Luận văn với mục tiêu tìm hiểu không gian véctơ Euclide và mô hình vật lý của nó; phương pháp véc tơ trong hình học sơ cấp. Để nắm chi tiết hơn nội dung nghiên cứu, mời các bạn cùng tham khảo luận văn.
MÃ SỐ: 60 46 01 13
MÃ SỐ: 60 46 01 13
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN VĂN ĐOÀNH
Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Thăng Long dưới sự
hướng dẫn tận tình của TS. Nguyễn Văn Đoành. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn.
Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong trường Đại Học Thăng
Long đã giúp đỡ, giảng dạy và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập tại lớp
Cao học Toán khóa V. Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm Khoa đào
tạo Sau đại học, Khoa Toán đã tạo điều kiện cho tôi trong thời gian học tập.
Tác giả xin cảm ơn tới bạn bè đồng nghiệp trong lớp cao học toán khóa V Hà
Nội đã có nhiều sự động viên giúp đỡ trong quá trình học tập vừa qua.
Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tôi mong nhận được sự chỉ bảo
của quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp
Hà nội, ngày 25 tháng 12 năm 2018
Tác giả
Tôi xin cam đoan rằng các số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này
là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng
mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin
trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, ngày 25 tháng 12 năm 2018
Tác giả
Trang 1
Trang 2
1.1 Định nghĩa không gian véc tơ
1.1.1 Định nghĩa
là một tập hợp mà các phần tử được ký hiệu là: là
Định nghĩa 1.1: Cho một trường mà các phần tử được ký hiệu là Trên ta có hai phép toán:
Phép cộng hai phần tử của
Phép nhân một phần tử của với một phần tử của
Giả sử với mọi mọi các điều kiện sau được thỏa mãn:
i.
ii. Tồn tại vectơ
iii. Với mỗi có một phần tử sao cho
iv.
v.
vi.
vii.
viii. trong đó 1 là phần tử đơn vị của trường
Trang 3
là - không gian Khi đó ta nói rằng vectơ). Ta cũng nói là một không gian vectơ trên trường là không gian tuyến tính trên trường (hoặc
1.1.2 Một số tính chất của không gian véc tơ
1.2 Cơ sở của không gian véc tơ, cơ sở trục chuẩn
1.2.1 Hệ độc lập và phụ thuộc tuyến tính:
Định nghĩa 1.2: Cho vectơ của không gian vectơ trên trường
Hệ vectơ được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại m phần tử
i. không đồng thời bằng 0 sao cho:
ii. tuyến được gọi là độc lập tuyến tính nếu nó không phụ thuộc theo tương đương kéo
Hệ vectơ tính, hay một cách
được gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi hệ con hữu hạn của S đều độc iii. Tập lập tuyến tính.
1.2.2 Cơ sở và số chiều của không gian véc tơ
Định nghĩa 1.3:
được gọi là một hệ sinh của nếu mọi véc tơ của đều biểu i. Một hệ véc tơ của thị tuyến tính được qua hệ đó.
được gọi là một cơ sở của nếu mọi véc tơ của đều biểu ii. Một hệ véc tơ của thị tuyến tính duy nhất qua hệ này.
Như vậy, mỗi cơ sở đều có một hệ sinh. Ta hãy nghiên cứu sâu hơn về mối quan hệ giữa hệ sinh, cơ sở và độc lập tuyến tính.
được gọi là độc lập tuyến tính cực đại vào hệ đó thì hệ mới thu Định nghĩa 1.4: Một hệ véc tơ của không gian nếu nó độc lập tuyến tính và nếu thêm bất kỳ véc tơ nào của được trở thành phụ thuộc tuyến tính.
được gọi là hữu hạn sinh nếu nó có một hệ sinh Định nghĩa 1.5: Không gian véc tơ gồm hữu hạn phần tử.
1.3 Tích vô hướng, không gian véc tơ Euclid
1.3.1 Định nghĩa tích vô hướng, không gian véc tơ Euclid
Định nghĩa 1.6: Một không gian véc tơ trên trường số thực gian Euclid (đọc là Ơ-clít) nếu
được gọi là một không được trang bị một dạng song tuyến tính đối xứng Dạng song tuyến tính thỏa mẵn điều kiện:
đối xứng này được gọi là tích vô hướng của với mọi véc tơ
Trang 4
Định nghĩa 1.7: Không gian véc tơ thực cùng với một tích vô hướng trên được gọi
là một không gian véc tơ Euclid.
