Bài 3: Tiệm cận hàm số 2010

Chia sẻ: Nhan Tai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

325
lượt xem 70
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bài 3: tiệm cận hàm số 2010', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài 3: Tiệm cận hàm số 2010

Nguy n Phú Khánh – à L t Bài 3 :TI M C N HÀM S 3.1TÓM T T LÝ THUY T 1. ư ng ti m c n ng và ư ng ti m c n ngang: • ư ng th ng y = y 0 ư c g i là ư ng ti m c n ngang ( g i t t là ti m c n ngang) c a ( ) ( ) th hàm s y = f x n u lim f x = y 0 ho c lim f x = y 0 . x →+∞ x →−∞ ( ) • ư ng th ng x = x 0 ư c g i là ư ng ti m c n ng ( g i t t là ti m c n ng) c a ( ) ( ) th hàm s y = f x n u lim− f x = +∞ ho c x →x 0 x →x 0 + ( ) lim f x = +∞ ho c lim f ( x ) = −∞ ho c lim f ( x ) = −∞ . x →x 0 − x →x 0 + 2. ư ng ti m c n xiên: ư ng th ng y = ax + b a ≠ 0 ( ) ư c g i là ư ng ti m c n xiên ( g i t t là ti m c n xiên) c a th hàm s y = f x n u ( ) lim f x =  f x − ax + b  = 0 ho c lim f x =  f x − ax + b  = 0  ( ) ( ) (   )  ( ) ( ) ( ) x →+∞ x →−∞ f (x ) Trong ó a = lim , b = lim  f x − ax  ho c ( ) x →+∞ x x →+∞   ( ) f x , b = lim  f x − ax  . a = lim x →−∞ x x →−∞   ( ) Chú ý : N u a = 0 thì ti m c n xiên tr thành ti m c n ng. 3.2 D NG TOÁN THƯ NG G P Ví d 1 : Tìm ti m c n c a th hàm s : 2x − 1 x2 + 1 1. y = 3. y = x +2 x x2 − x + 1 4. y = 1 + 1 − x 2 2. y = x −1 Gi i : 2x − 1 1. y = x +2 * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên D = » \ 2 . {} 86
Nguy n Phú Khánh – à L t 1 2− 2x − 1 x = 2 và * Ta có: lim y = lim = lim x →−∞ x →−∞ x + 2 x →−∞ 2 1+ x 1 2− 2x − 1 x = 2 ⇒ y = 2 là ti m c n ngang c a lim y = lim = lim th khi x →+∞ x →+∞ x + 2 x →+∞ 2 1+ x x → −∞ và x → +∞ . 2x − 1 lim y = lim = −∞ và − − x +2 ( ) x → −2 x → −2 ( ) 2x − 1 lim y = lim = +∞ ⇒ x = −2 là ti m c n ng c a th khi + + x +2 ( ) x → −2 x→ ( ) −2 − + y 2x − 1 ( ) x → −2 và x → −2 ;( ) lim = lim = 0 ⇒ hàm s f không x →−∞ x ( x →−∞ x x + 2 ) có ti m c n xiên khi x → −∞ . 1 2− y 2x − 1 x = 0 ⇒ hàm s y không có ti m c n lim = lim = lim x →+∞ x x →+∞ x x + 2 ( ) x →+∞ x + 2 xiên khi x → +∞ . x2 − x + 1 2. y = x −1 * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên D = » \ 1 {} 1 * Ta có: y = x + x −1  1  ⇒ lim y = lim  x +  = +∞ và x →1+ x →1+  x −1  1  lim y = lim  x +  = −∞ ⇒ x = 1 là ti m c n ng c a th hàm s x →1− x →1− x −1  1  khi x → 1+ và x → 1− ; lim y = lim  x +  = +∞ và x →+∞ x →+∞  x −1  1  lim y = lim  x +  = −∞ ⇒ hàm s không có ti m c n ngang x →−∞ x →−∞  x −1 87
