0>p

+∞

p

x

p

x

p

x

−

−

−

hay

x

1 − e

dx

:

0 ,

x

1 − e

x

1 + e

=

p ∀

x

→ →+∞

1 2 x

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

1

. Nhận thấy Xét ∫

0>p

+∞

p

. Tích phân suy rộng này phụ thuộc tham số p Vậy tích phân suy rộng hội tụ khi

(

p

)

x

1 x − − e dx

Γ

= ∫

0

và được gọi là hàm Gama, người ta kí hiệu : ,

Chú ý:

• Tích phân suy rộng có các tính chất tương tự như tích phân xác định

• Để tính tích phân suy rộng (trường hợp tích phân suy rộng hội tụ), người ta cũng thường sử dụng hai phương pháp cơ bản: Đổi biến số và tích phân từng phần.

TÓM TẮT NỘI DUNG CHƯƠNG IV

139

Chương 4: Phép tính tích phân

• Định nghĩa tích phân xác định

b

n

1 −

dxxf )(

f

=

( x ) Δξ i i

∑

∫

lim → 0 λ

i

0

=

a

b

a

b

a

b

)( dxxf

f

)( t

dt

)( dxxf

)( dxxf

)( dxxf

0

=

∫=

∫−=

a

b

a

a

a

• Điều kiện tồn tại tích phân xác định

, ∫ , ∫ ∫

A. Điều kiện cần

Nếu f khả tích trên [a, b] thì f bị chặn trên [a, b]

B. Điều kiện đủ

)(xf

Nếu liên tục trên [a, b] thì khả tích trên đoạn đó

)(xf

đơn điệu và bị chặn trên [a, b] thì khả tích trên đoạn đó. Nếu

)(xf

liên tục từng khúc trên [a, b] thì khả tích trên đoạn đó. Nếu

)(xf

)(xf

bị chặn trên [a, b] và chỉ có hữu hạn điểm gián đoạn thì khả tích Nếu

trên [a, b]

• Các phép tính

)(xf

xfkxf )(

,)(

.

k

const

)

=

(

Nếu khả tích trên [a, b] thì cũng khả tích trên [a, b].

gf ,

khả tích trên [a, b] thì tổng, hiệu, tích của chúng cũng khả tích trên [a, b]

] , ⊂βα

]ba, [

. Ngược lại

Nếu Nếu f khả tích trên [a,b] thì khả tích trên mọi đoạn [ nếu [a, b] được tách ra thành một số đoạn và trên mỗi đoạn đó hàm khả tích thì

• Các tính chất của tích phân xác định

f khả tích trên[a, b].

gf , khả tích trên [a, b] và a < b, λ là hằng số.

c

b

b

Cho

),( ba

c ∈

)( dxxf

)( dxxf

)( dxxf

=

+

∫

∫

∫

a

c

a

b

1. với

)( dxxf

)( dxxf

=

λ

∫

b ∫ λ a

a

b

b

b

2.

)( xf

)( xg

)( dxxf

)( dxxg

+

=

+

(

) dx

∫

∫

∫

a

a

a

b

3.

0

≥xf )(

dxxf )(

0

≥

∫

a

b

b

4 Nếu trên [a, b] thì

)( xf

( xg

),

≥

x ∈∀

)( dxxf

)( dxxg

]ba [ ,

∫≥

a

a

b

5. Nếu thì ∫

)( dxxf

0

0

>

0≥f

]ba [ ,

x 0 ∈

( 0 >xf )

a

6. Nếu và trên [a,b], f liên tục tại thì ∫

140

Chương 4: Phép tính tích phân

b

b

)( dxxf

)( xf

dx

≤

∫

∫

a

a

b

7.

xMxfm

)(

,

∈∀

≤

≤

abm

(

)

)(

(

)

−

≤

abMdxxf ≤

−

]ba [ ,

∫

a

b

b

8. Nếu thì

Mdxxf

)(

)( dxxf

m ≤⇒

≤

μ

=

∫

1 ab −

1 ∫− ab

a

a

. Đặt

b

dxxf )(

)

=

( ab μ −

∫

a

b

Gọi μ là giá trị trung bình của f trên [a, b], khi đó ta có

)( dxxf

)( abcf

(

)

)(xf

=

−

a

• Công thức Niutơn-Lépnít (Newton-Leibnitz).

Nếu liên tục trên [a, b] thì ∫

x

A. Hàm tích phân của cận trên

f

)( t

dt

)(xf

)(φ x

∫=

x

0

gọi là hàm tích phân của cận trên hay tích phân của hàm theo cận trên

f x khả tích trên [a, b] thì

( )

)(xφ là hàm liên tục trên [a, b]

Nếu

)(xf

liên tục trên [a, b] thì Nếu

xf

x )(' =φ

)(xφ khả vi trên [a, b] và có ]

.

)( x

Xx

(

x )(

xfX , )(

∈∀

( βα x ),

x βα ),

X ⊂

[ ,)( x , ba ∈∀ liên tục trên X và[

β

Nếu khả vi trên thì ]

xG )('

f

x )('

f

x )('

xG )(

t )(

dt

=

−

( ) x )( ββ

( ) x )( αα

∫=

x )( f x )(

α

(4.6) khả vi trên X và

B. Nguyên hàm của hàm số và tích phân bất định

)(xf

)(xF

( )

,

F x C C +

là một nguyên hàm Nếu liên tục trên X thì sẽ có nguyên hàm trên X và nếu

} ∈(cid:22)

thì tập hợp các nguyên hàm của f là {

C. Công thức Newton-Leibnitz.

)(xf

)(xF

b

dxxf )(

bF )(

aF )(

=

−

∫

a

liên tục trên [a, b] có một nguyên hàm là trên [a, b] thì Nếu

bF )(

aF )(

)(xF

−

b axF )(

• Hai phương pháp cơ bản tính tích phân xác định

được kí hiệu gọi là biến phân từ a đến b của . Đại lượng

A. Phép đổi biến

:[

]

,

,[

([

,

].

,[ βα và ]

ϕ α β →(cid:22) , ϕ có đạo hàm liên tục trên

ba⊂βαϕ ])

f

:[ , ]

a b →(cid:22) , f liên tục trên [a, b]

1. Nếu

141

Chương 4: Phép tính tích phân

β

f

t (

).

dt

' t (( )). ϕϕ

=

∫

∫

α

) ( βϕ dxxf )( ) ( αϕ

khi đó:

:[

]

,

ϕ α β →(cid:22) với ϕ đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên

,[ βα ]

:[ , ]

f

a b →(cid:22) , f liên tục trên [a, b]

2. Nếu

( )

,

)]

)(x

f x dx ( )

g t dt g

=

t ϕ=

a ϕϕ b ([ ( ),

b )(

ϕ

b

)( dxxf

)( tg

dt

mà liên tục trên . Khi đó: với

∫=

a

a )(

ϕ

∫

B. Phép tích phân từng phần

:[ , ]

,

,u v có đạo hàm liên tục trên [a, b] thì:

u v a b →(cid:22) và

b

b

). dxxvxu

)(

('

). xvxu )(

(

dxxvxu

)('

).

(

=

b a

Nếu

∫−

a

a

• Bảng các nguyên hàm thông dụng

• Tính chất cơ bản của tích phân bất định.

gf ,

∫

'

)( dxxf

xf

, )(

)( dxxf

=

=

có nguyên hàm, λ∈(cid:22)

∫ dxxfd )(

Cho )

)( xf

)( xg

)( dxxf

)( dxxg

+

=

+

) dx

∫

∫

2.

)( dxxf

)( dxxf

. λ

=

∫ λ

3.

)(xf

)(xF

) ( xuxuf )( )('

))(xuF

(

)( CxF

)( dxxf

)('

)(

⇒+

=

=

có một nguyên hàm là thì có một nguyên hàm là 1. ( ∫ ( ∫ ∫ 4. Nếu

( )( xuF

) C +

∫

∫

• Hai phương pháp cơ bản tính tích phân bất định

khi u có đạo hàm liên tục, tức là ) ( dxxuxuf

A. Phương pháp tích phân từng phần

,u v có dạo hàm liên tục trên X khi đó

xdvxu )(

)(

xvxu )().

(

xduxv )( )(

Cho

=

−

∫

∫

trên X

B. Phương pháp đổi biến số

)(t

x ϕ=

xf )(

dx

t )('

f

=

[ ] t )( ϕϕ

tdt

)(1 x

−= ϕ

Đặt , với ϕ đơn điệu và ϕ có đạo hàm liên tục trên Y khi đó

∫ )( dxxf

∫ )(x

)( tg

dt

t ψ=

=

dxxf )(

tg )(

=

tdt

x )(

ψ=

∫

∫

• Tích phân phân thức hữu tỉ thực sự

Đặt khi đó

A. Tích phân các phân thức tối giản loại thứ nhất

142

Chương 4: Phép tính tích phân

(cid:22)

I

, a

=

∈

n

∫

dx (x a) −

1=n

ln

Cax

=

−

+

dx −∫ ax

thì Nếu

n

* ∈(cid:178)

C

.

−=

+

{ } \ 1

n

n

1 −

∫

)

(

n

(

)

1

dx ax −

1 −

1 ax −

thì Nếu

B. Tích phân các phân thức tối giản loại thứ hai

=

)( tJ n

2

n

)

(bằng phương pháp truy toán)

arctgt

C

=

=

+

)( tJ 1

2

∫

1

dt ∫ + t 1( dt t +

Trước hết

2

2

n

=

+

tJ )( n

n

1

2

n

+

∫

dt 2 ) t

1(

1(

)

t t +

t +

J

(2

Jn

J

)

=

+

−

n

n

n

1

+

2

n

1(

)

t t +

2

nJ

2(

n

)1

J

−

+

n

n

=+ 1

2

n

1(

)

t t +

• Tích phân của hàm hữu tỉ đối với sin và côsin

Tích phân từng phần sẽ có

R

(sin

x

,

cos

) dxx

A. Trường hợp tổng quát.

2

trong đó R là ‘’phân thức hữu tỉ hai biến’’ Xét ∫

sin

x

cos

x

dx

⇒

=

=

=

tg

t =

,

,

2

2

1

1 1

t t

2 t t +

− +

2 dt 2 t 1 +

x 2

dt

Thực hiện phép đổi biến:

)( tP tQ )(

Khi đó tích phân được đưa về dạng ∫

B. Trường hợp đặc biệt thứ nhất.

tgx

R

(sin

x

,

cos

x

)

R

(

sin

x

,

cos

x

)

t

cot

gx

t =

=

−

−

=

thì đổi biến hoặc 1. Nếu

t

x

sin=

R

(sin

x

,

cos

x

)

R

(sin

x

,

cos

x

)

−=

−

thì đổi biến 2. Nếu

R

(sin

x

,

cos

x

)

(

sin

x

,

cos

x

)

t

cos

x

R −−=

=

thì đổi biến 3. Nếu

m

n

C. Trường hợp đặc biệt thứ hai.

R

x (sin , cos ) x

sin

x .cos

x

,

m n ,

=

∈(cid:28)

Khi

t

cos

x

=

1. Nếu m lẻ thì đổi biến

t

x

sin=

2. Nếu n lẻ thì đổi biến

tgx

nm,

t =

3. Nếu chẵn và không cùng dương thì đổi biến

nm,

chẵn và cùng dương thì tuyến tính hoá sau đó tính nguyên hàm. 4. Nếu

143

Chương 4: Phép tính tích phân

xe , α

• Tích phân hàm hữu tỉ đối với

α ∈(cid:22)

)(xf

I

x ) ( α ef

dx

∫=

f

Xét , trong đó là hàm hữu tỉ. Thực hiện phép đổi biến

t

x α e

dt

dx

=

x α e α=

I

dt

=

,

∫

)( t t

1 α

• Một số ứng dụng hình học của tích phân xác định

, khi đó

A. Tính diện tích hình phẳng

1. Miền phẳng giới hạn bởi các đường cong trong toạ độ Đềcác(Descartes)

Giả sử miền phẳng D giới hạn bởi các đường:

x

x

a

b

y

y

=

=

<

=

=

a ,

( b ,

) ,

,

xf )( 1

xf )( 2

f 1, f

2

b

S

dx

=

−

)( xf 1

)( xf 2

∫

a

trong đó liên tục từng khúc trên

t

t ≤≤

0

t 1

x y

tx )( ty )(

= =

⎧ ⎨ ⎩

β

,

2. Giả sử miền phẳng D giới hạn bởi đường cong cho dưới dạng tham số:

S

( txty ). )(

dt

∫=

α

Khi đó

A a f a ,

( ),

f x

y

B b f b , ( )

=

B. Tính độ dài đường cong phẳng

) ( ) ,

(

)

b

l

1

f

2 )(' x

dx

=

+

∫

a

1. Phương trình cho trong hệ toạ độ Descartes vuông góc Giả sử đường cong (cid:112)AB cho bởi phương trình (

2. Phương trình cho trong dạng tham số

t ≤≤

t ,

t 1

0

x y

t )( )( t

= =

ϕ ψ

⎧ ⎨ ⎩

t

1

l

2 )(' t

dt

ϕ

=

2 ψ )(' t +

∫

t

0

.

C. Tính thể tích vật thể

1. Công thức tổng quát

x = và a

x

=

<

a b ,

Giả sử vật thể (V ) nằm giữa hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox, các mặt phẳng này có . Các thiết diện của vật thể (V ) vuông góc với trục Ox phương trình là

)

b x

∈

=

,

( 0xS

x 0

x 0

]ba [ , đó thể tích của vật thể (V ), kí hiệu là V, tính theo công thức

có diện tích tương ứng . Khi nằm trên mặt phẳng có phương trình

144

Chương 4: Phép tính tích phân

b

V

)( dxxS

∫=

a

2. Công thức tính cho vật thể tròn xoay

)( xf

x

∈

=

≥

0

b

a

y

x

x

=

=

<

=

0 ,

b ( ,

) ,

a

,

]ba [ ,

và đường: Vật thể (V) tròn xoay là vật thể được tạo thành do một hình thang cong giới hạn bởi các y quay xung quanh

trục Ox Cụ thể hơn, phần không gian bị chiếm chỗ do hình thang cong quay xung quanh trục Ox gọi là vật thể tròn xoay.

Như vậy các thiết diện vuông góc với trục Ox là các hình tròn. Diện tích của thiết diện

)

fπ .

x =

0x

2 x ( 0

b

V

dx

)(2π ∫= f x

a

• Tích phân suy rộng với cận vô hạn

nằm trên mặt phẳng sẽ là . Từ đó nhận được công thức tính:

A. Định nghĩa

(cid:22)

f

:

a

,

,

a

aA

(cid:22) , khả tích trên [ ∈

] , Aa >∀ ,

) +∞ →

[

+∞

1. Cho .

)( dxxf

a

+∞

Tích phân suy rộng của f với cận ∞+ được kí hiệu là: ∫

)( dxxf

a

A

+∞

hội tụ về số I ∈(cid:22) nếu Nói rằng tích phân suy rộng ∫

)( dxxf

I

)( xf

dx

I

=

=

∫

∫+∞→ lim A

a

a

+∞

kí hiệu

)( dxxf

∞=I

a

phân kỳ. Nếu I không tồn tại hoặc , thì nói rằng tích phân suy rộng ∫

(cid:22)

f

:

,

a

, aB

aB

(cid:22) , khả tích trên [ ∈

] <∀ ,

(

] , a −∞ →

a

2. Cho

)( dxxf

∞−

a

)( dxxf

. Tích phân suy rộng của f với cận ∞− , kí hiệu là ∫

∞−

a

a

)( dxxf

J

)( dxxf

=

=

∫

∫

lim B −∞→

B

∞−

a

hội tụ về số J ∈(cid:22) nếu Nói rằng tích phân suy rộng ∫

∞=J

)( dxxf

∞−

phân kỳ. Nếu J không tồn tại hoặc , thì nói rằng tích phân suy rộng ∫

A B ,

,

A B∀ ,

∈(cid:22) . Tích phân suy rộng của f với các cận

:f →(cid:22) (cid:22) khả tích trên [

]

+∞

3. Cho

)( dxxf

∞−

. vô hạn, kí hiệu là: ∫

145

Chương 4: Phép tính tích phân

+∞

)( dxxf

∞−

a

+∞

)( dxxf

hội tụ khi và chỉ khi các tích phân suy rộng Nói rằng tích phân suy rộng ∫

)( dxxf

∫

a

∞−

a

+∞

+∞

(cid:22)

f x dx ( )

f x dx ( )

f x dx ( )

,

=

+

a ∀ ∈

∫

∫

∫

a

−∞

−∞

cùng hội tụ, a∀ ∈(cid:22) . Trong trường hợp này kí hiệu và ∫

∞

B. Điều kiện hội tụ

0

≥xf )(

)( xf

dx

a

với . Xét ∫

(

xgxf ), )(

aA

] , Aa >∀ ,

+∞

. Khi đó: 1. Cho các hàm số không âm và khả tích trên [

l

l ,

=

)( xf

dx

* +

∈(cid:22) thì các tích phân suy rộng ∫

lim →+∞ x

( ) f x g x ( )

a

+∞

a. Nếu và

xg )(

dx

a

+∞

+∞

cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. ∫

0

=

xg )(

dx

)( dxxf

lim x +∞→

xf )( xg )(

a

a

+∞

+∞

b. Nếu hội tụ và ∫ hội tụ thì ∫

+∞=

xg )(

dx

)( xf

dx

lim x +∞→

xf )( )( xg

a

a

c. Nếu phân kỳ và ∫ phân kỳ thì ∫

)(xf

có dạng: 2 .Giả sử với x đủ lớn hàm số

xf )(

xh )(

0

=

>

≥

k ,

0 ,

xh )( k x

+∞

. Khi đó:

0

h

1>k

c +∞<≤≤

)( xf

dx

a

+∞

Nếu và hội tụ. thì ∫

)( xf

dx

0

xh )(

1≤k

>≥ c

a

+∞

Nếu và phân kỳ, trong đó c là hằng số. thì ∫

0

≥xf )(

)( dxxf

1 x

a

3.Giả sử và là VCB cấp k so với VCB hội tụ khi tại ∞+ thì ∫

1>k

1≤k

+∞

+∞

và phân kỳ khi

)( xf

dx

)( xf

dx

a

a

hội tụ. 4. Nếu ∫ hội tụ thì ∫

+∞

+∞

C. Sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ của tích phân suy rộng

)( xf

dx

)( xf

dx

a

a

hội tụ. 1. Nói rằng tích phân suy rộng ∫ hội tụ tuyệt đối nếu tích phân ∫

146

Chương 4: Phép tính tích phân

+∞

+∞

+∞

)( xf

dx

)( dxxf

)( xf

dx

a

a

a

+∞

phân kỳ. 2. Nói rằng tích phân suy rộng ∫ bán hội tụ nếu ∫ hội tụ và ∫

)(xg

)( dxxf

)+∞,a

a

+∞

hội tụ tuyệt đối và hàm số thì bị chặn trong [ Nếu tích phân suy rộng ∫

)()( xgxf

dx

∫

a

• Tích phân suy rộng với hàm dưới dấu tích phân có cực điểm

hội tụ tuyệt đối.

