255
ƯỚC LƯỢNG VAR VÀ TVAR TRONG PHÂN PHỐI ĐỀU
Ngô Hùng Vương 1
1. Khoa Sư phạm, Trường Đại học Thủ Dầu Một
TÓM TẮT
VaR (Value at Risk) và TvaR (Tail Value at Risk ) là các công cụ thống kê đo lường và
định lượng mức độ rủi ro tài chính trong một công ty hoặc một danh mục đầu tư. Bài viết này
nghiên cứu hai hướng tiếp cn để ước lượng VaR và TvaR trong phân phối đều: cách tiếp cn
thông qua các ước lượng tham số của phân phối đều và cách tiếp cn bằng phương pháp thống
kê theo thứ tự (order statistics). Đồng thời so sánh độ chính xác giữa hai cách tiếp cn này.
Từ khóa: Phân phối đều, thống kê theo thứ tự, TvaR, VaR, ước lượng tham số.
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Ngày nay các chỉ số VaR và TvaR được sử dụng phổ biến bởi các ngân hàng đầu tư, thương
mại và các tổ chức tài chính nhằm xác định được mức độ cũng như tỉ lệ xảy ra tổn thất tiềm năng
trong danh mục đầu tư của họ. Các giá trị đo lường rủi ro này được áp dụng cho tất cả các loại tài
sản như: Trái phiếu, cổ phiếu, phái sinh,… Do đó các tổ chức tài chính có thể sử dụng VaR và
TvaR để đánh giá khả năng sinh lời cũng như rủi ro của các khoản đầu tư khác nhau. Như vậy,
việc xác định VaR và TvaR đóng vai trò quan trọng trong quản trị rủi ro tài chính.
VaR và TvaR giúp các tổ chức tài chính đo lường mức độ tổn thất tiềm ẩn và xác suất
xảy ra thất thoát đó, từ đó tránh được những tình huống xấu nhât trong tương lai. Dựa vào kết
quả mà mô hình VaR và TvaR cung cấp thì các tổ chức có thể quyết định xem liệu họ có đủ
lượng vốn dự trữ để bù lỗ hay không và từ đó lựa chọn khoản đầu tư hợp lý hơn. Tóm lại, việc
tính toán được VaR và TvaR có ý nghĩa quan trọng trong việc giúp các tổ chức tài chính đưa ra
quyết định có đầu tư vào một loại tài sản nào đó hay không.
Bài viết này trình bày một số khái niệm cơ bản và hai phương pháp tiếp cận để xác định
VaR và TvaR trong phân phối đều. Đồng thời so sánh độ chính xác của hai phương pháp này
cũng như đưa ra một mô hình tính toán VaR và TvaR gần với thực tế.
2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Bài viết chủ yếu sử dụng phương pháp phân tích và tổng hợp tài liệu. Trên cơ sở phân
tích và tổng hợp lý thuyết về các công cụ đo và định lượng rủi ro; thống kê ước lượng tham số,
thống kê theo thứ tự, bài tham luận trình bày hai phương pháp ước lượng VaR và TvaR trong
phân phối đều: phương pháp ước lượng VaR và TvaR thông qua các ước lượng tham số của
phân phối đều và phương pháp thống kê theo thứ tự. Đồng thời do sánh mức độ hiệu quả của
hai phương pháp này.
256
3. KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN
3.1. Tóm tắt lý thuyết
Định nghĩa 3.1.1. (Жуленев, 2012) Cho
X
là một đại lượng ngẫu nhiên và
0,1
,
q
gọi là phân vị mức
nếu
.P X q P X q
Định nghĩa 3.2.1. (Жуленев, 2012) Cho biến ngẫu nhiên
X
và
0,1
,
()VaR X
được tính bởi công thức:
( ) ( )VaR X q X

=−
Ví dụ 3.1.1. Cho biến ngẫu nhiên
.
()VaR X
được tính bởi công thức:
( )
1()
q
a
dx VaR X q a b a
ba


= = − = − − −
−
.
Theo quan điểm tài chính, mức rủi ro VaR có thể được hiểu là số vốn cần bổ sung để
giảm xác suất thua lỗ hết các khoản đầu tư còn bằng
.
Định nghĩa 3.3.3. (Artzner và nnk., 1999) Cho
X
là một đại lượng ngẫu nhiên trong
không gian xác suất
( )
,,FP
. TvaR bậc
0,1
, là một hàm số
được xác
định như sau:
( ) ( )
( ) inf ,
Q
QD
TVaR X X u X E X
= = − = −
trong đó
( )
uX
- hàm lợi ích chặt (xem thêm [1]);
D
- tập hợp các độ đo xác suất
Q
liên tục
tuyệt đối đối với
P
. Nói cách khác (xem thêm [4])
( )
*( ) ,u X EZ X X

=
với
( )
( )
( )
1
*
,
( ) , ;
0,
X q X
Z X c X q X
X q X

−
==
Và
( )
( )
( )
( )
11.P X q X c P X q X

− + = =
Ví dụ 3.1.2. Cho
~,X U a b
. TvaR bậc
0,1
được xác định bởi công thức
( ) ( )
1
( ) ( ).
2
q
a
x
TVaR X X u X dx a b a
ba
= = − = − = + −
−
Trong quản trị rủi ro tài chính, TvaR được hiểu là số tiền ít nhất cần thêm vào danh mục
257
đầu tư để nó trở thành phi rủi ro. Công cụ đo mức độ rủi ro TvaR được đưa ra nhằm khắc phục
một số nhược điểm của VaR – là công cụ đo rủi ro đang được sử dụng phổ biến hiện nay. (xem
thêm [1])
3.2. Ước lượng VaR và TvaR thông qua các ước lược tham số của phân phối đều.
Định lý 3.2.1. Gọi
12
, ,..., n
X X X
là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố
đều trên đoạn
,ab
và ước lượng của các tham số
a
và
b
được xác định như sau
( )
( )
12
12
min , ,..., ,
max , ,..., .
n
n
a X X X
b X X X
=
=
Cho
0,1
, khi đó
( ) (1 )q a b a a b
= + − = − +
và
( )
1
2 2 2
u a b a a b

