(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
§1. MA TRẬN
§2. ĐỊNH THỨC
------------------------------------------------------ §1. MA TRẬN
1.1. Các định nghĩa
a) Định nghĩa ma trận
• Bảng các số thực
ija dạng hình chữ nhật gồm có m
dòng và n cột được gọi là một ma trận cấp m n× .
1
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
dòng 1
11
12
n 1
dòng 2
A
a a 21 ⋮
a a ... a a ... n 22 2 ⋮ ⋱ ⋮
a
a
...
dòng m
m
m
mn
1
2
= a
cột n
cột 2
cột 1
2
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
• Các số
ija được gọi là các phần tử của A ở dòng thứ i
và cột thứ j .
A
• Ma trận A như trên được viết gọn là
.
=
a (
)ij m n
×
ℝ , ta viết
ℝ . Khi
là
A
=
∈
(
)
(
)
A M × m n
m nM ×
• Tập hợp các ma trận thực A cấp m n× được ký hiệu )ij m n ( a
×
.
3
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
• Ma trận vuông
A
Ký hiệu là
(cid:2) Khi m n= , ta gọi A là ma trận vuông cấp n . .
a= (
)ij n Đường chéo chính của ma trận vuông
11
12
n 1
a a ... a a ... n 22 2 ⋮ ⋱ ⋮
a
a
...
n
n
nn
1
2
4
a a 21 ⋮ a
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
Đường chéo phụ của ma trận vuông
11
12
n 1
a a ... a a ... n 22 2 ⋮ ⋱ ⋮
a
a
...
n
n
nn
1
2
a a 21 ⋮ a
5
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
• Các ma trận vuông đặc biệt
Ma trận chéo (diagonal matrix)
A
M
ℝ ( )
=
∈
n
11 0 ⋮
0 a 22 ⋮
... 0 0 ... ⋮⋱
a
0
0
...
nn
a
A
a
=
diag
,...,
.
nn
22
( a a , 11
)
6
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
Ma trận đơn vị (Identity matrix)
I
M
=
∈
ℝ ( )
n
n
1 0 ⋮
0
0 ...
0 ... 0 1 ... 0 ⋮ ⋱ ⋮ 1
7
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
Ma trận tam giác (Triangle matrix)
(cid:2) Ma trận ma trận vuông cấp n có tất cả các phần tử nằm phía dưới (trên) đường chéo chính đều bằng 0 được gọi là ma trận tam giác trên (dưới).
3
B
A
4
=
1
1 5 2
0
= −
0 0 1 0
1 0 − 0 0 0
− 2 1
8
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
Ma trận đối xứng (Symmetric matrix)
• Ma trận vuông cấp n có tất cả các cặp phần tử đối
a xứng nhau qua đường chéo chính bằng nhau ( ij
a= ) ji
được gọi là ma trận đối xứng.
3 4
4 1
1
0
2
−
− 1 0
9
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
b) Ma trận bằng nhau
A
Hai ma trận
và
a= (
b= (
)ij
)ij
.
được gọi là bằng B nhau, ký hiệu A B= , khi và chỉ khi chúng cùng i j a kích thước và ,
=
∀
,
b ij
ij
x
B
A
và
VD 1. Cho
y t
2
1 = z
1 0 = u 2
− 1 . 3
A B
x
y
z
u
t
= ⇔ =
0;
= −
1;
=
2;
=
2;
= . 3
10
Ta có:
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
1.2. Các phép toán trên ma trận a) Phép cộng và trừ hai ma trận
A
B
Cho hai ma trận
và
, ta có:
=
a (
=
)ij m n
b ( )ij m n
×
×
A B
± =
a (
±
.
ij
b ) ij m n ×
;
+
=
2 − 4
4 − 3
.
−
=
2 − 4
3 0 3 6
− 1 0 VD 2. 3 2 − 1 0 3 2
2 5 2 5
2 0 − 3 1 2 0 3 1 −
1 0 7 0 − −
0 5 −
11
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
Tính chất.
