Bài giảng giải tích 1 ThS. Nguyễn Hữu Hiệp: Tổng hợp đầy đủ nhất

Đại học Quốc gia TP.HCM Trường Đại học Bách Khoa Bộ môn Toán Ứng dụng

. Bài Giảng Giải Tích 1

ThS.Nguyễn Hữu Hiệp

E-mail: nguyenhuuhiep@hcmut.edu.vn

Ngày 8 tháng 9 năm 2014

Mục tiêu môn học

• Môn học cung cấp các kiến thức cơ bản về vi tích phân hàm một biến và phương trình vi phân.

• Giúp học viên hiễu lý thuyết, nắm vững các kỹ năng tính toán, biết vận dụng giải các bài toán cụ thể.

• Biết vận dụng các phương pháp và tư duy sáng tạo vào khoa học kỹ thuật.

Tài liệu tham khảo

1) Nguyễn Đình Huy, Nguyễn Quốc Lân,. . . Phép tính vi phân hàm một biến. NXBGD, 2005

2) Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng. Bài tập toán cao cấp 1.

3) Đỗ Công Khanh. Giải tích một biến. NXB Đại học quốc gia

MỤC LỤC

1 Giới hạn và liên tục

1.1 Giới hạn dãy số .

1.2 Hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Bài tập . .

. . . .

. . 1.3 Giới hạn hàm số .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Hàm lũy thừa y = xα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Hàm mũ - Hàm logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Hàm y = ln x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Hàm Hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6 Các hàm lượng giác ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.7 Hàm Hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.8 Hàm ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.9 Hàm tham số hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Định nghĩa . 1.3.2 Các giới hạn cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Vô cùng bé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Vô cùng lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Hàm số liên tục . 5 5 10 11 11 12 14 15 16 16 17 18 18 19 19 21 22 26 29

2 Đạo hàm và vi phân . . 2.1 Đạo hàm . . . . . . .

. . . . . .

. .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Đạo hàm hàm ngược và hàm tham số hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Đạo hàm cấp cao . 2.2 Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Công thức H’Lopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Công thức taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Khảo sát và vẽ đồ thị 2.6.1 Tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Chiều biến thiên và cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3 Lồi, lõm và điểm uốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.4 Khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.5 Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 33 33 36 37 38 41 41 45 52 52 54 57 58 61

3 Tích phân

3.1 Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 65

MỤC LỤC MỤC LỤC

. . .

3.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Phương pháp tính tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Nguyên hàm hàm hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Nguyên hàm hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5 Nguyên hàm hàm vô tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Ứng dụng hình học của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Độ dài đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Thể tích vật thể tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Diện tích mặt tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 66 68 70 73 75 78 78 79 80 81

4 Phương trình vi phân

4.3 Hệ phương trình vi phân .

4.1 Phương trình vi phân cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Phương trình vi phân tách biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Phương trình vi phân đẳng cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Phương trình vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4 Phương trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.5 Phương trình vi phân Bernulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.6 Bài tập tổng hợp . 4.2 Phương trình vi phân cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 PTVP cấp 2 thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 PTVP cấp 2 - dạng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 PTVP cấp 2 - Dạng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 PTVP cấp 2 - dạng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Ánh xạ đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83 83 83 85 86 88 90 91 95 95 95 97 97 98 98 98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.4 Bài tập ôn tập cuối kỳ . . 4.5 Đề thi cuối kỳ . . . . . . . .

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 4

CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

1.1 Giới hạn dãy số

Định nghĩa 1.1 (Sup-Inf của tập hợp) Cho tập A ⊂ R.

• Cận trên nhỏ nhất của tập A gọi là Supremum, ký hiệu sup(A).

• Cận dưới lớn nhất của A gọi là infimum, ký hiệu inf(A).

Ví dụ 1.1 a) A = [0, 1) thì sup(A) = 1 và inf(A) = 0.

|n ∈ N } thì sup(A) = 1 và inf(A) = 0. b) A = { Chú ý tập max(A) = 0 nhưng min(A) không tồn tại. Khái niệm sup và inf là mở rộng của max và min. 1 n

c) A = (−∞, 3) thì sup(A) = 3 nhưng không có inf

Định nghĩa 1.2 (Dãy số) Một dãy số là một ánh xạ từ tập số tự nhiên N vào tập số thực R.

u : N −→ R n (cid:55)→ u(n) := un.

n=1 hay đơn giản (un). un gọi là số hạng thứ n của dãy.

Ký hiệu 1 dãy số (un)+∞

3, ...}.

√ 3, − 1 Ví dụ 1.2 a) Cho dãy số dạng liệt kê (un) = {1; −2; 1; 4; 0; −5, 8; −3; Số hạng thứ 5 là u5 = 0.

. b) Cho dãy số dạng số hạng tổng quát (un) : un = (−1)n + n n2 + 1

= . Số hạng thứ 7 là u7 = (−1)7 + 7 72 + 1 3 25

(cid:40)

c) Cho dãy số dạng truy hồi (un) : u1 = 1 un+1 = 2un + 3, n ≥ 1.

Ta có u2 = 2u1 + 3 = 5, u3 = 2u2 + 3 = 13, ...

Định nghĩa 1.3 (Dãy số đơn điệu) . Dãy số (xn) gọi là tăng nếu xn ≤ xn+1, ∀n ∈ N Dãy số (xn) gọi là giảm nếu xn ≥ xn+1, ∀n ∈ N Bỏ dấu "=" trong đẳng thức, ta có dãy số tăng ngặt (giảm ngặt). Dãy số tăng hoặc giảm gọi chung là đơn điệu.

. Ví dụ 1.3 Xét tính đơn điệu của dãy số (xn) : xn = n + 1 n + 2

− = = > 0, ∀n. Ta có xn+1 − xn = n + 1 n + 2 (n + 2)2 − (n + 1)(n + 3) (n + 3)(n + 2) 1 (n + 3)(n + 2) (n + 1) + 1 (n + 1) + 2 =⇒ xn+1 > xn suy ra (xn) là dãy tăng.

1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

1 , x ≥ 1 =⇒ f (cid:48)(x) = Cách khác Xét f (x) = x + 1 x + 2 (x + 2)2 > 0.

Vậy f (x) đồng biến nên (un) là dãy tăng.

Định nghĩa 1.4 (Dãy số bị chặn) . Dãy (xn) gọi là bị chặn trên nếu ∃M : xn ≤ M, ∀n. Dãy (xn) gọi là bị chặn dưới nếu ∃m : xn ≥ m, ∀n. Dãy (xn) bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới.

. Ví dụ 1.4 Xét tính bị chặn của dãy số (xn) : xn = Dãy (xn) bị chặn khi và chỉ khi (|xn|) bị chặn trên. n n + 1

Ta có 0 < < 1, ∀n ∈ N . Suy ra (xn) vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới do đó bị chặn. n n + 1

Định nghĩa 1.5 (Dãy con) . Cho dãy (xn). Dãy con của (xn) là một dãy (xnk)k mà các phần tử của nó được lấy tùy ý từ (xn) theo thứ tự tăng dần của chỉ số.

Ví dụ 1.5

n→+∞−−−−→ a được định nghĩa

(cid:26) −1, 1, , , , , . . . (cid:27) . 3 7 2 7 5 23 3 17 Cho dãy (xn) : xn = (cid:26) = (cid:27) −1, , , là một dãy con của xn. Dãy vn = 5 23 n n2 − 2 3 , . . . 17 (cid:26) (cid:27) = 1, . . . Dãy x2n = là dãy con các chỉ số chẵn của xn. 3 7 2n (2n)2 − 2 2 7 3 , 17 (cid:26) (cid:27) , = −1, , . . . là dãy con các chỉ số lẻ của xn. Dãy x2n+1 = 2n + 1 (2n + 1)2 − 2 3 7 5 23

un = a hay un Định nghĩa 1.6 (Giới hạn dãy số) Ký hiệu lim n→+∞

∀ε > 0, ∃n0 : n ≥ n0 =⇒ |un − a| < ε

n→+∞−−−−→ +∞ được

Ta nói dãy (un) hội tụ về a. Nếu (un) không hội tụ thì ta nói (un) phần kỳ.

un = +∞ hay un Định nghĩa 1.7 ( dãy số dần ra vô cùng) Ký hiệu lim n→+∞ định nghĩa ∀A > 0, ∃n0 : n ≥ n0 =⇒ un > A.

Ta nói dãy (un) hội tụ về a. Nếu (un) không hội tụ thì ta nói (un) phần kỳ.

Tượng tự cho giới hạn dần ra −∞.

Tính chất Cho xn −→ a, yn −→ b; a, b ∈ R ta có

i) (xn ± yn) = a ± b. = , b (cid:54)= 0. iii) lim n→+∞ lim n→+∞ a b xn yn

(xn.yn) = ab. |xn| = |a|. ii) iv) lim n→+∞ lim n→+∞

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 6

CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ

Định lý

1. Giới hạn dãy nếu tồn tại là duy nhất.

2. Dãy hội tụ thì bị chặn.

3. Cho xn ≤ yn ≤ zn, ∀n ≥ n0.

(cid:40)

=⇒ yn −→ a. xn −→ a zn −→ a

4. Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ.

Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.

5. (cid:40)

xn → a ⇐⇒ x2n → a x2n+1 → a.

(cid:18) (cid:19)n 1 + Số e. Người ta chứng minh được dãy số xn = là 1 n dãy tăng và bị chặn trên do đó hội tụ. Ký hiệu

(cid:19)n (cid:18) = e 1 + lim n→∞ 1 n

Số e là số vô tỷ có giá trị gần đúng là e = 2.718281828...

Các giới hạn cơ bản

√ n iv) nα = 1, ∀α. i) lim n→∞ lim n→∞ (cid:16) (cid:17)n 1 + v) = ea, ∀a. ii) = 0, α > 0. lim n→∞ a n lim n→∞

iii) 1 nα = 0, α > 0. 1 lnα n qn = 0, |q| < 0. lim n→∞

Các dạng vô định

, , 0.∞, ∞ − ∞, 1∞, +∞0, 00 + 0 0 ∞ ∞

Khi tính giới hạn dạng vô định, ta dùng công thức hoặc biến đổi đại số để khử dạng vô định. Nếu giới hạn không phải dạng vô định, ta tính bình thường.

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 7

1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Quy tắc

= ∞, = 0. 1 0 1 ∞

lnα n (cid:28) nβ(β > 0) (cid:28) an(a > 1) (cid:28) n! (cid:28) nn

Dấu (cid:28) chỉ mang tính hình thức theo nghĩa: hàm nhỏ chia hàm lớn dần về 0 và hàm lớn chia hàm nhỏ dần về vô cùng.

Ví dụ 1.6

b) = 0. c) = 0. a) d) lim n→∞ lim n→∞ 3n n! 2n n100 = +∞. lim n→∞ lim n→∞ log5 2 n 3n = 0. ln5 n √ n

Ví dụ 1.7 Tính các giới hạn sau

2n3 − 3n 4n + 3n2 . . Đại lượng n3 lớn nhất nên chia cả tử và mẫu cho n3. Dạng a) I = lim n→∞ ∞ ∞

2 − = +∞ (vì tử dần về 2, mẫu dần về 0). I = lim n→∞

3 n2 3 4 n2 + n

2n3 − 4n+1 3n − 22n−1 + 5n7 . . Đại lượng 4n = 22n lớn nhất nên chia cả tử và mẫu cho 4n. Dạng b) I = lim n→∞ ∞ ∞

2 = = 8. I = lim n→∞ 0 − + 0 )n − ( 0 − 4 1 2 n3 4n − 4 1 + 5 2 n7 4n 3 4 √

c) I = lim n→∞

√ √ ( n2 + 4n + n) n2 + 4n − n + 1. Dạng ∞ − ∞. Nhân lượng liên hợp. n2 + 4n − n)( √ + 1. Dạng . I = lim n→∞ + 1 lim n→∞ ∞ ∞ n2 + 4n + n (cid:54)n2 +4n− (cid:54)n2 √ n2 + 4n + n

n + 1

4 √ + 1 = 3. + 1 = (cid:113) Chia cả tử và mẫu cho n. I = lim n→∞ 4 1 + 0 + 1 1 + 4

1 n

(cid:114) √ n √ n n4(3 − 4 ) 1 n = 1.30 = 1. d) I = lim n→∞ 3n4 − 4n3 = lim n→∞ ) = lim n→∞ 1 n 1 n n4(3 − 4 √ Tương tự, ta có thể chứng minh n Pm → 1 với mọi đa thức Pm.

n→∞

  2 − 2 − 2 − (cid:114) 2n+1 − 4n = =     e) I = lim n→∞ . Vì lim n→∞ = lim n→∞ 3n + 5n3 = lim 2 3 2 3 (cid:118) (cid:117) (cid:117) (cid:117) n (cid:117) (cid:116) (cid:118) (cid:117) (cid:117) (cid:117) n (cid:117) (cid:116) 1 + 1 + 1 + 4n 2n 5n3 3n 4n 2n 5n3 3n 4n 2n 5n3 3n 20 = 1.

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 8

CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ

(cid:19)2 + 1 = (0 + 1)2 = 1. f) I = lim n→∞ = lim n→∞ = lim n→∞ (cid:18) ln 2 ln n (ln 2 + ln n)2 ln2 n

ln2(2n) ln2 n √

. g) I = lim n→∞ √ n sin n! n + 1 √

≤ Ta có 0 ≤ . n n + 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) n sin n! n + 1 √ √

= 0. Vì = 0 nên lim n→∞ lim n→+∞ 0 = lim n→∞ = 0 =⇒ lim n→∞ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) √ n n + 1 n sin n! n + 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) n sin n! n + 1

(cid:19)n+1 (cid:18) (cid:19)n+1 1 + = e−2 = h) I = lim n→∞ = lim n→∞ (cid:18)n − 1 n + 1 −2 n + 1 1 e2 .

n2+5

(cid:19)3n2+1 (cid:18) (cid:19)(n2+5) 3n2+1 n2+5 1 + i) I = lim n→∞ (cid:18)n2 + 2 n2 + 5 −3 n2 + 5

n+2

= lim n→∞ (cid:19)(n2+5)(cid:35) 3n2+1 (cid:34)(cid:18) 1 + = (e−3)3 = e−9 = = lim n→∞ −3 n2 + 5 1 e9 .

(cid:19) n3+1 . j) I = lim n→∞ (cid:18)2n + 3 3n + 2

√

= = +∞ nên I = 0. , lim n→∞ 2n + 3 3n + 2 2 3 n3 + 1 n + 2 Vì lim n→∞ Chú ý bài này không phải dạng vô định. Có dạng (2/3)+∞ = 0.

n n2+2

(cid:19) . k) I = lim n→∞ (cid:18) 2n2 + 3n 4n2 − 2n √

= = 0 nên I = (1/4)0 = 1. Vì lim n→∞ 2n2 + 3n 4n2 − 2n 1 4 n n2 + 2 , lim n→∞ Chú ý bài này cũng không phải dạng vô định.

n2+2

(cid:19) n . l) I = lim n→∞ (cid:18) 2n3 + 3n 4n2 − 2n

n . n2 n2+2

n2+2

n→∞−−−→ (1/1)1 = 1.

(cid:33) n2 n2+2 (cid:19) n (cid:19) 1 = = Bài này dạng vô định +∞0. Ta làm như sau: √ (cid:32) n (cid:18) 2n3 + 3n √ 4n2 − 2n n (cid:18) 2n3 + 3n 4n2 − 2n 2n3 + 3n 4n2 − 2n

Ví dụ 1.8 Tính các giới hạn sau

(−1)n. Đặt xn = (−1)n a) I = lim n→∞

Ta có x2n = (−1)2n = 1 −→ 1, x2n+1 = (−1)2n+1 = −1 −→ −1. Vậy không tồn tại giới hạn.

(cid:19)n (cid:19)n (cid:19)n (cid:18) (cid:19)n = (−1)n = (−1)n 1 + . Đặt xn = . b) I = lim n→∞ (cid:18) 1 − n 1 + n (cid:18) n − 1 1 + n −2 1 + n (cid:18)1 − n 1 + n (cid:18) (cid:19)2n 1 + −→ 1.e−2 = x2n = (−1)2n −2 1 + 2n 1 e2 .

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 9

1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

(cid:18) (cid:19)2n+1 1 + −→ −1.e−2 = − x2n = (−1)2n+1 1 e2 .

−2 2 + 2n Vậy không tồn tại giới hạn.

(cid:40) (cid:113) √ (cid:112) 2 + 2 + √ 2 √ Viết cách khác: xn = 2 + . . . (n c) xn, với xn = lim n→∞ 2 + xn, n ≥ 1. x1 = xn+1 =

dấu căn). Dùng quy nạp chứng minh được dãy xn tăng và bị chặn trên bởi 2 do đó hội tụ. Giả sử xn → a. Từ giả thiết ta có

√ √ 2 + a ⇐⇒ a = 2. 2 + xn ⇐⇒ a = lim n→∞ xn+1 = lim n→∞

xn = 2. Vậy lim n→∞

+ d) xn, với xn = lim n→∞ (cid:18) + · · · + (cid:19) (cid:19) 1 − + − + − + · · · + − = 1 − −→ 1. Ta có xn = 1 1.2 (cid:19) 1 2 1 2.3 (cid:18) 1 2 1 3 1 . n(n + 1) (cid:19) (cid:18) 1 1 4 3 (cid:18) 1 n 1 n + 1 1 n + 1

1.1.1 Bài tập

Tính giới hạn

1. lim 1 + n √ n 2 − 4n − 5−n 3n − 22n − 5n6 n2 + 1 n + 1 ) ) 6. lim( 11. lim( 2n − 3 2n + 5 n − 2 n + 2

2. lim )n 12. lim( 7. lim n(cid:112)n + (−1)n ln(3n2 − 2n) n9 + 3n2 2n − 1 5n + 2

13. lim n sin n! √ 8. lim 3. lim n2 + 2n arctan n! 3n3 + arcsin n (1 + n) n − 2 log210n log2n

)1−n 14. lim( n − 1 n2 + 1 9. lim n 1 + n 2 − n2 ) (cid:114) 5n + 1 n10 + 2n 4. lim( 1 + n n + 2 15. lim

1 n − 2 16. lim ) 5. lim n 10. lim( (cid:114)n2 + 4n n + 5n 1 √ n! n √ n n! 2n + 1 n2 − 1

Tìm lim un biết:

√ √ 3, un+1 = 3 + un 19. u1 = + + · · · + 17. un = 1 1.3 1 3.5 1 (2n − 1).(2n + 1)

)n 18. un = (1 + 20. un = sin n (−1)n n

(cid:18) (cid:19) √ √ √ √ √ + · · · + ĐS: 21. un = 1 2 1 √ n 1 2n − 1 + 2n + 1 1 1 + 3 1 3 + √ 5

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 10

CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.2. HÀM SỐ

+ + · · · + 22. un = ĐS: 1 1.2.3 1 2.3.4 1 n(n + 1)(n + 2) 1 4

√ √ 13, un+1 = 12 + un, n ≥ 1 23. u1 = ĐS:4

√ √ 5, un+1 = 3 5un, n ≥ 1 √ 24. u1 = 3 ĐS: 5.

, un+1 = ĐS: . 25. u1 = un − u2 n 1 2 4 3 1 3

√ 5 26. u1 = 1, un+1 = 1 + ĐS: , . 1 + 2 1 un

1.2 Hàm số

1.2.1 Hàm lũy thừa y = xα

y = x2 n = 2 : y = x2

* T XD : D = R.

* T GT : T = [0, ∞).

* Hàm số tăng trên khoảng (0, ∞) và giảm x trên khoảng (−∞, 0).

* Hàm chẵn, đồ thị đối xứng qua Oy.

n = −1 : y = 1 x y = 1 x * T XD : D = R \ {0}.

* T GT : T = (−∞, 0) ∪ (0, ∞).

* Hàm số giảm trên khoảng (−∞, 0) và x (0, +∞)

* Hàm lẻ, đồ thị đối xứng qua O(0, 0).

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 11

1.2. HÀM SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

√ y √ x y = n = −1 : y = x

* T XD : D = [0, ∞).

* T GT : T = [0, ∞).

x * Hàm số tăng trên khoảng (−∞, 0) và (0, +∞)

* Không có tính chẵn lẻ. √ y = − x

1.2.2 Hàm lượng giác

Hàm số y = sin x Công thức

* T XD : D = R. i) sin2 x + cos2x = 1

* Hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π : sin(x) = ii) sin 2x = sin x cos x sin(x + 2π)

iii) sin 3x = 3 sin x − 4 sin3 x * T GT : T = [−1, 1].

2 = 0; sin(kπ) = 0, k ∈ Z.

iv) sin2 x = , ). * Hàm số tăng trên khoảng (− 1 − cos 2x 2 π 2 π 2 v) sin π * Hàm số lẻ, đồ thị đối xứng qua O(0, 0).

−6.28

−4.71

−3.14

−1.57

1.57

3.14

4.71

6.28

7.85

y = sin x

−1

−2

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 12

CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.2. HÀM SỐ

Hàm số y = cos x Công thức

* T XD : D = R. i) cos 2x = cos2 x − sin2 x

* Hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π : cos(x) = ii) cos 2x = 2 cos2 x − 1 = 1 − sin2 x cos(x + 2π)

iii) cos2 x = 1 + cos 2x 2 * T GT : T = [−1, 1].

2 ) = 0.

iv) cos 0 = 1; cos π = −1, cos(± π * Hàm số chẵn, đồ thị đối xứng qua Oy.

−6.28

−4.71

−3.14

−1.57

1.57

3.14

4.71

6.28

7.85

y = cos x

−1

−2

Hàm số y = tan x

2 + kπ, k ∈ Z}.

Công thức * T XD : D = R \ { π

2 ) không xác định.

i) tan x = * Hàm số tuần hoàn với chu kỳ π : tan(x) = sin x cos x tan(x + π) ii) tan(π − x) = tan(−x) = − tan x * T GT : T = R. iii) tan(π + x) = tan(x) , ). * Hàm số tăng trên khoảng (− π 2 π 2 iv) tan 0 = 0, tan( π

* Hàm số lẻ, đồ thị đối xứng qua O(0, 0).

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 13

1.2. HÀM SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

y y = tan x

−4.71

−3.14

−1.57

1.57

3.14

4.71

1.2.3 Hàm mũ - Hàm logarit

Công thức

Hàm số y = ax, (a > 1) i) ax.ay = ax+y

* T XD : D = R. ii) (ax)y = axy

* T GT : T = (0, ∞). iii) ax.bx = (ab)x

* Hàm số tăng trên (−∞, ∞) iv) a−x = 1 ax

y = ax(a > 1)

(0; 1)

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 14

CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.2. HÀM SỐ

Công thức Hàm số y = ax, (0 < a < 1)

i) * T XD : D = R.

* T GT : T = (0, ∞). ii)

* Hàm số giảm trên (−∞, ∞) ax ay = ax−y ax (cid:17)x (cid:16) a bx = b iii) ax.y = (ax)y.

y = ax(0 < a < 1)

(0; 1)

1.2.4 Hàm y = ln x

⇐⇒ x = ey y = ln x 0 < x < ∞ −∞ < y < ∞.

y = ln x

Công thức

• ln(x+y) = ln(x)+ln(y). • ln = − ln x 1 x

= ln x − ln y • ln • ln xα = α ln x. x y

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 15

1.2. HÀM SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

1.2.5 Hàm Hyperbolic

Hàm số y = sinh x, cosh x

* Định nghĩa Công thức

sinh x = ∈ R

cosh x = ≥ 1 i) Các công thức của hàm Hyperbolic được suy từ công thức lượng giác bình thường bằng cách thay cos → cosh, tan → i tanh, cot → −i cot sin → i sinh ex − e−x 2 ex + e−x 2

ii) cosh2 x − sinh2 x = 1 * T XD : D = R.

iii) cosh2 x + sinh2 x = cosh 2x * y = sinh x là hàm lẻ và tăng trên R.

* y = cosh x là hàm chẵn.

y y y = cosh x y = sinh x

(0; 1)

1.2.6 Các hàm lượng giác ngược

Hàm y = arcsin x

y = arcsin x ⇐⇒ x = sin y −1 ≤ x ≤ 1 − ≤ y ≤ π 2 π 2

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 16

CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.2. HÀM SỐ

1.57

y = arcsin x

−1.57

1.57

y = sin x

−1.57

y = arccos x

y = arccos x ⇐⇒ x = cos y 0 ≤ y ≤ π −1 ≤ x ≤ 1

3.14 y = arccos x

1.57

3.14

x y = arccos x

Hàm y = arctan x

y = arctan x ⇐⇒ x = tan y −∞ ≤ x ≤ ∞ ≤ y ≤ − π 2 π 2

1.2.7 Hàm Hợp

Định nghĩa 1.8 (Hàm Hợp) Cho 2 hàm số z = g(y) và y = f (x). Hàm số z = g(f (x)) gọi là hàm hợp của f và g.

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 17

1.2. HÀM SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

√ √ Ví dụ Cho z = y, y = cos x. Hàm z = cos x là hàm hợp của 2 hàm đã cho. √ √ Ví dụ Cho z = sin u, u = y, y = ln x. Khi đó, hàm z = sin ln x là hàm hợp của 3 hàm đã cho.

1.2.8 Hàm ngược

Cho hàm số y = f (x) : X −→ Y . Xét tập hợp

f −1(y) = {x ∈ X : f (x) = y}.

Tập này có thể có nhiều hơn một phần tử hoặc là tập rỗng. Nếu f −1(y) luôn có đúng 1 phần tử với mọi y ∈ Y thì f −1 là một ánh xạ gọi là ánh xạ ngược của hàm số y = f (x).

f −1 : Y −→ X y (cid:55)→ x = f −1(x) ⇐⇒ y = f (x)

Ví dụ 1.9

a Xét hàm số y = f (x) = x2 : R −→ R. Tập f −1(−1) = {x ∈ R : x2 = Tập f −1(1) = {x ∈ R : x2 = 1} = {−1, 1} có 2 phần tử. ∅}.

y} luôn có duy nhất 1 phần tử. Do đó y (cid:55)→ f −1(y) là √ √ b Xét hàm số y = f (x) = x2 : R+ −→ R+. √ Tập f −1(y) = {x ∈ R+ : x2 = y} = { ánh xạ ngược của hàm số y = f (x). Ta viết f −1(y) = y hay f −1(x) = x.

1.2.9 Hàm tham số hóa

Định nghĩa 1.9 (Hàm cho theo tham số) Cho hàm số y = y(x) qua một biến trung gian t:

(cid:40)

x = x(t) y = y(t)

gọi là hàm cho theo tham số. Đường cong (C) được xác đinh bởi hàm trên gọi là đường cong tham số, hay hàm trên gọi là tham số hóa của đường cong (C).

Ví dụ 1.10

(cid:40)

a). Cho đường cong C có tham số hóa là đường thẳng qua M (1, 0) và có véc x = 1 + 2t y = 0 − t

tơ chỉ phương a = (2; −1): x + 2y = 1

(cid:40)

b). Cho đường cong (C) có tham số hóa là đường tròn tâm I(1; 2) bán x = 1 + 3 cos(t) y = 2 + 3 sin t

kính bằng 3: (x − 1)2 + (y − 2)2 = 9

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 18

CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.3. GIỚI HẠN HÀM SỐ

(cid:40)

c). Cho đường cong (C) có tham số hóa là Elip x2 a2 + y2 b2 = 1 (bằng cách khử t x = a cos t y = b sin t

từ phương trình tham số)

Ví dụ 1.11 Tìm hàm ngược của hàm số y = f (x).

√ b) f (x) = 3 ex − 1. c) f (ex) = 3(x + 1)3. . a) f (x) = x − 1 x + 1

Bài làm

⇐⇒ y(x + 1) = (x − 1) ⇐⇒ x = a) y = f (x) = . x − 1 x + 1 y + 1 y − 1

Vậy f −1(y) = hay f −1(x) = . y + 1 y − 1 x + 1 x − 1

√ b) y = f (x) = 3 ex − 1 ⇐⇒ x = ln(y3 + 1) =⇒ f −1(x) = ln(x3 + 1).

3 −1 =⇒ f −1(x) = e

3 −1.

c) f (ex) = 3(x + 1)3. Đặt t = ex ⇐⇒ x = ln t. √ y √ x f (t) = 3(ln t + 1)3 hay y = f (x) = 3(ln x + 1)3 ⇐⇒ x = e

Bài tập

x − 1).

Câu 1) Tìm miền xác định của hàm số

a) f (x) = ln( 1 b) f (x) = arccos ln(1 + x)

)x. 1 x c) f (x) = (1 + √ x > 0, x2 − 1, 1 , x ≤ 0. d) f (x) =

+ arctan x    (cid:114) π 4

Câu 2) Tìm hàm ngược của hàm số y = f (x) biết

a) f (x) = ln(x3 + 1), x > −1. b) f (x + 1) = e2x + 1. c) f (ex + 1) = 3(cid:112)ln(x2 + 1).

1.3 Giới hạn hàm số

1.3.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.10 (Giới hạn hàm số) cho hàm số y = f (x) xác định trên D.

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 19

1.3. GIỚI HẠN HÀM SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

i) = a ⇐⇒ (∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ D : 0 < |x − x0| < δ −→ |f (x) − a| < ε) lim x→x0

f (x) = a ⇐⇒ (∀ε > 0, ∃N, ∀x ∈ D : x > N −→ |f (x) − a| < ε) ii) lim x→+∞

iii) Tương tự cho giới hạn bằng vô cực.

