Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về nhóm CR tự đẳng cấu của siêu mặt kiểu vô hạn trong C2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

DƯƠNG THỊ NGỌC OANH

VỀ NHÓM CR TỰ ĐẲNG CẤU CỦA SIÊU MẶT KIỂU VÔ HẠN TRONG C2

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2016

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

DƯƠNG THỊ NGỌC OANH

VỀ NHÓM CR TỰ ĐẲNG CẤU CỦA SIÊU MẶT KIỂU VÔ HẠN TRONG C2

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số:

60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. NINH VĂN THU

Hà Nội - 2016

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ dạy tận tình của TS. Ninh Văn Thu. Nhân dịp này, tôi xin được kính gửi tới Thầy lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã dạy bảo tôi tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến Phòng Sau Đại học của nhà trường đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi sớm hoàn thành luận văn của mình.

Nhân dịp này tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, người thân và bạn bè. Những người luôn bên cạnh ủng hộ, động viên, giúp đỡ tôi cả về vật chất và tinh thần trong cuộc sống và học tập.

Mặc dù bản thân tôi đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn này vẫn khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy, cô và các bạn.

Hà Nội, tháng 12 năm 2016

Dương Thị Ngọc Oanh

Mục lục

LỜI CẢM ƠN 1

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU 3

MỞ ĐẦU 4

5 1 NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

5 1.1 Một số khái niệm trong giải tích phức . . . . . . . . . . . . . . . .

6 1.2 Tính chất địa phương của ánh xạ bảo giác . . . . . . . . . . . . . .

9 1.3 Khái niệm điểm kiểu vô hạn theo nghĩa D’Angelo . . . . . . . . .

1.4 Khái niệm trường vector chỉnh hình tiếp xúc . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Một số kết quả về hàm triệt tiêu cấp vô hạn . . . . . . . . . . . . 10

1.6 Định lý bông hoa Leau-Fatou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7 Đặc trưng của trường vector chỉnh hình tiếp xúc với siêu mặt

dạng ống trong C2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Nhóm CR tự đẳng cấu của một số lớp các siêu mặt kiểu vô hạn

trong C2 2.1 Nhóm con G2(MP , 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Nhóm các CR tự đẳng cấu của MP . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Nhóm các CR tự đẳng cấu của siêu mặt dạng ống trong C2 . . . . 22 . . . . . 25 2.4 Đặc trưng của trường vector chỉnh hình tiếp xúc với MP

TÀI LIỆU THAM KHẢO 36

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

• N, Z, Q, R, C: tương ứng là tập số tự nhiên, tập số nguyên, tập số hữu tỷ,

• υ0(f ): Ký hiệu cấp triệt tiêu của hàm f tại 0 dùng trong định nghĩa loại

tập số thực, tập số phức.

• Ký hiệu ≈ kết hợp với ký hiệu (cid:46) và (cid:38): Dùng cho ký hiệu bất đẳng thức

điểm vô hạn D’Angelo.

• C∞-trơn: Dùng chỉ hàm khả vi liên tục cấp vô hạn.

(cid:48)

• P

(z): Đạo hàm theo biến z của hàm P .

(z) = Pz(z) =

∂P ∂z

• (cid:52)r = {z ∈ C : |z| < r} với r > 0 và ký hiệu (cid:52) := (cid:52)1

• ∆(cid:15)0 = {z ∈ C : |z| < (cid:15)0} và ∆∗

(cid:15)0 = ∆(cid:15)0 \ {0}.

• Giả sử M là một mầm siêu mặt quanh điểm p ∈ C2. Khi đó, nhóm tự đẳng cấu của M (kí hiệu bởi Aut(M )) là tập hợp các song chỉnh hình f : U → f (U )) thỏa mãn f (U ∩ M ) ⊂ M, trong đó U là một lân cận nào đó của p trong C2.

• Aut(M, p) = {f ∈ Aut(M ) : f (p) = p} là nhóm ổn định của M tại p.

• aut(M, p) = (cid:8)H = h1(z1, z2) ∂

∂z1

sai khác một hằng số dương.

• aut0(M, p) = (cid:8)H ∈ aut(M, p) : H(p) = 0(cid:9)

• MP := {(z1, z2) ∈ C2 : Re(z1) + P (z2) = 0}, trong đó P ∈ C∞(C) và

ν0(P ) = +∞.

• S∞(P ) = {z2 ∈ ∆(cid:15)0 : νz2(P ) = +∞}, trong đó νz2(P ) là cấp triệt tiêu của

(cid:9). Ở đây, H tiếp xúc với M, H + h2(z1, z2) ∂ ∂z2 là trường vector chỉnh hình và h1, h2 là các hàm chỉnh hình trong một lân cận của p.

• P∞(MP ) là tập hợp các điểm có kiểu vô hạn của MP .

hàm P (z2 + ξ) − P (z2) tại ξ = 0.

MỞ ĐẦU

Giả sử (M, p) là một mầm siêu mặt trong Cn sao cho p là điểm kiểu vô hạn theo nghĩa D’Angelo (gọi tắt là kiểu vô hạn). Nhóm tự đẳng cấu của M (kí hiệu bởi Aut(M )) là nhóm tất cả các song ánh chỉnh hình trong lân cận của M và biến M vào M. Nhóm ổn định của M tại p (kí hiệu bởi Aut(M, p)) là nhóm tất cả các tự đẳng cấu của M biến p thành p. Tập hợp tất cả các trường vector chỉnh hình trong Cn tiếp xúc với M và triệt tiêu tại p được kí hiệu là aut0(M, p). Bài toán được đặt ra là hãy mô tả nhóm các CR tự đẳng cấu Aut(M, p) và mô tả các trường vector chỉnh hình tiếp xúc aut0(M, p) của mầm siêu mặt (M, p).