A. Định nghĩa

xf )(

f

: ( , ) \{x }

a b

ba ),(

∞=

→(cid:22) . Nói rằng

x ∈ 0

o

lim x x →

0

. Hàm 1. Cho là cực điểm của f nếu

(bf

hoặc số có cực điểm tại a hoặc b nếu

(cid:22)

f

:

a b ,

, (

f b−

)

ba ,

0

→

= ∞

−

ε >∀

∞=+ ) (af , khả tích trên [

∞=− ) ] ε ,

)

[

b

đủ bé. ích phân suy rộng 2. Cho

)( xf

dx

]ba,

a

b

b

−

. Nói rằng tích phân suy rộng hội tụ về I ∈(cid:22) nếu của f trên [ , kí hiệu ∫

ε )( dxxf

I

I

)( xf

dx

=

∫

∫=

lim ε 0 →

a

a

, kí hiệu

∞=I

) thì nói rằng tích phân suy Nếu không tồn tại giới hạn hữu hạn (không có I hoặc

rộng phân kì

(cid:22)

f

a b : ( , ]

, (

f a+

)

→

= ∞

[

b ],

a ε+

b

b

khả tích trên 3. Cho

)( xf

dx

J

=

∫

lim 0 ε →

a

a

+

)( dxxf ε

(hữu hạn). hội tụ về J nếu Nói rằng tích phân suy rộng ∫

Nếu không tồn tại J nói rằng tích phân suy rộng phân kỳ.

f

:

a b ,

),( ba

→(cid:22) ,

[

]

\{x } o

xo ∈

x

b

0

dxxf )(

)( xf

dx

4. Cho là cực điểm của f

a

a

b

Nói rằng tích phân suy rộng ∫ hội tụ khi và chỉ khi các tích phân suy rộng ∫

)( dxxf

x

0

x

b

b

0

)( dxxf

)( dxxf

)( dxxf

=

+

∫

∫

∫

a

a

x

0

cùng hội tụ, Khi đó kí hiệu: và ∫

B. Điều kiện hội tụ

(

)

b

)(xf

x <

hàm số có dạng 1. Giả sử với x đủ gần b và

xf )(

xg )(

0

=

>

≥

k ,

0 ,

k

xg )( xb ( ) −

khi đó:

147

Chương 4: Phép tính tích phân

b

1
0

xg )(

≤

c ∞<≤

)( xf

dx

a

b

Nếu và hội tụ. thì ∫

xg )(

0

1≥k

>≥ c

)( xf

dx

a

Nếu và phân kỳ trong đó c là hằng số thì ∫

0

≥xf )(

1 xb −

b

2. Nếu và là VCL cấp k so với VCL tại b thì

1
1≥k

)( xf

dx

a

hội tụ khi và phân kỳ khi . ∫

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG IV

4.1. Tích phân bất định không phụ thuôc vào biến lấy tích phân?

Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

4.2. Tích phân xác định không phụ thuôc vào biến lấy tích phân?

Đúng (cid:0) Sai (cid:0) 4.3. Hàm số liên tục là điều kiện cần của hàm số khả tích? Đúng (cid:0) Sai (cid:0) 4.4. Hàm số liên tục là điều kiện đủ của hàm số khả tích? Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

4.5. Tích phân bất định biểu diễn họ các nguyên hàm của hàm dưới dấu tích phân?

Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

4.6. Cận trên của tích phân xác định phải lớn hơn cận dưới của nó?

Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

],a b thì trị tuyệt đối của nó cũng khả tích trên đoạn đó?

4.7. Hàm số khả tích trên đoạn [

Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

f x cũng hội tụ?

( )

f x hội tụ thì tích phân suy rộng của

( )

4.8. Tích phân suy rộng của

Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

],a b là hàm số cũng khả tích trên đoạn đó?

4.9. Tổng, tích hai hàm số khả tích trên đoạn [

Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

],a b đủ để áp dụng công thức Newton- Leibnitz tính tích

4.10. Hàm số khả tích trên đoạn [

phân? Đúng (cid:0) Sai (cid:0) 4.11. Dùng tích phân xác định có thể tính được diện tích của hình phẳng, độ dài đường cong

phẳng, thể tích của vật thể? Đúng (cid:0) Sai (cid:0) 148

Chương 4: Phép tính tích phân

4.12. Ứng dụng phép so sánh các VCB (VCL) để xét sự hội tụ của tích phân suy rộng?

Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

4.13. Dùng tích phân suy rộng có thể tính được diện tích của hình phẳng không bị chặn?

Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

4.14. Tích phân xác định của hàm số dương là một số dương? Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

4

x

−

x

4.15. Biến đổi về các tích phân đơn giản để tính các tích phân sau:

dx

a

1

dx

+

2

a 3

x

x b. ∫ + 1

x

⎛ ⎜⎜ ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

, , a. ∫

x βα . x ba

dx

ax

dx +−

bx −

. , c. ∫ d. ∫

1

4.16. Biến đổi về các tích phân đơn giản để tính các tích phân sau:

dx

xln + x

4 dxx 10 x

−1

2

2

+

, , b. ∫ a. ∫

dx

3 x 3

x

cos2

ln

x

)

dx 1( +

x

2

x

1

+

−

. , d. ∫ c. ∫

5

10

4.17. Dùng phương pháp đổi biến để tính các tích phân sau:

x

2 )21(

x

dx

x

dxx

+

52 −

, , b. ∫ a. ∫

x

dx −12xx

dx + 2 1 x

. , d. ∫ c. ∫

4.18. Dùng phương pháp đổi biến để tính các tích phân sau:

x

ln

dx ln(ln x .

x

)

dx 1(

x

x − )

x

xdx

, , a. ∫ b. ∫

x

dxx

2

2

9

4

6 −

(

x

3)2

x

5

+

+

. , d. ∫ c. ∫

4.19. Dùng phương pháp tích phân từng phần tính các tích phân:

arctg

dxx

(arcsin

x 2)

dx

, , a. ∫ b. ∫

dx

(ln

x 2)

dx

dx

∫

x 2 sin

x

, . e. , d. ∫ f. ∫ c. ∫ xshxdx , arcsin x 1 x +

4.20. Dùng phương pháp tích phân từng phần tính các tích phân

cos(ln

dxx)

dx

dx

x 2

cos x x 3 x sin

ln x

, , , a. ∫ c. ∫ b. ∫

dx

x

ln

arctg

2

x

dx

1 − dx

x x

1 1

+ −

ln x

x 2 ⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

, . , d. ∫ e. ∫ f. ∫

149

Chương 4: Phép tính tích phân

4.21. Tích phân các hàm lượng giác:

dx

2

tgx x 2sin

dx 3 x .

cos

sin

x

dx

, , a. ∫ b. ∫

dx d. ∫ 3 tgx

sin

cos

x 2

3 x 2

, . c. ∫

2

2

4.22. Sử dụng công thức Newton-Leibniz tính các tích phân sau:

dx

dxx

4

x

x +

3

0

−

1 2

π 2

dx

, , a. ∫ b. ∫ − 1

, ( ,

a b

0)

≠

2

2

2

2

2

∫

a

cos

sin

x

dx x b +

1 x −

0

−

1 2

c. . , d. ∫

2ln

1

π

4.23. Tính các tích phân sau bằng phép đổi biến:

e x

dx

1dx

−

xdx 2 x

cos

sin x a. ∫ + 21

x ) x

arcsin 1( x −

0

0

0

a

3

2

dx

, , b. ∫ c. ∫

dx

4

dx 2

2

x x

+1 1 e. ∫ + 1

x

a

x

+

−

0

0

5 2

3(

x

2)

+

1 2

, , . f. ∫ d. ∫

π

2

e

e

4.24. Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần:

ln

dxx

cos(ln

dxx )

1

1 e

π 3

π 3

, , b. ∫ a. ∫

dx

x x

x sin 2 cos

xdx 2 sin x

0

π 4

, . c. ∫ d. ∫

4.25. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong trong hệ toạ độ Descartes vuông

2

x

góc

x

0=+ y

2=y

y

2

x

x

y

0=x

=

−

2=

3

2

2

2

2

và , b. , và , a.

y

2 ax (

x

a , )

0

x

a , 2

a

0

y

=

−

>

=

=

>

x

2

x a −

, d. và . c.

2

3

cos

t

x

=

4.26. Tính độ dài đường cong cho bởi phương trình.

ln

cos

y

0 , x

a

x

=

<≤≤

π 2

3

2

2

2

y

t

a

b

sin

c ,

=

=

−

c a 2 c b

⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

a. , b. .

150

Chương 4: Phép tính tích phân

a (cos a (sin

t t

t t

sin cos

t t

) ) , 0

x y

= =

+ −

t ≤≤

π2

⎧ ⎨ ⎩

. c.

4.27. Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo ra khi quay các miền phẳng giới hạn bởi các

2 3

đường sau đây xung quanh trục tương ứng.

a

y

b

,

0

=

x ≤≤

x a

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

a. quanh trục Ox.

y

sin

x ,

y

0 , 0

=

=

x π≤≤

2

2

2

b. quanh trục Oy.

x

(

)

a

,

0

b

+

by −

=

a ≤<

2

quanh trục Ox. c.

y

x

,

y

4

2=x

=

=

quanh đường . d.

+∞

+∞

dx

4.28. Tính các tích phân suy rộng sau

dx

2

2

x

1

x

+

0

a

arctgx 3 2

2 )

1(

x

+

+∞

+∞

, , a. ∫ b. ∫

e x −

dx

xx

dx 2 1 −

0

2

, . d. ∫ c. ∫

1

1

1

x

4.29. Xét sự hội tụ hay phân kì của các tích phân sau

dx

x

4

e

dx cos x −

dx 1xe −

1

x

−

0

0

0

, , , a. ∫ b. ∫ c. ∫

151

Chương 5: Phương trình vi phân

CHƯƠNG V: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

MỤC ĐÍCH,YÊU CẦU

yyxF ,(

,

'

,...,

0

Một PTVP là một phương trình có dạng

=ny )( )

n )(

d

trong đó x là biến số độc lập, còn

,

yxF ,(

,

,...,

)

0

hay

)(xy

là hàm

=

y =

y )( n

2 yd 2

dy dx

dx

dx ny )(

yy ,'

''

,...,

là các đạo hàm của hàm số phải tìm, (trong PTVP nhất thiết phải

số phải tìm,

có mặt ít nhất đạo hàm cấp k nào đó của hàm phải tìm). Cấp cao nhất của đạo hàm của hàm số y phải tìm có mặt trong PTVP được gọi là cấp của PTVP, chẳng hạn:

0

(PTVP cấp 1)

=+xy '

0

(PTVP cấp 2)

y )'(" + y

2 =

Hàm số

)(xy

là một nghiệm của PTVP nếu như nó thoả mãn phương trình tức là

y =

x

y ='

ta

thay nó vào phương trình sẽ nhận được đồng nhất thức. Chẳng hạn với phương trình

2

y

C

trong đó C là hằng số tuỳ ý.

có nghiệm

=

+

y =

, thậm chí

2x 2

x 2

Giải hay tích phân một PTVP là tìm tất cả các nghiệm của nó. Về mặt hình học, mỗi nghiệm của PTVP là một đường cong (đồ thị của nghiệm), vì thế người ta gọi đường cong đó là đường cong tích phân của PTVP.

yy ,

'

,...,

ny )(

, tức là

PTVP được gọi là tuyến tính cấp n nếu hàm số F là bậc nhất đối với

phương trình có dạng:

(

)( n

n

)1 −

)(

y

a

)( xf

+

... ++

+

=

')( yxayx n

n

)( yxa 1

1 −

là các hàm số cho trước.

trong đó

),...,

),

xf )(

xa ( n

xa (1

Nếu

0

thì người ta gọi là phương trình tuyến tính cấp n thuần nhất.

≡xf )(

0

≠xf )(

thì người ta gọi là phương trình tuyến tính cấp n không thuần nhất.

Nếu

Trong chương này cần nắm vững các nội dung chính sau đây:

Cũng như phép tính đạo hàm và vi phân, phương trình vi phân (PTVP) có tầm quan trọng rất lớn và có ứng dụng rộng rãi trong mọi lĩnh vực khoa học kỹ thuật và kinh tế. Cụ thể là nhiều bài toán kinh tế, kỹ thuật điện tử, y học,... đều dẫn đến phương trình vi phân. Trong toán học, phương trình vi phân là một chuyên ngành rất phát triển. Chương này cung cấp những kiến thức cơ bản về phương trình vi phân thường ( gọi vắn tắt là phương trình vi phân). Để học tốt chương này, yêu cầu người học phải nhận dạng đúng từng loại phương trình vi phân, qua đó mới có thể tích phân được (tìm được nghiệm), bởi vì không có một phương pháp chung nào để giải phương trình vi phân. Giải PTVP là một quá trình tính tích phân, vì thế yêu cầu người học phải thông thạo phép tính tích phân và vi phân, đó là nội dung cốt lõi của toán học cao cấp.

1. Các phương trình vi phân cấp một thường gặp.

152

Chương 5: Phương trình vi phân

Cần phân biệt được từng dạng phương trình vi phân và phương pháp tích phân tương

ứng với từng dạng.

2. Các tính chất của PTVP tuyến tính cấp hai.

Từ các tính chất về nghiệm của PTVP tuyến tính có thể tích phân được khi đã biết một nghiệm của PTVP tuyến tính thuần nhất tương ứng, hoặc hai nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất đã cho, đặc biệt là khai thác nguyên lí chồng chất nghiệm.

3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số hằng số.

Bên cạnh phương pháp biến thiên hằng số Lagrange, cần nhận biết dạng hàm đặc biệt ở vế phải để tích phân PTVP bằng phương pháp hệ số bất định.Vận dụng, có thể giải PTVP tuyến tính có hệ số hằng số cấp n.

NỘI DUNG

5.1. Phương trình vi phân cấp 1

))

y =

( bị tiếp điểm chia thành hai phần bằng nhau.

y

B

yxM ,(

)

y

L

α

x

0

P

A

Trước hết ta xét một bài toán hình học dẫn đến PTVP. Hãy tìm phương trình đường cong L xy ( có tính chất: mỗi đoạn của tiếp tuyến với đuờng cong C nằm giữa hai trục toạ độ đều

H.5.1

,( yxM

L

∈) Giả sử

, khi đó hệ số góc tiếp tuyến với đường cong tại M là:

tg

= α)(' xy

−=

y PA

(xem H.5.1)

OP

PA

x

y

=

=

−='

y x

, suy ra . Do M là trung điểm của AB nên

Như vậy hàm số phải tìm thoả mãn PTVP cấp 1. Sau này chúng ta sẽ có cách giải phương

y =

C x

thoả mãn phương trình với C là trình trên, nhưng trước hết ta có thể thử lại rằng hàm số

hằng số tuỳ ý. Tóm lại, họ các đường hyperbol có tính chất đã đặt ra.

153

Chương 5: Phương trình vi phân

5.1.1. Các khái niệm cơ bản

Dạng tổng quát của PTVP cấp 1:

yxF ,(

,

)

0

,(

)'

0

=

=yyxF ,

dy dx

hay (5.1)

Nếu từ (5.1) giải ra được y’ thì ta có PTVP cấp 1 đã giải ra đối với đạo hàm:

yxf ,(

)

y = '

(5.2)

A. Định lý tồn tại duy nhất nghiệm Cauchy-Peano

yxf ,(

)

y = '

(

x

,

y

D

∈)

0

0

và (5.3) Cho phương trình (5.2):

)(xy

y =

Định lý 5.1. Nếu f(x,y) liên tục trên miền D trong mặt phẳng Oxy thì tồn tại nghiệm:

)

yx ,(

)

0x thoả mãn

y = 0

xy ( 0

f ∂ y ∂

trong lân cận . Ngoài ra nếu cũng liên tục trên miền D thì

nghiệm tìm được là duy nhất.

Bài toán tìm nghiệm của PTVP thoả mãn điều kiện (5.3) gọi là bài toán Cauchy. Điều kiện

(5.3) gọi là điều kiện ban đầu.

B. Nghiệm tổng quát, tích phân tổng quát

,( Cx

)

y ϕ=

Ta gọi nghiệm tổng quát của PTVP cấp 1 là hàm số (5.4)

trong đó C là hằng số tuỳ ý, thoả mãn các điều kiện sau:

a. Thoả mãn PTVP với mọi hằng số C.

)

y ϕ=

0Cx ,(

sao cho thoả mãn điều kiện ban đầu b. Có thể tìm một giá trị

y

xy (

)

)

(

x

0CC = )

=

( ϕ=

0

0

Cx , 0

0

0 y ,

0

với thoả mãn định lý tồn tại và duy nhất nghiệm.

Nghiệm tổng quát cho dưới dạng ẩn:

Cyx , ,(

)

0

Φ

=

(5.5)

Hệ thức này gọi là tích phân tổng quát của PTVP cấp 1. Về mặt hình học, nghiệm tổng quát hay tích phân tổng quát xác định một họ đường cong trong mặt phẳng không cắt nhau gọi là các đường cong tích phân của PTVP cấp 1.

C. Nghiệm riêng, tích phân riêng

)

y ϕ=

0Cx ,(

gọi là một nghiệm riêng của PTVP, tức là được suy ra từ nghiệm tổng Hàm số

0CC =

0

Cx ϕ , ,(

Φ

) 0 =

quát (5.4) với hằng số C xác định . Tương tự ta có một tích phân riêng của PTVP

Chú ý: PTVP còn có các nghiệm khác nữa, không thể nhận được từ nghiệm tổng quát, được gọi là nghiệm kỳ dị.

