Bài giảng Ma trận TS. Lê Xuân Đại: Kinh nghiệm và kiến thức

MA TRẬN Bài giảng điện tử

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

TS. Lê Xuân Đại

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

1 / 103

TP. HCM — 2013.

Bài toán thực tế

Lĩnh vực du lịch

Để chuẩn bị cho chuyến du lịch của mình, đôi khi bạn quên những vật dụng cần thiết. Việc mua những vật dụng này ở những thành phố khác nhau sẽ có giá khác nhau. Giá trung bình các vật dụng này được liệt kê như sau:

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

2 / 103

Bài toán thực tế

Những dữ liệu này được mô tả bởi ma trận sau

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

3 / 103

Film ảnh Thuốc Máy xấy tóc Atlanta LosAngeles Mexico Tokyo 7.08 36.57 63.71 3.97 7.43 32.25 4.21 7.41 20.49 4.03 6.78 18.98

Bài toán thực tế

Nội dung

1 Những khái niệm cơ bản về ma trận 2 Các phép biến đổi sơ cấp đối với ma trận 3 Hạng của ma trận 4 Các phép toán trên ma trận

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

4 / 103

Định nghĩa ma trận và ví dụ

Định nghĩa ma trận

Một ma trận A cỡ m × n trên trường K (thực hoặc phức) là một bảng hình chữ nhật gồm m hàng và n cột có dạng sau:

 

A =

           

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

5 / 103

. . . a1j a11 ... ... . . . . . . aij ai1 ... ... . . . am1 . . . amj . . . a1n ... . . . . . . ain ... . . . . . . amn

Định nghĩa ma trận và ví dụ

Định nghĩa ma trận

Định nghĩa Ma trận A có m hàng và n cột thường được ký hiệu A = (aij)m×n. Tập hợp tất cả các ma trận cỡ m × n được ký hiệu là Mm×n(K ).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

6 / 103

Định nghĩa Phần tử aij(i = 1..m; j = 1..n) được gọi là phần tử hàng thứ i, cột thứ j của ma trận A.

Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận cột, ma trận hàng

Ma trận cột, ma trận hàng

Định nghĩa  

được gọi là ma trận cột.

       

a1 a2 ... an

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

7 / 103

(cid:1) được gọi là ma trận hàng. (cid:0) a1 a2 . . . an

Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận cột, ma trận hàng

Mối quan hệ giữa ma trận và ma trận hàng, cột

Gọi Ai∗ = (cid:0) ai1 ai2

. . . ain

(cid:1) là hàng thứ i của ma trận 



là cột thứ j của ma

A, 1 (cid:54) i (cid:54) m, và gọi A∗j =

   

   

a1j a2j ... amj

trận A, 1 (cid:54) j (cid:54) n thì





(cid:1)

A =

= (cid:0) A∗1 A∗2

. . . A∗n

   

   

A1∗ A2∗ ... Am∗

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

8 / 103

Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận cột, ma trận hàng

Ví dụ

(cid:19)

(cid:18) 1 −4 0 5 3 −2

2×3

(cid:19)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

9 / 103

, , và 3 ma trận cột Ma trận A = gồm có: 2 ma trận hàng (cid:0) 1 −4 5 (cid:1) , (cid:0) 0 3 −2 (cid:1) (cid:18) 1 (cid:19) (cid:19) 0 (cid:18) 5 −2 (cid:18) −4 3

Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận không

Ma trận không

Định nghĩa Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử của nó đều bằng 0, có nghĩa là aij = 0, ∀i, j.

Ví dụ

 

A =   là ma trận không cỡ 3 × 4.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

10 / 103

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận đối

Ma trận đối

Định nghĩa Ma trận −A = (−aij)m×n được gọi là ma trận đối của A.

Ví dụ

(cid:19) (cid:18) 1 2 B = là ma trận đối của ma trận

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

11 / 103

A = (cid:19) . 3 0 4 −5 (cid:18) −1 −2 −3 0 −4 5

Định nghĩa ma trận và ví dụ

Định nghĩa ma trận vuông

Nếu m = n thì A được gọi là ma trận vuông. Tập ma trận vuông cấp n được ký hiệu là Mn(K )  

. A =

           

a11 . . . a1i ... ... . . . ai1 . . . aii ... ... . . . an1 . . . ani

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

12 / 103

. . . a1n ... . . . . . . ain ... . . . . . . ann Đường thẳng đi qua các phần tử a11, a22, . . . , ann gọi là đường chéo chính

Định nghĩa ma trận và ví dụ

Định nghĩa ma trận vuông

Ví dụ

 

A =   là ma trận vuông cấp 3. Các

3 2 1 0 −3 −2 4 −5 5

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

13 / 103

phần tử nằm trên đường chéo chính là 1, −3, −5

Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận đơn vị

Ma trận đơn vị

Định nghĩa

 

Ma trận vuông I = , có nghĩa là ...         1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 ... ... . . . 0 0 . . . 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

14 / 103

(aii = 1, i = 1, ..n; aij = 0, ∀i (cid:54)= j) được gọi là ma trận đơn vị cấp n và được ký hiệu là I hay In

Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận đơn vị

Ví dụ  

I =   là ma trận đơn vị cấp 3.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

