Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số phương pháp xác định dãy số lặp tuyến tính hệ số hằng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

VŨ THỊ HÀ

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH DÃY SỐ LẶP TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội-Năm 2019

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

VŨ THỊ HÀ

MÃ HỌC VIÊN: C01078

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH DÃY SỐ LẶP TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG

CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

MÃ SỐ: 8 46 01 13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. NGUYỄN VĂN NGỌC

Hà Nội-Năm 2019

Mở đầu.

Dãy số lặp tuyến tính trong toán học ở bậc phổ thông bao gồm cấp

số cộng, cấp số nhân, cộng-nhân, dãy Fibonacci, dãy Lucas, dãy Lucas-

Pell,... Các dãy số trên đây là những dãy số tuyến tính cấp một và cấp

hai. Tuy nhiên, công thức tổng quát của các dãy số trên còn ít được biết

đến. Vấn đề trên đây là một trong những mục tiêu nghiên cứu của luận

văn này bằng cách sử dụng phương pháp quy nạp.

Dãy số lặp tuyến tính là cách gọi khác của các phương trình sai phân

tuyến tính. Đối với các dãy số tuyến tính cấp hai và cấp cao hơn, để xác

định số hạng tổng quát, người ta thường sử dụng kỹ thuật phương trình

sai phân. Kỹ thuật này đã được giới thiệu trong chương trình của các

lớp chuyên Toán. Tuy nhiên, ở các lớp phổ thông không chuyên, phương

trình sai phân không được giới thiệu. Vì vậy cần thiết phải có những tìm

tòi các phương pháp giải khác mà kiến thức không vượt quá kiến thức ở

bậc THPT.

Luận văn này sẽ trình bày một số trong những phương pháp ấy. Ý

tưởng chủ đạo của phương pháp là làm giảm dần cấp của các dãy số

lặp(phương trình sai phân) bằng cách đưa vào những biến đổi thích hợp,

có liên quan đến phương trình đặc trưng của các phương trình sai phân.

Bằng cách đó đối với các dãy số lặp tuyến tính cấp ba được đưa về dãy

cấp hai, dãy số cấp bốn được đưa về dãy số cấp ba, nói chung dãy số

cấp cao sẽ được đưa về dãy số cấp thấp hơn. Trong luận văn còn trình

bày phương pháp quy nạp xác định số hạng tổng quát của các dãy số lặp

tuyến tính có dạng khá đẹp về hình thức, thông qua dãy số lặp của các

hệ số.

Bản luận văn gồm phần Mở đầu, ba chương nội dung, Kết luận và Tài

liệu tham khảo.

Chương 1: Phương pháp quy nạp xác định dãy số lặp tuyến tính cấp

hai hệ số hằng , trình bày về định nghĩa và tính chất một vài dãy số với

các số hạng là tổng (hoặc hiệu) của hai hay nhiều số nguyên, trong đó có

dãy số liên kết với hai hằng số hoặc liên kết với một dãy số đã cho. Sử

dụng phương pháp quy nạp xác định số hạng tổng quát của các dãy số

cấp hai liên kết với một hoặc hai hằng số.

Chương 2: Phương pháp cấp số xác định dãy số lặp tuyến tính cấp một

và cấp hai , trình bày cơ sở lý thuyết của phương pháp đưa dãy số lặp cấp

hai hệ số hằng(phương trình sai phân cấp hai) về cấp số nhân(phương

trình sai phân cấp một thuần nhất), hay cấp số cộng-nhân(phương trình

sai phân cấp một không thuần nhất đặc biệt).

Chương 3: Dãy số lặp tuyến tính cấp ba và cấp bốn, trình bày cơ sở lý

thuyết của phương pháp đưa dãy số lặp cấp ba và cấp cao hơn về dãy số

lặp tuyến tính có cấp thấp hơn.

Luận văn được hoàn thành dưới sự giúp đỡ của Thầy: TS. Nguyễn

Văn Ngọc. Dù tác giả đã rất cố gắng nhưng không thể tránh khỏi những

thiếu sót. Tôi rất mong nhận được những ý kiến góp ý quý báu của các

thầy, cô và các bạn đồng nghiệp.

Nội dung chính của luận văn được hình thành dựa trên các tài liệu

tham khảo [1]-[5]. Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Thăng

Long, 2018-2019.

Xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, Tháng 9, Năm 2019

Tác giả

Vũ Thị Hà

Chương 1

Phương pháp quy nạp xác định dãy số lặp tuyến tính cấp hai hệ số hằng.

1.1 Dãy số tuyến tính cấp hai liên kết với hai hằng

số.

1.1.1 Khái niệm.

Định nghĩa 1.1. Dãy số Un được gọi là dãy số lặp tuyến tính cấp k hệ số hằng nếu

Un+k = aUn+k−1 + bUn+k−2 + ... + cUn + f (n).

trong đó a, b, ..., c là các hằng số, f (n) là biểu thức đã biết. Nếu f n) ≡ 0,

thì dãy được gọi là thuần nhất, trường hợp còn lại được gọi là không thuần

nhất.

