Ước lượng VaR và TvaR trong phân phối đều

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

4
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết này nghiên cứu hai hướng tiếp cận để ước lượng VaR và TvaR trong phân phối đều: cách tiếp cận thông qua các ước lượng tham số của phân phối đều và cách tiếp cận bằng phương pháp thống kê theo thứ tự (order statistics). Đồng thời so sánh độ chính xác giữa hai cách tiếp cận này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ước lượng VaR và TvaR trong phân phối đều

ƯỚC LƯỢNG VAR VÀ TVAR TRONG PHÂN PHỐI ĐỀU Ngô Hùng Vương 1 1. Khoa Sư phạm, Trường Đại học Thủ Dầu Một TÓM TẮT VaR (Value at Risk) và TvaR (Tail Value at Risk ) là các công cụ thống kê đo lường và định lượng mức độ rủi ro tài chính trong một công ty hoặc một danh mục đầu tư. Bài viết này nghiên cứu hai hướng tiếp cận để ước lượng VaR và TvaR trong phân phối đều: cách tiếp cận thông qua các ước lượng tham số của phân phối đều và cách tiếp cận bằng phương pháp thống kê theo thứ tự (order statistics). Đồng thời so sánh độ chính xác giữa hai cách tiếp cận này. Từ khóa: Phân phối đều, thống kê theo thứ tự, TvaR, VaR, ước lượng tham số. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Ngày nay các chỉ số VaR và TvaR được sử dụng phổ biến bởi các ngân hàng đầu tư, thương mại và các tổ chức tài chính nhằm xác định được mức độ cũng như tỉ lệ xảy ra tổn thất tiềm năng trong danh mục đầu tư của họ. Các giá trị đo lường rủi ro này được áp dụng cho tất cả các loại tài sản như: Trái phiếu, cổ phiếu, phái sinh,… Do đó các tổ chức tài chính có thể sử dụng VaR và TvaR để đánh giá khả năng sinh lời cũng như rủi ro của các khoản đầu tư khác nhau. Như vậy, việc xác định VaR và TvaR đóng vai trò quan trọng trong quản trị rủi ro tài chính. VaR và TvaR giúp các tổ chức tài chính đo lường mức độ tổn thất tiềm ẩn và xác suất xảy ra thất thoát đó, từ đó tránh được những tình huống xấu nhât trong tương lai. Dựa vào kết quả mà mô hình VaR và TvaR cung cấp thì các tổ chức có thể quyết định xem liệu họ có đủ lượng vốn dự trữ để bù lỗ hay không và từ đó lựa chọn khoản đầu tư hợp lý hơn. Tóm lại, việc tính toán được VaR và TvaR có ý nghĩa quan trọng trong việc giúp các tổ chức tài chính đưa ra quyết định có đầu tư vào một loại tài sản nào đó hay không. Bài viết này trình bày một số khái niệm cơ bản và hai phương pháp tiếp cận để xác định VaR và TvaR trong phân phối đều. Đồng thời so sánh độ chính xác của hai phương pháp này cũng như đưa ra một mô hình tính toán VaR và TvaR gần với thực tế. 2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Bài viết chủ yếu sử dụng phương pháp phân tích và tổng hợp tài liệu. Trên cơ sở phân tích và tổng hợp lý thuyết về các công cụ đo và định lượng rủi ro; thống kê ước lượng tham số, thống kê theo thứ tự, bài tham luận trình bày hai phương pháp ước lượng VaR và TvaR trong phân phối đều: phương pháp ước lượng VaR và TvaR thông qua các ước lượng tham số của phân phối đều và phương pháp thống kê theo thứ tự. Đồng thời do sánh mức độ hiệu quả của hai phương pháp này. 255
3. KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN 3.1. Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa 3.1.1. (Жуленев, 2012) Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên và    0,1 , q gọi là phân vị mức  nếu P  X  q     P  X  q . Định nghĩa 3.2.1. (Жуленев, 2012) Cho biến ngẫu nhiên X và    0,1 , VaR ( X ) được tính bởi công thức: VaR ( X ) = − q ( X ) Ví dụ 3.1.1. Cho biến ngẫu nhiên X ~ U  a , b  . VaR ( X ) được tính bởi công thức: q 1  =  b − a dx  VaR ( X ) = − q = −a −  (b − a ) . a Theo quan điểm tài chính, mức rủi ro VaR có thể được hiểu là số vốn cần bổ sung để giảm xác suất thua lỗ hết các khoản đầu tư còn bằng  . Định nghĩa 3.3.3. (Artzner và nnk., 1999) Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên trong không gian xác suất (  , F , P ) . TvaR bậc    0,1 , là một hàm số   : L → R được xác  định như sau: TVaR ( X ) =   ( X ) = − u  ( X ) = − inf E Q X , Q D trong đó u  ( X ) - hàm lợi ích chặt (xem thêm [1]); D - tập hợp các độ đo xác suất Q liên tục tuyệt đối đối với P . Nói cách khác (xem thêm [4]) u ( X ) = EZ  ( X ) X , * với   −1 , X  q  ( X )  Z  ( X ) =  c, X = q ( X ) ; *  0, X  q ( X )   Và  −1  P ( X  q  ( X ) ) + c  P ( X = q  ( X ) ) = 1. Ví dụ 3.1.2. Cho X ~ U  a , b  . TvaR bậc    0,1 được xác định bởi công thức  q 1 x TVaR ( X ) =   ( X ) = − u  ( X ) = −  b − a dx = a + 2 (b − a ).  a Trong quản trị rủi ro tài chính, TvaR được hiểu là số tiền ít nhất cần thêm vào danh mục 256
đầu tư để nó trở thành phi rủi ro. Công cụ đo mức độ rủi ro TvaR được đưa ra nhằm khắc phục một số nhược điểm của VaR – là công cụ đo rủi ro đang được sử dụng phổ biến hiện nay. (xem thêm [1]) 3.2. Ước lượng VaR và TvaR thông qua các ước lược tham số của phân phối đều. Định lý 3.2.1. Gọi X 1 , X 2 ,..., X n là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố đều trên đoạn  a , b  và ước lượng của các tham số a và b được xác định như sau a = min ( X 1 , X 2 ,..., X n ) , b = max ( X 1 , X 2 ,..., X n ) . Cho    0,1 , khi đó q = a +  (b − a ) = (1 −  ) a +  b (3.1) và    u = a + ( b − a ) = 1 − 2  a + 2 b   (3.2) 2   lần lượt được gọi là ước lượng không chệch của VaR và TvaR trong phân bố đều. Chứng minh. Ta tính được các giá trị trung bình và phương sai của a và b như sau: b−a b−a n (b − a ) n (b − a ) 2 2 Ea = a + ; Eb = b − ; Da = ; Db = ; (3.3) n +1 n +1 ( n + 1) ( n + 2) ( n + 1) ( n + 2) 2 2 và (b − a ) (b − a ) 2 2 Eab = ab + , Cov ( a , b ) = . (3.4) n+2 ( n + 1) ( n + 2) 2 a) Chứng minh q  không chệch. Từ (3.1) và (3.3) ta tìm được kỳ vọng của ước lượng VaR (b − a )(1 − 2  ) E q = (1 −  ) a +  b + , n +1 cho n →  , thì E q = (1 −  ) a +  b , (3.5) vậy kỳ vọng toán học của ước lượng VaR bằng đúng giá trị thật của nó. Từ (3.1), (3.3) và (3.4) ta tính được phương sai của ước lượng VaR (b − a ) 2 Dq  =  (2  2 − 2  + 1) n + 2  (1 −  )  , ( n + 1) ( n + 2)   2 257
khi n →  , (b − a ) (2  − 2  + 1) 2 2 Dq ~ 2 → 0. (3.6) n Từ (3.5) và (3.6) suy ra, ước lượng của VaR là ước lượng không chệch. Ta xác định thêm trung bình sai số bình phương (mean squared error) giữa ước lượng và giá trị thật của VaR (b − a ) (6  − 6  + 2) 2 2 E ( q − q  ) = E   ( b − b ) + (1 −  ) ( a − a )  = 2 2 ,   ( n + 1)( n + 2) khi n →  , ta có (b − a ) (6  − 6  + 2) 2 2 E ( q − q ) ~ → 0. 2 2 n Suy ra ước lượng của VaR là q  hội tụ theo trung bình bình phương đến giá trị thật của nó khi n →  . b) Chứng minh u  không chệch. Từ (3.2) và (3.3) ta tìm được trung bình của ước lượng TvaR     (b − a ) Eu  =  1 −  a + b − ,  2 2 n +1 cho n →  thì     Eu  =  1 −  a + b = a + (b − a ) = u  (3.7)  2 2 2 vậy kỳ vọng toán học của ước lượng TvaR bằng đúng giá trị thật của nó. Từ (3.2), (3.3) và (3.4) ta tính được phương sai của ước lượng TvaR (b − a )   2 2     Du  =  −  + 1 n + 1 −    , ( n + 1) ( n + 2)   2 2   2  Khi n →  , ta có (b − a ) 2 ( 2 − 2 + 2 ) Du  ~ 2 → 0. (3.8) 2n Từ (3.7) và (3.8) suy ra ước lượng của TvaR là ước lượng không chệch. Ta xác định thêm trung bình sai số bình phương (mean squared error) giữa ước lượng và giá trị thật của TvaR: (b − a )  3 2 2  E ( u − u ) 2 =  − 3 + 2  , ( n + 1)( n + 2)  2  258
khi n →  , ( b − a ) ( 3 / 2 − 3 + 2 ) 2 2 E ( u − u ) ~ 2 2 → 0. n Suy ra uớc lượng của TvaR là u  hội tụ theo trung bình bình phương đến giá trị thật của nó khi n →  . 3.3. Ước lượng VaR và TvaR của phân phối đều bằng phương pháp thống kê theo thứ tự (order statistics) Định lý 3.3.1. Cho X 1 , X 2 ,..., X n là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố đều trên đoạn  a , b  và X (1)  X ( 2 )  ...  X ( n ) là thống kê theo thứ tự (xem thêm [3]) của các biến ngẫu nhiên đã cho. Khi đó q = X ( k ) , k =  n và    0,1 ; gọi là ước lượng không chệch của VaR trong phân bố đều. Chứng minh. Hàm mật độ của X ( k ) (ước lượng của VaR) có dạng (xem thêm [3]) k −1 n−k  x−a  x−a 1 f X (k ) ( x) = k C   1 −  k   b−a b−a b−a n  Ta tính được kỳ vọng toán học của X ( k ) n b k EX ( k ) =  x  f X k ( x ) dx = a + (b − a ) = a + (b − a ) , (3.9) a ( ) n +1 n +1 khi n →  , ta có EX ( k ) → a +  (b − a ) = q  , (3.10) vậy kỳ vọng toán học của ước lượng VaR bằng đúng giá trị thật của nó khi n →. Lại có k −1 n−k x−a x−a b  2 x E[ X (k ) ] =  k C   1 −  2 k   dx b−a b−a b−a n a  k −1 n−k x−a x−a ( x − a ) + 2a ( x − a ) + a b  2 2 =  kC   1 −  k   dx , b−a b−a b−a n a  thay x−a dx t=  dt = , b−a b−a ta được 259
