10/13/2012
1
ChươngChương
3. 3.
Hà mHà m
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnh ạn
§1. Bổ túc về hàm số
§2. Giới hạn của hàm số
§3. Đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn
§4. Hàm số liên tục
…………………………….
§1. BỔ TÚC VỀ HÀM SỐ
1.1. Khái niệm cơ bản
1.1.1. Định nghĩa hàm số
• Cho
,
¡
khác rỗng.
Ánh xạ
:
fX Y
với
()
xyfx
a
là một hàm số.
Khi đó:
– Miền xác định (MXĐ) của f, ký hiệu Df, là tập X.
– Miền giá trị (MGT) của f là:
()
GyfxxX

.
ChươngChương
3. 3.
Hà mHà m
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnh ạn
– Nếu
1212
()()
fxfxxx

thì f là đơn ánh.
– Nếu f(X) = Y thì f là toàn ánh.
–
Nếu
f
vừa đơn ánh vừa toàn ánh thì
f
là
song ánh
.
VD 1.
a) Hàm số
:
f
¡ ¡
thỏa
()2
x
yfx

là đơn ánh.
b) Hàm số
:[0;)
f

¡
thỏa
2
()
fxx
là toàn ánh.
c) Hsố
:(0;)
f

¡
thỏa
()ln
fxx
là song ánh.
• Hàm
số
()
yfx
được gọi là hàm chẵn nếu:
()(), .
f
fxfxxD

• Hàm số
()
yfx
được gọi là hàm lẻ nếu:
()(), .
f
fxfxxD

ChươngChương
3. 3.
Hà mHà m
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnh ạn
Nhận xét
– Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung.
–
Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ.
1.1.2. Hàm số hợp
• Cho hai hàm số f và g thỏa điều kiện
gf
GD
.
Khi đó, hàm số
()()()[()]
hxfgxfgx

o
được gọi là
hàm số hợp của
f
và
g
.
Chú ý
()()()().
fgxgfx
oo
VD 2. Hàm số
222
2(1)1
yxx

là hàm hợp của
2
()2
fxxx

và
2
()1
gxx

.
ChươngChương
3. 3.
Hà mHà m
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnh ạn
1.1.3. Hàm số ngược
• Hàm số g được gọi là hàm số ngược của f,
ký hiệu
1
gf
, nếu
(),
f
xgyyG

.
Nhận xét
–
Đồ thị hàm số
1
()
yfx
đối xứng với đồ thị của
hàm số
()
yfx
qua
đường thẳng
yx
.
VD 3. Cho
()2
x
fx
thì
1
2
()log
fxx
, mọi x > 0.
ChươngChương
3. 3.
Hà mHà m
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnh ạn
1.2. Hàm số lượng giác ngược
1.2.1. Hàm số
y =
arcsin
x
• Hàm số
sin
yx
có hàm ngược trên
;
22





là
1
:[1; 1];
22
f






arcsin
xyx
a
.
VD 4.
arcsin00
;
arcsin(1)
2

;
3
arcsin
23
.
ChươngChương
3. 3.
Hà mHà m
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnh ạn
Chú ý
arcsinarccos,[1; 1].
2
xxx

1.2.2. Hàm số y = arccos x
• Hàm số
cos
yx
có hàm ngược trên
[0;]
là
1
:[1; 1][0;]
f

arccos
xyx
a
.
VD 5. arccos0
2
;
arccos(1)

;
3
arccos
26
;
12
arccos
23

.
10/13/2012
2
ChươngChương
3. 3.
Hà mHà m
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnh ạn
1.2.3. Hàm số y = arctan x
• Hàm số
tan
yx
có hàm ngược trên
;
22



là
1
:;
22
f




¡
arctan
xyx
a
.
VD 6.
arctan00
;
arctan(1)
4

;
arctan3
3
.
Quy ước.
arctan,arctan.
22


ChươngChương
3. 3.
Hà mHà m
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnh ạn
1.2.4. Hàm số y = arccot x
• Hàm số
cot
yx
có hàm ngược trên
(0;)
là
1
:(0;)
f