Ví dụ, dãy cấp số cộng và dãy cấp số nhân, cấp số cộng-nhân

Un+1 = Un + b, Un+1 = aUn, Un+1 = aUn + b

là những dãy cấp một. Cấp số nhân là dãy số cấp một thuần nhất, cấp

số cộng và cấp số cộng-nhân với b (cid:54)= 0 là những dãy số cấp một không

thuần nhất.

Dãy số Fibonacci Fn với bất kỳ n ≥ 1 và F0 = 0, F1 = 1 dạng

Fn+1 = Fn + Fn−1

là dãy số tuyến tính cấp hai thuần nhất.

Định nghĩa 1.2. Cho các số nguyên a, b và U0, U1. Lập dãy số Un dạng

(1.1)

Un+1 = aUn + bUn−1

với n ≥ 1. Dãy số (Un) được gọi là dãy số liên kết với hai hằng số a, b sinh bởi U0, U1.

Cho các số nguyên a, b và G0 = 0, G1 = 1. Dãy số (Gn) dạng

(1.2)

Gn+1 = aGn + bGn−1

với n ≥ 1 được gọi là dãy số cơ sở của dãy số Un.

Định nghĩa 1.3. Cho các số nguyên a và V0, V1. Lập dãy số (Vn) dạng

(1.3)

Vn+1 = aVn + Vn−1

với n ≥ 1. Dãy số (Vn) được gọi là dãy số liên kết loại một với hằng số a sinh bởi V0, V1.

Cho các số nguyên a và H0 = 0, H1 = 1. Dãy số (Hn) dạng

(1.4)

Hn+1 = aHn + Hn−1

với n ≥ 1 được gọi là dãy số cơ sở của dãy số (Vn).

Định nghĩa 1.4. Cho các số nguyên b và Z0, Z1. Lập dãy số (Zn) dạng

(1.5)

Zn+1 = Zn + bZn−1

với n ≥ 1. Dãy số (Zn) được gọi là dãy số liên kết loại hai với hằng số b sinh bởi Z0, Z1.

Cho các số nguyên b và K0 = 0, K1 = 1 thì dãy số (Kn) dạng

(1.6)

Kn+1 = Kn + bKn−1

với n ≥ 1 được gọi là dãy số cơ sở của dãy số (Zn).

Mệnh đề 1.1. Cho dãy số Un+1 = aUn + bUn−1 với n ≥ 1, liên kết với hai hằng số a, b sinh bởi U0, U1. Xét dãy số (Dn) được xác định bởi

(1.7)

Dn = Un+1 + bUn−1

với D0 = 2U1 − aU0, D1 = aU1 + 2bU0. Khi đó có công thức

(1.8)

Dn+1 = aDn + bDn−1,

tức là dãy (Dn) cũng là dãy số liên kết với hai hằng số a và b.

1.1.2 Ví dụ.

Ví dụ 1.1. Dãy số Fibonacci Fn với bất kì n ≥ 1 và F0 = 0, F1 = 1 dạng

(1.9)

Fn+1 = Fn + Fn−1

là dãy số liên kết loại một với hằng số a = 1. Mười số hạng đầu tiên của

dãy số này là:

F0 = 0, F1 = 1, F2 = 1, F3 = 2, F4 = 3, F5 = 5,

F6 = 8, F7 = 13, F8 = 21, F9 = 34, F10 = 55, · · ·

Dãy số này mang tên nhà toán học người Italia là Leonardo Pisano

(khoảng 1170 đến khoảng 1250), nghĩa là Leonardo ở thành phố Pisa.

Người Italia cũng gọi ông là Fibonacci, nghĩa là con ông Bonaccio (bố

ông lấy biệt hiệu là Bonaccio).

Nhiều nhà toán học đã nghiên cứu và đưa ra các hệ thức giữa các số

hạng của dãy số Fibonacci như Lucas, Binet, Cassini, Catalan, D’Ocagne,· · ·

Ví dụ 1.2. Dãy số Lucas Ln với bất kì n ≥ 1 và L0 = 2, L1 = 1 dạng

(1.10)

Ln+1 = Ln + Ln−1

là dãy số liên kết loại một với hằng số a = 1. Mười số hạng đầu tiên

của dãy số này là:

L0 = 2, L1 = 1, L2 = 3, L3 = 4, L4 = 7, L5 = 11,

L6 = 18, L7 = 29, L8 = 47, L9 = 76, L10 = 123. . . .

Dãy số này được nhà toán học người Pháp là Fran¸cois Édouard Anatole

Lucas nghiên cứu.

