PH N 1: M ĐUẦ Ở Ầ
I. lý do ch n đ tài .ọ ề
Toán h c có ngu n g c t th c t và là chìa khóa trong h u h t các ho tọ ồ ố ừ ự ế ầ ế ạ
đng c a con ng i, nó có m t kh p n i. Toán h c là k t qu c a s tr uộ ủ ườ ặ ở ắ ơ ọ ế ả ủ ự ừ
t ng hóa các s v t hi n t ng trong th c t trên nh ng ph ng di n khácượ ự ậ ệ ượ ự ế ữ ươ ệ
nhau và có vai trò r t quan tr ng trong vi c th c hi n m c tiêu chung c a giáoấ ọ ệ ự ệ ụ ủ
d c ph thông. M c dù là ngành khoa h c có tính tr u t ng cao nh ng toán h cụ ổ ặ ọ ừ ượ ư ọ
có m i liên h ch t ch v i th c t và có th ng d ng r ng rãi trong nhi u lĩnhố ệ ặ ẽ ớ ự ế ể ứ ụ ộ ề
v c khác nhau: là công c đ h c t p các môn h c trong nhà tr ng , nghiên c uự ụ ể ọ ậ ọ ườ ứ
nhi u ngành khoa h c và là công c đ ho t đng trong s n xu t và đi s ngề ọ ụ ể ạ ộ ả ấ ờ ố
th c t .ự ế
Bên c nh đó th c tr ng h c toán các tr ng ph thông, đa s các em ch h cạ ự ạ ọ ở ườ ổ ố ỉ ọ
lý thuy t và làm bài t p mà thi u th c hành và liên h ki n th c v i th c t .ế ậ ế ự ệ ế ứ ớ ự ế
H c sinh đang h c toán ch gi i h n tr ng ph m vi b n b c t ng c a l p h c ,ọ ọ ỉ ớ ạ ọ ạ ố ứ ườ ủ ớ ọ
thành th không đ ý đn nh ng t ng quan toán h c quen thu c trong th gi iử ể ế ữ ươ ọ ộ ế ớ
nh ng s v t hi n t ng xung quanh, không bi t ng d ng nh ng ki n th cữ ự ậ ệ ượ ế ứ ụ ữ ế ứ
toán h c đã thu nh n vào th c t .ọ ậ ự ế
V i s đi m i m nh m c a b giáo d c và đào t o v cách d y và h cớ ự ổ ớ ạ ẽ ủ ộ ụ ạ ề ạ ọ
trong tr ng ph thông, đc bi t là có th đa toán th c t nói chung và bài toánườ ổ ặ ệ ể ư ự ế
th c t v kh i nón, kh i tr , kh i c u nói riêng vào các đ thi môn toán THPTự ế ề ố ố ụ ố ầ ề
Qu c Gia 2017 và nh ng năm ti p theo.ố ữ ế
Đ giúp các em h c sinh có cách nhìn m i m các bài toán th tích kh i đaể ọ ớ ẻ ể ố
di n và có th ng d ng toán h c vào th c t và đc bi t giúp các em có m t tàiệ ể ứ ụ ọ ự ế ặ ệ ộ
li u ôn thi THPT Qu c Gia v bài toán th c t tôi m nh d n đa ra ý t ng ệ ố ề ự ế ạ ạ ư ưở “
ng d ng th tích kh i nón, kh i tr , kh i c u vào gi i các bài th c t ”.ứ ụ ể ố ố ụ ố ầ ả ự ế
II. M c đích nghiên c u.ụ ứ
- M c đích c a sang ki n kinh nghi m này là giúp các em h c sinh tìm hi uụ ủ ế ệ ọ ể
m i liên h c a m t s ki n th c trong ch ng trình toán ph thông v i th cố ệ ủ ộ ố ế ứ ươ ổ ớ ự
ti nễ
- Giúp h c sinh h ng thú h n trong vi c gi i các bài t p khó v th tích kh iọ ứ ơ ệ ả ậ ề ể ố
nón, kh i tr , kh i c u đng th i giúp các em sáng t o h n trong ng d ng toánố ụ ố ầ ồ ờ ạ ơ ứ ụ
h c trong th c t .ọ ự ế
III. Đi t ng và ph m vi nghiên c u.ố ượ ạ ứ
1. Đi t ng nghiên c u.ố ượ ứ
- H c sinh l p 12, h c sinh d thi vào các tr ng Đi h c và Cao đng.ọ ớ ọ ự ườ ạ ọ ẳ
- Ki n th c v th tích kh i nón, kh i tr , kh i c u l p 12 trung h c phế ứ ề ể ố ố ụ ố ầ ớ ọ ổ
thông.