5.1.2. Các PTVP cấp một thường gặp

A. Phương trình với biến số phân li

a. Định nghĩa: Phương trình với biến số phân li (phương trình tách biến) là PTVP có dạng:

154

Chương 5: Phương trình vi phân

dx

f

y )(

dy

0

+

=

xf )( 1

2

2

x

(5.6)

0

=

+

dx 2

ydy 2

1

x

1

y

+

+

là phương trình với biến số phân li. Chẳng hạn:

b. Phương pháp tích phân

f

)( y

dy

f

)(')( dxxyy

−=

−=

dxxf )( 1

2

2

Phương trình (5.6) có dạng:

f

, dxyy )(

C

f

)( y

dy

C

−=

+

−=

+

dxxf )( 1

2

2

∫

∫

∫

Lấy tích phân hai vế ta có :

)( y

dy

C

f

=

dxxf )( 1

2

∫

+ ∫ Đó là tích phân tổng quát của (5.6)

Vậy (5.7)

)(

dy

0

+

=

yNxMdx )( 2

2

Chú ý : Phương trình dạng : có thể đưa về dạng tách biến.

0

yNxM ). )(

(

0

1 ≠y

≠xM )(2

2

1

)( yNxM )( 1 )(N1

và thì chia hai về của phương trình cho sẽ Thật vậy, nếu

dy

0

dx

+

=

)( xM 1 )( xM 2

yN )( 2 )( yN 1

được :

Đó là phương trình với biến số phân li.

0

a

b

x = hoặc

y = thì bằng cách thay trực tiếp nhận

=yN )(1

Nếu tại

=xM )(2 x = hoặc a

0 tại b

y = là nghiệm.

được

3

4

(

)1

(

)(1

)2

0

x

y

dx

x

y

dy

+

+

−

−

=

Ví dụ 1 : Tìm tích phân tổng quát của phương trình :

01 ≠+y

014 ≠−x

3

dx

dy

0

+

=

y y

2 1

− +

x

x 14 −

và ta có : Giải : Với

4

)1

−

dx

1

dy

C

=

+

−

xd ( 4

∫

∫

y

1

1 4

3 +

x

1

−

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎛ ⎜⎜ ⎝

4

ln

x

1

y

ln3

y

C

−+−

1 =+

1 4

Tích phân tổng quát là :

01 =+y

1−=y

1±=x

014 =−x

Ngoài ra hay và hay đều là các nghiệm.

x

y

)

cos(

x

y

)

+

+

−

y y

' = )0(

cos( 0

=

Ví dụ 2 : Tìm nghiệm của bài toán Cauchy

y

'

cos(

x

y

)

cos(

x

y

)

2

cos

x

cos

y

=

+

+

−

=

Giải :

155

Chương 5: Phương trình vi phân

0

y

k

Z

cos ≠y

≠

+

∈

k , π

π 2

tức

xdx

2

cos

=

dy cos

xdx

C

2

cos

=

+

∫

∫

y

y dy cos

ln

tg

(

sin2

+

=

Cx +

y 2

π ) 4

Ta có :

ln

tg

C

C

,

0

=⇒=

π 4

Từ điều kiện ban đầu suy ra :

ln

tg

(

sin2

x

+

=

y 2

π ) 4

Vậy nghiệm của bài toán Cauchy đã cho là .

B.Phương trình đẳng cấp cấp một

a. Định nghĩa : Phương trình đẳng cấp cấp một là PTVP có dạng

f (t),

=

(

),

t

.

f

=

, y =

y x

y x

với (5.8) hay ,y

b. Phương pháp tích phân

t

'

=

−

=

−

t =

y 2

' y x

' y x

t x

y x

x

Coi là hàm của x,

Thay vào phương trình sẽ có :

t

xt

'

f

t )(

xt

'

f

)( t

t

+

=

=

−

hay

f

t )(

0

≠− t

=

dx x

dt )( t

f

t

−

ta có phương trình dạng (5.6) * Nếu

f

t )(

0

f

(

=− t

=)

y x

y x

=

y x

dy dx

* Nếu tức là . Vậy ta có phương trình tách biến dạng (5.6)

y

y

0=− t

( ) tf

t = hay 0t

.0= xt

xt 0=

tại thì bằng cách thử trực tiếp ta có nghiệm * Nếu

2

2

2

xyy

y

x

0

' −

+

=

2

2

)

01

(' y −−

=+

Ví dụ 3 : Giải phương trình

y x

Giải : Chia hai vế cho 2x ta được : y x

156

Chương 5: Phương trình vi phân

,

y

tx

t

'

xt

'

t

=

y +=⇒=

y x

2

t

+

−=

xtt '2 tdt 2 2

01 =+ dx x

1

−=

+

C 1

t + tdt 2 2

∫

∫

dx x

t

1

+

2

1ln(

t

)

ln

+

−=

Cx + 1

Đặt vào phương trình sẽ nhận được :

1

+ 2

t =

C x

2

y

Hay :

1

+

=

2

C x

x

2

2

Trở về biến cũ ta có :

x

y

=

−

C 2

C 4

2 ⎞ +⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

Hay

Đó là các đường tròn có tâm nằm trên trục Ox

Ví dụ 4 : Tích phân phương trình :

− −

=

(x y 3)dy + +

(y x 1)dx

=

dy dx

y x

1 3

x −− y ++

Giải :

x

x

u +=

y

0 y

v +=

0

⎧ ⎨ ⎩

Đây chưa phải là dạng (5.8), tuy nhiên thực hiện phép đổi biến :

(

x

)

=

0 y ,

0

dy dx

dv du

y

x

uv

1

+

u −−

−=−

0

0

3

x

vu

y

+

v ++

+=+

0

0

v ⎧ ⎨ u ⎩

x

y

1 0

x

2

−

+ =

= −

0

0

0

và chọn sao cho : có thể đưa được về dạng (5.8). Thật vậy

x

y

3 0,

y

+

+ =

1 = −

0

0

0

⎧ ⎨ ⎩

⎧ ⎨ ⎩

1

−

Hay

(

)

f

=

=

=

v u

dv du

uv − uv +

1

+

v u v u

Khi đó

t

t

'ut

v u

dv +=⇒= du

Đặt

157

Chương 5: Phương trình vi phân

u

t =+

1 1

t t

dt du

− +

2

1

−

u

t =−

=

1 1

− +

− 1 )1

)1

( t

t t dt

dt

t t ( t

,

−=

+

−=

C 1

dt du + 2

+ + 2

∫

∫

du u

du u

1

1

t

t

+

+

2

ln( t

arctgt

ln

)1 ++

−=

Cu + 1

1 2

C

arctgt

ln

=

2

t

u .1

+

C

arctg

ln

=

y x

1 2

+ +

x

(

1)2

+

+

y x

1 2

+ +

Trở về biến cũ sẽ có tích phân tổng quát :

C. Phương trình tuyến tính cấp 1

a. Định nghĩa : PTVP có dạng sau đây được gọi là PTVP tuyến tính cấp 1 :

)(

xq )(

' yxpy +

=

(5.9)

xqxp )( ),

(

liên tục trên (a,b) với

0)( ≠xq

trên (a,b) thì gọi là PTVP tuyến tính không thuần nhất. Nếu

0)( ≡xq

trên (a,b) thì gọi nó là PTVP tuyến tính thuần nhất. Nếu

b. Phương pháp tích phân

Cho phương trình không thuần nhất (5.9). Gọi phương trình vi phân sau đây là PTVP tuyến

tính thuần nhất tương ứng với (5.9) :

).

0

yxpy ( ' +

=

(5.10)

dxxp )(

−=

dxxp )(

−=

+

C 1

∫

∫

dy y dy y

p(x)dx

-

∫

Trước hết, nhận thấy (5.10) là PTVP với biến số phân li. Nghiệm tổng quát của nó có dạng :

y

Ce

=

(5.11)

Bây giờ ta tìm nghiệm tổng quát của (5.9) bằng phương pháp coi hằng số C trong (5.11) là

xp )(

dx

−

∫

hàm số và gọi đó là phương pháp biến thiên hằng số Lagrange. Cụ thể thay

exCy )(

=

(5.12)

vào (5.9) ta có :

158

Chương 5: Phương trình vi phân

dx

dx

dx

xp )(

xp )(

xp )(

−

−

−

∫

∫

∫

)(' exC

)( expxC

)(

)( expxC

)(

)( xq

−

+

=

dx

xp )(

∫

)(' xC

)( exq

=

dx

xp )(

∫

xC )(

exq )(

dx

+

C 1

= ∫

(5.13)

1C tuỳ ý để (5.12) là nghiệm

Như vậy tồn tại hàm số C(x) phụ thuộc vào một hằng số cộng

)( xp

dx

)( xp

dx

)( xp

dx

−

−

∫

∫

∫

của PTVP (5.9). Chứng tỏ nghiệm tổng quát của (5.9) có dạng :

e

y

Ce

)( exq

dx

+

=

∫ Nếu trong (5.13) lấy C 0= ta được một nghiệm riêng của (5.9). Do đó cũng có thể nói rằng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange là phương pháp tìm một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất khi biết nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng. Dạng nghiệm (5.14) có thể mô tả tổng quát sau đây :

(5.14)

y

*y

y +=

*y là một nghiệm riêng của

(5.15)

trong đó y là nghiệm tổng quát của PTVP thuần nhất tương ứng và

chính phương trình không thuần nhất.

Dạng (5.15) đúng cho PTVP tuyến tính có cấp bất kỳ nói riêng và đúng cho các hệ tuyến

tính nói chung.

y

x

−'

=

y x

Ví dụ 5 : Tích phân phương trình :

xq

x

=)(

)( xp

−=

1 x

−

∫

∫

∫

dx x

dx x

dx x

y

Ce

e

dx

ex

=

+

∫

Giải : Đặt vào công thức (5.14) trong đó , , ta có :

0>x

ln

x

ln

x

ln

x

2

−

y

Ce

e

dx

Cx

x

dx

Cx

x

. ex

=

+

=

+

=

+

∫

∫

Xét với :

0
ln x

ln x

ln x

−

e

x.e

dx

y Ce =

+

dx C x =

+

∫

∫ x x.

1 x

= −

−

−

= −

2 Cx x . +

∫ Cx x ( 1)dx

Xét với

0≠∀x

2 y Cx x .

=

+

, nghiệm tổng quát có thể viết dưới dạng : Vì C tuỳ ý nên

D. Phương trình Bernoulli

Đây là PTVP không tuyến tính (phi tuyến) tuy nhiên có thể đưa về dạng PTVP tuyến tính

bằng cách thay đổi biến số thích hợp.

159

Chương 5: Phương trình vi phân

)(

)( xqy

' yxpy +

α=

a. Định nghĩa : PTVP có dạng (5.16)

R∈α và

1

)( ), xqxp

(

,0 ≠ αα

≠

, các hàm cho trước, liên tục trên (a,b) trong đó

b. Phương pháp tích phân

)( xp

)( xq

+

=

1 1 −α y

' y α y

Chia hai vế của (5.16) cho αy ta sẽ có:

u '

)

.

(1 = − α

)( xu

=

y ' yα

1 1 αy −

, do đó (5.17) Đặt

)(xu

Thay vào phương trình trên sẽ nhận được PTVP tuyến tính cấp 1 đối với hàm :

u

)( uxp

1(

)() xq

) α

α

1(' −+

=

−

(5.18)

Sau khi tích phân phương trình (5.18), ta trở về biến cũ theo (5.17).

x 2

y

e

y

y ' =+

Ví dụ 6: Tích phân phương trình:

y sẽ có:

'

y

x 2

y

e

+

=

y

y

'

Giải: Chia hai vế cho

u

uy

=

, = '

y

2

x 2

u

u

e

' +

=

1 2

1 2

dx

dx

dx

−

−

∫

∫

∫

1 2

1 2

1 2

e

u

Ce

x 2 ee

dx

+

=

∫

1 2

−

−

x

x 2

x 2

.

y

Ce

e

e

dx

=

+

∫

1 2

−

x 2

x 2

y

Ce

e

=

+

x

x

−

2 eCy

e

C

=

+

+

1 2 1 4

Đặt phương trình được đưa về dạng:

E. Phương trinh vi phân toàn phần

a. Định nghĩa: Phương trình vi phân dạng:

yxQdx

dy

,( yxP

)

,(

)

0

+

=

(5.19)

,

∀

Dyx ,( ) ∈

=

P ∂ y ∂

Q ∂ x ∂

(5.20) trong đó

160

Chương 5: Phương trình vi phân

gọi là một PTVP toàn phần.

,( yxu

nào đó. Điều kiện (5.20) chứng tỏ vế trái của phương trình (5.19) là vi phân toàn phần của hàm )

b. Phương pháp tích phân

yxu ,(

)

du

,( yxP

)

yxQdx

,(

)

dy

=

+

Điều kiện (5.20) chứng tỏ tồn tại hàm để theo công

y

x

P x y dx

( , u x y

)

( ,

)

(

)

=

+

, Q x y dy 0

∫

∫

y 0

x 0

thức (3.24) thì :

C

,( yxu

=)

Như vậy tích phân tổng quát có dạng : (5.21)

3

2

3

(

x

3

xy

)

dx

3(

2 yx

y

)

dy

0

+

+

+

=

3

2

2

3

Ví dụ 7 : Giải PTVP

P x =

+

3x y , Q 3x y y =

+

6xy,

6xy

,

(x, y)

=

= ⇒ =

∀

Q ∂ x ∂

P ∂ y ∂

Q ∂ x ∂

P ∂ y ∂

Giải : Đặt

3

2

3

yxu ,(

)

(

x

3

xy

)

dx

y

dy

=

+

+

y ∫ 0

4

4

x

22 yx

y

=

+

+

3 2

1 4

x ∫ 0 1 4

Vậy phương trình đã cho là PTVP toàn phần.

C

,( yxu

=)

4

2

4

Tích phân tổng quát :

x

2 6x y

y

C.

+

+

=

Hay

c. Thừa số tích phân

Trong một số trường hợp điều kiện (5.20) không thoả mãn. Khi đó PTVP (5.19) chưa phải

)

,( yxα

để phương trình : là PTVP toàn phần. Nếu tồn tại hàm số

α

Pdx α

+ Qdy

0=

(5.19) /

là PTVP toàn phần, tức là thoả mãn điều kiện :

)

),

Q ( α

P ( α

=

∀

Dyx ,( ) ∈

∂ x ∂

∂ y ∂

(5.22)

)

yxα ,(

gọi là thừa số tích phân của PTVP. thì hàm số

(x, y)

α

và đi tích phân PTVP toàn phần. Người ta chứng minh được rằng nghiệm của PTVP (5.19) / cũng là nghiệm của PTVP (5.19). Vì vậy để giải PTVP (5.19) không thoả mãn điều kiện (5.20) người ta có thể tìm một thừa số tích phân

2

2

sin2

y

dx

xy

cos

y

dy

0

+

=

Ví dụ 8 : Cho phương trình :

161

Chương 5: Phương trình vi phân

3

yx ,(

)

x

α

=

Chứng tỏ rằng là thừa số tích phân của phương trình và giải phương trình đó.

3

2

2

2

x

sin

y

dx

4 yx

cos

y

dy

0

+

=

Giải : Nhân hai vế của phương trình với 3x ta được :

3

3

2

3

2

4

2

Đặt

P

2

x

sin

,

cos

y

=

yxQy =

2 4x y cos y ,

4x y cos y

,

(x, y)

=

=

∀

Q ∂ x ∂

P ∂ y ∂

Q ∂ ⇒ = x ∂

P ∂ y ∂

3

,

)

x

=

α

yx ,( tổng quát của PTVP là

3

2

4

2

là thừa số tích phân. Theo công thức (3.24.Chương 3), tích phân Chứng tỏ

u

x

y

dx

x

y

2

sin

sin

=

=

1 2

x ∫ 0

u(x,y)= C, trong đó

4 sin

x

y

C

=2

. Vậy :

)(xαα=

thuộc vào một biến x hoặc y. Thật vậy giả sử Trong một số trường hợp đặc biệt ta có thể kết luận về sự tồn tại thừa số tích phân phụ là thừa số tích phân của PTVP không toàn

). yxQx

,(

)

). yxPx

,(

=

[ ( α

]

[ ( α

])

∂ y ∂

∂ x ∂

phần (5.19). Khi đó

α

+′= Q αα

P ∂ y ∂

Q ∂ x ∂

tức là

−=

−

1 Q

1 α d dx α

Q ∂ x ∂

P ∂ y ∂

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎛ ⎜⎜ ⎝

Chia hai vế cho Qα và biến đổi ta được :

−

−

1 Q

Q ∂ x ∂

P ∂ y ∂

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎛ ⎜⎜ ⎝

−=

−

1 Q

Q ∂ x ∂

P ∂ y ∂

d α α

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎛ ⎜⎜ ⎝

dx

−

Q ∂ x ∂

P ∂ y ∂

⎛ ⎜⎜ ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

Chứng tỏ chỉ là hàm của x và tích phân sẽ có :

1 −∫ Qe

=

)(α x

(5.23)

−

1 P

Q ∂ x ∂

P ∂ y ∂

⎛ ⎜⎜ ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

chỉ là hàm của y thì sẽ tồn tại thừa số tích phân là hàm của Tương tự nếu

dy

−

Q ∂ x ∂

P ∂ y ∂

⎛ ⎜⎜ ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

một biến y và công thức tìm:

1 ∫ Pe

=

)(α y

(5.24)

3

2

2

2

x

y

dx

xy

xy

dy

(

)

2(

)

0

+

+

+

+

=

x 3

Ví dụ 9. Tích phân PTVP :

162

Chương 5: Phương trình vi phân

3

2

2

Giải.

xy

xy

2 , Qy

2

xP =

+

=

+

+

x 3

2

2

y

y

x

y

2

,

2

=

+

+

=

Q ∂ x ∂

P ∂ y ∂

dy

y

Đặt

e

∫=)(α y e

=

1

−

=

Q ∂ x ∂

⎞ 1 P ∂ ⎟⎟ Py ∂ ⎠

⎛ ⎜⎜ ⎝ Nhân hai vế của phương trình trên với ey sẽ có :

3

y

y

2

2

2

e

x

y

dx

e

xy

xy

dy

(

)

2(

)

0

+

+

+

+

=

x 3

Suy ra một thừa số tích phân là

y

2

2

)

(

)

0

,( yxu

e

x

y

dx

dy

=

+

+

y ∫ 0

x ∫ 0

3

y

)

,( yxu

e

2 xy

=

+

x 3

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Vế trái là vi phân toàn phần của hàm số :

2

Vậy tích phân tổng quát của PTVP là :

xe y

C

+ 2 y

=

x 3

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(C là hằng số tuỳ ý).