= a ⇐⇒ ∀(xn) ⊂ D&xn (cid:54)= x0 : xn → x0 =⇒ f (xn) → a. Định lý lim x→x0

Định lý tương đương với định nghĩa giới hạn hàm số theo giới hạn dãy số. Do đó, những tính chất giới hạn hàm số tương tự như giới hạn dãy số.

sin x không tồn tại. Ví dụ 1.12 Chứng minh giới hạn lim x→+∞

sin nπ = 0. (cid:16) (cid:17) sin 2nπ + = 1. Xét dãy (yn) : yn = 2nπ + Bài làm Xét dãy (xn) : xn = nπ −→ +∞ và lim n→+∞ −→ +∞ và lim n→+∞ sin xn = lim n→+∞ sin yn = lim n→+∞ π 2 π 2 Vì tồn tại 2 dãy làm giới hạn dần về 2 giá trị khác nhau do đó không tồn tại sin x. lim x→+∞

Định nghĩa 1.11 (Giới hạn một bên)

Giới hạn trái

= a ⇐⇒ (∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ D : 0 < x0 − x < δ −→ |f (x) − a| < ε) lim x→x− 0

Giới hạn trái

= a ⇐⇒ (∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ D : 0 < x − x0 < δ −→ |f (x) − a| < ε) lim x→x+ 0

Giới hạn trái: x < x0 và giới hạn phải:x > x0

Định lý

f (x) = a   f (x) = a ⇐⇒ lim x→x0 f (x) = a.  lim x→x− 0 lim x→x+ 0

. Ví dụ 1.13 Tính giới hạn lim x→0 |x| x

Bài làm: biểu thức chứa trị tuyệt đối nên không tính trực tiếp được giới hạn.

x<0===== lim x→0−

x>0===== lim x→0+

= −1. = −1. lim x→0− lim x→0+ |x| x −x x |x| x x x

. Vậy không tồn tại giới hạn lim x→0 |x| x

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 20

CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.3. GIỚI HẠN HÀM SỐ

1.3.2 Các giới hạn cơ bản

Giới hạn khi x → 0

1) Các hàm x, sin x, arcsin x, sinh x, tan x, arctan x, ln(x + 1), ex − 1 khi chia cho nhau sẽ hội tụ về 1 khi x → 0

= 1 = 1 = (c) lim x→0 (a) lim x→0 tan x ex − 1 sin x x ln(x + 1) sinh x (e) lim x→0 1 = sinh x ln(x + 1) = 1 = 1 (d) lim x→0 1 (f) lim x→0 (b) lim x→0 x ex − 1 arcsin x x

2) Bốn hàm khác

x = eα

(1 + αx) 1 = (c) lim x→0 (a) lim x→0 1 2

= α = (b) lim x→0 (d) lim x→0 1 − cos x x2 cosh x − 1 x2 1 2 (1 + x)α − 1 x

Các giới hạn khi x → +∞ tương tự như giới hạn dãy số

qx = 0, |q| < 1 1. = 0, |q| < 1 3. lim x→+∞ lim x→±∞ 1 lnα |x|

(cid:16) (cid:17)x 1 + 2. 4. = ea. lim x→+∞ lim x→±∞ 1 xα = 0, α > 0 a x

Ví dụ 1.14 Tính giới hạn

1 3 −1

3 − 1

(1+t) t

(cid:19)2 . .4 = 1.2.4 = 8. a) I = lim x→0 = lim x→0 sin2 2x 1 − cos x (cid:18) sin 2x 2x x2 1 − cos x

t=x−1→0 ===== lim t→0

1 5 −1

5 − 1

1 3 1 5

(1+t) t

x →+∞

= = . √ 3 √ 5 √ 3 √ 5 b) lim x→1 = lim t→0 = lim t→0 5 3 x − 1 x − 1 1 + t − 1 1 + t − 1 (1 + t) 1 (1 + t) 1

− e

t= 1 ===== lim t→+∞

ex ln x e ln t t = e−0 = 1. ln 1 t t = lim t→+∞ xx = lim x→0+ eln xx = lim x→0+ c) I = lim x→0+

(cid:19)x (cid:18) (cid:19)x2. 1 1 + = (e−2)0 = 1. (tương tự giới hạn dãy số). d) I = lim x→∞ = lim x→∞ (cid:18) x2 − 1 x2 + 1 −2 x2 + 1

x→−∞

x − x

x − 1

sin 2x . sin 2x

√ ( x2 + 2x + x) = lim x→−∞ e) I = lim x→−∞ x2 + 2x − x2 √ x2 + 2x − x 2x 2 2x = lim = lim = = −1. = lim (cid:113) (cid:113) (cid:113) 2 −2 |x| 1 + 2 −x 1 + 2 − 1 + 2

x = (e2)2 = e4.

x = lim x→0

(1 + sin 2x) (1 + 2 sin 2x) f) I = lim x→0

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 21

1 cosh x−1

cosh x−1 x2

1.3. GIỚI HẠN HÀM SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

x2 tan x2 =

tan x2 = lim x→0

(1 + (cosh x − 1)) (1 + (cosh x − 1)) = lim x→0 g) lim x→0 e1. 1 (cosh x)cot x2 √ 2 .1 = e.

. h) I = lim x→+∞

√ √ ≤ Ta có 0 ≤ , ∀x > 0. x sin x x3 + 1 arctan x x sin x x3 + 1 arctan x (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

x→+∞

√ √ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 0 = lim x x3 + 1 arctan x = 0. = 0. Vậy I = 0. lim x→+∞ π 2 x x3 + 1 arctan x

Bài tập

(cid:19)x2 (cid:19)x2 (cos x + 5 sin x)cot x 11. I = lim x→0 6. I = lim x→∞ 1. I = lim x→+∞ (cid:18) 2x2 + 3 2x2 − 1 (cid:18) x2 + 4 x2 − 4

1 sin2 x

2 x2

(cid:19)x (cid:18) (1 + 2x4) (1 + sin(2x2)) e 1 x + 2. I = lim x→0 12. I = lim x→0 7. I = lim x→∞ 1 x

1 1−cos x

1 x4

1 sin2 2x

1 x2

sin x

(ln(e + x))cot x (cosh x) 3. I = lim x→0 8. I = lim x→0 (1 + 2x4 cos x)) 13. I = lim x→0 (1 − tan2 x) xex+ 1 4. I = lim x→0 9. I = lim x→−∞

ln (cos x) (cos 2x + sin x) 1 14. I = lim x→+∞ 5. I = lim x→0 10. I = lim x→0 1 x e2x + x2 x2

1.3.3 Vô cùng bé

f (x) = 0 Định nghĩa 1.12 (Vô cùng bé) . Hàm số f (x) được gọi là một vô cùng bé (VCB) khi x → x0 nếu lim x→x0

Ví dụ 1.15

2x2 − 3 sin x = 0. a) f (x) = 2x2 − 3 sin x là VCB khi x → 0. Vì lim x→0 f (x) = lim x→0

= −1 (cid:54)= 0. b) f (x) = không phải VCB khi x → 0. Vì lim x→0 1 x − 1 1 x − 1

= 0. Nhưng là VCB khi x → ∞. Vì lim x→∞ 1 x − 1

Tính chất

i) Tổng hữu hạn các VCB là một VCB.

ii) Tích 2 VCB là một VCB.

iii) Tích của một VCB và một hàm bị chặn là một VCB.

iv) Thương 2 VCB chưa chắc là VCB.

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 22

CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.3. GIỚI HẠN HÀM SỐ

= k Định nghĩa 1.13 (cấp vô cùng bé) Cho f (x), g(x) là 2 VCB khi x → x0 và lim x→x0 f (x) g(x)

i) Nếu k = 0 thì ta nói f (x) có bậc VCB cao hơn g(x), ta viết f (x) = o(g(x)).

ii) Nếu k hữu hạn khác 0 thì ta nói f (x) và g(x) là 2VCB cùng cấp.

iii) Nếu k = 1 thì ta nói f (x) và g(x) là 2 VCB tương đương: f (x) ∼ g(x).

iv) Nếu f (x) (x − x0)k thì ta nói f (x) là VCB bậc k.

Ví dụ 1.16 so sánh các VCB sau khi x → 0

√ √ a) 1 − x2 − 1 và tan x. c) e3x − 1 và 1 + 6x − 1.

d) x sin và x b) ln(1 − 2x2) và x4 + 3x2. 1 x

Bài làm

√ √ √ . .(−x) = 0. Suy ra 1 − x2 − 1 là VCB cấp cao = lim x→0 1 − x2 − 1 tan x 1 − x2 − 1 −x2 x tan x a) lim x→0 hơn tan x.

x→0

= −2. ln(1 − 2x2) x4 + 3x2 = lim ln(1 − 2x2) −2x2 −2x2 x2(x2 + 3) ln(1 − 2x2) −2x2 −2 x2 + 3

√

= lim b) lim x→0 x→0 Suy ra ln(1 − 2x2) và x4 + 3x2 là 2 VCB cùng cấp.

√ √ . . . . = 1. = 1 = lim x→0 e3x − 1 3x 1 2 e3x − 1 3x 1 2 1 2 1 1 2 1 1+6x−1 6x = lim x→0 √ e3x − 1 c) lim 1 + 6x − 1 x→0 Suy ra e3x − 1 và 6x 1 + 6x − 1 1 + 6x − 1 tương đương.

x sin 1 x sin không tồn tại nên 2 VCB này không so sánh được. d) lim x→0 = lim x→0 x 1 x

Các VCB thường gặp khi x → 0

(cid:63) x ∼ sin x ∼ arcsin x ∼ sinh x ∼ tan x ∼ arctan x ∼ ln(1 + x) ∼ ex − 1.

(cid:63) ∼ 1 − cos x ∼ cosh x − 1. x2 2

(cid:63) (1 + x)α − 1 ∼ αx.

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 23

1.3. GIỚI HẠN HÀM SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Tính chất cho các VCB tương đương khi x → x0

f (x) ∼ f1(x), g(x) ∼ g1(x)

i) f (x)g(x) ∼ f1(x)g1(x)

ii) Tổng f1(x) + g1(x) gọi là dạng triệt tiêu nếu f (x) có bậc VCB thấp hơn f (x) + g(x).

Nếu không phải dạng triệt tiêu thì

f (x) + g(x) ∼ tổng bậc thấp nhất.

iii)

lim x→x0 = lim x→x0 f (x) g(x) f1(x) g1(x)

Chú ý:

• Sau khi thay tương đương cộng lại mà mất đi bậc thấp nhất thì là dạng triệt tiêu.

• Thay VCB tương đương dạng tổng thì cần kiểm tra tổng không phải dạng triệt tiêu.

• Không thay tương đương cho hàm hợp.

Ví dụ 1.17 Rút gọn các VCB sau khi x → 0.

a) f (x) = 3x5 − 5x6 − 4x3 ∼ −4x3 : bậc thấp nhất là 3

b) f (x) = (e3x − 1)(sin2 2x + 3x3) ∼ 3x.((2x)2 + 3x3) ∼ 3x.x2 = 3x3.

c) f (x) = x cos 2x − x + 3x3 = −x(1 − cos 2x) + 3x3 ∼ −x + 3x3 = x3. (2x)2 2

3 − 1] + [1 − cos 2x] ∼

1 + 2x − cos 2x = [(1 + 2x) 1 .2x − (2x)2 = − x2. √ d) f (x) = 3 1 2 4 3 1 3

e) f (x) = (1 + 2x2 − 3x3)3 − cos(2x + x2) = [(1 + 2x2 − 3x3)3 − 1] + [1 − cos(2x + x2)]

∼ 3.(2x2 − 3x3) + (2x + x2)2 ∼ 3.2x2 + (2x)2 = 8x2. 1 2 1 2

f) f (x) = tan x − sin x ∼ x − x = 0−→ Sai.

Vì tan x và sin x đều bậc nhất. Khi thay tương đương mất đi bậc nhất do đó là dạng triệt tiêu. Không bao giờ tương đương ra không. Ta làm lại như sau:

f (x) = tan x − sin x = tan x(1 − cos x) ∼ x. = . x2 2 x3 2 √ 1 + 2x + 2x2 − 1 − x g) f (x) =

2 − 1) − x ∼

√ √ 1 + 2x + 2x2 − 1 − x ∼ 1 + 2x − 1 − x = ((1 + 2x) 1 2x − x = Cách 1: f (x) = 1 2

0−→ Sai. 2 chỗ: thay tương đương hàm hợp và thay tương đương dạng triệt tiêu

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 24

CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.3. GIỚI HẠN HÀM SỐ

√ 1 + 2x + 2x2 − 1 − x ∼ Cách 2: f (x) = (2x + 2x2) − x = x2−→ Sai. 1 2 Dạng triệt tiêu: mất đi bậc nhất.

√ √ 1 + 2x − 1 − x = − x Cách 3: f (x) = 1 + 2x − 1 √ 1 + 2x + 1

2.2x) √ 1

1 + 2x + 2x2 − 1 − x ∼ √ √ ∼ = = − −→ Sai. x2 2 1 + 2x) 1 + 2x x(1 − 1 + x.(− 1 1 + ∼ đầu tiên sai vì thay tương đương hàm hợp, các ∼ sau thì đúng.

2.(2x + 2x2)) 1 1 + Không thay tương đương hàm hợp. Biến đổi cho đến khi hết dạng tổng triệt tiêu rồi mới dùng tương đương.

√ − x 1 + 2x + 2x2 − 1 − x = Cách 4: f (x) = 1 + 2x + 2x2 − 1 √ 1 + 2x + 2x2 + 1 √ x.(2x − 1 1 + 2x + 2x2) √ = ∼ = .−→ Đúng. x2 2 x(1 + 2x − √ 1 + 1 + 2x + 2x2

Ví dụ 1.18 Tìm α, β sao cho f (x) ∼ α(x − x0)β khi x → x0.

a) f (x) = ex − e1, x0 = 1.

f (x) = e[ex−1 − 1] ∼ e(x − 1) =⇒ α = e, β = 1. Chú ý: x → 1 =⇒ x − 1 là VCB nên ta áp dụng công thức cho x − 1.

3 − 1] + 1 − x ∼

x − x, x0 = 1 √ b) f (x) = 3

f (x) = [(1 + x − 1) 1 (x − 1) − (x − 1) = − (x − 1) =⇒ α = − , β = 1. 1 3 2 3 2 3

√

√ x − 1, x0 = 0. √ x − 1 = e

x ln 2 − 1 ∼

c) f (x) = 2 √ f (x) = eln 2 . x ln 2 =⇒ α = ln 2, β = 1 2

Ví dụ 1.19 Tính các giới hạn sau bằng cách thay VCB tương đương.

. a) I = lim x→0 ln(1 + x tan x) x2 + sin3 2x Ta có ln(1 + x tan x) ∼ x tan x ∼ x2, x2 + sin3 2x ∼ x2 + (2x)3 ∼ x2.

=⇒ I = lim x→0 = lim x→0 x2 x2 = 1 ln(1 + x tan x) x2 + sin3 2x

− .(2x)2 = 2. b) I = lim x→0 = lim x→0 = lim x→0 = lim x→0 ln cos 2x ln(1 − x2) ln(1 + cos 2x − 1) ln(1 − x2) cos 2x − 1 −x2 1 2 −x2

− x2 √ = −1. = lim x→0 = lim x→0 = lim x→0 c) lim x→0 cos x − 1 + 1 − ex 2x −x x cos x − ex 1 + 2x − 1

2 − x 2x. 1 2 √ 1 − 2x − 1 + 1 − 3

2 − 6x. 1 −x

√ √ −2x. 1 1 + 6x 1 + 6x = 3 d) I = lim x→0 = lim x→0 = lim x→0 √ 1 − 2x − 3 ln(1 − arcsin x) − arcsin x

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 25

1.3. GIỚI HẠN HÀM SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

. e) I = lim x→1 x2012 − 1 ln x

= 2012. I = lim t→0 = lim t→0 Ta đặt t = x − 1 → 0(x → 0). (t + 1)2012 − 1 ln(t + 1) 2012.t t

3x = e2.

sin 3x = lim x→0

(1 + 3 tan 2x) e 3 tan 2x e 3.2x f) I = lim x→0 e 1 sin 3x ln(1+3 tan 2x) = lim x→0

√ 3

. g) I = lim x→0 1 + 3x2 − 1 ecos x − 2

.3x2 1 3 = −2−→ Sai. = lim x→0 = lim x→0 I = lim x→0 (1 + 3x2) 1 3 − 1 (ecos x − 1) − 1 cos x − 1 − x2 x2 2

Vì cos x x→0−−→ 1 (cid:54)= 0 nên áp dụng công thức ecos x − 1 ∼ cos x là sai. Bài này không phải dạng vô định nên suy ra ngay kết quả

√ 3 = = 0. I = lim x→0 1 + 3x2 − 1 ecos x − 2 0 e − 2

√

. Chú ý trên tử dạng triệt tiêu. 1 + 2x − 1 − x cosh 2x − e3x2 h) I = lim x→0 √ √ √ 1 + 2x − 1 − x = = ∼ −x2 2 (1 + 2x) − (1 + x)2 1 + 2x + 1 + x −x2 1 + 2x + 1 + x

(2x)2 − 3x2 = −x2 cosh 2x − e3x2 = (cosh 2x − 1) − (e3x2 − 1) ∼ 1 2

. I = lim x→0 x2 − 2 −x2 = 1 2

x2 + 1 2x2

x→+∞

x2 − cos 1 x arctan x

x2 − 1 + 1 − cos 1 x π 2

π 2

x→+∞−−−−→ 0 nên ta áp dụng công thức cho

e e = lim x2. = lim x2. = . x2. 3 π

2 là hằng số nên được thế số ngay từ đầu.

. i) I = lim x→+∞ 1 x 1 x Chú ý arctan x → π

1.3.4 Vô cùng lớn

|f (x)| = +∞ Định nghĩa 1.14 ( Vô cùng lớn) . Hàm số f (x) được gọi là một vô cùng lớn (VCL) khi x → x0 nếu lim x→x0

Tính chất VCL tương tự VCB.

Ví dụ 1.20

2x2 − 3 sin x = +∞. f (x) = lim x→∞

b) f (x) = = +∞. là VCL khi x → 1. Vì lim x→1 1 x − 1 1 x − 1 a) f (x) = 2x2 − 3 sin x là VCL khi x → ∞. Vì lim x→0 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 26

CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.3. GIỚI HẠN HÀM SỐ

= k Định nghĩa 1.15 (cấp vô cùng lớn) Cho f (x), g(x) là 2 VCL khi x → x0 và lim x→x0 f (x) g(x)

i) Nếu k = ∞ thì ta nói f (x) có bậc VCL cao hơn g(x), ta viết f (x) = O(g(x)).

ii) Nếu k hữu hạn khác 0 thì ta nói f (x) và g(x) là 2VCL cùng cấp.

iii) Nếu k = 1 thì ta nói f (x) và g(x) là 2 VCL tương đương: f (x) ∼ g(x).

iv) Nếu f (x) (x − x0)k thì ta nói f (x) là VCL bậc k.

Tính chất cho các VCL tương đương khi x → x0

f (x) ∼ f1(x), g(x) ∼ g1(x)

i) f (x)g(x) ∼ f1(x)g1(x)

ii) Tổng f1(x) + g1(x) gọi là dạng triệt tiêu nếu f (x) có bậc VCL cao hơn f (x) + g(x).

Nếu không phải dạng triệt tiêu thì

f (x) + g(x) ∼ tổng bậc thấp cao

iii)

lim x→x0 = lim x→x0 f (x) g(x) f1(x) g1(x)

Chú ý:

• Sau khi thay tương đương cộng lại mà mất đi bậc cao nhất thì là dạng triệt tiêu.

• Thay VCL tương đương dạng tổng thì cần kiểm tra tổng không phải dạng triệt tiêu.

• Các bài toán VCL có thể chuyển về VCB bằng cách đặt ẩn.

Ví dụ 1.21 Tính giới hạn

x→∞

a) lim x→∞ 3x3 x3 = 3. √ 3x3 − 2x2 1 − 2x2 + x3 = lim √

x→+∞

√ = lim b) lim x→+∞ = lim x→∞ √ 2x2 −2x3 = 0 2x + x3 2x4 + 3x √ x3 2x3 − √ 2x4 − 4x3 + 3x − 2 2x3 − √ x6 − 3x2 3x2 − 4 √ 3x2 − 4 √ = lim = lim c) lim x→+∞ −4x3 −5x2 = +∞ 1 + 2x − 5x2 x6 2x − 5x2

x→+∞

= lim d) . lim x→+∞ x2 + ln30(x + 1) − 2x + 4x 3x − 4x6 + 5.4x 4x 5.4x = 4 5

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 27

1.3. GIỚI HẠN HÀM SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

t2 + 2

√ √ x2 + 2x − 3 x3 + x2. e) I = lim x→+∞ 1 x Đặt t = √ → 0. Suy ra √ 1 + 2t − 3 1 + t (cid:113) 1 (cid:113) 1

t3 + 1 t2 = lim t − 3 t→0+ √ 1 + 2t − 1 + 1 − 3 1 + t

I = lim t→0+ √

= . = lim t→0+ = lim t→0+ t t t − t 3 t 2 3

Bài tập

Bài 1) Sắp xếp các hàm số sau theo thứ tự tăng dần của bậc VCL √ 3x, x(2 + sin4 x)

√ 3x2 + 1 ln(2x), x ln(x2 + 3), x ln x (a) x → +∞ : 3x + ln3 x, x ln x, (b) x → +∞ : 2x, x2, x2 + sin4 x, x ln x (c) x → +∞ :

Đáp án: √ 3x, x(2 + sin4 x) ≈ 3x + ln3 x, x ln x

a) b) x ln x, x2 ≈ x2 + sin4 x, 2x

c) Bằng nhau hết.

Bài 2) Tính các giới hạn √ √ √ √ √ x4 + 6x3 − 3x + x2 x2 + 2x + x (a) lim x→±∞ √ (c) lim x→−∞ lim x→+∞ 2x2 + 1 − x x2 − 1

(d) ( )x2 (b) 3x2 + x4 (e) √ ln(ex − x) + 3(cid:112)x5 + x x √ (f) lim x→0 lim x→+∞ sin 2x + 2 arcsin 3x ex − ln(1 + 3x − sin(x)) lim x→∞ x4 + 2x2 x − 3x2 + 1 3x2 − 1

Đáp án: √ √ x2 + 2x + x = +∞, x2 + 2x + x = −1 a) lim x→−∞ lim x→+∞ √ 3 e2 b)

Bài 3) Tính giới hạn hàm số bằng cách thay VCB tương đương

(g) (a) lim x→0 2x − 1 sin 3x

1 1−cos x

− ( ) (b) lim x→ π 2 (h) lim x→0 x2 e1/x2 − cos 1 arctan x 1 tan x

sin x − 1 tanh2(x − π 2 ) √ √ 1 + 10x − 3 5 lim x→+∞ 1 1 x sin x (cosh x) (i) lim x→0 (c) lim x→0 1 + 3x arcsin(3x) − tanh(x3)

1 sin2 x

1 x2

(j) (1 − tan2 x) lim x→0+ (d) lim x→0 √ cos x (k) lim x→0 (e) lim x→0+ sin 5x − 3x2 x + ln x

x +

)x (e 1 (cos x) (l) lim x→±∞ (f) lim x→0 xx − 1 x ln x √ cos x − 3 ln(cosh 2x) 1 x

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 28

CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.4. HÀM SỐ LIÊN TỤC

(m) lim x→0 (p) lim x→0 ex − x − 1 x2 √ 1 + 2x (n) lim x→0 (q) lim x→0 1 + x cos x − x2 √ 3 √ 1 − cos x cos 2x ex2 − cosh x x2 1 + 3x − 1 − x √ 1 + tan x − 1 + sin x (o) lim x→0 x − x cosh x

√ Bài 4) Tính giới hạn hàm số bằng cách thay VCB tương đương √ 1 + x + x2 − 7 + 2x − x2 (e) lim x→1 √ 1 − n cosh( iπ 2x − x2 x 2 x) x(ln(x + a) − ln x) (b) (a) lim x→2 lim x→+∞

(f) lim x→ π 3 , α > 0 tan3 x − 3 tan x cos(x + π 6 ) (c) lim x→a

, a > 0 . (d) lim x→a (g) lim x→1 xα − aα x − a xa − ax x − a xx − x ln x

1.4 Hàm số liên tục

Định nghĩa 1.16 (liên tục) Cho hàm số y = f (x).

f (x) = f (x0).

i) f (x) gọi là liên tục tại x0 nếu lim x→x0 Nếu f (x) không liên tục tại x0 thì ta nói f (x) gián đoạn tại x0.

f (x) = f (x0). ii) f (x) gọi là liên tục trái tại x0 nếu lim x→x− 0

f (x) = f (x0). iii) f (x) gọi là liên tục phải tại x0 nếu lim x→x+ 0

iv) f (x) gọi là liên tục trên (a, b) nếu nó liên tục tại mọi điểm x0 ∈ (a, b).

v) f (x) gọi là liên tục trên [a, b] nếu nó liên tục trên (a, b) và liên tục trái tại b, liên tục phải tại b.

Chú ý: f (x) liên tục tại x0 nếu

f (x) i) f (x) xác định tại x0 iii) f (x) = f (x0). ii) tồn tại lim x→x0 lim x→x0

f (x) liên tục tại x0 nếu nó vừa liên tục trái, vừa liên tục phải tại x0.

Định nghĩa 1.17 (hàm sơ cấp) Các hàm hằng, lũy thừa, mũ, logarit, lượng giác, lượng giác ngược, hàm hyperbolic và các hàm thu được từ các hàm này qua các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, căn, hợp gọi là các hàm sơ cấp.

Tính chất

i) Các hàm sơ cấp liên tục trên miền xác định của nó.

ii) f (x) liên tục trên đoạn [a, b] thì đạt M ax, min trên đó.

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 29

1.4. HÀM SỐ LIÊN TỤC CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Ví dụ 1.22 Xét tính liên tục hàm số.

√ x2 − x   , x (cid:54)= 1 x − 1 a) f (x) = .  1, x = 1 √ x x2 − Tại x0 (cid:54)= 1 : f (x) = là hàm sơ cấp nên liên tục. x − 1 √ x x2 − = (cid:54)= f (1) = 1 =⇒ f (x) gián đoạn tại x0 = 1. Tại x0 = 1 lim x→1 f (x) = lim x→1 x − 1 3 2

, x (cid:54)= 0   sin x |x| b) f (x) = .  1, x = 0

Tại x0 > 0 : f (x) = là hàm sơ cấp nên liên tục.

là hàm sơ cấp nên liên tục. Tại x0 < 0 : f (x) = sin x x sin x −x

= 1 = f (1), = −1 (cid:54)= f (1). Tại x0 = 0 : lim x→0+ f (x) = lim x→0+ lim x→0− f (x) = lim x→0− sin x x sin x −x

Vậy hàm số liên tục phải tại x0 = 1 nhưng không liên tục trái tại x0 = 1 do đó không liên tục tại x0 = 1.

Ví dụ 1.23

  2x2 + a, b, x < 0 x = 0 a) Tìm a, b để f (x) = liên tục trên R.

arctan , x > 0  1 x Tại x > 0 và x < 0 thì f (x) là những hàm số sơ cấp nên liên tục.

= , f (0) = arctan 2x2 + a = a, lim x→0+ f (x) = lim x→0+ lim x→0− f (x) = lim x→0− 1 x π 2

Tại x0 = 0 : b. f liên tục trên R khi và chỉ khi a = b = . π 2

(cid:40)

b) Tìm a, b để f (x) = liên tục trên R. x, x2 + ax + b,

x→−1−

x2 + ax + b = 1 + a + b, x = 1 = f (1), lim x→1+ f (x) = lim x→1− f (x) = lim x→1+ f (x) = lim x = −1 = f (−1), f (x) = lim x2 + ax + b = 1 − a + b, lim x→−1− |x| ≤ 1 |x| > 1 Tại x > 1, −1 < x < 1 và x < −1 thì f (x) là những hàm số sơ cấp nên liên tục. Ta chỉ cần xét tại x0 = ±1 Ta có f (1) = 1, f (−1) = −1. lim x→1− lim x→−1+ x→−1+ f liên tục trên R khi và chỉ khi

(cid:40) (cid:40)

⇐⇒ 1 + a + b = 1 1 − a + b = −1 a = 1 b = −1.

Định lý giá trị trung gian Cho f (x) liên tục trên [a, b] và f (a).f (b) < 0. Khi đó f (x) có ít nhất một nghiệm trong (a, b).

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 30

CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.4. HÀM SỐ LIÊN TỤC

Ví dụ 1.24 Phương trình xex − 1 = 0 có ít nhất một nghiệm trong (0, 1), vì f (0).f (1) = −1.(e − 1) < 0.

Bài tập

Câu 1) Xét tính liên tục của hàm số

x) Nếu x < 0, Nếu x = 0,

  nếu x (cid:54)= 0,   sin x − cos x + 1 x a) f (x) = c) f (x) = a, nếu x = 0,

x sin( 1 a e2x − b x    nếu x (cid:54)= 0, b) f (x) = ae3x − 1 x d) f (x) =  b, β nếu x = 0,  Nếu x > 0. (cid:26) xα ln(x2) Nếu x (cid:54)= 0, Nếu x = 0.

Câu 2) Chứng minh các phương trình sau

a) x2.3x = 1 có ít nhất 1 nghiệm. b) 2x = 4x có ít nhất 2 nghiệm.

