TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN
**********
VÕ THỊ VÂN HÒA
TỪ CÂU HỎI TRUYỀN THỐNG ĐẾN
TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
CHỦ ĐỀ:
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
(PHẦN PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG)
HỌC PHẦN
LÝ LUẬN DẠY HỌC TOÁN NÂNG CAO VÀ
ĐÁNH GIÁ TRONG GIÁO DỤC TOÁN
Huế, tháng 4 năm 2017
TL-TN-PTĐT
VÕ THỊ VÂN HÒA
1
Mở đầu
Câu hỏi trắc nghiệm khách quan đã thể hiện nhiều ưu điểm trong đánh giá khả
năng toán của học sinh như đo lường các quá trình tư duy cao hơn, đo lường sự áp
dụng trong những tình huống mới tốt hơn so với câu hỏi tự luận. Ngoài ra, trắc
nghiệm khách quan còn cung cấp các đơn vị kiến thức trên diện rộng, tương đối đủ
và phù hợp với mục tiêu giáo dục toán. Vì vậy, việc chuyển từ câu hỏi truyền thống
sang câu hỏi trắc nghiệm khách quan sẽ phát huy những ưu điểm trên, đồng thời hạn
chế những khuyết điểm của câu hỏi truyền thống.
Một số bài toán minh họa
Bài 1: Cho tam giác 𝑨𝑩𝑪, 𝑴(𝟏;𝟐), 𝑵(𝟎;𝟐), 𝑷(𝟐;𝟑) lần lượt là trung điểm của
𝑨𝑩, 𝑩𝑪, 𝑪𝑨. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
Giải:
Cách 1: 𝑀𝑃, 𝑃𝑁, 𝑁𝑀 là các đường trung bình
của tam giác 𝐴𝐵𝐶 nên ta có:
𝑀𝑃∥𝑁𝐶 𝑃𝑁∥𝑀𝐵 𝑁𝑀∥𝑃𝐴
𝑀𝑃
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
=(1;1) 𝑛𝐵𝐶
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
=(−1;1)
𝑁𝑀
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
=(1;0) 𝑛𝐴𝐶
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
=(0;1)
𝑃𝑁
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
=(−2;−1) 𝑛𝐴𝐵
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
=(1;−2)
Phương trình tổng quát của đường thẳng 𝐵𝐶 đi qua 𝑁(0; 2) và nhận 𝑛𝐵𝐶
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
=(−1;1)
làm vector pháp tuyến là: −𝑥+𝑦−2=0
Phương trình tổng quát của đường thẳng 𝐴𝐵 đi qua 𝑀(1; 2) và nhận 𝑛𝐴𝐵
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
=(1;−2)
làm vector pháp tuyến là: 𝑥−2𝑦+3=0