Định nghĩa 1.8: Chuẩn hay độ dài của một véc tơ là đại lượng
thì a được gọi là một véc tơ định chuẩn (véc tơ đơn vị). Có thể dễ dàng thấy
Nếu chuẩn của một véc tơ có những tính chất cơ bản sau:
i. khi và chỉ khi
ii.
iii. Véc tơ là một véc tơ định chuẩn cho mọi véc tơ. Chuẩn của một véc tơ cũng
thỏa mãn những bất đẳng thức quen thuộc trong hình học.
Định nghĩa 1.9: Với mọi véc tơ của ta gọi góc giữa và là góc với
(Khái niệm này phù hợp với khái niệm góc thông thường trong sao cho
hình học).
là hai tập hợp các véc tơ trong Ta gọi
nếu trực giao Do tính đối xứng của tích vô với mọi véc tơ
Định nghĩa 1.10: Giả sử và (vuông góc) với hướng nên nếu trực giao với nhau thì cũng trực giao với nhau.
Định nghĩa 1.11:
i. Hệ véc tơ của không gian véc tơ Euclid được gọi là một hệ trực giao
nếu các véc tơ của hệ đôi một trực giao với nhau, tức là
Hệ véc tơ của không gian véc tơ Euclid được gọi là một hệ trực chuẩn
ii. nếu nó là hệ trực giao vầ độ dai mỗi véc tơ bằng 1.
1.3.2 Độ cao và thể tích
Cho là một không gian Euclid và là một không gian con hữu hạn sinh.
lên sao cho
Định nghĩa 1.12: Véc tơ chiếu của một véc tơ trực giao với Khi đó ta gọi véc tơ là véc tơ độ cao từ là một véc tơ tới
Trang 5
Định nghĩa 1.13: Cho là các véc tơ trong Ma trận:
Được gọi là ma trận Gram và định thức của ma trận này được gọi là định thức Gram của
Định nghĩa 1.14: Đại lượng: được gọi là thể tích của hình
hộp
2.1 Xây dựng mô hình
2.2.1 Phép cộng véc tơ
2.2.2 Phép nhân véc tơ với 1 số
2.2.3 Tích vô hướng hai véc tơ
2.2 Một số thể hiện cơ bản của các khái niệm hình học nhờ mô hình
Trang 6
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1:
2.1 Các bài toán chứng minh một đẳng thức véc tơ.
2.1.1 Cơ sở lý thuyết
Chứng minh một đẳng thức véc tơ thực chất là chứng minh 2 véc tơ bằng nhau. Dựa vào các kiến thức véc tơ, các kỹ thuật cơ bản ta có thể biến đổi như các biến đổi đại số: Biến đổi vế trái thành vế phải, biến đổi vế phải thành vế trái và biến đổi cả 2 vế.
Trong nhiều trường hợp để chứng minh đẳng thức véc tơ ta còn sử dụng đến kỹ thuật hình chiếu của véc tơ trên một trục, xem tài liệu [3].
và một trục Ox. Gọi
Trên mặt phẳng cho vectơ góc của A và B trên trục Ox. Ta gọi hình chiếu của vectơ đại số lần lượt là hình chiếu vuông trên trục Ox là độ dài Khi chỉ chiếu trên một trục ta viết gọn là: , kí hiệu là:
Hình 2.2
Hình chiếu của vectơ trên một trục có các tính chất sau:
trong đó là độ dài đại số của còn là góc tạo bởi và chiều dương
i. của trục Ox.
ii.
iii. Với mọi thì
trong đó Ox và O’x là hai trục không song song. iv.
Chứng minh các tính chất trên không khó. Ta nêu phép chứng minh (iv).
Trang 7
Điều kiện cần: Hiển nhiên do áp dụng tính chất (i).