Ví dụ 1.3. Dãy số Fibonacci tổng quát Wn với n ≥ 1 và hai số W0, W1 dạng

(1.11)

Wn+1 = Wn + Wn−1

là dãy số liên kết loại một với hằng số a = 1. Dãy số Fibonacci Fn là dãy số cơ sở của dãy số Wn. Dãy số Lucas Ln là trường hợp riêng của dãy số Wn khi W0 = L0 = 2, W1 = L1 = 1.

Ví dụ 1.4. Dãy số Pell Pn với n ≥ 1 và P0 = 0, P1 = 1 dạng

(1.12)

Pn+1 = 2Pn + Pn−1

là dãy số liên kết loại một với hằng số a = 2. Mười số hạng đầu tiên của

dãy số Pn là:

P0 = 0, P1 = 1, P2 = 2, P3 = 5, P4 = 12, P5 = 29,

P6 = 70, P7 = 169, P8 = 408, P9 = 985, . . .

Ví dụ 1.5. Dãy số Lucas- Pell Qn với n ≥ 1 và Q0 = 2, Q1 = 2 dạng

(1.13)

Qn+1 = 2Qn + Qn−1

là dãy số liên kết loại một với hằng số a = 2. Chín số hạng đầu tiên của

dãy số Qn là:

Q0 = 2, Q1 = 2, Q2 = 6, Q3 = 14, Q4 = 34,

Q5 = 82, Q6 = 198, Q7 = 478, Q8 = 1154, . . .

Ví dụ 1.6. Dãy số Tn với n ≥ 1 và hai số T0, T1 dạng

(1.14)

Tn+1 = 2Tn + Tn−1

là dãy số liên kết loại một với hằng số a = 2. Dãy số Pell Pn là dãy số cơ sở của dãy số Tn. Dãy số Lucas- Pell Qn là trường hợp riêng của dãy số Tn khi T0 = Q0 = 2, T1 = Q1 = 2.

1.2 Xác định các dãy số liên kết tuyến tính cấp

hai bằng phương pháp quy nạp.

1.2.1 Dãy số {Kn}.

• Xét dãy số được cho bởi công thức

(1.15)

K1 = K2 = 1, Kn+1 = Kn + bKn−1(n ≥ 2).

• Thực hiện tính toán chúng ta có các công thức sau đây:

K1 = 1,

K2 = 1,

K3 = 1 + b,

K4 = 1 + 2b, K5 = 1 + 3b + b2,

.......................

•Để tiện tính toán các số Kn ta lập quy tắc tính các hệ số của bm dưới đây:

2m+1 = 1 với mọi n ≥ 1, m ≥ 1, tức là số ở cột 0( b0) và số

n = km

n của bm ở cột m hàng n (n > m ≥ 0), trong đó cột m ghi số mũ của b, hàng n ghi thứ tự của Kn. Các hệ số này được sắp xếp theo các quy luật ghi số như sau: Q1. k0 ở cột m (bm) hàng 2m +1 đều là số 1. Q2. k1

n+2 = n với mọi n ≥ 1, tức là số ở cột 1( b1) là dãy số nguyên

Trong bảng số hình tam giác ghi các hệ số km

n + km+1

n+1 = km+1

n+2 với mọi n ≥ 2m + 2.

dương liên tiếp kể từ n = 1. Q3. km

Định lý 1.1. Có các hệ thức sau đây

2nb2 + . . . + kn−2

2n bn−2 + kn−1

2n bn−1,

(1.16)

(1.17)

K2n = 1 + k1 K2n+1 = 1 + k1

2n+1bn,

2nb + k2 2n+1b + k2

2n+1b2 + . . . + kn−1

2n+1bn−1 + kn

trong đó

n + km+1 km

n+1 = km+1 n+2

(1.18)

1.2.2 Dãy số {Hn}.

• Xét dãy số {Hn} được xác định theo công thức

H1 = 1, H2 = a, Hn+1 = aHn + Hn−1, n ≥ 2.

• Thực hiện tính toán chúng ta có các công thức sau đây:

H1 = 1,

H2 = a, H3 = a2 + 1, H4 = a3 + 2a, H5 = a4 + 3a2 + 1,

.......................

n là hệ số của am trong Hn.

• Quy ước về các hệ số. Ký hiệu hm HQ1. hn HQ2. h0 HQ3. hm

n+1 = 1, 2n+1 = 1, n + hm+1

n−1 = hm+1 n+1 .

Định lý 1.2. Có các hệ thức sau đây

(1.19)

(1.20)

H2n = a2n−1 + h2n−3 H2n+1 = a2n + h2n−2

2na3 + h1 2na, 2n+1a2 + 1,

2n a2n−3 + h2n−5 2n+1a2n−2 + h2n−4

2n a2n−5 + ... + h3 2n+1a2n−4 + ... + h2

trong đó

n + hm+1 hm

n−1 = hm+1 n+1 .