Trong luận văn này, chúng tôi xét các siêu mặt đặc biệt. Cụ thể, chúng tôi

MP := {(z1, z2) ∈ C2 : Re z1 + P (z2) = 0},

xét các mô hình kiểu vô hạn MP được định nghĩa như sau

trong đó P (cid:54)≡ 0 là hàm C∞-trơn, triệt tiêu cấp vô hạn tại z2 = 0. Nội dung chính của luận văn này là tìm hiểu các kết quả về nhóm các CR tự đẳng cấu Aut(MP , 0) và mô tả các trường vector chỉnh hình tiếp xúc aut0(MP , 0) của mô hình kiểu vô hạn MP . Luận văn được trình bày dựa theo bài báo “Infinitesimal CR automorphisms and stability groups of models in C2" của Atsushi Hayashimoto và Ninh Văn Thu ([1]).

Bố cục của luận văn gồm hai chương:

Chương I: Những kiến thức chuẩn bị.

Nội dung của chương này là trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích phức như khái niệm hàm chỉnh hình, ánh xạ bảo giác, khái niệm trường vector chỉnh hình tiếp xúc, khái niệm điểm kiểu vô hạn theo nghĩa D’Angelo, Định lý bông hoa Leau -Fatou. Đặc trưng của trường vector chỉnh hình tiếp xúc với siêu mặt dạng ống trong C2.

Chương II: Nhóm các CR tự đẳng cấu của một số lớp các siêu mặt kiểu vô

hạn trong C2.

Trong chương này, chúng ta sẽ mô tả nhóm các CR tự đẳng cấu của một số lớp các siêu mặt kiểu vô hạn trong C2 và mô tả các trường vector chỉnh hình tiếp xúc của MP . Nội dung chủ yếu là chứng minh Định lý 2.2.1, 2.3.1 và 2.4.1.

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Một số khái niệm trong giải tích phức

Giả sử Ω là miền của mặt phẳng phức C và f là hàm biến phức z = x + iy xác

định trong Ω.

lim h→0

f (z0 + h) − f (z0) h

Định nghĩa 1.1.1. Hàm f được gọi là C - khả vi tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại giới hạn

Khi đó, ta nói rằng giới hạn trên là đạo hàm phức của f tại điểm z0 và kí hiệu là f (cid:48)(z0).

Định nghĩa 1.1.2. Hàm f được gọi là chỉnh hình tại điểm z0 nếu nó là C - khả vi tại một lân cận nào đó của điểm z0. Hàm f được gọi là chỉnh hình trong miền Ω nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm của miền ấy.

Hàm chỉnh hình còn được gọi là hàm giải tích vì hàm chỉnh hình luôn khai

triển thành chuỗi Taylor tại mọi điểm trong miền xác định của nó.

Định nghĩa 1.1.3. f là ánh xạ bảo giác từ miền D ⊂ ˆC lên trên G ⊂ ˆC nếu

1. f là phân hình trong D.

2. f là đơn ánh.

3. f (D) = G.

Ta nói f là ánh xạ bảo giác từ D vào trong G nếu (3) được thay bởi f (D) ⊂ G.

Nhận xét 1.1. Nếu f có cực điểm tại ∞ và bảo giác tại ∞ thì ∞ chỉ là cực điểm đơn của f.

Chúng ta chỉ định nghĩa ánh xạ bảo giác trên những tập liên thông. Dưới đây

• Ánh xạ ngược của ánh xạ bảo giác cũng là ánh xạ bảo giác.

• Một ánh xạ bảo giác là một đồng phôi, tức là một đơn ánh liên tục với ánh

là những tính chất cơ bản của ánh xạ bảo giác

• Mọi ánh xạ bảo giác đều là đơn diệp địa phương, tức là đạo hàm không

xạ ngược cũng liên tục.

• Các góc giữa các cung bao gồm cả sự định hướng được bảo toàn qua ánh

triệt tiêu và chỉ có cực điểm đơn.

xạ bảo giác.

1.2 Tính chất địa phương của ánh xạ bảo giác

g1 ≡ ϕ−1 ◦ g2 ◦ ϕ.

Định nghĩa 1.2.1. Cho g1, g2 là hai ánh xạ bảo giác thỏa mãn g1(0) = g2(0) = 0. Ta nói rằng g1 và g2 là liên hợp chỉnh hình địa phương nếu tồn tại ánh xạ song chỉnh hình ϕ với ϕ(0) = 0 sao cho

Định nghĩa 1.2.2. Cho g là ánh xạ bảo giác thỏa mãn g(0) = 0. Khi đó, ta nói

(i) g là tiếp xúc với đồng nhất nếu g(cid:48)(0) = 1;

(ii) g là parabolic nếu g(cid:48)(0) = e2πip/q với p, q ∈ Z;

(iii) g là elliptic nếu g(cid:48)(0) = e2πiθ với θ ∈ R \ Q .

