ÐÊ GIỚI THIỆU OLYMPIC TOÁN TOÀN QUÔC LÂN THỨ XIV NĂM 2006 MÔN: ÐẠI SÔ

Chia sẻ: Ly Tran Hiep | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

35
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

MÔN: Đại số thời gian: 180 phút NỘI DUNG: Câu 1: Cho A, B là các ma trận vuông thực cấp 2 khác 0, th a AB = BA và A2006 = B 2006 = 0 . Chứng minh ( A + B )2005 = 0 . Câu 2: Cho 1 + x1 y1 1 + x1 y2 ... 1 + x1 yn 1 + x2 y1 1 + x2 y2 ... 1 + x2 yn , xi , yi ∈ ¡, i = 1,..., n.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: ÐÊ GIỚI THIỆU OLYMPIC TOÁN TOÀN QUÔC LÂN THỨ XIV NĂM 2006 MÔN: ÐẠI SÔ

B GIÁO D C C NG HOÀ XÃ H I CH NGHĨA VI T NAM Trư ng ĐH An Giang Đ c l p - T do - H nh phúc Đ GI I THI U OLYMPIC TOÁN TOÀN QU C L N TH XIV NĂM 2006 MÔN: Đ I S Th i gian: 180 phút N I DUNG: Câu 1: Cho A, B là các ma tr n vuông th c c p 2 khác 0, th a AB = BA và A2006 = B 2006 = 0 . Ch ng minh ( A + B )2005 = 0 . Câu 2: Cho 1 + x1 y1 1 + x1 y2 ... 1 + x1 yn 1 + x2 y1 1 + x2 y2 ... 1 + x2 yn , xi , yi ∈ ¡, i = 1,..., n. ∆n = ... ... ... ... 1 + xn y2 1 + xn y2 ... 1 + xn yn Tính ∆ 2 , ∆ 3 . T đó tính ∆ n , n ≥ 4 . Câu 3: Tìm m t ma tr n vuông c p hai B = (bij ), bij ≠ 0, i, j = 1,2 sao cho B có 2 giá tr riêng λ1 = 2, λ2 = 5. Câu 4: Cho A là m t ma tr n vuông th c c p n không kh ngh ch và At là ma tr n chuy n v c a A. Ch ng minh r ng, t n t i các s th c x1 , x2 ,..., xn không đ ng th i b ng 0 th a  x1  x  [ x1 x2 .... xn ] A A  ...  = 0 2 t    xn  --------------------------------------------------------------------------- Ngư i gi i thi u Th c s Hoàng Huy Sơn Trư ng b môn Toán Trư ng Đ i h c An Giang. 1
B Giáo D c C NG HOÀ XÃ H I CH NGHĨA VI T NAM Trư ng ĐH An Giang Đ c l p - T do - H nh phúc ĐÁP ÁN Đ THI GI I THI U OLYMPIC TOÁN TOÀN QU C L N TH XIV NĂM 2006 MÔN: Đ I S Th i gian: 180 phút N I DUNG: Câu 1: Cho A, B là các ma tr n vuông th c c p 2 khác 0, th a AB = BA và A2006 = B 2006 = 0 . Ch ng minh ( A + B )2005 = 0 . GI I: T gi thi t A2006 = 0 suy ra detA = 0. Ký hi u A = (aij ), i, j = 1,2 thì ta có a a12  ,λ ∈ ¡ . A =  11 λ a11 λ a12    D th y a12   a11 (a11 + λ a12 ) a12 (a11 + λ a12 )  a a12  a11 A2 =  11 =     λ a11 λ a12  λ a11 λ a12   λ a11 (a11 + λ a12 ) λ a12 (a11 + λ a12 )  a a12  a a12  = (a11 + λ a12 )  11 = (a11 + λ a12 )  11    λ a11 λ a12   λ a11 λ a12  ⇒ A2006 = (a11 + λ a12 )2005 A. Do A2006 = 0 và A ≠ 0 nên (a11 + λ a12 ) 2005 = 0 ⇒ (a11 + λ a12 ) = 0 . V y A2 = 0. T đó An = 0, ∀n ≥ 2 . Tương t thì B n = 0, ∀n ≥ 2 . 2005 Ta có ( A + B) 2005 = ∑ C2005 A2005−n B n = 0 . (Đpcm) n n =0 Câu 2: Cho 1 + x1 y1 1 + x1 y2 ... 1 + x1 yn 1 + x2 y1 1 + x2 y2 ... 1 + x2 yn ∆n = ... ... ... ... 1 + xn y2 1 + xn y2 ... 1 + xn yn Tính ∆ 2 , ∆ 3 . T đó tính ∆ n , n ≥ 4 . GI I: 2