(1.21)

1.2.3 Dãy số {Gn}.

• Xét dãy số {Gn} được xác định theo công thức

G1 = 1, G2 = a, Gn+1 = aGn + bHn−1, n ≥ 2.

• Thực hiện tính toán chúng ta có các công thức sau đây:

G1 = 1,

G2 = a, G3 = a2 + b, G4 = a3 + 2ab, G5 = a4 + 3a2b + b2,

.......................

Định lý 1.3. Có các hệ thức sau đây

G2n = a2n−1 + k1

2na2n−3b + k2

2na2n−5b2 + . . . + kn−2

2n a3bn−2 + kn−1

= a2n−1 + h2n−3

2na3bn−2 + h1

2n a2n−3b + h2n−5

2n a2n−5b2 + . . . + h3

G2n+1 = a2n + k1

2n+1a2n−2b + k2

2n+1a2n−4b2 + . . . + kn−1

2n+1a2bn−1 + kn

= a2n + h2n−2

2n+1a2bn−1 + h0

2n+1a2n−2b + h2n−4

2n+1a2n−4b2 + . . . + h2

2n abn−1 (1.22) 2nabn−1, (1.23) 2n+1bn (1.24) 2n+1bn. (1.25)

n thỏa mãn các quy ước KQ1-KQ3, còn các hệ số

trong đó các hệ số km hm n thì thỏa mãn các quy ước HQ1-HQ3.

1.2.4 Nhận xét.

• Viết các số hạng đầu tiên Kn, Gn và Hn ở dạng "tam giác cân "sau đây : Hàng n Kn+1 = Kn + bKn−1 Gn+1 = aGn + bGn−1 Hn+1 = aHn + Hn−1

1 2 3 4 5 6 ... 1 1 1+b 1+2b 1 + 3b + b2 1 + 4b + 3b2 ........... 1 a a2 + b a3 + 2ab a4 + 3a2b + b2 a5 + 4a3b + 3ab2 ..................... 1 a a2 + 1 a3 + 2a a4 + 3a2 + 1 a5 + 4a3 + 3a ............

• Các hệ số của a và b trong biểu thức của Hn, Gn, Kn giống nhau, trong Kn thì số mũ của b tăng dần theo dãy số tự nhiên, trong Hn thì số mũ của a giảm dần theo dãy số tự nhiên chẵn hoặc theo dãy số tự nhiên lẻ,

còn trong Gn thì các số mũ của b tăng giống của Kn và giảm giống của Hn.

Chương 2

Phương pháp cấp số xác định dãy số lặp tuyến tính cấp một và cấp hai.

2.1 Dãy cấp số.

2.1.1 Dãy cấp số cộng.

Xét dãy số

(2.1)

Un+1 = Un + b, n = 0, 1, ..., b (cid:54)= 0, U0 đã biết.

Bằng phương pháp quy nạp ta có công thức xác định số hạng tổng quát

của cấp số cộng:

(2.2)

Un = U0 + (n − 1)b, n = 1, 2, ...

2.1.2 Dãy cấp số nhân.

Xét dãy số

(2.3)

Un = aUn−1, n = 1, ..., a (cid:54)= 0, U0 đã biết

Bằng phương pháp quy nạp ta có công thức xác định số hạng tổng quát

của cấp số cộng:

(2.4)

Un = U0an, n = 0, 1, 2, ...

2.1.3 Dãy số cộng - nhân.

Xét dãy số được xác định bởi công thức

(2.5)

Un = aUn−1 + b, n = 1, ..., a (cid:54)= 1, b (cid:54)= 0, U0 đã biết

Bằng phương pháp quy nạp dễ dàng có được công thức xác định số hạng

tổng quát

(2.6)

Un = U0an + bSn(a).

trong đó

  (2.7)

Sn(a) =

, nếu a (cid:54)= 1.



n, nếu a = 1, 1 − an 1 − a

Nhận xét 2.1. Khi a = 1, b (cid:54)= 0 dãy số cộng-nhân trở thành dãy cấp số

cộng, còn khi a (cid:54)= 0, b = 0 dãy số cộng-nhân là dãy cấp số nhân.

2.1.4 Các bài toán.

Bài toán 2.1. Xác định công thức tổng quát của dãy số

Un = aUn−1 + bn + c, a, b, c (cid:54)= 0, U0 = d.

n +

.

Kết quả: Un = an−1(ad − b − c) −

b a

b + c a

Bài toán 2.2. Xác định công thức tổng quát của dãy số

Un = 2Un−1 + an2 + bn + c, a, b, c (cid:54)= 0, U0 = d.

Kết quả: Công thức của số hạng tổng quát là Un = 2n(6a − 2b + c + d) − an2 + (b − 4a)n − 6a + 2b − c.