5.2. TỔNG QUAN VỀ SỐ PHỨC

2

bx

+

+2

<

−

4 b ac 0 =Δ )βα − )( x − trong đó

2

,x y ∈(cid:22) để tạo ra các số

)

ax c bậc hai thức này thành dạng phần tử mới, kí hiệu là i (gọi là đơn vị ảo) kết hợp với các cặp số thực ( phức.

Chúng ta đã biết rằng trong trường số thực (cid:22) không thể phân tích thành thừa số tam thức .Tuy nhiên sẽ rất tiện lợi nếu có thể thừa số hoá tam ,α β∉(cid:22) .Nhằm mục đích này thêm vào (cid:22) một khi ( xa

5.2.1.Định nghĩa và các dạng số phức

2

,x y ∈(cid:22) , một số biểu diễn dưới dạng z = x + iy, trong đó

2 −=i 1

A. Định nghĩa:

)

Cho (

gọi là một số phức. Tập các số phức kí hiệu là (cid:5) .

Gọi x là phần thực của z, kí hiệu Rez = x

y là phần ảo của z, kí hiệu là Imz = y

2

2

z

x

y

0

=

+

r ≥=

Gọi môđun của z, kí hiệu là z , xác định bởi một số thực không âm

163

Chương 5: Phương trình vi phân

Gọi Acgumen của z , kí hiệu Argz xác định bởi một số thực

0≠z

c

ϕ=

ϕ=

y z

x z

với Argz = Argϕ∈(cid:22) và xác định từ điều kiện os và sin

k

kπ ∈(cid:28) và Arg0 là không xác định.

Như vậy Acgumen của z sai khác nhau 2 ,

Vậy số phức z có các dạng viết:

1.

cos

iϕ

) sin ϕ+

2. gọi là dạng lượng giác của số phức z. z = x + iy gọi là dạng chính tắc hay dạng đại số của số phức z . z = ( r

B. Biểu diễn hình học của các số phức

y

M(z)

y

r

θ

O x x

H.5.2

Xét mặt phẳng Oxy với hệ toạ độ trực chuẩn (xem H.5.2)

:

Oxy

ϕ →(cid:5)

Ánh xạ đặt mỗi số phức z = x + iy ứng với điểm M có toạ độ (x,y) trên mặt

phẳng Oxy. Vậy ϕ là song ánh. Gọi mặt phẳng Oxy là mặt phẳng phức.

∀ ∈(cid:5) z

( ) , zϕ

→

M Oxy

gọi là ảnh của z trên Oxy

∀ ∈

OM cũng được gọi

( 1 Mϕ− ,

)

gọi là toạ vị của M, đó là số phức z ∈(cid:5) . Ngoài ra

z

OM =

→→ OMOx,

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

là véctơ biểu diễn số phức z. Như vậy và = Argz

Trên mặt phẳng phức Oxy nhận thấy:

x= ∈(cid:22) , trục này gọi là trục thực, còn trục Oy biểu diễn

Trục Ox biểu diễn các số thực z

các số phức z = iy, y∈(cid:22) gọi là các số ảo thuần tuý, người ta gọi trục Oy là trục ảo.

5.2.2.Các phép toán trên tập (cid:5)

'

x

'

4

'

'

'

(cid:22)

,

,

, , x y x y

x

iy

∀

∈

x iy +

=

+ ⇔ ⎨

)

(

'

y

⎧ =⎪ x y =⎪⎩

A.Phép so sánh bằng nhau

B. Phép lấy liên hợp

x iy

z

iy

= + ∈(cid:5) , liên hợp của z, kí hiệu là z cho bởi

x −=

Cho z

164

Chương 5: Phương trình vi phân

C. Phép lấy số phức đối

Cho z = x + iy∈ (cid:5) , số phức đối của z, kí hiệu là –z (đọc là trừ z ) được xác định:

-z = -x - iy

D. Phép cộng

Cho z = x + iy, z’= x’+ iy’, tổng của z và z’, kí hiệu là z + z’ xác định như sau:

z + z’ = (x + x’) + i(y + y’)

E. Phép nhân

Cho z = x + iy và z’= x’+ iy’, tích của z và z’, kí hiệu là z.z’ xác định như sau:

z.z’ = (xx’- yy’) + i(xy’+ x’y)

F. Phép trừ và phép chia

z

'

z

(

z

')

= + −

"

z

z

z z

z '. ", khi

0

= ⇔ =

≠

z − z z

'

Là các phép tính ngược của phép cộng và phép nhân

Từ các phép toán trên, nhận được các tính chất dưới đây:

z

.

z ∀ ∈

=(cid:5) z ,

2

1.

(cid:5)

z z ,

,

z

z

'

z

'

'

∀

∈

+

z = +

(

)

2

2.

(cid:5)

z z ,

,

z z .

'

z z

'

'

∀

∈

=

(

)

n

n

…

n

z

z

,

,

,

(cid:5) ,

,

* (cid:178) ∀ ∈ ∀

∈

n

i

i

, z z 1

2

∑ ∑ z =

i

i

1 =

1 =

n

n

z

i

∏ ∏ z = i

i

i

1 =

1 =

*

3.

* (cid:5) (cid:5) (cid:5)

z

z

'

,

\{0}

(cid:5) , ∀ ∈ ∀ ∈

=

z ' z

z ' z

⎞ =⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

4.

(cid:22)

z

z

z

(cid:5) ,

z ∀ ∈

= ⇔ ∈

z

z

z

(cid:22) (cid:22) , i i

{ , iy y

(cid:22) }

= − ⇔ ∈

=

∈

2

5.

(cid:5)

z

. z z

z ∀ ∈

=

6.

G. Phép luỹ thừa, công thức Moavrờ ( Moivre)

z

r

i

k

cos

sin

,

θ

=

+

∀ ∈(cid:28)

(

) θ

Cho

k

k

Gọi

r

z

i

sin

=

+

k θ

kz là luỹ thừa bậc k của z. Bằng qui nạp , dễ chứng minh được )θ k

( cos

(5.25)

Gọi (5.25) là công thức Moivre.

165

Chương 5: Phương trình vi phân

*

z ∈(cid:5) .

H. Phép khai căn bậc n của

(cid:178)

n

z

r

*,

cos

sin

∈

=

iϕ +

*ς∈(cid:5) là căn bậc n của z, kí hiệu n z , xác định

) ϕ

(

Cho . Gọi

như

z

n =ς

r

=

sau:

1 nr

=ρ

ςρ=

2k ϕ π+ n

k

2 ϕ π

n ⎧ ρ ⎨ n Φ = + ⎩

Nếu gọi hay là và Φ= và Φ = Argς thì

k

0,1, 2,..., n

1

=

−

với .

k

k

+

+

1 n

Vậy số z có đúng n căn bậc n, đó là các số phức có dạng:

r

i

k

n

cos

sin

,

0,1, 2,...,

1

ς

=

+

=

−

2 ϕ π n

2 ϕ π n

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

(5.26)

Chú ý:

• Trong lý thuyết chuỗi [ ]2 , sau khi đã có các khai triển của các hàm số sơ cấp, người ta sẽ

θire

z =

k

ik

θ

nhận được dạng luỹ thừa của số phức z:

z

k r e

k

,

=

∈(cid:28)

k

n

2 θ π+ i n

Khi đó công thức (5.25) sẽ là : (5.25)’

* (cid:178)

n

k

n

z

1 r e n

,

0,1, 2,...,

1

,

∈

=

−

=

(5.26)’ Còn công thức (5.26) sẽ là :

Căn bậc n của 1. •

k

,...,2,1,0

n

1

ik 2 π e n

,

=

=

−

ω k

Vì z = 1 có z = 1 = r, Argz = 0. Vậy căn bậc n của 1 là n số phức dạng:

1

± i 2 = e π

kω có những tính chất sau:

Vì nên các số phức

n

.

k ∈∀

−

ωω =

k

kn −

a. .

n

.

k ∈∀

−

{ ,...,2,1,0 { ,...,2,1,0

} ,1 } ,1

k

k ωω = 1

n

n

1 −

1 −

b.

(cid:178)

0,

n ∀ ∈

=

=

=

{ } \ 0,1 ,

k ω 1

ω k

∑

∑

0

0

k

k

=

=

n 1 − ω 1 1 − ω 1

c.

kω biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi các đỉnh của một đa giác đều n cạnh nội tiếp trong đường tròn lượng giác và một trong các đỉnh là điểm có toạ vị bằng 1. Đa giác này nhận Ox làm trục đối xứng, chẳng hạn với n = 2, n = 3, n = 4, biểu diễn hình học các số kω cho trên hình 5.3

d. Các số phức

166

Chương 5: Phương trình vi phân

1 i+− 2

3 2

y y y

x -1 1 x -1 -1 1 x

1 i−− 2

3 2

-1 1

n = 2 n = 3 n = 4

H.5.3

5.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

Trước hết, ta xét một bài toán dẫn đến PTVP tuyến tính cấp hai. Xét mạch RLC (hình 5.4).

Gọi u(t) là tổng điện áp trên các phần tử của mạch, vậy u(t) = 0. i(t) là cường độ dòng điện trong mạch. Trong kỹ thuật điện tử đã biết hiệu điện thế trên điện trở là Ri(t), trên cuộn tự cảm là

L

idt

q

+

0

t ∫

di dt

1 C

0

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

và trên tụ là trong đó q0 là điện lượng ban đầu trên tụ. Vậy ta có mối liên hệ

L

dt

q

0

)( tu

)( tRi

)( ti

=

=

+

+

+

0

1 C

di dt

t ∫ 0

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

sau đây:

′ )( tu

iR

iL

=

+′

+′′

i C

Lấy đạo hàm 2 vế ta sẽ có :

′

′′ Li Ri +

+

0 =

i C

Vậy nhận được phương trình tuyến tính cấp 2 đối với hàm số i :

167

Chương 5: Phương trình vi phân

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 là phương trình có dạng :

y

)( yxa

)( xf

+′′

+′

=

)( yxa 1

2

(5.27)

(

(

),

)( xf

), xaxa 1

2

trong đó liên tục trên (a,b).

0

≠xf )(

thì (5.27) gọi là PTVP tuyến tính không thuần nhất. Nếu

0

≡xf )(

thì (5.27) gọi là PTVP tuyến tính thuần nhất. Nếu

Người ta đã chứng minh rằng với các giả thiết trên, PTVP (5.27) luôn tồn tại nghiệm và

nghiệm của bài toán Cauchy sau đây là duy nhất.

)

Tìm nghiệm của PTVP (5.27) thoả mãn:

( xy 0 ′ ( xy

)

0

= y 0 ′= y 0

⎧ ⎨ ⎩

(5.28)

trong đó (x0, y0, y’0) cho trước. Các điều kiện (5.28) gọi là các điều kiện ban đầu. Bài toán trên gọi là bài toán Cauchy

y

)( yxa

0

+′′

+′

=

)( yxa 1

2

Người ta gọi PTVP (giữ nguyên vế trái của (5.27)) (5.28)

là PTVP tuyến tính thuần nhất tương ứng với PTVP tuyến tính không thuần nhất (5.27).

Mọi hệ tuyến tính đều có tính chất chung nên tương tự như PTVP cấp một, nghiệm của

PTVP (5.27) có quan hệ với nghiệm của PTVP (5.29). Vì thế trước hết ta xét PTVP (5.29).

5.3.1 Tính chất nghiệm của PTVP tuyến tính thuần nhất.

Xét PTVP tuyến tính thuần nhất:

y

)( yxa

0

+′′

+′

=

)( yxa 1

2

(5.30)

Định lý 5.2. Nếu y1 và y2 là nghiệm của PTVP (5.30) thì y1+y2 và Cy1 (hoặc Cy2) với C là hằng số

tuỳ ý, cũng là nghiệm của (5.30).

(

)

)(

)(

)

)

y

y

+′′

+

+

y 1

( yxa 1 1

2

( yxa 1

2

2

)( yxa

=

] 0 ≡

+′ )( yxa 1 1

)( yxa 1

2

)( yxa 1

+′ 2

2

2

+′ [ +′′+ y 2

Chứng minh : Thật vậy thay y = y1+ y2, y = Cy1 vào PTVP (5.30) sẽ nhận thấy chúng thoả mãn PTVP đó :

[

]

)(

)

+′

=

y + 2 +″ y 1 +″ )

] 0 ≡

Cy 1

xa ( 1

Cy 1

xa )( 2

Cy 1

[ +′′ yC 1

+′ yxa )( 1 1

yxa )( 1

2

(

Trước hết ta xét khái niệm hai hàm phụ tuyến tính, độc lập tuyến tính. Các khái niệm này

cũng tương tự như các khái niệm của véc tơ trong không gian đã học trong toán cao cấp A2.

),

)( x

( x ϕϕ 2

1

liên tục trên (a, b) gọi là phụ thuộc tuyến tính trong (a,b) nếu tồn tại Các hàm

1,αα không đồng thời bằng 0 sao cho :

2

2 hằng số

x

)( x

)( x

,0

),( ba

∈∀≡

ϕα 11

+ ϕα 22

(5.31)

)( x

),

0

=

( x ϕϕ 2

1

= αα 2 1 tuyến tính trên (a, b). Dễ dàng chỉ ra rằng : Hai hàm số độc lập tuyến tính khi và chỉ khi tỷ số của chúng không phải là hằng số. Hai hàm số phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi chúng tỉ lệ với nhau

Ngược lại, tức là (5.31) chỉ xảy ra khi thì nói rằng là độc lập

168

Chương 5: Phương trình vi phân

2

x )(

x

,

x )(

x

,1)( x =

=

=

ϕ 1

ϕ 2

ϕ 3

2

x

x

Chẳng hạn :

)( x

sin

x

,

)( x

cos

x

,

)( x

e

,

)( x

e

=

=

=

=

ϕ 4

ϕ 5

ϕ 6

ϕ 7

là độc lập tuyến tính từng

đôi trên khoảng (a, b) bất kỳ.

(

)( x

), x ϕϕ 2

1

W

,0

ba ),(

=

≡

x ∈∀

]

[ , ϕϕ 1 2

ϕϕ 2 ′ ϕ 2

1 ′ ϕ 1

phụ thuộc tuyến tính trên (a ,b) thì : Định lý 5.3. Nếu các hàm

.

]

[ W , 1

ϕ ϕ = 2

ϕ 1 ′ ϕ 1

ϕ 2 ′ ϕ 2

(5.32) Gọi

1,ϕϕ 2

là định thức Wronski của hai hàm

Chứng minh :

)( x

)( x

0

+

≡

1,αα không đồng thời bằng không để

2

ϕα 11

ϕα 22

Tồn tại

0

)( x

)( x

−=

2 ≠α

ϕ 2

ϕ 1

α 1 α 2

x ( )

−

ϕ 1

ϕ 1

W

0.

=

= −

≡

]

[ , ϕ ϕ 1 2

ϕ ϕ 1 ′ ϕ 1

1 ′ ϕ 1

α 1 α 2

x ( )

−

′ ϕ 1

′ ϕ 1

α 1 α 2 α 1 α 2

Giả sử , vậy suy ra :

Định lý 5.4. Nếu các nghiệm y1, y2 của PTVP tuyến tính thuần nhất (5.30) là độc lập tuyến tính

x

,0

),( ba

∈∀≠

]

[ , 2 yyW 1

(5.33) trên (a b) thì

Chứng minh :

(

),

y

(

x

)

] 0 =

[ xyW 1

0

0

2

Gỉa sử ngược lại với a < x0 < b. Xét hệ phương trình đại số với các

(

)

(

)

0

x

+

=

0

0

x

(

)

(

)

0

+

=

0

yC 22 ′ yC 22

0

xyC ⎧ 11 ⎨ ′ xyC ⎩ 11

ẩn C1, C2 :

0

2 ≠C

) vì định thức của hệ bằng Hệ này có nghiệm không tầm thường C1, C2 (giả sử

không.

=

yC 22

cũng là nghiệm của (5.28) (theo định lý 5,2).

)

)

0

~ yCy + 11 (~,0 ′ xy

=

0~ =y

=

0

0

Theo trên thì . Từ tính duy nhất nghiệm suy ra trên (a, b) tức Mặt khác hàm số (~ xy

x

,0

),( ba

+

∈∀≡

yC 11

yC 22

là :

0

2 ≠C

Mà chứng tỏ y1, y2 phụ thuộc tuyến tính, mâu thuẫn với giả thiết.

Định lý 5.5. Nếu y1, y2 là hai nghiệm độc lập tuyến tính của (5.30) thì nghiệm tổng quát của

=

+

yCy 11

yC 22

(5.34) PTVP (5.30) có dạng :

169

Chương 5: Phương trình vi phân

1, CC

2

trong đó là các hằng số tuỳ ý

Chứng minh :

Trước hết ta thấy (5.34) là nghiệm của (5.30) (theo định lý 5.2) và phụ thuộc vào 2 hằng số

C1, C2 tuỳ ý.

