Bài toán điều khiển tối ưu: Ứng dụng nguyên lí biến phân Ekeland

KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014

ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND

TRONG BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƢU

Nguyễn Thị Tâm, Lớp K60C, Khoa Toán – Tin

GVHD: TS. Nguyễn Như Thắng

Tóm tắt: Báo cáo trình bày một ứng dụng của nguyên lí biến phân Ekeland trong lí thuyết điều khiển

tối ưu. Cụ thể, chúng tôi sẽ thảo luận một mở rộng của nguyên lí cực tiểu Pontryagin cho điều khiển

tối ưu xấp xỉ.

Từ khóa: Phương pháp biến phân Ekerland, nguyên lí cực tiểu Pontryagin, hàm mục tiêu Bolza.

I. MỞ ĐẦU

Lí thuyết điều khiển tối ƣu xuất hiện từ những năm 50 của thế kỉ hai mƣơi với một

loạt các công trình tiêu biểu của các nhà toán học Xô Viết. Bài toán điều khiển tối ƣu là bài

toán tìm các quá trình tối ƣu cho các hệ điều khiển mô tả bởi các phƣơng trình toán học.

Nền tảng của lí thuyết điều khiển tối ƣu là nguyên lí cực đại (cùng với các các dạng

biến thể) và một loạt các công trình của các nhà toán học Xô Viết đứng đầu là L.C.

Pontryagin. Nguyên lí cực đại cổ điển là một biểu thức cực trị toán học mà từ đó ta có thể

đoán nhận đƣợc điều khiển là tối ƣu hay không, tức là cho ta một điều kiện cần của bài

toán điều khiển tối ƣu, chi tiết có thể xem trong [5]. Tuy nhiên, không phải lúc nào ta cũng

tìm đƣợc điều kiện cần của bài toán điều khiển tối ƣu. Mặt khác, theo nguyên lí cực đại cổ

điển dù có tìm ra điều kiện tối ƣu thì theo quan điểm kiến thiết, việc xây dựng thuật toán để

tìm các điều kiện tối ƣu cũng gặp rất nhiều khó khăn và có thể là không tìm ra cụ thể.

Để phần nào giải quyết hai vấn đề đó, trong báo cáo này chúng tôi áp dụng nguyên lí

Ekeland vào bài toán điều khiển tối ƣu để mở rộng nguyên lí cực đại Pontryagin cho

trƣờng hợp nghiệm tối ƣu xấp xỉ, tức là các điều kiện có giá trị ngay cả khi bài toán tối ƣu

ban đầu không có nghiệm chính xác. Vào đầu những năm 70, nhà toán học Ivar I. Ekeland

trong bài báo [1] đã đề xuất nguyên lí biến phân suy rộng, mà ngày nay thƣờng gọi là

nguyên lí biến phân Ekeland. Công trình này ngay lập tức nhận đƣợc sự quan tâm của cả

cộng đồng toán học lí thuyết và ứng dụng, và tính đến nay (4/2014) đã có 1403 lƣợt trích

dẫn (theo số liệu Google), còn theo cơ sở dữ liệu Hội toán học Mỷ có 473 bài báo khoa học

đã trích dẫn và 57 lƣợt trích dẫn từ ngƣời viết nhận xét. Một trong những điểm thú vị của

nguyên lí biến phân Ekeland là một mặt nó mở rộng nguyên lí biến phân cổ điển, nhƣng

mặt khác nó xây dựng khái niệm lời giải xấp xỉ thích hợp ngay cả khi lời giải chính xác

không tồn tại.

Nội dung chính của báo cáo đƣợc trích từ tài liệu [1]. Chúng tôi hi vọng nguyên lí

biến phân Ekeland sẽ là công cụ quan trọng chính, là bƣớc khởi đầu để nghiên cứu bài toán

điều khiển tối ƣu trong đạo hàm riêng.