¡
cot
xyarcx
a
.
VD 7. cot0
2
arc
;
3
cot(1)
4
arc
 ;
cot3
6
arc
.
Quy ước.
cot()0,cot().
arcarc

………………………………………
ChươngChương
3. 3.
Hà mHà m
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnh ạn
§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
2.1. Các định nghĩa
Định nghĩa 1
• Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có
giới
hạn là L (hữu hạn) khi
0
[; ]
xxab

,
ký hiệu
0
lim()
xx
fxL
, nếu
0

cho trước ta tìm được
0

sao cho khi
0
0
xx

thì
()
fxL

.
Định nghĩa 2 (định nghĩa theo dãy)
• Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có
giới
hạn là L (hữu hạn) khi
0
[; ]
xxab

,
ký hiệu
0
lim()
xx
fxL
, nếu mọi dãy {x
n
} trong
0
(; )\{}
abx
mà
0
n
xx
thì
lim()
n
n
fxL

.
ChươngChương
3. 3.
Hà mHà m
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnh ạn
Định nghĩa 3 (giới hạn tại vô cùng)
• Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi
x

,
ký hiệu
lim()
x
fxL

, nếu
0

cho trước ta tìm
được N > 0 đủ lớn sao cho khi x > N thì
()
fxL

.
• Tương tự, ký hiệu
lim()
x
fxL

, nếu
0

cho
trước ta tìm được N < 0 có trị tuyệt đối đủ lớn sao cho
khi x < N thì
()
fxL

.
Định nghĩa 4 (giới hạn vô cùng)
• Ta nói f(x) có giới hạn là

khi
0
xx
,
ký hiệu
0
lim()
xx
fx

, nếu
0
M

lớn tùy ý cho
trước ta
tìm được
0

sao cho khi
0
0
xx

thì
()
fxM
.
ChươngChương
3. 3.
Hà mHà m
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnh ạn
• Tương tự, ký hiệu
0
lim()
xx
fx

, nếu
0
M

có
trị
tuyệt đối lớn tùy ý cho trước ta tìm được
0

sao cho
khi
0
0
xx

thì
()
fxM
.
Định nghĩa 5 (giới hạn 1 phía)
• Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi
0
xx
với
0
xx
thì ta nói f(x) có giới hạn phải tại x
0
(hữu
hạn), ký hiệu
0
0
lim()
xx
fxL

hoặc
0
lim()
xx
fxL
.
• Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi
0
xx
với
0
xx
thì ta nói f(x) có giới hạn trái tại x
0
(hữu
hạn), ký hiệu
0
0
lim()
xx
fxL

hoặc
0
lim()
xx
fxL
.
Chú ý.
0
0
0
lim()lim()lim().
xx xxxx
fxLfxfxL



ChươngChương
3. 3.
Hà mHà m
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnh ạn
2.2. Tính chất
Cho
0
lim()
xx
fxa
và
0
lim()
xx
gxb
. Khi đó:
1)
0
lim[.()].
xx
CfxCa
(
C
là hằng số).
2)
0
lim[()()]
xx
fxgxab

.
3)
0
lim[()()]
xx
fxgxab
;
4)
0
()
lim, 0
()
xx
fxa
b
gxb

;
5) Nếu
00
()(),(; )
fxgxxxx

thì
ab
.
6) Nếu
00
()()(),(; )
fxhxgxxxx

và
00
lim()lim()
xxxx
fxgxL


thì
0
lim()
xx
hxL
.
10/13/2012
3
ChươngChương
3. 3.
Hà mHà m
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnh ạn
VD 1. Tìm giới hạn
2
1
2
lim
3
x
x
x
x
L
x



.
A.
9
L
; B.
4
L
; C.
1
L
; D.
0
L
.
Giải. Ta có:
2. 12
2
lim2.
3
x
x
x
x
LB
x




Định lý
Nếu
00
lim()0, lim()
xxxx
uxavxb


thì:
0
()
lim[()].
vxb
xx
uxa
ChươngChương
3. 3.
Hà mHà m
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnh ạn
Các kết quả cần nhớ
1)
00
11
lim,lim
xx
xx



