Bài giảng Giải tích phức: Chương 3 - Nguyễn Thị Huyền Nga

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:30

Thêm vào BST

Báo xấu

3
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Giải tích phức" Chương 3: Các hàm phức cơ bản, được biên soạn gồm các nội dung chính sau: Đa thức; Hàm mũ; Hàm lượng giác; Hàm hyperbol; Hàm lôgarit; Hàm lượng giác ngược; Hàm lũy thừa tổng quát;...Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích phức: Chương 3 - Nguyễn Thị Huyền Nga

Đa thức Hàm mũ - Exponential Hàm lượng giác Chương III: Các Hàm Phức Cơ Bản Hàm hyperbol Hàm lôgarit Hàm lượng giác ngược Chương III: Các Hàm Phức Cơ Bản Đa thức Hàm mũ Hàm lượng giác Hàm hyperbol Hàm lôgarit Hàm lượng giác ngược Hàm lũy thừa tổng quát Nguyễn Thị Huyền Nga Chương III: Các Hàm Phức Cơ Bản 1
Đa thức Hàm mũ - Exponential Hàm lượng giác Chương III: Các Hàm Phức Cơ Bản Hàm hyperbol Hàm lôgarit Hàm lượng giác ngược III.1. Đa thức P  z   an z n  ...  a2 z 2  a1 z  a0 , n an  0 P n (z) là hàm nguyên. Đạo hàm: ′ P '  z   nan z n 1  ...  2a2 z  a1 n Nguyễn Thị Huyền Nga Chương III: Các Hàm Phức Cơ Bản 2
Đa thức Hàm mũ - Exponential Hàm lượng giác Chương III: Các Hàm Phức Cơ Bản Hàm hyperbol III.2. Hàm mũ – Exp onential Hàm mũ exp(z) exp  z   e z  e x iy  e x  cosy i siny   u  x, y   e x cos y; v  x, y   e x sin y u v  e x cos y;  e x cos y x y u v  e x sin y;  e x sin y y x  u v  x  y (thỏa điều kiện Cauchy - Riemann)    u   v  y  x Nguyễn Thị Huyền Nga Chương III: Các Hàm Phức Cơ Bản 3
Vậy: e z là hàm nguyên. Khi đó: de z   e x eiy  f  z  '   e x eiy  e z dz x Chương III: Các Hàm Phức Cơ Bản 4
Vì z = r.eiѲ => ez = ex+iy = exeiy =ex (cos y + i sin y) • Modulus: ex (tức |ez| = ex ) • Argument: y (pha arg(ez) = y) • Phần thực và phần ảo: Re(w) = u(x,y) = ex cos y; Im(w) = v(x,y) = ex sin y Chương III: Các Hàm Phức Cơ Bản 5
 Tuân theo quy tắc cho hàm mũ : 𝑒 𝑧1 𝑒 𝑧2 = 𝑒 𝑧1+𝑧2 𝑒 𝑧1 /𝑒 𝑧2 = 𝑒 𝑧1−𝑧2 1/𝑒 𝑧 = 𝑒 −𝑧 Chương III: Các Hàm Phức Cơ Bản 6
•Tuân theo quy tắc đạo hàm hàm mũ: (ez)’ = ez.  Không bao giờ bằng zero. Vì ez = ex . eiy |ez| = ex ≠ 0 Lý do: modulus của ez là ex, mà ex là một hàm mũ thực nên luôn khác zero, vậy hàm mũ phức luôn khác zero. Chương III: Các Hàm Phức Cơ Bản 7
 Hàm mũ phức khác hàm mũ thực ở những tính chất sau:  Hàm mũ thực không tuần hoàn, nhưng hàm mũ phức tuần hoàn với chu kì 2пi ez = e(z+ik2п) , k € Z  Hàm mũ thực luôn dương, nhưng hàm mũ phức không nhất thiết phải dương. Ví dụ 1: ei(2k +1)п = -1 Chương III: Các Hàm Phức Cơ Bản 8
Đa thức Hàm mũ - Exponential Hàm lượng giác Chương III: Các Hàm Phức Cơ Bản Hàm hyperbol Hàm lôgarit Hàm lượng giác ngược III.3. Hàm lượng giác I Hàm Sin, Cos: eiz  e  iz eiz  e  iz sin z  ; cos z  2i 2 Sinz và cosz là các hàm nguyên. Hàm Tang và Cotang: sin z cos z tan z  ; cot z  cos z sin z Các hàm tanz và cotz không giải tích trên toàn mặt phẳng phức, mà có các điểm dị thường=> không là hàm nguyên. Nguyễn Thị Huyền Nga Chương III: Các Hàm Phức Cơ Bản 9