P (g(z)) = (cid:0)β + o(1)(cid:1)P (z), z ∈ ∆(cid:15)0

Bổ đề 1.2.1. Cho hàm P là C∞-trơn trên ∆(cid:15)0 ((cid:15)0 > 0) thỏa mãn ν0(P ) = +∞ và P (z) (cid:54)≡ 0. Giả sử tồn tại ánh xạ bảo giác g trên ∆(cid:15)0 với g(0) = 0 sao cho

với β ∈ R∗ nào đó. Khi đó, |g(cid:48)(0)| = 1.

P (g(z)) = (cid:0)β + γ(z)(cid:1)P (z), z ∈ ∆(cid:15)0,

Chứng minh. Giả sử tồn tại ánh xạ bảo giác g thỏa mãn g(0) = 0 và β ∈ R∗ sao cho P (g(z)) = (cid:0)β + o(1)(cid:1)P (z), ∀ z ∈ ∆(cid:15)0. Khi đó, ta có

với γ là hàm xác định trên ∆(cid:15)0 thỏa mãn γ(z) → 0 khi z → 0. Do γ(z) → 0 khi z → 0 nên tồn tại δ0 > 0 sao cho |γ(z)| < β/2 với mọi z ∈ ∆δ0.

Chúng ta xét các trường hợp sau:

|P (gn(z0))| = |(cid:0)β + γ(gn−1(z0))(cid:1)||P (gn−1(z0))| = · · ·

= |(cid:0)β + γ(gn−1(z0))(cid:1)| · · · |(cid:0)β + γ(z0)(cid:1)||P (z0)| ≥ (cid:0)β − |γ(gn−1(z0))|(cid:1) · · · (cid:0)β − |γ(z0)|(cid:1)|P (z0)| ≥ (cid:0)β/2(cid:1)n

|P (z0)|,

(1.1)

trong đó gn là hợp thành n lần của g. Hơn nữa, vì 0 < α < 1 nên tồn tại m0 ∈ Z∗ sao cho |αm0| < β/2. Do đó, 0 < |gn(z0)| ≤ αn|z0| với bất kì n ∈ N. Từ (1.1), ta có

≥

|P (gn(z0))| |gn(z0)|m0

|P ((z0)| |z0|m0

(cid:17)n (1.2) (cid:16) β/2 αm0

→ +∞ khi n → ∞. Vì vậy, |P (gn(z0))|

|gn(z0)|m0 → +∞ khi

n → ∞. Điều này mâu thuẫn vì P (z) triệt tiêu cấp vô hạn tại 0.

(cid:17)n Do |αm0| < β/2 nên (cid:16) β/2 αm0

Trường hợp 2. |g(cid:48)(0)| > 1. Do P (g(z)) = (β + o(1))P (z) với mọi z ∈ ∆(cid:15)0 nên ta suy ra P (g−1(z)) = (1/β + o(1))P (z) với mọi z ∈ ∆(cid:15)0. Theo Trường hợp 1, điều này không xảy ra. Do đó, |g(cid:48)(0)| = 1 và bổ đề được chứng minh.

f (t + βf (t)) = f (t)

Bổ đề 1.2.2. Cho f : [−r, r] → R (r > 0) là hàm liên tục sao cho f (0) = 0 và f (cid:54)≡ 0. Nếu β là số thực thỏa mãn

với mọi t ∈ [−r, r] và t + βf (t) ∈ [−r, r] thì β = 0.

Chứng minh. Giả sử phản chứng rằng tồn tại β (cid:54)= 0 sao cho f (t + βf (t)) = f (t) với mỗi t ∈ [−r, r] và t + βf (t) ∈ [−r, r]. Khi đó, ta có

f (t) = f (t + βf (t)) = f(cid:0)t + βf (t) + βf (t + βf (t))(cid:1) = f(cid:0)t + 2βf (t)(cid:1) = · · · = f (t + mβf (t))

(1.3)

đúng với mỗi m ∈ N, t ∈ [−r, r] và t + mβf (t) ∈ [−r, r].

|f (t0)| = |f (t0) − f (t + mβf (t)) + f (t + mβf (t))|

≤ |f (t + mβf (t)) − f (t0)| + |f (t + mβf (t))|

< (cid:15)/2 + |f (t)| < (cid:15)/2 + (cid:15)/2 = (cid:15).

Do f (cid:54)≡ 0 nên ta có thể chọn t0 ∈ [−r, r] sao cho f (t0) (cid:54)= 0. Do f liên tục trên tập compact nên f liên tục đều trên [−r, r], tức là với mỗi (cid:15) > 0 tồn tại δ > 0 sao với mọi t1, t2 ∈ [−r, r] mà |t1 − t2| < δ, ta có |f (t1) − f (t2)| < (cid:15)/2. Mặt khác, do f (t) → 0 khi t → 0 (do f liên tục) và f (cid:54)≡ 0 nên ta tìm được t ∈ [−δ/2, δ/2] sao cho |βf (t)| < δ và 0 < |f (t)| < (cid:15)/2. Vì vậy, ta luôn tìm được số nguyên m sao cho |t + mβf (t) − t0| < δ. Từ phương trình (1.3), ta có

Do đó, f (t0) = 0. Điều này mâu thuẫn với giả thiết f (cid:54)≡ 0. Vậy, bổ đề được chứng minh.

Ví dụ sau đây sẽ minh họa cho Bổ đề 1.2.2.

