TỔNG QUAN VỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAO HOÁN
Quangnx_ltd@yahoo.com
1. Đa tạp không giao hoán
Đa tạp (hoặc đa tạp khả vi) n-chiều là các đa tạp trơn được mô tả bởi hệ tọa độ địa
phương n
xx ,...,
1. Nếu
M
là một đa tạp, thì hệ thống của tất cả các hàm khả vi vô tận
tồn tại trên
M
sẽ được ký hiệu là )(MC
.
Các hàm này thỏa mãn phép cộng và nhân:
)
(
)
(
)
)(
(
x
g
x
f
x
g
f
)
(
)
(
)
)(
(
x
g
x
f
x
fg
)(MC
là một đại số, và là một đại số giao hoán.
Tồn tại các đối tượng hình học khác nhau trên
M
, chúng sẽ được định nghĩa theo dạng
của đại số )(MC
. Khái niệm đầu tiên là trường vectơ.
Một trường vectơ là một hệ của các hàm )(xX k với
n
k
,...,
1
và n
xxx ,...,
1
Trường vectơ có toán tử vi phân:
n
n
x
X
x
X
...
1
1
Đây là một toán tử tuyến tính từ )(MC
vào chính nó – tạm ký hiệu là
X
.
X
thỏa mãn phép tính theo công thức Leibniz:
)
(
)
(
)
(
g
fX
g
f
X
fg
X
Định lý: Các trường vectơ hay các toán tử vi phân tương ứng, là các phép lấy đạo hàm
của )(MC
.
Tương tự cho các đối tượng hình học khác trên M, các form vi phân là các trường
tensor..., đều có thể có định nghĩa thuần túy đại số từ )(MC
.
Ngoài ra, các cấu trúc khác có thể đặt lên đa tạp M như tensor metric Riemann với
tensor cong, các connection, các đạo hàm hiệp biến, các bó vector..., cũng có thể định
nghĩa và nghiên cứu trong văn cảnh đại số này.
Đại số )(MC
là đặc trưng cho đa tạp M, thể hiện bởi định lý sau đây:
Định lý: Hai đa tạp M Và N là diffeomorphic (cùng đa tạp) nếu và chỉ nếu các đại số
của những hàm )(MC
) và )(NC
đẳng cấu (cùng đại số).
Mọi thuộc tính hình học vi phân của đa tạp M được mã hóa trong đại số )(MC
, điều
này được minh họa bởi sơ đồ sau đây:
Đa tạp M → Đại số )(MC
→ Các đối tượng hình học: trường vectơ, trường
tensor, bó vectơ, metric Riemann, connection, đạo hàm hiệp biến, tensor độ cong,…
Sơ đồ biểu thị thực tế mà hình học vi phân của đa tạp M được dựa vào một đại số giao
hoán, đại số )(MC
của các hàm khả vi vô tận. Các thuật ngữ “giao hoán”, “hình học
vi phân” và “đa tạp giao hoán” dẫn tới một gợi ý cho sự khái quát tự nhiên đối với
“hình học vi phân không giao hoán” và “đa tạp không giao hoán”.
Thay cho đại số giao hoán A = )(MC
, là đại số không giao hoán
A
ˆ
, có được theo
một cách nào đó hay từ )(MC
qua thủ tục biến dạng xác định.
Đa tạp giao hoán M Đa tạp không giao hoán ?
↓ ↓
Đại số A = )(MC
→ Đại số không giao hoán
A
ˆ
↓ ↓
Các đối tượng hình học → Các đối tượng hình học
trên M, từ A = )(MC
có được từ
A
ˆ
Nhiều định nghĩa hình học bình thường vẫn còn ý nghĩa trong văn cảnh đại số không
giao hoán.
Định nghĩa của trường vectơ như những phép lấy đạo hàm của
A
ˆ
vẫn ổn. Định nghĩa
các form vi phân với một đạo hàm exterior, với hầu hết các thuộc tính thông thường,
cũng đúng cho các trường tensor. Các bó Vector và các đạo hàm hiệp biến cũng xuất
hiện trong cách tiếp cận này theo dạng riêng..