15 / 103

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận chéo

Ma trận chéo

Định nghĩa

 

Ma trận vuông D = , có

       

α1 0 . . . 0 0 α2 . . . 0 ... ... ... . . . 0 . . . αn 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

16 / 103

(cid:1) . nghĩa là (aij = 0, ∀i (cid:54)= j; i, j = 1, ..n) được gọi là ma trận chéo cấp n và được ký hiệu là D = dig (cid:0) α1 α2 . . . αn

Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận chéo

Ví dụ

 

A =   là ma trận chéo cấp 3.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

17 / 103

0 0 1 0 −3 0 0 0 0

Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận dạng bậc thang

Ma trận dạng bậc thang

Định nghĩa 1 Một hàng của ma trận gọi là hàng 0 nếu tất cả

2 Phần tử khác 0 đầu tiên của một hàng (tính từ trái sang phải) được gọi là phần tử cơ sở của hàng đó.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

18 / 103

các phần tử của nó bằng 0.

Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận dạng bậc thang

Định nghĩa Ma trận được gọi là có dạng bậc thang nếu 1 Các hàng bằng không phải nằm dưới các hàng

2 Phần tử cơ sở của hàng dưới phải nằm phía phải so với phần tử cơ sở của hàng trên nó.

khác không.

(cid:19) (cid:19)

và không có dạng bậc (cid:18) 0 2 1 3 1 0 Ví dụ (cid:18) 2 1 3 1 5 2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

19 / 103

thang vì không thỏa mãn điều kiện 2.

Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận dạng bậc thang

(cid:19)

không có dạng bậc thang vì không thỏa

Ví dụ (cid:18) 0 0 1 5 điều kiện 1.

Ví dụ      

  ,   ,   có

1 2 5 0 0 2 0 0 0 1 2 3 4 0 0 2 1 0 0 0 6 2 1 3 0 5 2 0 0 3

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

20 / 103

dạng bậc thang.

Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận dạng bậc thang rút gọn

Định nghĩa Ma trận được gọi là có dạng bậc thang rút gọn nếu 1 nó có dạng bậc thang 2 phần tử cơ sở của hàng khác 0 bằng 1, và là phần tử duy nhất khác 0 trong cột chứa nó.

Ma trận có dạng bậc thang rút gọn hay không?      

  ,   ,  

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

21 / 103

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 0 4 0 0 1 3 0 0 0 0

Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

Định nghĩa

Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

Định nghĩa Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A ∈ Mm×n(K ) là những phép biến đổi sau: 1 hi ↔ hj(ci ↔ cj) tức là đổi chỗ hai hàng (hai

2 hi → λhi(ci → λci) tức là nhân vào hàng i

cột) cho nhau.

3 hi → hi + λ.hj(ci → ci + λcj), ∀λ tức là biến

(cột i) một số λ (cid:54)= 0.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

22 / 103

hàng thứ i (cột thứ i) thành hi + λ.hj(ci + λcj)

Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

Định lý về việc đưa ma trận về dạng bậc thang

Định nghĩa Ta ký hiệu A −→ B để chỉ ma trận B nhận được từ ma trận A sau một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp trên A.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

23 / 103

Định lý Mọi ma trận đều có thể đưa được về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp.

Hạng của ma trận

Định nghĩa hạng của ma trận

Hạng của ma trận

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

24 / 103

Định nghĩa Giả sử Am×n −→ Bm×n, với B là ma trận dạng bậc thang. Khi đó hạng của ma trận A là số hàng khác 0 của ma trận dạng bậc thang B. Kí hiệu r (A).

Hạng của ma trận

Tính chất của hạng của ma trận

2 0 (cid:54) r (Am×n) (cid:54) min{m, n}

3 Nếu A

r (A) = 0 ⇔ A = 0

các phép biến đổi sơ cấp −−−−−−−−−−−−−−−−−→ B thì

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

25 / 103

r (B) = r (A).

Hạng của ma trận

Ví dụ

 

Cho A = . Đưa ma trận A về 2 −4 5 7

            0 −1 −4 1 3 5 −10 0 3 2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

26 / 103

0 ma trận dạng bậc thang bằng các phép biến đổi sơ cấp. Từ đó suy ra hạng của A

Hạng của ma trận

Ví dụ









2 h2

2 −4 5 7

h3→h3−3h1 h5→h5−2h1 h2→ 1 −−−−−−→

h2→−h2 h2↔h1−−−−→

    

    

    

    





1 4 −5 0 2 −4 3 1 7 0 5 −10 2 3 



.

h3→h3+11h2 h4→h4−5h2 h5→h5+5h2 −−−−−−−→

    

    

    

    

0 −1 −4 1 3 5 −10 0 3 2 4 1 1 0 0 −11 0 0 −5

0 −5 −2 22 5 −10 10

0 1 4 −5 0 1 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Hạng của ma trận A là 2.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

27 / 103

Hạng của ma trận

Ví dụ





Cho A =

. Tìm hạng của ma trận A.

