BÀI GIẢNG
TOÁN CAO CẤP (A1)
Biên soạn: TS. VŨ GIA TÊ
Ths. ĐỖ PHI NGA
Chương 1: Giới hạn của dãy số
CHƯƠNG I: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
1.1. SỐ THỰC.
1.1.1. Các tính chất cơ bản của tập số thực.
A. Sự cần thiết mở rộng tập số hữu tỉ Q.
Do nhu cầu đòi hỏi của cuộc sống,tập các số tự nhiên N={0,1,2,...}, cơ sở của phép đếm đã
được mở rộng sang tập các số nguyên Z={0,
±
1,
±
2,...}. Sau đó, do trong Z không có các phần
tử mà tích với 2 hoặc 3 bằng 1, nên nguời ta đã xây dựng tập các số hữu tỉ Q, đó là tập gồm các số
được biểu diễn bởi tỉ số của hai số nguyên, tức là số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.
Nếu chỉ dừng lại trên tập Q thì trong toán học gặp phải nhiều điều hạn chế, đặc biệt là gặp khó
khăn trong việc giải thích các hiện tượng của cuộc sống. Chẳng hạn việc tính đường chéo của hình
vuông có kích thước đơn vị. Đường chéo đó là 2không thể mô tả bởi số hữu tỉ. Thật vậy
nếu2 = n
m∈Q trong đó ƯSCLN(m, n)=1 thì m2=2n2 m=2p và 4p⇒2=2n2⇒n=2q. Điều này vô
lí vì lúc này m, n có ước chung là 2. Chứng tỏ 2
∉
Q. Những số xuất hiện và được dùng thường
xuyên trong giải tích như e,
π
cũng không phải là số hữu tỉ.
B. Số vô tỉ.
Một số biểu diễn dưới dạng thập phân vô hạn không tuần hoàn,hay không thể biểu diễn
dưới dạng tỉ số của hai số nguyên được gọi là số vô tỉ.
C. Số thực.
Tất cả các số hữu tỉ và số vô tỉ tạo thành tập hợp số thực.
Kí hiệu tập số thực là R.
Vậy tập số vô tỉ là R\Q.
Người ta có thể xây dựng tập số thực R nhờ vào một hệ suy diễn hay nói cách khác nhờ vào
một hệ tiên đề.Chúng ta không trình bày ở đây mà coi rằng tập hợp số thực R là quá quen thuộc
và kiểm tra lại sự thoả mãn tiên đề đó. Chúng ta coi đó là các tính chất của tập hợp R.
Tính chất 1: Tập R là một truờng giao hoán với hai phép cộng và nhân: (R, + , .).
1.
RbaRbaRba ∈∈+∈∀ .,,,
2. )().(),()(,,, bcacbacbacbaRcba
=
+
+
=++∈∀
3. baababbaRba
=
+=+∈∀ ,,,
4. R có phần tử trung hoà đối với phép cộng là 0 và đối với phép nhân là 1
aaaRa =+=+∈∀ 00,
3
Chương 1: Giới hạn của dãy số
= =
1.a a.1 a
5. Phân phối đối với phép cộng
acabcbaRcba
+
=+∈∀ )(,,,
cabaacb +=+ )(
6. Tồn tại phần tử đối của phép cộng
0)(),(, =−+
−
∃∈∀ aaaRa
Tồn tại phần tủ nghịch đảo của phép nhân
1.,},0{\, 11** =∃=∈∀ −− aaaRRRa
Tính chất 2: Tập R được xếp thứ tự toàn phần và đóng kín đối với các số thực dương.
1. hoặc hoặc
baRba <∈∀ ,, ba =ba >
2.
bcacbaRcRba
cbcabaRcba
≤⇒≤∈∈∀
+
≤
+⇒≤∈∀
+,,,
,,,
3. +++
∈
∈+∈∀ RabRbaRba ,,,
Tính chất 3: Tập R là đầy theo nghĩa sau đây:
Mọi tập con X không rỗng của R bị chặn trên trong R đều có một cận trên đúng thuộc R và
mọi tập con không rỗng X của R bị chặn dưới trong R đều có một cận dưới đúng thuộc R.
Cho X R và a∈R ⊂
Gọi a là cận trên của X trong R nếu Xxax
≤
,.
Gọi a là cận dưới của X trong R nếu Xxax
≥,.
Gọi X bị chặn trên trong R(bị chặn dưới) khi và chỉ khi tồn tại ít nhất một cận trên (cận
dưới) của X trong R.
Gọi số nhỏ nhất trong các cận trên của X trong R là cận trên đúng của X trong R, kí hiệu
số đó là M* hay SupX (đọc là Suprémum của X).