Nguy n Phú Khánh – à L t 1 1 lim (y − x ) = lim = 0 và lim (y − x ) = lim =0 x →+∞ x →+∞ x − 1 x →−∞ x →−∞ x − 1 ⇒ y = x là ti m c n xiên c a th hàm s khi x → +∞ và x → −∞ . x2 + 1 3. y = x * Hàm s ã cho xác {} nh và liên t c trên D = » \ 0 . 1 −x 1 + lim y = lim x 2 = − lim 1 + 1 = −1, ⇒ y = −1 là ti m c n ngang x →−∞ x →−∞ x x →−∞ x2 c a th hàm s khi x → −∞ . 1 x 1+ lim y = lim x 2 = lim 1 + 1 = 1, ⇒ y = 1 là ti m c n ngang c a x →+∞ x →+∞ x x →+∞ x2 th hàm s khi x → +∞ . x2 + 1 x2 + 1 lim y = lim = −∞ , lim y = lim = +∞ ⇒ x = 0 là ti m c n − x →0 − x →0 x x → 0+ x → 0+ x ng c a th hàm s khi x → 0− và x → 0+ 1 −x 1 + y x2 + 1 x 2 = 0 ⇒ hàm s y không có ti m c n lim = lim = lim x →−∞ x x →−∞ x2 x →−∞ x2 xiên khi x → −∞ 1 2 x 1+ y x +1 x 2 = 0 ⇒ hàm s y không có ti m c n xiên lim = lim = lim x →+∞ x x →+∞ x2 x →+∞ x2 khi x → +∞ 4. y = 1 + 1 − x 2   −1 ≤ x ≤ 1 2  y = 1 + 1 − x ⇔ y ≥ 1  2 2 x + y − 1  ( ) =1 Do ó ( ) th hàm s là n a ư ng tròn tâm I 0;1 , bán kính R = 1 . V y th hàm s không có tiêm c n. Chú ý : 88
Nguy n Phú Khánh – à L t u(x ) Cho hàm phân th c f (x ) = . v(x ) v(x ) = 0  a) S ti m c n th hàm s là s nghi m c a h  ng c a . u(x ) ≠ 0  b) th hàm s có ti m c n ngang ⇔ deg u(x ) ≤ deg v(x ) , trong ó deg là b c c a a th c. c) th hàm s có ti m c n xiên ⇔ deg u(x ) = deg v(x ) + 1 .Khi ó tìm u1 (x ) ti m c n xiên ta chia u(x ) cho v(x ) , ta ư c: y = ax + b + , trong ó v(x ) deg u1 (x ) < deg v(x ) u1 (x ) u1 (x ) ⇒ lim = lim = 0 ⇒ y = ax + b là TCX c a th hàm s . x → +∞ v(x ) x → −∞ v(x ) *N u th hàm s có ti m c n ngang thì không có ti m c n xiên và ngư c l i. Bài t p t luy n: Tìm ti m c n c a th hàm s : 3x − 2 3. y = x + x 2 + 4x + 5 1. y = 3x + 4 x 2 + 5x + 1 2x 2 + 3x − 4 2. y = 2. y = x +2 5x − 2 Ví d 2: Tìm ti m c n c a các th hàm s sau: 1. y = x 2 − 2x + 2 2. y = x + x 2 − 1 Gi i : 1. y = x 2 − 2x + 2 * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » . y x 2 − 2x + 2 2 2 * Ta có: a = lim = lim = lim 1 − + =1 x →+∞ x x →+∞ x x →+∞ x x2   b = lim (y − ax ) = lim  x 2 − 2x + 2 − x  x →+∞ x →+∞   2 −2 + −2x + 2 x = lim = lim = −1 x →+∞ 2 x →+∞ 2 2 x − 2x + 2 + x 1− + +1 x x2 ⇒ y = x − 1 là ti m c n xiên c a th hàm s khi x → +∞ . 89
Nguy n Phú Khánh – à L t y x 2 − 2x + 2 2 2 a = lim = lim = − lim 1 − + = −1 x →−∞ x x →−∞ x x →−∞ x x2   b = lim (y − ax ) = lim  x 2 − 2x + 2 + x  x →−∞ x →−∞   2 −2 + −2x + 2 x = lim = lim =1 x →−∞ 2 x →−∞ 2 2 x − 2x + 2 − x − 1− + −1 x x2 ⇒ y = −x + 1 là ti m c n xiên c a th hàm s khi x → −∞ . 