.
2) Xét
1
10
1
10
...
lim
...
nn
nn
mm
x
mm
axaxa
L
bxbxb



, ta có:
a)
n
n
a
L
b
nếu
nm
;
b)
0
L
nếu
nm
;
c)
L

nếu
nm
.
3)
00
sintan
limlim1
xx
xx
xx




.
ChươngChương
3. 3.
Hà mHà m
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnh ạn
VD 2. Tìm giới hạn
2
2
3
lim1
21
x
x
x
L
x




.
A.
L

; B.
3
Le
; C.
2
Le
; D.
1
L
.
4) Số e:
1
0
1
lim1lim1.
x
x
xx
xe
x




Giải.
2
22.
3
3
21
21
2
l
2
m3
1
1
i
x
x
x
x
x
x
Lx
x










.
ChươngChương
3. 3.
Hà mHà m
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnh ạn
Khi
x

thì 22
33
0,2.3
2121
xx
x
xx


2
21
33
2
3
lim1
21
x
x
x
x
eLeB
x




.
ChươngChương
3. 3.
Hà mHà m
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnh ạn
VD 3. Tìm giới hạn
1
2
4
0
lim1tan
x
x
Lx
 .
A.
L

; B.
1
L
; C.
4
Le
; D.
Le
.
Giải.
2
2
1
.
1
tan
t
4
0
an
2
tan
lim1 x
x
x
x
Lx







2
2
1tan
.
14
4
2tan
0
lim1tan
x
x
x
x
xeC









.
………………………………………
ChươngChương
3. 3.
Hà mHà m
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnh ạn
§3. ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN
3.1. Đại lượng vô cùng bé
a) Định nghĩa
Hàm số
()
x
được gọi là
đại lượng vô cùng bé
(VCB)
khi
0
nếu
0
lim()0
xx
x

(
0
x
có thể là vô cùng).
VD 1.
3
()tansin1
xx

là VCB khi
1
x
;
2
1
()
ln
x
x
 là VCB khi
x

.
10/13/2012
4
ChươngChương
3. 3.
Hà mHà m
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnh ạn
b) Tính chất của VCB
1)
Nếu
(), ()
xx

là các VCB khi
0
xx
thì
()()
xx

và
().()
xx

là VCB khi
0
xx
.
2) Nếu
()
x
là VCB và
()
x
bị chận trong lân cận
0
x
thì
().()
xx

là VCB khi
0
xx
.
3)
0
lim()()()
xx
fxafxax

, trong đó
()
x
là
VCB khi
0
xx
.
ChươngChương
3. 3.
Hà mHà m
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnh ạn
c) So sánh các VCB
•
Định nghĩa
Cho
(), ()
xx

là các VCB khi
0
xx
,
0
()
lim
()
xx
x
k
x
.
Khi đó:
– Nếu
0
k
, ta nói
()
x
là VCB cấp cao hơn
()
x
,
ký hiệu
()0(())
xx

.
– Nếu
k

, ta nói
()
x
là VCB
cấp thấp hơn
()
x
.
– Nếu
0
k

, ta nói
()
x
và
()
x
là các VCB
cùng cấp.
– Đặc biệt, nếu
1
k
, ta nói
()
x
và
()
x
là các VCB
tương đương, ký hiệu
()()
xx

:
.
ChươngChương
3. 3.
Hà mHà m
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnh ạn
VD 2.
•
1cos
x
là VCB cùng cấp với
2
x
khi
0
x
vì:
2
22
00
2sin
1cos1
2
limlim
2
4
2
xx
x
x
xx




.
•
22
sin3(1)9(1)
xx

:
khi
1
x
.
ChươngChương
3. 3.
Hà mHà m
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnh ạn
•
Tính chất củ
a VCB tương đương
khi
x
→
x
0
1)
()()()()0(())0(())
xxxxxx