+ = + .
) + + = + + .
( B C
.
3) A
A
1) A B B A ) 2) ( A B C A + =0
12
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
b) Phép nhân vô hướng
A
Cho ma trận
=
a (
và λ ∈ ℝ, ta có:
)ij m n
×
A
λ
=
a λ (
.
) ij m n ×
1 1
3
−
3
0
VD 3.
;
−
3
2 0
6
0
− −
0 = − 4
12
2
6 4
1
3 2
.
4 0 8
2 0 4
−
= 2 −
13
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
λ
A B
A
λ B ± .
Tính chất. 1) ( λ
) ± =
µ
λ
A
A
λ µ ±
= ± .
2) (
)A
0.
3) .A =0
14
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
c) Phép nhân hai ma trận
A
B
Cho hai ma trận
và
, ta có:
=
a (
=
b (
)kj
n p ×
AB
.
=
)ji m n × c ( ) ik m p ×
n
p
.
=
=
1,
m k ;
=
1,
c Trong đó, ik
a b ij
jk
∑
( i
)
j
= 1
15
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
Sơ đồ nhân hai ma trận
Phần tử dòng i, cột k
×
×
⋯
a
a
i
i
in
2
1
ikc
b k 1 b k 2 ⋮
a
=
b nk
+
×
16
) 1 2 3
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức − 1 . 2 − 5
) 1 2 3
Giải. (
VD 4. Thực hiện phép nhân ( − 1 = − + − 2 ( 1 − 5
17
= − 15) 4 ( 12).
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
.
1 2
VD 5. Thực hiện phép nhân (
1
) 1 −
1 0 − 3 0
.
1 = − −
Giải. (
) 1 2
(
) 1 6
1 − 1
1 0 − 3 0
18
0
2
1
1
2 0
VD 6. Tính −
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức − 1 1 3 − 1
. 1 − 3
.
2 1
19
− 4 9 1 1 Giải. − 2 0 4 − 7 1 3 − 1 3 − 0 − = 1
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
Tính chất
;
1) (
AB C A BC =
)
(
)
A B C
;
2) (
+ = )
AB AC +
;
3) (
A B C AC BC =
+
+
)
AB
;
λ 4) (
)
=
λ (
A B A B =
λ (
)
)
AI
A I A
5)
= =
ℝ . ( ))
m
m n
n
A M × ( ∈
20
A
B
VD 7. Cho
và
.
=
=
−
2
0
−
2
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức − 1 0 − 3
1 0 2 − 0 3
− − 1
2 1 3 1 1 0
Thực hiện phép tính: a) AB ; b) BA.
0
Giải − − − 1
AB
a)
.
=
−
2
0
0
2
2
−
3
0
−
2
−
1 2
1 3
2 1 3 1 1 0
− − 3 = − − − 9
1 1 0 3 3
21
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
b)
=
0 − 2
2 4 3 6
− −
−
2
0
−
0
2
−
− − 1 − 0
2 1 1 3 1 2 1 0 3
1 − 0 3
− = −
2 . 3 2
22
BA
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
d) Phép lũy thừa ma trận
• Lũy thừa của ma trận
A M∈
ℝ là: ( )
n
k
+ 1
0 A
=
=
k A A ,
=
k A A A A =
.
.
∀ ∈ ℕ k )
(
1 I A , n
Tính chất.
Ok
.
I
1) (
) =O
k ) =
n
n ; ( I
n
n
l
2)
A
k A A .
+ =k l
kl
3)
A
=
l ) ( k A .
23
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
. Tính
3.
,A A2
VD 8. Cho ma trận A
1 = 0
− 1 1
Giải. Ta có
2
A
A A .
