Bài giảng Giải tích III - TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

TS. Bùi Xuân Diệu

Viện Toán Ứng dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

1 / 53

Chương 1: Chuỗi 1 Đại cương về chuỗi số 2 Chuỗi số dương

Tiêu chuẩn tích phân Tiêu chuẩn so sánh Tiêu chuẩn D’Alambert Tiêu chuẩn Cauchy

3 Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì

Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ Chuỗi đan dấu

4 Chuỗi hàm số

Chuỗi hàm số hội tụ Chuỗi hàm số hội tụ đều

5 Chuỗi lũy thừa

Các tính chất của chuỗi lũy thừa Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa

6 Chuỗi Fourier

Giải tích III

2 / 53

Chuỗi lượng giác TS. Bùi Xuân Diệu

Đại cương về chuỗi số

Chương 1: Chuỗi 1 Đại cương về chuỗi số 2 Chuỗi số dương

Tiêu chuẩn tích phân Tiêu chuẩn so sánh Tiêu chuẩn D’Alambert Tiêu chuẩn Cauchy

3 Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì

Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ Chuỗi đan dấu

4 Chuỗi hàm số

Chuỗi hàm số hội tụ Chuỗi hàm số hội tụ đều

5 Chuỗi lũy thừa

Các tính chất của chuỗi lũy thừa Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa

6 Chuỗi Fourier

Giải tích III

3 / 53

Chuỗi lượng giác TS. Bùi Xuân Diệu

Đại cương về chuỗi số

Định nghĩa

Cho an { }∞n=1 là một dãy số. Tổng vô hạn

+ an + a1 + a2 + · · · · · ·

an. Khi đó, an được gọi là

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

4 / 53

được gọi là một chuỗi số và được kí hiệu là ∞ n=1 P + an được gọi là tổng riêng thứ n. số hạng tổng quát và Sn = a1 + a2 + · · ·

Đại cương về chuỗi số

Định nghĩa

Cho an { }∞n=1 là một dãy số. Tổng vô hạn

+ an + a1 + a2 + · · · · · ·

an. Khi đó, an được gọi là

được gọi là một chuỗi số và được kí hiệu là ∞ n=1 P số hạng tổng quát và Sn = a1 + a2 + · · · Nếu như dãy số + an được gọi là tổng riêng thứ n. Sn = S tồn tại, thì ta nói Sn { } là hội tụ và lim →∞ an = S.

n an là hội tụ và có tổng bằng S và viết ∞ n=1 P an là phân kỳ.

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

4 / 53

chuỗi số ∞ n=1 P Sn Nếu dãy số { } là phân kỳ thì ta nói chuỗi số ∞ n=1 P

Đại cương về chuỗi số

Ví dụ

Chúng ta bắt đầu với khoảng [0, 1]. Sau đó chúng ta chia đôi khoảng này ra thì ta được hai khoảng là [0, 1/2] và (1/2, 1], mỗi khoảng có độ dài bằng 1/2. Sau đó ta lại tiếp tục chia đôi khoảng [0, 1/2], thì ta sẽ được hai khoảng, mỗi khoảng có độ dài bằng 1/4. Tiếp tục kéo dài quá trình này ta sẽ được chuỗi số sau:

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

5 / 53

+ + + 1 = 1 2 1 4 1 2n + · · · · · ·

Đại cương về chuỗi số

Ví dụ

Xét sự hội tụ và tính tổng (nếu có) của chuỗi cấp số nhân ∞ qn = 1 + q + q2 + . · · ·

n=0 P

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

6 / 53

Đại cương về chuỗi số

Ví dụ

Xét sự hội tụ và tính tổng (nếu có) của chuỗi cấp số nhân ∞ qn = 1 + q + q2 + . · · ·

n=0 P

Ví dụ

1 n(n+1) .

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

6 / 53

Chứng minh rằng chuỗi số sau hội tụ và tính ∞ n=1 P

Đại cương về chuỗi số

Ví dụ

Xét sự hội tụ và tính tổng (nếu có) của chuỗi cấp số nhân ∞ qn = 1 + q + q2 + . · · ·

n=0 P

Ví dụ

1 n(n+1) .

Chứng minh rằng chuỗi số sau hội tụ và tính ∞ n=1 P

Ví dụ

1 n là phân kì.

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

6 / 53

Chứng minh rằng chuỗi điều hòa ∞ n=1 P

Đại cương về chuỗi số

Định lý (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ)

an là hội tụ, thì an = 0.

n

lim + →

∞

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

7 / 53

Nếu chuỗi số ∞ n=1 P

Đại cương về chuỗi số

Định lý (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ)

an là hội tụ, thì an = 0.

n

lim + →

∞

Nếu chuỗi số ∞ n=1 P Chú ý:

an = 0

n

∞ 1 n .

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

7 / 53

Mệnh đề đảo của Định lý trên là không đúng, i.e., nếu lim + → an hội tụ. Ví dụ, chuỗi điều hòa ∞ n=1 P thì chưa chắc chuỗi ∞ n=1 P

Đại cương về chuỗi số

Định lý (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ)

an là hội tụ, thì an = 0.

n

lim + →

∞

Nếu chuỗi số ∞ n=1 P Chú ý:

an = 0

n

∞ 1 n .

Mệnh đề đảo của Định lý trên là không đúng, i.e., nếu lim + → an hội tụ. Ví dụ, chuỗi điều hòa ∞ n=1 P thì chưa chắc chuỗi ∞ n=1 P an không

n

Điều kiện đủ để kiểm tra một chuỗi là phân kỳ: nếu lim +

→

∞

tồn tại hoặc = 0 thì chuỗi đã cho là phân kỳ. Ví dụ, xét an

n

∞

lim + → n 2n+1 .

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

7 / 53

chuỗi ∞ n=1 P

Đại cương về chuỗi số

Định lý (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ)

an là hội tụ, thì an = 0.

n

lim + →

∞

Nếu chuỗi số ∞ n=1 P Chú ý:

an = 0

n

∞ 1 n .

Mệnh đề đảo của Định lý trên là không đúng, i.e., nếu lim + → an hội tụ. Ví dụ, chuỗi điều hòa ∞ n=1 P thì chưa chắc chuỗi ∞ n=1 P an không

n

Điều kiện đủ để kiểm tra một chuỗi là phân kỳ: nếu lim +

→

∞

tồn tại hoặc = 0 thì chuỗi đã cho là phân kỳ. Ví dụ, xét an

n

∞

lim + → n 2n+1 .

chuỗi ∞ n=1 P

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

7 / 53

Thay đổi một số số hạng đầu tiên của một chuỗi thì không làm ảnh hưởng đến tính hội tụ hay phân kì của chuỗi số đó.

Đại cương về chuỗi số

Các phép toán trên chuỗi số hội tụ

(αan + βbn) cũng là

an và ∞ n=1 P Nếu ∞ n=1 P bn.

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

8 / 53

bn là các chuỗi số hội tụ, thì ∞ n=1 P an + β ∞ n=1 P (αan + βbn) = α ∞ n=1 P một chuỗi số hội tụ và ∞ n=1 P

Đại cương về chuỗi số

Các phép toán trên chuỗi số hội tụ

(αan + βbn) cũng là

an và ∞ n=1 P Nếu ∞ n=1 P bn.

bn là các chuỗi số hội tụ, thì ∞ n=1 P an + β ∞ n=1 P (αan + βbn) = α ∞ n=1 P một chuỗi số hội tụ và ∞ n=1 P

Ví dụ

Xét xem chuỗi sau đây là hội tụ hay phân kỳ. Nếu nó hội tụ, tính tổng.