:
.
2) Nếu
()(), ()()
xxxx

: :
thì
()()
xx

:
.
3) Nếu
1122
()(), ()()
xxxx

: :
thì
1212
()()()()
xxxx

:
.
4) Nếu
()0(())
xx

thì
()()()
xxx

:
.
ChươngChương
3. 3.
Hà mHà m
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnh ạn
•
Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao
Cho
(), ()
xx

là
tổng các VCB
khác cấp
khi
0
thì
0
()
lim
()
xx
x
x
bằng giới hạn tỉ số hai VCB
cấp thấp
nhất
của tử và mẫu.
VD 3. Tìm giới hạn
3
42
0
cos1
lim
x
xx
L
xx

.
Giải.
02
3
4
(1cos
lim
)
x
x
L
x
x
x
2
0
1cos1
lim
2
x
x
x

.
ChươngChương
3. 3.
Hà mHà m
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnh ạn
•
Các VCB tương đương cần nhớ khi
x
→
0
1)
sin
xx
:
;
2)
tan
xx
:
;
3)
arcsin
xx
:
; 4)
arctan
xx
:
5)
2
1cos
2
x
x:; 6)
1
x
ex
:
;
7)
ln(1)
xx
:
; 8) 11
n
x
x
n

:
.
Chú ý
Nếu
()
ux
là VCB khi
0
x
thì ta có thể thay
x
bởi
()
ux
trong 8 công thức trên.
10/13/2012
5
ChươngChương
3. 3.
Hà mHà m
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnh ạn
VD 4. Tính giới hạn
2
2
0
ln(12sin)
lim
sin.tan
x
xx
L
xx
.
Giải
.
Khi
0
x
, ta có:
222
222
ln(12sin)2sin2.
2
sin.tan..
xxxxxx
xxxxxx


: : .
Vậy
2
L

.
ChươngChương
3. 3.
Hà mHà m
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnh ạn
VD 5. Tính
22
3
0
sin113tan
lim
sin2
x
xxx
L
xx

.
Vậy
0
1
2
lim
24
x
x
L
x

.
Giải
.
Khi
0
x
, ta có:
22
tan
xx
:
(cấp 2),
33
sin
xx
:
(cấp 3),
sin1111
2
x
xx
: :
(cấp 1).
ChươngChương
3. 3.
Hà mHà m
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnh ạn
Chú ý
Quy tắc VCB tương đương
không áp dụng được
cho
hiệu hoặc tổng của các VCB nếu chúng làm
triệt tiêu
tử
hoặc mẫu của phân thức.
VD 6. 22
00
2(1)(1)
limlim
xxxx
xx
eeee
xx



2
0
()
lim0
x
xx
x


(Sai!).
33
00
limlim
tan
xx
xx
xxxx




(Sai!).
ChươngChương
3. 3.
Hà mHà m
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnh ạn
VD 7. 3
cos1
2sin
x
xx
là VCL khi
0
x
;
3
2
1
cos43
xx
xx


là VCL khi
x

.
Nhận xét
.
Hàm số
()
fx
là VCL khi
0
xx
thì
1
()
fx
là VCB khi
0
xx
.
3.2. Đại lượng vô cùng lớn
a) Định nghĩa
Hàm số
()
fx
được gọi là
đại lượng vô cùng lớn
(VCL)
khi
0
nếu
0
lim()
xx
fx

(
0
x
có thể là vô cùng).
ChươngChương
3. 3.
Hà mHà m
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnh ạn
b) So sánh các VCL
•
Định nghĩa
Cho
(), ()
fxgx
là các VCL khi
0
xx
,
0
()
lim
()
xx
fx
k
gx
.
Khi đó:
– Nếu
0
k
, ta nói
()
fx
là VCL cấp thấp hơn
()
gx
.
– Nếu
k

, ta nói
()
fx
là VCL
cấp cao hơn
()
gx
.
– Nếu
0
k

, ta nói
()
fx
và
()
gx
là các VCL
cùng cấp.
– Đặc biệt, nếu
1
k
, ta nói
()
fx
và
()
gx
là các VCL
tương đương. Ký hiệu
()()
fxgx
:
.
ChươngChương
3. 3.
Hà mHà m
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnh ạn
VD 8.
•
3
3
x
là VCL khác cấp với 3
1
2
xx
khi
0
x
vì:
3
3333
000
312
lim:3lim3lim
2
xxx
xxx
xxxxx




.
•
33
212
xxx

:
khi
x

.