Bài giảng Toán cao cấp: Chương 2

Chương 2: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ

Th.S NGUYỄN PHƯƠNG

Khoa Giáo dục cơ bản Trường Đại học Ngân hàng TPHCM Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com Email: nguyenphuong0122@gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504

Ngày 17 tháng 2 năm 2014

1 Đạo hàm của hàm số

2 Vi phân của hàm số

Định nghĩa Các công thức đạo hàm cơ bản Đạo hàm cấp cao

3 Các định lý về giá trị trung bình

4 Ứng dụng của đạo hàm Công thức Taylor Quy tắc L’Hospital Sự biến thiên của hàm số Cực trị của hàm số

5 Ứng dụng trong kinh tế

Khái niệm Vi phân cấp cao và ứng dụng vi phân vào tính gần đúng

Giá trị biên tế (Marginal quantity) Độ co dãn (Elasticity) Tối ưu trong kinh tế

Đạo hàm của hàm số Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trong lân cận (a, b), x0 ∈ (a, b).Kí hiệu: ∆x = x − x0: số gia của đối số (lượng thay đổi của x từ x0 đến x) ∆y = ∆f(x0) = f(x) − f(x0) = f(x0 + ∆x) − f(x0): số gia của hàm số f(x) (lượng thay đổi của f(x) khi x thay đổi lượng ∆x)

= = ⇒? ∆y ∆x f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆x f(x) − f(x0) x − x0

⇒? lim ∆x→0 ∆y ∆x

Đạo hàm của hàm số Định nghĩa

Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định trong lân cận (a, b), x0 ∈ (a, b). Nếu giới hạn

. lim ∆x→0 = lim ∆x→0 = lim x→x0 ∆y ∆x f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆x f(x) − f(x0) x − x0

tồn tại thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x0. Kí hiệu là f (cid:48)(x0) hay y(cid:48)(x0).

Ví dụ. Tính đạo hàm tại x0 = 2 của hàm số y = f(x) = x2 + 3x Giải:

f (cid:48)(2) = lim x→2 = lim x→2 (x2 + 3x) − (22 + 3.2) x − 2

(x + 5) = 7. = lim x→2 = lim x→2 f(x) − f(2) x − 2 x2 + 3x − 10 x − 2

Vậy f (cid:48)(2) = 7.

Đạo hàm của hàm số Định nghĩa

+(x0), nếu tồn tại

Định nghĩa Hàm f(x) được gọi là có đạo hàm bên phải tại x0, kí hiệu f (cid:48) giới hạn

−(x0), nếu tồn tại

f (cid:48) +(x0) = lim ∆x→0+ f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆x f(x) − f(x0) x − x0 = lim x→x+ 0

Hàm f(x) được gọi là có đạo hàm bên trái tại x0, kí hiệu f (cid:48) giới hạn

f (cid:48) −(x0) = lim ∆x→0− f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆x f(x) − f(x0) x − x0 = lim x→x− 0

Đạo hàm của hàm số Định nghĩa

Định lý

−(x0)

+(x0) = f (cid:48) f (cid:48)

Hàm f(x) được gọi là có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi

Ví dụ Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x3 + 2|x| + 1 tại x0 = 0.

Giải. Ta có (cid:40) f(x) = x3 + 2x + 1 x3 − 2x + 1 nếu x > 0 nếu x ≤ 0

+(0) = lim x→0+

(x2 + 2) = 2 f (cid:48) = lim x→0+ = lim x→0+

x→0−(x2 − 2) = −2

−(0) = lim x→0+

f (cid:48) = lim = lim x→0− f(x) − f(0) x − 0 f(x) − f(0) x − 0 (x3 + 2x + 1) − 1 x (x3 − 2x + 1) − 1 x

Tại x0 = 0, đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau nên hàm số không có đạo hàm tại x0 = 0.

Đạo hàm của hàm số Định nghĩa

Ví dụ

Cho hàm số

f(x) = ex+1 − x − 2 x + 1 a nếu x (cid:44) −1 nếu x = −1   

i) Tìm a để hàm số liên tục tại x0 = −1. ii) Tìm đạo hàm f (cid:48)(−1) ứng với a vừa tìm được trong câu i).