1 n−k E[ X (k ) ] =  k Cn t 2 k k −1 (1 − t )  ( b − a ) 2 t 2 + 2 a (b − a )t + a 2    0  1 n−k 1 n−k 1 n−k  = k C n  ( b − a )  t (1 − t ) dt + 2 a (b − a )  t (1 − t ) dt + a  t (1 − t ) dt  k 2 k +1 k 2 k −1  0 0 0  k  2  ( k + 2)  ( n − k + 1)  ( k + 1)  ( n − k + 1) 2  ( k )  ( n − k + 1)  = k C n ( b − a ) + 2 a (b − a ) +a    ( n + 2)  ( n + 2)  ( n + 2)  k ( k + 1) k = (b − a ) 2 + 2 a (b − a ) +a . 2 ( n + 1)( n + 2) n +1 (3.11) Từ (3.9) và (3.11) ta tính được phương sai của X ( k ) (b − a ) (  n + 1)( n −  n + 1) 2 DX ( k ) = EX − ( EX ( k ) ) = 2 2 (k ) . ( n + 1) ( n + 2) 2 Dễ thấy khi n → , (b − a ) (  −  ) 2 2 DX ( k ) ~ → 0. (3.12) n Từ (3.10) và (3.12) suy ra, ước lượng của VaR ( X ( k ) ) là ước lượng không chệch. Ta xác định thêm trung bình sai số bình phương (mean squared error) giữa ước lượng và giá trị thật của VaR ( ) 2 E X ( k ) − q = EX ( k ) − 2 q  EX ( k ) + q  , (3.13) 2 2 thay (3.9) (3.11) vào (3.13), ta được ( b − a ) (  n −  2 n + 2 2 ) 2 ( ) 2 E X ( k ) − q = , ( n + 1)( n + 2 ) khi n → , (b − a ) ( −  2 ) ( ) 2 E X ( k ) − q ~ → 0. n Vậy ước lượng của VaR là X ( k ) hội tụ theo trung bình bình phương về giá trị thật của nó khi n →  . Định lý 3.3.2. Cho X 1 , X 2 ,..., X n là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố đều trên đoạn  a , b  và X (1)  X ( 2 )  ...  X ( n ) là thống kê theo thứ tự của các biến ngẫu nhiên đã cho. Khi đó X (1) + X ( 2 ) + ... + X ( k ) u = ˆ , k =  n và    0,1 ; k 260
gọi là ước lượng không chệch của TvaR trong phân bố đều. Chứng minh. Từ (3.9) ta tính được kỳ vọng toán học của u  ˆ n + 1 Eu  = ˆ 1 k ( EX ( ) + EX ( ) + ... + EX ( ) ) = a + 2( n + 1) (b − a ), 1 2 k (3.14) khi n →  , ta có  Eu  → a + ˆ (b − a ) = u  , (3.15) 2 vậy kỳ vọng toán học của ước lượng TvaR bằng đúng giá trị thật của nó khi n →  . Với 1  r  s  n , hàm mật độ xác suất đồng thời của hai biến ngẫu nhiên X ( r ) , X ( s ) có dạng (xem thêm [3]) r −1 s − r −1 n! (u − a )  (b − v ) n−s  (v − u ) f X ( r ) , X ( s ) (u , v ) =  , ( r − 1 ) !( n − s ) !( s − r − 1 ) ! (b − a ) n +1 suy ra EX ( r ) X ( s ) =  u v f X ( r ) , X ( s ) (u , v ) dudv , a u vb Tính tích phân trên (xem thêm [3]), ta được r ( n − s + 1)  r  s  (a − b) (b − a ) . 2 EX ( r ) X ( s ) = + a + (b − a )   a + (3.16) ( n + 1) (n + 2) n +1 n +1 2    Từ (3.9) và (3.16) suy ra 1 k k ( k + 1)( k + 3 ) k +1   EX (a − b) + a (b − a ) + a . 2 Eu  = ˆ2 X (s) = (3.17) 2 4 ( n + 1)( n + 2 ) n +1 2 (r ) k r =1 s =1 Kết hợp (3.14) và (3.17) ta tính được phương sai của ước lượng TvaR ( a − b ) (  n + 1)( 2 n −  n + 1) 2 = Eu  − ( Eu  ) = 2 ˆ Du  ˆ 2 ˆ , 4 ( n + 1) ( n + 2 ) 2 khi n →  , ta có (a − b) ( 2 −  ) 2 2 ˆ Du  ~ → 0. (3.18) 4 Từ (3.15) và (3.18) suy ra, ước lượng của TvaR ( u  ) là ước lượng không chệch. Ta xác ˆ định thêm trung bình sai số bình phương (mean squared error) giữa ước lượng và giá trị thật của TvaR 261