∞

2 ln b) c) a) n2 en n3 1 n n + 1 −

n=1 X ∞

1 1 ln d) e) f)

n

n3 n n2 + 1 2n2 + 3 1 +

2 3

(cid:18) (cid:19) −

n=1 X

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

8 / 53

(cid:1) (cid:0)

Chuỗi số dương

Chương 1: Chuỗi 1 Đại cương về chuỗi số 2 Chuỗi số dương

Tiêu chuẩn tích phân Tiêu chuẩn so sánh Tiêu chuẩn D’Alambert Tiêu chuẩn Cauchy

3 Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì

Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ Chuỗi đan dấu

4 Chuỗi hàm số

Chuỗi hàm số hội tụ Chuỗi hàm số hội tụ đều

5 Chuỗi lũy thừa

Các tính chất của chuỗi lũy thừa Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa

6 Chuỗi Fourier

Giải tích III

9 / 53

Chuỗi lượng giác TS. Bùi Xuân Diệu

Chuỗi số dương

Tiêu chuẩn tích phân

Chuỗi số dương

Định nghĩa

an với an > 0 được gọi là một là chuỗi số dương.

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

10 / 53

Chuỗi số ∞ n=1 P an hội tụ Snbị chặn. ⇔ Nhận xét: Tiêu chuẩn đơn điệu bị chặn ∞ n=1 P

Chuỗi số dương

Tiêu chuẩn tích phân

Chuỗi số dương

Định nghĩa

an với an > 0 được gọi là một là chuỗi số dương.

Chuỗi số ∞ n=1 P an hội tụ Snbị chặn. ⇔ Nhận xét: Tiêu chuẩn đơn điệu bị chặn ∞ n=1 P Định lý (Tiêu chuẩn tích phân)

) và

∞ f (x)dx có an và tích phân suy rộng

∞1

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

10 / 53

R Cho f (x) là một hàm số liên tục, dương, giảm trên đoạn [1, an = f (n). Khi đó chuỗi số ∞ n=1 P cùng tính chất hội tụ hoặc phân kỳ.

Chuỗi số dương

Tiêu chuẩn tích phân

Chuỗi số dương

Định nghĩa

an với an > 0 được gọi là một là chuỗi số dương.

Chuỗi số ∞ n=1 P an hội tụ Snbị chặn. ⇔ Nhận xét: Tiêu chuẩn đơn điệu bị chặn ∞ n=1 P Định lý (Tiêu chuẩn tích phân)

) và

∞ f (x)dx có an và tích phân suy rộng

∞1

1 Nếu

R Cho f (x) là một hàm số liên tục, dương, giảm trên đoạn [1, an = f (n). Khi đó chuỗi số ∞ n=1 P cùng tính chất hội tụ hoặc phân kỳ.Nói cách khác,

an cũng là hội tụ.

∞1

2 Nếu

R f (x)dx là hội tụ thì ∞ n=1 P an cũng là phân kỳ.

∞1

10 / 53

R TS. Bùi Xuân Diệu f (x)dx là phân kỳ thì ∞ n=1 P Giải tích III

Chuỗi số dương

Tiêu chuẩn tích phân

Ví dụ

(α > 0).

1 nα

1 1+n2

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

11 / 53

b) ∞ n=1 P Xét sự hội tụ của các chuỗi a) ∞ n=1 P

Chuỗi số dương

Tiêu chuẩn tích phân

Ví dụ

(α > 0).

1 nα

1 1+n2

b) ∞ n=1 P Xét sự hội tụ của các chuỗi a) ∞ n=1 P

Một số lưu ý

1 nx . Nhà toán học Thụy Sĩ Euler là người đầu

1 Hàm zeta ζ(x) = ∞ n=1 P

1 n2 = π2

n4 = π4 90 .

6 và ζ(4) = ∞ n=1 P

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

11 / 53

tiên tính được chính xác ζ(2) = ∞ n=1 P

Chuỗi số dương

Tiêu chuẩn tích phân

Ví dụ

(α > 0).

1 nα

1 1+n2

b) ∞ n=1 P Xét sự hội tụ của các chuỗi a) ∞ n=1 P

Một số lưu ý

1 nx . Nhà toán học Thụy Sĩ Euler là người đầu

1 Hàm zeta ζ(x) = ∞ n=1 P

1 n2 = π2

n4 = π4 90 .

tiên tính được chính xác ζ(2) = ∞ n=1 P

1

= = an

6 và ζ(4) = ∞ n=1 P 1 x 2 dx = 1.

∞1

n2 = π2 6 6

2 ∞ n=1 P

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

11 / 53

R R f (x)dx. Chẳng hạn như ∞ n=1 P

Chuỗi số dương

Tiêu chuẩn tích phân

Ví dụ

(α > 0).

1 nα

1 1+n2

b) ∞ n=1 P Xét sự hội tụ của các chuỗi a) ∞ n=1 P

Một số lưu ý

1 nx . Nhà toán học Thụy Sĩ Euler là người đầu

1 Hàm zeta ζ(x) = ∞ n=1 P

1 n2 = π2

n4 = π4 90 .

tiên tính được chính xác ζ(2) = ∞ n=1 P

1

= = an

6 và ζ(4) = ∞ n=1 P 1 x 2 dx = 1.

∞1

n2 = π2 6 6

2 ∞ n=1 P

3 Khi dùng TCTP, không nhất thiết chuỗi số phải bắt đầu từ n = 1.

R R f (x)dx. Chẳng hạn như ∞ n=1 P

1 (n

1 1)2 dx.

(x

−

1)2 bằng ∞ 4 R

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

11 / 53

VD, có thể kiểm tra sự hội tụ của ∞ n=4 P

Chuỗi số dương

Tiêu chuẩn tích phân

Ví dụ

1

Chứng minh rằng chuỗi

∞n=2

n(ln n)p là hội tụ khi và chỉ khi p > 1.

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

12 / 53

Chuỗi số dương

Tiêu chuẩn tích phân

Ví dụ

1

Chứng minh rằng chuỗi

∞n=2

n(ln n)p là hội tụ khi và chỉ khi p > 1.

P Ví dụ

Dùng TCTP xét sự hội tụ hay phân kì của các chuỗi số sau.

∞

n3

a) b) d) c) n2e− ln n n3 ln 1 n (n + 2)2 ln(1 + n) (n + 3)2

n=1 X ∞

f) g) h) e) e1/n n2 n2 en ln n np ln n 3n2

n=1 X

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

12 / 53

Chuỗi số dương

Tiêu chuẩn so sánh

Các tiêu chuẩn so sánh

Định lý (Tiêu chuẩn so sánh 1)

bn có an bn với mọi n hoặc kể từ ≤ an và ∞ n=1 P Cho hai chuỗi số dương ∞ n=1 P một số n nào đó. Khi đó

an cũng là hội tụ.

1 Nếu ∞ n=1 P 2 Nếu ∞ n=1 P

bn là hội tụ thì ∞ n=1 P bn cũng là phân kỳ.

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

13 / 53

an là phân kỳ thì ∞ n=1 P

Chuỗi số dương

Tiêu chuẩn so sánh

Các tiêu chuẩn so sánh

Định lý (Tiêu chuẩn so sánh 1)

bn có an bn với mọi n hoặc kể từ ≤ an và ∞ n=1 P Cho hai chuỗi số dương ∞ n=1 P một số n nào đó. Khi đó

an cũng là hội tụ.