     

     

0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 2 3 3 2 1

Giải.









h1↔h2−−−→

h4→h4−h1 h6→h6−2h1 −−−−−−→

     

     

     

     

0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 2 3 3 2 1

1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 2 3 3 2 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

28 / 103

Hạng của ma trận

Ví dụ









1 1 1

h4→h4+2h3 h5→h5+h3 h6→h6+2h3 −−−−−−→

h3→h3−h2 h4→h4+h2 h6→h6−h2 −−−−−−→

     

     

     

     

0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 −1 1 1 0 0 2 0 0 1 0 1 0 0 2 1 2 0 0

0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 −1 1 0 0 1 1 0 0 3 2 1 0

0 1









0 1

h5→h5−h4 h6→h6−2h4 −−−−−−→

h6→h6−h5 −−−−−−→

     

     

     

     

1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 −1 1 1 2 2 0 0 0 2 1 0 0 0 4 3 0 0 0

0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 −1 1 2 0 0 2 0 −1 0 0 0 −1 0 0

0 0 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

29 / 103

Hạng của ma trận

Ví dụ

 

0 1

.Vậy r (A) = 5.

               

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

30 / 103

0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 −1 1 1 2 0 0 2 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Hạng của ma trận

Ví dụ

 

Cho A = . Tìm hạng của A.

        3 1 1 4 λ 4 10 1 1 7 17 3 2 2 4 3

   

c1↔c2−−−→

c1↔c4−−−→

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

31 / 103

                4 1 1 3 1 4 10 λ 3 7 17 1 3 2 4 2 3 1 1 4 λ 4 10 1 1 7 17 3 2 2 4 3

Hạng của ma trận

Ví dụ







3

4

h2→h2−4h1 h3→h3−7h1 h4→h4−2h1 −−−−−−→

  

  

  

1 1 0 −15 6 λ − 12 0 −25 10 −20 0 −5 −4 2 

h2↔h4−−−→

h3→h3−5h2 h4→h4−3h2 −−−−−−→

  

  





1

4 1 4 1 3 4 1 10 λ 7 3 17 1 2 3 4 2  1 4 1 3 −4 2 0 −5 0 −25 10 −20 0 −15 6 λ − 12  1

4

h3↔h4−−−→

  

  

  

  

3 1 0 −5 2 −4 0 λ 0 0 0 0

3 1 0 −5 2 −4 0 0 0 0 λ 0

0 0

Biện luận. r (A) =

0 0 (cid:26) 2, nếu λ = 0 3, nếu λ (cid:54)= 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

32 / 103

Các phép toán trên ma trận Ma trận bằng nhau

Ma trận bằng nhau

Định nghĩa Hai ma trận A và B gọi là bằng nhau nếu như

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

33 / 103

A = (aij)m×n = B = (bij)m×n ⇔ aij = bij, ∀i, j.

Các phép toán trên ma trận Ma trận bằng nhau

(cid:19) (cid:19)

= Ví dụ Tìm x, y , z, t sao cho (cid:18) x + y 2z + t z − t x − y (cid:18) 3 7 1 5

⇔

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

34 / 103

x + y = 3 x − y = 1 2z + t = 7 z − t = 5 x = 2 y = 1 z = 4 t = −1      

Các phép toán trên ma trận

Nhân ma trận với một số

Định nghĩa Cho A = (aij)m×n ∈ Mm×n(K ), α ∈ K . Khi đó tích của số α với ma trận A là

αA = (α.aij) ∈ Mm×n(K )

(−1).A = −A

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

35 / 103

Tính chất 1 1.A = A, 2 0.A = 0, 0 ∈ K 3 α.0 = 0, ∀α ∈ K , 0 là ma trận không. 4 α(βA) = (αβ)A, ∀α, β ∈ K .

Các phép toán trên ma trận

Nhân ma trận với một số

Ví dụ

(cid:19) (cid:18) 1 2 Nếu A = thì 3 5 4 −5

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

36 / 103

(cid:19) (cid:19) (cid:18) 3 9 (cid:18) 3.1 3.2 3.3 3A = = 6 15 12 −15 3.5 3.4 3.(−5)

Các phép toán trên ma trận

Nhân ma trận với một số

Hệ quả Thừa số chung của tất cả những phần tử của ma trận có thể đưa ra khỏi dấu ma trận.

Ví dụ

   

  = 5  

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

37 / 103

0 5 15 20 −5 0 30 15 40 0 1 3 4 −1 0 8 3 6

Các phép toán trên ma trận

Cộng ma trận

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

38 / 103

Muốn cộng 2 ma trận A và B thì 1 A và B phải có cũng cỡ m × n 2 A + B = (aij + bij)m×n

Các phép toán trên ma trận

Cộng ma trận

Tính chất

Cho A, B, C là những ma trận cùng cỡ 1 A + B = B + A (tính giao hoán của phép cộng) 2 A + (B + C ) = (A + B) + C (tính kết hợp của

3 α.(A + B) = α.A + α.B, ∀α ∈ K . 4 (α + β).A = α.A + β.A, ∀α, β ∈ K . 5 A + 0 = 0 + A = A

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

39 / 103

phép cộng)

Các phép toán trên ma trận

Cộng ma trận

Ví dụ

(cid:19) (cid:19) (cid:18) 1 (cid:18) 3 + = 3 4 8 −3 2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

40 / 103

(cid:19) (cid:19) (cid:18) 1 + 3 1 1 4 −1 0 (cid:18) 4 = = 3 + 1 4 + 1 8 + 4 −3 − 1 2 + 0 4 5 12 −4 2

Các phép toán trên ma trận

Cộng ma trận

Ví dụ Tính C = 5A − 2B với (cid:19) (cid:19) (cid:18) 2 3 , B = A = 5 1 4 −2 (cid:18) 2 −2 0 5 6 −4

Giải.