1 + x1 y1 1 + x1 y2 ∆2 = 1 + x2 y1 1 + x2 y2 1 1 1 x1 y2 x1 y1 1 x1 y1 x1 y2 = + + + 1 1 1 x2 y2 x2 y1 1 x2 y1 x2 y2 = 0 + y2 ( x2 − x1 ) + y1 ( x1 − x2 ) + 0 = ( x2 − x1 )( y2 − y1 ). 1 + x1 y1 1 + x1 y2 1 + x1 y3 ∆ 3 = 1 + x2 y1 1 + x2 y2 1 + x2 y3 1 + x3 y1 1 + x3 y2 1 + x3 y3 Dùng các tính ch t c a đ nh th c gi ng như đ i v i ∆ 2 , ta có các đ nh th c thành ph n đ u b ng 0 (đ u có hai c t gi ng nhau ho c t l nhau). V y ∆ 3 = 0 . Nh n xét đó cũng đúng cho các ∆ k , ∀k ≥ 4. Câu 3: Tìm m t ma tr n vuông c p hai B = (bij ), bij ≠ 0, i, j = 1,2 sao cho B có 2 tr riêng λ1 = 2, λ2 = 5.  2 0 -1 GI I: Ma tr n B c n tìm ph i đ ng d ng v i m t ma tr n D =   t c là B = PDP  0 5  2 1  -1  1 −1  v i P là m t ma tr n c p hai nào đó kh ngh ch, ch ng h n P =  1 1 ,P =    −1 2     2 1   2 0   1 −1   −1 6  V yB=     = .  1 1   0 5   −1 2   −3 8  Câu 4: Cho A là m t ma tr n vuông th c c p n không kh ngh ch và At là ma tr n chuy n v c a A. Ch ng minh r ng, t n t i các s th c x1 , x2 ,..., xn không đ ng th i b ng 0 th a  x1  x  [ x1 x2 .... xn ] A A  ...  = 0 2 t    xn  n  n n GI I: Đ t A = (aij )n . Khi đó [ x1 x2 ... xn ] At = ∑ a1 j x j ∑ a2 j x j ... ∑ anj x j   j =1  j =1 j =1 3
n   ∑ a1 j x j   x1   n  j =1  x1    x  x   n ∑ a2 j x j  2 2  n   . V y [ x1 x2 .... xn ] A A  ...  =  ∑ a1 j x j  + ... +  ∑ anj x j  . Do đó A 2 t  2 = j =1 M   j =1   j =1   M    xn   n   xn   ax  ∑ nj j   j =1   x1  x  2 2 n  n  [ x1 x2 .... xn ] A A  ...  = 0 tương đương v i  ∑ a1 j x j  + ... +  ∑ anj x j  = 0 , ta có h 2 t   j =1   j =1    xn   n 2   ∑ a1 j x j  = 0  j =1  a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0  2    n  ∑ a2 j x j  = 0 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn = 0 ⇔  j =1 vì detA = 0 nên h này có nghi m  ..................................   M   an1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn = 0 n 2  a x  = 0  ∑ nj j   j =1  không t m thư ng. --------------------------------------------------------------------------- (M i câu 2,5 đi m) Ngư i gi i thi u: Th c s Hoàng Huy Sơn Trư ng b môn Toán Trư ng Đ i h c An Giang. 4
B Giáo D c C NG HOÀ XÃ H I CH NGHĨA VI T NAM Trư ng ĐH An Giang Đ c l p - T do - H nh phúc Gi i thi u đ thi: OLYMPÍC TOÁN H C Môn thi : Gi i Tích ------------------ Câu 1: Tìm gi i h n 1 lim ∫ e− n sin x dx n→∞ 0 1 sin x Gi i : Đ t I n = ∫ e − n sin x dx ta có I n ≥ 0 , hàmy y = trên đo n [b,1] v i x 0 sin x = 1 , do đó t n t i s dương c sao 0
2006f(x-1) + 2005f(1-x) = x, ∀x ∈ R . Gi i : Thay x b i x +1 ta có 2006f(x) +2005f(-x) = x + 1 suy ra 2006f(-x) + 2005f(x) = -x +1 2 Do đó (2006 + 2005)(f(x) + f(-x)) = 2 ⇒ f ( x) + f (− x) = 4011  2006 f ( x) + 2005 f (− x) = x + 1  2 ⇒ f ( x) = x + Vy th a đ bài. 2 f ( x ) + f ( − x) = 4011   4011 ------------------------------------------------------ Giáo viên ra đ : Th c sĩ: VÕ TI N THÀNH Đ i H c An Giang 6