Giải. i) Ta có

= 0 và f(−1) = a = lim x→−1− lim x→−1+ ex+1 − x − 2 x + 1 ex+1 − x − 2 x + 1

Để hàm số liên tục tại x0 = −1 khi và chỉ khi

= f(−1) ⇐⇒ a = 0 lim x→−1 ex+1 − x − 2 x + 1

Đạo hàm của hàm số Định nghĩa

ii) Thay a = 0 thì

f(x) = ex+1 − x − 2 x + 1 0 nếu x (cid:44) −1 nếu x = −1   

Ta có,

− 0 ex+1 − x − 2 x + 1 f (cid:48)(−1) = lim x→−1 x + 1

= lim x→−1 f(x) − f(−1) x + 1 ex+1 − x − 2 (x + 1)2 = = lim x→−1 1 2

Đạo hàm của hàm số Các công thức đạo hàm cơ bản

Các công thức đạo hàm của hàm sơ cấp

8) (cotgx)(cid:48) = − 1

√ 9) (arcsinx)(cid:48) =

√ 10) (arccosx)(cid:48) = − 1) (k)(cid:48) = 0 , k là hằng số 2) (xα)(cid:48) = αxα−1 3) (ex)(cid:48) = ex 1 x

7) (tanx)(cid:48) = sin2x 1 1 − x2 1 1 − x2 1 11) (arctanx)(cid:48) = 1 + x2 12) (arccotgx)(cid:48) = − 1 4) (lnx)(cid:48) = 5) (cosx)(cid:48) = −sinx 6) (sinx)(cid:48) = cosx 1 cos2x 1 + x2

x = f (cid:48) y(cid:48)

u(u).u(cid:48) x.

(cid:19)(cid:48) với v (cid:44) 0 4) = Tính chất 1) (ku)(cid:48) = ku(cid:48) 2) (u ± v)(cid:48) = u(cid:48) ± v(cid:48) 3) (uv)(cid:48) = u(cid:48)v + uv(cid:48) u(cid:48)v − uv(cid:48) v2 (cid:18) u v 5) Cho hai hàm số y = f(u), u = u(x) và tồn tại u(cid:48)(x), y(cid:48)(u), khi đó

Đạo hàm của hàm số Các công thức đạo hàm cơ bản

5) (sinu)(cid:48) = u(cid:48)cosu Các công thức đạo hàm của hàm hợp 1) (uα)(cid:48) = αuα−1u(cid:48) 2) (eu)(cid:48) = euu(cid:48) u(cid:48) u(cid:48) 1 u u(cid:48) 1 6) (tanu)(cid:48) = cos2u 7) (cotgu)(cid:48) = − 1 3) (lnu)(cid:48) = 4) (cosu)(cid:48) = −u(cid:48)sinu sin2u

Định lý Giả sử f là một hàm số đơn điệu và f (cid:48)(x0) (cid:44) 0 . Khi đó, hàm ngược f −1 khả vi (cid:48) tại y0 = f(x0) và (f −1) (y0) = 1 f (cid:48)(x0)

(cid:48)

Các công thức đạo hàm của hàm ngược

(cid:48) 1) (arcsin x)

(cid:48)

, √ = x (cid:44) ±1 3) (arc tan x)

(cid:48) 4) (arccotgx)

, √ = − 2) (arccos x) 1 = 1 + x2 = − 1 x (cid:44) ±1 1 + x2 1 1 − x2 1 1 − x2

Đạo hàm của hàm số Các công thức đạo hàm cơ bản

Ví dụ

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

√ a) y = −8x4 + ln x b) y = sin(13 − x − x4) c) y = ln2x + 1 + cot 3x

(cid:114) 4 d) y = ln 1 + x2 1 − x3

e) y =

x2 − 1 ln x f) y = (x2 + 1)sin x

Đạo hàm của hàm số Đạo hàm cấp cao

Định nghĩa

- Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x thì ta nói f(x) có đạo hàm cấp 1 tại x. Kí hiệu f (cid:48)(x). - Đạo hàm (nếu có) của đạo hàm cấp 1 được gọi là đạo hàm cấp 2 của f(x) tại x. Kí hiệu f (cid:48)(cid:48)(x). - Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp n − 1 của f(x) được gọi là đạo hàm cấp n của f(x). Kí hiệu f (n)(x)

f (n)(x) = (f (n−1)(x))(cid:48)

n(cid:88)

Công thức Leibniz Giả sử các hàm số u(x), v(x) có đạo hàm liên tiếp đến cấp n. Khi đó, ta có

nu(n−k).v(k), trong đó Ck Ck

n =

k=0

(uv)(n) = và u(0) = u, v(0) = v n! k!(n − k)!