(cid:19)

(cid:18) 2 3

C = 5

− 2

=

5 1 4 −2

(cid:18) 2 −2 0

5 6 −4

(cid:19)

(cid:18) 5.2 − 2.2 5.3 − 2.(−2)

=

5.1 − 2.0

5.5 − 2.5 5.(−2) − 2.(−4)

(cid:19)

=

.

5.4 − 2.6 (cid:18) 6 19 15 5 8 −2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

41 / 103

Các phép toán trên ma trận

Nhân 2 ma trận

Bảng xếp hạng ngoại hạng Anh năm 2012-2013

Tên đội Man. Utd Man. City Chelsea Arsenal

28 23 22 21 Tottenham 21 Thắng Hòa Thua 5 9 9 10 9 5 6 7 7 8

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

42 / 103

Hãy tính tổng số điểm của các đội biết thắng được 3 điểm, hòa được 1 điểm và thua được 0 điểm.

Các phép toán trên ma trận

Nhân 2 ma trận

   

 

. =   =

3 1 0                         28 5 5 23 9 6 22 9 7 21 10 7 21 9 8 28.3 + 5.1 + 5.0 23.3 + 9.1 + 6.0 22.3 + 9.1 + 7.0 21.3 + 10.1 + 7.0 21.3 + 9.1 + 8.0

 

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

43 / 103

            89 (Man. Utd) 78 (Man. City) (Chelsea) 75 73 (Arsenal) 72 (Tottenham)

Các phép toán trên ma trận

Nhân 2 ma trận

Định nghĩa Cho A = (aij)m×n ∈ Mm×n(K ), B = (bij)n×p ∈ Mn×p(K ). 







 

 

. . . . . . . . .

. . . ... . . .

b11 ... bn1

b12 ... bn2

b1p ... bnp

b1j ... bnj

n×p

      

      

m×n





. Khi đó tích của của 2 ma trận A và B là

      

      

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . ... . . . ... . . .

a11 ... ai1 ... am1 c11 ... ci1 ... cm1

a12 ... ai2 ... am2 c12 ... ci2 ... cm2

c1p ... cip ... cmp

a1n ... ain ... amn c1j ... cij ... cmj

m×p

ma trận C = A.B = (cij )m×p sao cho cij =

aik .bkj , i = 1..m; j = 1..p

n (cid:80) k=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

44 / 103

Các phép toán trên ma trận

Nhân 2 ma trận

Chú ý

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

45 / 103

Nhân ma trận A cho ma trận B thì

Các phép toán trên ma trận

Nhân 2 ma trận

,

Ví dụ Tính tích A.B với A = (cid:0) 2 −1 4 5 (cid:1)

1×4





B =

  

  

1 2 0 −1

4×1





A.B = (cid:0) 2 −1 4 5 (cid:1) .

=

  

  

1 2 0 −1

(2.1 + (−1).2 + 4.0 + 5.(−1)) = (−5)1×1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

46 / 103

Các phép toán trên ma trận

Nhân 2 ma trận

Ví dụ Tính tích C = A.B với





(cid:19)

(cid:18) 2

A =

, B =

.





3 1 −1 0 1

2×3

2 1 −1 1 3 −2 1 0 2

3×3





(cid:19)

(cid:18) 2

.

 =



3 1 −1 0 1

2 1 −1 1 3 −2 1 0 2





c11 = (cid:0) 2 3 1 (cid:1) .

 = 2.2 + 3.1 + 1.0 = 7



2 1 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

47 / 103

Các phép toán trên ma trận

Nhân 2 ma trận





c12 = (cid:0) 2 3 1 (cid:1) .

 = 2.1 + 3.3 + 1.2 = 13







c13 = (cid:0) 2 3 1 (cid:1) .

 = 2.(−1)+3.(−2)+1.1 = −7





c21 = (cid:0) −1 0 1 (cid:1) .

 = (−1).2 + 0.1 + 1.0 = −2







c22 = (cid:0) −1 0 1 (cid:1) .

 = (−1).1 + 0.3 + 1.2 = 1



1 3 2 −1 −2 1  2 1 0 1 3 2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

48 / 103

Các phép toán trên ma trận

Nhân 2 ma trận

 

c23 = (cid:0) −1 0 1 (cid:1) .  = 

−1 −2 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

49 / 103

(−1).(−1) + 0.(−2) + 1.1 = 2 Vậy (cid:19) (cid:18) 7 . C = A.B = 13 −7 2 −2 1

Các phép toán trên ma trận

Nhân 2 ma trận

Ví dụ





,

Tính tích A.B với A =





3 −2 5

3×1

B = (cid:0) 1 −1 2 2 (cid:1)

1×4

A3×1.B1×4 = C3×4 = 



3.1 3.(−1)

3.2 =

(−2).1 (−2).(−1) (−2).2 (−2).2



 =

5.1

5.2 

5.(−1) 

=



 .