Gọi số lớn nhất trong các cận dưới của X trong R là cận dưới đúng của X trong R, kí hiệu
số đó là m* hay InfX (đọc là Infimum của X).
Nếu M*∈X thì nói rằng M* là phần tử lớn nhất của X, kí hiệu M*=SupX=MaxX.
Nếu m*∈X thì nói rằng m* là phần tử nhỏ nhất của X, kí hiệu m*=InfX= MinX.
Gọi X là bị chặn trong R khi và chỉ khi X bị chặn trên và bị chặn dưới trong R.
Chú ý:
1. Tập R\Q không ổn định đối với phép cộng và phép nhân, chẳng hạn
4
Chương 1: Giới hạn của dãy số
QR \2 ∈± nhưng
QR
QR
\2.2
\)2(2
∉
∉−+
2. QRyxQyQRx \,,\
+∈
∈∀
QR
x
Q
R
x
y
\
1
\
∈
∈
Nếu M là cận trên của tập X thì SupX
≤
M và nếu m là cận dưới của tập X thì InfM≥m.
4. Nếu M*=SupX thì
αεαε
<−⇒∈∃>∀ *
,0 MX
Nếu m*=InfX thì
αεαε
>+⇒∈∃>∀ *
,0 mX
Ví dụ 1: Chứng minh QR \)632( ∈++
Giải: Giả sử q= 22 )6()32(632 −=+⇒∈++ qQ hay 6)1(21
2+=+ qq ,
dễ dàng chứng minh Q∉6 (tưong tự như chứng minh Q∉2). Theo chú ý trên suy ra q+1=0
và q2+1=0. Điều này là mâu thuẫn. Vậy q
∉
Q.
Ví dụ 2: Tìm các cận dưới đúng và cận trên đúng trong R nếu chúng tồn tại của tập
{}
** ,,
)1(
2
1NnuNn
n
Xn
n
n∈=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧∈
−
+=
Giải:
*
Np ∈∀ có
2
1
8
1
2
1
12
1
3
1
12
1
2
1
4
3
0
2
1
2
1
1
12
12
12
12
22
2
2
−=
≤≤≤
+
−≤−⇒
+
−=
=≤<⇒+=
+
+
+
+
u
u
pp
u
uu
p
u
p
p
p
p
p
p
p
suy ra có
*
Nn ∈∀ 4
3
2
1
21 =≤≤=− uuu n
InfX=minX= 2
1
−, SupX=maxX= 4
3
Ví dụ 3: Cho A, B là hai tập không rỗng của R và bị chặn trên.
a. Chứng minh Sup (
B
A
∪)=Max(Sup(A), Sup(B)).
b. Gọi A+B=
{}
baxBAbaRx
+
=
×
∈
∃
∈,),(, , chứng minh
5
Chương 1: Giới hạn của dãy số
Sup(A+B) = Sup(A) + Sup(B)
Giải:
a. Kí hiệu ),(,,
β
α
γ
β
α
MaxSupBSupA
=
=
=
. Vậy tập hợp các cận trên của
B
A
∪chính là X=
α
≥xx,{ và }
β
≥xhay X= },{
γ
≥xx Vậy )( BASup ∪=
γ
b.
SupBbBb
SupAaAa
≤∈∀
≤∈∀
,
,SupBSupAbaBAba
+
≤
+
+
+∀⇒ ,
)(
*BASupM +=⇒
0>∀
ε
2
,
2
,
ε
ε
−>∈∃
−>∈∃
SupBbBb
SupAaAa
)(
,
*BASupSupBSupAM
SupBSupAbaBAba
+=+=∃⇒
−
+
>+
+
∈+∃⇒
ε
1.1.2. Tập số thực mở rộng
Người ta thêm vào tập số thực R hai phần tử kí hiệu là
−
và ∞
+
. Tập số thực mở rộng
kí hiệu là
R
và
{
+∞∞−∪= ,RR
}
, các phép toán + và ., quan hệ thứ tự được định nghĩa như sau:
1.
Rx ∈∀ −∞=+−∞=−∞+
+
∞
=
+
+∞=+∞+
xx
xx
)()(
)()(
2. −∞=−∞+−∞
+
∞=+∞++∞
)()(
)()(
3.
{}
0,, ** >∈=∈∀ ++ xRxRRx
−∞=−∞=−∞
+
∞
=
+∞=+∞
xx
xx
)()(
)()(
{}
0,, ** <∈=∈∀ −− xRxRRx
+∞=−∞=−∞
−
∞
=
+∞=+∞
xx
xx
)()(
)()(
4.
−∞=+∞−∞=−∞+∞
+
∞
=
−
∞−∞=+∞+∞
))(())((
))(())((
5.
Rx ∈∀
6