Dưới đây là bài giảng Toán cao cấp: Chương 3 - Hàm số và giới hạn. Mời các bạn tham khảo bài giảng để hiểu rõ hơn về bổ túc hàm số; giới hạn của hàm số; đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn; hàm số liên tục. Bài giảng phục vụ cho các bạn chuyên ngành Toán học và những ngành có liên quan.
10/13/2012
(cid:216)(cid:216) Chương
(cid:216)(cid:216) Chương
thì f là đơn ánh. fxfxx ()( 121
– Nếu x ) 2 – Nếu f(X) = Y thì f là toàn ánh. – Nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh thì f là song ánh.
§1. BỔ TÚC VỀ HÀM SỐ
()
:f ¡
2
yf x thỏa
¡ thỏa )
b) Hàm số c) Hsố
là đơn ánh. 2 x x là toàn ánh. là song ánh.
:(0;
f • Hàm số
f ) fx được gọi là hàm chẵn nếu:
yf x
là một hàm số.
Y với
:fX
( )
xyf x a
fx :[0; ( ) ¡ ¡ thỏa ()ln x ( ) ()(), fxfxx D
f
• Hàm số
được gọi là hàm lẻ nếu:
yf x
– Miền xác định (MXĐ) của f, ký hiệu Df, là tập X. – Miền giá trị (MGT) của f là:
( ) ()(), fxfxx D
.
.
f
( )
.
(cid:216)(cid:216) Chương
• Hàm số g được gọi là hàm số ngược của f, ký hiệu
, nếu
.
xgyy G (),
f
G
g
D . f
f 1 g
1( )
được gọi là
x yf
qua
yf x
x
()()()(). fgxgf o
o
2
( ) x .
là hàm hợp của
1
yx
2 x f x thì , mọi x > 0. x
2
22 x 2(1) 2 và
x 2
fxx ()
gx ()
2 x .
1
(cid:216)(cid:216) Chương
] là
x
arccos
f
1 :[1; 1];
có hàm ngược trên [0; 1.2.1. Hàm số y = arcsin x • Hàm số có hàm ngược trên là y sin ; 2 2 .
xa ; 2
xy
2 2 xa arcsin
y cos f 1 :[1; 1][0; ] xy VD 5. arccos 0 arccos(1) ;
0 ;
arccos
x .
3 2
; 6
1 2
2 . 3
arccos Chú ý
2
arcsin
x arcsinarccos,[1; 1].
xx
3 2
. 3
2
1
; VD 4. arcsin0 arcsin(1)
10/13/2012
(cid:216)(cid:216) Chương
(cid:216)(cid:216) Chương
f
1 :; ¡
xyarc
cot
VD 7.
arc
cot 0
;
arc
cot(1)
4
có hàm ngược trên • Hàm số • Hàm số ; cot x có hàm ngược trên (0; ) là 2 là 2 ) y 1 :(0; ¡ y . f . tan x 2 2 xa arctan 0 ; ; xy VD 6. arctan0 arctan(1)
arc
cot 3
. 3
xa ; 2 3 4 . 6
arctan 3
arctan,arctan
.
………………………………………
Quy ước. arcarc cot()0,cot() . Quy ước. 2 2
(cid:216)(cid:216) Chương
, nếu L
0
.
L
[; ]
fx cho 0
, nếu L
x
xxa b 0 cho trước ta tìm được
0
0
hạn là L (h ữu hạn) khi , nếu L
lim( ) fx x x 0 sao cho khi
.
được N > 0 đủ lớn sao cho khi x > N thì ( ) • Tương tự, ký hiệu lim( ) fx trước ta tìm được N < 0 có trị tuyệt đối đủ lớn sao cho . khi x < N thì ( )
L
fx
0
L
0
f(x) có gi ới hạn là khi
x
hạn là L (h ữu hạn) khi
x , ký hi ệu trước ta
0
, nếu
0 0M lớn tùy ý cho
0
[; ] x (; )\{ } ab
xxa b , nếu mọi dãy {xn} trong L
0
thì
sao cho khi
0
0
x x
0
fx
. L
0
)n
lim( ) f x x x tìm được M .
fx ( )
lim( ) fx x x 0 x thì lim( nx
n
(cid:216)(cid:216) Chương
(cid:216)(cid:216) Chương
• Tương tự, ký hi ệu
, nếu
f x
0M có trị
và a
. Khi đó: b
sao cho
0
lim( ) fx x x
0
0
lim( ) x x 0 tuyệt đối lớn tùy ý cho tr ước ta tìm được khi
.
thì ( ) fx
M
0
x
x
1)
lim( ) gx x x (C là hằng số).