2. Ph m v nghiên c u : ạ ị ứ
1
- Hình h c l p 12 ph thông trung h c.ọ ớ ổ ọ
- Sách giáo khoa và tài li u tham kh o luy n thi đi h c, tài li u b i d ngệ ả ệ ạ ọ ệ ồ ưỡ
h c sinh gi i ,các đ thi th c a các tr ng , s giáo d c và các đ thi vào cácọ ỏ ề ử ủ ườ ở ụ ề
tr ng Đi h c và Cao đng nh ng năm tr c.ườ ạ ọ ẳ ữ ướ
IV. Ph ng pháp nghiên c u.ươ ứ
- Ph ng pháp nghiên c u lí lu n.ươ ứ ậ
- Ph ng pháp nghiên c u thông qua th c t gi ng d y. ươ ứ ự ế ả ạ
V. Nh ng đi m m i c a sáng ki n kinh nghi m.ữ ể ớ ủ ế ệ
- Có h th ng bài t p hay, khó và m i.ệ ố ậ ớ
- Giúp các em hình thành t duy gi i các bài toán khó v th tích kh i nón,ư ả ề ể ố
kh i tr , kh i c uố ụ ố ầ
- Giúp các em h c sinh nhìn nhân rõ h n v ng d ng toán h c vào th c tọ ơ ề ứ ụ ọ ự ế
đi s ng.ờ ố
PH N 2 - N I DUNG SÁNG KI N KINH NGHIÊMẦ Ộ Ế
“ NG D NG TH TÍCH KH I NÓN, KH I TR , KH I C U VÀO GI IỨ Ụ Ể Ố Ố Ụ Ố Ầ Ả
CÁC BÀI TOÁN TH C T ”Ự Ế
I. C s lý lu n.ơ ở ậ
1. Khái ni m kh i nón, kh i tr , kh i c u.ệ ố ố ụ ố ầ
2. Ph ng pháp tính di n tích, th tích kh i nón, kh i tr , kh i c u.ươ ệ ể ố ố ụ ố ầ
3. Kĩ năng đánh giá b t đng th c trong bài toán th tích l n nh t, nh nh t.ấ ẳ ứ ể ớ ấ ỏ ấ
II. Tình hình th c t tr c khi th c hi n đ tài.ự ế ướ ự ệ ề
V i s thay đi c a kì thi THPT Qu c Gia 2017, các bài toán th c t có thớ ự ổ ủ ố ự ế ể
s đc đa vào các đ thi. Nh đ thi minh h a l n 1 và l n 2 c a B Giáoẽ ượ ư ề ư ề ọ ầ ầ ủ ộ
D c và Đào t o đu có các bài toán th c t nói chung và bài toán ng d ng thụ ạ ề ự ế ứ ụ ể
tích kh i nón, kh i tr , kh i c u đ gi i toán th c t nói riêng. Tr c khi th cố ố ụ ố ầ ể ả ự ế ướ ự
hi n đ tài này nhi u h c sinh có tâm lý s các bài t p v th tích kh i nón, kh iệ ề ề ọ ợ ậ ề ể ố ố
tr , kh i c u đc bi t là các bài toán liên h th c t .ụ ố ầ ặ ệ ệ ự ế
Đây là m t d ng toán m i và khó nên đa s h c sinh khi g p d ng toán này cònộ ạ ớ ố ọ ặ ạ
lúng túng và không gi i đc. H c sinh ch a bi t ph i h p m t cách khéo léoả ượ ọ ư ế ố ợ ộ
gi a lý thuy t, các bài t p c b n đ hình thành t duy đ gi i quy t các bàiữ ế ậ ơ ả ể ư ể ả ế
toán khó ,nh t là các bài toán th c t . Đc bi t d ng toán th c t ngu n tài li uấ ự ế ặ ệ ạ ự ế ồ ệ
còn r t h n ch .ấ ạ ế
T th c t trên, sau đây Tôi xin trình bày ph ng pháp ng d ng th tíchừ ự ế ươ ứ ụ ể
kh i nón, kh i tr , kh i c u vào gi i các bài toán th c t .ố ố ụ ố ầ ả ự ế
2
III. Các d ng toán và ph ng pháp gi iạ ươ ả
1. Ki n th c c b nế ư ơ ả
Kh i nónố: Di n tích xung quanh c a khôí nón ệ ủ
2
xq
S rl
π
=
Di n tích toàn ph n c a kh i tr ệ ầ ủ ố ụ
2
tp xq
S S S= +
ñaùy
Th tích c a kh i tr ể ủ ố ụ
2
V Bh r h
π
= =
Kh i trố ụ: Di n tích xung quanh ệ
2
xq
S rl
π
=
Di n tích toàn ph n c a kh i tr ệ ầ ủ ố ụ
2
tp xq
S S S= +
ñaùy
Th tích c a kh i tr ể ủ ố ụ
2
V Bh r h
π
= =
Kh i c u:ố ầ Di n tích c a kh i c u ệ ủ ố ầ
2
4S r
π
=
Th tích c a kh i c u ể ủ ố ầ
3
4
3
V r
π
=
3
O
r
O
OA
B
r
h
O
A
B
h
r
Th tích ch m c u ể ỏ ầ
2
3
h
V h R
π
=
−
� �
� �
2. Các d ng toán và ph ng pháp gi iạ ươ ả
V n đ 1 :ấ ề ng d ng kh i nón vào gi i bài toán th c t .Ứ ụ ố ả ự ế
Bài 1: M t công ty s n xu t m t lo i c c gi y hình nón có th tích 27cmộ ả ấ ộ ạ ố ấ ể 3. Vói
chi u cao h và bán kính đáy là ề
r
. Tìm
r
đ l ng gi y tiêu th ít nh t.ể ượ ấ ụ ấ
Gi iả
Ta có:
2
2
1 3
3
V
V r h h r
ππ
= =�
nên đ dài đng sinh là:ộ ườ
Di n tích xung quanh c a hình nòn là: ệ ủ
8 8
2 4
2 4 2 2
3 3
xq
S rl r r r
r r
π π π
π π
= = + = +
Áp d ng BĐT Cauchy ta đc giá tr nh nh t là khi ụ ượ ị ỏ ấ
8
6
2
3
2
r
π
=
.