Điều kiện đủ: Đặt giả sử:
và
Theo giả thiết: và điểm của là giao Gọi E là giao điểm của Bằng cách xét hai tam giác vuông AEK và CFH bằng nhau ta suy
ra EA = FC nên Từ đó: hay
Hình 2.3
2.1.2 Các bài toán minh họa
Bài toán 2.1: Cho tam giác ABC, trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chứng minh rằng:
i)
ii
iii)
Bài toán 2.2: Cho C là một điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho . Chứng minh
rằng với S là một điểm bất kì ta luôn có: (2.1)
Trang 8
Bài toán 2.3: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A,B,C lần lượt là a,b,c. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC lần lượt tiếp xúc với BC, CA, AB tại A1, B1, C1. Chứng minh rằng:
Bài toán 2.4: Tam giác ABC với các cạnh a=BC,b=CA, c=AB. Gọi H, I lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng:
i)
ii)
trong đó M là một điểm bất kì nằm trong tam giác; Sa,Sb,Sc
iii) theo thứ tự là diện tích các tam giác
Bài toán 2.5: Cho tam giác ABC có BC=a, CA=b, AB=c. Gọi N,M,K lần lượt là chân tam giác ABC. Chứng minh rằng: các đường phân giác từ A,B,C của
Bài toán 2.6: Cho H và O theo thứ tự là trực tâm và tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng:
Bài toán 2.7: Chứng minh rằng điểm J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi: (2.8)
Bài toán 2.8: Gọi (O;R) và (J;r) là các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của (J;r) với BC, CA, AB. Gọi K là trọng tâm tam giác
DEF. Chứng minh rằng: (2.12)
Bài toán 2.9: Giả sử tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b. Gọi G và O theo thứ tự là các là trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Đạt Gọi
vectơ đơn vị theo thứ tự vuông góc với BC, CA, AB, cùng chiều với các vectơ trong bài toán 2.8. Chứng minh rằng: (2.16)
2.2 Các bài toán chứng minh một hệ thức hình học
2.2.1 Cơ sở lý thuyết
Khi gặp dạng toán chứng minh hệ thức chứa các bình phương độ dài đoạn thẳng hoặc tích các độ dài đoạn thẳng, chúng ta có thể chuyển hệ thức trên về dạng chứa bình phương vô hướng của các vectơ tương ứng hay tích độ dài các vectơ. Từ đó sử dụng tích vô hướng để giải các bài toán thuộc dạng trên.
2.2.2 Các bài toán minh họa
Bài toán 2.10: (Công thức Leibnitz) Cho tam giác ABC có trọng tâm G và M là điểm
bất kỳ. Chứng minh rằng: trong đó:
a=BC,b=CA, c=AB.
Trang 9
Bài toán 2.11: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi O, I, G lần lượt là
tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, trọng tâm của tam giác ABC. Và R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC. Chứngminh rằng:
i)
ii) (Công thức Euler)
Bài toán 2.12: Cho tam giác ABC, BC=a, CA=b, AB=c. Với điểm M nằm trên cạnh AB, chứng minh rằng:
Bài tập tham khảo
2.3 Các bài toán tính toán một biểu thức hình học
2.3.1 Cơ sở lý thuyết
Dùng véc tơ cho phép giải các bài toán tính toán ở các trường hợp khác nhau. Trong không gian chúng ta còn thấy tác dụng của phương pháp véc tơ trong các bài tính toán, góp phần làm giảm đi tính trừu tượng, tính phức tạp trong tính toán các đại lượng hình học. Kỹ thuật quan trọng ở đây là kỹ thuật chuyển từ “ngôn ngữ hình học thuần túy” sang “ngôn ngữ véc tơ”.
2.3.2 Các bài toán minh họa
Bài toán 2.16: Trên các cạnh AC, BC của tam giác ABC lấy lần lượt các điểm E, F sao cho: AE=3EC, FC=2FB. Gọi O là giao của AF và BE.
i) Tính tỷ số:
ii) Tính diện tích tam giác ABC khi biết diện tích tam giác OBN = m (đvdt).
Bài toán 2.17:(Đề thi Olympic Toán quốc tế, 1996) Cho tam giác ABC có BC=a, tam giác ABC. Tính AB=c, CA=b. Gọi I tâm đường tròn nội tiếp
là theo a,b,c.