II. NỘI DUNG

1. Kết quả tổng quan

Định nghĩa 1.1: Cho

là không gian topo Hausdorff. Hàm số

: {+ }X  

đƣợc

gọi là nửa liên tục dƣới tại

khi và chỉ khi:

KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014

liminf ( ) ( ).

xx xx

  

Hàm



đƣợc gọi là nửa liên tục dƣới trên X nếu



là nửa liên tục tại mọi điểm của

Định lí 1.2 (Nguyên lí biến phân Ekeland): Cho

( , )Xd

là không gian metric đầy và

: {+ }X  

là hàm nửa liên tục dưới và bị chặn dưới. Cho





và

uX

cho

trước sao cho:

( ) inf .



   

(1.1)

Khi đó, với





bất kì, tồn tại





sao cho:

( ) ( ),uu



  

(1.2)

( , ) ,d u u





(1.3)

( ) ( ) ( , ),u u d u u







   

.uu





(1.4)

Chứng minh: Để đơn giản hóa kí hiệu ta đặt

( , ) ( , ).d u v d u v





Ta xác định thứ tự bộ phận trên

nhƣ sau:

( ) ( ) ( , ).u v u v d u v





     

Dễ dàng thấy đƣợc:

(i) Tính phản xạ:

uu

(ii) Tính phản đối xứng:

uv

và

v u u v  

(iii) Tính bắc cầu :

uv

và

w u wv  

với mọi

, ,w Xuv 

Bây giờ, ta xây dựng

()

trong tập con của

nhƣ sau:

Với

uu

ta có tập:

{u X:u u };S  

uS

sao cho

( ) inf 2



   

Bằng phƣơng pháp quy nạp ta có:

{u X:u u };

S  

1nn



sao cho

( ) inf 2





   

Rõ ràng,

... ...

S S S   

và

là các tập đóng, với mọi

. Thật vậy, cho

xS

với

x x X

. Ta có

( ) ( ) ( , ).

j n j n

x u d x u





   

Mặt khác,



là nửa liên

tục dƣới và

liên tục nên ta suy ra

xS

KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014

Bây giờ, ta chứng minh đƣờng kính của các tập

tiến đến

(đƣợc kí hiệu là:

diam

S

). Thật vậy, cho điểm

xS

bất kì,



suy ra

( ) ( ) ( , ).

x u d x u





   

(1.5)

Mặt khác, vì

1nn



nên





. Theo cách xác định của các tập

và chọn

1nn





ta có:

( ) ( ) .



   

(1.6)

Từ (1.5) và (1.6) ta đƣợc:

( , ) 2 ,

d x u







với mọi

xS

Với diam

S



. Do

là các tập đóng lồng nhau thắt dần có đƣờng kính tiến

dần đến 0 trong không gian metric đầy theo định lí Cantor các tập

có một điểm chung

duy nhất và điểm chung ấy thỏa mãn các điều kiện (1.2), (1.3) và (1.4).

Đặt:

1{u }.







Chọn

uu

. Vì





nên suy ra (1.2) là hiển nhiên.

Với





, ta có





(vì nếu





thì

uS

với mọi

mâu thuẫn với tính duy

nhất của



) nghĩa là:

( ) ( ) ( , ).u u d u u

  



   

Ta đƣợc (1.4).

Ta chứng minh (1.3). Do

( , ) ( , ) 2

n j j

d u u d u u















Suy ra ta có:

( , ) lim 2 1 ( , ) .

d u u d u u





 

   



Bổ đề 1.3 (Bất đẳng thức Gronwall): Cho hàm số liên tục không âm

:[a,b]u

thỏa mãn:

( ) ( ) ,

u t C Ku d







[a,b],t

trong đó

,CK

là các hằng số không âm. Khi đó,

()

( ) ,

K t a

u t Ce 



[a,b].t

(1.7)

Chứng minh của bổ đề có thể tìm thấy trong [2, 5].

KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014

2. Nguyên lí cực tiểu Pontryagin

Xét hệ điều khiển xác định bởi phƣơng trình:

( ) ( ( ), ( ), ),( . . )

(0) n

dx t x t u t t h k n











(2.1)

trong đó

() n

xt 

mô tả trạng thái của hệ điều khiển,

()ut

là hàm điều khiển

phụ thuộc thời gian

, và thuộc vào tập compact khả metric

. Cho

0T

và giả sử

rằng:



và

' ( / , / ,..., / )

x x x       

là hàm liên tục trên

[0,T].

nK

, ( , , ) (1 )x t x u c x  

, với

là hằng số.