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 31

1.4. HÀM SỐ LIÊN TỤC CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 32

CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

2.1 Đạo hàm

2.1.1 Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 2.1 (Đạo hàm tại một điểm)

∆x→x0

= lim f (cid:48)(x0) = lim x→x0 ∆f ∆x f (x) − f (x0) x − x0

∆f = f (x) − f (x0) gọi là gia số của hàm tại x0. ∆x = x − x0 gọi là gia số của biến tại x0.

y y = f (x)

ϕ : tan ϕ = f (cid:48)(1) 1 x

Tính chất Hệ số góc của tiếp tuyến tại x0

(k = tan ϕ) k = f (cid:48)(x0),

Phương trình tiếp tuyến tại x0

y = k(x − x0) + y0.

Định nghĩa 2.2 (Đạo hàm một bên) . Đạo hàm phải tại x0:

0 ) = lim x→x+ 0

∆x→x+ 0

f (cid:48)(x+ = lim ∆f ∆x f (x) − f (x0) x − x0

Đạo hàm trái tại x0:

0 ) = lim x→x− 0

∆x→x− 0

f (cid:48)(x− = lim ∆f ∆x f (x) − f (x0) x − x0

Hàm f có đạo hàm tại x0 nếu nó có đạo hàm trái và đạo hàm phải và chúng bằng nhau.

Ví dụ 2.1 Cho hàm số f (x) = |x|. Tính f (cid:48)(0).

Ta có

∆f = f (x) − f (0) = |x| − |0| = |x| ∆x = x − 0 =⇒ = ∆f ∆x |x| x

2.1. ĐẠO HÀM CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

Ta không thể tích giới hạn trực tiếp khi x → 0 mà phải tính giới hạn trái và giới hạn phải.

= 1 f (cid:48)(0+) = lim x→0+ = lim x→0+

= −1 f (cid:48)(0−) = lim x→0− = lim x→0− ∆f ∆x ∆f ∆x x x x x

Vì đạo hàm trái và phải khác nhau nên hàm số không có đạo hàm tại x0 = 0.

y y = |x|

(cid:40)

Ví dụ 2.2 Tính đạo hàm của f (x) = tại x0 = 0. e 1 x , x (cid:54)= 0 x = 0. 0,

= +∞. = lim x→0+ f (x) − f (0) x − 0 e 1 x − 0 x − 0

= 0. f (cid:48)(0−) = lim x→0− = lim x→0− 0 − 0 x − 0 Bài làm f (cid:48)(0+) = lim x→0+ f (x) − f (0) x − 0 Vậy hàm số không tồn tại đạo hàm tại 0.

Tích nhất Hàm số có đạo hàm tại x0 thì liên tục tại đó.

(cid:40)

Ví dụ 2.3 Tìm a, b để f (x) = có đạo hàm tại x0 = 0. x2 + ax + b x (cid:54)= 0 x = 0 0,

Bài làm f liên tục tại x0 = 0 khi và chỉ khi lim x→0 (x2 + ax + b) = 0 ⇐⇒ b = 0. f có đạo hàm tại x0 = 0 khi và chỉ khi giới hạn sau tồn tại hữu hạn

= a. lim x→0 = lim x→0 f (x) − f (0) x − 0 x2 + ax − 0 x − 0

Vậy ∀a ∈ R, b = 0.

(cid:40)

Ví dụ 2.4 Tìm a, b để f (x) = có đạo hàm tại x0 = 0. aex − b x > 0 x2 − a, x ≤ 0

(x2 − a) ⇐⇒ a − b = −a ⇐⇒ b = 2a. (aex − b) = lim x→0−

a = 0 ⇐⇒ a = 0. = lim x→0− ⇐⇒ lim x→0+ Bài làm f liên tục tại x0 = 0 khi và chỉ khi lim x→0+ f có đạo hàm tại x0 = 0 khi và chỉ khi (ax2 − 2a) − (−a) x − 0 (x2 − a) − (−a) x − 0 x2 − 1 x

lim x→0+ Vậy a = b = 0.

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 34

CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 2.1. ĐẠO HÀM

Bảng công thức đạo hàm

1. C (cid:48) = 0(C = const) 3. (ex)(cid:48) = ex, (ax)(cid:48) = ax ln a

x, (loga x)(cid:48) = 1

x ln a

2. (xα)(cid:48) = αxα−1, α (cid:54)= 0 4. (ln |x|)(cid:48) = 1

5. (sin x)(cid:48) = cos x. 7. (sinh x)(cid:48) = cosh x.

6. (cos x)(cid:48) = − sin x. 8. (cosh x)(cid:48) = sinh x.

9. (tan x)(cid:48) = 10. (cot x)(cid:48) = − 1 cos2 x

√ 11. (arcsin x)(cid:48) = . 13. (arctan x)(cid:48) = 1 sin2 x 1 1 + x2 . 1 1 − x2

√ √ 12. (arccos x)(cid:48) = − . x2 + k))(cid:48) = 14. (ln(x + 1 1 − x2 1 x2 + k

Đạo hàm tổng, tích, thương

i) (u + v)(cid:48) = u(cid:48) + v(cid:48). iii) (uv)(cid:48) = u(cid:48)v + uv(cid:48)

(cid:17)(cid:48) = iv) ii) (αu)(cid:48) = αu(cid:48). (cid:16) u v u(cid:48)v − uv(cid:48) v2

Đạo hàm hàm hợp Cho hàm số y = f (u), u = u(x) f (cid:48)(x) = f (cid:48)(u).u(cid:48)(x)

Ví dụ 2.5 Tính đạo hàm

a) f (x) = x arcsin(x2 + 1) =⇒ f (cid:48)(x) = 1. arcsin(x2 + 1) + x. . 2x (cid:112)1 − (x2 + 1)2

√ √ x2 + 1 =⇒ f (cid:48)(x) = 2. arctan x2 + 1. b) f (x) = arctan2 x x2 + 1

c) f (x) = xx. Lấy eln: f (x) = eln xx = ex ln x =⇒ f (cid:48)(x) = ex ln x.(x ln x)(cid:48) = xx.(ln x + 1).

5 ln(1+x2)−4 ln arcsin x

√ arctan3 x. 5 1 + x2 d) f (x) = arcsin4 x √ arctan3 x. 5 1 + x2

arcsin4 x = e3 ln arctan x+ 1

ln Lấy eln: f (x) = e =⇒ f (cid:48)(x) = f (x).(3 ln arctan x + 1 5 ln(1 + x2) − 4 ln arcsin x)(cid:48) 2x 3 . 5(1 + x2) (1 + x2) arctan x

(cid:20) (cid:21) √ − + = f (x) 4 1 − x2 arcsin x

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 35

2.1. ĐẠO HÀM CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

2.1.2 Đạo hàm hàm ngược và hàm tham số hóa

Đạo hàm hàm ngược cho hàm số y = f (x) có hàm ngược x = g(y)

g(cid:48)(y) = hay x(cid:48)(y) = 1 f (cid:48)(x) 1 y(cid:48)(x)

(cid:40)

Đạo hàm hàm cho bởi tham số y = y(x) : x = x(t) y = y(t)

y(cid:48)(x) = y(cid:48)(t) x(cid:48)(t)

1 Ví dụ 2.6 Chứng minh công thức đạo hàm hàm ngược (arctan x)(cid:48) = 1 + x2 và (arcsin x)(cid:48) =

√ . 1 1 − x2

Bài làm

a) Xét y = arctan x ⇐⇒ x = tan y. Theo công thức

= = = y(cid:48)(x) = 1 x(cid:48)(y) 1 tan(cid:48) y 1 1 + tan2 y 1 1 + x2 .

b) Xét y = arcsin x ⇐⇒ x = sin y. Theo công thức

√ y(cid:48)(x) = = = = = . (cid:112) 1 x(cid:48)(y) 1 sin(cid:48) y 1 cos y 1 1 − x2 1 1 − sin2 y

Ví dụ 2.7 .

a) Cho y = f (x) = x3 + x. Tính (f −1)(cid:48)(2).

b) Cho y = f (x) = e3x + 2x. Tính (f −1)(cid:48)(1).

Bài làm

= a) y0 = 2 =⇒ x0 = 1, f (cid:48)(x) = 3x2 + 1 =⇒ (f −1)(cid:48)(2) = 1 f (cid:48)(1) 1 4

= . b) y0 = 1 =⇒ x0 = 2, f (cid:48)(x) = 3e3x + 2 =⇒ (f −1)(cid:48)(1) = 1 f (cid:48)(0) 1 5

Ví dụ 2.8 Tính đạo hàm hàm cho bởi tham số

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 36

CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 2.1. ĐẠO HÀM

(cid:40) (cid:40) √ 1. y = y(x) : 2. y = y(x) : tại x0 = t2 − 3) x = a cos3 t y = a sin3 t. x = t3 + 3t y = ln(t +

14.

Bài làm

1√

= = − cot t a) y(cid:48)(x) = y(cid:48)(t) x(cid:48)(t) a.3 cos2 t(− sin t) a.3. sin2 t cos t

t2−3 3t2 + 3

1 1 15

y(cid:48)(x) = = = . =⇒ y(cid:48)(x0 = 14) = b) x0 = 14 ⇐⇒ t0 = 2. y(cid:48)(t) x(cid:48)(t) 1 15

2.1.3 Đạo hàm cấp cao

Định nghĩa 2.3 Đạo hàm cấp n của hàm số y = f (x) được định nghĩa theo truy hồi

f (n)(x) = (f (n−1)(x))(cid:48).

Công thức leinitz

nf (0)g(n) + C 1

nf (1)g(n−1) + C 2

nf (2)g(n−2) + · · · + C n

n f (n)g(0)

(f.g)(n) = C 0

với quy ước f (0)(x) = f (x), g(0)(x) = g(x).

Dễ dàng kiểm tra bằng quy nạp các công thức đạo hàm cấp n của các hàm số thường gặp sau

Công thức đạo hàm cấp n

(cid:19)(n) (cid:18) 1 =⇒ = i) ((x + a)α)(n) = α(α − 1)(α − 2). . . . .(α − n + 1)(x + a)α−n. (−1)nn! (x + a)n+1

x + a ii) (eax)(n) = an.eax. iii) (ln x)(n) = (−1)n−1(n − 1)! xn

) ) v) (cos ax)(n) = an cos(ax + iv) (sin ax)(n) = an sin(ax + nπ 2 nπ 2

Chú ý:

• (uv)(n) (cid:54)= u(n).v(n)

• (uv)(n) (cid:54)= u(n).v + u.v(n)

Ví dụ 2.9

a) (ln(2x + 3))(100) = 99!2100 (2x + 3)100 .

(−1)9999!.2100 (2x + 3)100 = (cid:19)(n) (cid:18) (cid:19) (cid:18) 1 (cid:18) 1 − = b) x2 − 4 (cid:19)(n) 1 4 x − 2 1 x + 2 (−1)n.n! 4 1 (x − 2)n+1 − 1 (x + 2)n+1

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 37

2.2. VI PHÂN CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

(cid:19)(n) − = 0 − 2n. cos(2x + n ). = −2n−1. cos(2x + n ). c) (cid:0)sin2 x(cid:1)(n) = (cid:18) 1 2 cos 2x 2 1 2 π 2 π 2

d) f (x) = (3x2 + 1) ln x. Tính f (100)(1). Áp dụng công thức leinitz với: u = 3x2 + 1, v = ln x =⇒ u(cid:48) = 6x, u(cid:48)(cid:48) = 6, u(k) = 0, ∀k ≥ 3.

100u(1)v(99) + C 2

100u(0)v(100) + C 1

f (100)(x) = C 0

100u(2)v(98) (−1)9898! x99

= 1.(3x2 + 1). + 100.6x. + 4950.6. (−1)9999! x100 (−1)9797! x98

=⇒ f (100)(1) = −4.99! + 600.98! − 29700.97! = −9708.97!

(cid:40)

Ví dụ 2.10 Tính đạo hàm cấp 1 và cấp 2 của hàm số y = f (x) : tại x0 = −1 x = tet − 1 y = t2 + t

Bài làm

a) x0 = −1 ⇐⇒ tet − 1 = −1 ⇐⇒ t = 0.

= = 1. f (cid:48)(x) = y(cid:48)(t) x(cid:48)(t) 2t + 1 (t + 1)et =⇒ f (cid:48)(x0 = −1) = 1 1

  b) Ta có f (cid:48)(x) : y(cid:48) = x = tet − 1 2t + 1 (t + 1)et

=⇒ f (cid:48)(cid:48)(x) = = =⇒ f (cid:48)(cid:48)(x0 = 1) = 2(t + 1)et − (2t + 1)(t + 2)et ((t + 1)et)3 2 − 2 13 = 0.

 (y(cid:48))(cid:48)(t) x(cid:48)(t) Có thể áp dụng công thức sau

Đạo hàm cấp 2 hàm tham số

y(cid:48)(cid:48)(x) = y(cid:48)(cid:48)(t)x(cid:48)(t) − x(cid:48)(cid:48)(t)y(cid:48)(t) x(cid:48)3(t)

Tính lại đạo hàm cấp 2

y(cid:48)(cid:48)(x) = 2.(t + 1)et − (t + 2)et.(2t + 1) ((t + 1)et)3

2.2 Vi phân

Vi phân cấp 1 f (x) khả vi tại x0 khi và chỉ khi f (x) có đạo hàm tại x0

df (x0) = f (cid:48)(x0).dx

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 38

CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 2.2. VI PHÂN

√ Ví dụ 2.11 Tính vi phân của hàm số y = 1 + x2 tại x0 = 1.

√ Bài làm dy = y(cid:48)dx = dx =⇒ dy(1) = dx. x 1 + x2 1 √ 2

Tính chất của vi phân được suy trực tiếp từ tính chất của đạo hàm

Tính chất

iv) d(f g) = f dg + gdf i) d(α) = 0

ii) d(αf ) = αdf (cid:19) = v) d . iii) d(f + g) = df + dg (cid:18)f g f dg − gdf g2

hàm hợp Cho hàm hợp Vi (cid:40)

=⇒ y = y(u(x)) phân y = y(u) u = u(x)

dy = y(cid:48)(x)dx = y(cid:48)(u)du

Vi phân cấp 1 có tính bất biến (cid:40)

Vi phân hàm tham số y = y(x) : x = x(t) y = y(t)

dy = y(cid:48)(x)dx = dx y(cid:48)(t) x(cid:48)(t)

Ví dụ 2.12 Tính vi phân hàm số

a) Cho hàm y = eu, u = arctan . Tính dy(x = 1) theo dx. 1 x

(cid:40)

b) Cho hàm số y(x) : . Tính dy(x = 1) theo dx. x = e2t + t y = t3 + t

Bài làm

a) Ta có thể tính y(cid:48)(x) = y(cid:48)(u).u(cid:48)(x) rồi thế x = 1 vào suy ra vi phân.

4 du(x = 1)

π 4

dx = dx du = u(cid:48)(x)dx = −1 1 + x2 dx =⇒ du(x = 1) = −1 2

Vậy dy(x = 1) = − Có thể tính cách khác như sau: x0 = 1 =⇒ u0 = dy = y(cid:48)(u)du = eudu =⇒ dy(x = 1) = e π − 1 x2 1 + 1 x2 1 e π 4 dx. 2

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 39

2.2. VI PHÂN CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

=⇒ dy(x = 1) = = y(cid:48)(x) = dx. b) x = 1 ⇐⇒ t = 0. y(cid:48)(t) x(cid:48)(t) 3t2 + 1 2e2t + 1 1 3

Công thức gần đúng

f (x) ≈ f (x0) + df (x0) = f (x0) + f (cid:48)(x0)(x − x0)

Ví dụ 2.13 Không dùng máy tính, tính gần đúng giá trị của e0.1.

Bài làm Xét f (x) = ex =⇒ f (cid:48)(x) = ex, x0 = 0, x = 0.1. f (x) ≈ f (x0) + f (cid:48)(x0)(x − x0) ⇐⇒ e0.1 ≈ e0 + e0(0.1 − 0) = 1 + 0.1 = 1.1 (giá trị gần đúng khi dùng matlab tính là 1.1052).

Vi phân cấp cao

dnf (x) = f (n)(x)dx

Vi phân cấp 2 hàm hợp cho y = y(u), u = u(x)

d2y = y(cid:48)(cid:48)(u)du2 + y(cid:48)(u)d2u.

Vi phân cấp 2 không còn tính bất biến. Tính vi phân cấp 2, cần xác định biến cần tính.

Ví dụ 2.14 Tính vi phân cấp 2 hàm số

. Tính d2y(x = 1) theo dx. a) Cho hàm y = eu, u = arctan 1 x (cid:40)

b) Cho hàm số y(x) : . Tính d2y(x = 1) theo dx. x = e2t + t y = t3 + t

Bài làm

x rồi tính y(cid:48)(cid:48)(x) từ đó suy ra vi phân.

a) Ta có thể thế y = earctan 1

y(cid:48)(u) = y(cid:48)(cid:48)(u) = eu, u(cid:48)(x) = x0 = 1 =⇒ u0 = . Có thể tính dùng công thức d2y = y(cid:48)(cid:48)(u)du2 + y(cid:48)(u)d2u. −1 1 + x2 , u(cid:48)(cid:48)(x) = 2x (1 + x2)2 .

dx, d2u(x = 1) = dx2.

π 4 −1 =⇒ du(x = 1) = 2 Thế vào công thức với x = 1, u = π

π 4 .

4 dx2.

(cid:19)2 d2y(x = 1) = e dx + e dx2 = e 1 2 4 ta được (cid:18) −1 2 1 2 3 4

b) x = 1 ⇐⇒ t = 0.

y(cid:48)(cid:48)(x) = = =⇒ y(cid:48)(cid:48)(x = 1) = . 6t.(2e2t + 1) + 4e2t.(3t2 + 1) (2e2t + 1)3 4 33 = 4 27

dx2. Vậy d2y(x = 1) = y(cid:48)(cid:48)(t)x(cid:48)(t) + x(cid:48)(cid:48)(t)y(cid:48)(t) (x(cid:48)(t))3 4 27

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 40

CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 2.3. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH

2.3 Định lý giá trị trung bình

Định lý 2.4 (Fermat) Nếu hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x0 và có đạo hàm tại x0 thì

f (cid:48)(x0) = 0.

Định lý 2.5 (Rolle) Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) thỏa f (a) = f (b). Khi đó ∃c ∈ (a, b) : f (cid:48)(c) = 0.

Định lý 2.6 (Lagrange) Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b). Khi đó

= f (cid:48)(c). ∃c ∈ (a, b) : f (a) − f (b) a − b

Định lý 2.7 (Cauchy) . Cho 2 hàm số y = f (x), y = g(x) liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) và g(cid:48)(x) (cid:54)= 0∀, x ∈ (a.b). Khi đó

∃c ∈ (a, b) : = f (a) − f (b) g(a) − g(b) f (cid:48)(c) g(cid:48)(c)

Ví dụ 2.15 . Cho hàm số y = f (x) khả vi trên [0, 2] thỏa f (0) = −3, f (cid:48)(x) ≤ 5. Chứng minh rằng f (2) ≤ 7.

Bài làm Áp dụng đính lý Lagrange

∃c ∈ (0, 2) : f (2) − f (0) = f (cid:48)(c)(2 − 0) =⇒ f (2) = f (0) + 2f (cid:48)(c) ≤ −3 + 2.5 = 7.

2 , π 2 ].

Ví dụ 2.16 Chứng minh bất đẳng thức (cid:12)arctan x − arctan y(cid:12) (cid:12) (cid:12) ≤ (cid:12) (cid:12)x − y(cid:12) (cid:12) , ∀x, y ∈ [− π

1 Chứng minh. Không mất tính tổng quát, giả sử x < y. Xét f (x) = arctan x =⇒ f (cid:48)(x) = 1 + x2 ≤ 1. Áp dụng công thức Lagrang

∃c ∈ (x, y) : = f (cid:48)(c) ≤ 1 =⇒ (cid:12) (cid:12)arctan x − arctan y(cid:12) (cid:12) ≤ (cid:12) (cid:12)x − y(cid:12) (cid:12) f (x) − f (y) x − y

2.4 Công thức H’Lopital

dạng hoặc . Định lý 2.8 (Quy tắc L’Hopital) Cho giới hạn lim x→x0 0 0 ∞ ∞

tồn tại (hữu hạn hoặc vô hạn) thì Giả sử f (x), g(x) có đạo hàm tại x0 và giới hạn lim x→x0 f (x) g(x) f (cid:48)(x) g(x)

lim x→x0 = lim x→x0 f (x) g(x) f (cid:48)(x) g(x)

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 41

2.4. CÔNG THỨC H’LOPITAL CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

Ví dụ 2.17 Tính giới hạn

= 4024. (Dạng 2012.x2011 1 √ a) lim x→1 ) = lim x→1 = lim x→1 0 0 x2012 − 1 √ x − 1 (x2012 − 1)(cid:48) √ x − 1)(cid:48) (

2 − (3x − 1) 1

3 )(cid:48)

√

1 √

b) . √ √ x + 1 − 3 3x − 1 ((x + 1) 1 (Dạng lim x→3 0 0

(3x−1)2

3 .3

2(x + 1)− 1

3(3x − 1)− 2

1 x−2

(ln(x − 2))(cid:48) √ 3 ) = lim x→3 1 x+1 − − = 0. = = = lim x→3 = lim x→3 1 4 1 4 ln(x − 2) 2 − 1 1 x−2 − 1 3√ 64 1 1

− sin x √ 2

c) .

√

cos x − ex 1 1+2x.2

2012

√ √ = = −1 (Dạng lim x→0 ) = lim x→0 0 − 1 1 0 0 cos x − ex 1 + 2x − 1

√ 2012 x− 2011 .1 x − 1 = − (Dạng d) lim x→1 ) = lim x→1 = lim x→1 x3 − 3x2 + 2 1 2012 3x2 − 6x 1 2012 3 − 6 1 6036 0 0

−1

−1 3−x − √

−7 (1−7x)2

4 + 7 −2

√ 1 − 7x = = − (Dạng e) ) = lim x→−1 lim x→−1 √ 3 − x − 3 2x − 1 0 0 √ 3 3 2x 1 6

f) .

− sin x cos x −1 1−x + 1

. = (Dạng ) = lim x→0 = lim x→0 = lim x→0 lim x→0 − sin x.(1 − x) −x. cos x sin x x (1 − x) cos x 0 0 ln(cos x) ln(1 − x) + x

1. = 1 1 − 0 1

= = (dạng (còn dạng ) = lim x→2 ) = lim x→2 6x2 − 12x 4x3 − 16x 0 0 12x − 12 12x2 − 16 2.12 − 12 12.22 − 16 0 0

2x3 − 6x2 + 8 x4 − 8x2 + 16 = . g) lim x→2 12 32 3 8

Dùng tương đương kết hợp với H’Lopital

i) Kiểm tra tử hoặc mẫu không phải dạng triệt tiêu thì dùng tương đương để rút gọn.

ii) Dùng quy tắc H’Lopital để khử dạng triệt tiêu.

iii) Nếu hết dạng triệt tiêu thì có thể dùng tương đương để tính.

(dạng triệt tiêu hết dạng triệt tiêu ) = lim x→0 h) lim x→0 x − sin x sinh x − tan x 0 0

tương đương ===== lim x→0

x2 2 cosh x − 1 − tan2 x

1 2 − 1 2

= −1. = = lim x→0 1 − cos x cosh x − (1 + tan2 x) x2 2 x2 2 − x2

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 42

CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 2.4. CÔNG THỨC H’LOPITAL

(dạng triệt tiêu i) lim x→0 cos 2x + 2x2 − 1 3x4 0 0

= = lim x→0 = lim x→0 = lim x→0 −2 sin 2x + 4x 12x3 −4 cos 2x + 4 36x2 ) dùng H’Lopital 4. (2x)2 2 36x2 = 8 36 2 9

j) I = lim x→0 ex − x − cosh x x ln(1 + sin2 2x)

= 0 − . x2 2 x2 2

Trên tử là dạng triệt tiêu : ex − x − cosh x = ex − 1 − x + 1 − cosh x ∼ x − x − Dưới mẫu không phải dạng triệt tiêu: x ln(1 + sin2 2x) ∼ x sin2 2x ∼ x.(2x)2 = 4x3. Ta dùng tương đương để rút gọn mẫu rồi dùng H’Lopital:

H’Lopital ===== lim x→0

I = lim x→0 = lim x→0 ex − x − cosh x 4x3 ex − 1 − sinh x 4.3x2 ex − x − cosh x x ln(1 + sin2 2x)

= . = lim x→0 = lim x→0 ex − cosh x 12.2x ex − sinh x 24 1 24

H’Lopital ===== lim x→0

2.2x

arctan x − sin x √ . k) I = lim x→0 arcsin2 x( 1 + 2x − 1) Dưới mẫu không phải dạng tiêu nên dùng tương đương cho mẫu trước khi dùng H’Lopital: 1 arctan x − sin x I = lim x→0 = lim x→0 arctan x − sin x x3 1 + x2 − cos x 3x2 x2. 1

= = − = lim x→0 = lim x→0 (1 + x2)−1 − 1 + 1 − cos x 3x2 −1.x2 + x2 2 3x2 − 1 2 3 1 6

x→+∞

) = lim ) = lim l) I = lim x→+∞ x2 ex (Dạng ∞ ∞ 2x ex (Dạng ∞ ∞ 2 ex = 0.

Các dạng vô định 0.∞, 00, ∞0, 1∞

có thể chuyển về dạng và 0 0 ∞ ∞

Ví dụ 2.18 Tính các giới hạn sau

1 x − 1 x2

a) (Dạng −x = 0. lim x→0+ x ln x (Dạng 0.∞) = lim x→0+ ) = lim x→0+ = lim x→0+ ∞ ∞ ln x 1 x

ex ln x (Dạng 0∞) = e0 = 1 b) xx (Dạng 00) = lim x→0+ lim x→0+

− = (Dạng (Dạng ∞−∞) = lim x→0 ) = lim x→0 = lim x→0 1 sin x 1 x x − sin x x sin x 0 0 x − sin x x2 1 − cos x x2

c) lim x→0 1 2

Bài tập

Câu 1) Tính đạo hàm y(cid:48)(x)

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 43

2.4. CÔNG THỨC H’LOPITAL CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

3x2 − 1 (a) y = (cos x)arcsin x (b) y = (2x2 + 1)arctan x (c) y = √ sin5(2x + 1) 7 tanh3 x

Câu 2) Tính đạo hàm tại 1 điểm √ 3 x + 2 . Tìm f (cid:48)(0). (a) Cho hàm số f (x) = √ x2 + 1. 5 √ 7 x3 + 2

(cid:114) x (b) Cho hàm số f (x) = x + (x − 1) arcsin . Tìm f (cid:48)(1).

−(0).

√ (c) Cho hàm số f (x) = 1 − e−x2. Tìm f (cid:48) x + 1 +(0) − f (cid:48)

, x (cid:54)= 0,   (d) Cho hàm số f (x) = . Tính f (cid:48)(0+) và f (cid:48)(0−).  1 1 + e− 1 0

Câu 3) Tìm a, b để hàm số khả vi tại x0 = 0.

(cid:40) (cid:26) ax + b (a) f (x) = (c) f (x) = Nếu x < 0, ln(1 + x) Nếu x ≥ 0. 2x3 + αx, x ≥ 0 cos x + β, x < 0

x Nếu x (cid:54)= 0, Nếu x = 0.

, x < 0   (cid:26) xa sin 1 (d) f (x) = (b) f (x) =  1 1 + e 1 x2 + αx + β, x ≥ 0. b

Câu 4) Tính đạo hàm hàm ngược

. (a) Cho hàm số f (x) = ex + x. Tính (f −1)(cid:48)(1). √ (b) Cho hàm số y = f (x) thỏa f (ex) = x2 + 1, x > 0. Tính (f −1)(cid:48)( ĐA: 1 ĐS: 2 √ 2). √ e 2.

Câu 5) Tính đạo hàm cấp cao

a) y = (2x + 3) + cos x. Tính y(100)(x). b) y = arctan(x). Tính y(100)(0), y(101)(0).

Câu 6) Tính đạo hàm

(cid:26) x = ln(1 + t), (cid:26) x = t3 − 3t + 1, (a) cấp 1 tại x = (c) cấp 2 tại t = 1 y = t − arctan t. y = 3t5 − 5t3 + 1.

(cid:26) x = t2 + 4 (b) cấp 2 tại t = (d) ln 2. (cid:26) x = r cos t, y = r sin t. y = 4t3 − 3t2 cấp 3 tại t = 5. π 4

Câu 7) Tính vi phân các hàm số sau √ 1 + u2, u = ex. Tính dy(0), dy2(0), d2y(0) theo du và dx (a) y =

(b) Tính dy(0), dy2(0), d2y(0) theo dx. (cid:26) y = t2 + t, x = t3 + 3t. (cid:40)

Câu 8) Dùng quy tắc H’Lopital, tính các giới hạn sau

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 44

CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 2.5. CÔNG THỨC TAYLOR

4 − x)

cot 2x. cot( π (m) lim x→ π 4 (a) lim x→1

(b) lim x→0 (n) lim x→0 x arctan x2 − 2 sin2 2x x cos x − sin x √ 5 (c) lim x→0 2x3 − 5x5 + 3x4 3x7 − 5x4 + 2 2x3 − 3x2 − 2x 4x4 − x3 − 3 ex − x − 1 x2 (o) lim x→0

1 + 5x − x − 1 x2 (arcsin x)tan x (p) (d) lim x→0 lim x→0+

√ 3 (e) lim x→0 ) 1 ( (q) lim x→0 (1 + x) 1 e √ 1 + 2x (f) lim x→0+ (r) lim x→0

√ 3 (g) lim x→0 (s) lim x→0 1 + x cos x − x2 tan x − x x arcsin x − x ln(1 + x) ln(1 + x) − x sinh2 x ecos x − 1 1 + 3x − 1 e− 1 x100 ecos x − 1 1 + 3x − 1 ln x ln(1 − x) (h)

(cos x)ln sin x. (i) (t) lim x→0 lim x→0+ lim x→0+

ln x

) 1 (tan (u) lim x→+∞ (j) lim x→ π 3 (v) (tan πx lim x→+∞ tan3 x − 3 tan x cos(x + π 6 ) 4 )tan πx (k) lim x→1 ln(1 + sin x) − tan x x2 πx 2x + 1 2 − arctan x) 1 ( π (cid:19) (cid:17) 1 (l) − arctan 1 x (w) lim x→1 (cid:18) a xa − b xb lim x→+∞ (cid:16)π 2

2.5 Công thức taylor

Công thức taylor của hàm y = f (x) đến cấp n tại x0

.(x − x0) + (x − x0)2 + (x − x0)3 f (x) = f (x0) + f (cid:48)(cid:48)(x0) 2! f (cid:48)(cid:48)(cid:48)(x0) 3!