Bài toán 2.18:(Đề thi đề nghị Olympic 30-4, Thành phố Hồ Chí Minh, lần 7) Cho lục có tâm là điểm I. Một hình tròn (O,R) chứa điểm I, các tia giác đều
cắt đường tròn tại .Tính tổng sau theo R:
Trang 10
(O)
Bài tập tham khảo
2.4 Các bài toán về chứng minh bất đẳng thức hình học
2.4.1 Cơ sở lý thuyết
- Sử dụng quy tắc 3 điểm và bất đẳng thức trong tam giác.
- Sử dụng các bất đẳng thức dạng véc tơ:
+
Dấu bằng xảy ra khi cùng phương +
. Dấu bằng xảy ra khi cùng hướng. +
Tổng quát:
Dấu bằng xảy ra khi các véc tơ cùng hướng.
. Dấu bằng xảy ra khi cùng hướng. +
2.4.2 Các bài toán minh họa
Bài toán 2.22: Cho tam giác ABC, BC=a. CA=b, AB=c. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một đểm H trên mặt phẳng thỏa mãn:
Bài toán 2.23:(Đề thi đề nghị Olympic 30-4, Thành phố Hồ Chí Minh, lần 7) Cho x,y,z là 3 số dương. Chứng minh: (2.21)
Bài toán 2.24: Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:
2.5 Các bài toán chứng minh quan hệ song song, quan hệ vuông góc
2.5.1 Cơ sở lý thuyết
a. Chứng minh hai đường thẳng a và b song song
là vectơ chỉ phương của đường thẳnga và CD là vectơ chỉ phương của đường
Giả sử thẳng b. Ta có : với và
thì mới chỉ kết luận được a trùng b hoặc a song Chú ý: Nếu chỉ có điều kiện song với b.
Trang 11
b. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
và Hai vectơ
là vectơ chỉ phương của đường thẳng a (có thể chọn A, B (khác vectơ - không) vuông góc với nhau khi và chỉ khi và
. Từ đó, nếu vectơ chỉ phương của đường thẳng b (có thể chọn C, D thuộc b thì: là )
Chú ý: Nhờ định lý cosin trong tam giác, biểu thức tích vô hướng của hai vectơ và
có thể viết dưới dạng:
2.5.2 Các bài toán minh họa
Bài toán 2.25: Cho tứ giác ABCD. Đường thẳng đi qua đỉnh A, song song với BC cắt BC ở M; đường thẳng đi qua đỉnh B, song song với AD cắt AC ở N. Chứng minh
Bài toán 2.26: Trên các cạnh AB, BC,CA của tam giác ABC lấy tương ứng các điểm
sao cho Trên các cạnh của tam
giác AiB1C1 theo thứ tự lấy các điểm sao cho:
.
Chứng minh rằng:
Bài toán 2.27: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi H là trung điểm của BC, D là hình chiếu của H lên AC, M là trung điểm của HD. Chứng minh:
Bài toán 2.28: Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ BK vuông góc với AC, gọi M,N lần lượt là trung điểm của AK và CD.
i) Chứng minh rằng:
ii) Tìm điều kiện của hình chữ nhật để tam giác BMN vuông cân.
sao cho
Bài toán 2.29:(Cuộc thi toán mùa xuân tại Bulgaria 11.2.1996) Gọi điểm D nằm trên và cung BC (không chứa điểm A) của đường tròn ngoại tiếp Trên hai tia BD, CD ta lấy lần lượt các điểm E và F sao cho BE = AC và CF=AB. Gọi M là trung điểm đoạn thẳng EF.
i) Chứng minh rằng là góc vuông.
Trang 12
ii) Tìm quỹ tích các điểm M khi D vẽ nên cung BC.
Bài tập tham khảo
2.6 Các bài toán về chứng minh tính đồng quy, thẳng hàng
2.6.1 Cơ sở lý thuyết
a. Điều kiện để ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng:
A, B, C phân biệt thẳng hàng -
A, B, C phân biệt thẳng hàng -
(với O bất kì)
b. Điều kiện để ba đường thẳng đồng quy:
- Chuyển về chứng minh ba điểm thẳng hàng bằng cách xác định giao điểm của hai đường thẳng sau đó chứng minh điểm này thẳng hàng với hai điểm cùng nằm trên một đường thẳng còn lại.