2. y = x + x 2 − 1 * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên D = −∞; −1 ∪ 1; +∞ . (   ) y x + x2 − 1  1  a = lim = lim = lim  1 + 1 − =2 x →+∞ x x →+∞ x x →+∞  2  x     −1 x →+∞ ( ) b = lim y − ax = lim  x 2 − 1 − x  = lim x →+∞   x →+∞ x 2 − 1 + x =0 ⇒ y = 2x là ti m c n xiên c a th hàm s khi x → +∞ . y x + x2 − 1  1  a = lim = lim = lim  1 − 1 − =0 x →−∞ x x →+∞ x x →+∞  2  x     −1 b = lim y = lim  x 2 − 1 + x  = lim =0 x →−∞ x →−∞   x →−∞ x 2 − 1 − x ⇒ y = 0 là ti m c n ngang c a th hàm s khi x → −∞ . Nh n xét: 1) Xét hàm s y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) . *N ua 0 th hàm s có ti m c n xiên y = a (x + ) khi x → +∞ và 2a  b  y = − a x +  khi x → −∞ .  2a  2) th hàm s y = mx + n + p ax 2 + bx + c (a > 0) có ti m c n là ư ng b th ng : y = mx + n + p a | x + |. 2a 90
Nguy n Phú Khánh – à L t Bài t p t luy n: Tìm ti m c n c a th hàm s : x −2 3. y = x − x 2 + 2x + 3 1. y = −x x +4 Ví d 3: Tùy theo giá tr c a tham s m . Hãy tìm ti m c n c a th hàm s x −1 sau: y = . mx 3 − 1 Gi i : * m = 0 ⇒ y = −x + 1 ⇒ th hàm s không có ti m c n. x −1 * m = 1 ⇒ f (x ) = ⇒ lim f (x ) = lim f (x ) = 0 ⇒ y = 0 là ti m c n x3 − 1 x → +∞ x → −∞ ngang c a th hàm s khi x → +∞ và x → −∞ . 1 Vì lim f (x ) = lim = ⇒ th hàm s không có ti m c n ng x →1+ x →1− 3 m ≠ 0   1    *  ⇒ hàm s xác nh trên D = » \   m ≠ 1  3 m    ư ng th ng y = 0 là ti m c n ngang c a th hàm s . 1 ư ng th ng x = là ư ng ti m c n ng c a th hàm s . 3 m Bài t p t luy n: Tùy theo giá tr c a tham s m . Hãy tìm ti m c n c a th hàm s sau: y= ( m − 1) x 2 +m +2 . mx 4 + 4 1 Ví d 4: Tìm m hàm s y = mx + có c c tr và kho ng cách t i m x 2 c c ti u c a hàm s ã cho n ư ng ti m c n xiên c a nó b ng . 17 Gi i : * Hàm s ã cho xác ( ) ( nh và liên t c trên −∞; 0 ∪ 0; +∞ . ) 1 * Ta có : y ' = m − ,x ≠ 0 . x2 91
Nguy n Phú Khánh – à L t hàm s ã cho có c c tr thì phương trình y ' = 0 có hai nghi m phân bi t khác 0 . 1 1 1 V i m > 0 thì y ' = 0 ⇔ m − = 0 ⇔ x1 = − < x2 = và i m c c x2 m m  1  ti u c a hàm s là A  ;2 m  .  m  1 1 Vì lim x →−∞ x = lim x →+∞ x () = 0 nên d : y = mx là ư ng c n xiên. 1 m −2 m 2 m 2 m 2 Theo bài toán d = ⇔ = ⇔ = (A,(d )) 17 m2 + 1 17 m2 + 1 17 m = 4 17.m = 2 m + 1 ⇔ 4m − 17m + 4 = 0 ⇔  2 2 . m = 1   4 Bài toán tương t : mx 2 − mx + m − 1 Tìm m hàm s y = có c c tr và kho ng cách t i m x −1 1 c c ti u c a hàm s ã cho n ư ng ti m c n xiên c a nó b ng . 2 Ví d 5 : Cho hàm s y = ( ) mx 2 + m 2 + m + 2 x + m 2 + 3 . Tìm m x +1 kho ng cách t g c O n ti m c n xiên ho c ngang là nh nh t . Gi i : * Hàm s ã cho xác ( nh và liên t c trên −∞; −1 ∪ −1; +∞) ( ) y= ( ) mx 2 + m 2 + m + 2 x + m 2 + 3 = mx + m 2 + 2 + 1 , x ≠ −1 x +1 x +1 1 1 Vì lim x →−∞ x + 1 = lim x →+∞ x + 1 () = 0 nên d : y = mx + m 2 + 2 () ⇔ d : mx − y + m 2 + 2 = 0 là ư ng c n xiên ho c ngang c a hàm s . m2 + 2 1 ( Ta có : d O; d = ) = m2 + 1 + ≥2 m2 + 1 m2 + 1 92