CfxC a
.
lim[.()] x x
0
2)
.
x
x
fxgxa
b
lim[()()] x
x
0
0 f(x) có giới hạn ph ải tại x0 (hữu
x
0
3)
fxgxab
;
với hạn), ký hiệu
. L
hoặc L
lim[()()] x
x
0
0
x
x thì ta nói fx lim( ) x 0
lim( ) fx x x 0
• Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi
4)
x
x
;
b
0
0 f(x) có giới hạn trái tại x0 (h ữu
x
0
thì a
x
với hạn), ký hiệu
0
0
hoặc L
. L
0
x
x thì ta nói fx lim( ) x 0
lim( ) fx x x 0
L
lim, x x 5) Nếu 6) Nếu
0 thì
b . và . L
lim()lim()lim() fxLfxfx x
x
. xxx
0
fx ( ) a 0 b gx ( ) ) ()(),(; fxgxxx ()()(),(; x ) fxhxgxxx lim()lim( ) fxgx x xxx
L
0 lim( ) hx x x
x 0
0
0
0
0
2
10/13/2012
(cid:216)(cid:216) Chương
(cid:216)(cid:216) Chương
Định lý
1)
.
0
0
lim,lim x 0
0
x
1 x
1 x
vx
( )
b . a
...
0
Nếu thì: lim()0, lim( ) b uxavx x xxx
2) Xét
, ta có:
L
lim x
1 a 1 b
...
n axax n m bxbx m
n n 1 m m 1
0
lim[()] ux x x 0
a)
L
nếu n m ;
. VD 1. Tìm giới hạn L
x 2 x 1 2 x lim 3 x x L ; D. L ; C. 1 4
L ; B. 9
L . 0
a n b n 0
L nếu n m ; b) c) L nếu n m .
x 1
x
2
A.
B
L
2. x 2 . lim2 x 3 x
3)
.
1 0
x
sintan x limlim x x 0
x x
Giải. Ta có:
(cid:216)(cid:216) Chương
(cid:216)(cid:216) Chương
Khi x thì
0,2.
x
3
x 3 2
x 3 2 x 212
1
x
1 x
x
e
x
. 0
x
x 1 lim1lim1 x
x
3
4) Số e:
L
22 1 x x 3 x 3 lim 1 2 x 1
lim 1 x e ; C. 3
. VD 2. Tìm giới hạn . eLe B x 2
x 2 .
2
2 x 3 2 1 2 x e ; D. 2 x 3 2
x
2
1
1 x
x 3
.
Giải.
L A. L ; B. L L . 1
2
L x 3 2 l i m x x 2 1 1
(cid:216)(cid:216) Chương
(cid:216)(cid:216) Chương
2
§3. ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG L ỚN
VD 3. Tìm giới hạn
.
L x
.
A. L ; B.
e
L
2
.
an t
x
4 e 1 x 4
khi
1 2
2
x
0x có thể là vô cùng).
x
tan
Giải.
tan
L
x
lim() x x 0
x x nếu 0
lim 1 0 x
x
x
; 1
x
x
1tan . 4
2
1 2
4
2
tan
VD 1.
x C
3 là VCB khi x ()tansin 1 là VCB khi x .
x ( )
1 2
.
ln
x
………………………………………
3
lim1tan x 0
10/13/2012
(cid:216)(cid:216) Chương
là các VCB khi
.
x
k
x , 0
lim x x 0
( ) x ( ) x
là các VCB khi x x x x là VCB khi b) Tính chất của VCB 1) Nếu (), ( ) và ().( ) ()( )x x x x x thì 0 x . x 0
0x
x
.