- Chứng tỏ tồn tại một điểm thuộc tất cả các đường.
2.6.2 Các bài toán minh họa
Bài toán 2.32: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm chia cạnh AB, BC, CA, theo tỉ số m, n, p. Chứng minh rằng:
i) M, N, P thẳng hàng (Định lí Menelaus)
ii) AN, BP, CM đồng quy hoặc song song (Định lí Xeva)
Bài toán 2.33: Cho tam giác ABC, các đường thẳng đi qua các đỉnh của tam giác và song song với nhau cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tương ứng tại Chứng minh rằng trọng tâm các tam giác thẳng hàng.
Bài toán 2.34: Cho tứ giác lồi ABCD ngoại tiếp đường tròn (O). Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm hai đường chéo AC, BD. Chứng minh rằng M, N, O thẳng hàng.
Bài toán 2.35: Cho tam giác ABC. Xét các điểm M G BC, N G CAvà P G AB sao cho tứ giác APMN là một hình bình hành. Các đường thẳng BN và CP cắt nhau tại O. Chứng minh rằng đường thẳng OM luôn đi qua một điểm cố định.
Gọi Chứng minh rằng theo thứ tự là trung điểm đồng quy khi và chỉ
Trang 13
Bài toán 2.36: Cho lục giác lồi của các đọan khi
Bài tập tham khảo
2.6 Các bài toán hình học không gian ba chiều
2.6.1 Biểu diễn véc tơ theo cơ sở, kỹ thuật chọn gốc
mà CD = Bài toán 2.6.1: Cho SABC là hình chóp đều đỉnh S, có SA=4. Điểm 3, khoảng cách từ A đến BD bằng 2. Gọi O là tâm Tính độ dài SO ?
Bài toán 2.6.2: Cho tứ diện đều ABCD có M là trung điểm của AC, N là tâm mặt BCD, E là trung điểm cạnh AB. Tính góc giữa MN và DE.
2.6.2 Chứng minh các bài toán song song, đồng phẳng trong không gian
Các điều kiện song song, đồng quy, thẳng hàng có thể sử dụng như trong hình học phẳng. Đa số các trường hợp vẫn cần chọn cơ sở và gốc.
Để chứng minh d một véc tơ trên ta đi chứng minh hai véc tơ ta lấy trên Để có sau đó chứng minh 3 véc tơ đó đồng phẳng
.
ta lấy trên trên hai
Để chứng minh 2 mặt phẳng song song véc tơ Sau đó chứng minh các bộ 3 véc tơ hai véc tơ đồng phẳng
Bốn điểm A,B,C,D thuộc
Để chứng minh 3 véc tơ đồng phẳng một mặt phẳng
Bài toán 2.6.3: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a. Gọi P, Q là các điểm xác định bởi: Gọi M là trung điểm BB’. Chứng minh P,M,Q thẳng hàng.
Bài toán 2.6.4: Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’. Giả sử M,N,E,F lần lượt là trọng tâm các tam giác Chứng minh rằng:
Giả sử M,N lần lượt là trung điểm các cạnh
Bài toán 2.6.5: Cho hình hộp vàChứng minh rằng:
Bài toán 2.6.6: Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AA’, CC’. Gọi G là trọng tâm của tam giác A’B’C’. Chứng minh rằng:
Bài toán 2.6.7: Cho tứ diên ABCD và các điểm thỏa mãn: ;
; ; . Chứng minh rằng:
Trang 14
i) Các véc tơ đồng phẳng.
ii) Các véc tơ đồng phẳng.
iii) Bốn điểm I,E,K,F cùng thuộc 1 mặt phẳng
Bài toán 2.6.8: Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N là trung điểm của AB và CD; P,Q là 2
điểm thứ tự thuộc AC, BD sao cho Chứng minh rằng bốn điểm M,N,P,Q cùng
thuộc một mặt phẳng.