+ · · · + (x − x0)n + o(x − x0)n, f (cid:48)(x0) 1! f (n)(x0) n!

Trong đó: o(x − x0)n là một hàm VCB cấp cao hơn (x − x0)n khi x → x0.

công thức Maclaurint là công thức taylor với x0 = 0

f (x) = f (0)+ .x+ x2 + x3 +· · ·+ xn +o(xn). f (cid:48)(0) 1! f (cid:48)(cid:48)(0) 2! f (cid:48)(cid:48)(cid:48)(0) 3! f (n)(0) n!

Công thức taylor xấp xỉ hàm f (x) bởi một hàm đa thức bậc n Pn(x − x0):

f (x) = Pn(x − x0) + Rn(x − x0),

Rn(x − x0) = o(x − x0)n là phần dư rất bé khi x trong lân cận x0. Xem o(x − x0)n là phần dư chứa tất cả các bậc lớn hơn n.

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 45

2.5. CÔNG THỨC TAYLOR CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

Ví dụ 2.19 Khai triển Maclaurint hàm số f (x) = ex − 1 đến các cấp 1,2,3.

f (cid:48)(x) = ex =⇒ f (cid:48)(0) = 1 f (cid:48)(cid:48)(cid:48)(x) = ex =⇒ f (cid:48)(cid:48)(cid:48)(0) = 1

Bài làm f (0) = 0. f (cid:48)(cid:48)(x) = ex =⇒ f (cid:48)(cid:48)(0) = 1. Khai triển Maclaurint đến cấp 1: f (x) = 0 + 1.x + o(x1) = x + o(x).

x2 + o(x2) = x + Khai triển Maclaurint đến cấp 2: f (x) = 0 + 1.x + x2 2

x2 + + o(x3) = x + + Khai triển Maclaurint đến cấp 3: f (x) = 0 + 1.x + + o(x3). 1 2! 1 2! 1 3! + o(x2). x2 2 x3 6

2 + x3

y = ex − 1 y = x + x2

y = x + x2 2 • Hình vẽ minh họa cho các đa thức trong khai triển Maclaurint xấp xỉ với hàm f (x) trong lân cận x0 = 0.

y = x

• Cấp khai triển càng cao thì xấp xỉ càng chính xác.

Khai triển Maclaurint một số hàm số thường gặp

1. = 1 − x + x2 − x3 + · · · + (−1)nxn + o(xn). 1 1 + x

+ + + · · · + + o(xn) 2. ex = 1 + xn n! x1 1! x2 2! x3 3!

+ + o(xn) 3. ln(1 + x) = x − x2 2 − · · · + · · · + (−1)n−1 xn n

+ + o(x2n+2) 4. sin x = x − x3 3 − · · · + (−1)n x2n+1 (2n + 1)! x5 5! x3 3!

+ + o(x2n+1) 5. cos x = 1 − x2 2! x4 4! − · · · + (−1)n x2n (2n)!

+ + · · · + + o(x2n+2) 6. sinh x = x + x3 3! x5 5! x2n+1 (2n + 1)!

+ + · · · + + o(x2n+1) 7. cosh x = 1 + x2 2! x4 4! x2n (2n)!

x2 +· · ·+ 8. (1+x)α = 1+αx+ xn +o(xn). α(α − 1) . . . (α − n + 1) n!

+ + o(x2n+2) 9. arctan x = x − α(α − 1) 2! + · · · + (−1)n x2n+1 2n + 1 x5 5 x3 3

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 46

CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 2.5. CÔNG THỨC TAYLOR

Khai triển taylor bằng định nghĩa sẽ rất mất công. Ta áp dụng các công thức trên để khai triển.

Ví dụ 2.20

a) Khai triển Maclaurint của hàm f (x) = sin 2x đến cấp 4. Áp dụng công thức sin : x → 2x.

sin 2x = (2x) − + o(x4) = 2x − x3 + o(x4). (2x)3 3! 4 3

b) Tìm khai triển Maclaurint của hàm f (x) = ex+1 đến cấp 3.

Vì x + 1 x→0−−→ 1 (cid:54)= 0 nên chưa thể dùng công thức cho x + 1. f (x) = e.ex = e(1 + x + x2 + x3 + o(x3)) = e + ex + x2 + x3 + o(x3). 1 2! 1 3! e 2 e 6

Dùng công thức khai triển Dùng công thức Maclaurint để khai triển hàm f (u), điều kiện u → 0.

u=1−x−−−−→

c) Tìm khai triển Maclaurint của hàm f (x) = đến cấp 2. 1 2 − x

= 1 − u + u2 + . . . −→ Sai . Biến đổi f (x) = 1 1 + (1 − x) 1 1 + u

u= −x 2−−−→ f =

Vì u = 1 − x x→0−−→ 1 (cid:54)= 0. Ta làm như sau f (x) = = . = (1 − u + u2 + o(u2)) 1 2 1 . 2 (cid:33) (cid:19)2 + 1 − + x + x2 + 0(x2). = + o(x2) = 1 2 − x (cid:32) 1 2 1 2 −x 2 1 1 + −x 2 (cid:18) −x 2 1 1 + u 1 2 1 4 1 8

√ d) Tìm khai triển taylor của hàm f (x) = 3 − 2x tại x0 = 1 đến cấp 2.

√ 1 − 2t = (1 − 2t) 1

2. −1 2 2!

.(−2t) + .(−2t)2 + o(t2) = 1 − t − t2 + o(t2) = 1 − (x − 1) − (x − 1)2 + o(x − 1)2. = 1 + Đặt t = x − 1 f (t) = (cid:112)3 − 2(t + 1) = 1 2

Ví dụ 2.21 Khai triển taylor

a) Khai triển Maclautint hàm số f (x) = 1 + x + x2 1 − x + x2 đến cấp 5. 1 = (x3 + 2x2 + 2x + 1) Cách 1: f (x) = (1 + x + x2)(1 + x) (1 − x + x2)(1 + x) 1 + x3 = (x3 + 2x2 + 2x + 1)(1 − x3 + o(x5)) 1 Khai triển 1 + x3 = 1 − x3 + (x3)2 + . . . nhưng vì ta cần đến bậc 5 nên bỏ đi bậc 6. Giờ

nhân vào và bỏ đi những bậc lớn hơn 5. f (x) = 1 + 2x + 2x2 + x3 − x3 − 2x4 − 2x5− (cid:54)x6 +o(x6) = 1 + 2x + 2x2 − 2x4 − 2x5 + o(x5). Cách 2 ta dùng phép chia đa thức theo bậc từ bé đến lớn cho đến khi phần dư có bậc lớn hơn 5.

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 47

2.5. CÔNG THỨC TAYLOR CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

1 +x +x2 1 -x +x2

0 +2x +0x2 1 +2x +2x2 − 2x4 − 2x5 +0x +2x2 −2x3 +0x2 +0x3 −2x4

+0x4 −2x5 +0x5

Ta suy ra f (x) = 1 + 2x + 2x2 − 2x4 − 2x5 + o(x5). Phương pháp này khá hiệu quả cho những bài dạng phân thức. Cần đi học để hiểu hơn phương pháp này.

b) Khai triển Maclaurint hàm số y = f (x) = e2x−x2 đến cấp 3.

+ + o(t3) = 1 + (2x − x2) + + + o(2x − x2)3 (2x − x2)3 6

= 1+2x−x2+ t2 2! (4x2−4x3 + x4)+ (2x − x2)2 2 (8x3−12x4 + 6x5 − x6)+o(x3) = 1+2x+x2− x3+o(x3). Đặt t = 2x − x2 x→0−−→ 0. t3 y = et = 1 + t + 3! 1 2 1 6 2 3 Ta cần khai triển đến bậc 3 nên bậc lớn hơn 3 ta bỏ. √ 1 − 2x2 đến cấp 7.

−3 2

2. −1 2 3!

c) Khai triển Maclaurint hàm số y = Đặt t = −2x2 là một VCB bậc 2. Ta cần khai triển theo t đến cấp 3, vì t bậc 4 tương đương với x bậc 8 > 7. √ y = t + t3 + o(x7)

2. −1 2 2! (−2x2)2 +

= 1 + (−2x2) − (−2x2)3 + o(x7) = 1 − x2 − x4 − x6 + o(x7). 1 + t = 1 + 1 2 1 2 1 8 t2 + 1 16 1 2 1 2

d) Khai triển Maclaurint y = tan x đến cấp 5.

x − + + o(x5) y = = sin x cos x + + o(x4) 1 − x3 3! x2 2! x5 5! x4 4! Thực hiện phép chia

x − x3 + x5 1 − x2 + x4 1 2 1 16 1 6 1 120

x3 − x3 + x5 0x + x + x5. 1 3 2 15 1 3

+0x3 + x5

1 30 2 15 +0x5

x3 + Vậy y = x + x5 + o(x5). 1 3 2 15 Trong bài này, vì sin x là VCB bậc 1 nên cos x chỉ cần khai triển đến bậc 4 là đủ.

e) Khai triển Maclaurint y = esin x đến cấp 4.

6 )2 +

sin2 x + sin3 x + sin4 x + o(sin4 x) = 1 + x − + (x − x3 (x)3 + 1 3! 1 4! x3 6 1 2 1 6 1 2!

(x4) + o(x4) y = 1 + sin x + 1 24

= 1 + x − + (x2 − x4) + x3 + x4 + o(x4) = 1 + x + − + o(x4). x3 6 1 2 1 3 1 6 1 24 x2 2 x4 8

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 48

CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 2.5. CÔNG THỨC TAYLOR

2 + x4

24 + o(x5) = e

2 + x4

24 ) +

2 + x4

24 )2

2 + x4

24 + x4

(cid:21) (cid:20) (− x2 + o(x5) f) Khai triển Maclaurint y = ecos x đến cấp 5. 24 +o(x5) = e.e− x2 1 2 (cid:105) y = e1− x2 (cid:104) 1 − x2 + o(x5) = e − x2 + = e x4 + o(x5) e 2 1 + (− x2 e 6

g) Khai triển Maclaurint của f (x) = ex. ln(1 + x) đến cấp 4. Vì ln(1 + x) là VCB cấp 1 nên ta khai triển ex đến cấp 3. (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) f (x) = 1 + x + + + o(x3) x − − + o(x4) + x2 2! x3 3! x2 2 x3 3

− + 1)x2 + ( + )x3 + (− + − + )x4 + o(x4) = x + x2 + x3 + o(x4) = x + (− 1 2 1 3 1 2 1 2 1 4 1 4 1 3 x4 4 1 6 1 2 1 3

h) Tìm khai triển Maclaurint của f (x) = đến cấp 6.

đến cấp 4. Vì trên tử bậc 2 nên ta cần khai triển x2 1 + sin x 1 1 + sin x

= 1 − sin x + sin2 x − sin3 x + sin4 x + o(x4)

1 1 + sin x (cid:18) (cid:19)2 (cid:19) (cid:18) x − = 1 − x − + − (x)3 + (x)4 + o(x4) = 1 − x + x2 − x3 + x4 + o(x4). 5 6 2 3

x5 + x6 + o(x6). x3 x3 3! 3! 5 Vậy f (x) = x2 − x3 + x4 − 6 2 3

Tính đạo hàm cấp n tại 1 điểm bằng khai triển Dựa vào công thức Taylor, ta suy ra

f (n)(x0) = n!Tn,

với Tn là hệ số bậc n trong khai triển taylor của f (x) tại x0.

Ví dụ 2.22 Tính đạo hàm cấp cao

a) Tính y(100)(1) với y(x) = ln x.

+ . . . . Khi đó y = ln(1 + u) = u − Khai triển taylor tại x0 = 1 Đặt u = x − 1 x→1−−→ 0. + . . . + (−1)99 u100 100

u2 2 Hệ số bậc 100 trong khai triển taylor tại x0 = 1 là T100 = . −1 100

.100! = −99! Suy ra y(100)(1) = −1 100

b) Tính y(10)(0) với y = (x2 + 1) cos x. Khai triển Maclaurint y đến cấp 10. Chú ý ta chỉ quan tâm đến bậc 10.

y = (x2 + 1)(· · · + − + o(x10)). x10 10!

− x8 8! Hệ số bậc 10 trong khai triển là T10 = . 1 8! 1 10! (cid:19) = 10.9 − 1 = 89. − Suy ra y(10)(0) = 10! (cid:18) 1 8! 1 10!

Tìm VCB tương đương Muốn tìm một hàm lũy thừa tương đương với hàm f (x), ta khai triển f (x) cho đến bậc đầu tiên khác 0.

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 49

2.5. CÔNG THỨC TAYLOR CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

Ví dụ 2.23 Tìm hàm lũy thừa tương đương với các VCB sau

a) f (x) = ex − x − cos 2x khi x → 0.

x2 + o(x2) ∼ ) − x − (1 − x2. (2x)2 2 5 2 5 2 x2 2 ) + o(x2) = f (x) = (1 + x + Chú ý: o(x2) gồm những bậc lớn hơn 2. Tổng VCB ta lấy VCB bậc thấp nên bỏ đi o(x2). √ b) f (x) =

2 ) + o(x3) = −

x3) + x − (1 − x2 x2 − x3 + o(x3) ∼ − x3. f (x) = (1 − x − 1 − 2x + x − cos x khi x → 0. 1 2 1 2 1 2 √ 1 2 √ 1 + x − c) f (x) =

2 − x2

8 − x3

16 ) − x + o(x3) =

+ o(x3) ∼ . f (x) = (1 + x2 1 − x − x khi x → 0. 2 − x2 16 ) − (1 − x2 8 + x3 x3 8 x3 8

d) f (x) = ln(1 + sin x) − tan x + (cid:19) (cid:18) (cid:18) − (x + + ) + + o(x3) = x − − + − (x + f (x) = sin x − x2 2 (cid:19) sin3 x 3 khi x → 0. x3 3 sin2 x 2 x2 2 x3 6 x2 2 x3 3

+ o(x3) x3 3

= − x2 2 + o(x3) ∼ − . ) + x3 6 x3 6

Ứng dụng khai triển Taylor để tính giới hạn dạng 0 0

dạng Cho giới hạn lim x→x0 f (x) g(x) 0 0

Ta khai triển tử mẫu, tìm đại lượng tương đương và thế vào giới hạn.

Ví dụ 2.24 Tính các giới hạn sau

(x + ) − (x − ) + o(x3) x3 3 x3 6 . = lim x→0 = lim x→0 a) lim x→0 tan x − sin x x3 x3 x2 3 x3 = 1 2

) + 2x(1 − ) + o(x3) x3 − 2(x − x4 2 x3 6 = lim x→0 = lim x→0 ln(1 + x3) − 2 sin x + 2x cos x2 x3 4 x3 3 x3 = x3

. b) lim x→0 4 3 √

. 1 + 2 tan x − ex + x2 arcsin x − sin x

c) I = lim x→0 Khai triển tử T = (1 + tan x − − ) + x2 + tan2 x 2 tan3 x 2

− + ) − (1 + x + + = (1 + x + x3 3 x2 2 x3 2

) − (x − ) + o(x3) = + o(x3) ∼ . Khai triển mẫu M = arcsin x − sin x = (x + x2 x3 ) − (1 + x + 2 6 x3 x2 ) + x2 = 6 2 x3 6 2 x3 + o(x3) ∼ 3 x3 6 2 x3. 3 x3 3 x3 3

x3 = 2. Vậy I = lim x→0

2 3 x3 3

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 50

CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 2.5. CÔNG THỨC TAYLOR

Ví dụ 2.25 Tính gần đúng cos 0.1 bằng cách khai triển taylor đến cấp 4.

Chọn x0 = 0 gần giá trị x = 0.1 cần tính mà cos x0 = 0.1. Ta khai triển Taylor hàm cos x tại x0

+ cos x = 1 − 0.12 2 0.14 24 đến bậc 4. x4 4! + ≈ 0.995004166. ≈ 1 − x2 + 2 0.01 2 + o(x4) =⇒ cos 0.1 ≈ 1 − 0.0001 24 Giá trị cos 0.1 theo máy tính là 0.995004165278026.

Bài tập

Câu 1. Khai triển taylor f (x) đến cấp n tại x0

(a) f (x) = √ 2x + 1 x + 2 (k) f (x) = ln(1 + tan x), x0 = 0, n = 4 (l) f (x) = , x0 = 1, n = 2. √ 1 − 2x2, n = 4, x0 = (b) f (x) = (x + x2) , n = 2, x0 = 2 (m) f (x) = 0. x, n = 4, x0 = 1 x x + 1

. (c) f (x) = ln , n = 4, x0 = 0 (n) f (x) =

, x0 = 1, n = 3 (d) f (x) = 2 + 3x 3 + 2x cos 2x 1 + ln(1 − x) (o) f (x) =

√ , x0 = 1, n = 3 (e) f (x) = , n = 5, x0 = 0 (p) f (x) = e−x 2x − 1

6 ), n =

(f) f (x) = sinh x ln(1−2x), x0 = 0, n = 4 √ 1 + 2x, x0 = 0, n = (g) f (x) = arctan x. 1 + x2 − 1) sin(x + π 3 x2 2x2 − x − 1 ln(1 − x) (1 + x)2 , n = 3, x0 = 0 tan x ex2 (q) f (x) = arcsin2 x, n = 4 √ (r) f (x) = ( 4, x0 = 0

(h) f (x) = esin 2x, x0 = 0, n = 4 (i) f (x) = ecos 2x, x0 = 0, n = 7 √ x sin x, x0 = 1, n = 2 (j) f (x) = (s) f (x) = ecos x, n = 5, x0 = 0 (t) f (x) = sin cosh x, x0 = 0, n = 2. (u) f (x) = (1 + x2)sin x, x0 = 0, n = 3.

Câu 2. Tìm α, β để f (x) ∼ g(x) = αxβ khi x → x0:

, x0 = (i) f (x) = ln(1 + sin x) − tan x + √ x2 2 1 − 2x + x − cos x, x0 = 0 0.

cos 2x, x0 = 0 √ (j) f (x) = cos x − 4 1 + 3x − cos x − ln(1 + √ (a) f (x) = ex − x − cos 2x, x0 = 0 (b) f (x) = (c) f (x) = ex − cosh x − sin x √ (d) f (x) = 3 √ x4 + 2x3 − 3 x6 + 3x5, x0 = x), x0 = 0 √ √ (k) f (x) = ∞ 1 − x − x, x0 = 0 √ x + 1 − √ 1 + 2x + 2x2, x0 = 0

2 ) sin x − tan x, x0 = 0

√ 1 − 2x2 − 3 1 − 3x2, x0 = 0 (l) f (x) = (m) f (x) = cos x2 − x sin x − e−x2, x0 = 0 √ cos 2x, x0 = 0 (n) f (x) = cos x − (e) f (x) = (f) f (x) = ex − (g) f (x) = 1 − x + x ln x, x0 = 1 (h) f (x) = (1 + x2

Câu 3. Tính giới hạn cấp n tại 1 điểm

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 51

2.6. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

2x − 1. Tính f (3)(1), f (4)(1)

√ (a) Cho f (x) = 3 (b) Cho f (x) = (1 + x2)e2x−1. Tính f (10)(0). (c) Cho f (x) = (x2 + 1) ln x. Tính f (10)(1).

(d) Cho f (x) =

1 + x (e) Cho f (x) = x2 2 + x3 . Tính f (10)(0), f (11)(0). 1 − x + x2 . Tính f (10)(0), f (11)(0).

Câu 4. Tính giới hạn bằng khai triển Maclaurint.

(a) lim x→0 (g) lim x→0 (1 + 2x)x − cosh 2x arctan x − arcsin x

√ (b) lim x→0 ex − 1 − x 1 − cosh x arcsin x − xex x − tan x (h) lim x→0 ex − 1 + 2x + 2x2 x + tan x − sin 2x

2 ) − (1 + x) 1 e(1 − x ln(1 − x) + sinh x

(i) lim x→0 (d) lim x→0 √ √ e2x − cos x − sin 2x ln(1 − x) + arcsin x √ 1 + 2x − cos x + x 2 sin x − tan 2x 1 + 2x − 1 − 2x − sin 2x √ 3 (e) lim x→0 (j) lim x→0 x cos x − sin x ex + ln(1 − sin x) − 1 8 − x3 − 2 √ 3 1 + 3x2 − x cot x − 2x2 3 arcsin x − xex √ (k) lim x→0 (f) lim x→0 x 1 − x2 − tan x x cos x − arcsin x

2.6 Khảo sát và vẽ đồ thị

2.6.1 Tiệm cận

Thuật toán tìm tiệm cận cho hàm số y = f (x)

f (x) = ±∞ −→ tiệm cận đứng x = a. i) lim x→a

ii) f (x) = b −→ tiệm cận ngang y = b. lim x→∞

f (x) = ∞, ta tìm tiệm cận xiên iii) Nếu lim x→∞

= a   f (x) x −→ tiệm cận xiên f (x) − ax = b  lim x→∞ lim x→∞ y = ax + b.

Có thể tìm tiệm cận xiên y = ax+b bằng cách khai triển f (x) = ax + b + α(x)

với α(x) là 1 VCB khi x → ∞.

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 52

CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 2.6. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ

Ví dụ 2.26 Tìm tiệm cận các hàm số sau

a) y = . TXD: D = R ⊂ {0, 1}. arctan 2x x(1 − x)

Tìm tiệm cận đứng tại những điểm gián đoạn:

= 2 −→ x = 0 không là tiệm cận đứng. lim x→0

= ∞ −→ tiệm cận đứng x = 1. lim x→1

= 0 −→ tiệm cận ngang y = 0. lim x→∞ arctan 2x x(1 − x) arctan 2x x(1 − x) arctan 2x x(1 − x)

b) y = + 2x. TXD: D = (−1, 0) ∩ (0 + ∞). ln(1 + x) x

+ 2x = +∞ −→ tiệm cận đứng x = −1. lim x→−1+ ln(1 + x) x

+ 2x = 1 −→ x = 0 không là tiệm cận đứng. lim x→0 ln(1 + x) x

+ 2x = +∞ −→ không có tiệm cận ngang. Ta tìm tiệm cận xiên. lim x→+∞

x→+∞

+ 2x (cid:19) ln(1 + x) x ln(1 + x) x −2x = lim a = lim = 2, b = lim + 2x = x (cid:18) ln(1 + x) x ln(1 + x) x

0,. Tiệm cận xiên y = 2x.

Cách khác y = 2x + . Vì = 0 nên y = 2x là tiệm cận xiên. lim x→+∞ ln(1 + x) x ln(1 + x) x

c) y = . TXD: D = (−∞, 0] ∩ (2, +∞).

= +∞ −→ tiệm cận đứng x = 2. (cid:114) x3 x − 2 (cid:114) x3 x − 2

x−2)

lim x→2+ lim x→∞ (cid:18) (cid:19) (cid:19) 1 = +∞ −→ không có tiệm cận ngang. Ta tìm tiệm cận xiên: (cid:18) (cid:114) x x → +∞ : f (x) = 1 + = x 1 + = |x| = x . + o( 1 x − 2 2 x − 2 1 2 2 x − 2 (cid:114) x3 x − 2

x−2) −→ tiệm cận xiên y = x + 1. (cid:19) 1

x−2)

= x + 1 + + o( 1 . 2 x − 2 (cid:18) (cid:18) (cid:19) (cid:114) x = −x 1 + x → −∞ : f (x) = = |x| = −x 1 + . + o( 1 2 x − 2 x − 2 1 2 2 x − 2 (cid:114) x3 x − 2

x−2) −→ tiệm cận xiên y = −x − 1.

x . TXD D = R ⊂ {0}. x = +∞ −→ tiệm cận đứng (bên phải, ở trên) x = 0.

= −x − 1 − − o( 1 . 2 x − 2

x = 2.0 = 0 −→ x = 0 không là tiệm cận đứng bên trái .

x ) −→ y = x + 3 là tiệm cận

d) y = (x + 2)e 1 (x + 2)e 1 (x + 2)e 1 lim x→0+ lim x→0− (cid:18) (cid:19) + (x + 2)o( 1 x → ∞ : y = (x + 2) 1 + = x + 3 + + o( 1 x ) 1 x 2 x xiên.

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 53

2.6. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

2.6.2 Chiều biến thiên và cực trị

loại trừ tại một số hữu hạn điểm −−−−−−−−−−−−−−−−−→ f (x) tăng trong

Chiều biến thiên cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên (a, b).

loại trừ tại một số hữu hạn điểm −−−−−−−−−−−−−−−−−→ f (x) giảm trong

f (cid:48)(x) > 0, ∀x ∈ (a, b) (a, b).

f (cid:48)(x) < 0, ∀x ∈ (a, b) (a, b).

Trong định lý trên, tại vài điểm mà f (cid:48)(x) = 0 hoặc không xác định thì vẫn khẳng định được f (x) đơn điệu.

Ví dụ 2.27

Xét f (x) = x3 =⇒ f (cid:48)(x) = 3x2 > 0, ∀x (cid:54)= 0. Ngoại trừ điểm 0 thì f (cid:48)(x) dương nên suy ra f (x) tăng trên R.

Cực trị

i. (điều kiện cần) cho f (x) có đạo hàm tại x0.

x0 là điểm cực trị của f −→ f (cid:48)(x0) = 0

ii. (điều kiện đủ 1) cho f (x) liên tục tại x0 và có đạo hàm trong lân cận x0 (có thể loại trừ tại điểm x0).

f (cid:48) đổi dấu từ (+) sang (−) −→ f đạt cực đại tại x0. f (cid:48) đổi dấu từ (−) sang (+) −→ f đạt cực tiểu tại x0.

iii. (điều kiện đủ 2) cho f có đạo hàm cấp 2 tại x0 và f (cid:48)(x0) = 0.

f (cid:48)(cid:48)(x0) < 0 −→ f (x) đạt cực đại tại x0. f (cid:48)(cid:48)(x0) > 0 −→ f (x) đạt cực tiểu tại x0.

Ví dụ 2.28 Khảo sát tính đơn điệu và cực trị hàm số y = x ln x

• TXD: D = (0, +∞)

• y(cid:48) = 1 + ln x. y(cid:48) = 0 ⇐⇒ ln x = −1 ⇐⇒ x = e−1 = =⇒ y = − . 1 e 1 e

• Bảng biến thiên

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 54

CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 2.6. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ

x −∞ +∞ 0 1 e

− + f (cid:48)(x) 0

f (x) − − 1 1 e e

• Kết luận

– Hàm số đồng biến trên ( , +∞) và nghịch biến trên (0, ). 1 e 1 e

– Hàm số đạt cực tiểu tại x0 = và giá trị cực tiểu là y0 = − 1 e 1 e

Ví dụ 2.29 Tìm cực trị hàm số y = −x3 + 3x.

y(cid:48) = 0 ⇐⇒ −3x2 + 3 = 0 ⇐⇒ x = ±1.

TXD: D = R. y(cid:48) = −3x2 + 3. y(cid:48)(cid:48) = −6x : y(cid:48)(cid:48)(1) = −6 < 0.y(cid:48)(cid:48)(−1) = 6 > 0. Vậy hàm số đạt cực đại tại 1 và cực tiểu tại −1.

Ví dụ 2.30 Khảo sát tính đơn điệu và cực trị hàm số y = x4 + 4x3

• TXD: D = R

• y(cid:48) = 4x3 + 12x2 = 4x2(x + 3).

y(cid:48) = 0 ⇐⇒ (cid:20) x = −3 =⇒ y = −27 x = 0 =⇒ y = 0

• Bảng biến thiên

x −∞ +∞ −3 0

f (cid:48)(x) − + + 0 0

0 f (x)

−27−27

• Kết luận

– Hàm số đồng biến trên (−3, +∞) và nghịch biến trên khoảng (−∞, −3). – Hàm số đạt cực tiểu tại x0 = −3.

Ví dụ 2.31 Khảo sát tính đơn điệu và cực trị hàm số y = x + 1 x − 1

• TXD: D = R\{1}

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 55

2.6. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

−2 • y(cid:48) = (x − 1)2 < 0, ∀x ∈ D.

• Bảng biến thiên

x −∞ +∞ 1

f (cid:48)(x) − −

f (x)

• Kết luận

– hàm số nghịch biến trên (−∞, 0) và (0, +∞).