Ví dụ 1.2.3. Cho f : [−1, 1] → R là hàm cho bởi f (x) = x2. Giả sử tồn tại β ∈ R sao cho f (t + βf (t)) = f (t) với mọi t ∈ [−1, 1], t + βf (t) ∈ [0, 1]. Khi đó, ta có (t + βt2)2 = t2. Do đó, bằng tính toán đơn giản ta suy ra β = 0.

Bổ đề 1.2.4. Cho P là C∞-trơn thỏa mãn P (0) = 0 và g là ánh xạ bảo giác thỏa mãn g(0) = 0, |g(cid:48)(0)| = 1 và g (cid:54)= id. Nếu tồn tại số thực dương δ thỏa mãn P (g(z)) ≡ δP (z) thì δ = 1. Ngoài ra, ta có hoặc g(cid:48)(0) = e2πip/q (p, q ∈ Z) và gq = id hoặc g(cid:48)(0) = e2πiθ với θ ∈ R \ Q nào đó.

Chứng minh. Thay g bởi hàm ngược của nó nếu cần, ta có thể giả sử δ ≥ 1 (vì nếu δ ≥ 1 thì ta xét g−1).

Chúng ta chia bài toán làm 3 trường hợp.

Trường hợp 1. g(cid:48)(0) = 1. Theo Định lý bông hoa của Leau-Fatou, tồn tại z trong một lân cận đủ bé của 0 với P (z) (cid:54)= 0 sao cho limn→+∞ gn(z) = 0. Do

P (gn(z)) = (δ)nP (z) và limn→+∞ P (gn(z)) = P (0) = 0 nên ta có 0 < |δ| < 1. Điều này là mâu thuẫn. Trường hợp 2. λ := g(cid:48)(0) = e2πip/q (p, q ∈ Z).

Trước hết, giả sử rằng gq = id. Khi đó, theo Mệnh đề 3.1 trong [3], tồn tại z trong một lân cận đủ bé của 0 mà P (z) (cid:54)= 0 sao cho {gn(z)}n được chứa trong tập compact tương đối trong một lân cận thủng. Vì vậy, do giả thiết P (g(z)) = δP (z) nên dãy {δn} phải hội tụ. Điều này suy ra δ = 1.

Trong trường hợp gq (cid:54)= id, ta có gq(z) = z + · · · và P (gq(z)) = δqP (z). Đặt gq = f, δ(cid:48) = δq. Khi đó, ta có g(cid:48)(0) = 1. Do đó, theo Trường hợp 1, điều này không xảy ra. Trường hợp 3. λ := g(cid:48)(0) = e2πiθ (θ (cid:54)∈ Q). Áp dụng Mệnh đề 4.2 trong [3], tồn tại z trong một lân cận đủ bé của 0 sao cho P (z) (cid:54)= 0 và {gn(z)}n được chứa trong tập compact tương đối trong lân cận thủng nào đó. Vì thế, lập luận tương tự như ở Trường hợp 2, ta kết luận δ = 1. Vậy, bổ đề được chứng minh.

1.3 Khái niệm điểm kiểu vô hạn theo nghĩa D’Angelo

(0, 0) (cid:54)= 0.

∂j+kf ∂zj∂ ¯zk (0, 0) = 0, j + k < m, và ∃j0, k0 : j0 + k0 = m,

∂j0+k0f ∂zj0∂ ¯zk0

Định nghĩa 1.3.1. Hàm f : ∆ → R được gọi là triệt tiêu cấp m tại 0 (không điểm cấp m ∈ N) nếu

Gọi ν(f ) = ν0(f ) := m là cấp triệt tiêu của f tại 0. Tức là, ν0(f ) là bậc của số hạng đầu tiên không bị triệt tiêu trong khai triển Taylor của hàm f tại 0. Trong trường hợp f = (f1, . . . , fk) : ∆ → Rk, ν(f ) := min{ν(f1), . . . , ν(fk)}.

f (x) = sin(x2) = x2 −

+ · · · .

x6 3!

Ví dụ 1.3.1. Hàm f (x) = sin(x2) có khai triển Taylor tại 0 là

Do đó, ν0(f ) = 2.

Định nghĩa 1.3.2. Giả sử M là siêu mặt thực trơn trong Cn và p ∈ M. Gọi ρ là hàm xác định của M trong lân cận mở U ⊂ Cn của p, tức là

M ∩ U = {z ∈ U : ρ(z) = 0} với (cid:53)ρ(z) (cid:54)= 0 với mọi z ∈ M ∩ U. Khi đó, kiểu theo nghĩa D’Angelo của M tại p được định nghĩa bởi đại lượng

τ (M, p) := sup

ν(ρ ◦ γ) ν(γ)

trong đó sup được lấy trên tập tất cả các đường cong chỉnh hình khác hằng γ : (C, 0) → (Cn, p) với γ(0) = p.

Ta nói rằng p là điểm kiểu hữu hạn nếu τ (M, p) < ∞ và p là điểm kiểu vô hạn

nếu τ (M, p) = +∞.

Ví dụ 1.3.2. E1,m = {(z1, z2) ∈ C2 : |z1|2 + |z2|2m = 1}, trong đó m = 1, 2, . . .. Khi đó, τ (E1,m, (1, 0)) = 2m và điểm p = (1, 0) là điểm kiểu hữu hạn.

Ví dụ 1.3.3. Gọi E1,∞ = {(z1, z2) ∈ C2 : |z1|2 + P (z2) = 1}, trong đó P (z2) = 2e−1/|z2|2 nếu z2 (cid:54)= 0 và P (0) = 0. Khi đó, τ (E1,∞, (1, 0)) = +∞ và điểm p = (1, 0) là điểm kiểu vô hạn.