Bài tập tham khảo
2.6.3 Chứng minh tính vuông góc trong không gian
Tích vô hướng của hai véc tơ giúp cho các bài toán chứng minh tính vuông góc trong không gian trở thành các bài toán tính toán. Ta xét các ví dụ sau:
Bài toán 2.6.12:(Đề thi ĐH môn toán khối B, năm 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: và tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
Bài toán 2.6.13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết rằng SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng: và
Bài toán 2.6.14: (Bài tập 5, trang 69-SGK 11) Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu thì
Bài tập tham khảo
2.6.4 Tính các đại lượng góc, khoảng cách, diện tích, thể tích nhờ véc tơ
Tích vô hướng được sử dụng thường xuyên trong các bài toán hình học không gian để tính khoảng cách, tính góc, tính tỷ số, diện tích thiết diện (và xác định thiết diện), thể tích ... Kỹ năng sử dụng tích vô hướng ở đây được thể hiện qua:
Kĩ năng chọn cơ sở để lập bảng nhân vô hướng. -
Kĩ năng biểu diễn một vectơ qua cơ sở đã chọn. -
- Kĩ năng nhân vô hướng cùng các phép biến đổi đại số trên các vectơ. Với các bài toán tính khoảng cách và góc trong không gian, có thể chia làm 4 dạng cơ bản cùng cách giải (bằng vectơ) như sau:
Dạng I: Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng
Trang 15
Bài toán 2.6.17: Cho điểm M và 1 đường thẳng l có vectơ chỉ phương trên l có điểm A mà từ M đến đường thẳng l. Tính khoảng cách
Dạng II: Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
. Điểm A thuộc mặt
không thuộc mặt phẳng . Tính khoảng cách từ đến
Bài toán 2.6.18: Cho mặt phẳng (a) với cặp vectơ chỉ phương phẳng và góc giữa với mặt phẳng
Dạng III: Khoảng cách và góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau.
Bài toán 2.6.19: Cho các đường thẳng với vectơ chỉ phương lần lượt là ; cho
các điểm mà . Tính khoảng cách và góc giữa l2 và l2.
Dạng IV: Góc giữa hai mặt phẳng.
của 2
Ta chuyển về tính góc giữa 2 đường thẳng hoặc tính góc giữa hai phép vectơ mặt phẳng.
Bài toán 2.6.20: S.ABC là hình chóp tam giác đều đỉnh S có SA = 4. Một điểm D thuộc SC mà CD = 3, khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng 2. Tính thể tích hình chóp S.ABC
Bài toán 2.6.21: Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC, cạnh AB = 1, cạnh bên Mặt phẳng (a) song song với SB và AC; mặt phẳng (ß) song song và
với SC và AB. Tính góc giữa và ?
Bài toán 2.6.22: Hình lập phương có cạnh bằng 1. Lấy các điểm E thuộc
AAi, F thuộc BC sao cho: Qua tâm K của hình lập phương và 2 điểm E,
F dựng mặt phẳng Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng
Bài tập tham khảo
Trang 16
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2:
[1] Đỗ Thanh Sơn, Trần Hữu Nam [2011], Phương pháp giải toán Hình học 10 theo chủ đề, NXB Giáo dục Việt Nam.
[2] Nguyễn Thái Sơn [2005], Nhìn Hình học bằng con mắt đại số - Chuyên đề toán học số 8, NXB ĐHQG thành phố Hồ Chí Minh.
[3] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Nguyễn Đăng Phất, Đỗ Thanh Sơn [2007], Hình học và một số vấn đề liên quan, NXB Giáo dục Việt Nam.
[4] Nguyễn Văn Nho [2012], Tuyển Tập Olympic Toán Học Tại Các Nước Đông Au, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội.
[5] Ngô Việt Trung [2002], Giáo Trình Đại Số Tuyến Tính, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội. 34 - 45, 204 - 215
[6] Nhiều tác giả, VNMATH.com [2013], Tuyển tập các chuyên đề hình học trên Tạp chí Toán học tuổi trẻ.
[7] www.diendantoanhoc.net [2002], Tuyển tập đề thi IMO (IMO Task Collection).
Trang 17
[8] Jean-Marie Monier [1997], Geometry, @Dunod, Paris.