– Hàm số không có cực trị

Ví dụ 2.32 Khảo sát tính đơn điệu và cực trị hàm số y = 3(cid:112)(x − 1)2

• TXD: D = R

• y(cid:48) = < 0, ∀x ∈ D. 2 x − 1 √ 3 3

• Bảng biến thiên

x −∞ +∞ 1

f (cid:48)(x) − +

f (x)

• Kết luận

– hàm số nghịch biến trên (−∞, 1) và đồng biến trên (1, +∞). – Hàm số đạt cực tiểu tại x0 = 1.

x . Tìm a để f (x) đạt cực đại tại x0 = 2.

x =

Ví dụ 2.33 Cho f (x) = (x + a)e 1

)e 1 Ta có f (cid:48)(x) = (1 − x + a x2

x2 − x − a x2 f (x) đạt cực trị tại x0 = 2 thì f (cid:48)(2) = e = 0 ⇐⇒ a = 2. e 1 x . √ 2 − a 4

e 1 Với a = 2 : f (cid:48)(x) = x2 − x − 2 x2 Bảng biến thiên

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 56

CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 2.6. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ

x −∞ +∞ −1 0 2

f (cid:48)(x) + − − + 0 0

f (x)

Vậy không tồn tại a thỏa yêu cầu bài toán.

2.6.3 Lồi, lõm và điểm uốn

Lồi, lõm và điểm uốn Cho hàm số y = f (x) liên tục trên (a, b).

f (cid:48)(cid:48)(x) < 0, ∀x ∈ (a, b) loại trừ 1 số hữu hạn điểm −−−−−−−−−−−−−−→ f (x) lồi trên (a, b).

f (cid:48)(cid:48)(x) > 0, ∀x ∈ (a, b) loại trừ 1 số hữu hạn điểm −−−−−−−−−−−−−−→ f (x) lõm trên (a, b).

x0 ∈ (a, b) ngăn cách giữa khoảng lồi và lõm thì (x0, f (x0)) là điểm uốn.

Nếu f có đạo hàm cấp 2 tại x0 và (x0, f (x0)) là điểm uốn thì f (cid:48)(cid:48)(x0) = 0.

Ví dụ 2.34 Xét tính lồi, lõm và điểm uốn của hàm số f (x) = x3 − 3x2.

TXD: D = R, f (cid:48)(cid:48)(x) = 6x − 1. f (cid:48)(cid:48)(x) > 0, ∀x ∈ (1, +∞) −→ f (x) lõm trên (1, +∞). f (cid:48)(cid:48)(x) < 0, ∀x ∈ (−∞, 1) −→ f (x) lồi trên (1, +∞). Điểm (1, −2) ngăn cách giữa lồi và lõm nên là điểm uốn của đồ thị hàm số.

Ví dụ 2.35 Tìm a.b để hàm số f (x) = ax3 + 6x2 + bx đạt điểm uốn tại (1; 3).

TXD D = R, f (cid:48)(cid:48)(x) = 6ax + 12 xác định tại 1. (cid:40) (cid:40) (cid:40)

⇐⇒ ⇐⇒ . (1; 3) là điểm uốn thì f (cid:48)(cid:48)(1) = 0 f (1) = 3 6a + 12 = 0 a + 6 + b = 3 a = −2 b = −1

Dễ dàng thử lại với a = −2, b = −1 thì (1; 3) là điểm uốn của đồ thị hàm số.

Ví dụ 2.36 Tìm a.b để hàm số f (x) = x4 + ax3 + b đạt điểm uốn tại (0; 3).

f (cid:48)(cid:48)(x) = 12x2 + 6ax. (0, 3) là điểm uốn nên (cid:40) (cid:40)

⇐⇒ . ∀a ∈ R b = 3 f (cid:48)(cid:48)(0) = 0 f (0) = 3

Với b = 0 : f (cid:48)(cid:48)(x) = 12x2 + 6ax. Nếu a = 0 thì f (cid:48)(cid:48)(x) = 12x2 ≥ 0 không đổi dấu qua 0 nên (0, 3) không là điểm uốn. Nếu a (cid:54)= 0 thì f (cid:48)(cid:48)(x) = 12x2 + 6ax đổi dấu qua 0 nên (0, 3) là điểm uốn. Vậy a (cid:54)= 0, b = 3.

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 57

2.6. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

2.6.4 Khảo sát hàm số

Các bước khảo sát hàm số

1. Tìm miền xác định, tính chẵn lẻ, tuần hoàn.

2. Tìm đạo hàm cấp 1.

3. Tìm đạo hàm cấp 2 (bước này có thể bỏ qua).

4. Tính các giới hạn và tìm tiệm cận.

5. Lập bảng biến thiên.

6. Tìm điểm đặc biệt và vẽ.

Chú ý

• Hàm f (x) gọi là hàm số chẵn nếu ∀x ∈ D =⇒ −x ∈ D và f (−x) = f (x).

Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục Oy. Khi khảo sát hàm chẵn, ta chỉ cần khảo sát phần x > 0, phần x < 0 được lấy đối xứng với phần x < 0 qua trục Oy.

• Hàm f (x) gọi là hàm số lẻ nếu ∀x ∈ D =⇒ −x ∈ D và f (−x) = −f (x).

Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua gốc O. Khi khảo sát hàm lẻ, ta chỉ cần khảo sát phần x > 0, phần x < 0 được lấy đối xứng với phần x < 0 qua O.

• Nếu tồn tại số bé nhất T > 0 sao cho f (x + T ) = f (x) thì ta nói f (x) tuần hoàn với chu

kỳ T . Vẽ đồ thị hàm số tuần hoàn, ta chỉ cần khảo sát trên một chu kỳ rồi lấy tịnh tiến phần vừa vẽ được theo phương ngang một khoảng kT, k ∈ Z.

Ví dụ 2.37 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = ex x + 1

• TXD: D = R\{−1}.

• Tìm tiệm cận

= ∞ : tiệm cận đứng x = −1. (cid:63) lim x→−1

H’Lopital ===== lim

(cid:63) = 0 : tiệm cận ngang y = 0. lim x→−∞

H’Lop 2 lần ===== +∞.

x→+∞

(cid:63) = +∞ : a = lim = lim ex x + 1 ex x + 1 ex x + 1 ex 1 y x ex x(x + 1)

lim x→+∞ Vậy hàm số không có tiệm cận ngang.

xex • y(cid:48) = (x + 1)2 .y(cid:48) = 0 ⇐⇒ x = 0 =⇒ y = 1

Bảng biến thiên

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 58

CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 2.6. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ

x −∞ +∞ −1 0

f (cid:48)(x) − − + 0

+∞+∞ +∞ 00

f (x)

−∞ 11

• Đồ thị

y x = −1 y = ex x + 1

−8

−6

−4

−2

−4

x y = 0

Ví dụ 2.38 Khảo sát và vẽ đồ thị y = x4 − 6x2 + 3.

• TXD: D = R.

f (x) = +∞. Hàm đa thức bậc 3 không có tiệm cận. • lim x→∞

 √ • y(cid:48) = 4x3 − 12x.y(cid:48) = 0 ⇐⇒  3 =⇒ y = −6 √ x = 0 =⇒ y = 3 x = x = − 3 =⇒ y = −6

Bảng biến thiên

√ √ x −∞ +∞ 0 − 3 3

f (cid:48)(x) − + − + 0 0 0

+∞+∞ +∞+∞ 33

f (x)

−6−6 −6−6

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 59

2.6. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

(cid:20) x = 1 =⇒ y = −2 • y(cid:48)(cid:48) = 12x2 − 12.y(cid:48)(cid:48) = 0 ⇐⇒ x = −1 =⇒ y = −2

Bảng xét dấu y(cid:48)(cid:48)

x −∞ +∞ −1 1

f (cid:48)(cid:48)(x) + − + 0 0

Đths f (x) Lõm Lõm Lồi

• Đồ thị

y 6

−4

−2

−4

−6

Ví dụ 2.39 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = 3(cid:112)(x − 1)2.(x − 4)

• TXD D = R.

3 (cid:18)

x) = x−2+α(x) −→

(cid:18) (cid:19) 2 (cid:19) 1 (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) 1 − 1 − 1 − 1 − +xo( 1 • x → ∞ : y = x = x 2 3x 4 3x 1 x 4 x tiệm cận xiên y = x − 2.

• y(cid:48) = . x − 3 3(cid:112)(x − 1)(x − 4)2

Bảng biến thiên

x −∞ +∞ 1 2 4

f (cid:48)(x) + − + + 0

+∞+∞ 00

0 f (x)

√ √ 2− 3 − 3 2 −∞−∞

• Đồ thị

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 60

CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 2.6. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ

2.6.5 Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất

Tìm max min

1. Tìm max - min trên toàn miền xác định: dựa vào bảng biến thiên

2. Tìm max - min trên đoạn [a, b].

Bước 1) Tìm điểm tới hạn trên (a, b). Bước 2) So sánh giá trị của f (x) tại các điểm tới hạn và tại a, b suy ra Max, min.

Ví dụ 2.40 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau

a) y = x2e−x trên đoạn [−1, 3].

(cid:20) x = 0 (Nhận) • y(cid:48) = (2x − x2)e−x. y(cid:48) = 0 ⇐⇒ x = 2 Nhận

• y(0) = 0, y(2) = 4 e2 , y(−1) = e, y(3) = 9 e3 . y = e tại x0 = −1. Vậy: min [−1,3] y = 0 tại x0 = 0 và max [−1,3]

b) y = 3(cid:112)(x − 1)2.(x − 4) trên đoạn [0, 5].

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 61

2.6. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

• y(cid:48) = . y(cid:48) = 0 ⇐⇒ x = 3. x − 3 3(cid:112)(x − 1)(x − 4)2

√ 4, y(5) = 3 16. √ Các điểm tới hạn: x1 = 3, x2 = 1, x3 = 4. √ 4, y(0) = − 3 16 √ • y(4) = y(1) = 0, y(3) = − 3 y = − √ y = 3 4 và max [0,5] Vậy min [0,5]

√ √ 4, y(0) = − 3 √ 4, y(5) = 3 √ y = 3 y = − 16 Cách khác Đặt g = y3 = (x − 1)2.(x − 4). Vì hàm y (cid:55)→ y3 là hàm tăng nên f và g cùng cực trị. g(cid:48)(x) = 3(x − 1)(x − 3). g(cid:48)(x) = 0 ⇐⇒ x = 1 ∨ x = 3. √ y(1) = 0, y(3) = − 3 16. Vậy min [0,5] 4 và max [0,5]

c) f (x) = xx trên D = (0, +∞).

f (cid:48)(x) = (cid:0)ex ln x(cid:1)(cid:48) = xx(1 + ln x). y(cid:48) = 0 ⇐⇒ x = . 1 e Bảng biến thiên

x −∞ +∞ 0 1 e

f (cid:48)(x) − + 0

+∞+∞ 11

ee −1 e −1

f (x)

e và không tồn tại max.

f (x) = e −1 Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra min D

Bài tập

Câu 1) Tìm cực trị của các hàm số sau:

(cid:40) x2 − 2x (i) f (x) = x2 − 2x, x ≥ 0 xex, x < 0

√ (a) y = 3 (b) y = x 1 (c) y = e 1

) (d) y = ln(e +

1 x (e) y = (x + 2)e 1 √ (f) y = 3 x3 − x2 − x + 1

x3 + 3x2 √ (g) y = x 3 4 − x (h) y = ex4−2x2+3 (j) f (x) = |x3 + x| − 2x2 (k) y = |x|e x2 (l) y = |x2 − 4x| + 3 (m) y = |x2 − 4x| + 2x √ (n) f (x) = 3 (o) f (x) = x lnx (p) f (x) =|x|(x + 3)

(q) f (x) = x3 + 3x2 + ax. Tìm a để hàm số có 2 cực trị. (r) f (x) = x3 + 3x2 − ax + b. Tìm a, b để hàm số đạt cực tiểu tại (−1, 2). (s) f (x) = x4 + 3x3 − ax + b. Tìm a, b để hàm số đạt cực đại tại (1, 2).

Câu 2) Tìm tiệm cận của các hàm số sau:

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 62

CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 2.6. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ

+ x − 2 (l) y = 3 (cid:114) x3 x + 2 (a) y = x 1 (b) y = e 1

) (c) y = ln(e + (m) y =

(n) y = 3 − x2 1 + x4 ln x x

x + 2 arctan x 1 x (d) y = (x + 2)e 1 (e) y = ln(1 − 1 x) 2x2 + ln(1 + 1 x) x + 1

x3 − x2 − x + 1 √ (o) f (x) = 3 (f) y =

√ (p) f (x) = x − 2 1 + x2 (g) y = (cid:40)

x3 + 3x2 (q) y(x) : x = arctan t y = t3 − 3t2

x2 + 2x + x √ 1 1 + e 1 √ (h) y = 3 √ (i) y = (j) y = e 1 x =   (r) y(x) : √ (k) y = y =  x2 + 4x x2 x2 − 2x t2 + 1 t2 − t t3 + 1 t − 1

Câu 3) Tìm khoảng lồi lõm và điểm uốn

1) f (x) = xe−x. (cid:40) x ≥ 0 2) f (x) = x2 − 2x, −x2, x < 0

3) Tìm a, b để đồ thị hàm số y = x4 + 3x3 − ax2 + bx có điểm uốn là (1, 2). 4) Tìm a, b để đồ thị hàm số y = x4 − 4x3 + ax2 + bx có điểm uốn là (1, 2).

x x−1

Câu 4) Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

2x 1−x2 (cid:113) x3−4x

(h) f (x) = (x − 1)e (m) f (x) = e

x−1 + x

x x−1

+ 2 arctan x (i) f (x) = 2x + 2 − (b) f (x) = (n) f (x) =

(o) f (x) = (x − 1)e

2x 1−x2

(j) f (x) = (a) f (x) = x 1 1 x (c) f (x) = x − 2 arctan x (d) f (x) = |x3 + x| − 2x2. (e) f (x) = e 1

(k) f (x) = (p) f (x) = e x (cid:112)x(x + 2) (q) f (x) = e 1 (cid:40) (f) f (x) = e 1 x − 2 (r) f (x) = x2 − 2x, x ≥ 0 xex, x < 0 (g) f (x) = (x + 2)e 1 3 3(cid:112)(x + 1)2 e−x 1 − x e− 1 1 − x (l) f (x) = 3(cid:112)(x − 1)2(x − 3)

Câu 5) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất:

trên R (a) f (x) = arctan (e) f (x) =

1 − x + x2 1 + x + x2 trên đoạn [0, 1]. √ x x2 + 1 (b) f (x) = |x2 − 3x − 4| trên đoạn [−2, 3] 100 − x2 − x2 trên đoạn x3 − 3x2 trên đoạn [−1, 2]. (f) f (x) = [−5, 5].

− 2 arctan x trên R. (d) f (x) = (g) f (x) = |x|(x + 2) trên [−3, 2]. √ (c) f (x) = 3 1 x

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 63

2 trên R

2.6. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

(h) f (x) = xe− x2 (i) f (x) = |x2 − 4x| + 3 trên [1, 5] (j) f (x) = |x2 − 4x| + 2x trên [1, 5] √ (k) f (x) = x 3 4 − x trên [0, 5].

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 64

CHƯƠNG 3. TÍCH PHÂN

3.1 Tích phân bất định

3.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 3.1 (Nguyên hàm) F (x) gọi là một nguyên hàm của f (x) nếu F (cid:48)(x) = f (x). Ký hiệu là

(cid:90) f (x)dx = F (x) + C

Bảng tích phân bất định thông dụng

3) (cid:82) exdx = ex + C. + C(α (cid:54)= −1). 1) (cid:82) xαdx = xα+1 α + 1

= ln |x| + C. + C 4) (cid:82) axdx = 2) (cid:82) dx x ax ln a

9) (cid:82) = tan x + C. dx cos2 x

10) (cid:82) = − cot x + C. 5) (cid:82) cos xdx = sin x + C. 6) (cid:82) sin xdx = − cos x + C. 7) (cid:82) sinh xdx = cosh x + C. 8) (cid:82) cosh xdx = sinh x + C. dx sin2 x

√ arctan + C. = arcsin + C. 13) (cid:82) 11) (cid:82) x a 1 a dx a2 − x2

x a √ √ = ln |x+ x2 + k|+C. 12) (cid:82) dx x2 + a2 = dx x2 + k

Tính chất

• (cid:82) (f (x) ± g(x))dx = (cid:82) f (x)dx ± (cid:82) g(x)dx. • (cid:82) αf (x)dx = α (cid:82) f (x)dx. • (cid:82) f (x).g(x)dx (cid:54)= (cid:82) f (x)dx. (cid:82) g(x)dx.

3.1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH CHƯƠNG 3. TÍCH PHÂN

3.1.2 Phương pháp tính tích phân bất định

Công thức đổi biến 1

(cid:90) (cid:90) x = x(t) : f (x)dx = f (x(t)).x(cid:48)(t)dt

Công thức đổi biến 2

(cid:90) (cid:90) u = u(x) : f (u).u(cid:48)(x)dx = f (u)du

Công thức tích phân từng phần

(cid:90) (cid:90) udv = u.v − vdu

Ví dụ 3.1 Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến.

= .(− cos 2x) + C = − + C. a) I = (cid:82) sin 2xdx = (cid:82) sin 2x. d(2x) 2 1 2 cos 2x 2

= .ex2 + C. b) (cid:82) xex2dx = (cid:82) ex2. d(x2) 2 1 2

= + C = + C c) (cid:82) (2x + 1)2012dx = (cid:82) (2x + 1)2012. d(2x + 1) 2 1 2 (2x + 1)2013 2013 (2x + 1)2013 4026

= − . 3 − 2x2dx = (cid:82) (3 − 2x2) 1 + C = − . 3(cid:112)(1 − 2x2)4 + C. √ d) (cid:82) x 3 d(3 − 2x2) −4 1 4 1 3 (3 − 2x2) 4 4 3

= ln | ln x| + C. e) (cid:82) = (cid:82) d(ln x) ln x

dx = (cid:82) arcsin x.d(arcsin x) = + C. arcsin2 x 2

+ C. dx x ln x f) (cid:82) arcsin x √ 1 − x2 g) (cid:82) arctan x arctan2 x 2

+ C. h) (cid:82) sin3 x cos xdx = (cid:82) sin3 x.d(sin x) = 1 + x2 dx = (cid:82) arctan x.d(arctan x) = sin4 x 4

i) .

√ dx x 1 − x2

√ = (cid:82) . dx + (cid:82) arcsin x √ 1 − x2 + (cid:82) arcsin x.d(arcsin x) dx = (cid:82) d(1 − x2) −2 I = (cid:82) x + arcsin x √ 1 − x2 1 1 − x2 √ √ .2 1 − x2 + + C = − 1 − x2 + + C = 1 −2 arcsin2 x 2 arcsin2 x 2

Ví dụ 3.2 Tìm nguyên hàm bằng phương pháp tích phân từng phần

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 66

CHƯƠNG 3. TÍCH PHÂN 3.1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

(cid:40) (cid:40)

=⇒ a) I = (cid:82) xexdx u = x dv = exdx

du = dx v = ex I = uv − (cid:82) vdu = xex − (cid:82) exdx = xex − ex + C.

(cid:40) (cid:40)

=⇒ b) I = (cid:82) x cos xdx u = x dv = cos xdx du = dx v = sin x

I = x sin x − (cid:82) sin xdx = x sin x + cos x + C.

(cid:40) √ du =   =⇒ dx 1 − x2 c) I = (cid:82) arcsin xdx u = arcsin x dv = dx v = x √ √ I = x arcsin x − (cid:82) = x arcsin x + 1 − x2 + C  xdx 1 − x2

d) I = (cid:82) x arctan xdx

(cid:40) du =   dx 1 + x2 =⇒ u = arctan x dv = xdx  x2 2

I = arctan x − (cid:82) dx = + (cid:82) v = x2 2(x2 + 1) x2 2 arctan x − (cid:82) dx 2 dx 2(x2 + 1)

arctan x − = + arctan x + C x 2 1 2

x2 2 x2 2 e) I = (cid:82) (x + 1) ln xdx

(cid:40) du =   =⇒ u = ln x v = (x + 1)dx dx x x2 + x 2

I = (  + x). ln x − (cid:82) ( + x)d(ln x) = ( + x) x2 2 x2 2 dx x

= ( + x). ln x − (cid:82) ( + 1)dx = ( + x). ln x − − x + C + x). ln x − (cid:82) ( x2 4 x2 2 x2 2 x2 2 v = x2 2 x 2

ln x (x + 1)2 dx

u = ln x du = f) I = (cid:82)     dx x =⇒ dv =  v = −  1 x + 1

I = − = − + ln (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) + C. x x + 1 dx x(x + 1) ln x x + 1 1 (x + 1)2 dx ln x + (cid:82) x + 1

g) . I = (cid:82) (x2 + 3x)exdx = (x2 + 3x)ex − (cid:82) ex.(2x + 3)dx

= (x2 + 3x)ex − (2x + 3)ex + (cid:82) 2ex.dx = (x2 + 3x)ex − (2x + 3)ex + 2ex + C = (x2 + x − 1)ex + C

h) I = (cid:82) e2x cos xdx

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 67

3.1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH CHƯƠNG 3. TÍCH PHÂN

3.1.3 Nguyên hàm hàm hữu tỷ

Ví dụ 3.3 Tìm nguyên hàm hàm phân thức: mẫu bậc nhất

dx = ln |2x − 3| + C. a) (cid:82)

dx = (cid:82) (x + 2 − )dx = + 2x − ln |2x − 1| + C. 3 3 2x − 3 2 b) (cid:82) 2x2 + 3x − 5 3 2x − 1 x2 2 3 2

dx = (cid:82) (x2 + 2x − 1 + )dx = + x2 − x + ln |3x − 2| + C. 2x − 1 c) (cid:82) 3x3 + 4x2 − 7x + 4 3x − 2 2 3x − 2 x3 3 2 3

dx 1 = . + C = − d) (cid:82) (2x − 1)3 = (cid:82) (2x − 1)−3 d(2x − 1) 2 1 2 (2x − 1)−2 −2 4(2x − 1)2 + C.

dx = . + C = + C. e) (cid:82) (5 − 3x)2 = (cid:82) 1 (5 − 3x)2 . d(5 − 3x) −3 1 −3 −1 5 − 3x 1 3(5 − 3x)

Ví dụ 3.4 Tìm nguyên hàm hàm phân thức:

dx. a) I = (cid:82) 5x − 1 x2 − 1

Mẫu phân tích được thành tích các đa thức bậc nhất

Bước 1. Phân tích mẫu thành nhân tử: x2 − 1 = (x − 1).(x + 1). Bước 2. Phân tich f (x) thành các phân thức đơn giản

= + A x − 1 B x + 1 5x − 1 x2 − 1 ⇐⇒ 5x − 1 = A(x + 1) + B(x − 1) ⇐⇒ 5x − 1 = (A + B)x + A − B. (cid:40) (cid:40)

= + . =⇒ ⇐⇒ =⇒ 5x − 1 x2 − 1 2 x − 1 3 x + 1 A + B = 5 A − B = −1 A = 2 B = 3

+ )dx = 2 ln |x − 1| + 3 ln |x + 1| + C Bước 3. I = (cid:82) ( 2 x − 1 3 x + 1

dx b) I = (cid:82) 1 − 7x 2x2 + 5x + 2

Bước 1. Phân tích mẫu thành nhân tử: 2x2 + 5x + 2 = (x + 2).(2x + 1). Bước 2. Phân tich f (x) thành các phân thức đơn giản

+ = B 2x + 1 A x + 2 1 − 7x 2x2 + 5x + 2 ⇐⇒ 1 − 7x = A(2x + 1) + B(x + 2) ⇐⇒ 1 − 7x = (2A + B)x + A + 2B. (cid:40)

=⇒ =⇒ = + . 1 − 7x 2x2 + 5x + 2 −5 x + 2 3 2x + 1 x = −2 =⇒ A = −5 x = − 1

2 =⇒ B = 3 3 2x + 1

+ )dx = −5 ln |x + 2| + ln |2x + 1| + C Bước 3. I = (cid:82) (− 5 x + 2 3 2

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 68

CHƯƠNG 3. TÍCH PHÂN 3.1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

dx x2 + x − 2

= 2x + 1 − c) I = (cid:82) 2x3 + 3x2 − 4x − 7 2x3 + 3x2 − 4x − 7 x2 + x − 2 x + 5 x2 + x − 2

= = + x + 5 x2 + x − 2 x + 5 (x − 1)(x + 2) A x − 1

⇐⇒ x + 5 = A(x + 2) + B(x − 1). B x + 2 (cid:40) x = 1 =⇒ A = 2 x = −2 =⇒ B = −1

= 2x + 1 − + 2x3 + 3x2 − 4x − 7 x2 + x − 2 2 x − 1 1 x + 2 =⇒ I = x2 + x − 2 ln |x − 1| + ln |x + 2| + C.

dx. d) I = (cid:82) 2x2 + 3x − 1 x3(x + 1)

= + (1) Phân tích f (x) = 2x2 + 3x − 1 x3(x + 1) A x B x2 + C x3 + D x + 1 ⇐⇒ 2x2 + 3x − 1 = Ax2(x + 1) + Bx(x + 1) + C(x + 1) + Dx3 (2)

• x = 0 =⇒ C = −1

• x = −1 =⇒ D = 2

• Nhân x vào (1) rồi cho x → ∞ suy ra 0 = A + D =⇒ A = −D = −2

• x = 1 =⇒ B = 4.

(cid:19) + dx = −2 ln |x| − + I = (cid:82) (cid:18) −2 x 4 x2 − 1 x3 + 2 x + 1 4 x 1 2x2 + 2 ln |x + 1| + C

Ví dụ 3.5 Tìm nguyên hàm phân thức

(cid:82) arctan Mẫu bậc 2 vô nghiệm dx x2 + a2 = 1 a x a

√ √ (cid:82) = = . . arctan + C = . arctan x 3 + C. 1. I = (cid:82) dx 3x2 + 1 1 3 1 3 3 3 )2 dx x2 + ( 1√ 3 1 1√ 3 1 1√ 3

2. .

= (cid:82) . 1 (2x + 1)2 + 16

= arctan . + C = arctan + C I = (cid:82) 1 2 dx 4x2 + 4x + 17 1 4 2x + 1 4 d(2x + 1) 2 2x + 1 4 1 8

3. I = (cid:82) dx. 4x − 1 x2 + 2x + 2 Ta phân tích:

TỬ= α. (Mẫu)’ + β

= 2 ln |x2 − 2x + 2| − 5 arctan(x − 1) + C 4x − 1 = 2(2x + 2) − 5, ta viết lại tích phân I = 2 (cid:82) (2x + 2)dx − 5 (cid:82) x2 − 2x + 2 dx (x − 1)2 + 1

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 69

3.1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH CHƯƠNG 3. TÍCH PHÂN

4. .

)dx

I = (cid:82) 2x3 + 5x2 − 2 2x + 7 dx = (cid:82) (2x + 5 − x2 + 1 x2 + 1 2x 1 = x2 + 5x − (cid:82) dx − 7 (cid:82) dx x2 + 1 x2 + 1 = x2 + 5x − ln |x2 + 1| − 7 arctan x + C

5. I = (cid:82) dx. 5x2 + 7x (x − 1)2(x2 + 4x + 7)

= + (1) Phân tích f (x) = 5x2 + 7x (x − 1)2(x2 + 4x + 7) A x − 1 B (x − 1)2 + Cx + D x2 + 4x + 7 ⇐⇒ 5x2 + 7x = A(x − 1)(x2 + 4x + 7) + B(x2 + 4x + 7) + (Cx + D)(x − 1)2

• x = 1 =⇒ 12 = 12B =⇒ B = 1

• x = 0 : −7A + 7B + D = 0 ⇐⇒ 7A − D = 7 (2) • Nhân x vào (1), cho x → ∞ suy ra A + C = 0 (3) • Thế x = −1 : −2 = −8A + 4B + 4(−C + D) ⇐⇒ −8A − 4C + 4D = −6 (4)

, C = − ; D = − Từ (2)-(4) suy ra A = 11 12 11 12 7 12

11 2 (2x + 4) − 15 (x + 2)2 + 3

(cid:19) (cid:82) + = ln |x−1|− − = (cid:18)11/12 x − 1 11 12 1 12 11x + 7 x2 + 4x + 7 1 x − 1 1 12

ln |x − 1| − ln |x2 + 4x + 7| + I = (cid:82) 11 12 1 (x − 1)2 − 11 1 − 24 x − 1 15 12

3.1.4 Nguyên hàm hàm lượng giác

Hàm lượng giác

• Dạng (cid:82) sinm x. cosn xdx

• Dạng bậc nhất theo sin, cos: Đặt t = tan i) Nếu cos bậc lẻ: đặt t = sin x. ii) Nếu sin bậc lẻ: Đặt t = cos x. iii) Nếu sin, cos đều chẵn: đặt t = tan x x 2

Các công thức thường gặp

cos x = dx = , sin x = 2dt t2 + 1 2t 1 + t2 , 1 − t2 1 + t2

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 70

CHƯƠNG 3. TÍCH PHÂN 3.1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

Ví dụ 3.6 Tìm nguyên hàm các hàm số lượng giác sau

+ C = ln + C. 1 − t2 = dx. Đặt t = cos x =⇒ dt = − sin xdx. 1 − t 1 + t 1 − cos x 1 + cos x 1 2

2 | + C

ln |t| + C = ln | tan x 2dt 1 + t2 = 1 2 1 2

a) I = (cid:82) dx sin x Cách 1 I = (cid:82) sin x sin2 x I = (cid:82) −dt 1 ln 2 Cách 2: I = (cid:82) 1 + t2 2t b) (cid:82) tan7 xdx

t I = (cid:82) − + − arctan t + C = ... Đặt t = tan x ⇐⇒ x = arctan t =⇒ dx = t7 1 + t2 dt (cid:82) (t5 − t3 + t − 1 + t2 )dt = dt 1 + t2 t6 6 t4 4 t2 2

dx c) (cid:82) sin x + cos x 2 sin x − 3 cos x Phân tích T U = α.M au + β.(M au)(cid:48)

(cid:40) α =   sin x + cos x = α(2 sin x − 3 cos x) + β(2 cos x + 3 sin x) ⇔ ⇔ 2α + 3β = 1 −3α + 2β = 1 β =  −1 13 5 13 (cid:19) I = (cid:82) + x + ln |2 sin x − 3 cos x| + C dx = (cid:18) −1 13 5 13 2 cos x + 3 sin x 2 sin x − 3 cos x −1 13 5 13

2dt 1 − t2 1 + t2 dt I = (cid:82) 1 + t2 = (cid:82) 1 + 2t − t2 (t2 + 2)(t2 + 1) d) (cid:82) sin x + cos x 3 + cos x Đặt t = tan x 2 . 2t 1 + t2 + 3 +

= Phân tích 1 − t2 1 + t2 1 + 2t − t2 (t2 + 2)(t2 + 1)

Ct + D 1 + t2 ⇐= A = −2, B = 3, C = 2, D = −2. + ln(1 + t2) − 2 arctan t + C Suy ra I = − ln(2 + t) + At + B 2 + t2 + t √ arctan 2 3 √ 2

cos xdx = (cid:82) e) I = (cid:82) sin2 x cos3 x I = (cid:82) sin2 x cos4 x D + , B = C = D = . Phân tích C 1 + t (1 + t)2 =⇒ A = − 1 4 1 4

+ C ln Vậy I = − t2 (1 − t2)2 = 1 1 1 + 4 t − 1 4 t + 1 t − 1 dx Đặt t = sin x =⇒ dt = cos xdx t2 (1 − t2)2 dt B A (t − 1)2 + + t − 1 (cid:12) (cid:12) 1 1 (cid:12) (cid:12) − (cid:12) (cid:12) 1 + t 4 (cid:12) (cid:12)

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 71

3.1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH CHƯƠNG 3. TÍCH PHÂN

dx f) (cid:82) sin2 x 1 + cos2 x

= Đặt t = tan x =⇒ dx = 1 1 + tan2 x 2 + t2 1 + t2 ,

sin2 x = tan2 x cos2 x = dt 1 + t2 , 1 + cos2 x = 1 + t2 1 + t2 √ dt = 2 arctan − arctan x + C I = (cid:82) t2 1 + t2 . 1 + t2 2 + t2 1 + t2 = (cid:82) t2dt (1 + t2)(2 + t2) x √ 2

Ví dụ 3.7 Tìm nguyên hàm

a) I = (cid:82) sin3 x. cos2 xdx = (cid:82) sin2 x cos2 x. sin xdx.