Bài toán 2.3. Xác định công thức tổng quát của dãy số

Un = aUn−1 + bcn, a, b, c (cid:54)= 0, c (cid:54)= a, U0 = d.

Kết quả: Công thức số hạng tổng quát của dãy số là

(cid:17)

+

.

Un = an(cid:16)dc − da − bc

c − a

bcn+1 c − a

Bài toán 2.4. Xác định công thức tổng quát của dãy số

Un = aUn−1 + ban, a, b (cid:54)= 0, U0 = d.

Kết quả: Un = an(nb + d).

2.2 Phương pháp cấp số biểu diễn dãy số tuyến

tính cấp hai hệ số hằng thuần nhất.

2.2.1 Công thức biểu diễn.

Mục này trình bày phương pháp xác định dãy số

(2.8)

Un+1 = aUn + bUn−1, n ∈ N

theo các giá trị đầu U0, U1, biến số n và các hệ số a, b. Chúng ta luôn luôn giả sử rằng U0, U1, Un, a và b là các số thực.

Định lý 2.1. Hệ thức (2.8) tương đương với hệ thức

(2.9)

Un+1 − xUn = (a − x)(Un − xUn−1) + (b + ax − x2)Un−1,

trong đó x là một số tùy ý(thực hoặc phức).

Chứng minh. Thật vậy, khai triển vế phải của (2.9) rồi ước lượng các số

hạng đồng dạng ta nhận được hệ thức (2.8).

Định nghĩa 2.1. Phương trình

(2.10)

x2 − ax − b = 0

được gọi là phương trình đặc trưng của hệ thức (2.8).

Ký hiệu α, β là các nghiệm của phương trình đặc trưng (2.10). Chúng

ta có công thức Viet

(2.11) (cid:26)α + β = a, αβ = −b

Định lý 2.2. Cho dãy số tuyến tính cấp hai liên kết với các hằng số a, b

và hai số nguyên U0, U1 cho trước dạng (2.8) với n ≥ 1. 1. Giả sử a2 + 4b ≥ 0 và α, β là các nghiệm thực của phương trình x2 − ax − b = 0. Khi đó ta có

a) Nếu α khác β thì

(2.12)

.

Un =

(U1 − U0.α)βn − (U1 − U0.β)αn β − α

b) Nếu α = β tức là a2 + 4b = 0 thì

(2.13)

Un = nαn−1U1 − (n − 1)αnU0.

2. Giả sử a2 + 4b < 0 và α, β là các nghiệm phức của phương trình x2 − ax − b = 0. Khi đó ta có

(2.14)

Un = −

U0 +

U1,

ρn sin(n − 1)ϕ sin ϕ

ρn−1 sin nϕ sin ϕ

trong đó ρ và ϕ tương ứng là modul và argument của số phức α ở dạng

lượng giác.

2.2.2 Các bài toán.

Bài toán 2.5. (Dãy Fibonacci). Xét bài toán:

Fn+1 = Fn + Fn−1, F0 = 0, F1 = 1.

Kết quả: số hạng tổng quát Fn được xác định bởi công thức

√

5)n

(1 +

5)n − (1 − √

.

Fn =

2n

5 √

Chú ý rằng trong Toán học và thực tế, người ta thường ký hiệu

5 + 1 2

bằng chữ ϕ :

√

ϕ =

≈ 1, 618

5 + 1 2

và gọi nó là tỷ lệ Vàng, hay tỷ lệ Thần Thánh. Ý nghĩa hình học của tỷ

lệ vàng là: tỷ lệ giữa nửa chu vi và cạnh dài của một hình chữ nhật bằng

ϕ là tỷ lệ vàng, và hình chữ nhật có tỷ lệ vàng là hình chữ nhật lý tưởng.

Bài toán 2.6. (Dãy Lucas). Xét bài toán:

Ln+1 = Ln + Ln−1, L0 = 2, L1 = 1.

Kết quả:

√

(1 +

5)n

.

Ln =

5)n + (1 − 2n

Bài toán 2.7. (Dãy Pell). Xét bài toán:

Pn+1 = 2Pn + Pn−1, P0 = 0, P1 = 1.

Kết quả: Công thức số hạng tổng quát của dãy số được cho bởi công thức

√

2)n

(1 +

.

Pn =

2)n − (1 − √ 2

2

Bài toán 2.8. Xét bài toán

Un+2 = 8Un+1 − 16Un, U0 = 1, U1 = 16.

Lời giải. Phương trình đặc trưng

x2 − 8x + 16 = 0

có nghiệm kép α = β = 4. Theo công thức (2.13) ta có

Un = nαn−1U1 − (n − 1)αnU0 = n4n−116 − (n − 1)4n = (1 + 3n)4n.

Bài toán 2.9. Xét bài toán

.

Un+1 = Un − Un−1, U0 = 1, U1 =

1 2

Kết quả: Un = cos nπ/3.