Đa thức Hàm mũ - Exponential Hàm lượng giác Chương III: Các Hàm Phức Cơ Bản Hàm hyperbol Hàm lôgarit Hàm lượng giác ngược III.3. Hàm lượng giác II Các điểm dị thường của hàm tan z: cos z  0  eiz  e  iz  0  e 2iz  1  0  e 2iz  1  ei 2 k 1 , k   zk   2k  1 , k 2 Vậy: các điểm dị thường của tan z là các điểm:  zk  (2k  1) , k Z 2 1 Nguyễn Thị Huyền Nga Chương III: Các Hàm Phức Cơ Bản 0
VD: Chứng minh rằng hàm cot z có các điểm dị thường tại: Zk = kп, k € Z 1 Chương III: Các Hàm Phức Cơ Bản 1
• Điểm dị thường của hàm cot z tại sin z = 0  eiz – e-iz =0 e2zi -1 = 0 => e2zi =1 = e2kпi  2z = 2kп => z = kп, k € Z • Vậy: zk = kп là các điểm dị thường của hàm cot z 1 Chương III: Các Hàm Phức Cơ Bản 2
Đa thức Hàm mũ - Exponential Hàm lượng giác Chương III: Các Hàm Phức Cơ Bản Hàm hyperbol Hàm lôgarit Hàm lượng giác ngược III.4. Hàm hyperbol Hàm Sin, Cosin hyperbolic: e z  e z e z  e z sinh z  ; cosh z  2 2 Hàm Tang, Cotang hyperbolic: sinh z cosh z tanh z  ; coth z  cosh z sinh z Mối quan hệ với các hàm lượng giác: cosh iz  cos z; sinh iz  i sin z cos iz  cosh z;  i sin iz  sinh z Nguyễn Thị Huyền Nga Chương III: Các Hàm Phức Cơ Bản 1 3
 BT1: Chứng minh các hệ thức: 1/cosh2 z – sinh2 z = 1 2/ cosz = cos (x + iy)= cosxcoshy-isinxsinhy 3/ sinz = sin (x+iy)=sinxcoshy+icosxsinhy 4/ Tìm các giá trị của cos(1+2i) và sin (2+i) 1 Chương III: Các Hàm Phức Cơ Bản 4
Giải: a/ cosh z = cos iz; sinh z = -isin iz => cosh2 z = (cos iz)2 Sinh2 z = (-i)2.(sin iz)2 Vậy: cosh2 z – sinh2 z = 1 1 Chương III: Các Hàm Phức Cơ Bản 5
 BT2: Chứng minh rằng: a/ | cos z |2 = cos2 x + sinh2 y, b/ | sin z |2 = sin2 x + sinh2 y. 1 Chương III: Các Hàm Phức Cơ Bản 6
a/ cos (z) = cos( x + iy) = cos x. cosh y – i.sin x. sinh y Ta có: |cos z |2 = cos2 x. cosh2 y + sin2 x. sinh2 y = cos2 x (1 + sinh2 y) + (1 – cos2 x). sinh2 y = cos2 x + cos2 x. sinh2 y + sinh2 y– cos2 x. sinh2 y = cos2 x + sinh2 y. 1 Chương III: Các Hàm Phức Cơ Bản 7
Đa thức Hàm mũ - Exponential Hàm lượng giác Chương III: Các Hàm Phức Cơ Bản Hàm hyperbol Hàm lôgarit Hàm lượng giác ngược III.5. Hàm lôgarit Hàm log z được định nghĩa:  =logz  z=e (chú ý: ta dùng ký hiệt ln () cho lôgarit thực, còn log () cho lôgarit phức.) Mối liên hệ giữa log () và ln (): Ta có z   ei  eln  .ei  eln  i  e .    ln   i .    ln z  i arg  z  .  arg  z     2k , k   d  log z  1 Đạo hàm  . dz z 1 Nguyễn Thị Huyền Nga Chương III: Các Hàm Phức Cơ Bản 8
Ví dụ: 1/ Tính Log(i) 2/ Tính Log (-i) 3 / Tính Log (-1-i) 1 Chương III: Các Hàm Phức Cơ Bản 9
Giải:  a/ log(i) = ln(1) + i(  + 2kп) = i( 2 + 2kп) 2  b/ log(-i) = ln(1) + i(- 2 + 2kп) = i(-  + 2kп) 2 2 Chương III: Các Hàm Phức Cơ Bản 0