1 Nếu ∞ n=1 P 2 Nếu ∞ n=1 P

bn là hội tụ thì ∞ n=1 P bn cũng là phân kỳ.

an là phân kỳ thì ∞ n=1 P

Ví dụ

Xét sự hội tụ của các chuỗi

∞

, b) . a) 1 n2 + n + 1 1 ln n

n=2 X

n=1 X

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

13 / 53

Chuỗi số dương

Tiêu chuẩn so sánh

Các tiêu chuẩn so sánh

Định lý (Tiêu chuẩn so sánh 2)

= c > 0. Khi đó bn và

an bn

n

lim + →

∞

an và ∞ n=1 P Cho hai chuỗi số dương ∞ n=1 P bn có cùng tính chất hội tụ hoặc phân kỳ.

an và ∞ n=1 P

n=1 P

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

14 / 53

Chuỗi số dương

Tiêu chuẩn so sánh

Các tiêu chuẩn so sánh

Định lý (Tiêu chuẩn so sánh 2)

= c > 0. Khi đó bn và

an bn

n

lim + →

∞

an và ∞ n=1 P Cho hai chuỗi số dương ∞ n=1 P bn có cùng tính chất hội tụ hoặc phân kỳ.

= 0

an bn

n

∞

an hội tụ.

bn phân kỳ.

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

14 / 53

an và ∞ n=1 n=1 P P Nhận xét: Nếu lim + → bn hội tụ thì ∞ n=1 P an phân kỳ thì ∞ n=1 P và ∞ n=1 P và ∞ n=1 P

Chuỗi số dương

Tiêu chuẩn so sánh

Các tiêu chuẩn so sánh

Định lý (Tiêu chuẩn so sánh 2)

= c > 0. Khi đó bn và

an bn

n

lim + →

∞

an và ∞ n=1 P Cho hai chuỗi số dương ∞ n=1 P bn có cùng tính chất hội tụ hoặc phân kỳ.

= 0

an bn

n

∞

an hội tụ.

bn phân kỳ.

an và ∞ n=1 n=1 P P Nhận xét: Nếu lim + → bn hội tụ thì ∞ n=1 P an phân kỳ thì ∞ n=1 P và ∞ n=1 P và ∞ n=1 P Ví dụ

2n+3n 4n+5n .

n2+n √n5+1

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

14 / 53

Xét sự hội tụ của các chuỗi a) ∞ n=1 P b) ∞ n=1 P

Chuỗi số dương

Tiêu chuẩn so sánh

Chuỗi số dương

1 Chuỗi có số hạng tổng quát là một phân thức, trong đó tử số và mẫu

Khi nào dùng tiêu chuẩn so sánh

số đều là các đa thức của n. Chẳng hạn

∞

+ amnm + bk nk . a0 + a1n + a2n2 + b0 + b1n + b2n2 + · · · · · ·

n=1 X

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

15 / 53

Chuỗi số dương

Tiêu chuẩn so sánh

Chuỗi số dương

1 Chuỗi có số hạng tổng quát là một phân thức, trong đó tử số và mẫu

Khi nào dùng tiêu chuẩn so sánh

số đều là các đa thức của n. Chẳng hạn

∞

+ amnm + bk nk . a0 + a1n + a2n2 + b0 + b1n + b2n2 + · · · · · ·

n=1 X

2 Chuỗi có số hạng tổng quát là một phân thức, trong đó tử số và mẫu

số đều là tổng của các lũy thừa với số mũ là n. Chẳng hạn

∞

, α1an β1bn + αman m + βk bn k

1 + α2an 1 + β2bn

2 + 2 +

· · · · · ·

< bk .

n=1 X < am, b1 < b2 <

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

15 / 53

với a1 < a2 < · · · · · ·

Chuỗi số dương

Tiêu chuẩn so sánh

Ví dụ

Dùng tiêu chuẩn so sánh để xét sự hội tụ của các chuỗi số sau

∞

2) 3) 1) n3 (n + 2)4 2016n 2015n + 2017n n sin2 n 1 + n3

n=1 X ∞

3√n √n + 3

4) √n) 6) sin(√n + 1 5) − n + sin n 3√n7 + 1

n=1 X

n=1 X ∞

ln 1 + sin 8) 7) n + 1 n3 + n + 1 1 3n2 (cid:21) (cid:20)

n=1 X

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

16 / 53

Chuỗi số dương

Tiêu chuẩn D’Alambert

Định lý (Tiêu chuẩn D’Alambert)

= L. Khi đó Giả sử tồn tại

an+1 an

n

lim + →

∞ 1 Nếu L < 1 thì chuỗi đã cho hội tụ. 2 Nếu L > 1 thì chuỗi đã cho phân kỳ.

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

17 / 53

Chuỗi số dương

Tiêu chuẩn D’Alambert

Định lý (Tiêu chuẩn D’Alambert)

= L. Khi đó Giả sử tồn tại

an+1 an

n

lim + →

∞ 1 Nếu L < 1 thì chuỗi đã cho hội tụ. 2 Nếu L > 1 thì chuỗi đã cho phân kỳ.

Ví dụ

Dùng tiêu chuẩn D’Alambert để xét sự hội tụ của các chuỗi số sau

∞

2) 3) 1) 2nn! nn 5n(n!)2 n2n 2n n!

n=1 X ∞

4) 6) 5) (2n + 1)!! nn (2n)!! nn (n2 + n + 1) 2n(n + 1)

n=1 X

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

17 / 53

Chuỗi số dương

Tiêu chuẩn Cauchy

Định lý (Tiêu chuẩn Cauchy)

n√an = L. Khi đó

Giả sử tồn tại

n

lim + →

∞ 1 Nếu L < 1 thì chuỗi đã cho hội tụ. 2 Nếu L > 1 thì chuỗi đã cho phân kỳ.

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

18 / 53

Chuỗi số dương

Tiêu chuẩn Cauchy

Định lý (Tiêu chuẩn Cauchy)

n√an = L. Khi đó

Giả sử tồn tại

n

lim + →

∞ 1 Nếu L < 1 thì chuỗi đã cho hội tụ. 2 Nếu L > 1 thì chuỗi đã cho phân kỳ.

Ví dụ

Dùng tiêu chuẩn Cauchy để xét sự hội tụ của các chuỗi số sau

n

∞

5n 1) 2) 3) n2 + n + 1 3n2 + n + 1 n n + 2 nn2 2n(n + 1)n2 (cid:19)

n

(cid:19) n(n+4)

n(n+4)

n=1 (cid:18) X ∞

n=1 X ∞

4) 5) 6) n + 2 n + 3 n + 3 n + 2 2n + 1 3n + 1 (cid:19) (cid:19) (cid:19)

n=1 (cid:18) X

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

18 / 53

Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì

Chương 1: Chuỗi 1 Đại cương về chuỗi số 2 Chuỗi số dương

Tiêu chuẩn tích phân Tiêu chuẩn so sánh Tiêu chuẩn D’Alambert Tiêu chuẩn Cauchy

3 Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì

Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ Chuỗi đan dấu

4 Chuỗi hàm số

Chuỗi hàm số hội tụ Chuỗi hàm số hội tụ đều

5 Chuỗi lũy thừa

Các tính chất của chuỗi lũy thừa Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa

6 Chuỗi Fourier

Giải tích III

19 / 53

Chuỗi lượng giác TS. Bùi Xuân Diệu

Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì

Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ

Định lý

Nếu ∞ an cũng là hội tụ. an | là hội tụ thì ∞ n=1 P

n=1 | P

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

20 / 53

Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì

Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ

Định lý

Nếu ∞ an cũng là hội tụ. an |

n=1 | P

là hội tụ thì ∞ n=1 P Hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ

an được gọi là

Chuỗi ∞ n=1 P là hội tụ, hội tụ tuyệt đối nếu ∞ an |

n=1 | P

là phân kỳ. an là hội tụ và ∞ an | bán hội tụ nếu ∞ n=1 P

n=1 | P

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

20 / 53

Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì

Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ

Định lý

Nếu ∞ an cũng là hội tụ. an |

n=1 | P

là hội tụ thì ∞ n=1 P Hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ

an được gọi là

Chuỗi ∞ n=1 P là hội tụ, hội tụ tuyệt đối nếu ∞ an |

n=1 | P

là phân kỳ. an là hội tụ và ∞ an | bán hội tụ nếu ∞ n=1 P

n=1 | P

Ví dụ

1)n n 2n

sin n √n3 .