1.4 Khái niệm trường vector chỉnh hình tiếp xúc

n (cid:88)

H =

hj(z)

∂ ∂zj

j=1

Định nghĩa 1.4.1. Một trường vectơ chỉnh hình trong Cn được cho bởi toán tử:

Định nghĩa 1.4.2. Một siêu mặt thực trong Cn được mô tả bởi biểu thức M = {z ∈ Cn : ρ(z) = 0}, trong đó (cid:53)ρ(z) (cid:54)= 0 với mọi z ∈ M.

= 0, ∀z ∈ M.

hj(z)

∂ρ ∂zj

j=1

Định nghĩa 1.4.3. Một trường vectơ H được gọi là tiếp xúc với M ⇔ ReHρ = 0, tức là (cid:17) (cid:16) n (cid:88)

1.5 Một số kết quả về hàm triệt tiêu cấp vô hạn

Bổ đề 1.5.1 ([7]). Cho P : ∆(cid:15)0 → R là C∞-trơn thỏa mãn thành phần liên thông của z = 0 trong tập không điểm của P là {0} và P triệt tiêu cấp vô hạn tại z = 0. Nếu a, b là các số phức và g0, g1, g2 là C∞-trơn xác định trên ∆(cid:15)0 thỏa mãn

(A1) g0(z) = O(|z|), g1(z) = O(|z|(cid:96)) và g2(z) = o(|z|m);

= 0 với mỗi z ∈ ∆(cid:15)0

(A2) Re (cid:105) (cid:104)(cid:0)azm+g2(z)(cid:1)P n+1(z)+bz(cid:96)(cid:0)1+g0(z)(cid:1)Pz(z)+g1(z)P (z)

với bất kỳ số nguyên không âm (cid:96), m và n trừ một trong hai trường hợp sau

(E1) (cid:96) = 1 và Re b = 0;

(E2) m = 0 và Re a = 0,

thì ab = 0.

= bγ(cid:96)(t)(cid:0)1 + g0(γ(t))(cid:1), γ(t0) = z0,

dγ(t) dt

(cid:15)0 với P (z0) (cid:54)= 0, sao cho limt↑t∞ γ(t) = 0. Khi đó, P (γ(t)) (cid:54)= 0 với

Bổ đề 1.5.2. Cho P, g0, g1, g2, a, b như trong Bổ đề 1.5.1. Giả sử rằng γ : (cid:15)0 (t0 ∈ R), trong đó t∞ ∈ R hoặc t∞ = +∞, là nghiệm của bài [t0, t∞) → ∆∗ toán giá trị ban đầu

trong đó z0 ∈ ∆∗ mỗi t ∈ (t0, t∞).

u(cid:48)(t) = Re(

γ(cid:48)(t))

−1 P

= −Re

Chứng minh. Chúng ta chứng minh bổ đề bằng phản chứng. Giả sử P có không điểm trên γ. Do thành phần liên thông của z = 0 trong tập không điểm của P là {0} nên, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng tồn tại t1 ∈ (t0, t∞) sao cho P (γ(t)) (cid:54)= 0 với mỗi t ∈ (t0, t1) và P (γ(t1)) = 0. Đặt u(t) := 1 2 log |P (γ(t))| với t0 < t < t1. Từ phương trình (A2) ta có

= −P n(γ(t))

+ O(|γ(t)|(cid:96))

Pz(γ(t)) P (γ(t)) (cid:104)(cid:0)aγ(t)m + g2(γ(t))(cid:1)P n+1(γ(t)) + g1(γ(t))P (γ(t)) (cid:105) Re (cid:105) (cid:104)(cid:0)aγ(t)m + g2(γ(t)(cid:1)P n(γ(t)) + g1(γ(t)) Re(cid:0)aγm(t) + o(|γ(t)|m)(cid:1)(cid:17)

(cid:16)

với mọi t0 < t < t1. Điều này có nghĩa là u(cid:48)(t) bị chặn trên (t0, t1). Do đó, u(t) bị chặn trên (t0, t1). Điều này mâu thuẫn với u(t) → −∞ khi t ↑ t1. Vậy, Bổ đề được chứng minh.

Từ Bổ đề 1.5.1, ta có hệ quả sau.

Hệ quả 1.5.3. Cho P : ∆(cid:15)0 → R be a C∞-trơn thỏa mãn thành phần liên thông của điểm 0 trong tập không điểm của P là {0} và P triệt tiêu cấp vô hạn tại z = 0. Nếu b là số phức và nếu g là C∞-trơn xác định trên ∆(cid:15)0 thỏa mãn

= 0 với mỗi z ∈ ∆(cid:15)0

(cid:105) (B2) Re (B1) g(z) = O(|z|k+1), và (cid:104)(cid:0)bzk + g(z)(cid:1)Pz(z)

với k nguyên không âm, trừ trường hợp k = 1 và Re(b) = 0, thì b = 0.