Một câu hỏi: " Các đối tượng hình học có được từ
A
ˆ
sẽ nằm trên không gian gì?"
Thật hay nếu có thể trả lời: " trên một đa tạp không giao hoán ".
Tuy nhiên, một không gian như vậy không tồn tại. Không có đa tạp nằm bên dưới.
Nói một cách chính xác, Các đối tượng hình học có được từ
A
ˆ
chỉ có ý nghĩa trong
một thế giới thuần túy đại số. Những đa tạp không giao hoán không tồn tại. Nó chỉ là
một khái niệm ảo nhưng nó có thể chỉ đạo trực giác đối với các công việc về cấu trúc
đại số nào đó được sinh từ hình học vi phân bình thường
2. Định lý cơ bản
Trong mục này ta sẽ bàn luận một định lý cổ điển trong giải tích hàm (đại số tuyến tính
vô hạn chiều), là cái sẽ cung cấp cái nhìn cơ bản của một không gian không giao hoán.
Thật ra, nó đã được chứng minh bởi Gelfand và Naimark từ những năm 1940 khi hình
học không giao hoán còn chưa tồn tại.
Để phát biểu định lý, ta nhắc đến hai khái niệm.
1/Không gian topo:
Là một tập họp theo nghĩa là một hệ thống của các tập con mở, hôi tụ, giới hạn và liên
tục. Một không gian topo có thể biến dạng, kéo căng, nhưng không bị xé rách. Bề mặt
của một hình cầu và của một hình khối lập phương trong không gian ba chiều là cùng
một không gian topo. Các không gian topo có thể compact, một thuộc tính luôn luôn
làm đơn giản hóa nhiều vấn đề. Ở n-chiều, không gian Euclide là compact theo nghĩa
đóng (chứa tất cả những điểm giới hạn) và có biên. Các hàm phức liên tục trên một
không gian topo X tạo thành một đại số giao hoán, ký hiệu là C (X)
2/ C*- Đại số:
Khi những nhà vật lý nói về một đại số họ thường hàm ý nói về đại số Lie.
Ví dụ về các đại số cụ thể: đại số giao hoán của những hàm )(MC
hay C (X), đại số
không giao hoán của những ma trận vuông...
Trong các phần tử đại số định chuẩn, “độ lớn”, hay norm, ký hiệu là a, có những tính
chất như bất đẳng thức tam giác. Norm định nghĩa khái niệm về sự hội tụ của dãy
những phần tử. Một đại số định chuẩn được gọi là đầy đủ khi mọi dãy Cauchy hội tụ,
một đại số định chuẩn đầy đủ gọi là đại số Banach.
Trong *- đại số, mỗi phần tử a có một phần tử liên hợp hermitic a*, với những thuộc
tính hiển nhiên như (a*)*= a và (ab)*= b*a*. Cuối cùng, đại số Banach với
2
aaa
, đối với mỗi phần tử a, được gọi là một C*- đại số.
Định lý Gelfand- Naimark:
1) Đại số của những hàm liên tục C(X) của một không gian topo compact X là một đại
số giao hoán C*- đại số, mà trong đó cực đại của hàm f là f, và liên hợp phức f
ˆ
là
liên hợp hermitic
*
f
.
2) Cho một đại số giao hoán phức C*- đại số A, có thể xây dựng một không gian topo
compact X duy nhất, như vậy đại số A có thể xác định với đại số C(X).
Điều này có nghĩa là, có một phép tương ứng 1- 1 giữa các không gian topo compact
và C*- đại số. Định lý ngụ ý mọi thông tin về một không gian topo compact được mã
hóa trong đại số của các hàm. Không gian có thể tự phục hồi theo một cách nhất định
từ đại số.
Nghiên cứu C*- đại số giao hoán nhằm nghiên cứu không gian topo compact, và ngược
lại.