2.3 Dãy không thuần nhất.

2.3.1 Công thức biểu diễn.

Mục này trình bày phương pháp xác định dãy số

(2.15)

Un+1 = aUn + bUn−1 + f (n), n ∈ N

theo các giá trị đầu U0, U1, biến số n và các hệ số a, b và hàm số f (n). Chúng ta luôn giả thiết rằng U0, U1, a, b và f (n) là các số thực. Đối với trường hợp f (n) = c = const ta có các kết quả sau:

Định lý 2.3. Cho dãy số tuyến tính cấp hai liên kết với các hằng số

a, b, c và hai số nguyên U0, U1 cho trước dạng (2.15) với n ≥ 1.

1. Giả sử a2 + 4b ≥ 0 và α, β là các nghiệm thực của phương trình

x2 − ax − b = 0. Khi đó ta có

a) Nếu α khác β thì

(2.16)

+

,

Un =

(U1 − U0.α)βn − (U1 − U0.β)αn β − α

[Sn(β) − Sn(α)]c β − α

trong đó Sn(α) được xác định theo công thức (2.7). b) Nếu α = β tức là a2 + 4b = 0 thì

Un = nαn−1U1−(n−1)αnU0+[(n−1)αn−2+(n−2)αn−3+..+3α2+2α+1]c. (2.17) 2. Giả sử a2 + 4b < 0 và α, β là các nghiệm phức của phương trình

x2 − ax − b = 0. Khi đó ta có

Un = −

U0 +

U1

ρn sin(n − 1)ϕ sin ϕ

ρn−1 sin ϕ sin ϕ

(2.18)

+

.c

sin ϕ + ρn−1 sin nϕ + ρn sin(n − 1)ϕ (1 + ρ2) sin ϕ

trong đó ρ và ϕ tương ứng là modul và argument của số phức α ở dạng

lượng giác.

2.3.2 Các bài toán

Bài toán 2.10. Xét bài toán

Un+1 = −2Un + 3Un−1 + 4, U0 = 3, U1 = 0.

Kết quả: Un = (−3)n + n + 2.

Bài toán 2.11. Xét bài toán

Un+1 = 6Un − 9Un−1 + 3, U0 = 0, U1 = 1.

Kết quả:

Un = n.3n−1 + [(n − 1).3n−2 + (n − 2).3n−3 + .. + 3.32 + 2.3 + 1].3

Bài toán 2.12. Xét bài toán

Un+1 = Un + Un−1 + kn2 + ln + m, U0 = p, U1 = q,

trong đó k, l, m, p và q là các số đã cho

Bài toán 2.13. Xét bài toán

Un+1 = 3Un − 2Un−1 + 3n, U0 = p, U1 = q,

trong đó p và q là các số đã cho.

Bài toán 2.14. Xét bài toán

Un+1 = aUn + bUn−1 + kn2 + ln + m + cn, U0 = p, U1 = q,

trong đó a, b, c, k, l, m, p và q là các số đã cho, ngoài ra c (cid:54)= 0 và c (cid:54)= 1.

Chương 3

Dãy số lặp tuyến tính cấp ba và cấp bốn.

3.1 Dãy số lặp tuyến tính cấp ba thuần nhất. Trường

hợp phương trình đặc trưng có các nghiệm thực phân biệt.

Mục này trình bày phương pháp xác định dãy số

(3.1)

Un+2 = aUn+1 + bUn + cUn−1, n ∈ N

theo các giá trị đầu U0, U1, U2, biến số n và các hệ số a, b, c. Chúng ta luôn giả thiết rằng U0, U1, U2, a, b, c là các số thực.

3.1.1 Các biến đổi cơ bản.

Định lý 3.1. Đẳng thức

(3.2)

Un+2 = aUn+1 + bUn + cUn−1, n ∈ N

tương đương với

Un+2 − xUn+1 = (a − x)(Un+1 − xUn) + (b + ax − x2)(Un − xUn−1)

(3.3)

+ (c + bx + ax2 − x3)Un−1.

Định nghĩa 3.1. Phương trình

(3.4)

x3 − ax2 − bx − c = 0

được gọi là phương trình đặc trưng của dãy (3.1).

Tiếp theo, giả sử rằng α, β, γ là các nghiệm của phương trình bậc ba

Theo định lý Viet ta có

 



α + β + γ = a, αβ + βγ αβγ

+γα = −b, = c.

Vì phương trình bậc ba với các hệ số thực bao giờ cũng có ít nhất một

nghiệm thực, nên không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả thiết

rằng α là số thực. Trong (3.4) lần lượt thay x bằng α, β, γ. Đối với x = α

ta có

Un+2 − αUn+1 = (a − α)(Un+1 − αUn) + (b + aα − α2)(Un − αUn−1). (3.5)

Đặt

(3.6)

Vn(α) = Un+1 − αUn.