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

20 / 53

− b) ∞ n=1 P Xét sự hội tụ tuyệt đối của các chuỗi số a) ∞ ( n=1 P

Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì

Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ

Chú ý

(

∞

. phân kỳ an

1)n−1 − n+1

| 6⇒ an phân kỳ. Ví dụ, ∞ n=1 P

n=1 P

∞

phân kỳ theo tiêu chuẩn D’Alambert hoặc Cauchy an an ⇒

n=1 P

∞ n=1 | P ∞ | n=1 | phân kỳ. P

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

21 / 53

Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì

Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ

Chú ý

(

∞

. phân kỳ an

1)n−1 − n+1

| 6⇒ an phân kỳ. Ví dụ, ∞ n=1 P

n=1 P

∞

phân kỳ theo tiêu chuẩn D’Alambert hoặc Cauchy an an ⇒

n=1 P

∞ n=1 | P ∞ | n=1 | phân kỳ. P

Định lý (Tiêu chuẩn D’Alambert, Cauchy)

= L. Khi đó Giả sử tồn tại = L hoặc an

an+1 an

n

| lim + → lim + →

∞

1 Nếu L < 1 thì chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối (và do đó hội tụ).

| p

∞ (cid:12) (cid:12) (cid:12)

2 Nếu L > 1 thì cả hai chuỗi ∞

(cid:12) (cid:12) (cid:12) an đều là phân kỳ. an | và ∞ n=1 P

n=1 | P

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

21 / 53

Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì

Chuỗi đan dấu

Định nghĩa

1)n

1an với an > 0 được gọi là một chuỗi đan dấu.

−

− Chuỗi số có dạng ∞ ( n=1 P

Định lý (Định lý Leibniz)

Nếu an = 0 thì

n

an {

∞

lim + → ∞ 1)n 1)n

1an

a1.

−

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

22 / 53

− ≤ − }∞n=1 là một dãy số dương, giảm và 1an là một chuỗi số hội tụ và ∞ ( n=1 P ( n=1 P

Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì

Chuỗi đan dấu

Định nghĩa

1)n

1an với an > 0 được gọi là một chuỗi đan dấu.

−

− Chuỗi số có dạng ∞ ( n=1 P

Định lý (Định lý Leibniz)

Nếu an = 0 thì

n

an {

∞

lim + → ∞ 1)n 1)n

1an

a1.

−

− ≤ − }∞n=1 là một dãy số dương, giảm và 1an là một chuỗi số hội tụ và ∞ ( n=1 P ( n=1 P

Ví dụ

(

1)n

−

1)n−1 − n+1

1 n2 n3+1 .

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

22 / 53

− Xét sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ của các chuỗi số b) ∞ a) ∞ ( n=1 n=1 P P

Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì

Chuỗi đan dấu

Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ

Ví dụ

Xét sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ của các chuỗi số

∞

( ( 2) 3) ( 1) − 1)n(n2 + n + 1) 2n(n + 1) 1)n 2n + 1 3n + 2n 1)n n2 n3 + 4 − −

n=1 X ∞

( 1)n sin ( 4) 5) 6) − π n 1)nn2 πn 1)n ( − 3nn! −

n

n=1 X ∞

( 9) 1)n sin ( 8) 1)n ( 7) 1)n ln n n 1 n√n (cid:16) (cid:17) n + 1 n + 2 − − − (cid:18) (cid:19)

n=1 X

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

23 / 53

Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì

Chuỗi đan dấu

Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì

Chuỗi đan dấu

Khi nào dùng tiêu chuẩn nào

Một số gợi ý

. sin = 0 hoặc an

n n+1

n

1 Nếu lim +

6 ∃ 6

→

(cid:17) (cid:16) thì chuỗi đã cho PK. Ví dụ ∞ n=1 P tiêu chuẩn SS.

∞ a0+a1n+a2n2+ b0+b1n+b2n2+

+amnm +bk nk ⇒

tiêu chuẩn SS.

α1an β1bn

1+α2an 2+ 1 +β2bn 2 +

··· ··· +αman m +βk bn k ⇒

··· ···

2 ∞ n=1 P 3 ∞ n=1 P

1)n tiêu chuẩn Leibniz.

1an

−

4 Chuỗi đan dấu ∞ ( n=1 P

− ⇒

5 ∞ n=1 P

tiêu chuẩn D’Alambert. an, ở đó an có chứa an, n! hoặc nn ⇒

6 Chuỗi có dạng ∞ n=1 P

tiêu chuẩn Cauchy (bn)n ⇒

7 an = f (n), ở đó

f (x)dx có thể KT được tính HT, PK TCTP.

∞1

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

25 / 53

⇒ R

Chuỗi hàm số

Chương 1: Chuỗi 1 Đại cương về chuỗi số 2 Chuỗi số dương

Tiêu chuẩn tích phân Tiêu chuẩn so sánh Tiêu chuẩn D’Alambert Tiêu chuẩn Cauchy

3 Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì

Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ Chuỗi đan dấu

4 Chuỗi hàm số

Chuỗi hàm số hội tụ Chuỗi hàm số hội tụ đều

5 Chuỗi lũy thừa

Các tính chất của chuỗi lũy thừa Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa

6 Chuỗi Fourier

Giải tích III

26 / 53

Chuỗi lượng giác TS. Bùi Xuân Diệu

Chuỗi hàm số

Chuỗi hàm số hội tụ

Chuỗi hàm số

Định nghĩa

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

27 / 53

Cho dãy các hàm số . Chuỗi hàm số được định nghĩa như sau: } un(x). + un(x) + an(x) { u1(x) + u2(x) + · · · · · · = ∞ n=1 P

Chuỗi hàm số

Chuỗi hàm số hội tụ

Chuỗi hàm số

Định nghĩa

Cho dãy các hàm số . Chuỗi hàm số được định nghĩa như sau: } un(x). + un(x) + an(x) { u1(x) + u2(x) + · · · · · · = ∞ n=1 P un(x) được gọi là hội tụ tại x = x0 nếu chuỗi số

∞

1 Chuỗi hàm số ∞ n=1 P

un(x0) là hội tụ.

n=1 P

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

27 / 53

Chuỗi hàm số

Chuỗi hàm số hội tụ

Chuỗi hàm số

Định nghĩa

∞

1 Chuỗi hàm số ∞ n=1 P

un(x0) là hội tụ.

n=1 P

un(x) được gọi là phân kỳ tại x = x0 nếu chuỗi số

∞

2 Chuỗi hàm số ∞ n=1 P

un(x0) là phân kỳ.

n=1 P

un(x) được gọi là miền hội tụ.

