Bài giảng Toán 1: Bài 3 - Giới hạn hàm số (sinh viên)

Chia sẻ: Thị Huyền | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

368
lượt xem 45
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Bài 3: Giới hạn hàm số (sinh viên) sẽ giới thiệu tới các bạn về ý tưởng giới hạn hàm số; định nghĩa “đơn giản” giới hạn hàm số; định nghĩa chặt chẽ giới hạn hàm số; tính chất giới hạn;... Hy vọng tài liệu là nguồn thông tin hữu ích cho quá trình học tập và nghiên cứu của các bạn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán 1: Bài 3 - Giới hạn hàm số (sinh viên)

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG ĐHBK TOÁN 1 HK1 0708 • BÀI 3: GIỚI HẠN HÀM SỐ (SINH VIÊN) • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (10/2007)
NỘI DUNG 1 Ý TƯỞNG GIỚI HẠN HÀM SỐ 2 ĐỊNH NGHĨA “ĐƠN GIẢN” GIỚI HẠN HÀM SỐ 3 ĐỊNH NGHĨA CHẶT CHẼ GIỚI HẠN HÀM SỐ 4 TÍNH CHẤT GIỚI HẠN 5 GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT 6 QUY TẮC LÔPITAN 7 GIỚI HẠN KẸP 8 GIỚI HẠN THEO NGÔN NGỮ DÃY. KHÔNG GIỚI HẠN
Ý TƯỞNG GIỚI HẠN x0 D f x0 : xaùc ñònh x0 D & f x0 : khoâng xaùc ñònh Hàm y = f(x), MXĐ D x0 Giá trị f(x0)? VD: f(x) = lnx & x0 = –1 x0 D, f x0 :"gaàn nhö"xaùc ñònh VD: f(x) = sinx/x & x0 = 0 D 0 .1 0 .8 4 1 5 ￹ Tương ￺ 0 .1 0 .9 5 8 ￺ ￺ ￺ tự: x , x0 0 sin x 0 .1 0 .9 8 1 6 ￺ 1 x 1 Gtrị f x quanh 0: ￺ ￺ x 0 .1 0 .9 8 6 ￺ 1 ￺ , x0 ￺ x 0 .1 0 .9 3 5 ￺ ￻ e x , x0 
MINH HỌA HÌNH HỌC sin x Đồ thị hàm: f x x Chú ý lân cận x = 0: 0 f(0) không xác định, nhưng giá trị f(x) lại “rất gần” 1 khi x “rất gần” 0 Đồ thị liên tục. Có thể xem “f(0)” = 1 ??? Cần công cụ xác định giá trị hữu hạn “f(x0)” tại x0 D: xlimx f x 0
GIỚI HẠN HÀM SỐ – ĐỊNH NGHĨA ĐƠN GIẢN Cho hàm y = f(x) xác định trong lân cận điểm x0 (có thể không xác định tại x0!). Hàm f(x) có giới hạn = L khi x x0 Giá trị lim f ( x) L f(x) “rất gần” L nếu x “đủ gần” x0. Ký hiệu: x x0 x 1 VD: Đoán (không chứng minh) giới hạn lim f x , vôùif x x 1 x2 1 Giải: Chú ý hàm f(x) không xác định tại x = 1 x1 f(x) 1.5 0.400000 Từ bảng giá 0.5 0.666667 1.1 0.476190 trị, có thể 0.9 0.526316 0.99 0.502513 1.01 0.497512 phỏng đoán: 1.001 0.499750 x 1 0.999 0.500250 lim 2 0. 5 x 1 x 1 0.9999 0.500025 1.0001 0.499975
GIÁ TRỊ TẠI ĐIỂM KHÔNG ẢNH HƯỞNG GIỚI HẠN Hàm g(x) sau (xác định tại x = 1) có giới hạn như f(x) khi x 1 x 1 f x khi x 1 g x 2 x 1 2 khi x 1 y=f(x) y=g(x) Giá trị f tại x0 (có hay không có) không ảnh hưởng đến xlimx f x 0
ĐOÁN – KHÔNG CHẮC CHẮN 100%! 1 1 Ví dụ: lim sin Gợi ý: Tính f 1 , f , f , f 0.1 , f 0.01 x 0 x 2 3 1 1 f 1 f f f 0.1 f 0.01 0 lim sin 0 : SAI! 2 3 x 0 x Tuy nhiên từ đồ thị hàm y sin cũng như giá trị hàm tại x 2 x 2k , k Z 4k 1 x 2 sin 1! x Có vô số giá trị x gần 0 tùy ý, tại đó f = 0 lẫn f = 1. KL: Giới hạn đang xét không !
ĐỊNH NGHĨA CHẶT CHẼ Ngôn ngữ Giải tích: Đại lượng biến thiên f “rất gần” đlượng g | f – g | > 0. x “đủ gần” x0: > 0 và xét | x – x0 |
VÍ DỤ 2x2 2 VD: Cho lim 4 * Tìm như trong đnghĩa khi = 0.01 x 1 x 1 2x2 2 Giải: f x , x0 1, L 4 x 1: f x L 2 x 1 x 1 = 0.01: f x L x 1 0.005 Choïn 0.005 VD: Giải bằng đồ thị câu hỏi tương lim x2 x 2 4, 0.1 x 2 tự:ải: | f(x) – 4 |
GIỚI HẠN VÔ CÙNG – GIỚI HẠN TẠI VÔ CÙNG Khi f(x) (tức L = ) hoặc x (tức x0 = ): Không thể xét hiệu | f(x) – L| hay |x – x0| Cần điều chỉnh! Chú ý: Đại lượng A A > M M & B – B
GIỚI HẠN MỘT PHÍA G. hạn trái: x x0 x x0 & x
GIỚI HẠN TỔNG – HIỆU – TÍCH – THƯƠNG Giới hạn tổng (hiệu, tích, thương) = Tổng (hiệu, tích, thương) giới hạn: Cho c là hằng số và f(x), g(x): hàm số có giới hạn khi x a. Khi đó 1. lim [ f ( x) g ( x)] lim f ( x) lim g ( x) x a x a x a 2. lim [ f ( x) g ( x)] lim f ( x) lim g ( x) x a x a x a 3. lim [cf ( x)] c lim f ( x) x a x a 4. lim [ f ( x) g ( x)] lim f ( x) lim g ( x) x a x a x a f ( x) lim f ( x) 5. lim x a if lim g ( x) 0 x a g ( x) lim g ( x) x a x a
VÍ DỤ Cho đồ thị 2 hàm y=f(x) số y = f(x) và y = g(x)Các giới hạn sau liệu a/ có tồn tại hay không: lim f x , lim g x x 2 x 1 y=g(x) b/ Tính giá trị các giới hạn sau nếu chúng tồn tại f x 1 / lim f x 5g x 2 / lim f x g x 3 / lim x 2 x 1 x 2 g x Giải: a/ xlim2 f x 1; Khoânglim g x b/ 1/ –4. 2/ – 3/: Không x 1
GIỚI HẠN HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN Cho n N và hằng số a, c. Nếu hàm f(x) có giới hạn tại a: n n 6. lim f x lim f x x a x a 7. lim c c vaø 8. lim x a x a x a 9. lim x n an x a 10. lim n x n a (neáu n : chaün, a phaûi0) x a 11.lim n f x n lim f x (neáu n : chaün, lim f x phaûi0) x a x a x a Nguyên tắc thay vào trực tiếp: Nếu f(x) – hàm biểu diễn bởi 1 công thức chứa các hàm cơ bản & a Dflim x a f x f a Tính chất trên là tính liên tục của f(x) (được xét riêng ở bài 3)
VÍ DỤ 0 Giới hạn hàm mũ, luỹ thừa khi x : lim x x 0 0 x ,x x 0, x a 1 : lim a 0 a 1 : lim a x 0, x x ,x 2x 1 x3 3x 2 2 VD: Tìm các giới hạn a / lim x 1 x2 b / lim 2 2 x 1 x 3x 2 1 Giải: a/ Thay vào trực tiếp (biểu thức sơ cấp, xác định): 3 b/ K0 thể thay vào trực tiếp (b/thức sơ cấp nhưng k0 x/định!): x 3 3x 2 2 x 1 x2 2x 2 x2 2x 2 lim 2 lim lim 3 x 1 x 3x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 2x 1 0 1 12 1 VD : lim x : x :L ;x : L lim x 1 x 2 2 2 0 2 x 212 1
GIỚI HẠN HÀM SỐ – NGÔN NGỮ DÃY (PHỔ THÔNG) Ngôn ngữ “dãy”: tn : tn x0 f tn a Không có giới hạn tại x0 (Thuận tiện chứng minh không lim): t n : lim t n x0 & lim f t n n n yn , z n : yn , z n x0 & lim f yn lim f z n n n VD: Chứng minh không có giới hạn: a / lim sin x b / lim sin x x 0 x a/ 2 dãy: yn n & zn 2n b/ 2 dãy ??? 2 Nhận xét: Tương tự dùng dãy con chứng minh dãy phân kỳ Đừng nhầm lẫn với ví dụ sau. Chứng minh không lim sin n n
GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT: KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH sin x 1 cos x 1 tgx Lượng giác lim 1 lim lim 1 x 0 x x 0 x2 2 x 0 x ex 1 ax 1 ln 1 x Mũ, ln: lim 1 lim ln a lim 1 x 0 x x 0 x x 0 x x 1 1x Dạng 1 : Sử dụng số lim 1 lim 1 x e x x x 0 e 3x 2 2x 2 VD: lim Cách 1: Dùng số e. Cách 2: Lấy ln 2 vế x 2x 2 v lim v lim v u 1 v 1 K ỹ lim u 1 lim 1 e x x0 e x x0 x x0 x x0 thuật:
QUY TẮC LOPITAN: KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH Dạng vô định: 0/0, / , – , 0. , 1 , 00 Biến đổi về x/đ ịnh Phương pháp: Nguyên t ắc Lôpitan, vô cùng bé tương đương Nguyên tắc Lôpitan: Tính giới hạn (tồn tại) dạng 0/0, / f ( x) f ' ( x) f" x f ( n) ( x) lim lim lim  lim ( n ) x x0 g ( x ) x x0 g ' ( x ) x x0 g " x x x0 g ( x) x x sin x ax VD : a/ lim 3 b/ lim 3 c/ lim a 1, 0 x 0 1 x 1 x x 0 x x x 1 1 Chú ý : Đơn giản hoá biểu VD: Tính lim x 0 sin 2 x x2 thức x sin x Không dùng được Lôpitan khi giới hạn không VD : lim x x sin x
GIỚI HẠN KẸP f x g x h x x x0 Giới hạn kẹp lim g ( x) a lim f x lim h x a x x0 x x0 x x0 0 f x h x x x0 Hệ lim f ( x) 0 lim h x 0 x x0 x x0 quả: VD: Tìm các giới hạn: a/ lim sin b/ lim x sin c/ lim x sin x 0 x x 0 x x x Giải: a/ Không b/ Kẹp c/ Đặc b/ 0 x sin x 0 x biệt: 1 x sin x sin t VD: Chứng minh lim 1 e c/ lim lim x x x 1x t 0 t