Các đại lượng Vn(α), n = 0, 1, 2 được biểu diễn theo các đại lượng đã biết U0, U1, U2. Khi đó hệ thức trong (3.5) được viết ở dạng

Un+2 − αUn+1 = Vn+1(α) = (a − α)Vn(α) + (b + aα − α2)Vn−1(α).

(3.7)

Dãy Vn(α) trong (3.7) là dãy số lặp tuyến tính cấp hai đã được nghiên

cứu trong Chương 1.

3.1.2 Công thức biểu diễn

Un = U0αn +

(3.8)

.

(cid:104) +

−

(cid:104)U2 − (α + γ)U1 + αγU0 β − γ U2 − (α + β)U1 + αβU0 β − γ (cid:105)αn − βn α − β (cid:105)αn − γn α − γ

Đổi chỗ α tương ứng với β và γ ta có các công thức biểu diễn tương ứng.

3.1.3 Các bài toán

Bài toán 3.1. Xét bài toán

Un+2 = 6Un+1 − 11un + 6Un−1, U0 = 0, U1 = 1, U2 = 2.

+ 2n+1 −

.

Kết quả: Un = −

3 2

3n 2

3.2 Dãy số lặp tuyến tính cấp ba thuần nhất. Trường

hợp phương trình đặc trưng có nghiệm kép hay nghiệm bội.

3.2.1 Trường hợp nghiệm kép.

Giả sử rằng phương trình (3.4) có ba nghiệm thực α (cid:54)= β = γ. Trong

trường hợp này, theo kết quả đối với dãy số cấp 2 trong Chương 2. Ta có

công thức của số hạng tổng quát

Un = αnU0 + [(n − 1)βn−2 + (n − 2)α.βn−3 + ...+

(3.9)

+ 2αn−3β + 1.αn−2](U2 − αU1) − [(n − 2)βn−1 + (n − 3)αβn−2 + ...+ + 1.αn−3β2 + (−1)αn−1](U1 − αU0).

Bài toán 3.2.

Un+2 = 7Un+1 − 11Un + 5Un−1, U0 = 0, U1 = 1, U2 = 3, n ≥ 1.

(3.10)

Kết quả:

+

−

.

Un =

5n 16

3n 4

1 16

3.2.2 Trường hợp nghiệm bội ba

Giả sử rằng phương trình (3.4) có ba nghiệm thực α = β = γ. Khi đó

từ công thức (3.9) ta có công thức xác định số hạng tổng quát

Un = αnU0 + αn−2 n(n − 1)

(U2 − αU1)

2

(3.11)

− αn−1(cid:104)(n − 1)(n − 2) − 2

(cid:105) (U1 − αU0).

2

Bài toán 3.3. Xét bài toán

(3.12)

Un+2 = 3Un+1 − 3Un + Un−1, U0 = 0, U1 = 1, U2 = 3.

.

Kết quả: Un =

n2 + n 2

3.3 Dãy số lặp tuyến tính cấp ba thuần nhất. Trường

hợp phương trình đặc trưng có nghiệm phức.

3.3.1 Dạng lượng giác của các số phức liên hợp.

Giả sử rằng phương trình (3.4) có nghiệm thực γ và hai nghiệm phức

α, β. Khi đó α và β là các số phức liên hợp với nhau. Giả sử chúng có

dạng lượng giác:

α = ρ(cos ϕ + i sin ϕ), β = ρ(cos ϕ − i sin ϕ),

trong đó i là đơn vị số ảo, ρ và ϕ tương ứng được gọi là modul và argument

của số phức α.

3.3.2 Công thức biểu diễn.

Giả sử α và β là các số phức liên hợp. Trong trường hợp này ta có

công thức biểu diễn của số hạng tổng quát

(cid:105) Im

+

Un = U0γn −

γn−1 α

Im (3.13)

+

(cid:104)αn−1 − γn−1 α − γ (cid:105) .

ρ(U1 − γU0) sin ϕ (U2 − γU1) ρ sin ϕ

(cid:104)αn − γn α − γ

3.3.3 Các bài toán.

Bài toán 3.4. Xét bài toán:

Un+2 = 5Un+1 − 8Un + 6Un−1, U0 = 0, U1 = 1, U2 = 2.

Kết quả:

√

2)1 cos 1.π/4 + ...+

Un = 3n−1 + 3n−2( √

√

+ 3(

2)n−2 cos(n − 2)π/4 + (

2)n−1 cos(n − 1)π/4.

3.4 Dãy số cấp ba không thuần nhất.

3.4.1 Biến đổi cơ bản.

Định lý 3.2. Đẳng thức

(3.14)

Un+2 = aUn+1 + bUn + cUn−1 + f (n), n ∈ N

tương đương với

Un+2 − xUn+1 = (a − x)(Un+1 − xUn) + (b + ax − x2)(Un − xUn−1)

(3.15)

+ (c + bx + ax2 − x3)Un−1 + f (n),

trong đó f (n) là một hàm đã cho theo biến n.