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

27 / 53

Tập hợp các điểm hội tụ của ∞ n=1 P

Chuỗi hàm số

Chuỗi hàm số hội tụ

Chuỗi hàm số

Ví dụ

Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm số

∞

x n 3) 2) 1) 1 nx sin x + cos x n2 + x 2

n=1 X ∞

5) 6) 4) (2n)!! nn x n x n n! sin nx 2n(n + 1)

n=1 X

n=1 X ∞

sin 7) 8) 22n+1x n 5n n + sin x 3n + 1

n=1 X

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

28 / 53

Chuỗi hàm số

Chuỗi hàm số hội tụ đều

Định nghĩa

un(x) hội tụ đều đến S(x) trên tập X nếu

ǫ > 0, n(ǫ) Chuỗi hàm số ∞ n=1 N : P ∈ ∃ ∀

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

29 / 53

x S(x) < ǫ, n > n(ǫ), X . Sn(x) − ∀ ∀ ∈

Chuỗi hàm số

Chuỗi hàm số hội tụ đều

Định nghĩa

un(x) hội tụ đều đến S(x) trên tập X nếu

ǫ > 0, n(ǫ) Chuỗi hàm số ∞ n=1 N : P ∈ ∃ ∀

x S(x) < ǫ, n > n(ǫ), X . Sn(x) − ∀ ∀ ∈

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

29 / 53

Ý nghĩa hình học: với n đủ lớn thì Sn(x) nằm hoàn toàn trong dải (S(x) ǫ, S(x) + ǫ), x X . − ∈

Chuỗi hàm số

Chuỗi hàm số hội tụ đều

Định nghĩa

un(x) hội tụ đều đến S(x) trên tập X nếu

ǫ > 0, n(ǫ) Chuỗi hàm số ∞ n=1 N : P ∈ ∃ ∀

x S(x) < ǫ, n > n(ǫ), X . Sn(x) − ∀ ∀ ∈

Ý nghĩa hình học: với n đủ lớn thì Sn(x) nằm hoàn toàn trong dải (S(x) ǫ, S(x) + ǫ), x X . − ∈

Tiêu chuẩn Cauchy

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

29 / 53

ǫ > 0, n(ǫ) N : un(x) hội tụ đều trên tập X nếu ∀ ∃ ∈ Chuỗi hàm số ∞ n=1 P x p, q > n(ǫ), X . Sp(x) Sq(x) < ǫ, − ∀ ∀ ∈

Chuỗi hàm số

Chuỗi hàm số hội tụ đều

Tiêu chuẩn Weierstrass

Nếu

n x N, X , un(x) < an, ∈ ∀ ∈ ∀ an hội tụ

| | chuỗi số ∞ n=1 P un(x) hội tụ tuyệt đối và đều trên X .

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

30 / 53

thì chuỗi hàm số ∞ n=1 P

Chuỗi hàm số

Chuỗi hàm số hội tụ đều

Tiêu chuẩn Weierstrass

Nếu

n x N, X , un(x) < an, ∈ ∀ ∈ ∀ an hội tụ

| | chuỗi số ∞ n=1 P un(x) hội tụ tuyệt đối và đều trên X .

thì chuỗi hàm số ∞ n=1 P Ví dụ

Xét sự hội tụ đều của các chuỗi hàm số

(

R. [ 2, 2].

1)n−1 x 2+n2 , x −

x n 2nn 3√n , x

∈ ∈ − n , x [ 1, 1]. R.

2x+1 x+2

sin nx n2+x 2 , x

1 2n−1

30 / 53

Giải tích III

1 ∞ n=1 P 2 ∞ n=1 TS. Bùi Xuân Diệu P

3 ∞ n=1 P 4 ∞ n=1 P

∈ − ∈ (cid:17) (cid:16)

Chuỗi hàm số

Chuỗi hàm số hội tụ đều

Các tính chất của chuỗi hàm số hội tụ đều

Tính liên tục

Nếu

un(x) liên tục trên X với mọi n,

un(x) hội tụ đều về S(x) trên X

Chuỗi ∞ n=1 P thì S(x) liên tục trên X , i.e.,

∞

un(x). un(x) = lim x0 x → lim x0 x →

n=1 X

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

31 / 53

Chuỗi hàm số

Chuỗi hàm số hội tụ đều

Các tính chất của chuỗi hàm số hội tụ đều

Tính liên tục

Nếu

un(x) liên tục trên X với mọi n,

un(x) hội tụ đều về S(x) trên X

Chuỗi ∞ n=1 P thì S(x) liên tục trên X , i.e.,

∞

un(x). un(x) = lim x0 x → lim x0 x →

n=1 X

Ví dụ

1 n2 arctan

x √n+1

TS. Bùi Xuân Diệu

31 / 53

Xét tính liên tục của chuỗi hàm số ∞ n=1 P Giải tích III

Chuỗi hàm số

Chuỗi hàm số hội tụ đều

Các tính chất của chuỗi hàm số hội tụ đều

Tính khả tích

Nếu

un(x) liên tục trên [a, b] với mọi n,

un(x) hội tụ đều về S(x) trên [a, b]

Chuỗi ∞ n=1 P thì S(x) khả tích trên [a, b] và

b

∞

. = S(x)dx = un(x)dx un(x)

a

(cid:19) Z Z

n=1 (cid:18)Z X

n=1 X

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

32 / 53

Chuỗi hàm số

Chuỗi hàm số hội tụ đều

Các tính chất của chuỗi hàm số hội tụ đều

Tính khả tích

Nếu

un(x) liên tục trên [a, b] với mọi n,

un(x) hội tụ đều về S(x) trên [a, b]

Chuỗi ∞ n=1 P thì S(x) khả tích trên [a, b] và

b

∞

. = S(x)dx = un(x)dx un(x)

a

(cid:19) Z Z

n=1 (cid:18)Z X

n=1 X

Ví dụ

1)n(2n + 1)x 2n.

1(n + 1)(x

1)n

−

TS. Bùi Xuân Diệu

32 / 53

− − − Tìm miền hội tụ và tính tổng a) ∞ 1)n ( n=1 P b) ∞ ( n=1 P Giải tích III

Chuỗi hàm số

Chuỗi hàm số hội tụ đều

Các tính chất của chuỗi hàm số hội tụ đều

Tính khả vi

Nếu

un(x) khả vi liên tục trên (a, b) với mọi n,

un(x) hội tụ về S(x) trên (a, b),

u′n(x) hội tụ đều trên (a, b)

Chuỗi ∞ n=1 P Chuỗi ∞ n=1 P

′

∞

un(x) thì S(x) khả vi trên (a, b) và S ′(x) = u′n(x). (cid:19) (cid:18) = ∞ n=1 P

n=1 P

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

33 / 53

Chuỗi hàm số

Chuỗi hàm số hội tụ đều

Các tính chất của chuỗi hàm số hội tụ đều

Tính khả vi

Nếu

un(x) khả vi liên tục trên (a, b) với mọi n,

un(x) hội tụ về S(x) trên (a, b),

u′n(x) hội tụ đều trên (a, b)

Chuỗi ∞ n=1 P Chuỗi ∞ n=1 P

′

∞

un(x) thì S(x) khả vi trên (a, b) và S ′(x) = u′n(x). (cid:19) (cid:18) = ∞ n=1 P

n=1 P

Ví dụ

(

−

(x + 1)n

1)n−1 n

x 2n+1 2n+1 .

TS. Bùi Xuân Diệu

33 / 53

b) ∞ n=1 P Tìm miền hội tụ và tính tổng a) ∞ n=1 P Giải tích III

Chuỗi lũy thừa

Chương 1: Chuỗi 1 Đại cương về chuỗi số 2 Chuỗi số dương

Tiêu chuẩn tích phân Tiêu chuẩn so sánh Tiêu chuẩn D’Alambert Tiêu chuẩn Cauchy

3 Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì

Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ Chuỗi đan dấu

4 Chuỗi hàm số

Chuỗi hàm số hội tụ Chuỗi hàm số hội tụ đều

5 Chuỗi lũy thừa

Các tính chất của chuỗi lũy thừa Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa

6 Chuỗi Fourier

Giải tích III

34 / 53

Chuỗi lượng giác TS. Bùi Xuân Diệu

Chuỗi lũy thừa

Định nghĩa

Chuỗi hàm số có dạng

∞

, (1) + anx n + anx n = a0 + a1x + a2x 2 + · · · · · ·

n=0 X

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

35 / 53

ở đó x là biến số còn an là các hệ số, được gọi là chuỗi lũy thừa.