1.6 Định lý bông hoa Leau-Fatou

j ∩ P −

Trong mục này, chúng ta sẽ phát biểu định lý bông hoa của Leau - Fatou. Định lý bông hoa của Leau - Fatou khẳng định rằng ta có thể tìm được các miền đơn liên bất biến với biên chứa điểm 0 sao cho trên mỗi miền những ánh xạ chỉnh hình tiếp xúc với đồng nhất là liên hợp với tự đẳng cấu parabolic của miền và mỗi điểm trong miền hoặc hút vào hoặc rời xa điểm 0. Các chi tiết cụ thể hơn được xem trong [3, 4]. Những miền đó được gọi là các cánh hoa (petals) và sự tồn tại của chúng được dự đoán bởi Định lý bông hoa của Leau - Fatou. Ta chú ý rằng nếu g(z) = z + arzr + O(zr+1) với r > 1 và ar (cid:54)= 0 thì ta có thể xây dựng được phép đổi biến chỉnh hình sao cho g là liên hợp với g(z) = z + zr + O(zr+1). Số r là bậc của g tại 0. Dưới đây là phát biểu chi tiết cho định lý này.

Định lý 1.6.1 (Định lý bông hoa của Leau - Fatou). Cho g(z) = z + zr + O(zr+1) với r > 1. Khi đó, tồn tại 2(r − 1) miền, ký hiệu là P ± j , đối xứng với (r − 1) hướng j ∩ P + arg z = 2πq/(r − 1), q = 0, . . . , r − 2, sao cho P + k = ∅ và P − k = ∅ với j (cid:54)= k, 0 ∈ ∂P ± j , mỗi miền là song chỉnh hình với nửa mặt phẳng bên phải H, và gk(z) → 0 khi k → ±∞ với mỗi z ∈ P ± j , trong đó gk = (g−1)−k với k < 0. Hơn là liên hợp chỉnh hình với tự đẳng cấu parabolic nữa, với mỗi j, ánh xạ g |P ± z → z + i trên H.

1.7 Đặc trưng của trường vector chỉnh hình tiếp

xúc với siêu mặt dạng ống trong C2

Định lý 1.7.1. Cho hàm ˜P là C∞-trơn xác định trong một lân cận của 0 trong C thỏa mãn

(i) ˜P (x) (cid:54)≡ 0 trên lân cận của x = 0 trong R, và

(ii) ˜P triệt tiêu cấp vô hạn tại z2 = 0.

Gọi P là hàm C∞-trơn xác định bởi P (z2) := ˜P (Re z2). Khi đó, aut0(MP , 0) = 0.

Chứng minh. Giả sử H = h1(z1, z2)∂z1 + h2(z1, z2)∂z2 là trường vectơ chỉnh hình xác định trên một lân cận của gốc tọa độ thỏa mãn H(0) = 0. Ta chỉ xét H tiếp xúc tại MP , tức là thỏa mãn đồng nhất thức

(Re H)ρ(z) = 0, z ∈ MP .

(1.4)

∞ (cid:88)

h1(z1, z2) =

ajkzj

bjkzj

2 , h2(z1, z2) =

1zk

1zk 2 ,

j,k=0

Khai triển h1 và h2 thành chuỗi Taylor tại gốc tọa độ

ρz1(z1, z2) = (Re(z1) + P (z2))(cid:48)

z1 = (

1 2 P (cid:48)(x),

))(cid:48)

ρz2(z1, z2) = P (cid:48)

z2 =

z2(z2) = ( ˜P (Re(z2))(cid:48)

z2 = ( ˜P (

z1 + ¯z1 2 z2 + ¯z2 2

+ P (z2))(cid:48) z1 = 1 2

trong đó ajk, bjk ∈ C. Do H(0) = 0 nên h1(0, 0) = h2(0, 0) = 0. Từ đó, a00 = b00 = 0. Bằng tính toán đơn giản, ta có

trong đó x = Re(z2). Khi đó, (1.4) trở thành

= 0

h1(z1, z2) + Pz2(z2)h2(z1, z2)

(cid:105) (1.5) (cid:104)1 2

với mọi (z1, z2) ∈ MP . Do (it − P (z2), z2) ∈ MP với t đủ nhỏ nên phương trình trên tương đương với phương trình sau đây

∞ (cid:88)

= 0

bmn

ajk

zk 2 + Pz2(z2)

zn 2

m,n=0

j,k=0

(cid:105) (1.6) (cid:0)it − P (z2)(cid:1)j (cid:0)it − P (z2)(cid:1)m (cid:104)1 2

với mọi z2 ∈ C và t ∈ R với |z2| < (cid:15)0 và |t| < δ0, trong đó (cid:15)0 > 0 và δ0 > 0 đủ bé. Mục đích của ta là chỉ ra rằng H ≡ 0. Thật vậy, giả sử phản chứng rằng H (cid:54)≡ 0. Do Pz2(z2) triệt tiêu cấp vô hạn tại 0 nên nếu h2 ≡ 0 thì từ (1.5) ta có h1 ≡ 0. Do đó, ta có thể giả sử rằng h2 (cid:54)≡ 0.