Giả sử α, β, γ là các nhiệm của phương trình đặc trưng (3.4)

(3.16)

x3 − ax2 − bx − c = 0

Trong (3.15) lần lượt thay x bằng α, β, γ. Đối với x = α ta có

Un+2 − αUn+1 = (a − α)(Un+1 − αUn) + (b + aα − α2)(Un − αUn−1)

(3.17)

+ f (n),

Đặt

Vn(α) = Un+1 − αUn, Vn(β) = Un+1 − βUn, Vn(γ) = Un+1 − γUn.

(3.18)

Các đại lượng Vn(α), n = 0, 1, 2 được biểu diễn theo các đại lượng đã biết U0, U1, U2. Khi đó hệ thức (3.5) được viết ở dạng

Un+2 − αUn+1 = Vn+1(α) = (a − α)Vn(α) + (b + aα − α2)Vn−1(α)

(3.19)

+ f (n),

Dãy Vn(α) trong (3.7) là dãy số lặp tuyến tính cấp hai đã được nghiên cứu trong Chương 2 và có công thức nghiệm tổng quát trong trường hợp

f (n) = d = const (cid:54)= 0.

3.4.2 Trường hợp các nghiệm của phương trình đặc trưng là

thực và khác nhau.

Xét phương trình (3.19) với giả thiết f (n) = d. Chúng ta có công thức

của số hạng tổng quát

Un = U0αn +

(cid:104) +

−

n−2 (cid:88)

(cid:104)U2 − (α + γ)U1 + αγU0 β − γ U2 − (α + β)U1 + αβU0 β − γ (cid:105)αn − βn α − β (cid:105)αn − γn α − γ

(3.20)

+

αk[Sn−1−k(β) − Sn−1−k(γ)].

d β − γ

k=0

Thay đổi vai trò của các số α, β, γ ta được các công thức tương tự tương

ứng.

3.5 Dãy số lặp tuyến tính cấp bốn.

3.5.1 Các biến đổi cơ bản.

Xét dãy số lặp tuyến tính cấp bốn

(3.21)

Un+3 = aUn+2 + bUn+1 + cUn + dUn−1 + e,

trong đó a, b, c, d, e là những số thực đã biết, còn Un−1, Un, Un+1, Un+2 và Un+3 là những số thực chưa biết, nhưng cho biết các đại lượng U0, U1, U2, U3. Mục đích của mục này là trình bày cách đưa dãy số cấp bốn (3.21) về

các dãy số cấp ba, đã được nghiên cứu ở các mục trên.

Định lý 3.3. Hệ thức (3.21) tương đương với hệ thức sau đây

Un+3 − xUn+2 = (a − x)(Un+2 − xUn+1) + (b + ax − x2)(Un+1 − xUn) + (c + bx + ax2 − x3)(Un − xUn−1) + (d + cx + bx2 + ax3 − x4)Un−1 + e,

(3.22)

trong đó x là một số bất kỳ (thực hoặc phức).

Định nghĩa 3.2. Phương trình

(3.23)

x4 − ax3 − bx2 − cx − d = 0

được gọi là phương trình đặc trưng của dãy (3.21).

Ký hiệu các nghiệm của phương trình (3.23) là α, β, γ, δ. Khi đó, ta

có công thức Viet

(3.24)

  

α + β + γ + δ = a, αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ = −b, αβγ + αβδ + αγδ + βγδ = c, αβγδ = −d.

Trước hết xét trường hợp e = 0. Trong (3.22), lần lượt cho x bằng

α, β, γ và δ ta được các dãy cấp ba. Chẳng hạn đối với x = α ta có

Un+3 − αUn+2 = (a − α)(Un+2 − αUn+1) + (b + aα − α2)(Un+1 − αUn)

(3.25)

+ (c + bα + aα2 − α3)(Un − αUn−1).

Đặt

(3.26)

Vn(α) = Un+1 − αUn.

Khi đó hệ thức trong (3.25) được viết ở dạng

Un+3 − αUn+2 = Vn+2(α) = (a − α)Vn+1(α) + (b + aα − α2)Vn(α)

(3.27)

+ (c + bα + aα2 − α3)Vn−1.

Dãy Vn(α) trong (3.27) là những dãy số lặp tuyến tính cấp ba đã được nghiên cứu ở trên với các điều kiện đầu V0, V1, V2, V3 được biểu diễn qua các điều kiện đầu U0, U1, U2, U3. Các vấn đề của dãy số cấp ba Vn(α) đã được xét trong các mục ở trên của chương này, từ đó suy công thức tổng

quát của Un. Các vấn đề đó sẽ không được trình bày trong phần này của luận văn.