3 −3 −2 5 −5 10

6 6 2 −4 −4 10

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

50 / 103

Các phép toán trên ma trận

Nhân 2 ma trận

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

51 / 103

Tính chất 1 (A.B).C = A.(B.C ) = A.B.C 2 A.(B + C ) = A.B + A.C . 3 (B + C ).A = B.A + C .A 4 k(AB) = (kA).B = A.(kB)

Các phép toán trên ma trận

Nhân 2 ma trận

Ví dụ

(cid:19)

Cho A =

và B =

.

(cid:18) cos α − sin α sin α cos α

(cid:19)

.

=

(cid:18) cos β − sin β sin β cos β (cid:18) cos β − sin β cos β

sin β

(cid:18) cos α − sin α sin α cos α (cid:19)

và

Lúc này AB = (cid:18) cos(α + β) − sin(α + β) cos(α + β)

sin(α + β)

(cid:19)

.

=

(cid:18) cos β − sin β cos β

sin β

(cid:18) cos α − sin α sin α cos α (cid:19)

. Vậy AB = BA

BA = (cid:18) cos(α + β) − sin(α + β) cos(α + β)

sin(α + β)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

52 / 103

Các phép toán trên ma trận

Nhân 2 ma trận

Chú ý.

Nói chung A.B (cid:54)= B.A

Ví dụ

(cid:19)

Cho ma trận A = và ma trận (cid:18) 2 1 1 0 3 2

 

B =   . Lúc này A2×3.B3×2 = C2×2,

3 0 1 5 −1 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

53 / 103

trong khi đó B3×2.A2×3 = D3×3. Như vậy ma trận C và D có cỡ khác nhau nên không thể bằng nhau.

Các phép toán trên ma trận

Nhân 2 ma trận

Tuy nhiên, ngay cả khi A và B là những ma trận vuông cùng cỡ thì tích AB và BA cũng có thể không bằng nhau.

Ví dụ

(cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:18) 1 (cid:18) 0 = (cid:18) 2 1 0 1 0 −2 1 1 −2 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

54 / 103

(cid:19) (cid:19) (cid:18) 2 trong khi đó (cid:18) 1 = (cid:19) (cid:18) 2 1 0 1 1 −4 −1 0 −2 1

Các phép toán trên ma trận

Nhân 2 ma trận

Chú ý. Ma trận đơn vị là ma trận có tính chất giao hoán với ma trận vuông A bất kỳ cùng cỡ: AI = IA = A

Chú ý.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

55 / 103

A.B = A.C không suy ra được B = C

Các phép toán trên ma trận

Nhân 2 ma trận

Ví dụ

(cid:19) (cid:19)

, B = , C = (cid:18) 1 0 0 0 (cid:18) 1 1 1 2

(cid:19)

. Lúc này Cho A = (cid:18) 1 1 2 2

(cid:19) (cid:19) (cid:19)

. AB = = và

(cid:19) (cid:19) (cid:19)

. . AC = = (cid:18) 1 0 0 0 (cid:18) 1 0 0 0 (cid:18) 1 1 1 2 (cid:18) 1 1 2 2 (cid:18) 1 1 0 0 (cid:18) 1 1 0 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

56 / 103

Vậy AB = AC nhưng B (cid:54)= C .

Các phép toán trên ma trận

Nhân 2 ma trận

Chú ý.

A.B = 0 không suy ra được A = 0 ∨ B = 0

Ví dụ

(cid:19) (cid:19)

Cho A = , B = là những ma (cid:18) 1 0 0 0

(cid:18) 0 0 1 0 trận khác ma trận không. Khi đó (cid:19) (cid:19) (cid:19)

. A.B = = 0 = (cid:18) 1 0 0 0 (cid:18) 0 0 0 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

57 / 103

(cid:18) 0 0 1 0 nhưng không thể suy ra được A = 0 ∨ B = 0

Các phép toán trên ma trận Ma trận sơ cấp

Ma trận sơ cấp

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

58 / 103

Định nghĩa Ma trận nhận được từ ma trận đơn vị I ∈ Mn(K ) bằng các phép biến đổi sơ cấp được gọi là ma trận sơ cấp

Các phép toán trên ma trận Ma trận sơ cấp

2 Một phép biến đổi sơ cấp đối với cột của ma trận A tương đương với việc nhân bên phải A một ma trận sơ cấp tương ứng.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

59 / 103

Định lý 1 Một phép biến đổi sơ cấp đối với hàng của ma trận A tương đương với việc nhân bên trái A một ma trận sơ cấp tương ứng.

Các phép toán trên ma trận Ma trận sơ cấp

Ví dụ Cho A ∈ M3×4(R). Sử dụng phép biến đổi sơ cấp: cộng vào hàng thứ 3, hàng 1 đã được nhân với số 2. Phép biến đổi trên tương đương với nhân bên trái ma trận A cho ma trận nào?

h3→h3+2h1 −−−−−−→ B3×4 ⇔ B3×4 = E3×3.A3×4 Trong

 A3×4 đó, ma trận sơ cấp E thu được như sau:   

h3→h3+2h1 −−−−−−→

    = E

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

60 / 103

1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 2 0 1

Các phép toán trên ma trận Ma trận sơ cấp

Thật vậy, giả sử

 

A =

h3→h3+2h1 −−−−−−→ B =

 

a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34

 

a11 a21 a12 a22 a13 a23 a14 a24  

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

61 / 103

a31 + 2a11 a32 + 2a12 a33 + 2a13 a34 + 2a14

Các phép toán trên ma trận Ma trận sơ cấp

   

E .A =   .   = B =

1 0 0 0 1 0 2 0 1 a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34

 

a12 a22 a13 a23 a14 a24 a11 a21  

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

62 / 103

a31 + 2a11 a32 + 2a12 a33 + 2a13 a34 + 2a14

Các phép toán trên ma trận Ma trận sơ cấp

Cho A ∈ M3×4(R). Sử dụng phép biến đổi sơ cấp: đổi chỗ cột 1 và cột 3 cho nhau. Phép biến đổi trên tương đương với nhân bên phải ma trận A cho ma trận nào?

c1↔c3−−−→ B3×4 ⇔ B3×4 = A3×4.E4×4. Trong đó,

 A3×4 ma trận sơ cấp E thu được như sau:   

c1↔c3−−−→

= E

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

63 / 103

                1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

Các phép toán trên ma trận Ma trận nghịch đảo

Ma trận nghịch đảo

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

64 / 103

Định nghĩa Ma trận vuông A ∈ Mn(K ) được gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận B ∈ Mn(K ) sao cho BA = I , trong đó I là ma trận đơn vị. Khi đó B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A và ký hiệu là A−1.

Các phép toán trên ma trận Ma trận nghịch đảo

Chú ý. Không phải ma trận vuông nào cũng khả nghịch. Có nhiều ma trận vuông không khả nghịch.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

65 / 103

Định nghĩa Ma trận khả nghịch được gọi là ma trận không suy biến. Ma trận không khả nghịch được gọi là ma trận suy biến.

Các phép toán trên ma trận Ma trận nghịch đảo

Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo

Định lý Cho ma trận vuông A ∈ Mn(K ). Các mệnh đề sau đây tương đương 1 Tồn tại ma trận nghịch đảo (ma trận không

suy biến)

2 A

các phép biến đổi sơ cấp trên hàng −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ I

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

66 / 103

r (A) = n

Các phép toán trên ma trận

Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng

Thuật toán

(A|I ) các phép biến đổi sơ cấp trên hàng −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ (I |A−1)

En.En−1. . . . .E2E1.A = I

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

67 / 103

⇒ A−1 = En.En−1. . . . .E2E1

Các phép toán trên ma trận

Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng

Ví dụ

 

Tìm A−1 (nếu có) với A =

        4 1 2 3 2 5 4 7 3 7 8 12 4 8 14 19





h2→h2−2h1 h3→h3−3h1 h4→h4−4h1 −−−−−−→

(A|I4) =

  

  

4 1 2 3 7 2 5 4 3 7 8 12 4 8 14 19

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

68 / 103

Các phép toán trên ma trận

Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng





h1→h1−2h2 h3→h3−h2 −−−−−−→

  

  

1 2 4 3 0 1 −2 −1 0 0 1 −1 3 2 0 0

1 0 0 0 −2 1 0 0 −3 0 1 0 −4 0 0 1

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)





h1→h1−7h3 h2→h2+2h3 h4→h4−2h3 −−−−−−→

  

  

6 7 1 0 0 1 −2 −1 1 1 0 0 3 2 0 0

5 −2 0 0 −2 0 0 1 −1 −1 1 0 0 1 0 −4

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)





h1→h1+h4 h2→h2−h4 h3→h3−h4 −−−−−→

  

  

1 0 0 −1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0

12 −4 −1 −1 −1 −2

5 −7 0 0 2 0 1 2 −2 1

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

69 / 103

Các phép toán trên ma trận

Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng

  7 −9

= (I4|A−1)

        1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 10 −2 −3 1 −3 −2 1 4 −1 3 −1 1 2 −2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

  7 −9

⇒ A−1 =

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

70 / 103

        10 −2 −3 1 −3 −2 1 4 −1 3 −1 1 2 −2

Các phép toán trên ma trận Ma trận chuyển vị

Ma trận chuyển vị

Định nghĩa Ma trận chuyển vị của ma trận A = (aij)m×n là ma trận AT = (aji)n×m









A =

, AT =

   

   

   

   

a12 a11 a22 a21 ... ... am1 am2

. . . a1n . . . a2n ... . . . . . . amn

a11 a21 a12 a22 ... ... a1n a2n

. . . am1 . . . am2 ... . . . . . . amn

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

71 / 103

Các phép toán trên ma trận Ma trận chuyển vị

Ví dụ Cho (cid:19)

A =

(cid:18) 1 3 5 2 4 6  

⇒ AT =  

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

72 / 103

1 2 3 4 5 6

Các phép toán trên ma trận Ma trận chuyển vị

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

73 / 103

Tính chất 1 (AT )T = A. 2 (λA)T = λAT . 3 (A + B)T = AT + B T . 4 (A.B)T = B T .AT .