Nguy n Phú Khánh – à L t 1 ( ) V y d O; d nh nh t b ng 2 khi m2 + 1 = ⇔ m = 0. m2 + 1 Khi ó hàm s có ti m c n ngang là y = 2 . Bài toán tương t : Cho hàm s y = ( ) x 2 + m + 2 x + m 2 − 4m + 3 . Tìm m kho ng cách t g c mx + 1 O n ti m c n xiên ho c ngang là nh nh t . mx 2 + (3m 2 − 2)x − 2 Ví d 6: Cho hàm s y = x + 3m ( ) C m ,v i m ∈ » . 1. Tìm m góc gi a hai ti m c n c a th (Cm ) b ng 450 . 2. Tìm m ( ) th C m có ti m c n xiên t o c t hai tr c t a t i A, B sao cho tam giác ∆AOB có di n tích b ng 4 . Gi i : 6m − 2 Ta có: y = mx − 2 + x + 3m 1 th hàm s có hai ti m c n ⇔ 6m − 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ . 3 Phương trình hai ư ng ti m c n là: ∆1 : x = −3m ⇔ x + 3m = 0 Và ∆2 : y = mx − 2 ⇔ mx − y − 2 = 0 . Véc tơ pháp tuy n c a ∆1 và ∆2 l n lư t là : n1 = (1; 0), n2 = (m; −1) 1. Góc gi a ∆1 và ∆2 b ng 450 khi và ch khi n1.n2 m 2 0 cos 45 = cos = = ⇔ 2m 2 = m 2 + 1 ⇔ m = ±1 n1 . n2 m2 + 1 2 V y m = ±1 là nh ng giá tr c n tìm. m ≠ 0  2  2. Hàm s có ti m c n xiên ⇔  1 . Khi ó: A(0; −2), B  ; 0  m ≠ m   3 1 1 2 Ta có: S ∆ABC = OAOB = 4 ⇔ . | −2 | . . = 4 ⇔ m = ±2 2 2 m V y m = ±2 là nh ng giá tr c n tìm. Bài toán tương t : 93
Nguy n Phú Khánh – à L t ( m − 1) x 2 + (m + 1)x − 2m + 3 Cho hàm s y= x − 2m (Cm ) ,v i m ∈ » . 1. Tìm m góc gi a hai ti m c n c a th (Cm ) b ng 450 . 2. Tìm m ( ) th C m có ti m c n xiên t o c t hai tr c t a t i A, B sao cho tam giác ∆AOB có di n tích b ng 4 . x2 + x + 1 Ví d 7: Cho hàm s y = x −1 có ( ) th là C . Ch ng minh r ng: 1. Tích kho ng cách t m t i m b t kì trên C ( ) n hai ti m c n không i 2. Không có ti p tuy n nào c a C ( ) i qua giao i m c a hai ti m c n. Gi i : * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên D = » \ 1 . {} 3 1. Ta có: y = x + 2 + ⇒ hai ti m c n c a th hàm s là ∆1 : x − 1 = 0 x −1 và ∆2 : x − y + 2 = 0  3  G i M ∈ (C ) ⇒ M  x 0 ; x 0 + 2 +  x0 − 1  (  ⇒ d1 = d M , ∆1 = x 0 − 1 )   3 x0 − x0 − 2 − +2 x0 − 1 3 ( ) d2 = d M , ∆ 2 = = 2 2 x0 − 1 3 3 2 ⇒ d1.d2 = x 0 − 1 = pcm. 2 x0 − 1 2 2. G i I = ∆1 ∩ ∆2 ⇒ I (1; 3) Gi s ∆ là ti p tuy n b t kì c a th (C) ⇒ phương trình c a ∆ có d ng  3  3 ∆ : y = y '(x 0 )(x − x 0 ) + y 0 =  1 −  (x − x ) + x + 2 +  2 (x 0 − 1)  0 0 x0 − 1   3  3 ⇒ I ∈ ∆ ⇔ 1 −  (1 − x ) + x + 2 + =3  (x 0 − 1)2  0 0 x0 − 1   94
Nguy n Phú Khánh – à L t 3 3 6 ⇔ 1 − x0 + + x0 + 2 + −3 =0 ⇔ = 0 ta th y phương trình x0 − 1 x0 − 1 x0 − 1 này vô nghi m. V y không có ti p tuy n nào c a th (C) i qua I . 95