)

,

)

=

=

y x ( 0

y 0

′ ( y x 0

′ y 0

Ngoài ra với điều kiện đầu thì sẽ tìm được C1, C2 duy nhất. Thật vậy

)

(

)

)

)

(

)

x

y

x

=

+

0

0

hệ phương trình :

0

≠

)

(

)

0 x

y

x

( xy 0 ′ ( xy

)

(

)

(

)

=

+

0

( xyC 11 0 ′ xyC 11

0

yC 22 ′ yC 22

0

y = 0 ′= y 0

( xy 1 ′ ( xy 1

0

2 ′ 2

0

⎧ ⎨ ⎩

có

Định lý 5.6 Nếu biết là nghiệm của (5.30) thì có thể tìm được nghiệm y2 của (5.30) độc

dx

−

xa )( 1

∫

Suy ra nghiệm (C1, C2) tồn tại duy nhất. 0 1 ≠y lập tuyến tính với y1 dạng :

y

)( x

dx

e

=

2

)( xy 1

∫

x )(

1 2 y 1

(5.35)

Chú ý : Trong tích phân trên hằng số cộng của tích phân bất định luôn lấy bằng 0.

y

)( x

=

Chứng minh :

2

)()( xuxy 1

Trước hết ta có thể tìm nghiệm y2 trong dạng

2

0

+′

+′′

=

] +′

+′′ uy 1

′ uy 1

uy 1

[ +′ )( uyxa 1 1

uy 1

uya 12

′

)

0

=

+′

+

+′′

+

+′′ ( yu 1

ya 11

ya 12

2 y y 1

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ′⎥ )( uxa 1 ⎦

⎫ ⎬ ⎭

⎧ uy ⎨ 1 ⎩

Đặt vào (5.30) sẽ nhận được PTVP đối với hàm u(x)

′

u

0

+′′

+

)( uxa 1

2 y y 1

⎤ =′⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎣

′

,

Chọn u khác hằng số thoả mãn phương trình :

v

′= u

v

0

+

+

2 y y 1

⎤ )( vxa =⎥ 1 ⎦

⎡ ⎢ ⎣

Đặt có

′

dx

−

+

xa )( 1

∫

y 2 y 1

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

v

Ce

=

′

dx

2

−

∫

dx

−

xa )( 1

y y 1

∫

Ce

. e

=

dx

−

xa )( 1

ln2

−

y 1

∫

Ce

. e

=

−

dxxa )( 1

∫

C

. e

=

1 2 y 1

Đây là PTVP tuyến tính cấp 1, do đó :

1=C

do đó có thể chọn u là : Lấy

170

Chương 5: Phương trình vi phân

dx

−

xa )( 1

∫

)( xu

. e

dx

=

∫

)( x

1 2 y 1

1a (x )dx

−∫

0

′ u (x)

e

=

≠ nên u(x) không phải là hằng số, chứng tỏ y1, y2 độc lập tuyến

1 2 y 1

Vì

tính.

Ví dụ 10 : Tìm nghiệm tổng quát của phương trình :

.

y

y

0

=

+′′

=+′ y

y 1

2 x

sin x x

biết một nghiệm riêng

dx

−

∫

x

ln2

−

2 x

x

x

2 ex .

2 ex .

dx

y

dx

=

=

2

2

2

∫

∫

sin x

sin x

sin

x

sin

x

.

=

=

( cot gx) −

= −

∫

sin x x

dx 2 sin x

sin x x

cos x x

Giải : Tìm y2 độc lập tuyến tính với y1 trong dạng (5.35)

y

=

(

) C sin x C cos x . +

1

2

1 x

Vậy nghiệm tổng quát :

Ví dụ 11 : Giải phương trình

x

x

y

yx

y

R

(ln2

)1

0

−

−′′

=+′ y

= αα, x

∈

biết rằng nó có một nghiệm riêng dạng

Giải : Trước hết tìm α

αx

y =1

2

−

x

x

x

x

(ln

)1

)1

,0

),( ba

( αα

−

−

2 α α αα x x + −

∈∀=

(ln

x

)(1

,01

)1

x

ba ),(

α

−

α

∈∀=+−−

α

0

Đặt vào phương trình sẽ có :

x

1 y =⇒=⇒

α

1

( )1 αα − = ⎧ ⎨ 01 α =+− ⎩

suy ra

2

∫

)1

xdx (ln x

x

−

dx

e

y

x

=

2

2

∫

x

∫

x

ln(ln

)1

−

d ln

x ln x 1 −

e

e

dx

x

dx

x

=

=

2

2

∫

∫

x

x

ln

1

x

dx

x

x

x

(ln

ln

=

=

−

)1 +−

x − 2

dx 2

∫

∫

1 x

x

x

⎤ −=⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎣

Tìm y2 trong dạng (5.33)

CxCy

x

=

1 +

ln2

Nghiệm tổng quát

171

Chương 5: Phương trình vi phân

Chú ý : Để biết được một nghiệm không tầm thường của PTVP tuyến tính thuần nhất là rất khó khăn. Vì thế trong quá trình tích phân ta phải xem xét dạng phương trình để suy đoán được nghiệm hoặc tìm nghiệm theo sự gợi ý của bài toán.

5.3.2 Tính chất nghiệm của PTVP tuyến tính không thuần nhất

Xét PTVP (5.27) và PTVP thuần nhất tương ứng(5.29).

Định lý 5.7. Nghiệm tổng quát của PTVP (5.27) bằng tổng nghiệm tổng quát của PTVP (5.29)

cộng với một nghiệm riêng bất kỳ của chính phương trình (5.27)

y

*y

y +=

(5.36)

Ở đây người ta dùng ký hiệu :

*y là nghiệm riêng của PTVP (5.27)

y là nghiệm tổng quát của PTVP (5.29)

y

*y

y +=

'

"

*

'*

"*

)(

)

)(

)

y

y

y

yxa (

y

xf )(

+

+

+

=

2

yxa ( 1

"

'

+ '*

+ "*

vào (5.27) ta có: Chứng minh : Thay

y

yxa )(

y

yxa )(

xf )(

+

+

+

+

=

+

2

yxa )( 1

2

0

yxa )( 1 xf )(

xf )(

+

=

y

*y

y +=

1, CC

2

Chứng tỏ là nghiệm của (5.27). Nó phụ thuộc hai hằng số tuỳ ý (có

1, CC

2

sẽ tìm được duy nhất như đã chứng minh ở

trong biểu thức của y ) và với điều kiện đầu thì định lý 5.5

* 1 , y y

* 2

lần lượt là các nghiệm riêng của Định lý 5.8 (Nguyên lý chồng chất nghiệm): Nếu

')(

)(

yxayxay " +

+

=

1

2

xf )( 1

')(

)(

f

x )(

yxayxay " +

+

=

1

2

2

*

phương trình không thuần nhất

y

y

=

+

* y 1

* 2

f

f

)( xf

)( x

)( x

=

+

1

2

*

thì là nghiệm riêng của phương trình (5.27) với vế phải

y

y

=

+

* y 1

* 2

vào PTVP Chứng minh định lý này cũng tương tự như trên bằng cách thay

(5.27) sẽ nhận được đồng nhất thức.

Ý nghĩa của nguyên lý là ở chỗ: vế phải f(x) có thể phân tích thành tổng hữu hạn các hàm số, ứng với mỗi hàm số, nghiệm riêng thành phần có thể tìm được dễ dàng hơn và như vậy

*y sẽ tìm được.

nghiệm riêng

y

y

=

−

* 1 , y y

* 2

* y 1

* 2

thì hàm số Định lý 5.9: Nếu biết hai nghiệm riêng của PTVP (5.25)

là nghiệm của PTVP (5.29).

172

Chương 5: Phương trình vi phân

y

y

=

−

* y 1

* 2

Chứng minh định lý này bằng cách thay vào phương trình (5.29) và để ý đến

* 1 , y y

* 2

là các nghiệm riêng của (5.27) sẽ nhận được đồng nhất thức.

1, y y

2

Định lý 5.10: Nếu biết hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (5.29) thì một nghiệm

riêng của (5.27) có thể tìm được bằng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange.

*

Nghiệm đó có dạng:

y

)( yxCxyxC

)(

)(

)( x

=

+

1

1

2

2

0

C y C y +

=

/ 1 1

/ 2

2

(5.37)

f (x)

C y C y +

=

/ / 1 1

/ 2

/ 2

⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩

trong đó: (5.38)

1, y y

2

. Khi đó Chứng minh: Giả sử biết hai nghiệm độc lập tuyến tính của PTVP (5.29) là

)( x

+

=

)( yCxyCy 22

11

nghiệm tổng quát của (5.29) là:

*

Nội dung của phương pháp biến thiên hằng số Lagrange là:

y

)( yxCxyxC

)(

)(

)( x

=

+

1

1

2

2

Coi là nghiệm riêng của (5.27), với sự tồn tại của

), )( xCxC

(

2

1

'*

.

y

=

+

+

+

' yC 1 1

' yC 2

2

' yC 11

' yC 22

Thật vậy

*,

Trước hết đặt điều kiện:

0

+

=

y

=

+

' yC 1 1

' yC 2

2

, yC 11

, yC 22

, khi đó (*)

*y vào (5.27) sẽ nhận được:

)

)

)( xf

+

+

+

+

+

+

+

=

" ( yC 1 1

' ya 11

ya 12

( yC 2

" 2

' ya 21

ya 22

' ' yC 1 1

' yC 2

' 2

Bây giờ thay

*y là nghiệm thì phải có:

Để

)( xf

+

=

' ' yC 1 1

' yC 2

' 2

(**)

0

+

=

)( xf

+

=

' yC 2 ' yC 2

2 ' 2

' ⎧ yC ⎪ 1 1 ⎨ ' ' ⎪⎩ yC 1 1

Các điều kiện (*) và (**) bây giờ là:

xCxC ), )(

(

0≠ .Từ đó sẽ có

[ ¦W y , y

]

1

2

1

2

' 1, CC

' 2

Hệ phương trình này hoàn toàn tìm được do .

x

Ví dụ 12: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình:

'

y

y " +

=

2 2

1 2

1

x

x

1

+

+

.

Giải: Phương trình thuần nhất tương ứng là:

173

Chương 5: Phương trình vi phân

x

y

y " +

0' =

2 2

1

x

+

11 =y Nghiệm thứ hai độc lập tuyến tính tìm theo công thức (5.35) sẽ là:

dx

−

∫

2 2 x

x 1 +

y

e

dx

=

=

arctgx =

2

dx 2

∫

∫

1

x

+

Dễ nhận thấy phương trình thuần nhất này có một nghiệm là

*

y

)(

arctgx

=

xCxC )( +

1

2

Nghiệm riêng của PTVP đã cho tìm trong dạng:

C

arctgx

0

+

=

' 2

1

1

0.

C

.

+

=

' 2

2

2

x

x

1

1

+

+

' ⎧ C 1 ⎪ ⎨ ' C ⎪ 1 ⎩

trong đó:

1

C

x

C

=⇒=

2

' 2

2

arctgx

arctgxdx

. x arctgx

1ln(

x

)

−=

−=

+

+

' C 1

C −=⇒ 1

∫

1 2

Giải hệ này sẽ có:

y

1ln(

2 )

x

C

arctgx

=

+

+

+

C 1

2

1 2

Vậy nghiệm tổng quát là:

5.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số không đổi

5.4.1. Khái niệm về số phức

5.4.2. Các dạng nghiệm của phương trình thuần nhất

Cho phương trình:

0

=

yayay " ' + + 1

2

(5.39)

1, aa

2

trong đó là các hằng số thực.

Tìm nghiệm riêng của (5.39) dưới dạng

kxe

y =

, k = const

2 kx

kx

kx

2

2

Vậy k thỏa mãn điều kiện:

k

y ' k.e , y" k e , e (k =

=

+

= ⇔ +

+

0 =

a k a ) 0 1 2

a k a + 1

2

(5.40)

Phương trình (5.40) gọi là phương trình đặc trưng của (5.39). Thông qua phương trình này,

chúng ta có thể biết được dạng nghiệm của chính (5.39).

174

Chương 5: Phương trình vi phân

2

k

)

x

1 −

2

xk 1

xk 2

* Nếu (5.40) cho 2 nghiệm thực khác nhau thì có 2 nghiệm riêng của (5.39) là

( ke

e

,

y

e

=

=

=

y 1

2

1, kk y 1 y

2

. Chúng độc lập tuyến tính vì không phải là hằng số. Vậy

xk 1

xk 2

nghiệm tổng quát của (5.39) sẽ là:

+

eCy = 1

eC 2

(5.41)

kxe

y =1

. Nghiệm * Nếu (5.40) cho 2 nghiệm thực trùng nhau thì (5.39) có 1 nghiệm riêng,

2y độc lập tuyến tính với

1y tìm được theo công thức 5.35

kx

kx

riêng

(

0')2

uk

eue " +

+

=

y = 2

uy 1

a 1

và

0

+ k 2

=

a 1

vì k là nghiệm kép của (5.40) do đó . Suy ra:

u

Ax

B

= ,0" u

=

+

, lấy u = x.

Vậy nghiệm tổng quát của (5.39) :

y

)

=

kxexCC ( 2

1 +

(5.42)

k

=

βα i ±

x xi βα ee

x α e

(cos

i

sin

)

x β

x β

=

=

+

−

xi β

y 1 y

x α ee

x α e

(cos

i

sin

)

x β

x β

=

=

−

2

thì hai nghiệm riêng dưới dạng phức sẽ là: * Nếu (5.40) cho 2 nghiệm phức

1, aa

2

1, yy

2

là các số thực, vậy các phần thực và phần ảo của cũng là nghiệm của Do

(5.39).

cos

x α e

x β α , ex

x β

sin tổng quát của (5.39) trong trường hợp này có dạng:

. Chúng độc lập tuyến tính. Vậy nghiệm Chúng ta lấy 2 nghiệm là

y

cos

sin

)

=

Cx +

β

x β

x α Ce ( 1

2

(5.43)

y

0

y 6'5" y + +

=

2

Ví dụ 13:

k

0

+ k 5

6 =+

2

x

−

3 x − +

eCy = 1

eC 2

Giải: Phương trình đặc trưng của nó: cho nghiệm k1 = -3,k2 = -2. Vậy :

0

y '2" y −

y =+

2

Ví dụ 14:

01

k

− k 2

=+

x

y

(

)

=

xCCe + 1

2

Giải: Phương trình đặc trưng của nó có nghiệm k1=k2=1. Vậy

y

,0

y

)0(

y

1)0('

y 2'2" y + +

=

=

=

Ví dụ 15: Tìm nghiệm của bài toán Côsi:

2

k

2

k

,0

k

i

+

2 =+

1 ±−=

Giải: Phương trình đặc trưng của nó:

Nghiệm tổng quát:

175

Chương 5: Phương trình vi phân

x

−

y e (C cos x C sin x)

=

+

2

x

−

e

y '

1 (C C ) cos x (C C ) sin x −

−

+

=

)

2

1

1

( = =

2 y(0) 1 C 1

C

2

− ⇒ =

y '(0) 1 C C = = 1

2

2

x

y

(cos

x

sin2

x

)

= − e

+

.

5.4.3. Phương pháp tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất

Cho phương trình :

xf )(

=

" ' yayay + + 1

2

(5.44)

trong đó a1,a2 là các hằng số thực.

Nhờ vào phương pháp biến thiên hằng số Lagrange và các dạng nghiệm của phương trình

x

thuần nhất ta có thể tìm được nghiệm tổng quát của (5.44) với f(x) là hàm liên tục bất kỳ.

" y y =−

e x

e

1

+

Ví dụ 16: Tích phân PTVP

0

y " =− y

Giải: PTVP thuần nhất tương ứng:

k

012

k

1 ±=⇒=−

Phương trình đặc trưng của nó:

x

x

−

+

eCy = 1

eC 2

Nghiệm tổng quát của PTVP thuần nhất tương ứng:

Bây giờ tìm nghiệm riêng của PTVP đã cho bằng phương pháp biến thiên hằng số

*

x

x

−

y

)( exC

)( exC

=

+

1

2

x

x

−

0

+

=

' C e 1

' C e 2

x

Lagrange:

x

x

−

−

+

=

' C e 1

' C e 2

x

e 1 e +

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

trong đó

2x

C

= −

=

' , C 1

' 2

x

x

1 e 2 1 e +

C

=

2

1 2 e 1 ∫ 2 e

1

1 1 + dx x +

Suy ra:

dx

e x

t

,

=

=+ 1

t

dt 1−

Đặt ,

176

Chương 5: Phương trình vi phân

C

dt

=

=

−

2

∫

∫

)1

1

t

1 t

1 −

⎛ ⎜ ⎝

dt − 1

x

ln

ln( e

x

=

−=

)1 ++

1 2 1 2

1 2 1 2

⎞ ⎟ ⎠ 1 2

( tt t − t

2

x

1

t

dx

dt

−=

−=

C 1

e x

∫

∫

1 2

− t

1

e

+

1 2 x

1

e

x

e ln(

)1

−=

+

+

+ 2

1 2

x

x

−

x

x

x

y

e

e ln(

C

=

)1 −+

+

+

−

)1 ++

[ e ln(

]

[ x

C 1

]2

e 2

e 2

Vậy nghiệm tổng quát:

Dưới đây chúng ta xét các dạng đặc biệt của f(x) ứng với nó, nghiệm riêng của (5.44) tìm

n

n

1 −

được mà không cần phải dùng đến phép tính tích phân.

xf )(

x α e

(

)

=

=

+

... ++

A 0

x α xPe )( n

xA n

xA 1 n −

Trường hợp 1:

iR (,

,0

0

∈

=

≠

Aα , 1

nAn ),

trong đó

Nếu α không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng của phương trình thuần nhất

2

tương ứng với (5.44) :

k

a

0

+

+

=

ka 1

2

(5.45)

n

n

*

1 −

y

x α xBe (

B

)

=

=

+

... ++

thì một nghiệm riêng của (5.44) tìm dưới dạng:

x α nQe )( n

n

0

xB n 1 −

với n+1 hệ số Bi chưa biết.