Đạo hàm của hàm số Đạo hàm cấp cao

α(cid:17)(n)

α−n

Một số công thức tính đạo hàm cấp cao (cid:16) = α · (α − 1) · · · (α − n + 1) (x + a) 1)

(cid:19)(n) 2) = (−1)nn! (x + a) (cid:18) 1 x + a 1 (x + a)n+1

3) (eax)(n) = an · eax

4) (ln x)(n) = (−1)n−1 · (n − 1)! xn

α(cid:17)(n)

α−n · an

) 5) (sin(ax))(n) = an · sin(ax + n π 2 ) π 6) (cos(ax))(n) = an · cos(ax + n 2 (cid:16) 7) (ax + b)

8) (ln(ax + b))(n) = (−1)n−1 · · an

π = α · (α − 1) · · · (α − n + 1) (ax + b) (n − 1)! (ax + b)n 9) (sin(ax + b))(n) = an · sin(ax + b + n

) 2 π 10) (cos(ax + b))(n) = an · cos(ax + b + n ) 2

Đạo hàm của hàm số Đạo hàm cấp cao

Ví dụ

Tính f (100)(1) của hàm số f(x) = (3x2 + 1) ln x.

Giải. Ta có u = 3x2 + 1, v = ln x. Áp dụng công thức Leibniz

100u(100)v(0) + C1

100u(99)v(1) + . . . + C98

100u(2)v(98) + C99 +C100

100u(1)v(99) 100u(0)v(100)

f (100)(x) = C0

Ta thấy f (k) = 0 khi ∀k > 2. Vậy

100u(2)v(98) + C99

100u(1)v(99) + C100

100u(0)v(100)

f (100)(x) = C98

Mà (ln(x))(98) = (−1)97 97! x98 , (ln(x))(99) = (−1)98 98! x99 , (ln(x))(100) = (−1)99 99! x100

Suy ra

f (100)(x) = −6.4950. 97! x98 + 6x.100. 98! x99 − (3x2 + 1). 99! x100 =⇒f (100)(1) = −6.4950.97! + 6.100.98! − 4.99! = −9708.97!

Vi phân của hàm số Khái niệm

Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) được gọi khả vi tại x0 ∈ Df nếu ∆f(x0) = f(x0 + ∆x) − f(x0) có thể biểu diễn dưới dạng

∆f(x0) = A.∆x + 0(∆x)

với A là hằng số và 0(∆x) là VCB cấp cao hơn ∆x khi ∆x → 0. Khi đó, A.∆x được gọi là vi phân (cấp 1) của hàm số y = f(x) tại x0. Ký hiệu df(x0) hay dy(x0).

Định lý

- Hàm số khả vi tại x0 khi và chỉ khi hàm số có đạo hàm tại x0. Khi đó, A = f (cid:48)(x0). - Nếu hàm số có đạo hàm tại x0 thì biểu thức vi phân của f(x) là df = f (cid:48)(x0)dx

Ví dụ a) Với y = x3 thì dy = y(cid:48)dx = (x3)(cid:48)dx = 3x2dx b) Với f(x) = ex thì df(x) = f (cid:48)(x)dx = (ex)(cid:48)dx = exdx

Vi phân của hàm số Khái niệm

Tính chất (Vi phân của tổng, tích và thương)

Từ công thức tính đạo hàm tổng, tích và thương của hai hàm số, ta có: 1) d(ku) = kdu

2) d(u + v) = du + dv 3) d(u.v) = udv + vdu

4) = , v (cid:44) 0 u v vdu − udv v2

Ví dụ

a) d(x3 + ex) = d(x3) + d(ex) = 3x2dx + exdx = (3x2 + ex)dx; b) d(x3ex) = exd(x3) + x3d(ex) = 3x2exdx + x3exdx = x2ex(x + 3)dx