= + − = − +


lần lượt được gọi là ước lượng không chệch của VaR và TvaR trong phân bố đều.
Chứng minh. Ta tính được các giá trị trung bình và phương sai của
a
và
b
như sau:
22
22
( ) ( )
; ; ; ;
1 1 ( 1) ( 2) ( 1) ( 2)
b a b a n b a n b a
Ea a Eb b Da Db
n n n n n n
− − − −
= + = − = =
+ + + + + +
và
( )
22
2
( ) ( )
, , .
2 ( 1) ( 2)
b a b a
Eab ab Cov a b
n n n
−−
= + =
+ + +
a) Chứng minh
q
không chệch.
Từ (3.1) và (3.3) ta tìm được kỳ vọng của ước lượng VaR
( )(1 2 )
(1 ) ,
1
ba
E q a b n

−−
= − + + +
cho
n→
, thì
(1 )E q a b

= − +
,
vậy kỳ vọng toán học của ước lượng VaR bằng đúng giá trị thật của nó.
Từ (3.1), (3.3) và (3.4) ta tính được phương sai của ước lượng VaR
2
2
2
() (2 2 1) 2 (1 ) ,
( 1) ( 2)
ba
Dq n
nn
−
= − + + −

++
(3.3)
(3.4)
(3.1)
(3.2)
(3.5)
258
khi
n→
,
22
2
20
( ) (2 1)
~ba
Dq n

−+
→
−
.
Từ (3.5) và (3.6) suy ra, ước lượng của VaR là ước lượng không chệch.
Ta xác định thêm trung bình sai số bình phương (mean squared error) giữa ước lượng và
giá trị thật của VaR
( )
( )
22
2
2( ) (6 6 2)
( ) (1 ) ,
( 1)( 2)
ba
E q q E b b a a nn



− − +

− = − + − − =

++
khi
n→
, ta có
22
2
2
( ) (6 6 2)
( ) ~ 0.
ba
E q q n


− − +
−→
Suy ra ước lượng của VaR là
q
hội tụ theo trung bình bình phương đến giá trị thật của
nó khi
n→
.
b) Chứng minh
u
không chệch.
Từ (3.2) và (3.3) ta tìm được trung bình của ước lượng TvaR
()
1,
2 2 1
ba
Eu a b n
−

= − + −
 +

cho
n→
thì
1 ( )
2 2 2
Eu a b a b a u


− + = + − =

=
vậy kỳ vọng toán học của ước lượng TvaR bằng đúng giá trị thật của nó.
Từ (3.2), (3.3) và (3.4) ta tính được phương sai của ước lượng TvaR
22
2
() 1 1 ,
( 1) ( 2) 2 2
ba
Du n
nn




−
= − + + −



++ 


Khi
n→
, ta có
( )
22
2
( ) 2 2
~ 0.
2
ba
Du n

− − + →
Từ (3.7) và (3.8) suy ra ước lượng của TvaR là ước lượng không chệch.
Ta xác định thêm trung bình sai số bình phương (mean squared error) giữa ước lượng và
giá trị thật của TvaR:
( )
22
2( ) 3 3 2 ,
( 1)( 2) 2
ba
E u u nn


−
− = − +

++

(3.6)
(3.7)
(3.8)
259
khi
n→
,
( )
( )
22
2
2
( ) 3 / 2 3 2
~ 0.
ba
E u u n


− − +
−→
Suy ra uớc lượng của TvaR là
u
hội tụ theo trung bình bình phương đến giá trị thật của
nó khi
n→
.
3.3. Ước lượng VaR và TvaR của phân phối đều bằng phương pháp thống kê theo thứ
tự (order statistics)
Định lý 3.3.1. Cho
12
, ,..., n
X X X
là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố
đều trên đoạn
,ab
và
( ) ( ) ( )
12
... n
X X X
là thống kê theo thứ tự (xem thêm [3]) của các
biến ngẫu nhiên đ cho. Khi đó
( )
,
k
qX
=
kn
=
và
0,1
;
gọi là ước lượng không chệch của VaR trong phân bố đều.
Chứng minh. Hàm mật độ của
( )
k
X
(ước lượng của VaR) có dạng (xem thêm [3])
()
11
( ) 1
k
k n k
k
Xn
x a x a
f x k C b a b a b a
−−
−−
= −
− − −
Ta tính được kỳ vọng toán học của
( )
k
X
( )
( )
( ) ( )
( ) ,
11
k
b
X
k
a
kn
EX x f x dx a b a a b a
nn
= = + − = + −
++
khi
n→
, ta có
( )
()
k
EX a b a q
→ + − =
,
vậy kỳ vọng toán học của ước lượng VaR bằng đúng giá trị thật của nó khi
n→
.
Lại có
12
2
()
122
[ ] 1
( ) 2 ( )
1,
k n k
b
k
kn
a
k n k
b
k
n
a
x a x a x
E X k C dx
b a b a b a
x a x a x a a x a a
k C dx
b a b a b a
−−
−−
−−
= −
− − −
− − − + − +
= −
− − −
thay
,
x a dx
t dt
b a b a
−
= =
−−
ta được
(3.10)
(3.9)