Q

2(

α

2 ( α

+

+

+

+

+

=

" n

' n

n

P n

Qa ) 1

a α 1

Qa ) 2

Thay y* vào (5.42) thì:

n

i

,0=

2

). Phương pháp tìm các hệ số của với với (n+1) ẩn số Bi ( Đồng nhất các hệ số của lũy thừa cùng bậc của x ta sẽ có hệ (n+1) phương trình tuyến tính nQ như trên gọi là phương pháp

,1

xx ,

,...,

nx

,...

hệ số bất định với hệ hàm số

n

*

x α

y

x α xQxe )(

xe

(

B

)

=

=

... ++

n

xB n

0

Nếu α là nghiệm đơn của (5.43), nghiệm riêng tìm dưới dạng:

n

*

2

x α

y

x α xQex )(

2 ex

(

B

)

=

=

... ++

n

xB n

0

.0

Nếu α là nghiệm kép của (5.43) thì:

y

x

(

(

))

'2" y y +

==+

x xPe 1

Ví dụ 17: Tìm một nghiệm riêng của PTVP:

2

Giải: Phương trình đặc trưng của phương trình thuần nhất tương ứng:

k

01

+ k 2

=+

*

/ *

"*

y

,

0

=

yBxB +

=

=

1

0

yB , 1

có nghiệm kép k = -1

177

Chương 5: Phương trình vi phân

x

2

+

BxB +

=

1

0

1

=

2

2

−=

B −=⇒ 0

B 1

B

2

0

+

=

B 1 B 1 B 1

0

⎧ ⎨ ⎩

*

y

2

−= x

"

.

y

y

(

))

+

3'2 y −

=

x = xe (

x .1 xPe 1

Ví dụ 18: Tìm một nghiệm riêng của PTVP:

2

Giải: Phương trình đặc trưng của PTVP thuần nhất:

k

03

+ k 2

=−

*

2

x

x

y

(

)

xBe (

)

=

+

=

+

BxBex . 1

0

1

xB 0

'*

2

x

y

xBe (

(

B

2

BxB

)

)

=

+

+

+

1

0

1

0

"*

2

x

y

xBe (

(

B

4

2

B

2

)

=

+

+

+

+

1

0

xB ) 1

0

B 1

có nghiệm k = 1, k = -3

8

2

4

B

x

+

+

=

xB 1

B 1

0

=

B 1

=

1 8

⇒

0

=

2B 4B + 0

1

8B 1 ⎧ 1 ⎨ ⎩

B

= −

= −

0

B 1

1 2

1 16

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩

*

x

y

x.e

(x

).

=

−

1 8

1 2

Thay vào phương trình sẽ có:

'

2

x

y

4

y

e

(

x

),1

y

)0(

y

1)0('

y 4" −

+

=

+

=

=

2

Ví dụ 19: Tìm nghiệm của bài toán Côsi:

k

04

− k 4

=+

cho

2

k

= k

=

1

2

Giải: Phương trình đặc trưng của phương trình thuần nhất tương ứng nghiệm .

*

2

2

3

2

x

x

y

2 ex

(

)

e

(

=

BxB +

=

+

1

0

xB 1

xB 0

2

3

2

'*

x

e

2(

B

2

y

=

+

+

+

) ]

xB 1

0

xB )3 1

xB 0

2

3

2

"*

x

e

B

B

B

y

4(

12

8(

6

2

=

+

+

+

+

+

xB 1

0

xB ) 1

0

xB ) 1

)0

6

2

B

1

+

x +=

[ 2 ( 4 xB 1

0

1

=

B

,

=

B =⇒ 1

0

B 1 B

2

1

=

1 6

1 2

0

6 ⎧ ⎨ ⎩

Trước hết tìm một nghiệm riêng:

Nghiệm tổng quát:

178

Chương 5: Phương trình vi phân

2x

2 2x

x e (x 3)

=

+

+

+

y e (C C x) 1

2

1 6

'

3

2

y

2x e (2x

9x

6x)

=

2x e (2C C C x) +

+

+

+

+

1

2

2

1 6

y(0) C 1 =

=

1 2C C 1

y '(0)

=

+

=

2

1

C 1, C =

1 = −

1

2

2 2x

2x y e (1 x)

x e (x 3).

−

=

+

+

1 6

)( xf

cos

xQx

sin)(

β

=

+

[ x α )( xPe

]x β

n

m

Trường hợp 2:

,

( ),

α β∈(cid:22) ,

P x Q x ( ) n

n

là các đa thức bậc n,m cho trước với các hệ số thực. trong đó

βα i±

Nếu không phải là nghiệm của (5.43) thì một nghiệm riêng của (5.42) được tìm

*

y

cos

sin)(

=

x β

+

[ x α )( xRe

]x β

l

xS l

dưới dạng:

max( mn

,

)

l =

), )( xSxR

(

l

l

2

là các đa thức bậc có các hệ số được tìm bằng phương pháp trong đó

x

,1

, xx

,...,

sin

, β cos

x β

hệ số bất định với các hệ hàm:

βα i±

*

y

x α e

cos

sin)(

=

x β

+

]x β

[ )( xRx l

xS l

"

'

là nghiệm của (5.43) thì tìm nghiệm trong dạng: Nếu

y

y

x

x

cos

+

=

2

Ví dụ 20: Tìm nghiệm tổng quát:

k

0

=+ k

cho nghiệm k = 0,k = -1 Giải: Phương trình đặc trưng tương ứng

i± không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng. Vậy

*

x

x

y

(

)

cos

(

sin)

=

+

BxB +

AxA + 0

1

1

0

'*

B

x

x

y

(

)

cos

sin)

=

+

( −+

−

AxB + 1

1

0

BxA + 1

1

A 0

"*

x

B

x

y

2

)

cos

2

sin)

( −=

+

−

( −+

−

−

xA 1

B 1

A 0

xB 1

A 1

0

Nhận thấy

(

2

cos

(

2

sin

cos

x

x

x

x

+

−

−

+

+

+

−

−

−

=

( + −

)

1

B A x A ) 1 1

B B + 0

A 0

1

A B x B ) 1 1 1

A A B 1 0 0

( B A 1, A 2B B A 0

) =

+

−

−

+

=

1

0

0

1

1

=

−

−

+

1 = −

B A 0, 2A B B A 0 + 1

1

1

1

0

=

= −

, A 1, B =

=

B 1

, A 1

0

0

1 2

1 2

0 1 2

x

−

Vậy

x

x

x

x

(

)2

cos

(

sin)1

+

−

−

+

+

Cy = 1

eC 2

1 2

1 2

Nghiệm tổng quát:

−

y

e

x

sin

)

2'2" y y + +

=

x + 1(

Ví dụ 21: Tìm một nghiệm riêng của phương trình:

Giải: Dựa vào nguyên lý chồng chất nghiệm, ta tìm các nghiệm riêng của các phương trình sau:

179

Chương 5: Phương trình vi phân

x

−

y

e

x

sin

y y 2'2" + +

=

x

−

y

e

y y 2'2" + +

=

2

k

i

k

02

±−= 1

2 + k

=+

x

−

xe

(

cos

sin

x

)

=

Bx +

A 0

0

x

−

e

)

cos

x

(

B

sin)

x

=

+

−

+

−

xAxB −

( (

)

AxAxB 0 0

0

0

0

0

x

−

e

B

2

2

)

cos

x

B

2

2

sin)

=

−

−

2( −+

−

+

( 2(

)x

* y 1 '* y 1 "* y 1

0

A 0

xB 0

A 0

xA 0

0

2

B

cos

x

2

sin

x

sin

x

−

=

0

x

−

B

,0

,

y

cos

x

=

−=

−=

0

A 0

* 1

xe 2

x

x

x

−

−

−

y

,

y

,

y

=

−=

=

eC 0

"* 2

eC 0

A 0 1 2 '* 2

x

−

* 2 C

eC 0 y

,1

e

=

=

0

* 2

*

−

cho nghiệm Phương trình đặc trưng tương ứng

y

y

e

cos

x

)

=

+

=

x − 1(

* y 1

* 2

x 2

Nghiệm riêng

Các phương pháp trình bày trên cũng được áp dụng cho phương trình vi phân tuyến tính cấp

cao có hệ số hằng số, chẳng hạn xét bài toán Côsi sau:

2

y

y '2''2'''

yy

x

,

y

y

)0('

y )0("

=−

+

−

,0)0( =

=

1 −=

Ví dụ 22: Giải PTVP:

3

2

2

2

01

k

k

k

−

+

=−

2

(

)(1

,1

k

k

k

k

1(

i

)3

−

k +−

,0)1 =

=

=

±

1

3,2

1 2

Giải: Phương trình đặc trưng của PTVP thuần nhất tương ứng:

x

1 x Ce ( 2

cos

sin

x

)

+

Cx +

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng:

eCy = 1

2

3

3 2

3 2

C1,C2,C3 là các hằng số tùy ý.

2

*

y

=

+

xA 2

AxA + 0 1

'*

2

y

=

AxA + 1

2

"*

2

y

=

A 2

2

2

'''*

,0

4(

2

4

y

x

=

−

+

−

+

−

−

=

xA 2

A 2

) xA 1

A 1

A 0

A 2

1 −=

4

0

4

−

=

−=

A 1

2

4

,0

A 1 =

−

−

4 −=

A 2 A 2 A 1

A 0

A 2

A 0

Một nghiệm riêng tìm dưới dạng:

Nghiệm tổng quát :

180

Chương 5: Phương trình vi phân

x

x

2

1 2

cos

sin

)

4

4

e

( C

x

x

x

+

Cx +

−

−

−

2

3

eCy = 1

3 2

3 2

x

x

1 2

)3

cos

sin)3

2

4

( C

C

C

x

x

e

−

+

+

( Cx +

−

2

3

2

3

' eCy = 1

3 2

1 2

3 2

⎞ ⎟ −⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

x

x

1 2

3

)

cos

3

sin)

2

( C

C

C

x

e

+

−

( Cx −

+

" eCy = 1

3

2

2

3

3 2

1 2

3 2

⎞ ⎟ −⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

04

C

+

=−

2

)3

( C

C

+

+

4 1 −=−

2

3

3

)

1

( C

C

+

−

2 −=−

3

2

,2

0

1 2 1 2 C

C

=

=

=

⎧ ⎪ C 1 ⎪ ⎪ C ⎨ 1 ⎪ ⎪ C ⎪ 1 ⎩ C 1

2

3

x

x

1 2

Từ điều kiện ban đầu có:

y

x

e 2

e 2

cos

=

+

3 2

Vậy nghiệm của bài toán Côsi là:

TÓM TÁT NỘI DUNG CHƯƠNG V.

f

y )(

dy

0

+

=

• Phương trình có biến số phân ly. Dạng phương trình:

dxxf )( 1

2

f

)( y

dy

C

=

)( dxxf 1

2

∫

+ ∫

,

Tích phân tổng quát:

(

),

f

y

f

( t

),

t

, y =

=

=

• Phương trình đẳng cấp cấp một. Dạng phương trình:

y x

y x

hay

Phương pháp tích phân: Coi t là hàm số của x, thay vào phương trình sẻ đưa về

=

dx x

dt )( t

f

t

−

)(

xq )(

' yxpy +

=

• Phương trình tuyến tính cấp một. Dạng phương trình:

dạng có biến số phân ly

)( xp

dx

)( xp

dx

)( xp

dx

−

−

∫

∫

∫

y

Ce

e

)( exq

dx

=

+

)(

xqy )(

' yxpy +

α=

∫ • Phương trình Bernoulli. Dạng phương trình:

Nghiệm tổng quát:

)( xu

=

1 1 αy −

, Phương pháp tích phân: Đặt

)(xu

u

uxp )(

1(

xq )()

1(' −+

=

−

) α

α

yxP ,(

)

yxQdx

,(

)

dy

0

+

=

• Phương trình vi phân toàn phần. Dạng phương trình:

Thay vào phương trình trên sẽ nhận được PTVP tuyến tính cấp 1 đối với hàm :

,

∀

,( ) Dyx ∈

=

Q ∂ x ∂

P ∂ y ∂

trong đó

181

Chương 5: Phương trình vi phân

P x y dx

( ,

)

,

y dy C )

+

=

Q x ( 0

y ∫ y 0

x ∫ x 0

Tích phân tổng quát:

P x y dx

( ,

)

,

y dy C )

+

=

Q x ( 0

y ∫ y 0

x ∫ x 0

• Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất:

hoặc:

y

yxa )(

0

+′′

+′

=

yxa )( 1

2

(*)

Tính chất nghiệm:

1. Nếu y1 và y2 là nghiệm của PTVP(*) thì y1+y2 và Cy1 (hoặc Cy2) với C là hằng số tuỳ ý, cũng là nghiệm của(*)

=

+

yCy 11

yC 22

2. Nếu y1, y2 là hai nghiệm độc lập tuyến tính của (*) thì nghiệm tổng quát nó có dạng :

1, CC

2

trong đó là các hằng số tuỳ ý

0

1 ≠y

3. Nếu biết là nghiệm của (*) thì có thể tìm được nghiệm y2 của nó độc lập tuyến

dx

−

xa )( 1

∫

y

dx

e

x )(

=

2

xy )( 1

∫

x )(

1 2 y 1

tính với y1 dạng :

′′

′

Chú ý : Trong tích phân trên hằng số cộng của tích phân bất định luôn lấy bằng 0 • Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất

y

f x ( )

+

+

=

a x y ( ) 1

a x y ( ) 2

(**)

Tính chất nghiệm :

1. Nghiệm tổng quát của PTVP (**) bằng tổng nghiệm tổng quát của PTVP (*) cộng với

y

*y

y +=

một nghiệm riêng bất kỳ của chính phương trình (**)

Ở đây người ta dùng ký hiệu :

*y là nghiệm riêng của PTVP (**)

y là nghiệm tổng quát của PTVP (*)

* y 1 , y

* 2

lần lượt là các nghiệm riêng của phương 2. (Nguyên lý chồng chất nghiệm): Nếu

')(

)(

" yxayxay +

+

=

2

1

xf )( 1

')(

)(

f

x )(

" yxayxay +

+

=

2

1

2

*

trình không thuần nhất

y

y

xf )(

f

x )(

=

+

=

+

* y 1

* 2

xf )( 1

2

thì là nghiệm riêng của phương trình (**) với vế phải

y 1, y

2

3. Nếu biết hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (*) thì một nghiệm riêng của

(**) có thể tìm được bằng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange. Nghiệm đó có dạng:

182

Chương 5: Phương trình vi phân

*

y

yxCxyxC )(

)(

)(

x )(

=

+

1

1

2

2

0

=

/ 1 1

f x ( )

=

/ ⎧ C y C y + ⎪ 2 2 ⎨ / / / / C y C y + ⎪⎩ 1 1 2 2

trong đó:

y

y

=

−

* y 1 , y

* 2

* y 1

* 2

thì hàm số là nghiệm của 4. Nếu biết hai nghiệm riêng của PTVP (**)

PTVP (*)

• Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất có hệ số không đổi

0

=

yayay ' " + + 1

2

1, aa

2

2

0

k

a

= (2) gọi là phương trình đặc trưng của (1)

+

+

a k 1

2

, (1) là các hằng số thực

Dạng nghiệm tổng quát:

2

xk 1

xk 2

1, kk

+

eCy = 1

eC 2

Nếu (2) cho 2 nghiệm thực khác nhau thì nghiệm tổng quát của (1) sẽ là:

y

)

=

kxexCC ( 2

1 +

Nếu (2) cho 2 nghiệm thực trùng nhau thì nghiệm tổng quát của (1) sẽ là

k

=

βα i ±

y

cos

sin

)

=

Cx +

β

x β

x α Ce ( 1

2 • Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất có hệ số không đổi

thì nghiệm tổng quát của (1) sẽ là Nếu (2) cho 2 nghiệm phức

xf )(

=

" ' yayay + + 1

2

n

n

1 −

, (3) a1,,a2 là các hằng số thực

xf )(

x α e

(

)

=

=

+

... ++

x α xPe )( n

xA n

A 0

xA 1 n −

Trường hợp 1:

iR (,

,0

0

∈

=

≠

nAn ),

Aα , 1

trong đó

Nếu α không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng của phương trình thuần nhất

*

n

n

1 −

y

x α xBe (

B

)

=

=

+

... ++

0

x α nQe )( n

n

xB 1 n −

tương ứng với (3) thì một nghiệm riêng của (3) tìm dưới dạng

)( xf

cos

xQx

sin)(

=

+

β

[ x α )( xPe

]x β

n

m

Trường hợp 2:

xQxPR ), )(

(

,

, ∈βα

n

n

trong đó là các đa thức bậc n,m cho trước với các hệ số thực.

βα i±

Nếu không phải là nghiệm của (2) thì một nghiệm riêng của (3) được tìm dưới

*

y

cos

sin)(

=

+

x β

[ x α )( xRe

]x β

l

xS l

dạng:

xSxR )( ),

(

max( mn

,

)

l =

l

l

2

trong đó là các đa thức bậc có các hệ số được tìm bằng phương

,1

, xx

,...,

sin

x

, β cos

x β

pháp hệ số bất định với các hệ hàm:

βα i±

*

y

x α e

cos

sin)(

=

+

x β

]x β

[ )( xRx l

xS l

là nghiệm của (2) thì tìm nghiệm riêng trong dạng: Nếu

183

Chương 5: Phương trình vi phân

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 5

5.1. Nghiệm tổng quát của PTVP cấp n phụ thuộc vào n hằng số tuỳ ý.

Đúng (cid:0) Sai (cid:0) 5.2. Nghiệm của bài toán Cauchy luôn duy nhất nghiệm Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

5.3. Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange áp dụng chỉ cho PTVP tuyến tính.

Đúng (cid:0) Sai (cid:0) 5.4. Phương trình Bernoulli là PTVP tuyến tính

Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

5.5. PTVP toàn phần là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất.

Đúng (cid:0) Sai (cid:0) 5.6. PTVP tuyến tính thuần nhất luôn luôn có nghiệm Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

5.7. Biết 2 nghiệm y1 và y2 của PTVP tuyến tính thuần nhất thì biết được nghiệm tổng quát của phương trình đó.

Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

5.8. Biết 2 nghiệm của PTVP tuyến tính không thuần nhất thì có thể biết được nghiệm tổng quát

của phương trình đó.

Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

5.9. Giải PTVP tuyến tính có hệ số hằng số không cần dùng đến phép tính tích phân

Đúng (cid:0) Sai (cid:0) 5.10. PTVP tuyến tính có tính chất chồng chất nghiệm. Đúng (cid:0) Sai (cid:0)

1

5.11. Giải các phương trình:

y

2 xex

' =

y

=′

1

x

+

xdy

ydx

b. a.

0

y

'

cos

x

+

=

=

2

2

y ln

y

1

y

1

x

−

−

d. c.

y

sin(

x

y

)

sin(

x

y

)

y

cos(

x

y

)

' +

+

=

−

=′

−

e. f.

5.12. Giải các bài toán Cauchy:

184

Chương 5: Phương trình vi phân

,0

y

+

=

1)1( =

yx (

)1

xy (

z

)

dx −

dy +

x

x

2

2

a.

1(

e

)

y

dy

e

dx

,

y

+

=

0)0( =

b.

sin

xdy

y

ln

ydx

,0

y

−

=

1)0( =

2

2

c.

(

x

)1

y

y

,4

y

)1(

2

+

=′

+

=

d.