Chuỗi lũy thừa

Định nghĩa

Chuỗi hàm số có dạng

∞

, (1) + anx n + anx n = a0 + a1x + a2x 2 + · · · · · ·

n=0 X

ở đó x là biến số còn an là các hệ số, được gọi là chuỗi lũy thừa.

Ví dụ

Nếu an = 1 với mọi n, thì chuỗi (1) đã cho trở thành chuỗi cấp số nhân

1 + x + x 2 + + x n + , · · · · · ·

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

35 / 53

x sẽ hội tụ nếu 1 < x < 1 và phân kỳ nếu 1. − | | ≥

Chuỗi lũy thừa

Ví dụ

x n n .

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

36 / 53

Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số ∞ n=1 P

Chuỗi lũy thừa

Ví dụ

x n n .

Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số ∞ n=1 P

Ví dụ

Tìm tập xác định của hàm số Bessel được định nghĩa bởi

∞

J0(x) = 1)nx 2n ( 22n(n!)2 . −

n=0 X

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

36 / 53

Chuỗi lũy thừa

Định lý (Abel)

= 0, thì nó cũng hội tụ (tuyệt

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

37 / 53

Nếu chuỗi lũy thừa ∞ n=0 P đối) tại mọi điểm x mà < anx n hội tụ tại x0 6 x0| x . | | |

Chuỗi lũy thừa

Định lý (Abel)

= 0, thì nó cũng hội tụ (tuyệt

Nếu chuỗi lũy thừa ∞ n=0 P đối) tại mọi điểm x mà < anx n hội tụ tại x0 6 x0| x . | | |

Hệ quả

= 0, thì nó cũng phân kỳ tại

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

37 / 53

x mọi điểm x mà Nếu chuỗi lũy thừa ∞ n=0 P > | anx n phân kỳ tại x0 6 x0| . | |

Chuỗi lũy thừa

Hệ quả

anx n cho trước, chỉ có 3 khả năng sau có thể

xảy ra. Với mỗi chuỗi lũy thừa ∞ n=0 P

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

38 / 53

x x i) Chuỗi hội tụ tại duy nhất điểm x = 0. ii) Chuỗi hội tụ tại mọi điểm x ∈ iii) Tồn tại một số thực dương R sao cho chuỗi đã cho hội tụ nếu > R. < R và phân kỳ nếu | | | |

Chuỗi lũy thừa

Hệ quả

anx n cho trước, chỉ có 3 khả năng sau có thể

xảy ra. Với mỗi chuỗi lũy thừa ∞ n=0 P

Định nghĩa

Bán kính hội tụ của một chuỗi lũy thừa được định nghĩa bằng

0 trong trường hợp i)

trong trường hợp ii) ∞

Giải tích III

38 / 53

bằng bằng số thực dương R trong trường hợp iii) TS. Bùi Xuân Diệu

Chuỗi lũy thừa

n√an thì bán kính hội tụ của chuỗi

Cách tìm bán kính hội tụ

hoặc ρ = lim + Nếu ρ = lim +

∞

→

và R = nếu ρ = 0.

an+1 an n → ρ , với quy ước là R = 0 nếu ρ =

∞ ∞ (cid:12) (cid:12) (cid:12)

n ∞ (cid:12) lũy thừa là R = 1 (cid:12) (cid:12)

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

39 / 53

Chuỗi lũy thừa

n√an thì bán kính hội tụ của chuỗi

Cách tìm bán kính hội tụ

hoặc ρ = lim + Nếu ρ = lim +

∞

→

và R = nếu ρ = 0.

an+1 an n → ρ , với quy ước là R = 0 nếu ρ =

∞ ∞ (cid:12) (cid:12) (cid:12)

n ∞ (cid:12) lũy thừa là R = 1 (cid:12) (cid:12)

Ví dụ

Tìm miền hội tụ của các chuỗi lũy thừa sau.

∞

( 1) 3) 2) 1)n x 2n (2n)! n(x + 2)n 3n+1 n(x + 1)n 4n −

n=0 X ∞

n!(2x 1)n 6) 5) 4) x 2n n(ln n)2 − 3n(x + 4)n √n + 1

n=2 X

n=1 X

n=0 X

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

39 / 53

Chuỗi lũy thừa

Các tính chất của chuỗi lũy thừa

Định lý

anx n có bán kính hội tụ bằng R > 0 và đặt

1 Chuỗi lũy thừa hội tụ đều trên mọi khoảng [a, b]

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

40 / 53

x Giả sử rằng chuỗi lũy thừa ∞ n=0 P < R. Khi đó anx n với | | f (x) = ∞ n=0 P ( R, R). ⊂ −

Chuỗi lũy thừa

Các tính chất của chuỗi lũy thừa

Định lý

anx n có bán kính hội tụ bằng R > 0 và đặt

1 Chuỗi lũy thừa hội tụ đều trên mọi khoảng [a, b]

x Giả sử rằng chuỗi lũy thừa ∞ n=0 P < R. Khi đó anx n với | | f (x) = ∞ n=0 P ( R, R). ⊂ − f (x) là hàm số khả vi (và do đó liên tục) trên khoảng ( R, R) và −

∞

1 +

−

f ′(x) = + nanx n (anx n)′ = a1 + 2a2x + · · · · · ·

n=0 X

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

40 / 53

Chuỗi lũy thừa

Các tính chất của chuỗi lũy thừa

Định lý

anx n có bán kính hội tụ bằng R > 0 và đặt

1 Chuỗi lũy thừa hội tụ đều trên mọi khoảng [a, b]

∞

1 +

−

f ′(x) = + nanx n (anx n)′ = a1 + 2a2x + · · · · · ·

n=0 X

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

40 / 53

+ + + an f (x)dx = C + a0x + a1 x 2 2 x n+1 n + 1 · · · · · · Z

Chuỗi lũy thừa

Các tính chất của chuỗi lũy thừa

Ví dụ

Tìm biểu diễn chuỗi lũy thừa của các hàm số

1) f (x) = ln(1 + x) 2) f (x) = 3) f (x) = arctan x

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

41 / 53

2 4) f (x) = 6) f (x) = 5) f (x) = 3 1 − − 7) f (x) = 8) f (x) = 9) f (x) = x 2 x 2 x 1 1 + x 2 5 4x 2 x + 2 x 2 2x 2 1 x 1 − 1 + x x 2 + x x)3 (1 − − − − −

Chuỗi lũy thừa

Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa

Định nghĩa

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

42 / 53

a x < R, với R > 0 nào đó. a)n, an(x − − | | Hàm số f (x) được gọi là có biểu diễn chuỗi lũy thừa tại a nếu f (x) = ∞ n=0 P

Chuỗi lũy thừa

Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa

Định nghĩa

a x < R, với R > 0 nào đó. a)n, an(x − − | | Hàm số f (x) được gọi là có biểu diễn chuỗi lũy thừa tại a nếu f (x) = ∞ n=0 P

Định lý (Điều kiện cần để hàm số khai triển được thành chuỗi lũy thừa)

a)n. (x

f (n)(a) n!

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

42 / 53

− Nếu hàm số f (x) có biểu diễn chuỗi lũy thừa tại điểm a thì thì nó phải có đạo hàm mọi cấp trong lân cận của điểm a và biểu diễn chuỗi lũy thừa của nó phải có dạng f (x) = ∞ n=0 P

Chuỗi lũy thừa

Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa

Định nghĩa

a x < R, với R > 0 nào đó. a)n, an(x − − | | Hàm số f (x) được gọi là có biểu diễn chuỗi lũy thừa tại a nếu f (x) = ∞ n=0 P

Định lý (Điều kiện cần để hàm số khai triển được thành chuỗi lũy thừa)

a)n. (x

f (n)(a) n!