=
=
=
1 0
1 1 − . 0 1
1 − 1
1 0
2 − ; 1
3
A
2 A A .
=
=
=
1 0
1 2 − . 0 1
1 − 1
1 0
3 − . 1
24
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
Chú ý. Nếu
A
=
k
A
=
) ( a ,..., nn a a , diag 11 22 ( k k k a a a ,..., , diag nn 22 11
thì ) .
D
.
A
, C
1
VD 9. Tìm ma trận − =
2 1 , B 0
( ABC = 0 3 = − 8
5, trong đó ) 1
0 1 = 1 2
25
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
e) Phép chuyển vị ma trận
Chuyển dòng thành cột
ij ma (
) n
ji na (
) m
×
×
a (
) m
i j
) ij n
m
n ×
×
a (
T =
Ma trận chuyển vị của (
ij ma
) n
×
26
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
VD 10.
1
4
TA
A
4 5
=
1 2 3 6
5 6
2 = 3
=
A
T A
)T λ=
A= ;
.
T T A B ± ; )TTA ; ( T T B A=
Tính chất 1) ( 2) ( λ 3) (
A B ± )T )T AB
27
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
VD 11. Cho A
, B
1 0
1 0 = − 1 0
− 2 . 3 −
− 1 = 2 − − 2 3 )TAB .
a) Tính ( b) Tính T TB A và so sánh kết quả với (
)TAB .
28
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức 1.3. Phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận
1) Hoán vị dòng i và dòng k để A trở thành B
d i
d k
A
B
↔ →
2) Nhân dòng i với số
λ ≠ để A trở thành C d i
0 d i
A
C
λ→ → 3) Thay dòng i bởi tổng dòng i với λ lần dòng k để
A thành D
d i
d k
d i
A
D
λ→ + →
29
(Gauss – Jordan)
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
(cid:2) Chú ý:
1) Trong dạng 3), số thực λ có thể là 0.
2) Trong thực hành ta thường làm gộp
d i
d λ k
A
E
d µ → + → i
3) Tương tự, ta cũng có các phép biến đổi sơ cấp trên
cột của ma trận.
30
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
1.4. Ma trận bậc thang • Một dòng của ma trận có tất cả các phần tử đều bằng
0 được gọi là dòng bằng 0 (hay dòng không).
• Phần tử khác 0 đầu tiên tính từ trái sang của 1 dòng trong ma trận được gọi là phần tử cơ sở của dòng đó.
• Ma trận bậc thang là ma trận khác không cấp m n×
2)
m n ≥ thỏa hai điều kiện: ( , 1) Các dòng bằng 0 (nếu có) ở phía dưới các dòng
khác 0;
31
2) Phần tử cơ sở của 1 dòng bất kỳ nằm bên phải
phần tử cơ sở của dòng ở phía trên dòng đó.
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
VD 12. Các ma trận bậc thang:
1 0
0 ... 0 1 ... 0
.
nI
1 0 2 0 0 3 , 0 0 0
0 1 2 3 0 0 4 5 , 0 0 0 1
= ... 0
... ... ... 0 ... 1
0 2 7
1 3 5
Các ma trận không phải là bậc thang:
3 1 4
0 3 4
0 0 4
0 0 5
0 0 5
0 0 0
,
, 2 1 3
32
.
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
1.5. Ma trận khả nghịch
a) Định nghĩa
• Ma trận
được gọi là khả nghịch nếu tồn
A M∈
(
)ℝ
n
tại một ma trận
sao cho
B M∈
(
)ℝ
n
AB BA I
=
= . n
• Khi đó, B được gọi là ma trận nghịch đảo của A .
Ký hiệu: B A−= 1 .
33
. Hai ma
VD 13. Xét A
và B
1
3 = − =
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức − 5 2 5 = 2 1 3 trận này là nghịch đảo nhau vì AB BA I = 2.
Tính chất.
1) Ma trận nghịch đảo của A , nếu có, thì duy nhất.
−
1
.