Vi phân của hàm số Vi phân cấp cao và ứng dụng vi phân vào tính gần đúng

Định nghĩa (Vi phân cấp cao) Vi phân cấp n của hàm số y = f(x) là vi phân của vi phân cấp n − 1 của f(x), kí hiệu là dnf(x). dny = d(dn−1y)

dnf(x) = d(dn−1f(x)) = f (n)(x)dxn

Một số quy tắc tính vi phân cấp cao

1) dn(cu) = cdnu 2) dn(u + v) = dnu + dnv

ndn−ku.dkv (d0u = u, d0v = v) Ck

n(cid:80) k=0

3) dn(uv) =

Nếu ∆x → 0 thì f(x0 + ∆x) − f(x0) và f (cid:48)(x0)∆x là 2 VCB tương đương. Do đó, khi |∆x| khá nhỏ, ta có công thức gần đúng f(x0 + ∆x) ≈ f(x0) + f (cid:48)(x0)∆x √ 15, 8 Ví dụ: Tính gần đúng 4 √ Giải. Xét hàm số f(x) = 4 x và x0 = 16, ∆x = −0, 2. Ta có

15, 8 ≈ 1, 9938 f(x0 + ∆x) ≈ f(x0) + f (cid:48)(x0)∆x = f(16) + f (cid:48)(16)(−0, 2) = 1, 9938 √ Suy ra, 4

Các định lý về giá trị trung bình

Định lý Rolle Nếu f(x) liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) và f(a) = f(b) thì

∃c ∈ (a, b) : f (cid:48)(c) = 0

Định lý Lagrange - Định lý giá trị trung bình Nếu f(x) liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) thì

∃c ∈ (a, b) : f (cid:48)(c) = , a (cid:44) b f(b) − f(a) b − a

Định lý Cauchy Nếu f(x), g(x) liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) và g(cid:48)(x) (cid:44) 0, ∀x ∈ (a, b) thì

∃c ∈ (a, b) : = f(b) − f(a) g(b) − g(a) f (cid:48)(c) g(cid:48)(c)

Ứng dụng của đạo hàm Công thức Taylor

n(cid:88)

Định lý (Công thức khai triển Taylor tại x0) Giả f(x) xác định trong [a, b] và f(x) có đạo hàm cấp n + 1 trên (a, b). Khi đó, với mọi x0 ∈ (a; b) thì ta có thể khai triển f(x) dưới dạng sau:

k=0

f (x) = (x − x0)k + Rn(x; x0) f (k) (x0) k!

Rn(x; x0) được gọi là phần dư bậc n của khai triển Taylor Lưu ý.

1) Phần dư dạng Peano (khi không quan tâm đến sai số)

Rn(x; x0) = 0((x − x0)n)

2) Phần dư dạng Lagrange (khi cần đánh giá sai số)

(x − x0)n+1 với c nằm giữa x và x0. Rn(x; x0) = f (n+1) (c) (n + 1)!

Ứng dụng của đạo hàm Công thức Taylor

Khai triển Taylor của hàm số tại x0 = 0 được gọi là khai triển Maclaurin.

n(cid:88)

Khai triển Maclaurin với phần dư Peano:

k=0

f (x) = xk + 0(xn). f (k) (0) k!

n(cid:88)

Khai triển Maclaurin với phần dư Lagrange:

k=0

f (x) = xk + xn+1 f (k) (0) k! f (n+1) (c) (n + 1)!

Ví dụ

Viết khai triển Maclaurin của hàm số f(x) = ex.

Giải. Ta có f (cid:48)(x) = ex, f (cid:48)(cid:48)(x) = ex, . . . , f (n)(x) = ex =⇒ f (n)(0) = 1, ∀n ≥ 0 . Khi đó,với θ ∈ (0, 1)

f(x) = 1 + x + x2 + . . . + xn + xn+1 f (cid:48)(cid:48)(0) 2! f (cid:48)(0) 1! f (n+1)(c) (n + 1)!

x x2 f (n)(0) n! eθxxn+1 xn + = 1 + + + . . . + 1! 2! (n + 1)! n!