2

2

2

5.13. Giải các phương trình:

xyy

x

2

y

0

' +

−

=

xdy

ydx

x

y

dx

−

=

2 +

a. , b. ,

xdy

ydx

(

y

dxx )

(

y

dyx )

0

x

cos

ydx

xdy

y

sin

−

+

+

=

+

=

−

)

(

)

(

y x

y x

, d. . c. ,

2

2

5.14. Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp 1:

x

1(

x

x

)1

y

2

x

0

+

y (') −

−

+

=

2

x

−

a.

y

xy

xe

2' +

=

2

2

2

b.

1(

x

xy

1(

x

)

+

2') y −

=

+

2

c.

2

ydx

(

y

)6

dyx

0

+

−

=

d.

5.15. Giải các bài toán Cauchy:

x

y

(

3 ,)1

)0(

y

' −

=

+

=

1 2

2 y 1 x +

2

a.

1(

x

y ')

xy

,1

y

+

+

=

0)0( =

2

2

b.

xy

xex 2

dt

y

' y =−

x t∫= ex 1

là một nghiệm của phương trình . Hãy tìm 5.16. Chứng minh hàm số

nghiệm của phương trình thoả mãn điều kiện y(1)=1

3

5.17. Giải các phương trình:

y

xy

3 yx

' +

=

3

a.

(

2 x y

xy

+

) 1 =

dy dx

b.

y

x

ydx

xdy

(

ln

− )2

=

c.

ydx

x

2 yx

dy

(

)

0

+

+

=

d.

2

2

5.18. Giải các phương trình vi phân toàn phần:

dx

0

dy

=

−

+

−

2

2

1 x

1 y

(

x

y

)

(

)

x

y

y −

x −

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

)

xdx

y

dy

a.

0

=

2

x + ) y

2( + ( x +

b.

185

Chương 5: Phương trình vi phân

sin

cos

cos

sin

0

dy

dx

=

+

−

+

−

+

1 y

x y

y x

1 x

y x

x y

y 2 x

x 2 y

1 2 y

⎞ ⎟⎟ 1 ⎠

⎛ ⎜⎜ ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎛ ⎜⎜ ⎝

3

2

c.

x

y

dx

y

3

1(

ln

)

2

dy

0

+

−

−

=

x y

⎛ ⎜⎜ ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

d.

5.19. Giải các phương trình sau đây bằng cách tìm thừa số tích phân α

2(

y

xy

)

dx

2

xdy

x )(

+

+

,0 α=

3

2

2

a.

2

xy

2 yx

dx

(

x

y

)

dy

x )(

+

+

,0 α=

+

+

y 3

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎛ ⎜⎜ ⎝

b.

y

1(

xy

)

dx

xdy

y )(

+

−

,0 α=

c.

xdy

ydx

xy

xdx

xy

ln2

)

+

−

( ,0 α=

d.

5.20. Giải các phương trình vi phân sau:

x

x

y

yx

y

R

(ln2

)1

0

−

−′′

=+′ y

∈

= αα, x

1

a. , biết rằng nó có một nghiệm riêng dạng

2(

x

)1

y

4(

x

y

0

+

+′′

−

y 8')2 −

=

y

e

R

x ∈

= αα ,

1

, biết rằng nó có một nghiệm riêng dạng b.

y

y

( 2 x

)1

6

0

−

−′′

=

2

c. , biết rằng nó có một nghiệm riêng y1(x) có dạng đa thức.

y

,1

y

x

x

x

y

x

y

2(

)

(2

=

=

−

+′′

−

2')1 y −

2 −=

1

2

biết rằng nó có hai nghiệm riêng d.

3

5.21. Giải các phương trình sau khi biết một nghiệm riêng của phương trình thuần nhất tương ứng.

2 yx

y

x

y

x

2

,

−′′

2'2 xy +

=

=

1

a.

y

y

y

xe

,1

y

+′′

' −

x −=

=

1

1

1

x

x

1 −

x −

x

b.

y

y

e

x

y

x

ln

ln

=

+′′

=

+

1

2

2 x

1 ln

x

x

⎞ , ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

c.

x

5.22. Giải các phương trình:

y

=−′′ y

e x

e

1+

x

−

a.

y

x

'2 y

3 e

1

+′′

y =+

+

b.

y

tgx

=+′′ y

1

c.

y

=+′′ y

x

x

cos

2

cos

2

d.

5.23. Giải các phương trình:

y

y

sin

x

−′′

6'7 y +

=

a.

y

y

x

−′′

62'3 −=

b.

y

y

x

x cos

−′′

3'2 y +

−= e

c.

186

Chương 5: Phương trình vi phân

y

'2 y

xe − 4

+′′

y =+

d.

y

y

xex 2 4

'9 y

20

−′′

+

=

2

e.

y

x

x

2 cos

=+′′ y

f.

5.24. Giải các bài toán Cauchy

y

y

y

5

cos

, yx

−′′

2'2 y +

=

,1)0( =

′ 0)0( =

a.

y

y

cos 3

, yx

)0(

=+′′ y

=

0)0(' =

b.

187

Hướng dẫn và đáp án

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG I

0;

; π

π 2

1.16.

] ∪∞− 0;

[ )+∞;1

]2;∞−

1.17. a . (cid:22) , b. (cid:22) , c. ( , d. (

1.18. a. Hàm chẵn, b. Hàm không chẵn, không lẻ, c. Hàm chẵn, d. Hàm không chẵn, không lẻ.

,

,π=T

=T

2π 3

b. Tuần hoàn, 1.19. a. Tuần hoàn,

3

x

3

, d. Không tuần hoàn. c. Tuần hoàn, π=T

(

),3

y

x

y

x

y

y

=

−

−=

1+

=

1 x −

10.2=

1 2

)1

)1

2

−

b. , c. , d. . 1.20. a.

na

2

1 24

nn ( − 2

( +nn 2

3 2

⎛ ⎜ ⎝

10 ⎞ ⎟ ⎠

; b. ; c. ; d. . 1.21. a.

2 2

βα − nm

βα + nm

1.22. a. 1; b.

−

cos

a

1.23. a. ; b. .

1 ; b. 4

1 ; c. 14 ; d. 12

1.24. a. .

1 1.25. a. 12

1 ; b. 3

−

1 2

e

2−e ; d.

. 1.26. a. 0 ; b.1 ; c.

xln .

1.27. a. 1 ; b. 0 ; c. 1 ; d.

3 2

1.28. a. e ; b. 1 ; c. .

1.29. a. liên tục trên (cid:22) ;

b. liên tục trên (cid:22) với A = 4, liên tục trên (cid:22) \{ }2 với A ≠ 4;

f

2 2

1 2

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ =⎟ ⎠

1.30. .

188

Hướng dẫn và đáp án

.

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG II

1

/

f

x 1)(

−=

f

)(/ x

=

1 2

x

2

x

1

+

1

1

/

2.16. a. , b. ,

f

)( x

−

−=

f

,

x

0

)(/ x

=

≠

1 2 x

2

x

3 2

2

x

2

sin

1

/

/

1 x

, d. . c.

y

e

,

y

sin

,

y

/ =

−=

=

1 2

2

x

2 x

1 sin

x

1

x

+

2

1

1

x

4

/

/

/

b. c. 2.17. a.

y

.

=

1

,

y

,

y

−=

+

=

4

3

x

1

1 2 +

x

xx

x

1

+

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

d. e. f.

)1

+

x

a

−

/

/

2.18.

y

,

,

y

=

=

(ln2 2

x 2

ln

1

x

x

−

ax

x

2(

32 )

−

2

/

/

b. a.

y

.

=

y

,

=

6

5

20sin 4 x x (1 cos 4 ) +

x

ax

−

c. d.

1

x

−

2

1

+

1

x

−

/

/

2.19.

,

y

,

=

y

=

⎞ ⎟ ⎟ x ⎠ 2

⎛ ⎜ 2sin ⎜ ⎝ 1(

)

x

x

+

2

2

2

cos

1

x

x

+

tg

x

+

+

1 x

1 x

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

1

/

a. b.

/ y =

,

y

=

x

log

x log.

x

5ln.3ln.2ln)

1 (log

1(

)

x

1(2) x

x

+

−

5

3

5

2

/

x

c. d. .

y

x

ln2(1 +

x

)1

=

+

2

/

cos

x

2.20. a. ,

y

x

x

x

(sin

)

sin

ln

sin

=

−

x nx

cos sin

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ , ⎟ ⎠

2

42

(

x

)1

x

2

+

−

57

/

b.

.

y

=

2

5

x (20

361 )3

x x

302 − )(2 x −

+ −

(

x

)3

−

, c.

189

Hướng dẫn và đáp án

x

/

ln

y

=

+

1

1

1

x

x

x

x +

1 +

x +

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ . ⎟ ⎠

x

2

x

/

2

sin

2

d.

x

x

y

x

cos

ln(

(

)1

=

+

+

+

x sin 2

x

1

+

⎤ .)1 ⎥⎦

2

4

2

+

6

x

x

/

3

e. .

.

y

=

( xx 2

)1 2

⎡ ⎢⎣ 1 + 4 )

(

)1

x

+ 1(3 x

x

−

−

. f.

x

1

/

2.21.

y

y

.

=

ln 2

− x

/

a.

y

y

2(ln

ln

x

)

=

+

1 −−

2 x

/

x

1 +

b.

y

x

ln

x

(ln

x

).1

=

−

1 x

e

1

/

c.

y

(cot

gx

ln

cos

x

tgx

ln

sin

x

).

=

+

2

x

ln

cos

2

d.

.

df

dy −=

Δ=)1( x

)1(

(3

x

x

)

3 ,)

f Δ

Δ+Δ=

x ( Δ+

dx sin 2 x

2.22. a. b. .

dy

,0

3466 .

)1( =

n

n

(

)!1

−

n

x

x

n

−

n )(

n

1 −

e.

ny )(

2)1(

,2

,

y

)1(

=

−+

−=

[ 2

] ln

a n

ax

b

(

)

+

n

1 −

n

1 −

ad

bc

n (!

)

−

(2

3)!!

( 1) −

n )(

n ( )

2.23. a. b.

y

.

=

,

y

=

c )( − n 1 +

n

n 2 n

− 1 −

2

x

cx

d

(

)

+

c. d.

)20(

2.24.

y

( 2 x

379

sin)

x

40

x

cos

x .

=

−

−

)10(

x

n

a.

y

e

C

=

)1( −

n 10

n ! n 1 +

10 ∑ n 0 =

x

n )(

x

b. .

y

e

C

x

sin

=

+

k n

k π 2

n ∑ k 0 =

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

n )(

n

n

c. .

y

)

cos

)

(

)

cos

)

=

ba −

xba −

+

ba +

xba +

+

1 2

⎡ ( ⎢⎣

⎡ ( ⎢⎣

n π ⎤ ⎥⎦ 2

n π ⎤ −⎥⎦ 2

⎧ ( ⎨ ⎩

⎫ . ⎬ ⎭

d.

190

Hướng dẫn và đáp án

,

.

,∞ e.

2π 2

1 2

q

f. 2.25. a. 0, b. ∞ , c. 1, d.

,

,

,

1 12

p − 2

1 2

2

2

(ln

ln

)

a

b

−

1 3

1 2

2.26. a. b. 0, c. 0, d. e. f. –1.

e , e. e , f.

e

. 2.27. a. 1, b. 1 c. 3e , d.

)

,0[ +∞ không có cực trị.

2.28. a. Tăng

,0

+∞,

1 = . e

1 ⎡ ⎢⎣ e tăng [

, giảm b. Tăng , xCĐ

, .

aa;

;0

a .

xC = D

1=CTx 3 4

1 ⎤ ⎛ ⎜ ⎥⎦ e ⎝ ],1;−∞− c. Giảm ( ),1;0,0;∞− ) ( d. Giảm ( 3 ⎡ ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ 4

⎞ ⎟ ⎠ )+∞;1 . tăng [ )+∞;1 3 ⎡ ⎤ a , ⎢⎣ ⎥⎦ 4

3

3

, tăng e. Giảm

),0;0(

2

;

2 49

6 7

4 7

⎞ ⎟ . ⎟ ⎠

max 2.29. a. min

),0;0(

⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ).1;1(− max

b. min

3 ),4;0(

3 ),4;2(

).2;1(

c. min min max

;1

;1 −−

1 e

1 e

⎞ , ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ . ⎟ ⎠

d. min max

⎛ ⎜ ⎝ ).1;1(

e. max

k

cos

,

±

2(6

π+k

],1;)1

1 5

⎞ 5; −⎟ π ⎠

⎡ ⎛ 12 ⎜ ⎢ ⎝ ⎣

π ⎤ ⎥ 5 ⎦

f. min min[

),5;

k

5;

cos

12( πk

±

2 5

⎞ π ⎟ ⎠

2 π ⎤ . ⎥ 5 ⎦

⎡ ⎛ 12 ⎜ ⎢ ⎝ ⎣

max max

,

2bam ( .)

.

.1=M

+

=

.1=M

,0=m

=M

=m

1 3

π 4

b. c. d. 2.30. a.

191

Hướng dẫn và đáp án

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG III

3.11.

xyx ), ,(

,0

y

0

x

,0

y

>

>

<

<

}0

hoặc a. {

b. Vành tròn đóng giới hạn bởi 2 đường tròn tâm gốc tọa độ bán kính 1 và 3.

c. Miền mở nằm trong 2 đường y = x và y = -x, nằm bên phải trục Oy

d. Toàn mặt phẳng trừ đường parabol y = x2

y

1

3.12.

,

z

z

=′ x

=′ y

2

2

2

2

2

2

x

y

x

y

x

y

+

+

+

+

a.

x

z

y

z

y

cos

,

2

sin

cos

−

=′ x

=′ y

x y

x y

x y

3

y

y

3 1 −

b.

z

3 xy

,

z

x

ln

x

=′ x

=′ y

c.

z

,

z

−=′ x

=′ y

2

2

2

2

x

y

x

y

x +

y +

d.

2

2

2

2

2

2

cos

x

(2

x

y

)

cos

x

(2

x

y

)

−

+

−

+

3.14.

z

e

x

e

4.

y

+

( 2sin

) ,4 zx

−=′ x

−=′ y

4

a.

z

,

z

=′ x

=′ y

4

2 x

− +

( y 2 ( yy

) 1 )1

b.

xdy

2

−

(

)

3.15.

dz

=

2

x

sin

ydx y 2 x

x

a.

dz

e

x

cos

y

sin

y

cos

y

x

sin

=

−

+

+

+

) dyy

( sin

[ (

]dxy )

b.

2

2

2

3.16.

y

'

y

'

=

=

2

2

y x

(

x

y

)

− −

a +

y x 3( ( yx 3

) )2

b. a.

z

'

z

'

=

=

y

x

2

2

x

y

z

1

+

−

1 2 +

2

2

c.

,

z

z

−=′ x

−=′ y

2

y 2 z

xz xy

x z

yz xy

− −

− −

d.

192

Hướng dẫn và đáp án

−

28 3

3.18.

=

2 u r

u ∂ r ∂

(cid:71) ), r

(cid:71) (cid:65)

khi a = b = c 3.19.

−=

(cid:71) r ⊥

→ (cid:65) 2

cos( r

u ∂ (cid:71) (cid:65) ∂

triệt tiêu khi 3.20.

3.21.

),2,4(),2,2( −

−

2

x

2

2

2

x

z

z

z

2(4

) ey

(2

x

y

8

x

4

y

)10

e

=Δ

−

=

−

+

−

+

+

+

2// xy

// xx

// yy

2

8 −

4)2,2(

−e

,0

−Δ

=

4 >

)2,2(

4

e

,0

z

e 2

,0

−Δ

−=

<

)2,4( −

−=

<

// yy

4 −

a. Điểm dừng:

z

)2,4(

4

e

z −=

=

max

Vậy

),1,1(),0,0(

yx ,(

)

36

xy

,

)0,0(

,0

Δ

9 −=

Δ

9 >=

b. Điểm dừng:

z

)1,1(

= z

1 −=

)1,1(

27

,0

>=

Δ

−=

<

min

,06)1,1(// xxz

vậy

a ,(),2,2(),0,2(),2,0(),0,0(

ba

ba

b

),

2

2

yx ,(

)

(16

a

x

b )(

y

)

xy 2(4

a

x

b 2)(

y

),

Δ

=

−

−

−

−

−

)0,0(

b )2,0(

a )0,2(

,0)2,2(

ba

ba ),(

22 ba

0

Δ

Δ=

Δ=

Δ=

Δ>

4 −=

<

2

c. Có 5 điểm dừng:

ba ),(

,0

z

baz ),(

22 ba

.

b 2 −=

<

=

=

max

// z xx

Vậy

1)(

),

,( yx

Δ

1(41) −=

+

+

),2,1(

)2,1(

26

0

Δ

−=

<

2 2

5 2

x

y

>=

d. Điểm dừng:

z

7)2,1(

2ln10

= z

−=

,06)2,1(// xxz

min

1

1

vậy

(

,

),

yx ,(

)

36

xy

,

±

±

Δ

−=

3

3

e. Tồn tại 4 điểm dừng:

193

Hướng dẫn và đáp án

1

1

1

1

(

,

)

12

,0

,

)

12

,0

Δ

−

=

>

( −Δ

=

>

3

3

3

3

1

1

1

1

1

1

,

)

12

,0

(

)

12

,0

,

,

( −Δ

−

−=

<

Δ

−=

<

−

,0) <

(// −xxz

3

3

3

3

3

3

1

1

,

,0) >

(// xxz

3

3

1

4

1

1

4

1

z

)

z

(

,

)

.

,

−= z (

=

= z

−=

−

max

min

3

3

3

3

3

3

Vậy

(),0,0(

,2(),2,2

),2

−

−

2

2

yx ,(

)

16

3(16

x

3)(1

y

),1

Δ

=

−

−

−

)2,2

,2(

)2

384

,0

( −Δ

Δ=

−

−=

<

z

(

)2,2

z

,2(

)2

20

,0

z

z

(

)2,2

z

,2(

)2

.8

−

=

−

=

>

=

−

=

−

−=

min

// xx

// xx

4

4

2

f. Tồn tại 3 điểm dừng:

2),(,0)0,0(

xxz

x

z

,0

x

xz )0,(,0

x

2

x

,0

=

≠∀>

=

−

<

= Vậy hàm số không đạt cực trị tai (0,0)

khi x đủ bé. Ngoài ra

1)

,

,( yx

Δ

−=

).2,5(

)2,5(

03

Δ

<−=

4000 33 yx

g. Điểm dừng:

z

)2,5(

.30

= z

=

0

=

>

min

)2,5(// xxz

4 5

2

,

yx ,(

x

12

xy 3(

y

),

Δ

4) =

−

−

)0,0(

,0

Δ

=

h. Điểm dừng: (0,0),

3x

,

z

xxz ),(,0)0,0(

=

=

Nhận xét: đổi dấu khi x đổi dấu, chứng tỏ hàm số không

đạt cực trị.