2)
AA
−=
1 A A I =
n
−
1
−
1
1
−
.
A
I
=
=
; ( I
)n
n
3) (
)A
34
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
1
1.
1 − − B A
=
4) (
− )AB
5) Nếu ad bc− ≠ 0 thì
.
1 − a b = c d
d 1 − − ad bc c
− b a
VD 14. Cho A
và B
1.
2 5 = 1 3 Thực hiện phép tính : a) (
2 1 = . 3 2 )AB −1; b) B A− −1
35
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
Chú ý.
• Nếu A là ma trận khả nghịch thì
.
AX B
X A B−
= ⇔ = 1
1.
XA B
X BA−
= ⇔ =
• Nếu
,A B là các ma trận khả nghịch thì
−
1.
AXB C
X A CB−
= ⇔ = 1
36
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
.
VD 15. Cho A
5 = − 3
− = −
− 4 1 3 và B 2 3 2 Tìm ma trận X sao cho AX B= .
37
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức b) Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ
cấp trên dòng
1A− như sau:
ℝ khả nghịch, ta tìm ( )
n
(ma trận chia khối) bằng
A M∈ Cho )nA I Bước 1. Lập ma trận ( cách ghép ma trận nI vào bên phải của A.
)nA I
) về dạng ( nI B . 1A B
Bước 2. Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ( Khi đó:
− = .
38
.
VD 16. Tìm ma trận nghịch đảo của A
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức 1 1 2 = 1 2 2 1 3 3
39
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
40
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
§2. ĐỊNH THỨC
A
M
Cho
=
∈
ℝ . ( )
ij
n
( a
n
• Ma trận
2.1. Định nghĩa ) ijM có cấp
n − thu được từ A bằng cách 1 bỏ đi dòng thứ i và cột thứ j được gọi là ma trận con của A ứng với phần tử
A
VD 1. Ma trận
ija . 1 2 3 có các ma trận con ứng 4 5 6 = 7 8 9
với các phần tử
ija là:
41
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
42
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
• Cho
ℝ . Định thức của A , ký hiệu là det A
A M∈
(
)
n
hay A , là một số thực được định nghĩa:
A
(cid:2) Nếu
thì
)
11
a
12
11
a a
A
thì
.
(cid:2) Nếu
detA a a =
−
11 22
12 21
a
22
21
(cid:2) Nếu
detA a= . (cấp
+
det
+ + ...
a= 11( a = a a= )ij n ( A a A = 11
n ≥ ) thì: 3 a A 12 12
11
a A n n 1 1
j
+
M
trong đó,
det
ijA được
A ij
ij
43
i = − ( 1) gọi là phần bù đại số của phần tử
và số thực ija .
A
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
3
B
A
,
.
=
2
= 1
− 2 4
1
VD 2. Tính định thức của các ma trận sau: − 1 1
1 2 − 3 2 1
44
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
(cid:3) Quy tắc 6 đường chéo
Ta cần tính định thức:
.
a 11 a
a 12 a
a 13 a
21
22
23
a
a
a
31
32
33
11
12
13
11
12
21
22
23
21
22
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
31
32
33
31
32
(Tổng của tích các phần tử trên đường chéo nét liền trừ đi tổng của tích các phần tử trên đường chéo nét đứt).
45
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
0 0 3
4 1 2
A
3 1 0
5
VD 3. Tính định thức của ma trận: − 1 − 1 . 2
= 2 3 3
46
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
2.2. Các tính chất cơ bản của định thức
A
M
Cho ma trận vuông
=
∈
ℝ , ta có các ( )
ij
n
( a
)
n
tính chất cơ bản sau:
A det .
det =
a) Tính chất 1 ( TA
)
VD 4.
.
1 2 2 3 − 2 1 = 1 3 2 − 2 − 1 1 = − 12
47
− 1 1 1 2 1 1
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
b) Tính chất 2
d
d ↔
i
j
A
A= − .