Bài 2: T mi ng tôn hình vuông c nh b ng ừ ế ạ ằ
4 dm
, ng i ta c t ra hình qu t tâmườ ắ ạ
O
bán kính
4 dmOA
=
(xem hình) đ cu n l i thành m t chi c ph u hình nón (khiể ộ ạ ộ ế ễ
đó
OA
trùng v i ớ
OB
). Tính chi u cao c a chi c ph u .ề ủ ế ễ
Gi iả
4
O
A B
I
h44dm dm
O
h
r
R
O
Ta có cung
AB
có đ dài b ng ộ ằ
.4 2
2
ππ
=
.
D a vào đ bài ta th y có th t o thành hình nón đnh ự ề ấ ể ạ ỉ O, đng sinhườ
.OA
Đ cu n l i thành m t chi c ph u hình nón (khi đó ể ộ ạ ộ ế ễ
OA
trùng v i ớ
OB
) thì chu vi
C
đng tròn đáy b ng đ dài cung ườ ằ ộ
AB
b ng ằ
2
π
. Khi đó bán kính đáy là
2
2 1
2
C R R
π
ππ
= = =�
.
Xét tam giác
OIA
vuông t i ạ
I
có
4OA =
dm
,
1IA R= =
dm
.
h OI
=
trong đó
2 2 2 2 2
4 1 15 15OI OA IA OI= − = − = =�
V y ậ
15h=
.
Bài 3: Cho m t mi ng tôn hình tròn có bán kính ộ ế
50cm
. Bi t hình nón có th tíchế ể
l n nh t khi di n tích toàn ph n c a hình nón b ng di n tích mi ng tôn trên.ớ ấ ệ ầ ủ ằ ệ ế ở
Tính bán kính c a ủhình nón.
Gi iả
Đt ặ
50a=
cm
. G i bán kính đáy và chi u cao c a hình nón l n l t là ọ ề ủ ầ ượ
,x y
( )
, 0x y >
. Ta có
2 2 2 2
SA SH AH x y= + = +
Khi đó di n tích toàn ph n c a hình nón là ệ ầ ủ
2 2 2
tp
S x x x y
π π
= + +
.
Theo gi thi t ta có ả ế
2 2 2 2 2 2 2 2
x x x y a x x y x a
π π π
+ + = + + =�
( )
4
2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2
2 2
22
a
x x y a x x x y a x a x x y a
+ = − + = + − =� � � +
Khi đó th tích kh i nón là ể ố
4
4
2 2 2 2
1 1
. . .
3 2 3 2
a y
V y a
y a y a
π π
= =
+ +
V
đt giá tr l n nh t khi và ch khi ạ ị ớ ấ ỉ
2 2
2y a
y
+
đt giá tr nh nh tạ ị ỏ ấ
Ta có
2 2 2 2
2 2 2
2 . 2 2
y a a a
y y a
y y y
+= + =
V y ậ
V
đt giá tr l n nh t khi và ch khi ạ ị ớ ấ ỉ
2
2a
yy
=
, t c làứ
2 25
2
a
y a x= = =�
cm
Bài 4: V i m t mi ng tôn hình tròn có bán kính b ngớ ộ ế ằ
6R cm
=
. Ng i ta mu nườ ố
làm m t cái ph u b ng cách c t đi m t hình qu t c a hình tròn này và g p ph nộ ễ ằ ắ ộ ạ ủ ấ ầ
còn l i thành hình nón ( Nh hình v ). Tính th tích l n nh t c a hình nón có khiạ ư ẽ ể ớ ấ ủ
ng i ta c t cung tròn c a hình qu t.ườ ắ ủ ạ
5
I
H
J
O
A
S