Ứng dụng của đạo hàm Công thức Taylor

hay ex = 1 + x + + . . . + + x2 2! xn n! eθxxn+1 (n + 1)!

Ví dụ

Viết khai triển Maclaurin của hàm số f(x) = sin x. (cid:18) (cid:19) π Giải. Ta có f (n)(x) = sin x + n

(cid:40) (cid:18) (cid:19) 2 π =⇒ f (n)(0) = sin n = 0 (−1)k nếu n = 2k nếu n = 2k + 1 2

Khi đó,với θ ∈ (0, 1), ta có khai triển Maclaurin

+ + ... + + x2k+3 sin x = x − x3 3! x5 5! − x7 7! (−1)k x2k+1 (2k + 1)! (−1)k+1 cos θx (2k + 3)!

Ứng dụng của đạo hàm Công thức Taylor

Khai triển Maclaurin của một số hàm sơ cấp

+ · · · + x2 2! x3 3! xn n!

+ 0(xn+1) x3 3

+ + 0(x2n+1) + 0(xn) − · · · + (−1)n−1 xn + n − · · · + (−1)n x2n+1 (2n + 1)!

α 5) (1 + x)

+ + 0(x2n+2) 1) ex = 1 + x + + 2) ln(1 + x) = x − x2 2 x5 3) sinx = x − x3 5! 3! 4) cosx = 1 − x2 x4 4! 2! − · · · + (−1)n x2n (2n)!

= 1 + αx + · · · + xn + 0(xn) α (α − 1) · · · (α − (n − 1)) n!

Ứng dụng của đạo hàm Quy tắc L’Hospital

Khử dạng vô định và ∞ ∞ 0 0

(Quy tắc L’Hospital) Cho các hàm số f(x) và g(x) khả vi trong lân cận của điểm x0 và g(cid:48)(x0) (cid:44) 0. Nếu:

có dạng vô định hoặc ∞ ∞ . i) Giới hạn lim x→x0 0 0

tồn tại ii) Giới hạn lim x→x0 f(x) g(x) f (cid:48)(x) g(cid:48)(x)

thì . lim x→x0 = lim x→x0 f(x) g(x) f (cid:48)(x) g(cid:48)(x)

Ứng dụng của đạo hàm Quy tắc L’Hospital

Ví dụ

Tính giới hạn của hàm số sau

lim x→0 ex − e−x − 2 sin x x − sin x

Giải. Ta có

lim x→0 = lim x→0 = lim x→0 ex − e−x − 2 sin x x − sin x ex − e−x + 2 sin x sin x

= 4 = lim x→0 ex + e−x − 2 cos x 1 − cos x ex + e−x + 2 cos x cos x

Ví dụ

Tính giới hạn của hàm số sau

lim x→0 x − sin x x3

x→0

Giải. Ta có 1 − cos x = lim x→0 = lim x→0 = lim x→0 x − sin x x3 3x2 = lim sin x 6x cos x 6 1 6

Ứng dụng của đạo hàm Quy tắc L’Hospital

Khử dạng vô định 0.∞ và ∞ − ∞: dùng phép biến đổi đưa về dạng hoặc ∞ ∞ . 0 0

Ví dụ

xα ln x ; α > 0 Tính giới hạn lim x→0+

Ví dụ

(cid:19) − cot2 x Tính giới hạn lim x→0 (cid:18) 1 x2

Giải. Ta có

(cid:19) − cot2 x lim x→0 = lim x→0 (cid:18) 1 x2

. = lim x→0 (sin x − x cos x) x3

= 2 lim x→0 sin2 x − x2 cos2 x x2 sin2 x (sin x + x cos x) x sin x − x cos x x3

= = 2 lim x→0 = 2 lim x→0 cos x − cos x + x sin x 3x2 sin x 3x 2 3

Ứng dụng của đạo hàm Quy tắc L’Hospital

Khử dạng vô định 00; 1∞; ∞0

f(x)g(x) = ek. Nếu lim x→a f(x)g(x) có dạng 00, 1∞, ∞0 và lim x→a g(x) ln f(x) = k thì lim x→a

g(x) (f(x) − 1) = k thì Đối với dạng 1∞: Nếu lim x→a f(x)g(x) có dạng 1∞ và lim x→a f(x)g(x) = ek. lim x→a

Ví dụ

x−1

Tính giới hạn a) (sin x)x2 lim x→0+

ln x

(2x − 1) 2 b) lim x→1

c) (cot x) 2 lim x→0+

Ứng dụng của đạo hàm Sự biến thiên của hàm số

Định lý (Điều kiện cần)

Nếu hàm số f(x) không giảm trên (a; b) (không tăng trên (a; b)) và f(x) khả vi thì f (cid:48)(x) ≥ 0 (f (cid:48)(x) ≤ 0).