Bây giờ ta chia lập luận thành hai trường hợp sau đây:

2 + o(|z2|k0)(cid:1)

Trường hợp 1. h1 (cid:54)≡ 0. Gọi j0 là số nguyên nhỏ nhất sao cho aj0k (cid:54)= 0 với số nguyên k nào đó. Tương tự như vậy, gọi k0 là số nguyên nhỏ nhất sao cho aj0k0 (cid:54)= 0. Tương tự như vậy, gọi m0 là số nguyên nhỏ nhất sao cho bm0n (cid:54)= 0 với số nguyên n nào đó và gọi n0 là số nguyên nhỏ nhất sao cho bm0n0 (cid:54)= 0. Nhận xét rằng j0 ≥ 1 nếu k0 = 0, và m0 ≥ 1 nếu n0 = 0. Do P (z2) = o(|z2|j) với bất kì j ∈ N nên thay t = αP (z2) vào phương trình (1.6), trong đó α ∈ R đủ nhỏ được chọn sau, ta nhận được

= 0

(1.7)

(cid:104) 1 aj0k0(iα − 1)j0(P (z2))j0(cid:0)zk0 2 + bm0n0(iα − 1)m0(cid:0)zn0 (cid:105) 2 + o(|z2|n0)(cid:1)(P (z2))m0Pz2(z2)

với mọi z2 ∈ ∆(cid:15)0. Ta chú ý rằng trong trường hợp k0 = 0 và Re(aj00) = 0, α được (cid:1) (cid:54)= 0. Do đó, phương trình (1.7) suy ra j0 > m0 vì chọn sao cho Re(cid:0)(iα − 1)j0aj00 Pz2(z2) và P (z2) triệt tiêu cấp vô hạn tại z2 = 0. Ngoài ra, ta có Pz2(z2) = 1 2P (cid:48)(x), trong đó x := Re(z2). Do đó, từ phương trình (1.7) ta có

P (cid:48)(x) (cid:0)P (x)(cid:1)j0−m0

aj0k0(iα − 1)j0(cid:0)zk0 bm0n0(iα − 1)m0(cid:0)zn0

2 + o(|z2|k0)(cid:1)(cid:105) 2 + o(|z2|n0)(cid:1)(cid:105)

(1.8) (cid:104) Re (cid:104)

với mọi z2 = x + iy ∈ ∆(cid:15)0 thỏa mãn

P (x) (cid:54)= 0, Re

(cid:54)= 0.

bm0n0(iα − 1)m0(zn0

(cid:104) (cid:105) 2 + o(|z2|n0))

Tuy nhiên, phương trình (1.8) mâu thuẫn vì vế phải phụ thuộc vào y. Do vậy, h1 ≡ 0.

= 0

Trường hợp 2. h1 ≡ 0. Gọi m0, n0 là các số nguyên giống như Trường hợp 1. Do P (z2) = o(|z2|n0) nên thay t = αP (z2) vào phương trình (1.6), trong đó α ∈ R đủ bé được chọn sau, ta có

(iα − 1)m0bm0n0

2 + o(|z2|n0)(cid:1)(cid:105) (cid:0)zn0

1 2

(cid:104) P (cid:48)(x)Re

= 0

với mọi z2 = x + iy ∈ ∆(cid:15)0. Do P (cid:48)(x) (cid:54)≡ 0 nên

2 + o(|z2|n0)(cid:1)(cid:105) (cid:0)zn0

(1.9) (cid:104) (iα − 1)m0bm0n0

với mọi z2 ∈ ∆(cid:15)0. Chú ý rằng nếu n0 = 0 thì ta có thể chọn được số thực α (cid:1) (cid:54)= 0. Vì vậy, (1.9) là vô lý. Vậy, định lý được chứng sao cho Re(cid:0)(iα − 1)m0bm00 minh.

Chương 2

Nhóm CR tự đẳng cấu của một số

lớp các siêu mặt kiểu vô hạn trong

C2

MP := {(z1, z2) ∈ C2 : Re z1 + P (z2) = 0},

Trong chương này, chúng tôi chứng minh một số kết quả về nhóm các CR tự đẳng cấu Aut(MP , 0) và mô tả các trường vector chỉnh hình tiếp xúc aut0(MP , 0) của mô hình kiểu vô hạn MP

trong đó P (cid:54)≡ 0 là hàm C∞-trơn, triệt tiêu cấp vô hạn tại z2 = 0. Cụ thể, chúng tôi sẽ chứng minh Định lý 2.2.1, 2.3.1 và 2.4.1.

Trước khi trình bày nội dung từng mục của chương này, chúng tôi có các nhận

xét sau đây:

Nhận xét 2.1. P∞(MP ) = {(it − P (z2), z2) : t ∈ R, z2 ∈ S∞(P )}.

(z1, z2) (cid:55)→ (z1, g2(z2)),

(cid:48)(0) = e2πip/q (p, q ∈ Z) hoặc g2

Nhận xét 2.2. Trong trường hợp P (cid:54)≡ 0, nhóm con G2(MP , 0) gồm các CR tự đẳng cấu của MP sao cho

trong đó g2 là ánh xạ bảo giác với g2(0) = 0 thỏa mãn P (g2(z2)) ≡ P (z2) và (cid:48)(0) = e2πiθ với θ ∈ R \ Q nào đó (cid:48)(0) = id hoặc g2 g2 (xem Bổ đề 1.2.4, Bổ đề 2.1.1 và Bổ đề 2.1.3 ).

2.1 Nhóm con G2(MP , 0)

f (z1, z2) = (z1, g2(z2)),

Trong phần này, ta sẽ mô tả tường minh về nhóm con G2(MP , 0). Theo Bổ đề 1.2.4, nhóm con G2(MP , 0) ⊂ Aut(MP ) gồm các CR tự đẳng cấu f ∈ G2(MP , 0) xác định bởi

trong đó g2 hoặc là parabolic hoặc là elliptic. Ngược lại, cho trước ánh xạ bảo giác parabolic g thỏa mãn gq = id với số tự nhiên q nào đó hoặc g là elliptic, ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại mô hình kiểu vô hạn (MP , 0) sao cho (z1, z2) (cid:55)−→ (z1, g2(z2)) thuộc vào nhóm con G2(MP , 0).

f (z1, z2) = (z1, g2(z2)),

2(0)| = 1 và

Định nghĩa 2.1.1. Nhóm con G2(MP , 0) ⊂ Aut(MP ) gồm các CR tự đẳng cấu f ∈ G2(MP , 0) xác định bởi

trong đó g2 chỉnh hình trong một lân cận của 0 thỏa mãn g2(0) = 0, |g(cid:48) P (g2(z2)) = P (z2).