1 x2

−

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

42 / 53

Nếu hàm số f (x) có biểu diễn chuỗi lũy thừa tại điểm a thì thì nó phải có đạo hàm mọi cấp trong lân cận của điểm a và biểu diễn chuỗi lũy thừa của nó phải có dạng f (x) = ∞ n=0 P e− có f (n)(0) = 0 với mọi n nên Chú ý: Hàm số f (x) = 6 nếu x = 0 nếu x = 0 0 ( chuỗi lũy thừa tại x = 0 của nó bằng 0.

Chuỗi lũy thừa

Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa

Định nghĩa

(x a)n được gọi là chuỗi Taylor của hàm số

f (n)(a) n!

− Chuỗi lũy thừa ∞ n=0 P f (x) tại điểm a. Chuỗi Taylor tại điểm 0 gọi là chuỗi Maclaurin.

(x a)n = f (x) thì ta nói hàm số f (x) khai triển được

f (n)(a) n!

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

43 / 53

− thành chuỗi Taylor trong lân cận của a. Nếu ∞ n=0 P

Chuỗi lũy thừa

Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa

Định nghĩa

(x a)n được gọi là chuỗi Taylor của hàm số

f (n)(a) n!

− Chuỗi lũy thừa ∞ n=0 P f (x) tại điểm a. Chuỗi Taylor tại điểm 0 gọi là chuỗi Maclaurin.

(x a)n = f (x) thì ta nói hàm số f (x) khai triển được

f (n)(a) n!

− thành chuỗi Taylor trong lân cận của a. Nếu ∞ n=0 P

Ví dụ Tìm chuỗi Maclaurin của hàm số f (x) = ex và tìm bán kính hội tụ của nó.

Câu hỏi:

? ex có biểu diễn chuỗi lũy thừa tại 0 hay không? Nếu nó có biểu diễn chuỗi lũy thừa tại 0, thì liệu + x n ex = 1 + x

1! + x 2

2! +

n! +

TS. Bùi Xuân Diệu

43 / 53

· · · · · · Giải tích III

Chuỗi lũy thừa

Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa

Định lý (Điều kiện đủ để hàm số khai triển được thành chuỗi lũy thừa)

a x < R x : { − } | | của M với mọi ξ trong lân cận nói trên, thì hàm số f (x) f (n)(ξ) | ≤ | Nếu hàm số f (x) có đạo hàm mọi cấp trong lân cận điểm a và khai triển được thành chuỗi Taylor tại điểm đó và

∞

x a f (x) = (x a)n, < R. f (n)(a) n! − | | −

n=0 X

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

44 / 53

Chuỗi lũy thừa

Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa

Định lý (Điều kiện đủ để hàm số khai triển được thành chuỗi lũy thừa)

∞

x a f (x) = (x a)n, < R. f (n)(a) n! − | | −

n=0 X

Ví dụ

x R.

x n n! ∀

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

44 / 53

∈ Chứng minh rằng ex = ∞ n=0 P

Chuỗi lũy thừa

Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa

Khai triển Maclaurin một số hàm số sơ cấp

1)

x 2 + x n +

k n

· · · + · · · 1)nx n + x + x 2 (cid:1) (cid:0) · · · (R = 1) (R = 1) (R = 1)

1

− · · · · · · · · ·

−

4 ex = 1 + x sin x = x

6 cos x = 1

(R = (R = (1 + x)k = 1 + kx + k(k − 2! 1 + ( 1+x = 1 − + x n + 1 + x n n! + + ( − · · · − + ( (R = −

1 x n

· · · 1)n x 2n+1 (2n+1)! + 1)n x 2n (2n)! + 1)n ) ∞ ) ∞ ) ∞ (R = 1) ln(1 + x) = x

−

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

45 / 53

· · · n + − x = 1 + x + x 2 + 1! + x 2 2! + · · · x 3 3! + x 5 5! − · · · 2! + x 4 x 2 4! − · · · 2 + x 3 x 2 − + ( 3 − · · · − · · · −

Chuỗi lũy thừa

Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa

Khai triển Maclaurin một số hàm số sơ cấp

1)

x 2 + x n +

k n

· · · + · · · 1)nx n + x + x 2 (cid:1) (cid:0) · · · (R = 1) (R = 1) (R = 1)

1

− · · · · · · · · ·

−

4 ex = 1 + x sin x = x

6 cos x = 1

(R = (R = (1 + x)k = 1 + kx + k(k − 2! 1 + ( 1+x = 1 − + x n + 1 + x n n! + + ( − · · · − + ( (R = −

1 x n

· · · 1)n x 2n+1 (2n+1)! + 1)n x 2n (2n)! + 1)n ) ∞ ) ∞ ) ∞ (R = 1) ln(1 + x) = x

−

· · · n + − x = 1 + x + x 2 + 1! + x 2 2! + · · · x 3 3! + x 5 5! − · · · 2! + x 4 x 2 4! − · · · 2 + x 3 x 2 − + ( 3 − · · · − · · · −

Ví dụ

Khai triển Maclaurin các hàm số sau

a) f (x) = ln(2 + x) b) f (x) = sin2 x

x

t2

dt e) f (x) = ln f) f (x) = dt. d) f (x) = e− c) f (x) = ex sin x sin t t 1 + x x 1

0

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

45 / 53

Z Z −

Chuỗi Fourier

Chương 1: Chuỗi 1 Đại cương về chuỗi số 2 Chuỗi số dương

Tiêu chuẩn tích phân Tiêu chuẩn so sánh Tiêu chuẩn D’Alambert Tiêu chuẩn Cauchy

3 Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì

Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ Chuỗi đan dấu

4 Chuỗi hàm số

Chuỗi hàm số hội tụ Chuỗi hàm số hội tụ đều

5 Chuỗi lũy thừa

Các tính chất của chuỗi lũy thừa Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa

6 Chuỗi Fourier

Giải tích III

46 / 53

Chuỗi lượng giác TS. Bùi Xuân Diệu

Chuỗi Fourier

Chuỗi lượng giác

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

47 / 53

Chuỗi Fourier của một hàm tuần hoàn là một cách biểu diễn hàm số đó dưới dạng tổng của các hàm tuần hoàn có dạng hàm sin và hàm cos.

Chuỗi Fourier

Chuỗi lượng giác

Chuỗi Fourier của một hàm tuần hoàn là một cách biểu diễn hàm số đó dưới dạng tổng của các hàm tuần hoàn có dạng hàm sin và hàm cos.

Định nghĩa

Một chuỗi có dạng

∞

R (2) + (an cos nx + bn sin nx), an, bn a0 2 ∈

n=0 X

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

47 / 53

được gọi là một chuỗi lượng giác.

Chuỗi Fourier

Chuỗi lượng giác

Chuỗi Fourier của một hàm tuần hoàn là một cách biểu diễn hàm số đó dưới dạng tổng của các hàm tuần hoàn có dạng hàm sin và hàm cos.

Định nghĩa

Một chuỗi có dạng

∞

R (2) + (an cos nx + bn sin nx), an, bn a0 2 ∈

n=0 X

được gọi là một chuỗi lượng giác.

Nhận xét

hội tụ chuỗi (2) hội tụ tuyệt đối trên R. bn an ⇒ | | , ∞ n=1 | P hội tụ.