+ C = − − + C = (cid:82) (t4 − t2)dt = Đặt t = cos x =⇒ dt = − sin xdx. I = (cid:82) (1 − cos2 x) cos2 x. sin xdx = (cid:82) (1 − t2).t2.(−dt) t3 3 cos5 x 5 cos3 x 3 t5 5

cos xdx b) I = (cid:82) sin2 x cos x dx = (cid:82) sin2 x cos2 x

Đặt t = sin x =⇒ dt = cos xdx cos xdx = (cid:82) I = (cid:82) sin2 x 1 − sin2 x (cid:21) = (cid:82) ( dt − 1)dt = (cid:82) + 1 (1 − t).(1 + t) t2 1 − t2 dt (cid:20)1 ( 2

= [− ln |1 − t| + ln |1 + t|] − t + C = . ln − t + C 1 1 − t 1 2 1 + t 1 − t 1 1 + t (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ) − 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

= . ln − sin x + C 1 2 1 2 sin x + 1 sin x − 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

c) (cid:82) .

=⇒ dx = x 2 2 2 I = (cid:82) = (cid:82) dt = (cid:82) + C = − + C 2dt t2 + 1 2 t2 + 2t + 1 (t + 1)2 d(t + 1) = − 2 t + 1 dx 1 + sin x Đặt t = tan 2dt t2+1 1 + 2t t2+1 tan x 2

d) (cid:82) tan5 xdx

dt t2 + 1 Đặt t = tan x =⇒ x = arctan t =⇒ dx = (cid:21) (cid:20) I = (cid:82) t5. = (cid:82) t3 − t + dt = − + (cid:82) = − + dt t2 + 1 1 1 + t2 . d(t2 + 1) 2 t4 4 t2 2

ln (cid:12) − + ln (cid:12) (cid:12)1 + t2(cid:12) (cid:12) + C = t4 t2 4 2 (cid:12)1 + tan2 x(cid:12) (cid:12) + C 1 2 tan4 x 4 t 1 + t2 1 2 tan2 x 2

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 72

CHƯƠNG 3. TÍCH PHÂN 3.1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

3.1.5 Nguyên hàm hàm vô tỷ

ax + b √ • Biểu thức trong căn bậc nhất n

ax + b √ Đặt t = n

• Biểu thức trong căn bậc hai √ a2 − x2 : i) √ a2 + x2 : ii) đặt x = a sin t đặt x = a tan t √ x2 − a2 : iii) đặt x = a sin t √ ax2 + bdt • Dạng (cid:82) xn √ i) n lẻ: đặt t = ax2 + b (cid:114) a + ii) n chẵn: đặt t = b x2

• Dạng 1 √ ax2 + bx + c

Đặt t = (αx + β)m 1 αx + β

Ví dụ 3.8 Tìm nguyên hàm

√

a) I = (cid:82) dx.

2x + 1 x + 1 √ 2x + 1 =⇒ x = Đặt t = =⇒ dx = tdt.

dt tdt = (cid:82) I = (cid:82) t2 − 1 2 2t2 t2 + 1

(cid:19) t t2 − 1 2 (cid:18) 1 − dt = 2 [t − arctan t] + C √ = 2 (cid:82) √ + 1 1 t2 + 1 2x + 1 − arctan 2x + 1) + C

b) (cid:82) dx. = 2( √ 3 √ 1 + 3

x − 1, I = − ln(1 + t2) + C x + 1 x2 + 2x + 1 √ Đặt t = 3 3t2 2 3 2

√ √ √ ln |x + I = 2 + 2x2 + 6x − 1| + C c) (cid:82) dx 2x2 + 6x − 1 1 √ 2 3 √ 2

√ I = arcsin + C d) I = (cid:82) 1 3 dx 1 + 5x − 3x2 2x − 10 √ 37

√ √ √ = = 2 x2 − 6x − 1 + 9 ln |x − 3 + x2 − 6x − 1| + C. e) (cid:82) 2x + 3 x2 − 6x − 1 1(2x − 6) + 9 √ x2 − 6x − 1

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 73

3.1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH CHƯƠNG 3. TÍCH PHÂN

(−1 − 10x)+ − 3 10 √ √ dx = (cid:82) = 3x − 1 2 − x − 5x2 2 − x − 5x2

x2 + kdx

a2 − x2dx f) (cid:82) g) (cid:82) √ h) (cid:82) √

√ i) (cid:82) x2 + 1 2x2 + x − 1 √

dx 9 − x2 x

− sin t)dt

= 3(ln j) I = (cid:82) Cách 1 Đặt x = 3 sin t =⇒ dx = 3 cos tdt √ (cid:112) 9 − 9 sin2 t = 3 cos t 9 − x2 = 3 cos tdt = 3 (cid:82) cos2 t I = (cid:82) 3 cos t 3 sin t sin t = 3 (cid:82) 1 − sin2 t 1 dt = 3 (cid:82) ( sin t (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) + cos t) + C, với t = arcsin (cid:12)tan x 3 sin t t 2

√ √

Cách 2 Đặt t = I = (cid:82) xdx = (cid:82)

)dt = (cid:82)

))dt = t + (cid:12)t + 3(cid:12) (cid:12)) + C 9 − x2 =⇒ t2 = 9 − x2 =⇒ tdt = −xdx 9 − x2 t x2 t2 t2 − 9 3 2 √ (cid:12)t − 3(cid:12) √ √ 9 − x2 + + C = . ln ln = t + + C 9 − t2 (−tdt) 9 dt = (cid:82) (1 + (t + 3)(t − 3) 3 1 (ln (cid:12) 2 t + 3 3 2 = (cid:82) (1 + 3 2 1 t − 3 t − 3 t + 3 − (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ( (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) − ln (cid:12) 9 − x2 − 3 9 − x2 + 3

√ k) I = (cid:82) dx 1 + x2

x Cách 1 Đặt x = tan t =⇒ dx = √ √ dt cos2 t (cid:114) 1 = 1 + x2 = 1 + tan2 t = cos2 t

I = (cid:82) = ln ) (cid:12) (cid:12) (cid:12) + C = ln (cid:12) (cid:12) (cid:12)tan( (cid:12) (cid:12) (cid:12) + C 1 tan t dt cos2 t = (cid:82) dt sin t 1 cos t (cid:12) t (cid:12) (cid:12)tan 2 tan x 2 1 1 cos t

√

Cách 2 Đặt x = sinh t : tương tự như trên với chú ý cosh2 t − sinh2 t = 1 Cách 2: Đặt t = I = (cid:82) x2 xdx √ 1 + x2 dt )dt

= . ln + C x2 + 1 =⇒ t2 = 1 + x2 =⇒ tdt = xdx tdt (1 − t2)t 1 1 − 1 − t 1 + t (cid:12)1 − t(cid:12) (cid:12)) + C = = (cid:82) 1 − t2 = (cid:82) 1 ( 2 (cid:12) + ln (cid:12) (cid:12)1 + t(cid:12) (ln (cid:12) 1 2 1 + t 1 − t (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) = (cid:82) 1 2 Cách 3:

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 74

CHƯƠNG 3. TÍCH PHÂN 3.2. TÍCH PHÂN SUY RỘNG

Đặt t = sinh x Cách 4 Đặt t = 1 x Cách 5 √ x2 + 1 =⇒ x = Đặt t − x = t2 − 1 2t

. l) (cid:82) 3 − 2x2

dx √ (4x2 + 1) (cid:114) 3 Đặt t = x2 − 2

dx √ m) (cid:82) (x + 1)

Đặt t = x2 + 1 1 x + 1

n) (cid:82) dx √ x2 + x + 1 (x − 1)2

Đặt t = 1 x − 1

√ o) I = (cid:82) dx 4x − 2x2 + 1 (x2 − 2x) √

dx p) I = (cid:82) x2 + x + 1 x

3.2 Tích phân suy rộng

Bài tập

Bài 1. Tìm nguyên hàm

(f) (cid:82) (2x + 1) arctan x.dx √ − + 4ex)dx dx (a) (cid:82) ( (j) (cid:82)

dx (g) (cid:82) dx (k) (cid:82) √ 3 7x − 12 2x2 − 7x + 6

√ dx (l) (cid:82) . (h) (cid:82) dx cos x √

(i) (cid:82) x + 2 x + 1 + 1 dx cos4 x x3 4 − x2 (m) (cid:82) tan4 xdx (n) (cid:82) (x2 + 2).e2xdx 3 5 √ x x (b) (cid:82) 2x2 − 3x x (c) (cid:82) x2 sin(1 − 3x3)dx dx (d) (cid:82) x2 + 2x − 4 (e) (cid:82) cos 2x.(x2 + 2x).dx dx 5 + 4 cos x

Bài 2. Tìm nguyên hàm hàm hữu tỷ sau

dx (a) (cid:82) (e) (cid:82) dx (c) (cid:82) 2x2 + 3x − 1 2x + 3 (5x − 1)6 dx 2x + 3 4x2 + 3x + 5 x4 + x

dx (f) (cid:82) (b) (cid:82) (d) (cid:82) 4x + 3 x3 − 2x2 + x dx 2x2 − 3x + 5 x2 + 1 x2 − x + 1

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 75

3.2. TÍCH PHÂN SUY RỘNG CHƯƠNG 3. TÍCH PHÂN

(j) (cid:82) 4x − 1 2x2 − x + 3 x2 + 1 x3 + 2x2 + 3x

dx dx (m) (cid:82) (n) (cid:82) x4 + 2 x3 + 1

dx (l) (cid:82) dx (x2 + 1)2 (k) (cid:82) (2x + 1)dx x(x2 + 1)2 5dx 3x2 − x + 7 (g) (cid:82) (h) (cid:82) x4 + 1 x4 − x (i) (cid:82) x2 + 1 x4 + 1

Bài 3. Tìm nguyên hàm hàm lượng giác sau

dx a) (cid:82) dx cos x

dx dx b) (cid:82) sin4 x − 2 sin2 x

dx d) (cid:82) 2 sin 2x − cos 2x sin x + cos x e) (cid:82) 3 sin x + cos x 1 + sin x f) (cid:82) 3 sin2 x + cos 2x cos x c) (cid:82) (tan x + 3 tan5 x)dx sin2 x − 3

Bài 4. Tìm nguyên hàm hàm vô tỷ sau √ √ x + 1 − 2 3 x + 1 √ √ (p) (cid:82) dx dx (i) (cid:82) (a) (cid:82) x2 − 1

dx (2x + 1)2 √ dx (b) (cid:82) x √ (j) (cid:82) dx (q) (cid:82) x2 + x + 1 x3 √ √ (c) (cid:82) dx (x2 − 3x) 2x2 − 5x − 1 (x3 + 2x) x2 + x + 1 (k) (cid:82) x3 − x + 1 √ x2 − x + 1 dx (r) (cid:82) x2 + x + 1 x √ dx (d) (cid:82) √ (l) (cid:82) x dx √ (s) (cid:82) x2 − x + 1 √ (e) (cid:82) dx x2 − 4 dx √ (m) (cid:82) (4x2 + 1)

dx √ (n) (cid:82) x3 (t) (cid:82) x3 − x + 1 √ x2 + x + 1 2 − 3x2 dx 3x2 − 6x − 2

(x2 − 2x) dx xdx √ √ (u) (cid:82) (o) (cid:82) x (cid:114) x + 1 x − 1 dx 2x − 3x2 + 3 dx 5x2 − 3x − 1 (3x + 2)dx x − 5x2 + 1 (2x − 1)dx 3x2 − 7x − 5 3x2 − 2x − 1dx 3 − 4x − 5x2dx (f) (cid:82) √ (g) (cid:82) √ (h) (cid:82) √ (x3 − 1) x2 − 1 x x2 − 2x − 3

+∞ (cid:82)

Bài 5. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng

4 (cid:82)

+∞ (cid:82)

0 +∞ (cid:82)

√ sin x √ 2x2 + x − ln6 x √ dx (g) (l) (a) x x − 1 x3 + 3x2 dx x + 1 ln x √ 2x + x √ (b) dx (h) (m) x( ex − 1 ln x − ln(x + 1) √ x

+∞ (cid:82)

1 x2

0 +∞ (cid:82)

+∞ (cid:82)

+ π 2(cid:82)

0 1 (cid:82)

+∞ (cid:82)

0 +∞ (cid:82)

(x2 + 1) dx x − 2) x + 1 √ dx (c) (cid:20) (cid:21) √ x2 + x (i) x cos − e dx (n) 1 + sin x ln x − 3x2 dx 1 x (d) √ x2 ln2 xdx x + x2 x dx (o) dx (j) sin x √ x tan x − sin x dx (e) √ x) ln(1 + dx dx (k) (p) √ dx (f) ex − 1 sin2 x − cos 1 x x2 2x + 1 √ x − x2 3x − x2 − 1 x3 + 3x x

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 76

CHƯƠNG 3. TÍCH PHÂN 3.2. TÍCH PHÂN SUY RỘNG

+∞ (cid:82)

Bài 6. Tìm điều kiện tham số để tích phân sau hội tụ

+∞ (cid:82)

dx (a) (f) I =

+∞ (cid:82)

(b) (g) I = arctan 3x xα xαdx x3 + sin x

+∞ (cid:82)

3 arctan

+∞ (cid:82)

1 + ln dx. (d) I = x 4α (i) I = dx (x3 + ln(1 + x))xα . e 3 x − 1 α √ x 1 + xα dx. √ ln(1 + x) dx xα|1 − x|β (e) (j) I = exα − 1

∞(cid:82)

+∞ (cid:82)

Bài 7. Tính tích phân suy rộng

e +∞ (cid:82)

dx. (a) I = √ (l) I =

1 (cid:82)

0 +∞ (cid:82)

(b) I = (m) I = . dx 2e2x + 2ex + 1 √ 2 − 3 √ 5 x − x3 x3

1 (cid:82)

−1

2 +∞ (cid:82)

∞ (cid:82)

1 +∞ (cid:82)

∞ (cid:82)

+∞ (cid:82)

(c) I = 1 x ln2 x x e2x dx. 2x2 − x + 1 x(x − 1)3 dx. dx √ . (n) I = (4 − x) 1 − x2 √ (d) I = dx dx (1 + x)2 x √ (o) I = x x10 + x5 + 1 (e) I = . arctan xdx (cid:112)(x2 + 1)3 √ (p) I = . dx x2 + 1 x2 (f) I =

0 +∞ (cid:82)

+∞ (cid:82)

0 +∞ (cid:82)

+∞ (cid:82)

dx √ (q) I = (x + 1) x2 + 1 (g) I = . (5x2 + 16x + 7)dx (x2 + 3x + 2)(x2 + 2x + 5) 2x2 + 6 ex+1 dx √ (r) I = x x2 + x − 1 (h) I = cos xdx ex

0 +∞ (cid:82) √

+∞ (cid:82)

. (s) I = √ 3 √ (i) I = . dx √ x13 3 1 + x2 dx x2 + 1 x

1 (cid:82)

√ (t) I = dx √ (j) I = . dx (4x2 + 1) x2 + 1 1 − x

+∞ (cid:82)

2 (cid:82)

dx √ (u) I = (k) I = √ ( x2 + 1 + x)2 (3 + x) x2dx x2 − 1

Bài 8. Cho tích phân I = (cid:82) +∞ . Tìm α để tích phân hội tụ. Tính tích phân dx (x + 1)(cid:112)(x2 − x)α khi α = 1. √ 2) √ ĐS: 0 < α < 2, I = − . ln(3 − 2 2

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 77

3.3. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN CHƯƠNG 3. TÍCH PHÂN

dx Bài 9. Cho tích phân I = (cid:82) +∞

− arctan + . α = 1. ĐS: α > −2, I = ln 2 2 xα(x+1)(x2+x+2) . Tìm α để tích phân hội tụ. Tính tích phân khi π √ 7 2 1 √ 7 3 √ 7

Bài 10. Cho tích phân I = (cid:82) 2 . Tìm α để tích phân hội tụ. Tính tích phân dx (x2 + 1)(cid:112)(4 − x2)α khi α = 1.

3.3 Ứng dụng hình học của tích phân

3.3.1 Diện tích hình phẳng

Diện tích miền phẳng D giới hạn bởi y = f (x), y = g(x), x = a, x = b là

(cid:90) |f (x) − g(x)|dx S(D) =

Ví dụ 3.9 Tính diện tích miền D giới hạn bởi y = ln x, y = x − 1, x = e.

Phương trình hoành độ giao điểm: ln x = x − 1 ⇐⇒ x = 1. Công thức diện tích

e (cid:82)

(cid:90) (ln x − x + 1)dx = = = −2e. S(D) = | ln x−x+1|dx = x ln x − 2e − − e2 + 1 2 x2 2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) e2 2 1 2

Ví dụ 3.10 Tính diện tích miền D giới hạn bởi y = x2, x + y = 2, y = 0.

1 (cid:90)

2 (cid:90)

Cách 1 Các hoành độ giao điểm của 3 hàm số trên là x = 0, x = 1, x = 2. Ta chia miền D làm 2 phần

+ = S(D) = x2dx + (2 − x)dx = 1 3 1 2 5 6

√ y, x = 2 − y, y = 0. √ y = 2 − y ⇐⇒ y = 1.

1 (cid:90)

Cách 2 Ta viết hàm số theo biến y : x = Phương trình tung độ giao điểm Công thức diện tích theo biến y

1 (cid:82)

√ y − 2 + y(cid:12) S(D) = = = y − 2 + y)dy √ ( − (cid:12) (cid:12) (cid:12) dy = 5 6 5 6 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Ví dụ 3.11 Tính diện tích miền D giới hạn bởi y = log3x, y = 4 − x, y = 0.

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 78

CHƯƠNG 3. TÍCH PHÂN 3.3. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN

4 (cid:90)

3 (cid:90)

Cách 1: Chia D làm 2 miền. 3 hoành độ giao điểm cua 3 đường là: x = 1, 3, 4.

(4 − x)dx = − S(D) = S(D1) + S(D2) = log3xdx + 7 2 2 ln 3

1 (cid:90)

Cách 2: Tính theo biến y. Miền D : x = 3y, x = 4 − y, y = 0. Phương trình tung độ giao điểm 3y = 4 − y ⇐⇒ y = 1.

(cid:21)1 = − . S(D) = = − − 4y + (cid:12)3y − 4 + y(cid:12) (cid:12) (cid:12) dy = 7 2 2 ln 3 2 ln 3 7 2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:20) 3y ln 3 y2 2

3.3.2 Độ dài đường cong

Cho đường cong C : y = f (x), x ∈ [a, b]. Độ dài đường cong C là

(cid:90) l(C) = (cid:112)1 + f (cid:48)(x)2dx

Ví dụ 3.12 Tính độ dài đường cong C : y = x2, x ∈ [0, 1].

Công thức độ dài

1 (cid:90)

(cid:21)1 √ √ √ l(C) = = (cid:112)1 + (2x)2dx = 1 + 4x2 + ln (cid:12) √ [ 5 + ln(2 + 5)] 1 + 4x2(cid:12) (cid:12) (cid:12)2x + (cid:20)2x 2 1 2 1 2 1 2 1 2

Ví dụ 3.13 Tính độ dài đường cong C : y = ln x, x ∈ [1, 3].

√

√ (cid:114) (cid:112)1 + y(cid:48)2 = 1 + . Ta có √ 1 x2 = √ 3 (cid:82) dx = Công thức độ dài l(C) = xdx. x2 + 1 x x2 + 1 x √ Đặt t = x2 + 1 x2 x2 + 1 ⇐⇒ x2 = t2 − 1 =⇒ xdx = tdt.

√ (cid:90)

√

(cid:20) (cid:21) √ √ √ √ √ √ l(C) = tdt = t + ln = 10 − 2 + ln − . 1 2 1 2 1 2 t t2 − 1 t − 1 t + 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 10 − 1 10 + 1 2 − 1 2 + 1

√ √ x − Ví dụ 3.14 Tính độ dài đường cong C : y = x , x ∈ [0, 1]. x 3

(cid:115) √ (cid:114) (cid:19)2 (cid:19)2 (cid:18) 3 (cid:115)(cid:18) 3 √ x x (cid:112)1 + y(cid:48)2 = 1 + − = 1 + − + = − = 2 9x 4 1 2 1 36x 2 1 √ 6 x 1 √ 6 x

Ta có √ 3 x + . 2 1 √ 6 x

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 79

3.3. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN CHƯƠNG 3. TÍCH PHÂN

Công thức độ dài

1 (cid:90)

√ √ (cid:19) (cid:20) (cid:21)1 √ (cid:18)3 x dx = x l(C) = + x + = 2 x 3 4 3 1 √ 6 x

3.3.3 Thể tích vật thể tròn xoay

b (cid:82)

Cho miền D giới hạn bởi y = f (x), Ox, x = a, x = b. Thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra khi cho D quay quanh Ox và Oy là

a b (cid:82)

y2dx VOx = π

|xy|dx VOy = 2π

Chú ý

• Khi D quay quanh Ox thì không được cắt Ox. Tương tự cho Oy.

• Miền D giới hạn bởi Ox thì công thức tích phân theo x. Nếu D giới hạn bởi Oy thì ta có công thức tương tự bằng cách đổi vai trò x,y cho nhau.

Ví dụ 3.15 Cho miền D giới hạn bởi : y = x2, y = x + 2. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho D quay quanh trục Ox và trục Oy.

2 (cid:90)

2 (cid:82)

Phương trình hoành độ giao điểm x2 = x + 2 ⇐⇒ x = −1 ∨ x = 2. Công thức thể tích

−1

π (x2 − x − 2)dx = = . − VOx = π (cid:12)x4 − (x + 2)2(cid:12) (cid:12) (cid:12) dx = 72 5 72 5 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Vì miền D cắt trục Oy nên công thức không đúng nữa. Ta bỏ qua VOy.

Ví dụ 3.16 Cho miền D giới hạn bởi : y = x2 − 2x, y = x. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho D quay quanh trục Ox và trục Oy.

Phương trình hoành độ giao điểm x2 − 2x = x ⇐⇒ x = 0 ∨ x = 3

a) VOx. Vì miền D bị cắt bởi trục Ox nên công thức không đúng. Bài này khó, ta không tính.

3 (cid:90)

b) VOy. Công thức

. (3x2 − x3)dx = VOy = 2π (cid:12)x(y1 − y2)(cid:12) (cid:12) (cid:12) dx = 2π (cid:12)x(x2 − 2x − x)(cid:12) (cid:12) (cid:12) dx = 2π 27π 2

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 80

CHƯƠNG 3. TÍCH PHÂN 3.3. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN

3.3.4 Diện tích mặt tròn xoay

b (cid:82)

Diện tích mặt tròn xoay khi cho C : y = f (x), x ∈ [a, b] quay quanh trục Ox và Oy là

a b (cid:82)

|y|(cid:112)1 + y(cid:48)2dx SOx = 2π

|x|(cid:112)1 + y(cid:48)2dx SOy = 2π

√ x, x ∈ [0, 1]. Tính diện tích mặt tròn xoay được tạo ra cho C quay quanh Ví dụ 3.17 Cho C : y = trục Ox, Oy.

(cid:114) (cid:112)1 + y(cid:48)2 = 1 + = Ta có . 1 4x (cid:114)4x + 1 4x Công thức

1 (cid:82)

√ √ √ √ 5 dx = 2π dx = π x 1 + 4x). (đặt t = a) SOx = 2π (cid:114)4x + 1 4x 1 + 4x 2 5 − 1 6

1 (cid:82)

4)2 − (cid:20)√

4 +

b) Công thức (cid:114) √ dx = π 4x2 + xdx = π (2x + 1 dx SOy = 2π (cid:114) 4x + 1 4x (cid:21)1 (cid:21) . √ √ √ ln |2x + 1 ln(9 + 4 = 4x2 + x − 4x2 + x| 5 − 5) = x 0 (cid:20)2x 2 π 2 1 32 π 2 1 16 1 32

√ 4 − x2. Tính diện tích mặt tròn xoay khi cho C quay quanh trục Ox và Ví dụ 3.18 Cho C : y = Oy.

√ Ví dụ 3.19 Cho đường cong C : y = 2x − x2.

1. Tính diện tích miền D giới hạn bởi C và trục Ox.

2. Tính độ dài đường cong C

3. Tính thể tích vật thể được tạo ra khi cho D quay quanh trục Ox và trục Oy.

4. Tính diện tích mặt tròn xoay khi cho C quay quanh trục Ox và trục Oy.

Bài tập

1. Tính diện tích miền phẳng

(a) y = arcsin x, y = −x2, x = −1, x = 1. (b) D : y = ln x, y = x, x = 0, x = 1.

√ 1 − x (d) y = x2, y = x + 2. (e) D : y = x − x2, y = x

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 81

3.3. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN CHƯƠNG 3. TÍCH PHÂN

(f) y = xex, y = −x, x = 1. (g) (cid:52)OAB : A(2; 3), B(3; 2).

2. Tính độ dài đường cong √ 2x − x2, 1/2 < x < 1

− , x = 1..3 (c) y = ln x 4

1 + ex/2, x = 1.. ln 9 (a) y = (b) y = ex, x = 0..1 x2 2 √ (d) y = 2

3. Tính thể tích vật thể tròn xoay √

√ 4 − x2, y = 0, y ≥ x. Tính VOx, VOy. xe−x, y = 0, x = 2 Tính VOx. (a) D : y = (b) y = x2, y = x + 2, x ≥ 0. Tính VOx, VOy. (c) y =

(d) y = x, y = , x = 2. Tính VOx, VOy. 1 x

(e) y = ln x, y = 0, x = 1, x = 2. Tính VOx, VOy.

4. Tính diện tích mặt tròn xoay √ 1 + x2, x = 0..1/4. Tính SOx, SOy.

(a) C : y = (b) C : y = ln x, x = 1..e. Tính SOy.

5. Cho miền D giới hạn bởi y = 2x2, y = , y = x. x2 2

(a) Tính diện tích D.

, x ∈ [0, 1]. (b) Tính độ dài đường cong C : y = x2 2

(c) Tính diện tích mặt tròn xoay khi cho C quay quanh Ox và Oy. (d) Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho D quay quanh Ox, Oy.

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 82

CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

4.1 Phương trình vi phân cấp 1

4.1.1 Phương trình vi phân tách biến

Phương trình vi phân Tách biến dạng

f (x)dx = g(y)dy

Nghiệm (cid:90) (cid:90) f (x)dx = g(y)dy

Ví dụ 4.1 Giải phương trình vi phân (2 + 3y2)dy − 2xdx = 0, y(0) = 0.