Phương trình tổng quát của đường thẳng 𝐴𝐶 đi qua 𝑃(2; 3) và nhận 𝑛𝐴𝐶
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
=(0;1)
làm vector pháp tuyến là: 𝑦−3=0
Vì 𝐴 là giao điểm của 𝐴𝐵 và 𝐴𝐶 nên tọa độ điểm 𝐴 là nghiệm của hệ
{𝑥−2𝑦+3=0
𝑦−3=0⇔{𝑥=3
𝑦=3
TL-TN-PTĐT
VÕ THỊ VÂN HÒA
2
Vậy 𝐴(3; 3)
Vì 𝐵 là giao điểm của 𝐴𝐵 và 𝐵𝐶 nên tọa độ điểm 𝐵 là nghiệm của hệ
{ 𝑥−2𝑦+3=0
−𝑥+ 𝑦−2=0⇔{𝑥=−1
𝑦= 1
Vậy 𝐵(−1; 1)
Vì 𝐶 là giao điểm của 𝐵𝐶 và 𝐴𝐶 nên tọa độ điểm 𝐶 là nghiệm của hệ
{−𝑥+𝑦−2=0
𝑦−3=0⇔{𝑥=1
𝑦=3
Vậy 𝐶(1; 3)
Cách 2: 𝑀𝑃, 𝑃𝑁, 𝑁𝑀 là các đường trung bình của tam giác 𝐴𝐵𝐶 nên ta có:
𝑀𝑃∥𝑁𝐶, 𝑀𝑃=𝑁𝐶 𝑃𝑁∥𝑀𝐵, 𝑃𝑁=𝑀𝐵 𝑁𝑀∥𝑃𝐴, 𝑁𝑀=𝑃𝐴
𝑀𝑃
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
=(1;1) 𝑁𝐶
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
=(𝑥𝐶;𝑦𝐶−2)
𝑁𝑀
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
=(1;0) 𝑃𝐴
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
=(𝑥𝐴−2;𝑦𝐴−3)
𝑃𝑁
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
=(−2;−1) 𝑀𝐵
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
=(𝑥𝐵−1;𝑦𝐵−2)
𝑁𝐶
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
=𝑀𝑃
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
⇔{𝑥𝐶 =1
𝑦𝐶−2=1⇔{𝑥𝐶=1
𝑦𝐶=3
Vậy 𝐶(1;3)
𝑃𝐴
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
=𝑁𝑀
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
⇔{𝑥𝐴−2=1
𝑦𝐴−3=0⇔{𝑥𝐴=3
𝑦𝐴=3
Vậy 𝐴(3;3)
𝑀𝐵
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
=𝑃𝑁
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
⇔{𝑥𝐵−1=−2
𝑦𝐵−2=−1⇔{𝑥𝐵=−1
𝑦𝐵= 1
Vậy 𝐵(−1;1)
Cách 3: 𝐴(𝑥𝐴;𝑦𝐴) 𝐵(𝑥𝐵;𝑦𝐵) 𝐶(𝑥𝐶;𝑦𝐶)
{𝑥𝐴+𝑥𝐵=2
𝑦𝐴+𝑦𝐵=4 (I) {𝑥𝐴+𝑥𝐶=4
𝑦𝐴+𝑦𝐶=6 (II) {𝑥𝐵+𝑥𝐶=0
𝑦𝐵+𝑦𝐶=4 (III)
TL-TN-PTĐT
VÕ THỊ VÂN HÒA
3
Từ (I), (II), (III), suy ra
{
𝑥𝐵+𝑥𝐶= 0
𝑥𝐵−𝑥𝐶=−2
𝑦𝐵+𝑦𝐶= 4
𝑦𝐵−𝑦𝐶=−2
𝑥𝐴+𝑥𝐵= 2
𝑦𝐴+𝑦𝐵= 4 ⇔
{
𝑥𝐵=−1
𝑦𝐵= 1
𝑥𝐶= 1
𝑦𝐶= 3
𝑥𝐴= 3
𝑦𝐴= 3
Vậy 𝐴(3;3), 𝐵(−1;1), 𝐶(1;3)
Cách 4: 𝑀𝑃, 𝑃𝑁, 𝑁𝑀 là các đường trung bình của tam giác 𝐴𝐵𝐶 nên ta có:
𝑀𝑃∥𝑁𝐶, 𝑀𝑃=𝑁𝐶 𝑃𝑁∥𝑀𝐵, 𝑃𝑁=𝑀𝐵 𝑁𝑀∥𝑃𝐴, 𝑁𝑀=𝑃𝐴
Suy ra 𝐴𝑀𝑁𝑃, 𝐵𝑁𝑃𝑀, 𝐶𝑃𝑀𝑁 là các hình bình hành.