Định lý (Điều kiện đủ)

Cho hàm số f(x) khả vi trong khoảng (a; b). Nếu tại mọi x ∈ (a; b) mà đạo hàm:

f (cid:48)(x) > 0 thì f(x) tăng trong (a; b) f (cid:48)(x) < 0 thì f(x) giảm trong (a; b) f (cid:48)(x) = 0 thì f(x) là hàm hằng trong (a; b)

Ứng dụng của đạo hàm Cực trị của hàm số

Định lý (Định lí Fermat - Điều kiện cần của cực trị)

Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b). Nếu f(x) đạt cực trị tại x0 ∈ (a; b) và có đạo hàm tại x0 thì f (cid:48)(x0) = 0.

Định lý (Điều kiện đủ có cực trị theo đạo hàm bậc nhất)

Giả sử x0 là điểm tới hạn của hàm số f(x) và hàm số có đạo hàm trong khoảng (x0 − δ, x0), (x0, x0 + δ) với δ > 0. Khi đó: i) Nếu đạo hàm f (cid:48)(x) đổi dấu từ dương (+) sang âm (-) khi qua x0 thì f(x) đạt cực đại tại x0. ii) Nếu đạo hàm f (cid:48)(x) đổi dấu từ âm (-) sang dương (+) khi qua x0 thì f(x) đạt cực tiểu tại x0. iii) Nếu đạo hàm f (cid:48)(x) không đổi dấu khi qua x0 thì x0 không là điểm cực trị của f(x).

Ứng dụng của đạo hàm Cực trị của hàm số

x0 là điểm cực đại nếu f (n)(x0) < 0. x0 là điểm cực tiểu nếu f (n)(x0) > 0.

Định lý (Điều kiện đủ có cực trị theo đạo hàm cấp cao) Giả sử hàm số có đạo hàm liên tục đến cấp n(n ≥ 2) trong một khoảng chứa x0 và f (cid:48)(x0) = f (cid:48)(cid:48)(x0) = . . . = f (n−1)(x0) = 0; f (n)(x0) (cid:44) 0. Khi đó, i) Nếu n là số chẵn thì

ii) Nếu n là số lẻ thì x0 không là điểm cực trị của x0.

Trường hợp n = 2. Điều kiện đủ có cực trị theo đạo hàm cấp 2: (cid:40) ⇒ x0 là điểm cực đại của f(x).

(cid:40) ⇒ x0 là điểm cực tiểu của f(x). f (cid:48)(x0) = 0 f (cid:48)(cid:48)(x0) < 0 f (cid:48)(x0) = 0 f (cid:48)(cid:48)(x0) > 0

Ứng dụng của đạo hàm Cực trị của hàm số

Ví dụ

Khảo sát sự biến thiên và tìm cực trị của hàm số:

a) y =

x2 − 2x + 1 x2 + 1 √ b) y = (x − 2) 3 x

Ví dụ

Tìm GTLN và GTNN của hàm số: a) y = x3 − 3x2 + 4 trên [−1; 4] b) y = x2.lnx trên [1; e]

Ứng dụng trong kinh tế Giá trị biên tế (Marginal quantity)

Định nghĩa Cho hàm số y = f(x). Giá trị biên tế của y theo x tại x0, kí hiệu là Mxy(x0), là lượng thay đổi tuyệt đối của biến phụ thuộc y khi biến độc lập x thay đổi 1 đơn vị.

∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0) ≈ f (cid:48)(x0)∆x

khi ∆x rất nhỏ, ∆y chỉ lượng thay đổi tuyệt đối của y, ∆x chỉ lượng thay đổi tuyệt đối của x.