E ( u  − u  ) = Eu  − 2 u  Eu  + u  = ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 (a − b) 2 ( ( 2 −  ) n + 2 2 2 − 4 + 3 ), 4 ( n + 1)( n + 2 ) cho n →  , (a − b) ( 2 −  ) 2 2 E ( u − u ) ~ 2 ˆ → 0. 4n Vậy ước lượng cuả TvaR là u  hội tụ theo trung bình bình phương về giá trị thật của nó ˆ khi n →  . 3.4. Một mô hình tính toán VaR và TvaR Xét trường hợp sau: Một nhà đầu tư nắm giữ một khối lượng cổ phiếu S có giá trị tại thời điểm hiện tại là Vt = 100 (tỷ đồng). Giả sử tỷ suất sinh lời mỗi ngày của cổ phiếu S có phân bố đều r U  − 0.06; 0.08  , thì với mức ý nghĩa  = 5% , VaR và TvaR của tỷ suất sinh lời được tính như sau: VaR ( r ) = − [ a +  ( b − a ) ] = −[ − 0.06 + 0.05  (0.08 + 0.06) ] = 0.053  TVaR ( r ) = − [a + ( b − a ) ] = −[ − 0.06 + 0.025  (0.08 + 0.06) ] = 0.0565 2 Nghĩa là với mức tín nhiệm 95%, ước tính khoản lỗ lớn nhất của nhà đầu tư không vượt quá 100  0.053 = 5.3 (tỷ đồng) nếu đo bằng VaR và 100  0.0565 = 5.65 (tỷ đồng) nếu đo bằng TvaR. Tuy nhiên trên thực tế, không phải lúc nào cũng biết trước quy luật phân phối của tỷ suất sinh lời, do đó để xác định ước lượng của VaR và TvaR, cần tìm các tỷ suất sinh lời hàng ngày của cổ phiếu S trong lịch sử (càng nhiều càng chính xác). Giả sử ta tính được tỷ suất sinh lời mỗi ngày của cổ phiếu S trong 3 năm thì thu được 1000 quan sát là r1 , r2 , r3 ,..., r1000 . Sắp xếp lại các tỷ suất sinh lời thu được theo thứ tự tăng dần và được ký hiệu lại như sau r(1)  r( 2)  r(3)  ...  r(999)  r(1000) . Histogram dưới đây (biểu đồ 1) biểu diễn sự phân bố các tỷ suất sinh lợi hàng ngày của cổ phiếu S, các tỷ suất sinh lợi trên trục hoành được xếp từ trái sang phải, từ nhỏ nhất đến lớn nhất và có phân bố đều. Dựa vào biểu đồ, ta xác định được các ước lượng tham số của phân bố đều a = min( r1 , r2 , r3 ,..., r1000 ) = r(1) = 0.0 59932; b = max( r1 , r2 , r3 ,..., r1000 ) = r(1000 ) = 0.0799 79 . Tính ước lượng của VaR và TvaR theo phương pháp sử dụng ước lượng tham số của phân bố đều: q = a +  (b − a ) = − 0, 059932 + 0.05  [0, 079979 − ( −0, 059932) ] = −0.052936;  u = a + 2 ( b − a ) = −0, 059932 + 0.025  [0, 079979 − ( −0, 059932) ] = −0.056434 262