Bài giải Lấy nguyên hàm 2 vế

(cid:90) (cid:90) (2 + 3y2)dy − 2xdx = 0 ⇐⇒ 2y + y3 − x2 + C = 0

y(0) = 0 =⇒ C = 0 Vậy nghiệm là 2y + y3 − x2 = 0

Ví dụ 4.2 Giải phương trình vi phân 3y2y(cid:48) = 2x, y(0) = 1

Bài giải Phương trình trở thành

(cid:90) (cid:90) = 2x ⇐⇒ 3y2dy = 2xdx ⇐⇒ 3y2dy = √ 2xdx ⇐⇒ y3 = x2 + C ⇐⇒ y = 3 x2 + C. 3y2 dy dx

x2 + 1 √ y(0) = 1 =⇒ 1 = 3 02 + C =⇒ C = 1 √ Vậy nghiệm là y = 3

√ 1 − x2y(cid:48) = 0 Ví dụ 4.3 Giải phương trình vi phân x + y

Bài giải Phương trình trở thành

(cid:90) (cid:90) √ √ √ √ x+y = 0 ⇐⇒ +ydy = 0 ⇐⇒ + ydy = 0 ⇐⇒ − 1 − x2+ +C = 0 1 − x2 dy dx y2 2 xdx 1 − x2 xdx 1 − x2

√ 1 − x2 + + C = 0 y2 2 √ 1 − x2 − 2C. Vậy nghiệm tổng quát là − Hay có thể viết y2 = 2

4.1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Ví dụ 4.4 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân xy(cid:48) − y = 0

Bài giải Phương trình được viết lại

= ⇐⇒ = ⇐⇒ ln |y| = ln |x| + C ⇐⇒ ln (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) = C ⇐⇒ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) = eC (cid:12) y x y x dy y dx x (cid:90) dy y (cid:90) dx x

Ví dụ 4.5 Tìm nghiệm của phương trình vi phân y(cid:48) = 3x2y, y(0) = 2

Bài giải Phương trình được viết lại

= 3x2dx ⇐⇒ ln |y| = x3 + C ⇐⇒ |y| = ex3+C = eC.ex3 dy y

y(0) = 2 =⇒ |2| = eC.e0 =⇒ eC = 2 Vậy nghiệm của phương trình là |y| = 2ex3.

Ví dụ 4.6 Giải phương trình vi phân y(cid:48) + 2xy = xy2.

Bài giải Phương trình được viết lại

= x(y2 − 2y) ⇐⇒ = xdx dy y2 − 2y

− )dy = (cid:82) xdx 1 y

⇐⇒ ln + C ⇐⇒ = = ex2+2C dy dx ⇐⇒ (cid:82) 1 2 x2 2 dy y2 − 2y (cid:12) y − 2 (cid:12) (cid:12) y (cid:12) ( (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) = (cid:82) xdx ⇐⇒ (cid:82) 1 2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 1 y − 2 (cid:12) y − 2 (cid:12) (cid:12) y (cid:12)

√ 1 − x2y(cid:48) = 0 Ví dụ 4.7 Giải phương trình vi phân x + xy2 + y

Bài giải Viết lại phương trình

√

√ = 0 ⇐⇒ + x(1 + y2) + y √ 1 − x2 dy dx xdx 1 − x2 √ 1 − x2 + ln |1 + y2| + C = 0 ⇐⇒ y2 = e2 ydy 1 + y2 = 0 1−x2+2C − 1 ⇐⇒ − 1 2

Ví dụ 4.8 Giải phương trình vi phân (4y − 2x)y(cid:48) = 2(x − 2y + 1)2, y(−1) = 0 (1).

Bài giải Đặt u = x − 2y + 1 =⇒ u(cid:48) = 1 − 2y(cid:48).

(1) : −2(u − 1) = u2 ⇐⇒ u(cid:48) = = 2u2 u − 1 2u2 + u − 1 u − 1

⇐⇒ 1 − u(cid:48) 2 du = dx ⇐⇒ (cid:82) du + 1 ⇐⇒ dx du = (cid:82) dx u − 1 2u2 + u − 1

ln |u + 1| − ln |2u − 1| = |x| + C ⇐⇒ 1 6

ln |x − 2y + 2| − ln |2x − 4y + 1| = |x| + C u − 1 2u2 + u − 1 2 3 2 3 1 6 ⇐⇒ y(−1) = 0 =⇒ C = −1.

ln |x − 2y + 2| − ln |2x − 4y + 1| = |x| − 1 Vậy nghiệm là 2 3 1 6

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 84

CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 4.1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

4.1.2 Phương trình vi phân đẳng cấp

Dạng

y(cid:48) = f ( ) y x

⇐⇒ y = x.u =⇒ y(cid:48) = u + xu(cid:48)

y PP: đặt u = x Thay vào phương trình:

u + xu(cid:48) = f (u) ⇐⇒ x = f (u) − u du dx

Rút gọn đưa về phương trình tách biến theo x, u

= du f (u) − u dx x

Ví dụ 4.9 Giải phương trình vi phân xyy(cid:48) = x2 − xy + y2.

− 1 + Bài giải Chia 2 vế cho xy ta được y(cid:48) = . x y y x

=⇒ y(cid:48) = u + xu(cid:48) Đặt u = y x Thế vào phương trình trên ta được

1 − u u

= ⇐⇒ u + xu(cid:48) = udu 1 − u − 1 + u ⇐⇒ ⇐⇒ (cid:82) udu 1 − u xdu = dx = (cid:82) dx x

⇐⇒ − − ln 1 u dx x ⇐⇒ −u − ln |1 − u| = ln |x| + C (cid:12) (cid:12) (cid:12) = ln |x| + C (cid:12) (cid:12) (cid:12)

⇐⇒ − x − y x − ln |x − y| = C y x y x

Chú ý: Ta có thể xác định hàm f (u) = − 1 + u do đó phương trình đưa về dạng tách biến 1 u

= ⇐⇒ = du f (u) − u dx x dx x du 1 u − 1

Ví dụ 4.10 Giải phương trình vi phân (y2 + 2xy)dx + xydy = 0.

+ 2 + y(cid:48) = 0 Bài giải Viết lại phương trình y x =⇒ f (u) = −u − 2 Đặt u = y x

= Áp dụng công thức du f (u) − u dx x

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 85

4.1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Phương trình trở thành (cid:90) = ⇐⇒ = ⇐⇒ ln |u+1| = ln |x|+C ⇐⇒ | +1| = du −u − 2 − u dx x du −2u − 2 (cid:90) dx x −1 2 y x 1 x2 e−2C.

Ví dụ 4.11 Giải phương trình vi phân xy(cid:48) = x + 2y, y(1) = 3

Bài giải Chia 2 vế cho x ta được y(cid:48) = 1 + 2 y x =⇒ f (u) = 1 + 2u y x Đặt u = Phương trình trở thành

= ⇐⇒ (cid:82) du 1 + 2u − u dx x du 1 + u = (cid:82) dx x

⇐⇒ ln |u + 1| = ln |x| + C ⇐⇒ |u + 1| = eC|x| ⇐⇒ | + 1| = eC|x| y x

y(1) = 3 =⇒ |3 + 1| = eC.|1| =⇒ eC = 4 Vậy nghiệm là | + 1| = 4|x|. y x

Ví dụ 4.12 Giải phương trình vi phân xy2y(cid:48) = x3 + y3.

Bài giải

Chia 2 vế cho xy2 ta được y(cid:48) = . x2 y2 + y x

=⇒ f (u) = 1 u2 + u y x Đặt u = Phương trình vi phân trở thành

= dx x ⇐⇒ (cid:82) u2du = (cid:82) dx x

⇐⇒ = ln |x| + C ⇐⇒ u = 3(cid:112)3(ln |x| + C) du 1 u2 + u − u u3 3

⇐⇒ y = x 3(cid:112)3(ln |x| + C)

Ví dụ 4.13 Giải phương trình vi phân y(cid:48) = 2x − y 3x − 4y + 5

4.1.3 Phương trình vi phân toàn phần

Dạng (cid:40)

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 y = Q(cid:48) P (cid:48) x

Nghiệm là U (x, y) = C. Trong đó

Q(x, y)dy

Q(x0, y)dy U (x, y) = (cid:82) x x0 = (cid:82) x x0 P (x, y0)dx + (cid:82) y y0 P (x, y)dx + (cid:82) y y0

với (x0, y0) được chọn tùy ý. Thường chọn (x0, y0) = (0, 0)

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 86

CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 4.1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

Ví dụ 4.14 Giải phương trình vi phân (3x + 2y)dx + (2x − 9y)dy = 0.

x = 2 do đó nghiệm tổng quát có dạng U (x, y) = C.

y = Q(cid:48)

(x,y) (cid:82)

Bài giải Ta có P (cid:48)

(0,0) Chọn đường đi (0, 0) −→ (x, 0) −→ (x, y)

x (cid:90)

y (cid:90)

P dx + Qdy Trong đó U (x, y) =

U (x, y) = 3xdx + (2x − 9y)dy = + 2xy − 3x2 2 9y2 2

+ 2xy − = C Nghiệm tổng quát là 3x2 2 9y2 2

Ví dụ 4.15 Giải phương trình vi phân (3x2y2 + 7)dx + 2x3ydy = 0.

x = 6x2y do đó nghiệm tổng quát có dạng U (x, y) = C.

y = Q(cid:48)

(x,y) (cid:82)

Bài giải Ta có P (cid:48)

(0,0) Chọn đường đi (0, 0) −→ (x, 0) −→ (x, y)

y (cid:90)

x (cid:90)

P dx + Qdy Trong đó U (x, y) =

2x3ydy = 7x + x3y2. U (x, y) = 7dx +

Nghiệm tổng quát là 7x + x3y2 = C

Ví dụ 4.16 Giải phương trình vi phân (2x + yexy)dx + (1 + xexy)dy = 0, y(0) = 1.

x = (1 + xy)exy do đó nghiệm tổng quát có dạng U (x, y) = C.

y = Q(cid:48)

(x,y) (cid:82)

Bài giải Ta có P (cid:48)

(0,0) Chọn đường đi (0, 0) −→ (x, 0) −→ (x, y)

x (cid:90)

y (cid:90)

P dx + Qdy Trong đó U (x, y) =

U (x, y) = 2xdx + (1 + xexy)dy = x2 + y + exy − 1

Nghiệm tổng quát là x2 + y + exy = C. y(0) = 1 =⇒ 0 + 1 + 1 = C =⇒ C = 2. Vậy nghiệm là x2 + y + exy = 2.

Ví dụ 4.17 Giải phương trình vi phân (1 − )dy = 0, y(1) = 0. y x2 )dx + (y2 + 1 x

y = Q(cid:48)

x = −

Bài giải Ta có P (cid:48) 1 x2 do đó nghiệm tổng quát có dạng U (x, y) = C.

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 87

(x,y) (cid:82)

4.1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

(1,0) Chọn đường đi (1, 0) −→ (x, 0) −→ (x, y)

x (cid:90)

y (cid:90)

P dx + Qdy Trong đó U (x, y) =

U (x, y) = 1dx + )dy = x − 1 + + (y2 + y3 3 y x 1 x

+ = C y x y3 3 Nghiệm tổng quát là x + y(1) = 0 =⇒ 1 + 0 = C =⇒ C = 1

x y )dx + e

x y (1 −

+ = 1 Vậy nghiệm là x + y3 3 y x

Ví dụ 4.18 Bài giải Giải phương trình vi phân (x + e )dy = 0, y(0) = 1. x y

y do đó nghiệm tổng quát có dạng U (x, y) = C.

y = Q(cid:48)

x = −

Ta có P (cid:48)

(0,1) Chọn đường đi (0, 1) −→ (0, y) −→ (x, y)

y (cid:90)

x (cid:90)

x y2 e (x,y) (cid:82) P dx + Qdy Trong đó U (x, y) =

x y )dx = y − 1 +

x y − 1) =

x y − 1

U (x, y) = 1.dy + (x + e + y(e + ye x2 2 x2 2

x y = C Nghiệm tổng quát là y(0) = 1 =⇒ 0 + 1.e0 = C =⇒ C = 1

+ ye x2 2

x y = 1

+ ye Vậy nghiệm là x2 2

4.1.4 Phương trình vi phân tuyến tính

(cid:82) p(x)dx

Dạng y(cid:48) + p(x)y = q(x)

• Tìm hàm h(x) = e

• Suy ra nghiệm

(cid:21) (cid:20)(cid:90) y(x) = f (x)q(x)dx + C 1 h(x)

Chú ý: có nhiều hàm h(x). Ta có thể chọn một hàm h(x) tùy ý.

√ )y = 0 Ví dụ 4.19 Giải phương trình vi phân y(cid:48) + (3x2 + x 3 − x2

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 88

CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 4.1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

(cid:82) (3x2+ x√

)dx

3−x2

√ = ex3−

(cid:82) p(x)dx = e

√ Bài giải p(x) = 3x2 + , 1(x) = 0 x 3 − x2

√

h(x) = e Nghiệm là

3−x2

√ 3−x2dx + C

3−x2

(cid:21) (cid:21) (cid:20)(cid:90) (cid:20)(cid:90) 1 √ y(x) = q(x)h(x)dx + C = 0.ex3− = C.e−x3+ 1 h(x) ex3−

Ví dụ 4.20 Giải phương trình vi phân y(cid:48) − = x2, y(1) = 1. y x

Bài giải

(cid:82) − 1

|x| =

p(x) = − , q(x) = x2.

x dx = e− ln |x| = eln 1

h(x) = e = ± . 1 |x| 1 x

Chọn h(x) = 1 x (cid:82) p(x)dx = e 1 x (cid:21) (cid:19) (cid:18)(cid:90) (cid:20)(cid:90) =⇒ y(x) = = x = x( q(x)h(x)dx + C dx + C + C) = + Cx x2. 1 x x2 2 x3 2

y(1) = 1 =⇒ 1 = . 1 h(x) 1 2 1 2

Vậy nghiệm là y(x) = + C =⇒ C = x3 + x 2

= . Ví dụ 4.21 Giải phương trình vi phân y(cid:48) − y x + 1 x x + 1

Bài giải

x+1 dx = e− ln |x+1| =

p(x) = − , q(x) = . x x + 1 1 x + 1 (cid:82) − 1 h(x) = e 1 |x + 1|

Chọn h(x) = .

(cid:19) (cid:18) (cid:82) x + 1 − 1 dx + C) = (x + 1) . 1 x + 1 1 x + 1 =⇒ y(x) = (x + 1)((cid:82) (cid:18) (cid:19) 1 = (x + 1) − (x + 1)2 dx + C = (x + 1)(ln |x + 1| + + C) (x + 1)2 )dx + C 1 x + 1 x x + 1 1 (cid:82) ( x + 1 = (x + 1) ln |x + 1| + 1 + C(x + 1).

Ví dụ 4.22 Giải phương trình vi phân y(cid:48) − y cot x = sin x.

sin x dx = e− ln | sin x| =

Bài giải p(x) = − cot x, q(x) = sin x. (cid:82) − cos x (cid:82) − cot xdx = e h(x) = e

=⇒ y(x) = sin x((cid:82) sin x. dx + C) = sin x(x + C) 1 sin x 1 sin x

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 89

4.1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Ví dụ 4.23 Giải phương trình vi phân (x2 + 1)y(cid:48) + 4xy = 3.

y = . Bài giải Phương trình được viết lại y(cid:48) + 4x x2 + 1 3 x2 + 1

dx = e2 ln |x2+1| = eln(x2+1)2 = (x2 + 1)2

, q(x) = . p(x) = 3 x2 + 1 4x x2 + 1 (cid:82) 4x x2+1 h(x) = e

1 =⇒ y(x) = .(x2 + 1)2dx + C) 3 x2 + 1 1 1 = (x2 + 1)2 ((cid:82) (x2 + 1)2 ((cid:82) (3x2 + 3)dx + C) = (x2 + 1)2 (x3 + 3x + C)

Ví dụ 4.24 Giải phương trình vi phân (1 − x)(y(cid:48) + y) = e−x, y(0) = 0.

Bài giải

. Phương trình được viết lại y(cid:48) + y = e−x 1 − x

. e−x 1 − x p(x) = 1, f (x) = (cid:82) 1dx = ex h(x) = e

.exdx + C)

= e−x((cid:82) + C) = e−x(− ln |1 − x| + C). =⇒ y(x) = e−x((cid:82) e−x 1 − x dx 1 − x

y(0) = 0 =⇒ 0 = 1(0 + C) =⇒ C = 0. Vậy nghiệm là y(x) = −e−x ln |1 − x|

4.1.5 Phương trình vi phân Bernulli

Phương trình Bernouli có dạng

y(cid:48) + p(x)y = f (x).yα, α (cid:54)= 0, 1.

Phương pháp: Đặt z = y1−α đưa về dạng tuyến tính.

Ví dụ 4.25 Giải phương trình vi phân xy(cid:48) + y = xy2 ln x, y(1) = 1.

Bài giải Ta có α = 2 nên nhân 2 vế cho y−2, ta được

y−2y(cid:48) + = ln x y−1 x

Đặt z = y1−α = y−1 =⇒ z(cid:48) = −1.y−2.y(cid:48). Ta viết lại phương trình

z = − ln x −z(cid:48) + = ln x ⇐⇒ z(cid:48) − z x 1 x

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 90

CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 4.1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

(cid:82) −1

Giải phương trình tuyến tính

x dx = e− ln |x| =

h(x) = e 1 x

Nghiệm tổng quát là

(cid:90) z(x) = x( − ln x. dx + C) = x(− + C) =⇒ = x(− + C) ln2 x 2 1 y ln2 x 2 1 x

y(1) = 1 =⇒ 1 = 1(−0 + C) =⇒ C = 1

= x(− Vậy nghiệm cần tìm là + 1). 1 y ln2 x 2

Ví dụ 4.26 Giải phương trình vi phân y(cid:48) + 2xy = xex2y3

Bài giải

. Phương trình viết lại 2x y2 = xex2

y(cid:48) y3 + 2y(cid:48) y3 .

PT: Đặt z = −z(cid:48) 2 1 y2 =⇒ z(cid:48) = − + 2xz = xex2 ⇐⇒ z(cid:48) − 4xz = −2xex2 =⇒ p(x) = −4x, q(x) = −2xex2. (cid:82) (−4x)dx = e−2x2

h(x) = e z(x) = e2x2 (cid:82) e−2x2.(−2x)ex2dx = e2x2(e−x2 + C) ⇐⇒ 1 y2 = ex2 + Ce2x2. √

= Ví dụ 4.27 Giải phương trình vi phân y(cid:48) + . 1 − 2x y2 y x

Bài giải √ =

(cid:82) 3dx

x = e3 ln x = x3. √ 1 x3

y3 PT: y2y(cid:48) + 1 − 2x. x Đặt z = y3 =⇒ z(cid:48) = 3y2y(cid:48) √ √ √ + = 1 − 2x ⇐⇒ z(cid:48) + z = 3 1 − 2x =⇒ p(x) = , q(x) = 3 1 − x2. PT: z(cid:48) 3 z x 3 x 3 x =⇒ h(x) = e (cid:19) (cid:18)√ z(x) = y3(x) = 1 − 2xdx = 1 − 2x( − − ) + C (cid:82) x3. 1 x3 x4 5 x2 15 2 15

4.1.6 Bài tập tổng hợp

Ví dụ 4.28 Giải phương trình vi phân y(cid:48) = 2x−y, y(0) = 0.

Bài giải Viết lại phương trình

+ C ⇐⇒ 2y = 2x + C. ⇐⇒ dy dx 2y ln 2 2x 2y ⇐⇒ 2ydy = 2xdx (dạng tách biến) 2x = ln 2

y(0) = 0 =⇒ 1 = 1 + C =⇒ C = 0 Vậy nghiệm là 2y = 2x =⇒ y = x.

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 91

4.1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

x + y, y(1) = 0..

y x +

Ví dụ 4.29 Giải phương trình vi phân: xy(cid:48) = xe

Bài giải Viết lại phương trình y(cid:48) = e (dạng đẳng cấp) y x , f (u) = eu + u Đặt u = y x

= Phương trình được viết lại theo công thức du f (u) − u dx x

x = ln |x| + C.

x = ln |x| − 1.

(cid:90) = ⇐⇒ e−udu = ⇐⇒ −e−u = ln |x| + C ⇐⇒ −e− y du eu + u − u dx x (cid:90) dx x

y(1) = 0 =⇒ −e0 = 0 + C =⇒ C = −1 Vậy nghiệm tổng quát là −e− y

x = 12x2y + 4y3 do đó nghiệm tổng quát có dạng U (x, y) = C.

Ví dụ 4.30 Giải phương trình vi phân (x4 + 6x2y2 + y4)dx + 4xy(x2 + y2)dy = 0, y(0) = 0..

(x,y) (cid:82)

Bài giải y = Q(cid:48) P (cid:48)

(0,0) Chọn đường đi (0, 0) −→ (x, 0) −→ (x, y)

x (cid:90)

y (cid:90)

P dx + Qdy Trong đó U (x, y) =

U (x, y) = x4dx + 4xy(x2 + y2)dy = + 2x3y2 + xy4. x5 5

+ 2x3y2 + xy4 = C x5 5 Nghiệm tổng quát là y(0) = 0 =⇒ C = 0

+ 2x3y2 + xy4 = 0 Vậy nghiệm là x5 5

. Ví dụ 4.31 Giải phương trình vi phân e1+x2 tan ydx = dy x

Bài giải Viết lại phương trình ở dạng tách biến

(cid:90) xex2+1dx = ⇐⇒ xex2+1dx = dy ⇐⇒ ex2+1 = ln | sin y| + C dy tan y (cid:90) cos y sin y 1 2

Ví dụ 4.32 Giải phương trình vi phân: xy(cid:48) = y + x2, y(cid:48)(0) = 0.

Bài giải Viết lại phương trình y(cid:48) − = x (dạng tuyến tính) y x

p(x) = − , f (x) = x

x dx = e− ln |x| =

1 x (cid:82) −1 h(x) = e 1 x (cid:90) =⇒ y(x) = x( x. + C) = x(x + C) 1 x

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 92

CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 4.1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

y(cid:48)(0) = 0 =⇒ [2x + C]x=0 = 0 =⇒ C = 0 Vậy nghiệm là y = x2.

Ví dụ 4.33 Giải phương trình vi phân y(cid:48) = . 1 + 2x + y 1 − x − 2y

Bài giải Viết lại phương trình

= dy dx 1 + 2x + y 1 − x − 2y

y = Q(cid:48) P (cid:48)

x = 1 (dạng toàn phần) do đó nghiệm tổng quát có dạng U (x, y) = C.

(x,y) (cid:82)

⇐⇒ (1 − x − 2y)dy = (1 + 2x + y)dx ⇐⇒ (1 + 2x + y)dx + (x + 2y − 1)dy = 0

(0,0) Chọn đường đi (0, 0) −→ (x, 0) −→ (x, y)

x (cid:90)

y (cid:90)

P dx + Qdy Trong đó U (x, y) =

(1 + 2x)dx + (x + 2y − 1)dy = x + x2 + xy + y2 − y U (x, y) =

Nghiệm tổng quát là x + x2 + xy + y2 − y = C √ Ví dụ 4.34 Giải phương trình vi phân y(cid:48) x + 1 + y ln3 y = 0, y(0) = e.

Bài giải Viết lại phương trình

√

dy dx

√ ⇐⇒ + = 0 (dạng tách biến) x + 1 + y ln3 y = 0 dx x + 1

√ ⇐⇒ (cid:82) + (cid:82) = 0 dx x + 1 √ + 2 x + 1 + C = 0 ⇐⇒ − dy y ln3 y dy y ln3 y 1 2 ln2 y

y(0) = e =⇒ −

+ 2 + C = 0 =⇒ C = − √ + 2 x + 1 − 3 2 = 0 1 2 Vậy nghiệm là − 3 2 1 2 ln2 y

Ví dụ 4.35 Giải phương trình vi phân (1 − x2)y(cid:48) + xy = (1 − x2) arcsin x, y(0) = 0.

x Bài giải Viết lại phương trình y(cid:48) + 1 − x2 y = arcsin x (dạng tuyến tính) x p(x) = 1 − x2 , f (x) = arcsin x

2 ln |1−x2| = eln |1−x2|− 1

1−x2 dx = e− 1

2 = |1 − x2|− 1

2 =

(cid:82) h(x) = e

√

(cid:19) (cid:18)(cid:90) 1 1 − x2 √ √ √ =⇒ y(x) = 1 − x2 arcsin x dx + C = 1 − x2( + C). arcsin x 2 1 1 − x2

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 93

4.1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

y(0) = 0 =⇒ 0 = 1(0 + C) =⇒ C = 0 √ . 1 − x2. Vậy nghiệm là y(x) = arcsin x 2

Ví dụ 4.36 Giải phương trình vi phân y(cid:48) = , y(1) = 2. 2xy + 3 x2

y = Bài giải Viết lại phương trình y(cid:48) − 2 x 3 x2 (dạng tuyến tính)

, f (x) = p(x) = 3 x2

x dx = e−2 ln |x| = eln x−2 =

−2 x (cid:82) −2 h(x) = e 1 x2

(cid:19) = x2( =⇒ y(x) = x2 (cid:18)(cid:90) 3 x2 . 1 x2 dx + C −1 x3 + C).

y(1) = 1 =⇒ 1 = 1(−1 + C) =⇒ C = 2

+ Cx2 Vậy nghiệm là y(x) = −1 x

Bài tập

8. ex2(y(cid:48) + 2xy) = x

x = 0, y(1) = 0.

1. x3y(cid:48) = y(x2 + y2). √ (cid:112)1 − y2dx + y 2. 1 + x2dy = 0. 9. xyy(cid:48) − y2 + xe− y

3. (xy2 + x)dx + (y − x2y)dy = 0. 10. xy(cid:48) − y = x tan y x .

√ √ = 11. 3y(cid:48) − , y(0) = 1. 4. y2 + x2y(cid:48) = xyy(cid:48). √ y x2 + 1 y4 x2 + 1 5. xy(cid:48) + y √ = √ √ 1 − x2. ĐS: ln |y| + ln 12. y(cid:48) = . 1 − x2 = 0, y(1) = 1. (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 1 − x2 + 1 1 − x2 − 1

(2y − 3x + 1) + ln |8y − 12x + 4| = 1 8 = 6. y(cid:48) − , y(0) = 2. 2y − 3x + 1 6x − 4y + 2 1 ĐS: − 4 x + C. y2 x + 1 √ y x + 1 (cid:112)1 − y2dx + y 1 − x2dy = 0 7. 13. (2y3 − x2y)y(cid:48) = xy2 − 2x3.

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 94

CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 4.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

4.2 Phương trình vi phân cấp 2

4.2.1 Phương trình vi phân cấp 2 thuần nhất

Phương trình vi phân thuần nhất y(cid:48)(cid:48) + py(cid:48) + qy = 0. Phương trình đặc trưng k2 + pk + q = 0(*)

• (*) có 2 nghiệm phân biệt k1 (cid:54)= k2, nghiệm thuần nhất là

y0 = C1ek1x + C2ek2x

• (*) có 2 nghiệm kép k1 = k2 = k0

y0 = C1ek0x + C2xek0x

• (*) có 2 nghiệm phức k = a ± bi

y0 = eax(C1 cos bx + C2 sin bx).

4.2.2 Phương trình vi phân cấp 2 không thuần nhất - dạng 1

(1). Dạng y(cid:48)(cid:48) + py(cid:48) + qy = Pn(x)eαx Nghiệm y = y0 + yr, với yr = xsQn(x)eαx

• Nếu α không là nghiệm của (*) thì s = 0

• Nếu α là nghiệm đơn của (*) thì s = 1

• Nếu α là nghiệm kép của (*) thì s = 2

r, y(cid:48)(cid:48)

Qn(x) = Axn + Bxn−1 + ... là một đa thức bậc n tổng quát. Để tính các hệ số A, B.. ta tính đạo hàm y(cid:48) r thế vào (1).

Ví dụ 4.37 Giải phương trình vi phân y(cid:48)(cid:48) − 3y(cid:48) − 4y = 2xe−x

(5x + 2)e−x ĐS: y = C1e−x + C2e4x − 1 25

Ví dụ 4.38 Giải phương trình vi phân y(cid:48)(cid:48) + 4y(cid:48) + 4y = (2x + 1)e−2x (*).

Bài giải

a) Phương trình đặc trưng k2 + 4k + 4 = 0 ⇐⇒ k1 = k2 = −2. Nghiệm thuần nhất y0 = C1e−2x + C2xe−2x.

b) f (x) = (2x + 1)e−2x : α = 1 =⇒ s = 1

r = (−2Ax3 − 2Bx2 + 3Ax2 + 2Bx)e−2x

yr = x2(Ax + B)e−2x = (Ax3 + Bx2)e−2x =⇒ y(cid:48)

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 95

r = (4Ax3 + 4Bx2 − 12Ax2 − 8Bx + 6Ax + 2B)e−2x

4.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

=⇒ y(cid:48)(cid:48) Thế vào (*) ta được

(cid:40) A =   (−8Bx + 6Ax + 2B) + 4.2Bx + 0 = 2x + 1 ⇐⇒ ⇐⇒ −8B + 6A + 8B = 2 2B = 1 B =  1 3 1 2

e + C2xe−2x + x2(

x + )e−2x Vậy nghiệm y = C −2x 1 3 1 2

Ví dụ 4.39 Giải phương trình vi phân y(cid:48)(cid:48) + 4y = (2x2 + 3)e−2x (*).

Bài giải

a) Phương trình đặc trưng k2 + 4 = 0 ⇐⇒ k = 0 ± 2i. Nghiệm thuần nhất y0 = e0x(C1 cos 2x + C2 sin 2x)

r = (−2Ax2 − 2Bx − 2C + 2Ax + B)e−2x r = (4Ax2 + 4Bx + 4C − 8Ax − 4B + 2A)e−2x

b) f (x) = (2x2 + 3)e−2x : α = −2 =⇒ s = 0.