Trước hết, ta đi chứng minh các bổ đề sau đây

Bổ đề 2.1.1. Nếu P (e2πiθz) ≡ P (z) với θ ∈ R \ Q thì P (z) ≡ P (|z|), tức là P đối xứng với phép quay.

Chứng minh. Chú ý rằng P (e2πniθz) ≡ P (z) với mọi n ∈ N và {e2πniθz : n ∈ N} = S|z|, trong đó Sr := {z ∈ C : |z| = r}, r > 0. Do P liên tục nên P (z) ≡ P (|z|) với mọi z ∈ R. Bổ đề được chứng minh.

f ∈ G2(MP , 0) với (MP , 0) nào đó kiểu vô hạn.

Bây giờ ta chứng minh cho trường hợp parabolic tức là nếu gq = id thì

Bổ đề 2.1.2. Giả sử g(z) = e2πip/qz + · · · là ánh xạ bảo giác với λ = e2πip/q là căn nguyên thủy của đơn vị. Nếu gq = id thì tồn tại mô hình kiểu vô hạn MP (0) sao cho (z1, z2) (cid:55)→ (z1, gj(z2)) thuộc vào nhóm G2(MP , 0) với mỗi j = 1, 2, . . . , q − 1.

Chứng minh. Giả sử rằng g(z) = e2πip/qz + · · · là ánh xạ bảo giác với λ = e2πip/q là căn nguyên thủy của đơn vị thỏa mãn gq = id. Theo Mệnh đề 3.2 trong bài báo [3], g là liên hợp chỉnh hình địa phương với hàm h(z) = λz.

C∞-trơn P (z) bởi

P (z) := ˜P (z) + ˜P (g(z)) + · · · + ˜P (gq−1(z)).

Gọi ˜P là hàm C∞-trơn thỏa mãn ν0( ˜P ) = +∞. Khi đó, ta định nghĩa hàm

Rõ ràng P (g(z)) ≡ P (z) và P (gj(z)) ≡ P (z), j = 1, 2, ..., q−1. Vì vậy, fj : (z1, z2) (cid:55)→ (z1, gj(z2)) thuộc G2(MP , 0), j = 1, . . . , q − 1.

Nhận xét 2.3. Trong trường hợp gq (cid:54)= id, chúng ta có gq(z) = z + · · · và do vậy P (z + · · · ) = P (gq(z)) = P (z). Theo Bổ đề 1.2.4, không tồn tại kiểu vô hạn MP thỏa mãn P (cid:54)≡ 0 trên mỗi cánh hoa sao cho (z1, z2) (cid:55)→ (z1, g(z2)) thuộc vào G2(MP , 0).

Với g là elliptic, ta có bổ đề sau

là ánh xạ bảo giác với θ (cid:54)∈ Q. Khi đó, Bổ đề 2.1.3. Giả sử g(z) = e2πiθz + · · · tồn tại siêu mặt kiểu vô hạn MP sao cho (z1, z2) (cid:55)→ (z1, g(z2)) thuộc nhóm con G2(MP , 0). Hơn nữa, MP song chỉnh hình với mô hình đối xứng M ˜P .

g = ϕ−1 ◦ Rθ ◦ ϕ.

Chứng minh. Giả sử g(z) = e2πiθz + · · · là ánh xạ bảo giác với θ (cid:54)∈ Q. Theo Mệnh đề 4.4 trong [3], g là liên hợp chỉnh hình địa phương với Rθ(z) = e2πiθz, nghĩa là tồn tại ánh xạ bảo giác ϕ với ϕ(0) = 0 sao cho

P (z) = ˜P (ϕ(z)) = ˜P (|ϕ(z)|).

Gọi hàm ˜P đối xứng đối với phép quay và C∞-trơn thỏa mãn ν0( ˜P ) = +∞. Ta định nghĩa hàm trơn vô hạn P bởi

Khi đó, P (g(z)) = ˜P (ϕ ◦ g(z)) = ˜P (Rθ ◦ ϕ(z)) = ˜P (|Rθ ◦ ϕ(z)|) = ˜P (|ϕ(z)|) = P (z). Điều này có nghĩa rằng (z1, z2) (cid:55)→ (z1, g(z2)) thuộc G2(MP , 0). Hơn nữa, ft ∈ G2(MP , 0) với mọi t ∈ R, trong đó ft(z1, z2) := (z1, ϕ−1 ◦ Rt ◦ ϕ(z2)). Hơn nữa, dễ thấy MP song chỉnh hình với siêu mặt đối xứng M ˜P .

2.2 Nhóm các CR tự đẳng cấu của MP

Định lý 2.2.1. Cho (MP , 0) là siêu mặt C∞-trơn xác định bởi ρ(z) := ρ(z1, z2) = Re z1 + P (z2) = 0, trong đó P là C∞-trơn trong một lân cận của gốc tọa độ trong C thỏa mãn điều kiện