Biểu đồ 1. Histogram biểu diễn sự phân bố tỷ suất sinh lợi hàng ngày của cổ phiếu S trong 3 năm. Như vậy với độ tin cậy 95%, ước tính khoản lỗ lớn nhất của nhà đầu tư không vượt quá 100  0.052936 = 5.2936 (tỷ đồng) nếu đo độ rủi ro bằng VaR và 100  0.056434 = 5.6434 (tỷ đồng) nếu đo bằng TvaR. Với phương pháp thống kê theo thứ tự, ước lượng của VaR là giá trị thứ 50 trong dãy được sếp theo thứ tự tăng dần r(1)  r( 2)  r(3)  ...  r(999)  r(1000) q = r( n ) = r( 0.051000 ) = r(50 ) = − 0,052147. ˆ Suy ra uớc lượng của TvaR được xác định bởi công thức r(1) + r( 2 ) + ... + r( 50 ) u = ˆ = − 0.056336 50 Vậy theo phương pháp này với độ tin cậy 95%, ước tính khoản lỗ lớn nhất của nhà đầu tư không vượt quá 100  0.052147 = 5.2147 (tỷ đồng) nếu đo độ rủi ro bằng VaR và 100  0.056336 = 5.6336 (tỷ đồng) nếu đo bằng TvaR. Với các kết quả tính được ở trên có thể thấy rằng, cách xác định VaR và TvaR theo phương pháp tham số cho ước lượng gần với giá trị thật của chúng hơn. Tuy nhiên trong thực tế các ngân hàng và tổ chức tài chính hiếm khi sử dụng phương pháp này vì rất khó để xác định được quy luật phân phối của tỷ suất sinh lời và rủi ro, mà chủ yếu sử dụng phương pháp thống 263
kê theo thứ tự (trong tài chính, thường gọi là phương pháp lịch sử) để ước lượng VaR và TvaR. Ví dụ UBS là ngân hàng lớn nhất Thụy Sĩ áp dụng phương pháp thống kê theo thứ tự với một số liệu tổng hợp trong vòng 5 năm để xác định mức độ rủi ro tài chính. Ngoài hai phương pháp đã trình bày trong bài viết này, hiện nay rất nhiều công ty và tổ chức tài chính cũng sử dụng phương pháp Monte Carlo để tính toán giá trị rủi ro vì tính hiệu quả và tổng quát của nó. 4. KẾT LUẬN Bài viết đã trình bày hai phương pháp đánh giá ước lượng VaR và TvaR trong phân phối đều. Từ các kết quả chứng minh ở trên cho thấy trong cả hai trường hợp các ước lượng VaR và TvaR đều hội tụ theo trung bình bình phương đến giá trị thật của chúng, tuy nhiên ở trường hợp thứ nhất sự hội tụ diễn ra nhanh hơn ( 1 / n 2 so với 1 / n ). Như vậy có thể khẳng định phương pháp xác định các ước lượng VaR và TvaR thông qua ước lượng tham số của phân phối đều hiệu quả hơn. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Artzner P., Delbaen F., Eber J.-M., Heath D. (1997). Thinking coherently. Risk, 10, No.11, p. 68– 71. 2. Artzner P., Delbaen F., Eber J.-M., Heath D. (1999). Coherent measures of risk. Mathematical Finance, 9, No. 3, p. 203–228. 3. Barry C. Arnold, N. Balakrishnan, H. N. Nagaraja (2008). A first course in order statistics. New York : Wiley. 4. Cherny A.S. (2006). Weighted VaR and its properties. Finance and Stochastics, 10, No 2, p. 367- 393. 5. David R. Anderson, Dennis J. Sweeney,Thomas A. Williams, Jeffrey D. Camm, James J. Cochran (2015). Statistics for Business and Economics. Boston: Cengage Learning. 6. Жуленев С.В. (2012). Финансовая математика. Введение в классическую теорию. Ч.2. – М.: Московский университет, 432 с. 264