∞ n=1 | P Tuy nhiên, chuỗi (2) hội tụ

bn an | | 6⇒ , ∞ n=1 | P

∞ n=1 | P Giải tích III

TS. Bùi Xuân Diệu

47 / 53

Chuỗi Fourier

Chuỗi lượng giác

Chuỗi Fourier

Định lý

Nếu hàm số f (x) tuần hoàn với chu kỳ 2π và có biểu diễn

∞

R f (x) = + (an cos nx + bn sin nx), an, bn a0 2 ∈

n=0 X

thì các hệ số của nó được tính theo công thức

π

f (x) sin nxdx. f (x)dx, an = f (x) cos nxdx, bn = a0 = 1 π 1 π 1 π

π

Z Z Z

−

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

48 / 53

Chuỗi Fourier

Chuỗi lượng giác

Chuỗi Fourier

Định lý

Nếu hàm số f (x) tuần hoàn với chu kỳ 2π và có biểu diễn

∞

R f (x) = + (an cos nx + bn sin nx), an, bn a0 2 ∈

n=0 X

thì các hệ số của nó được tính theo công thức

π

f (x) sin nxdx. f (x)dx, an = f (x) cos nxdx, bn = a0 = 1 π 1 π 1 π

π

Z Z Z

−

Định nghĩa

Chuỗi lượng giác a0 (an cos nx + bn sin nx) với các hệ số a0, an, bn

2 + ∞ n=0 P

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

48 / 53

xác định như trên được gọi là chuỗi Fourier của hàm số f (x).

Chuỗi Fourier

Chuỗi lượng giác

Điều kiện để hàm số khai triển được thành chuỗi Fourier

Định nghĩa

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

49 / 53

Nếu chuỗi Fourier của hàm f (x) hội tụ về hàm f (x) thì ta nói hàm f (x) được khai triển thành chuỗi Fourier

Chuỗi Fourier

Chuỗi lượng giác

Điều kiện để hàm số khai triển được thành chuỗi Fourier

Định nghĩa

Nếu chuỗi Fourier của hàm f (x) hội tụ về hàm f (x) thì ta nói hàm f (x) được khai triển thành chuỗi Fourier

Định lý (Dirichlet)

Nếu

f (x) tuần hoàn với chu kì 2π , đơn điệu từng khúc,

bị chặn trên [ π, π] − thì chuỗi Fourier của nó hội tụ tại mọi điểm trên đoạn [ π, π], và −

S(x) = f (x), f (x+0)+f (x

0)

−

nếu x là điểm liên tục của f (x) nếu x là điểm gián đoạn của f (x). (

2

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

49 / 53

Chuỗi Fourier

Chuỗi lượng giác

Chuỗi Fourier

Ví dụ

Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f (x) tuần hoàn với chu kì 2π, xác định như sau

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

50 / 53

f (x) = x 2, π < x < π. x 1, 0 − f (x) = . 1, ≤ π π ≤ x < 0 ( − ≤ x x − x, 0 f (x) = f (x) = . . 1, π x π ≤ x < 0 1, 0, ≤ π π ≤ x < 0 ( ( − − − ≤ ≤ − ≤

Chuỗi Fourier

Chuỗi lượng giác

Chuỗi Fourier

Khai triển Fourier các hàm số chẵn, lẻ

k N. ∀ ∈ N. ∀ ∈

π Nếu f (x) là hàm số chẵn thì ak = 2 0 f (x) cos kxdx, bk = 0, π π Nếu f (x) là hàm số lẻ thì bk = 2 k 0 f (x) sin kxdx, ak = 0, R π R

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

51 / 53

Chuỗi Fourier

Chuỗi lượng giác

Chuỗi Fourier

Khai triển Fourier các hàm số chẵn, lẻ

k N. ∀ ∈ N. ∀ ∈

π Nếu f (x) là hàm số chẵn thì ak = 2 0 f (x) cos kxdx, bk = 0, π π Nếu f (x) là hàm số lẻ thì bk = 2 k 0 f (x) sin kxdx, ak = 0, R π R

Ví dụ

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

51 / 53

Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f (x) tuần hoàn với chu kì 2π, xác định như sau f (x) = x, π < x < π. −

Chuỗi Fourier

Chuỗi lượng giác

Chuỗi Fourier

Khai triển Fourier các hàm số chẵn, lẻ

k N. ∀ ∈ N. ∀ ∈

π Nếu f (x) là hàm số chẵn thì ak = 2 0 f (x) cos kxdx, bk = 0, π π Nếu f (x) là hàm số lẻ thì bk = 2 k 0 f (x) sin kxdx, ak = 0, R π R

Ví dụ

Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f (x) tuần hoàn với chu kì 2π, xác định như sau f (x) = x, π < x < π. −

Ví dụ

Khai triển thành chuỗi Fourier của các hàm số cosine, sine các hàm số

x f (x) = π + x, 0 π. ≤ ≤ . f (x) = 1, 0, x 0 ≤ π 2 < x x ( f (x) = 1

π 2 π π.

Giải tích III

51 / 53

x, 0 f (x) = x(π x), 0 < x < π. ≤ ≤ ≤ ≤ − − TS. Bùi Xuân Diệu

Chuỗi Fourier

Chuỗi lượng giác

Khai triển chuỗi Fourier tuần hoàn với chu kì bất kì

Nếu hàm số f (x) tuần hoàn với chu kì 2L, đơn điệu từng khúc và bị chặn trên [ L, L] thì thực hiện phép đổi biến x ′ = π

L x ta có

−

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

52 / 53

f (x) = f x ′ = F (x ′) L π (cid:18) (cid:19) sẽ tuần hoàn với chu kì 2π.

Chuỗi Fourier

Chuỗi lượng giác

Khai triển chuỗi Fourier tuần hoàn với chu kì bất kì

Nếu hàm số f (x) tuần hoàn với chu kì 2L, đơn điệu từng khúc và bị chặn trên [ L, L] thì thực hiện phép đổi biến x ′ = π

L x ta có

−

f (x) = f x ′ = F (x ′) L π (cid:18) (cid:19)

sẽ tuần hoàn với chu kì 2π.Áp dụng khai triển Fourier cho hàm số F (x ′) ta có

∞

x f (x) = + ), an cos n x + bn sin π L π L a0 2 (cid:17)

n=0 (cid:16) X

ở đó

L

f (x) cos n f (x) sin n xdx. f (x)dx, an = xdx, bn = a0 = 1 L π L 1 L π L 1 L

L

Z Z Z

−

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

52 / 53

Chuỗi Fourier

Chuỗi lượng giác

Khai triển chuỗi Fourier tuần hoàn với chu kì bất kì

Nếu hàm số f (x) tuần hoàn với chu kì 2L, đơn điệu từng khúc và bị chặn trên [ L, L] thì thực hiện phép đổi biến x ′ = π

L x ta có

−

f (x) = f x ′ = F (x ′) L π (cid:18) (cid:19)

sẽ tuần hoàn với chu kì 2π.Áp dụng khai triển Fourier cho hàm số F (x ′) ta có

∞

x f (x) = + ), an cos n x + bn sin π L π L a0 2 (cid:17)

n=0 (cid:16) X

ở đó

L

f (x) cos n f (x) sin n xdx. f (x)dx, an = xdx, bn = a0 = 1 L π L 1 L π L 1 L

L

Z Z Z

−

TS. Bùi Xuân Diệu

52 / 53

x Ví dụ Khai triển Fourier f (x) = x 2, 2 tuần hoàn với chu kì 2L = 4. 2 − ≤ ≤ Giải tích III

Chuỗi Fourier

Chuỗi lượng giác

Khai triển chuỗi Fourier hàm số trên đoạn [a, b] bất kì

Cho hàm số f (x) đơn điệu từng khúc và bị chặn trên [a, b].

Khai triển f (x)thành chuỗi Fourier

a) sao cho (b − ≥

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

53 / 53

Xây dựng hàm số g (x) tuần hoàn với chu kì g (x) = f (x) trên [a, b]. Khai triển hàm g (x) thành chuỗi Fourier thì tổng của chuỗi bằng f (x) tại x [a, b] (có thể trừ những điểm gián đoạn của f (x)). ∈

Chuỗi Fourier

Chuỗi lượng giác