Cho trƣớc hàm điều khiển đo đƣợc

:[0,T] K.u

Điều kiện a) đảm bảo tồn tại

nghiệm duy nhất

của phƣơng trình vi phân (2.1) trên khoảng đủ nhỏ

[0, ]



. Từ điều

kiện b) và bất đẳng thức Gronwall (Bổ đề 1.3) ta đƣợc:

( ) ( 2 ) ,

x t x cT e

(2.2)

Và do đó đảm bảo sự tồn tại nghiệm trên khoảng thời gian

[0,T]

. Hơn nữa, từ (2.2)

ta có:

dx ()

dt t

max

{ (t,x,u) (t,x,u) [0,T] B K},   

(2.3)

trong đó,

là hình cầu bán kính

( 2 ) cT

x cT e

. Áp dụng định lí Ascoli, nhận

thấy họ các quỷ đạo

của hệ điều khiển (2.1) đồng liên tục và bị chặn, do đó nó compact

tƣơng đối trong topo đều.

Xét phiếm hàm mục tiêu Bolza

( ) ( ( )) ( , , ) ,

J u x T L x u t dt   

ở đó



thuộc lớp hàm

và

liên tục trên

[0,T].

nK

Ta tìm

hàm điều khiển đo đƣợc

sao cho quỷ đạo tƣơng ứng

làm cực tiểu hóa

()Ju

trong số

tất cả các nghiệm của (2.1).

Định lí 2.1: Với mỗi





tồn tại một phiếm hàm điều khiển đo được



có quỹ đạo

tương ứng là



, thỏa mãn:

( ) inf ( ) ,J u J u





(2.4)

KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014

( ( ), ( ), ), ( ) ( ( ), ( ), ) min ( ( ), ( ), ), ( ) ( ( ), ( ), ) ,

x t u t t t L x t u t t x t u t t t L x t u t t

       

  



     

(2.5)

trong đó,





là nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính:

() ' ( ( ), ( ), ). ( ) ' ( ( ), ( ), ).

( ) ' ( ( )),

dt x t u t t t L x t u t t

T x T

    







   



(2.6)

trong đó,



là chuyển vị của



Nhận xét: Nếu ở (2.4) ta cho





thì ta có thể lấy





trong (2.5). Nói cách khác,

nếu tồn tại một điều khiển tối ƣu, thì nguyên lí cực đại Pontryagin thỏa mãn. Hơn nữa,

định lí còn đúng ngay cả khi không có nghiệm tối ƣu.

Bổ đề 2.2: Giả sử

là tập hợp các hàm điều khiển đo được

 

: 0, .u T K

Trên

xét hàm khoảng cách:

 

 

1 2 1 2

( , ) 0, | ( ) ( )u u meas t T u t u t



  

(2.7)

Khi đó

( , )U



là một không gian metric đầy.

Chứng minh: Đầu tiên, ta kiểm tra



là khoảng cách. Lấy

1 2 3

,,u u u

bất kì trong

     

1 2 1 3 2 3

| ( ) ( ) | ( ) ( ) ( ) ( )t u t u t t u t u t u t u t    

(2.8)

     

1 2 1 3 2 3

| ( ) ( ) | ( ) ( ) ( ) ( )meas t u t u t meas t u t u t meas u t u t    

(2.9)

1 2 1 3 3 2

( , ) ( , ) ( , )u u u u u u

  



(2.10)

Lấy

 

nnN

u

là dãy Cauchy trong

. Ta có thể lấy ra một dãy con

 

nnN

u

sao cho

 

nn k





. Ta sẽ chứng minh dãy con này hội tụ. Thật vậy, đặt:

 

| ( ) 2

k n n k

A t u t u 



  

(2.11)

Ta có:

kkk

measA pp











và

1kk





Xác định

uU

nhƣ sau:

, ( ) ( )

t A u t u t  

(2.12)

Theo định nghĩa, dãy con

()

n k N

u

hội tụ tới

. Dãy

 

nnN

u

là Cauchy, nên nó hội tụ

đến

Ứng dụng nguyên lí biến phân Ekeland trong bài toán điều khiển tối ưu

Chủ đề:

Tài liệu liên quan

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Hỗ trợ

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi