1. Giới hạn hàm số
1.2. Điều kiện tồn tại giới hạn
tồn tại lim
x→af(x)⇔
limx→a+f(x), limx→a−f(x)hữu hạn
limx→a+f(x)=limx→a−f(x)
Ví dụ: Xét sự tồn tại của giới hạn sau
lim
x→1|x−1|
x−1
Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 5 / 55
1. Giới hạn hàm số
1.3. Một số tính chất của giới hạn
Nếu flà hàm số sơ cấp, xác định tại athì limx→af(x)=f(a).
Ví dụ: limx→2!x3−2x2+4=23−2.22+4=4
Tính chất kẹp:
g(x)≤f(x)≤h(x)
limx→ag(x)=limx→ah(x)=A⇒lim
x→af(x)=A
Ví dụ:Tính giới hạn limx→0xsin 1
x
−|x|≤xsin 1
x≤|x|
limx→0(−|x|)=limx→0|x|=0⇒lim
x→0xsin 1
x=0
Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 6 / 55
1. Giới hạn hàm số
1.3. Một số tính chất của giới hạn
Giả sử limx→af(x)và limx→ag(x)tồn tại hữu hạn. Khi đó ta có
(i)limx→a[f(x)±g(x)] =limx→af(x)±limx→ag(x)
(ii)limx→a[f(x).g(x)] =limx→af(x).limx→ag(x)
(iii)limx→af(x)
g(x)=limx→af(x)
limx→ag(x)(nếu limx→ag(x)6=0)
(iv)limx→a[f(x)]g(x)=[limx→af(x)]limx→ag(x)
(limx→af(x)>0)
Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 7 / 55
1. Giới hạn hàm số
1.3. Một số tính chất của giới hạn
Khi xét giới hạn của tổng, hiệu, tích và thương các hàm số ta cũng
lưu ý một số điểm như sau
∞+một số hữu hạn=∞,∞×một số dương=∞
∞×một số âm=−∞,một số hữu hạn/∞=0
∞/một số hữu hạn=∞
Chú thích: Cách viết trên đây là hình thức. Chẳng hạn
∞+một số hữu hạn=∞,
được hiểu là nếu lim f(x)=∞và limg(x)6=∞thì
lim [f(x)+g(x)] =∞.
Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 8 / 55