Khi ∆x rất nhỏ (∆x → 0), giá trị biên tế được tính xấp xĩ là đạo hàm của y theo x, tức là Mxy(x0) ≈ f (cid:48)(x0)

Ứng dụng trong kinh tế Giá trị biên tế (Marginal quantity)

, L =

Sản lượng biên (Marginal quantity), kí hiệu là MQ, là đại lượng đo sự thay đổi của sản lượng khi lao động hay vốn tăng thêm 1 đơn vị. √ L. Tìm MQ khi Ví dụ: Hàm sản xuất của một doanh nghiệp là Q = f(L) = 5 L = 100 5 √ 5 √ MQ = (Q) ⇒ MQ(100) = = 0, 25 2 100 2 L

Q = 0, 0003Q − 0, 04Q + 5

Chi phí biên (Marginal cost), kí hiệu là MC(Q), là đại lượng đo sự thay đổi của chi phí C khi Q tăng thêm 1 đơn vị.

Ví dụ: Hàm chi phí sản xuất của một sản phẩm là TC = 0, 0001Q3 − 0, 02Q2 + 5Q + 100. Tìm MC khi Q = 50. MC = (TC) MC = 3, 75

Ứng dụng trong kinh tế Giá trị biên tế (Marginal quantity)

Doanh thu biên (Marginal Revenue), kí hiệu là MR, là đại lượng đo sự thay đổi của doanh thu khi sản lượng tăng thêm 1 đơn vị.

P = 1000 − 28P⇒ MR(30) = 160; MR(40) = −120

Ví dụ: Một sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là Q = 1000 − 14P. Tìm MR khi P = 30 và P = 40. Hàm doanh thu: TR = PQ = P(1000 − 14P) = 1000P − 14P2. MR = (TR)

Hàm lợi nhuận: π = TR − TC = PQ − (FC + VC). Lợi nhuận biên là đại lượng đo sự thay đổi của lợi nhuận khi giá tăng thêm 1 đơn vị hay sản lượng tăng thêm 1 đơn vị.

Ví dụ: Một doanh nghiệp đưa vào thị trường sản phẩm A, thông tin có được như sau: - Hàm cầu là P = 600 − 2Q. - Hàm chi phí là TC = 0, 2Q2 + 28Q + 200. Tìm Mπ khi sản lượng Q = 150. Giải. Ta có: TR = PQ = (600 − 2Q)Q = 600Q − 2Q2. Hàm lợi nhuận: π = TR − TC = −0, 2Q2 + 572Q − 200 Mπ = −0, 4Q + 572 ⇒ Mπ(150) = 512

Ứng dụng trong kinh tế Độ co dãn (Elasticity)

Định nghĩa Cho hàm số y = f(x). Hệ số co dãn của y theo x được kí hiệu là εyx, là

εyx = ∆y/y ∆x/x

trong đó, ∆y/y chỉ lượng thay đổi tương đối của y, ∆x/x chỉ lượng thay đổi tương đối của x.

Ý nghĩa: Hệ số co dãn cho biết lượng thay đổi tương đối (%) của y khi x thay đổi 1%.

Khi ∆x rất nhỏ (∆x → 0), giá trị biên tế được tính xấp xĩ là đạo hàm của y theo x, tức là

= f (cid:48)(x) εyx ≈ dy/y dx/x x y

Ứng dụng trong kinh tế Độ co dãn (Elasticity)

Độ co dãn của cầu theo giá, kí hiệu là ED, là đại lượng đo sự thay đổi tương đối (%) của lượng cầu khi giá tăng 1%.

= = ED = ∆QD/QD ∆P/P ∆QD ∆P . P QD % lượng thay đổi của lượng cầu % lượng thay đổi của giá

với QD = f(P) ED ≈ f (cid:48)(P). P QD

Trong trường hợp hàm cầu, QD = f(P) = aP + b với a < 0, b > 0, thì

ED = a P QD

= (−4 − 2P) P QD P QD 9 = −3, 33

Ví dụ: Hàm cầu của một sản phẩm là QD = f(P) = 30 − 4P − P2. Hệ số co dãn của cầu theo giá là ED = f (cid:48)(P) . Tại mức giá P = 3, ta có: ED = (−4 − 6) 3 Điều này có nghĩa là: tại mức giá P = 3, nếu tăng giá lên 1% thì lượng cầu giảm 3, 33%.