Các phép toán trên ma trận Ma trận liên hợp

Ma trận liên hợp

= (aji)n×m được gọi là ma trận liên

Định nghĩa T Ma trận A hợp của Am×n.







A =

T ⇒ A

=

  

  

  

  

a12 a11 a22 a21 ... ... am1 am2

a1n . . . a2n . . . ... . . . . . . amn

a11 a21 a12 a22 ... ... a1n a2n

. . . am1 . . . am2 ... . . . . . . amn

m×n

n×m

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

74 / 103

Các phép toán trên ma trận Ma trận liên hợp

Ví dụ

(cid:19) (cid:18) −i 2 − i 3 A =

 

T ⇒ A

=  .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

75 / 103

0 −3i 5 + i 0 i 3i 2 + i 5 − i 3

Các phép toán trên ma trận Ma trận đối xứng

Ma trận đối xứng

Định nghĩa Ma trận vuông A được gọi là ma trận đối xứng nếu AT = A tức là aij = aji, ∀i, j = 1, 2, .., n.

Chú ý. Mọi ma trận chéo là ma trận đối xứng.

Ví dụ

 

Ma trận A =  là ma trận đối 

1 5 −2 −4 7 5 −4 7 3

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

76 / 103

xứng cấp 3.

Các phép toán trên ma trận Ma trận phản đối xứng

Ma trận phản đối xứng

Định nghĩa Ma trận vuông A được gọi là ma trận phản đối xứng nếu AT = −A tức là

aij = −aji, ∀i, j = 1, 2, .., n.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

77 / 103

Chú ý. Tất cả những phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận phản đối xứng đều bằng 0, có nghĩa là aii = 0, ∀i = 1, 2, . . . , n.

Các phép toán trên ma trận Ma trận phản đối xứng

Ví dụ

 

Ma trận A = là ma trận

        2 −3 7 0 0 −1 5 −2 3 8 0 1 −7 −5 −8 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

78 / 103

phản đối xứng cấp 4.

Các phép toán trên ma trận Ma trận tam giác trên

Ma trận tam giác trên

Định nghĩa

 

Ma trận vuông A = được

       

a11 a12 . . . a1n 0 a22 . . . a2n ... ... ... . . . 0 . . . ann 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

79 / 103

gọi là ma trận tam giác trên.

Các phép toán trên ma trận Ma trận tam giác trên

2 Nếu A, B ∈ Mn(K ) là những ma trận tam giác trên thì A.B cũng là ma trận tam giác trên.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

80 / 103

Tính chất 1 Nếu A, B ∈ Mn(K ) là những ma trận tam giác trên thì αA + βB, ∀α, β ∈ K cũng là ma trận tam giác trên.

Các phép toán trên ma trận Ma trận tam giác trên

Ví dụ      

  .   =  

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

81 / 103

2 1 1 0 1 2 0 0 2 1 2 1 0 1 3 0 0 3 2 5 8 0 1 9 0 0 6

Các phép toán trên ma trận Ma trận tam giác dưới

Ma trận tam giác dưới

Định nghĩa

  0 0

Ma trận vuông được gọi là . . .        

a11 0 a21 a22 . . . 0 ... ... ... an1 an2 . . . ann

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

82 / 103

ma trận tam giác dưới.

Các phép toán trên ma trận Ma trận tam giác dưới

2 Nếu A, B ∈ Mn(K ) là những ma trận tam giác dưới thì A.B cũng là ma trận tam giác dưới.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

83 / 103

Tính chất 1 Nếu A, B ∈ Mn(K ) là những ma trận tam giác dưới thì αA + βB, ∀α, β ∈ K cũng là ma trận tam giác dưới.

Các phép toán trên ma trận

Nâng ma trận lên lũy thừa

Định nghĩa Ma trận mũ không A0 = I , còn mũ nguyên dương Am(m > 0) của ma trận A là tích Am = A.A . . . A (cid:125) (cid:124) (cid:123)(cid:122) m lần

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

84 / 103

Chú ý. Mũ nguyên dương của ma trận chỉ có ý nghĩa khi số hàng và số cột của ma trận phải bằng nhau, có nghĩa là ma trận đó là ma trận vuông.

Các phép toán trên ma trận

Nâng ma trận lên lũy thừa

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

85 / 103

Tính chất 1 Am.Ak = Am+k. 2 (Am)k = Amk.

Các phép toán trên ma trận

Nâng ma trận lên lũy thừa

Ví dụ

(cid:19) (cid:18) 1 Tìm An, với A = 1 −1 −1

Giải.

(cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:18) 1 (cid:18) 1 . = = 0 A2 = 1 −1 −1 1 −1 −1 (cid:18) 0 0 0 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

86 / 103

Vậy An = A2.An−2 = 0.An−2 = 0, ∀n (cid:62) 3. Như vậy từ An = 0 không thể suy ra được A = 0.

Các phép toán trên ma trận

Nâng ma trận lên lũy thừa



A = Ví dụ Tính f (A), với f (x) = x 2 − x − 1 và   f (A) = A2 − A − A0 

1 1 2 3 2 1 1 −1 0    

Giải. f (A) =   .   −

1 1 2 3 2 1 1 −1 0

1 1 2 3 2 1 1 −1 0      

  −   =  

MA TRẬN

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TP. HCM — 2013.

87 / 103

1 1 2 3 2 1 1 −1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 1 5 8 3 0 −2 1 −2

Các phép toán trên ma trận Ma trận lũy linh

Ma trận lũy linh

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

88 / 103

Định nghĩa Ma trận vuông A được gọi là ma trận lũy linh nếu Ak = 0, k ∈ N. Số nguyên dương k nhỏ nhất thỏa Ak = 0 được gọi là chỉ số của ma trận lũy linh

Các phép toán trên ma trận Ma trận lũy linh

Ví dụ

 

Tìm chỉ số của ma trận A =  

−2 1 1 −3 1 2 −2 1 1    

Giải. A2 =   .   =

−2 1 1 −3 1 2 −2 1 1 −2 1 1 −3 1 2 −2 1 1

 

  .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

89 / 103

−1 0 1 −1 0 1 −1 0 1

Các phép toán trên ma trận Ma trận lũy linh

   

A3 = A.A2 =   .   =

−2 1 1 −3 1 2 −2 1 1 −1 0 1 −1 0 1 −1 0 1

 

 . Vậy k = 3 là số nguyên dương nhỏ 

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

90 / 103

0 0 0 0 0 0 0 0 0 nhất để Ak = 0.

Các phép toán trên ma trận

Vết của ma trận

Định nghĩa Vết của ma trận A ∈ Mn×n(K ) là một số bằng tổng tất cả các phần tử aii, i = 1..n thuộc đường chéo chính của ma trận

n (cid:88)

Tr A = aii

i=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

91 / 103

Các phép toán trên ma trận

Vết của ma trận

Ví dụ

 

Cho A =   . Khi đó vết của A là

3 1 5 3 0 8 −2 1 −2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

92 / 103

Tr A = 5 + 0 + (−2) = 3.

Các phép toán trên ma trận

Vết của ma trận

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

93 / 103

Tính chất 1 Tr (αA + βB) = αTr A + βTr B. 2 Tr AT = Tr A. 3 Tr (A.B) = Tr (B.A).

Các phép toán trên ma trận

Chuẩn Frobenius

Định nghĩa (cid:112)Tr (AT .A) là chuẩn Frobenius của ma trận A.

Ví dụ

 

Tìm chuẩn Frobenius của A =  

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

94 / 103

4 6 3 2 1 7 −2 5 3

Các phép toán trên ma trận

Chuẩn Frobenius

   

Giải. AT .A =   .   =

3 2 −2 5 4 1 3 6 7 4 6 3 2 1 7 −2 5 3

 

  . Vậy chuẩn Frobenius của ma

17 4 26 4 42 46 26 46 94

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

95 / 103

√ √ trận A bằng (cid:112)Tr (AT .A) = 17 + 42 + 94 = 153.

Các phép toán trên ma trận

Chuẩn Frobenius

Ví dụ

 

Cho ma trận A =  . Tìm vết của ma 

1 0 0 2 1 0 3 2 2

trận A100.

   

Giải. A2 = A.A =   .   =

1 0 0 2 1 0 3 2 2 1 0 0 2 1 0 3 2 2



   ⇒ Tr A2 = 1 + 1 + 22

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

96 / 103

1 0 0 4 1 0 13 6 22

Các phép toán trên ma trận

Chuẩn Frobenius

   

A3 = A2.A =   .   =

1 0 0 4 1 0 13 6 22 1 0 0 2 1 0 3 2 2



  ⇒ Tr A3 = 1 + 1 + 23. Bằng 

0 0 1 6 0 1 37 14 23

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

97 / 103

phương pháp quy nạp ta sẽ được Tr A100 = 1 + 1 + 2100 = 2 + 2100.

Thực hành MatLab

Khai báo ma trận

Thực hành MatLab

Ví dụ

A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12; 13 14 15 16]

2 6 3 7 A =

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

98 / 103

4 1 5 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Thực hành MatLab

Các ma trận đặc biệt

1 Tạo ma trận không: zeros(số dòng, số cột) 2 Tạo ma trận vuông không cấp n: zeros(n) 3 Tạo ma trận đơn vị cấp n: eye(n) 4 Tạo ma trận chéo: diag([các phần tử trên

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

99 / 103

đường chéo chính])

Thực hành MatLab

Các phép toán đối với ma trận

1 Hạng của ma trận: rank(A) 2 Tìm dạng bậc thang rút gọn: rref (A) (Reduced

Liên hợp A(cid:48)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

100 / 103

row echelon form) 3 Phép cộng: A + B 4 Phép trừ: A − B 5 Phép nhân: A ∗ B 6 Lũy thừa: Aˆn 7 Nhân với 1 số: k ∗ A 8 Chuyển vị: A.(cid:48) 9 Vết của ma trận: trace(A)

Thực hành MatLab

Các phép biến đổi sơ cấp

1 Biến dòng i thành k lần dòng i:

2 Biến dòng i thành dòng i cộng k lần dòng j:

A(i, :) = A(i, :) ∗ k

3 Hoán vị các dòng A = A([thứ tự dòng], :)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MA TRẬN

TP. HCM — 2013.

101 / 103

A(i, :) = A(i, :) + A(j, :) ∗ k

Thực hành MatLab