𝑀𝑃
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
=(1;1) 𝑀𝑁
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
=(−1;0) 𝑀𝐶
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
=(𝑥−1;𝑦−2)
𝑃𝑀
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
=(−1;−1) 𝑃𝑁
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
=(−2;−1) 𝑃𝐵
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
=(𝑥−2;𝑦−3)
𝑁𝑀
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
=(1;0) 𝑁𝑃
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
=(2;1) 𝑁𝐴
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
=(𝑥;𝑦−2)
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta được:
𝑀𝐶
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
=𝑀𝑃
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
+𝑀𝑁
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
⇔{𝑥−1=0
𝑦−2=1⇔{𝑥=1
𝑦=3
Vậy 𝐶(1;3)
Tương tự ta tính được 𝐴(3;3), 𝐵(−1;1)
Bài toán này có khá nhiều cách giải, trong đó mỗi cách thể hiện một hoặc hai
nội dung kiến thức và kỹ thuật giải toán. Chẳng hạn, cách 4 dùng kiến thức về đường
trung bình và quy tắc hình bình hành, còn cách 3 chỉ sử dụng quy tắc trung điểm.
Khi làm bài toán tự luận này, học sinh chỉ lựa chọn giải theo một cách nhất định và
ta cũng chỉ kiểm tra được một kỹ thuật nào đó, ví dụ như cách 3 ta chỉ biết học sinh
dùng quy tắc trung điểm. Trong lúc đó, còn nhiều kỹ thuật ở những cách giải khác
nữa, ví dụ như ta muốn kiểm tra kỹ thuật viết phương trình đường thẳng ở cách 1,
kiến thức về hai vector bằng nhau ở cách 2. Ở đây, các câu hỏi trắc nghiệm sẽ phát
huy tác dụng của mình.
Hoặc là, trong trường hợp cách 1, 2, 4, học sinh cần sử dụng tính chất đường
trung bình. Nếu không nhớ hoặc nhầm lẫn tính chất này thì học sinh không thể làm
TL-TN-PTĐT
VÕ THỊ VÂN HÒA
4
tiếp bài toán được, ta cũng không thể biết học sinh có làm được các kỹ thuật, kiến
thức ở phần sau hay không. Trắc nghiệm khách quan sẽ cho ta cơ hội tìm ra ở phần
nào của bài toán thì học sinh có thể là được. Tận dụng cả bốn cách giải trên, ta có
thể đặt ra các câu hỏi trắc nghiệm tương ứng nhằm kiểm tra nhiều kiến thức, kỹ thuật
hơn . Cụ thể, ta có những câu hỏi trắc nghiệm sau.
Những câu hỏi trắc nghiệm tương ứng
Câu 1: Đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh của tam giác có tính chất nào sau
đây?
A. Định ra trên hai cạnh đó các đoạn thẳng bằng nhau
B. Có độ dài bằng nửa cạnh thứ ba
C. Là đường trung tuyến của tam giác đó
D. Song song với cạnh thứ ba
Để chọn được đáp án đúng là D, học sinh cần biết định nghĩa và tính chất của
đường trung bình.
Phương án A, B, C gây nhiễu cho những học sinh không học kĩ kiến thức, nhớ
mang máng các tính chất.
Câu 2: Cho đường thẳng 𝑑 có vectơ chỉ phương 𝑢
󰇍
=(−2;−1). Hãy tìm một vectơ
pháp tuyến của nó.
A. 𝑛
󰇍
=(−2;4)
B. 𝑛
󰇍
=(−4;−2)
C. 𝑛
󰇍
=(−1;−2)
D. 𝑛
󰇍
=(1;2)
Để chọn được đáp án đúng là A, học sinh phải biết quy tắc đổi tọa độ vector
chỉ phương sang vector pháp tuyến và lưu ý nếu 𝑛
󰇍
là vector pháp tuyến thì 𝑘𝑛
󰇍
cũng
là vector pháp tuyến.
Phương án C, D gây nhiễu cho những học sinh không biết cách đổi tọa độ
vector chỉ phương sang vector pháp tuyến, nhầm dấu.
Câu 3: Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của đường thẳng 𝑑 đi qua
điểm 𝑀(1;2) và có vectơ pháp tuyến 𝑛
󰇍
=(1;−2)?
A. 2𝑥+𝑦−4=0
B. 𝑥−2𝑦+3=0
C. 𝑥+2𝑦+3=0
D. 2𝑥−𝑦=0
Để chọn được đáp án đúng là B, học sinh phải biết viết phương trình tổng quát
của đường thẳng.