Ứng dụng trong kinh tế Độ co dãn (Elasticity)

Độ co dãn của cung theo giá, kí hiệu là ES, là đại lượng đo sự thay đổi tương đối (%) của lượng cung khi giá tăng 1%.

= = ES = ∆QS/QS ∆P/P ∆QS ∆P . P QS % lượng thay đổi của lượng cung % lượng thay đổi của giá

với QS = f(P) ES ≈ f (cid:48)(P). P QS

Trong trường hợp hàm cầu, QS = f(P) = cP + d với c > 0, d > 0, thì

ES = c P QS

= . 100P 100P − 5 P QS

= 1, 06

Ví dụ: Hàm cung của một sản phẩm là QS = f(P) = 100P − 5. Hệ số co dãn của cầu theo giá là ED = f (cid:48)(P) 100.0, 9 Tại mức giá P = 0, 9, ta có: ED = 100.0, 9 − 5 Điều này có nghĩa là: tại mức giá P = 0, 9, nếu tăng giá lên 1% thì lượng cung tăng 1, 06%.

Ứng dụng trong kinh tế Tối ưu trong kinh tế

Các bài toán trong kinh tế thường với mục đích tối ưu hóa một hàm mục tiêu y = f(x), tức là chọn x để y đạt giá trị lớn nhất hoặc đặt giá trị nhỏ nhất.

Lợi nhuận tối đa. Lợi nhuận π = TR − TC đạt giá trị cực đại.

Ví dụ: Một doanh nghiệp đưa vào thị trường sản phẩm A, thông tin có được như sau: - Hàm cầu là P = 600 − 2Q. - Hàm chi phí là TC = 0, 2Q2 + 28Q + 200. a) Tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa, khi ấy giá bán và lợi nhuận đạt được là bao nhiêu? b) Nếu mỗi đơn vị sản lượng Q, công ty phải nộp thuế 22 đơn vị tiền tệ thì

sản lượng và giá bán là bao nhiêu để công ty đạt lợi nhuận tối đa? Khi ấy lợi nhuận là bao nhiêu? Giải.

a) Ta có: TR = PQ = (600 − 2Q)Q = 600Q − 2Q2 Hàm chi phí là TC = 0, 2Q2 + 28Q + 200 Hàm lợi nhuận: π = TR − TC = −0, 2Q2 + 572Q − 200 π tối đa ⇔ MR = MC ⇔ 300 − P = 0, 4Q + 28 ⇔ Q = 130. Khi đó, giá bán P = 600 − 2.130 = 340; π = 36.980.

Ứng dụng trong kinh tế Tối ưu trong kinh tế

b) Ta có: TR = PQ = (600 − 2Q)Q = 600Q − 2Q2

Hàm chi phí là TC = 0, 2Q2 + 28Q + 200 + 22Q = 0, 2Q2 + 50Q + 200 Hàm lợi nhuận: π = TR − TC = −0, 2Q2 + 594Q − 200 + 22Q π tối đa ⇔ MR = MC ⇔ 300 − P = 0, 4Q + 50 ⇔ Q = 125. Khi đó, giá bán P = 600 − 2.125 = 350; π = 34.175.

Nhận xét: Khi mỗi sản phẩm phải đóng thuế 22 đơn vị tiền tệ, thì giá tăng từ 340 đến 350 (tăng 3%), tức là người tiêu dùng phải chịu 10 còn nhà sản xuất chịu 12 và lợi nhuận giảm từ 36.980 xuống 34.175 (giảm 7, 6%)

(Bài toán tìm sản lượng để doanh nghiệp độc quyền có lợi nhuận cao nhất)

Giá sử một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại hàng hóa, biết hàm cầu của doanh nghiệp đối với mặt hàng đó là QD = D(P), hàm tổng chi phí là C = C(Q). Hãy xác định mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại.

P và hàm chi phí C(Q) = Q3 − 77Q2 + 1000Q + 100. Tìm mức

Ví dụ: Cho doanh nghiệp độc quyền sản xuất một loại hàng hóa với QD = 656 − 1 2 sản lượng để doanh nghiệp có lợi nhuận cao nhất.