Từ quan điểm chung của hình học không giao hoán đã giải thích ở trên, nó gợi ý:
Nghiên cứu C*- đại số không giao hoán nhằm nghiên cứu không gian topo compact
không giao hoán.
Có thể minh họa điều này bằng sơ đồ:
Không gian topo compact X Không gian topo không giao hoán?
↓↑ ↓?
C*-Đại số giao hoán A = C(X) → C*-Đại số không giao hoán
A
ˆ
↓(định lý GN) ↓
Các đối tượng topo → Các đối tượng theo cách tương tự
trên X, từ A =C(X) có được từ
A
ˆ
(K-lý thuyêt) (K-lý thuyết)
Tương tự như trong trường hợp của những đa tạp, các không gian topo không giao hoán
không tồn tại, nhưng chúng hướng dẫn trực giác nghiên cứu các C*-đại số không giao
hoán tổng quát. Điều này xảy ra trong topo đại số đó là “K-lý thuyết”, là cái rất hữu
hiệu khi khảo sát các vấn đề không giao hoán tổng quát.
3. Những cách tiếp cận khác
Thuật ngữ hình học không giao hoán bây giờ nói chung liên quan đến công việc của
Alain Connes. Tuy nhiên, trước khi bàn luận điều này, Ta tóm tắt lại các cách tiếp cận
khác, hay những hiện thực của cùng ý tưởng cơ bản.
Cơ học cổ điển có không gian pha. Cho một hệ thống N hạt không tương đối tính, đây
đúng là không gian Euclide 6N-chiều, nhưng cho những bối cảnh khác, ví dụ, chuyển
động những hạt trên một bề mặt, dưới những sự ràng buộc nhất định, nó có thể là một
đa tạp vi phân không tầm thường. Đây là một kiểu đa tạp đặc biệt, symplectic. Những
tọa độ đặc biệt, những tọa độ chính tắc j
q và moment j
p. Theo góc độ vật lý, năng
lượng, momen góc,… là những hàm của những tọa độ này. Vì thế ta có một đa tạp M,
không gian pha, và đại số A = )(MC
.
Thuyết lượng tử tương ứng đang tồn tại bằng việc định nghĩa các toán tử trong không
gian Hilbert H, những toán tử đầu tiên j
jPQ ˆ
,
ˆ
thỏa mãn hệ thức giao hoán Heisenberg,
rồi đến biểu thức toán tử trong )
ˆ
,
ˆ
(
ˆ
),( pqfqpf , có nghĩa là ta có thể thay đại số giao
hoán cổ điển A = )(MC
bằng một đại số không giao hoán của quan điểm lượng tử
A
ˆ
, gồm có những toán tử trong không gian Hilbert H.
Sơ đồ trước đây có thể vẽ lại:
Không gian pha Không gian pha không giao hoán?
(đa tạp symplectic M
với các tọa độ j
jqp ,)
↓ ↓?
Đại số giao hoán A = )(MC
→ Đại số không giao hoán
A
ˆ
(của các hàm
)
,
(
q
p
f
trên M) (của các toán tử trong không gian Hilbert H )
↓ ↓
Cơ học cổ điển → Cơ học lượng tử
( với sự tiến hóa theo thời gian ( với sự tiến hóa theo thời gian
và những đối xứng) và những đối xứng)
Chú ý rằng các quan niệm vật lý trong cơ học lượng tử được đại diện bởi các toán tử tự
liên hợp hermitic. Chúng không tạo thành một đại số, tích của hai toán tử hermitic nói
chung không hermitic, trừ khi chúng giao hoán. Do đó đại số
A
ˆ
là đại số phức của các
toán tử, trong đó có các toán tử hermitic nhúng vào. Tương tự đại số A = )(MC
gồm
mọi hàm phức khả vi vô tận trên đa tạp M, với các hàm thực là đại số con theo quan
điểm vật lý, cũng nên lưu ý sự phân biệt giữa được các toán tử có biên và không có
biên.