3.22. d = 1

x

,

y

±=

±=

4 5

3 5

3.23.

194

Hướng dẫn và đáp án

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG IV

4.15.

C

−

+

x

arctgx

C

+−3 x

+

a x ln a

2 x

1 3

3

3

a. , b. ,

C

(

)

(

)

+

ax −

−

bx −

+

{

} C

)

(3

b

1 ab −

x x βα ba ln β a

+ ln

α

5

c. , d. .

ln

x

10 x

C

1(

ln

C

+

1 +−

+

3) x +

2 3

1 5

3

, b. , 4.16. a.

tg

1(

ln

+

) Cx +

2

x

2

x

C

+

1 +−

8

x

c. , d. .

x

−

) t =

x

C

−

2)52( −

+

30 + 375

20

10

110

4.17 a. , (Đặt 2 5

2 )21(

x

2 )21(

x

C

t

2 )21( 10

x

x

+

−

+

+

+

=

+

+

1 11

1 16

1 6

1 ⎧ ⎨ 13 ⎩

⎫ 2 )21( ⎬ ⎭

d

2

1 x

1

x

+

+

dx

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

b. , (Đặt )

ln

C

−

+

=

2

1 x

⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1

x

1

x

+

1

+

2

x

c. , (Biến đổi )

arcsin

C

−

+

1 x

d. .

2

arcsin

Cx +

4.18. a.. ,

ln(ln

t

x =)

ln

ln(ln

C

x +)

, (Đặt ) b.

t

5

arctg

3 2 x

C

=

3 2 + x

++ 5

x

x

, (Đặt ) c.

ln

x

Cx +

)2ln

3 3

2 2

1 3(ln2 −

− +

d. .

x

x

)

arctg

−

1( ++

Cx +

2

2

4.19. a. ,

x

(arcsin

x

)

12

x

arcsin

x

2

+

−

−

Cx +

2

, b.

xchx

shx

C

x

(ln

)1

−

+

−

} C 1 ++

c. , , d. { x

x

gx

cot

ln

sin

12

x

arcsin

x

14

Cx

−

+

Cx +

+

+

+−

, f. . e.

195

Hướng dẫn và đáp án

ln

x

1

+

(cos

ln

x

sin

ln

C

−

+

+

) Cx +

x 2

x

2

4.20. a. , b. ,

cot

gx

C

(ln

x

ln2

x

)2

C

−

+

−

+

+

+

1 2

x 2 sin

x

1 x

⎛ ⎜ ⎝

⎞ +⎟ ⎠

2

1

2

1

−

, d. . c.

x

ln

C

xarctg

2

x

C

−

+

1 −−

+

x − 2

1 1

x 2

x x

+ −

2

, f. . e.

ln

arctg

C

+

+

3 sin x

t =

2

t t

1 4

1( 1(

2 t () 2 t ()

)1 )1

3 2

1

+ −

t −+ t +−

t 3 2 t −

, Với 4.21. a.

tgx

tgx + , Đặt C

t =

1

cos

+

4

b.

cos

2 t =

arctg

C

2

cos

ln

+

−

+

x 2

x 2

1

cos

cos

−

x 2 x 2

x 2

2

1

t 2

, Đặt c.

3 tgx

t =

ln

arctg

C

+

+

1 4

1

3 2

t

t 1( + 4 2 t −

22 ) +

− 3

d. . Đặt

4ln5

16ln

−

−

π 3

π ab2

2

arctg

2

−

π 2

π 2

, b. 1, c. , d. . 4.22. a.

2π , c. 4

, b. , 4.23. a.

arctg

t

x −=

π 4

3 24

1 x

1 2

3 22

1

e. (Đặt ), f. . , d.

1(2

)

1−− e

π e 2 − 2

−π

4.24. a. , b. ,

ln

ln

tg

−

+

2 π 3

5 π 12

)349( 36

1 2

3 2

⎛ 2 ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

c. , d. .

2 3 aπ .

2 −

9 2

1 2ln

4 3a 3

, b. , c. , d. 4.25. a.

196

Hướng dẫn và đáp án

3

(4

)

a

b

ln

tg

+

a22π .

π 4

a 2

3 − ab

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

2

, b. , c. 4.26. a.

ab

ba2

22π , c.

22π , d. π

3 π 7

128 3

4

a

1

+

4.27. a. , b. .

ln

1

− , c.

π 2

1 + 2 a

π 4

4.28. a. , , b. d. 2.

4.29. a. Phân kì, b. Hội tụ, f. Hội tụ.

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG V

5.11.

y

x

ln(

x

)1

=

−

+

[ 2

] C +

x

a.

2

)2

y

e

( 2 x

x

C

=

−

+

+

2

b.

y

tg

C

ln

ln

=

+

1 2

x 2

π 4

⎞ +⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

2

2

1

1

x

1

1

y

−

−

−

−

=

) Cxy

c.

)(

d. (

sin2

x

ln

tg

C

+

=

y 2

x

y

e.

x

cot

g

C

+

=

− 2

f.

5.12.

x

ln2

x

ln

y

2

y ++

−

=

3

x

a.

y

3 arctge

=

−

3 π 4

b.

2

x

c. Mọi nghiệm đều thỏa mãn

y

=

+ 2

− 2 x

4 x

x (2 1 −

)1 +

d.

5.13.

197

Hướng dẫn và đáp án

2

0

Cy

2 xC

21 +

−

=

2

a.

1

y

x

2 xC

±=

+

b.

xy

cos

C

=

y x

2

2

2

c.

2

y

xy

x

C

+

−

=

d.

5.14.

y

Cx

C

)

=

+

1( +

1 x

2

2

x

y

C

a.

= − e

+

x 2

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎛ ⎜⎜ ⎝

2

b.

)(

)

y

x

1( +=

Cx +

2

3

c.

2

y

x

Cy

−

=

d. (giải x theo y)

2

2

y

x

5.15.

(

)1

=

+

x ++

x 2

1 2

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎛ ⎜⎜ ⎝

2

x

x

ln

1

+

+

)

(

a.

y

=

2

1

x

+

b.

2

2

2

5.17.

y

(

x

xCe

1 ++

1) =

−

2

1 2 y 2

a.

Ce

y

2

=

−

+

1 x

2

(giải x theo y) b.

y

(

ln

x

Cx

) 1 =

1 2

1 + + 4

c.

x

=

y

1 )Cy +

( ln

d. (giải x theo y)

ln

C

5.18.

−

=

y x

y

x

xy −

a.

ln

x

y

C

+

−

=

x

y

x +

b.

198

Hướng dẫn và đáp án

C

sin

cos

−

x −+

=

x y

1 y

y x

3

2

c.

1(

ln

)

x

y

y

C

+

−

=

d.

x

2

2

5.19.

1 e 2

eyx

C

=α

x =

2

2

x

x

,

e

ye

x

C

, a.

=

+

α

y 3

⎛ ⎜⎜ ⎝

⎞ =⎟⎟ ⎠

2

b.

x

C

,

=

+

=

α

x 2 y

1 2 y

2

c.

,

ln

x

C

+

=

2

1 2

1 xy

1 2α = yx

d.

5.20.

CxCy

x

=

1 +

ln2

2

x

2(

)1

2

x

−

C

2

x

a.

+

−

eCy = 1

2

+ 2

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

2

(3

)1

−

3

2

xCy

x

C

x

b.

(

)

ln.

=

−

+

−

+

1

2

x x

3 2

xx 4

1 1

+ −

⎡ 1 ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

2

c.

xCy =

+

−

1)1 +

1

xC (2

d.

2

3

5.21.

xCxCy

x

=

+

+

1

2

x

a.

)1

( 2 x

+

−

+

eCy = 1

xC 2

b.

y

C

xe

ln

=

+

+

2

1

dx 2

∫

x

ln

⎞ ⎟ ⎠

⎛ Cx ⎜ ⎝

c.

x

x

−

x

x

5.22.

)1

)1

y

e ln(

C

e ln(

C

=

−

+

+

−

−

+

+

]

[ x

[ x

1

]2

e 2

e 2

x

5 2

a.

y

(

x

)1

= − e

+

+

+

xC 2

1

4 5

⎡ C ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

b.

199

Hướng dẫn và đáp án

cos

sin

cos

ln

x

x

tg

Cx +

−

Cy = 1

2

πx + 2 4

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

c.

cos

sin

x

cos

2

x

Cy =

Cx +

−

1

2

d.

sin5

cos

x

x

x

6

x

5.23.

+

+

eCy = 1

eC 2

7 + 74

3

2

a.

x

+

x +

Cy = 1

eC 2

x

−

b.

cos

2

sin

2

5(

cos

sin4

)

y

x

x

x

=

Cx +

+

−

1

2

( x Ce

)

e 41

x

−

c.

2

2 ex

+

x − +

( Cy =

1

) exC 2

5

x

4

x

3

2

4

x

d.

x

x

2

+

−

+

+

eCy = 1

eC 2

1 3

⎞ ex ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

2

2

x

x

x

x

x

2

4

13

2

e.

x

cos

sin

Cy =

Cx +

+

1 −−

+

+

2

1

cos 6

2sin 9

cos 27

x 2

f.

x

5.24.

cos

(2

sin)1

y

x

e

x

=

+

−

a.

y

x

cos

3

x

sin

x

=

−

+

( cos

)

1 32

3 x 8

b.

200

Tài liệu tham khảo

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. G. M. FICHTENGÔN, Giáo trình phép tính vi tích phân, Tập 1,2,3. Nauka,

Moskva,1969. (tiếng Nga)

2. G. M. FICHTENGÔN, Cơ sở giải tích toán học, Tập 1,2,3. NXB Đại học và Trung

học chuyên nghiệp, Hà nội, 1977.

Czes

,c

.1,

PWN, Warszawa, 1976. 3. K. MAURIN, Analiza,

4. R. A. ADAMS, Calculus-a complete, Addison,Wesley, New York,Don Mills, 1991.

5. NGUYỄN ĐÌNH TRÍ (chủ biên), Toán học cao cấp ,Tập 1,2,3. NXB Đại học và

Giáo dục chuyên nghiệp, Hà nội, 1990.

6. JEAN-MARIE MONIER, Giáo trình toán, Tập 1,2,3,4. NXB Giáo dục, Hà nội,

1999 (dịch từ tiếng Pháp, DUNOD, Paris,1999)

7.LÊ ĐÌNH THUÝ (chủ biên), Toán cao cấp cho các nhà knh tế, Phần 2. NXB

Thống kê, Hà nội,2004.

201

MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU ..............................................................................................5 CHƯƠNG 1. HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN...................................................................7 1.1.Các khái niệm cơ bản về hàm số..................................................................7 1,1.1 Các định nghĩa cơ bản......................................................................... 7 1.1.2. Các hàm số sơ cấp cơ bản.................................................................... 8 1.1.3. Hàm số sơ cấp.....................................................................................13 1.1.4. Các hàm số trong phân tích kinh tế.....................................................13 1.2. Giới hạn của hàm số.....................................................................................15

1.2.1. Khái niệm về giới hạn.........................................................................15 1.2.2. Tính chất của hàm có giới hạn............................................................16 1.2.3. Các giới hạn đáng nhớ.........................................................................20 1.3. Đại lượng vô cùng bé(VCB) và đại lượng vô cùng lớn(VCL).................. 22 1.3.1. Đại lượng VCB.....................................................................................22 1.3.2. Đại lượng VCL.....................................................................................23 1.4. Sự liên tục của hàm số..................................................................................24 1.4.1. Các khái niệm cơ bản........................................................................... 24 1.4.2. Các phép toán đại số của hàm liên tục..................................................26 1.4.3. Tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn........................................27 TÓM TẮT NỘI DUNG CHƯƠNG I.....................................................................27 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG I...................................................................32 CHƯƠNG 1I. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN ……………………… .......................36 2.1. Đạo hàm.........................................................................................................36 2.1.1. Đạo hàm tại một điểm...........................................................................36 2.1.2. Các phép tính đại số của các hàm khả vi tại một điểm..........................41 2.1.3. Đạo hàm trên một khoảng (ánh xạ đạo hàm).........................................43 2.1.4. Đạo hàm của các hàm số thông thường.................................................43 2.2. Vi phân của hàm số .......................................................................................48 2.2.1. Định nghĩa vi phân tại một điểm............................................................48 2.2.2. Vi phân trên một khoảng........................................................................49 2.3. Đạo hàm và vi phân cấp cao..........................................................................50 2.3.1. Đạo hàm cấp cao....................................................................................50 2.3.2. Vi phân cấp cao......................................................................................51 2.4. Các định lí về giá trị trung bình....................................................................53 2.4.1. Định lí Phéc ma (Fermat)........................................................................53 2.4.2. Định lí Rôn (Rolle)..................................................................................54 2.4.3. Định lí số gia hữu hạn..............................................................................55 2.4.3. Định lí số gia hữu hạn suy rộng...............................................................57 2.5. Ứng dụng các định lí về giá trị trung bình...................................................58 2.5.1. Công thức Taylo, công thức Maclôranh...................................................58 2.5.1. Qui tắc Lôpitan.........................................................................................61

202

a, b ...........................................................67

2.6. Sự biến thiên của hàm số..............................................................................64 2.6.1. Tính đơn điệu của hàm số khả vi.............................................................64 2.6.2. Điều kiện hàm số đạt cực trị....................................................................65 2.7. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất............................................67 ] 2.7.1. Hàm liên tục trên đoạn kín [ 2.7.2. Hàm liên tục trên khoảng mở, khoảng vô hạn.........................................67 2.8. Hàm lồi...........................................................................................................68 2.8.1. Khái niệm về hàm lồi,hàm lõm và điểm uốn...........................................68 2.8.2. Điều kiện hàm lồi.....................................................................................70 TÓM TẮT NỘI DUNG CHƯƠNG II....................................................................71 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG II..................................................................77 CHƯƠNG 1II. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ.......................................................... 82 3.1.Các khái niệm cơ bản.....................................................................................82 3.1.1. Không gian n chiều..................................................................................82 3.1.2. Định nghĩa hàm nhiều biến số.................................................................84 3.1.3. Miền xác định của hàm nhiều biến số.....................................................84 3.1.4. Ý nghĩa hình học của hàm hai biến số.....................................................85 3.1.5. Giới hạn của hàm số nhiều biến số..........................................................87 3.1.6. Sự liên tục của hàm số nhiều biến số.......................................................88 3.2 Đạo hàm và vi phân.........................................................................................89 3.2.1. Đạo hàm riêng........................................................................................89 3.2.2. Vi phân toàn phần..................................................................................90 3.2.3. Đạo hàm riêng cấp cao...........................................................................92 3.2.4. Vi phân cấp cao......................................................................................93 3.2.5. Đạo hàm của hàm số hợp........................................................................94 3.2.6. Vi phân của hàm hợp..............................................................................95 3.2.7. Đạo hàm của hàm số ẩn..........................................................................96. 3.2.8. Đạo hàm theo hướng. Građiên (Gradient)..............................................98 3.3 Cực trị .............................................................................................................100 3.3.1. Cực trị tự do ..........................................................................................100 3.3.2. Cực trị có điều kiện ...............................................................................102 TÓM TẮT NỘI DUNG CHƯƠNG III ..................................................................104 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG III..................................................................106 CHƯƠNG IV. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN ...............................................................109 4.1. Khái niệm về tích phân xác định...................................................................109 4.1.1. Định nghĩa tích phân xác định.................................................................109 4.1.2. Điều kiện tồn tại tích phân xác định .......................................................111 4.1.3. Các tính chất của tích phân xác định.......................................................111 4.1.4. Công thức Niutơn-Lépnit.........................................................................113 4.2. Hai phương pháp cơ bản tính tích phân xác định........................................115

203

4.2.1. Phép đổi biến...........................................................................................115 4.2.2. Phép tích phân từng phần........................................................................116 4.3. Phương pháp tính tích phân bất định.........................................................118 4.3.1. Bảng các nguyên hàm thông dụng..........................................................118 4.3.2. Hai phương pháp cơ bản tính tích phân bất định.....................................119 4.3.3 Cách tính tích phân bất định của các hàm số hữu tỉ.................................121 4.3.4. Tính nguyên hàm các phân thức hữu tỉ thường gặp................................123 4.4. Một số ứng dụng của tích phân xác định.....................................................125 4.4.1. Tính diện tích hình phẳng...................................................................... 125 4.4.2. Tính độ dài đường cong phẳng...............................................................127 4.4.3. Tính thể tích vật thể................................................................................128 4.5. Tích phân suy rộng....................................................................................... 130 4.5.1. Tích phân suy rộng với cận vô hạn........................................................ 130 4.5.2. Tích phân suy rộng với hàm dưới dấu tích phân có cực điểm............... 136 TÓM TẮT NỘI DUNG CHƯƠNG IV................................................................. 139 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG IV... ....................................................... 148

CHƯƠNG V. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN...................................................... 152 5.1. Phương trình vi phân cấp 1...................................................................... 153 5.1.1. Các khái niệm cơ bản........................................................................ 154 5.1.2. Các PTVP cấp một thường gặp......................................................... 154 5.2. Tổng quan về số phức................................................................................. 163 5.2.1. Định nghĩa và các dạng số phức........................................................... 163 5.2.2. Các phép toán trên tập số phức........................................................... 164 5.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai.................................................. 167 5.3.1. Tính chất nghiệm của PTVP tuyến tính thuần nhất.............................. 168 5.3.2. Tính chất nghiệm của PTVP tuyến tính không thuần nhất................... 172 5.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số không đổi...................... 174 5.4.1. Các dạng nghiệm của phương trình thuần nhất.....................................174 5.4.2. Phương pháp tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất.... 175 TÓM TẮT NỘI DUNG CHƯƠNG V ................................................................. 181 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG V................................................................. 184 HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN...................................................................................... 188 TAI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................... 201 MỤC LỤC.................................................................................................................... 202

204