→ thì B B
c
c ↔
i
j
A
A= − .
B → thì B
1
−
1 1
VD 5.
2
2
1 .
= −
− 1 1 1
= −
3
1
2
1 2 2 3 − 2 1 − 2 1 2
48
− 1 1 1 1 3 2
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
Hệ quả. Nếu định thức có ít nhất 2 dòng (hoặc 2 cột)
giống nhau thì bằng 0.
2
3
x
x
x
2
5
y
y
VD 6.
= . 0
1
2
5
= ; 0 3 3 2 2 1 1
y
y
1
49
1 1 7
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
c) Tính chất 3
d
d
i
i
.
A
λ→ → thì B B
Aλ=
c
c
i
i
.
A
λ→ → thì B B
Aλ=
VD 7.
3.1 0 3.( 1) 2 − − 2 1 1 0 3 2 1 =
50
3 1 7 3 1 − 1 − ; 2 7
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
3
3
x
x
x
x
x
+
1
1
3
3
x
y
y
y
y
.
+
1
x = + (
1) 1
3
3
x
z
z
z
z
+
1
1
Hệ quả
1) Nếu định thức có ít nhất 1 dòng (hoặc 1 cột)
bằng 0 thì bằng 0.
2) Nếu định thức có 2 dòng (hoặc 2 cột) tỉ lệ với
nhau thì bằng 0.
51
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
0
1
x 2
x
VD 8.
.
= ; 0
0
3
y 2
6 2 − − 6 2 9 − = 3 0
x
y
0
− − 8 3 12
d) Tính chất 4
d
λ→ + d d
j
i
i
A
B
A= .
→ thì B
c
λ→ + c c
i
i
j
A
B
A= .
→ thì B
52
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
2.3. Định lý khai triển Laplace
a) Khai triển theo dòng thứ i
n
i
1
1
2
j
j
+
M
Trong đó,
= −
i ( 1)
det(
= 1 . )
A ij
ij
det + + + ... A a A = i a A in in a A i i 2 = ∑ a A . ij ij
b) Khai triển theo cột thứ j
n
det
=
+
+ + ...
.
j
j
j
a A nj nj
a A ij ij
A a A 1
1
a A j 2 2
= ∑
i
= 1
53
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
VD 9. Tính định thức
bằng hai cách:
1 0 0 2 2 0 1 2 1 3 2 3 3 0 2 1
khai triển theo dòng 1 và khai triển theo cột 2.
( 1) +− 1 1
( 1) +− 1 4
Giải. Khai triển theo dòng 1: 1 0 0 2
0 1 2 2 0 1
2 0 1 2
= 1.1. 3 2 3 + − ( 1).2. 1 3 2 = . 3
1 3 2 3
54
0 2 1 3 0 2
3 0 2 1
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
• Khai triển theo cột 2:
1 0 0 2
1 0 2 ( 1).3. 2 1 2 = − = . 3
2 0 1 2 1 3 2 3
3 2 1
( 1) +− 3 2
55
3 0 2 1
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
VD 10. Áp dụng các tính chất và định lý khai triển 1 2
1 1 −
2 3
1 1
Laplace, hãy tính định thức
.
1 3
2 3
1 2 − 1 2
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
57
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức Các kết quả đặc biệt cần nhớ
1) Dạng tam giác
a
12
n 1
11
a a
a a
a a
0 a
11 0
... ...
... ...
0 0
a a
=
=
a ...
.
nn
11 22
n 2 ... a
21 ... a
22 ... a
... a
... 0
22 ... 0
... ...
... ...
nn
n
n
nn
1
2
AB
B
)
=
A det .det
.
2) Dạng tích: det(
58
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
3) Dạng chia khối
⋮ A B … … …
C
, với
=
A det .det
A B C M∈
,
,
ℝ . ( )
n
⋮
C
O n
59
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
.
