3.1. Không gian vectơ
Định nghĩa. Cho Vlà một tập hợp với phép toán +và phép nhân
vô hướng .của Rvới V. Khi đó Vđược gọi là không gian vectơ trên
Rnếu mọi u, v, w ∈Vvà mọi α,β∈Rthỏa 8 tính chất sau:
(1) u+v=v+u;
(2) (u+v)+w=u+(v+w);
(3) tồn tại 0∈V:u+0=0+u=u;
(4) tồn tại −u∈V:−u+u=u+−u=0;
(5) (αβ).u=α.(β.u);
(6) (α+β).u=α.u+β.u;
(7) α.(u+v) = α.u+α.v;
(8) 1.u=u.
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 3. Không gian vectơ LVL c
2018 3/98
Khi đó ta gọi:
•mỗi phần tử u∈Vlà một vectơ.
•vectơ 0là vectơ không.
•vectơ −ulà vectơ đối của u.
Ví dụ. Xét V=R3={(x1, x2, x3)|xi∈R}.Với
u= (x1, x2, x3), v = (y1, y2, y3)và α∈R,
ta định nghĩa phép cộng +và nhân vô hướng .như sau:
•u+v= (x1+y1, x2+y2, x3+y3);
•α.u= (αx1, αx2, αx3).
Khi đó R3là không gian vectơ trên R.Trong đó:
⊲Vectơ không là 0= (0,0,0);
⊲Vectơ đối của ulà −u= (−x1,−x2,−x3).
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 3. Không gian vectơ LVL c
2018 4/98
Ví dụ. Xét V=Rn={(x1, x2, . . . , xn)|xi∈R∀i∈1, n}.Với
u= (x1, x2, . . . , xn), v = (y1, y2, . . . , yn)∈Rnvà α∈R,
ta định nghĩa phép cộng +và nhân vô hướng .như sau:
•u+v= (x1+y1, x2+y2, . . . , xn+yn);
•α.u= (αx1, αx2, . . . , αxn).
Khi đó Rnlà không gian vectơ trên R.Trong đó:
⊲Vectơ không là 0= (0,0,...,0);
⊲Vectơ đối của ulà −u= (−x1,−x2,...,−xn).
Ví dụ. Tập hợp Mm×n(R),với phép cộng ma trận và nhân số thực
với ma trận, là một không gian vectơ trên R.Trong đó:
⊲Vectơ không là ma trận không.
⊲Vectơ đối của Alà −A.
lvluyen@hcmus.edu.vn Chương 3. Không gian vectơ LVL c
2018 5/98