A = yr = (Ax2 + Bx + C)e−2x =⇒ y(cid:48) =⇒ y(cid:48)(cid:48) Thế vào (*) (4Ax2 + 4Bx + 4C − 8Ax − 4B + 2A) + 4(Ax2 + Bx + C) = 2x2 + 3.     ⇐⇒ ⇐⇒ . B = C =   4A + 4A = 2 4B − 8A + 4B = 0 4C − 4B + 2A + 4C = 3 7 16

1 4 1 4 x2 + x + Vậy nghiệm là y = C1 cos 2x + C2 sin 2x + ( )e−2x. 1 4 1 4 7 16

Ví dụ 4.40 Giải phương trình vi phân y(cid:48)(cid:48) + 6y(cid:48) + 8y = x(e−x + e−2x)

x − )e−x + ( x2 − x)e−2x ĐS: y = C1e−2x + C2e−4x + ( 1 3 4 9 1 4 1 4

Ví dụ 4.41 Giải phương trình vi phân y(cid:48)(cid:48) − 2y(cid:48) + y = e2x sin x (*)

a) Phương trình đặc trưng k2 − 2k + 1 = 0 ⇐⇒ k1 = k2 = 0 Nghiệm thuần nhất y0 = C1ex + C2xex

b) f (x) = e2x sin x : α + βi = 2 + i =⇒ s = 0

yr = e2x(A cos x + B sin x). y(cid:48) r = e2x(3A cos x + 3B sin x − A sin x + B cos x) y(cid:48)(cid:48) r = e2x(3A cos x + 3B sin x − 4A cos x + 4B sin x). Thế vào (*):

(3A cos x + 3B sin x − 4A cos x + 4B sin x) −2(3A cos x + 3B sin x − A sin x + B cos x) +(A cos x + B sin x) = sin x

  A = − ⇐⇒ 1 2 B = 0 

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 96

CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 4.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

4.2.3 Phương trình vi phân cấp 2 dạng 2

(2). Dạng y(cid:48)(cid:48) + py(cid:48) + qy = eαx(a cos βx + b sin βx) Nghiệm y = y0 + yr, với yr = xseαx(A cos βx + B sin βx)

• Nếu α + βi là nghiệm của (*) thì s = 1

• Nếu α + βi không là nghiệm của (*) thì s = 0

r, y(cid:48)(cid:48)

r thế vào (2) suy ra hệ số A, B.

Tính đạo hàm y(cid:48)

Ví dụ 4.42 Giải phương trình vi phân y(cid:48)(cid:48) + y = 2 sin x − cos x

sin x) ĐS: y = C1 cos x + C2 sin x + x(− cos x − 1 2

Ví dụ 4.43 Giải phương trình vi phân y(cid:48)(cid:48) − 6y(cid:48) + 9y = e3x(x2 + sin x)

4.2.4 Phương trình vi phân cấp 2 - dạng 3

Dạng y(cid:48)(cid:48) + py(cid:48) + qy = eαx(Pn(x) cos βx + Qm(x) sin βx. Nghiệm y = y0 + yr, với yr = xseαx(Hl(x) cos βx + Kl(x) sin βx

• Nếu α + βi là nghiệm của (*) thì s = 1

• Nếu α + βi không là nghiệm của (*) thì s = 0

r thế vào (2) để tìm hệ Hl và Kl.

r, y(cid:48)(cid:48)

Trong đó, l = max m, n và Hl, Kl là các đa thức bậc l tổng quát. Tính đạo hàm y(cid:48)

Bài tập

Giải các phương trình vi phân sau

Bài 1. y(cid:48)(cid:48) + 4y(cid:48) + 3y = (2x + 1)e−3x

x − )e−3x ĐS:y = C1e−x + C2e−3x + x(− 1 2 3 4

Bài 2. y(cid:48)(cid:48) + 4y(cid:48) + 4y = 2xe−2x.

x3e−2x ĐS: y = C1e−2x + C2e−2x + 1 3

Bài 3. y(cid:48)(cid:48) + 4y(cid:48) + 8y = (x2 + 3x)e−2x

x2 + x)e−2x ĐS y = e−2x(C1 cos 2x + C2 sin 2x) + ( 1 4 3 4

(cid:19) (cid:18) cos x + sin x e2x − Bài 4. y(cid:48)(cid:48) + 3y(cid:48) − 4y = e2x sin x ĐS: y = C1ex + C2e−4x + 7 74 5 74

Bài 5. y(cid:48)(cid:48) − 2y(cid:48) + y = ex cos 2x.

ex cos 2x ĐS: y = C1ex + C2xex + − 1 4

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 97

4.3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

cos 2x − sin 2x) Bài 6. y(cid:48)(cid:48) + 4y = 2 sin 2x − cos 2x ĐS: y = C1 cos 2x + C2 sin 2x + x(− 1 2 1 4

x − 1)e−2x + e−2x( cos x − sin x). Bài 7. y(cid:48)(cid:48) + 5y(cid:48) + 6y = e−2x(x2 + 3x − cos x) 1 x2 + ĐS: y = C1e−2x + C2e−3x + x( 2 1 3 1 2 1 2

4.3 Hệ phương trình vi phân

4.3.1 Ánh xạ đạo hàm

Định nghĩa 4.1 Cho D : C 1(R) → C thỏa D(x(t)) = x(cid:48)(t) gọi là ánh xạ đạo hàm

Ví dụ 4.44

a) Cho x = e2t + 3t2.

4.3.2 Hệ phương trình vi phân

(cid:40)

Ví dụ 4.45 Giải hệ phương trình vi phân x(cid:48) = x − 2y + 3t y(cid:48) = 2x − 4y + et

(cid:40)

Ta viết lại hệ Dx = x − 2y + 3t Dy = 2x − 4y + et

et + 2t2 − t − x = 2C1 + C2e−3t −   1 3 1 3 1 2 Nghiệm t. y = C1 + C2e−3t + t2 −  2 3

(cid:40)

Ví dụ 4.46 Giải hệ phương trình vi phân x(cid:48) = −x + 3y + 2te−2t y(cid:48) = 2x + 4y − e−2t (1) (2)

Bài giải

(cid:40)

a) Viết lại hệ (D + 1)x − 3y = 2te−2t −2x + (D − 4)y = −e−2t (1) (2)

(D-4)(1)+3(2): (D − 4)(D + 1)x − 6x = (−4t + 2)e−2t + 2te−2t − 3e−2t ⇐⇒ (D2 − 3D − 10)x = (−12t − 1)e−2t (3)

b) Phương trình đặc trưng k2 − 3k − 10 = 0 ⇐⇒ k = −2 ∨ k = 5

Nghiệm thuần nhất y0 = C1e−2t+C2e5t f (t) = (−12t − 1)e−2t : α = −2 =⇒ s = 1 =⇒ xr = t(At + B)e−2t = (At2 + Bt)e−2t r = (−2At2 − 2Bt + 2At + B)e−2t =⇒ x(cid:48)

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 98

r = (4At2 + 4Bt − 8At − 4B + 2A)e−2t

CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 4.3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

=⇒ x(cid:48)(cid:48) Thế vào (3):

(4Bt − 8At − 4B + 2A) − 3(−2Bt + 2At + B) − 10Bt = (−12t − 1)e−2t

, B = ⇐⇒ A = 6 7 19 49

(cid:19) t2 + e−2t Suy ra x(t) = C1e−2t + C2e5t + (cid:18)6 7 19 49

c) Từ (1):

y(t) =

1 3 = − t2 − t + )e−2t e−2t + 2C2e5t + ( (x(cid:48) + x − 2te−2t) C1 3 4 7 52 147 19 147

(cid:40)

Ví dụ 4.47 Giải hệ phương trình vi phân x(cid:48) = 3x − y + t, y(cid:48) = x + y + cos t (1) (2)

Bài giải

a) Viết lại hệ (cid:40)

(D − 3)x + y = t, −x + (D − 1)y = cos t (1) (2)

(3) (1)+(D-3)(2): D2y − 4Dy + 4y = t − sin t − 3 cos t

b) Phương trình đặc trưng k2 − 4k + 4 = 0 ⇐⇒ k1 = k2 = 2. Suy ra y0 = (C1 + C2t)e2t.

(3a) (a) Giải D2y − 4Dy + 4y = − sin t − 3 cos t y1 = A cos t + B sin t, đạo hàm thế vào (3a)

−A cos t − B sin t + 4A sin t − 4B cos t + 4A cos t + 4B sin t = − sin t − 3 cos t   ⇐⇒ B = 

cos t + sin t =⇒ y1 = − 13 A = − 25 9 25 13 25 9 25

(3b) (b) Giải D2y − 4Dy + 4y = t y1 = At + B, đạo hàm thế vào (3b)

A =   0 − 4A + 4At + 4B = t ⇐⇒ t + =⇒ y2 = 1 4 1 4 B =  1 4 1 4

cos t + sin t + t + Vậy y = (C1 + C2t)e2t − 13 25 1 4 1 4 9 25

sin t − cos t − c) Từ (2) suy ra y = (C1t + C1 + C2)e2t + 3 25 t 4 4 25

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 99

4.3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

(cid:40)

Ví dụ 4.48 Giải hệ phương trình vi phân x(cid:48) = 2x + y + e2t cos 2t y(cid:48) = −x + y + e2t sin 2t

(cid:40)

Ví dụ 4.49 Giải hệ phương trình vi phân x(cid:48) = 2x + y + t2 y(cid:48) = −x + 2y + cos t (1) (2)

(cid:40)

Viết lại hệ (D − 2)x − y = t2 x + (D − 2)y = cos t (1) (2)

(D − 2)pt(1) + pt(2) : (D2 − 4D + 5)x = 2t − 2t2 + cos t (3)

a) Phương trình đặc trưng k2 − 4k + 5 = 0 ⇐⇒ k = 2 ± i Nghiệm thuần nhất x0 = e2t(C1 cos t + C2 sin t).

(3a) b) Giải x(cid:48)(cid:48) − 4x(cid:48) + 5x = 2t − 2t2

, B = − , C = − f (t) = 2t − 2t2 : α = 0 =⇒ s = 0 =⇒ x1 = At2 + Bt + C. Đạo hàm thế vào (3a) suy ra A = − 2 5 6 25 4 125

t2 − t − . Suy ra x1 = 2 5 6 25 4 125

c) Giải x(cid:48)(cid:48) − 4x(cid:48) + 5x = cos t

cos t + (3b) f (t) = cos t : α + βi = i =⇒ s = 0 =⇒ x2 = A cos t + B sin t. Đạo hàm thế vào (3b) suy ra x2 = −

3 8 t2 − t − − cos t + sin t 2 5 6 25 1 sin t 8 4 125 3 8 1 8

Vậy x = e2t(C1 cos t + C2 sin t) + Từ (1) suy ra y = x(cid:48) − 2x − t2

t2 − − cos t + sin t. − = e2t((C2 − 2C1) cos t(C1 − 2C2) sin t) − 1 5 14 25 22 125 3 8 1 8

Bài Tập

Giải hệ phương trình vi phân sau

(cid:40)

Bài 1.

t2 − t + t2 − t)e2t C2e7t + (− )e2ty = C1e2t + C2e7t + (− ĐS: x = −4C1e2t + x(cid:48) = 3x + 2y + te2t y(cid:48) = 2x + 6y − 6e2t 1 2 8 5 266 25 118 25 1 5 32 25 (cid:40)

Bài 2. x(cid:48) = 3x − y + tet y(cid:48) = 4x − y − 2et

t3 + t3 + 2t2 − 2t)et. t2)et, y = (2C1 + C2 + 2C2t)et + ( ĐS:x = (C1 + tC2)et + ( 1 3 3 2 2 3 (cid:40)

Bài 3. x(cid:48) = −x + 3y + e2t cos t y(cid:48) = 2x + 4y − e2t sin t

cos t + cos t + C2e5t + e2t( sin t), y = C1e−2t + C2e5t + e2t( 1 2 3 17 5 17 −1 17

sin t) ĐS:x = −3C1e−2t + 4 17

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 100

ÔN THI CUỐI KỲ

4.4 Nội dung thi giữa kỳ

1. Khảo sát và vẽ đồ thị y = f (x).

2. Xét sự hội tụ tích phân suy rộng: Loại 1 và 2

3. Tính tích phân suy rộng

4. Ứng dụng hình học của tích phân: cho các hàm y = f (x)

5. Phương trình vi phân cấp 1: Tách biến; đẳng cấp, tuyến tính, từng phần. Chú ý điều kiện đầu

6. Phương trình vi phân cấp 2: f (x) = eαxPn(x) và f (x) = eαx(a cos βx + b sin βx)

7. Hệ Phương trình vi phân: 2 phương trình 2 ẩn giải bằng phương pháp khử.

4.5 Bài tập ôn tập cuối kỳ

Bài 1. Khảo sát và vẽ đồ thị

a) y =

+∞ (cid:82)

, x ≤ 0 x − 3 x2 − x − 2 b) y = (x − 2)e− 1  arctan x  x + 1 c) y =  xe1/x, x > 0

+∞ (cid:82)

dx √ Bài 2. Cho tích phân I = . Tìm α để tích phân hội tụ. Tính tích phân khi (xα + 1) x2 + x α = 1.

Bài 3. Cho tích phân I = dx. Tìm α để tích phân hội tụ. Tính tích phân x − 3 xα(x2 − x + 1) khi α = 2.

Bài 4. Tính diện tích miền phẳng

√

a) D : y = x, x + y = 2, Ox b) D : y = x2, y = log2(x + 1), x + y = 2

Bài 5. Tính độ dài đường cong

√ a) y = cosh x, x ∈ [0, 1] 1 − x2 b) y =

Bài 6. Tính thể tích vật thể tròn xoay

101

4.5. BÀI TẬP ÔN TẬP CUỐI KỲ CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

a) D : y = x, y = arctan x, x = 1. Tính VOy √ √ x2 + 1, y = b) D : y = x + 1, x = 1. Tính VOx, VOy.

Bài 7. Tính diện tích mặt tròn xoay

3]. Tính SOx, SOy

3), x ∈ [0, 1 x − x2. Tính SOx, SOy.

√ x(x − 1 a) C : y = √ b) C : y =

, y = x. Bài 8. Cho miền D giới hạn bởi y = 2x2, y = x2 2

a) Tính diện tích D.

b) Tính độ dài đường cong C : y = , x ∈ [0, 1]. x2 2

c) Tính diện tích mặt tròn xoay khi cho C quay quanh Ox và Oy.

d) Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho D quay quanh Ox, Oy.

Bài 9. Giải phương trình vi phân cấp 1

a) x3y(cid:48) = y(x2 + y2). √ (cid:112)1 − y2dx + y b) 1 + x2dy = 0, y(0) = 0.

c) (xy2 + x)dx + (y − x2y)dy = 0, y(1) = 2.

d) y2 + x2y(cid:48) = xyy(cid:48), y(1) = 1. √ e) xy(cid:48) + y √ = √ √ 1 − x2. ĐS: ln |y| + ln 1 − x2 = 0, y(1) = 1. (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 1 − x2 + 1 1 − x2 − 1

= f) y(cid:48) − , y(0) = 2.

x = 0, y(1) = 0.

y2 x + 1 √ 1 − x2dy = 0, y(2) = 1 y x + 1 (cid:112)1 − y2dx + y

g) h) ex2(y(cid:48) + 2xy) = x, y(1) = 1 i) xyy(cid:48) − y2 + xe− y j) xy(cid:48) − y = x tan y

x, y(−1) = 1. y4 x2 + 1

√ √ = , y(0) = 1. k) 3y(cid:48) −

l) y(cid:48) = , y(0) = 1. y x2 + 1 2y − 3x + 1 6x − 4y + 2

Bài 10. Giải phương trình vi phân cấp 2

Bài 11. Giải hệ phương trình vi phân.

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 102

CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 4.6. ĐỀ THI CUỐI KỲ

4.6 Đề thi cuối kỳ

Đề số 1

√

+∞ (cid:82)

. Câu 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x2 + x + 2 x + 1

dx hội tụ. Tính tích phân với α = 1. Câu 2. Tìm α để tích phân xα (x + 1)2(x2 − x + 1)

√ Câu 3. Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi x = y, y = 0, y = 2 − x.

Câu 4. Giải phương trình vi phân cấp 1 (ye−x + y2 + 1)dx = (e−x − 2xy)dy.

Câu 5. Giải phương trình vi phân cấp 2 y(cid:48)(cid:48) + 4y(cid:48) + 4y = cos 3x.

(cid:40)

Câu 6. Giải hệ phương trình vi phân x(cid:48)(t) = 2x(t) − y(t) + 2 sin t, y(cid:48)(t) = x(t) + 2y(t) + cos t.

Đề số 2

Câu 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = xe− 1 x .

+∞ (cid:82)

dx √ Câu 2. Tìm α để tích phân hội tụ. Tính tích phân với α = 1. xα x2 − x + 1

Câu 3. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho miền D giới hạn bởi y = x2 và x = y2 quay quanh Ox và quay quanh Oy.

Câu 4. Giải phương trình vi phân cấp 1: y(cid:48) − 3x2y = x4ex3 .

Câu 5. Giải phương trình vi phân cấp 2: y(cid:48)(cid:48) − 5y(cid:48) + 6y = e2x(3x − 4) + x.

(cid:40)

Câu 6. Giải hệ phương trình vi phân x(cid:48)(t) = 3x(t) + 4y(t) + 3e−2t, y(cid:48)(t) = x(t) + 6y(t).

Đề số 3

Câu 1. Giải phương trình vi phân cấp 1: (ex + 3y + 1)dx = (y3 − 3x)dx.

Câu 2. Giải phương trình vi phân cấp 2: y(cid:48)(cid:48) + 5y(cid:48) + 6y = (x + 1)e2x.

(cid:40)

3 (cid:82)

Câu 3. Giải hệ phương trình vi phân x(cid:48)(t) = 3x + y + et, y(cid:48)(t) = 2x + 4y + t.

√ Câu 4. Tìm α để tích phân dx hội tụ. Tính tích phân với α = 2. xα 9 − x2

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 103

+∞ (cid:82)

4.6. ĐỀ THI CUỐI KỲ CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Câu 5. Tính tích phân . dx (x2 + x + 1)(x + 2)

Câu 6. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x3e−x.

Câu 7. Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi y = −x2 và y = x2 − 2x − 4.

Đề số 4

Câu 1 Giải phương trình vi phân y(cid:48) + 3x2y = 3x2 + 3x5.

0 (cid:82)

Câu 2 Giải phương trình vi phân y(cid:48)(cid:48) + 3y(cid:48) + 2y = 2x + 3 + 6ex.

−1

+∞ (cid:82)

Câu 3 Tính tích phân hoặc chứng tỏ phân kỳ I = e 1 x3 dx.

e−x cos 2xdx. Câu 4 Tính tích phân I =

Câu 5 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x2e 1 x .

x Câu 6 Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi y = √ 1 + x3 , y = 0, x = 1.

Đề số 5

Câu 1 Giải phương trình vi phân xdy − ydx = 3x2 sin xdx.

Câu 2 Giải phương trình vi phân y(cid:48)(cid:48) − 4y(cid:48) + 13y = (x2 + 4x)e2x.

(cid:40)

Câu 3 Giải hệ phương trình vi phân x(cid:48)(t) = 4x + y + 2t + 1, y(cid:48)(t) = 7x − 2y + 3t

+∞ (cid:82) √

3 (cid:82)

dx √ Câu 4 Tìm α để tích phân hội tụ. Tính Tích phân với α = 1. (xα − 1) x2 − 2

Câu 5 Tính tích phân suy rộng I = . dx (cid:112)(4x − x2 − 3)3

Câu 6 Tính diện tích mặt tròn xoay khi cho đường cong C : y = x2, x = 0 (cid:55)→ 1 quay quanh trục Ox và Oy.

Câu 7 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x2 ln x.

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 104

CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 4.6. ĐỀ THI CUỐI KỲ

Đề số 6

Câu 1 Giải phương trình vi phân xy(cid:48) − y + ey/x = 0

Câu 2 Giải phương trình vi phân y(cid:48)(cid:48) + 3y(cid:48) − 4y = (x + 1)e−4x.

(cid:40)

Câu 3 Giải hệ phương trình vi phân x(cid:48)(t) = 3x + 2y + et, y(cid:48)(t) = x + 2y + 3t.

+∞ (cid:82)

dx √ hội tụ. Tính tích phân khi α = 1. Câu 4 Tìm α để tích phân xα 3x2 − 2x − 1

Câu 5 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = e4x−x2 . √ √ 3 và y = 4 − x2 quay Câu 6 Tính thể tích vật thế tròn xoay khi cho D giới hạn bởi y = x2 quanh trục Ox.

Đề số 7

+∞ (cid:82)

. Câu 1 Khảo sát và vẽ đồ thị y = e−x 1 − x

Câu 2 Tìm α để tích phân dx hội tụ. Tính tích phân với α = 1. x2 − 3 xα(x + 1)(x2 + 1)

− Câu 3 Tính độ dài cung y = , 1 ≤ x ≤ 3. x2 2 ln x 4

Câu 4 Giải phương trình vi phân

y x

a) y(cid:48) = + x sin x thỏa y(π) = 2π. b) x2y(cid:48) = y(cid:112)y2 − 3x2 + xy, x > 0. c) y(cid:48)(cid:48) + 6y(cid:48) + 9y = e3x(3x − 2).

(cid:40)

Câu 5 Giải hệ phương trình vi phân x(cid:48)(t) = 3x − 4y + 3t, y(cid:48) = 2x − y + e2t

Đề số 8

+∞ (cid:82)

√ . Câu 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 8x x2 − 4

+∞ (cid:82)

Câu 2. Tìm α để tích phân y = dx hội tụ. 3x − 1 √ (4 + xα) 3 x4 + 5x2

√ Câu 3. Tính tích phân suy rộng . (x + 1) dx x2 − x + 1

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 105

4.6. ĐỀ THI CUỐI KỲ CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

√ Câu 4. Cho miền D giới hạn bởi y = x2 + 1, y = ex, x = 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho D quay quanh trục Ox và Oy.

Câu 5. Giải phương trình vi phân

a) (yexy + 4xy)dx + (xexy + 2x2 + 3)dy = 0. b) (x + y)y(cid:48) = (x + y)2 + 1. c) y(cid:48)(cid:48) − 4y(cid:48) + 3y = cos x + xe3x. (cid:40)

Câu 6. Giải hệ phương trình vi phân x(cid:48) = x + y + 2et, y(cid:48) = 3x − y − 3t.

Đề số 9: Dự thính 12/2013

+∞ (cid:82)

Câu 1) Khảo sát và vẽ đồ thị y =

Câu 2) Cho tích phân I = x − 1 e2x . (2x + 3)dx (x + 1)α(x2 + 4x + 5)

(a) Tìm α để I hội tụ (b) Tính I với α = 1.

Câu 3) Tính VOx, VOy với D : y = log3 x, y = 4 − x, y = 0.

Câu 4) Giải PTVP (x2 + 4)y(cid:48) − 2xy = 6x.

Câu 5) Giải PTVP y(cid:48)(cid:48) − 6y(cid:48) + 8y = 6 cos 3x.

(cid:40)

Câu 6) Giải PTVP x(cid:48) = 7x + 3y + e10t, y(cid:48) = 6x + 4y + 2e10t.

Chính quy: 2013-2014. Ca 1

√ 2) = 0 Câu 1 Giải PTVP x(cid:112)y2 + 2xy + 2x2dx = (2xy + 3x2)dy − (2y2 + 3xy)dx, y(1 +

Câu 2 Giải PTVP y(cid:48)(cid:48) − 5y(cid:48) + 6y = (x + 2)e2x.   Câu 3 Giải hệ PTVP

 x(cid:48) 1 = 7x1 − 12x2 + 6x3 x(cid:48) 2 = 10x1 − 19x2 + 10x3 x(cid:48) 3 = 12x1 − 24x2 + 13x3.

. Câu 4 Khảo sát và vẽ đồ thị y = x2 |x − 2|

4 (cid:82)

x − 1, x = Câu 5 Tính diện tích miền D : y2 − x2 = 1, y = . 3 2 6 5

√ dx. Câu 6 Tính tích phân I = (x − 1) 3 6x − x2 − 8

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 106

+∞ (cid:82)

CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 4.6. ĐỀ THI CUỐI KỲ

Câu 7 Tìm α để tích phân sau hội tụ I = e−x + ln(1 + 1 x2α ) xα−3(1 + xα)α−3 .

Chính quy: 2013-2014. Ca 2

+ x2 cos x. Câu 1 Giải PTVP y(cid:48) = y x

Câu 2 Giải PTVP y(cid:48)(cid:48) + 4y = sin 2x + 1, y(0) = , y(cid:48)(0) = 0. 1 4

(cid:40)

. Câu 3 Giải hệ PTVP x(cid:48) = x + 8y + e2t y(cid:48) = 2x + y − 1

√ (cid:40) x2 − 2x, x ≤ 0, Câu 4 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x + 2x − x2, x > 0

+∞ (cid:82)

Câu 5 Tìm thể tích vật thể tròn xoay VOy(D) biết D : xy = 1, y = x, x = 9y, x > 0, y > 0.

1 (cid:82)

. Câu 6 Tính tích phân I = dx x(ln3 x + ln2 x + ln x)

Câu 7 Khảo sát sự hội tụ tích phân I = ln xdx (cid:112)x(1 − x)α

Dự Thính: 2013-2014-HKII

+∞ (cid:82)

Câu 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số f (x) = (x − 2)e− 1 x .

Câu 2. Cho tích phân suy rộng I = . dx x2.(cid:112)(x − 1)α

(a) Tìm tất cả các giá trị thực α để tích phân hội tụ.

(b) Tính tích phân khi α = 1. √ 2x − x2 và trục Ox. Tính thể tích và diện tích xung Câu 3. Cho miền D giới hạn bởi y = quanh khi cho D quay quanh trục Ox.

= Câu 4. Giải phương trình vi phân cấp 1: y(cid:48)(x) − . y(x) x + 1 1 y(x).(x + 1)

Câu 5. Giải phương trình vi phân cấp 2: y(cid:48)(cid:48)(x) + 4y(cid:48)(x) + 3y(x) = xe−3x thỏa điều kiện y(0) = y(cid:48)(0) = 0.

Câu 6. Giải hệ phương trình vi phân

(cid:40)

x(cid:48)(t) = −5x(t) + 3y(t) + tet, y(cid:48)(t) = 3x(t) + 3y(t) − et.

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 107

4.6. ĐỀ THI CUỐI KỲ CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Đề Học Lại - II/2012-2013

Câu 1. Giải phương trình vi phân

(a) y(cid:48) cos x + y = 1 − sin x (b) y(cid:48)(cid:48) − 3y(cid:48) + 2y = 2ex

(cid:40)

Câu 2. Giải phương trình vi phân x(cid:48) = x + 3y − cos t − sin t y(cid:48) = x + 3y + sin t

+∞ (cid:82)

dx √ . Tìm điều kiện để tích phân hội tụ và tính tích Câu 3. Cho tích phân I = xm x2 + 8x + 4 phân khi m = 1.

Câu 4. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho miền D giới hạn bởi y = ln x, y = 0, x = 2 quay quanh trục Ox.

Câu 5. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = xe 1 x .

Đề ôn tập hè 2014

+∞ (cid:82)

Câu 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = (x − 1)ex

Câu 2. Cho tích phân I = (x + 1) xαdx √ 2x2 − x + 3

a) Tìm α để tích phân hội tụ. b) Tính tích phân khi α = 1

Câu 3. Cho miền D : y = x2, x = y2. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho D quay quanh trục Ox và trục Oy.

Câu 4. Giải phương trình vi phân cấp 1: y2 + x2y(cid:48) = xyy(cid:48), y(1) = 1.

Câu 5. Giải phương trình vi phân cấp 2: y(cid:48)(cid:48) − 3y(cid:48) − 4y = 2x2e−x, y(0) = y(cid:48)(0) = 0.

(cid:40)

Câu 6. Giải hệ phương trình vi phân x(cid:48) = −x + 5y + t y(cid:48) = 2x + 8y + tet

Đại học Bách khoa TPHCM ThS.Nguyễn Hữu Hiệp Trang 108

ĐÁP ÁN

Đề 8

a) Tiêm cận đứng x = ±2, tiệm cận ngang y = ±8. Không có cực trị.

b) α > 2/3

Đề 8

1) Tiệm cận ngang y = 0, cực đại x = 3/2

+ ln 5 2) α > 0, I = 3π 4 1 4

4) y = C(x2 + 4) − 3

sin 3x − 5) y = C1e4x + C2e2x − cos 3x. 108 325 6 325

6) x = −1/2C1e10t + C2et + 4/3te10t − 1/9e10t, y = C1e10t + C2et + 4/3te10t.

Chính quy: 2013-2014. Ca 1

1) Phương trình vi phân đẳng cấp (cid:114) √ (cid:114) 2 = ln |x| + 2 + ln 2. + 1 + y2 + 2xy + 2x2 x2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) y2 + 2xy + 2x2 x2 y x

(cid:18) (cid:19) − x2 − 3x e2x. 2) y = C1e2x + C2e3x + 1 2

  3)

 x(cid:48) 1 = 2C1et + 3C3e−t x(cid:48) 2 = C1et + C2et + 5C3e−t 3 = 2C2et + 6C3e−t x(cid:48)

4) Tiệm cận x = 2, y = x ± 2. Cực đại (0; 0) và cực tiểu (4; 8).

ln 5 + . 5) S(D) = 1 2 24 25 √ 6) I = π 3.

7) Điều kiện α2 − 3 > 1 ⇐⇒ α > 2.

109

4.6. ĐỀ THI CUỐI KỲ CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN