Chương 4
Ma trận và định thức
4.1 Ma trận
4.1.1 Các khái niệm về ma trận
Các ví dụ về ma trận
•Bảng số A=(−1 6 √6
1
2−1 0 )được gọi là một ma trận cấp 2×3.
•Bảng số B=
−2√2 0
1
2−1 9
2 4 −9
được gọi là một ma trận cấp 3×3.
•Bảng số C=
1
2
3
được gọi là một ma trận cột cấp 3×1.
•Bảng số D=(1−2−4)được gọi là một ma trận dòng cấp 1×3.
Các khái niệm về ma trận
1. Một bảng hình chữ nhật gồm m×nsố thực được sắp thành m
dòng và ncột được gọi là ma trận cấp m×n.
Ký hiệu: A= (aij )m×n=
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
.
.
..
.
.....
.
.
am1am2. . . amn
117
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
iđược gọi là chỉ số dòng.
jđược gọi là chỉ số cột.
aij là phần tử nằm ở dòng ivà cột j.
Tập hợp tất cả các ma trận cấp m×nđược viết là Mm×n(R).
2. Ma trận có số dòng bằng số cột (m=n) được gọi là ma trận
vuông cấp n, ký hiệu A= (aij )n.
a11, a22, . . . , ann được gọi là các phần tử nằm trên đường chéo chính.
a1n, a2(n−1), . . . , an1được gọi là các phần tử nằm trên đường chéo phụ.
Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp nđược viết là Mn(R).
Ví dụ 4.1. Các ma trận A=(1 2
1 3 );B=
2 2 −2
3 1 −3
8 0 −1
là các ma
trận vuông.
3. Ma trận vuông A= (aij )nđược gọi là ma trận chéo nếu aij =
0; ∀i=j, ký hiệu A=dig (a11, a22, . . . , ann).
Ví dụ 4.2. Các ma trận A=
1 0 0
0 2 0
0 0 −2
;B=(1 0
0e)là các ma
trận chéo.
4. Ma trận chéo cấp ncó tất cả các phần tử trên đường chéo chính
bằng 1 được gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu In.
Từ định nghĩa trên ta nhận được
I2=(1 0
0 1 )
I3=
100
010
001
.
.
.
In=
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
.
.
..
.
.....
.
.
0 0 . . . 1
Trang 118
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
5. Ma trận vuông A= (aij )nđược gọi là ma trận tam giác trên
nếu aij = 0; ∀i > j.
Dựa vào định nghĩa, ta suy ra được dạng của ma trận Anhư sau:
A=
a11 a12 . . . a1n
0a22 . . . a2n
.
.
..
.
.....
.
.
0 0 . . . ann
6. Ma trận vuông A= (aij )nđược gọi là ma trận tam giác dưới
nếu aij = 0; ∀i < j.
Rõ ràng nếu Alà ma trận tam giác dưới thì Acó dạng
A=
a11 0... 0
a21 a22 ... 0
.
.
..
.
.....
.
.
an1an2. . . ann
7. Ma trận cấp m×ncó tất cả các phần tử bằng không, ký hiệu
Om×n(đôi khi là O), được gọi là ma trận không.
Từ định nghĩa ta suy ra ma trận Om×ncó dạng
Om×n=
0 0 . . . 0
0 0 . . . 0
.
.
..
.
.....
.
.
0 0 . . . 0
8. Ma trận bậc thang
Trước khi đi vào khái niệm ma trận bậc thang chúng ta cần tìm
hiểu một số khái niệm liên quan.
Dòng không: Một dòng của ma trận có tất cả các phần tử đều
bằng không được gọi là dòng không.
Phần tử cơ sở của dòng: Phần tử khác không đầu tiên của
dòng tính từ trái sang được gọi là phần tử cơ sở của dòng.
Ma trận bậc thang: Ma trận bậc thang là một ma trận khác
không thỏa hai điều kiện sau:
Trang 119
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
•Dòng không (nếu có) nằm dưới dòng khác không.
•Phần tử cơ sở của dòng dưới nằm bên phải phần tử cơ sở của
dòng trên.
Ví dụ 4.3. Các ma trận bậc thang:
A=
1 8 −1 3
0 1 2 7
0 0 0 −1
0 0 0 0
;B=
0 2 1 1
0 0 −2 3
0 0 0 −9
Các ma trận không là ma trận bậc thang:
C=
−1 0 3
000
0 0 −1
;D=
1 2 −9 8
0 2 4 −6
0−9 8 2
0 0 0 0
9. Ma trận bậc thang có các phần tử cơ sở của dòng bằng một, các
phần tử còn lại bằng không được gọi là ma trận bậc thang rút gọn.
Ví dụ 4.4. Các ma trận bậc thang rút gọn:
A=
1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
;B=
100
010
000
4.1.2 Các phép toán trên ma trận
Hai ma trận bằng nhau
Định nghĩa 4.1. Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu chúng
cùng cỡ và có tất cả các phần tử tương ứng vị trí bằng nhau.
Cho hai ma trận A= (aij )m×n, B = (bij )m×n. Khi đó,
A=B⇔aij =bij ;i= 1, m, j = 1, n
Trang 120
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
Ví dụ 4.5. Tìm x, y, z, t để hai ma trận
A=(x+y x +z
t+y t + 2z);B=(1 2
3 4 )
bằng nhau.
Giải.Theo định nghĩa, hai ma trận A, B bằng nhau khi và chỉ khi
x+y= 1
x+z= 2
t+y= 3
t+ 2z= 4
Từ các đẳng thức trên ta giải ra được x= 2, y =−1, z = 0, t = 4.
Nhân một số với một ma trận
Định nghĩa 4.2. Nhân một số với một ma trận là nhân số đó với tất
cả các phần tử của ma trận.
Cho A= (aij )m×nthì với mọi k∈Rta có kA = (kaij )m×n.
Đặc biệt (−1) A= (−aij )m×nđược gọi là ma trận đối của ma trận A,
ký hiệu −A.
Ví dụ 4.6. Cho ma trận A=(2 5
2 3 ), khi đó
3A=(6 15
6 9 )
Cộng hai ma trận
Định nghĩa 4.3. Cộng hai ma trận cùng cấp là cộng các phần tử
tương ứng vị trí.
Nếu A= (aij )m×nvà B= (bij )m×nthì A+B= (aij +bij )m×n.
Trang 121