VD 11. Tính định thức det A
=
1 0 0
3 2 2 7 − 3 0
4 19 0
0
0
0
−
1
60
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
.
VD 12. Tính định thức det B
=
0 3 1 0
3 0 2 7 − 3 2 8 0
4 19 7 1 −
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
VD 13. Tính định thức của ma trận
.
C
1 1 2 0 = 1 2
1 2 1 4 − . 3 − 3
2 1 3 1 2 1
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
VD 14. Tính định thức của ma trận
.
D
2 1
1
−
1 1 2 0 = 1 2
3 1 4 1 2 1 4 − − 1 2 0 2 1 3 3 3 1 2 1
T
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
2.4. Ứng dụng định thức tìm ma trận nghịch đảo
a) Định lý Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi: det
A ≠ 0.
VD 15. Tìm các giá trị của tham số m để ma trận sau
−
1
.
A
=
1 m
m
0
1
khả nghịch: m m
m
1
T m 0 − 1
0 2
64
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
65
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
VD 16. Tìm m để ma trận sau khả nghịch:
.
A
3 m
=
3
1 − 1 0
m +
3 − m 7 + m 7 2 +
66
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
b) Thuật toán tìm A–1
• Bước 1. Tính detA. Khi đó:
1) nếu det
0A = thì ta kết luận A không khả nghịch;
2) nếu det
0A ≠ , ta làm tiếp bước 2.
j
+
M
A
,
i ( 1)
= −
det(
. )
adj
A ij
ij
) ij n
• Bước 2. Tính ma trận phụ hợp (adjunct matrix) T
A = (
A
A
− = 1
.adj
• Bước 3.
A
1 det
67
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
VD 17. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của
A
1 2 1 = 1 1 2 3 5 4
.
VD 18. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của
.
A
1 2 1 = 0 1 1 1 2 3
68
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
69
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
70
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
VD 19. Tìm ma trận X thỏa phương trình
1 2 2
1 0 2
X
=
2 4
5 6 0 7
3 1 0 1 1 1
−
.
71
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
2.5. Hạng của ma trận
Cho ma trận
ℝ . Hạng của A là một số
∈
(
)
A M × m n
nguyên r sao cho:
• Mọi ma trận con cấp lớn hơn r đều có định thức
bằng 0.
• Tồn tại một ma trận con cấp r có định thức khác 0.
Hạng của A được ký hiệu là ( ) r A .
72
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
VD 20. Tìm hạng của ma trận
;
.
b) B
a) A
=
3
6 4
− =
1 2 0
1 2 − 0 3 2 5
3 2 − 1 −
Tính chất. Cho ma trận
. Khi đó
A M
(
)ℝ
∈ m n ×
•
0 ≤
≤ min
( ) r A
{ } m n . ;
=
• ( ) r A
) ( T r A .
73
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
• Với
.
A
det
n = ⇔
≠
0
thì ( ) r A
(
)ℝ
A M ∈ n
r A không đổi qua các phép biến đổi sơ cấp trên
• ( )
ma trận.
r A bằng với số dòng khác không của ma trận bậc
• ( )
thang có được từ A .
74
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
VD 21. Tìm hạng của ma trận A
3 4 2 5 1 4
8 5 6
1 − = 2 − − 3
.
VD 22. Cho A
. Tìm ( ) r A .
1 − 0 2 1
3 0 0 4 −
1 2 − 1 0 = 1 0 − 1 0
75
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
VD 23. Tìm giá trị của tham số m để ma trận
m
A
m
=
2
r A = 2 .
3 0 3
1 + 1
+ 1 có ( ) 2 m 2
76
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
(cid:1) Chương 1. Ma trận – Định thức
VD 24. Tùy theo giá trị của m , tìm hạng của ma trận
A
2 − 1 m
2
1 1
− 1 1 1 − − 1 1 1 = 0 1 1 − 1 2 1
− 1 m .
------------------- Hết chương ------------------
78