Ý tưởng ban đầu của sự lượng tử hóa, xây dựng nên lý thuyết cơ học lượng tử từ một lý
thuyết cổ điển đã cho, đơn giản là: Các biểu thức cổ điển ),( j
jqpf dẫn ra các toán
tử )
ˆ
,
ˆ
(
ˆ
j
jQPf trong cơ học lượng tử. Ngoài ra các bracket Poisson { f,g} trở thành các
giao hoán tử
gfi ˆ
,
ˆ
. Tuy nhiên sự gán ghép này là không rõ ràng. Các toán tử j
P
ˆ và
k
Q
ˆ
không phải đều giao hoán, vì thế sự gán một biểu thức toán tử tới một hàm của
k
jqp ˆ
,
ˆ, như một đa thức, là chưa ổn. Những sự lựa chọn khác nhau khả dĩ, dẫn đến
những cách lượng tử hóa khác nhau của một lý thuyết cổ điển đã cho. Lưu ý quan hệ
giữa bracket Poisson cổ điển và giao hoán tử lượng tử phức tạp hơn so với sự quan hệ
1-1 đơn giản được đề cập ở trên, vốn chỉ là dạng bậc thấp nhất trong một chuỗi lũy thừa
theo
bằng cách đối xứng hóa (lượng tử hóa Weyl), hay lượng tử hóa Moyal. Hai sự
lượng tử hóa này chỉ có ý nghĩa cho những không gian pha tuyến tính đơn giản. Từ khởi
đầu của lý thuyết lượng tử, người ta đã tìm kiếm một thủ tục lượng tử hóa dễ hiểu và sự
phân loại của các thủ tục khác nhau này.
Từ trước 1970, Flator, Sternheimer và Lichnerowicz phát triển một hướng tiếp cận được
gọi là sự lượng tử hóa biến dạng. Họ bắt đầu từ một không gian pha, một đa tạp
symplectic tổng quát (hay đa tạp Poisson), cùng với đại số giao hoán của quan điểm cổ
điển )(MC
và cố gắng xây dựng một đại số không giao hoán của quan điểm lượng tử,
bằng việc định nghĩa )(MC
như một không gian vectơ với một định nghĩa tích không
giao hoán mới gọi là tích sao, ký hiệu *. Cấu trúc này sử dụng chuỗi lũy thừa theo
.
Tích * được định nghĩa như một chuỗi lũy thừa, với bậc 0 cho dạng tích giao hoán cổ
điển và dạng bậc 1 chứa bracket Poisson cổ điển.
Họ đã chứng minh rằng các tích sao tồn tại trong một số trường hợp khác nhau và đã
đưa ra những cấu trúc tường minh, cũng như sự phân loại theo ngôn ngữ của lý thuyết
đối đồng điều. Kết quả là một đại số
A
ˆ
tương tự như A = )(MC
là một không gian
vector, nhưng khác với một đại số. Đại số
A
ˆ
lượng tự còn phải đại diện cho một đại số
toán tử trong không gian Hilbert H nào đó.
Vài năm gần đây, đã có sự phát triển mạnh về sự lượng tử hóa biến dạng như một lý
thuyết thuần túy toán học. Đó là cách tiếp cận tới hình học không giao hoán bởi John
Madore và Giovanni Landi, người mà cả hai có đã viết sách về hình học không giao
hoán theo cách tổng quát và đặc biệt là trong các công trình nghiên cứu của họ. Julius
Wess, một trong những nhà phát minh của sự đối xứng và siêu hấp dẫn, đã phát triển
một cách tiếp cận trong đó những tọa độ nào
x
của spacetime bị biến dạng, với
0],[
xx được thay bằng
ixx ]
ˆ
,
ˆ
[.
Cuối cùng, để hiện thực hóa ý tưởng của hình học không giao hoán, cần phải đề cập đến
những siêu đa tạp, siêu đối xứng và siêu hấp dẫn. Đại số
A
ˆ
của những hàm trên một
