Table of Contents
MI1113_chuong-1 2
1 Hàm số3
1.1 Các khái niệm cơ bản về hàm số4
1.2 Các hàm số sơ cấp cơ bản7
2 Giới hạn của hàm số17
3 Vô cùng lớn - Vô cùng bé 22
4 Hàm số liên tục32
5 Đạo hàm và vi phân 42
6 Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng 56
6.1 Cực trị của hàm một biến số57
6.2 Các công thức khai triển Taylor, Maclaurin 64
6.3 Quy tắc L’Hospital 68
6.4 Hàm số đơn điệu và các tính chất74
6.5 BĐT hàm lồi76
7 Các lược đồ khảo sát hàm số79
MI1113_chuong-2 87
1 Tích phân bất định 88
2 Tích phân xác định 112
3 Tích phân suy rộng 125
3.1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn126
3.2 Tích phân suy rộng của hàm số không bị chặn128
3.3 Tích phân suy rộng hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ130
3.4 Các tiêu chuẩn hội tụ132
3.5 Các tiêu chuẩn hội tụ133
4 Các ứng dụng của tích phân xác định 136
4.1 Sơ đồ tổng tích phân 137
MI1113_chuong-3 138
1 Giới hạn của hàm số nhiều biến số139
2 Đạo hàm và vi phân của hàm số nhiều biến số152
2.1 Đạo hàm riêng 153
2.2 Vi phân toàn phần157
2.3 Đạo hàm của hàm số hợp161
3 Cực trị của hàm số nhiều biến số167
3.1 Cực trị tự do 168
3.2 Cực trị có điều kiện173
3.3 Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất177
4 Tích phân kép 179
5 Đổi biến trong tích phân kép 206
6 Tích phân kép trong toạ độ cực219
CHƯƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ
Khoa Toán-Tin
Đại học Bách khoa Hà Nội
2024
Khoa Toán-Tin (HUST) MI1113–Chương I 2024 1 / 85
Nội dung
1Hàm số
Các khái niệm cơ bản về hàm số
Các hàm số sơ cấp cơ bản
2Giới hạn của hàm số
3Vô cùng lớn - Vô cùng bé
4Hàm số liên tục
5Đạo hàm và vi phân
6Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng
Cực trị của hàm một biến số
Các công thức khai triển Taylor, Maclaurin
Quy tắc L’Hospital
Hàm số đơn điệu và các tính chất
BĐT hàm lồi
7Các lược đồ khảo sát hàm số
Khoa Toán-Tin (HUST) MI1113–Chương I 2024 2 / 85
Khái niệm hàm số
Định nghĩa 1
Cho Xvà Ylà các tập hợp con của R. Một hàm số fđi từ tập hợp Xvào tập hợp Y, kí hiệu f:X→Y, là
một quy tắc cho tương ứng mỗi giá trị x∈Xvới một giá trị duy nhất y∈Y.
Chú ý rằng điều ngược lại không đúng, với một giá trị
y∈Y
có thể có hai giá trị
x1
=
x2,
(
x1, x2∈X
)sao cho
f(x1) = f(x2) = y. Chẳng hạn như f(x) = x2.
Tập xác định - Tập giá trị
a) TXĐ = {x∈X|f(x)được định nghĩa}.
b) TGT = {y∈Y|∃x∈X, f (x) = y}.
Khoa Toán-Tin (HUST) MI1113–Chương I 2024 3 / 85
Hàm số
Hàm số chẵn, hàm số lẻ
a) Hàm số chẵn: ∀x∈TXĐ,−x∈TXĐ,
f(−x) = f(x)
b) Hàm số lẻ: ∀x∈TXĐ,−x∈TXĐ,
f(−x) = −f(x)
Hàm số tuần hoàn
∃T > 0thỏa mãn ∀x∈TXĐ, x +T∈TXĐ,
∀x∈TXĐ, f(x) = f(x+T).Giá trị T > 0nhỏ nhất thỏa mãn được gọi là chu kì.
Hàm hợp
Xét hai hàm số f:X→R, g :Y→R. Nếu f(X)⊂Y, ta định nghĩa được hàm hợp g◦f:X→Rcho bởi
∀x∈X, g ◦f(x) = g(f(x)).
Khoa Toán-Tin (HUST) MI1113–Chương I 2024 4 / 85