là VCB cấp thấp hơn ( )x
0
, bị chận trong lân cận k , ta nói ( )x là VCB cấp cao hơn ( )x . là VCB và ( )x 2) Nếu ( )x là VCB khi thì ().( ) x x x x . 0 3) là x , trong đó ( )x là các VCB k , ta nói ( )x và ( )x lim()()( ) fxafxa x x VCB khi – Nếu 0 ký hiệu ()0(()) x – Nếu k , ta nói ( )x – Nếu 0 cùng cấp. x x . 0 là các VCB 1 – Đặc biệt, nếu tương đương, ký hiệu ()( )x và ( )x . x k , ta nói ( )x :
(cid:216)(cid:216) Chương
(cid:216)(cid:216) Chương
VD 2. • 1cos
x
.
2
2sin
x
.
.
xxx
x
x
:
:
2
1cos limlim x 0
0
x
2
x
1) ()()()()0(())0(()) x xxxxx : 2) Nếu ()(), ()( ) : 3) Nếu
• Tính chất của VCB tương đương khi x → x0
4
là VCB cùng cấp với 2x khi x vì: 0 x 12 2 x 2
thì ()( )x thì .
.
2
2
:
x
4) Nếu ()0(()) x
: x
x . 1
x ()(), ()( ) : xxx 2 112 : x ()()()( ) xxx 2 121 thì ()()( ) xx • khi sin3(1)9(1) x x :
(cid:216)(cid:216) Chương
(cid:216)(cid:216) Chương
là tổng các VCB khác cấp khi
2) tan x
x: ;
x: ;
x
• Các VCB tương đương cần nhớ khi x → 0 • Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao
x 0
1) sin x 3) arcsin x
arctan x
x:
bằng gi ới hạn tỉ số hai VCB cấp th ấp
thì
x x
0
5)
xe
lim x x 1 x : ;
x
1cos
3
n
x
1
7) ln(1
x: ; 4) 2 x : ; 6) 2 : ; 8) x
VD 3. Tìm giới hạn
.
L
cos 4
x 2
lim x 0
x
x
Chú ý
)x x 1 : . 1 x n
3
Nếu ( )u x là VCB khi
0
x thì ta có th ể thay x bởi
2
4
1cos x x x ) Giải. L (1cos 2 4 lim x 0 lim x 0 1 . 2 x x x ( )u x trong 8 công thức trên.
10/13/2012
(cid:216)(cid:216) Chương
(cid:216)(cid:216) Chương
2
2
2
xx x ) x VD 4. Tính giới hạn .
3
Giải. Khi
2
3
3
x , ta có: 0 2 2 tan x
L VD 5. Tính . ln(12sin x 2 L lim 0 x lim 0 x x sin.tan x sin x x 2 Giải. Khi
x , ta có: 0 22 xxxxx x ln(12sin)2sin2 . 22
x
: 1
: (cấp 1).
sin x x: (cấp 2), x: (cấp 3), . 2 : : 2 sin.tan. xxxxx x .
x 2
Vậy L . 2
L
x 2 lim x 2 0 x
1 . 4
Vậy
(cid:216)(cid:216) Chương
(cid:216)(cid:216) Chương
Chú ý
Quy tắc VCB t ương đương không áp dụng được cho hiệu hoặc tổng của các VCB n ếu chúng làm triệt tiêu tử hoặc mẫu của phân thức.
khi
f x được gọi là đại lượng vô cùng lớn (VCL)
(
0x có thể là vô cùng).
x nếu 0
lim( ) f x x x 0
x ; 0
2
2
xxx eee limlim x 0
x 2(1)(1) e x
0
x
1
x
(Sai!).
0
x ( 2
lim x 0
x
x
x
3
3
x
3 f x là VCL khi
x 1 VD 6. VD 7. là VCL khi x x ) x là VCL khi x . cos 3 2sin x 3 x 2
là VCB khi
x
x thì 0 x . 0
(Sai!). limlim x 0 x xxx tan x x 0 x
(cid:216)(cid:216) Chương
VD 8.
•
là VCL khác cấp với
khi
là các VCL khi
x vì: 0
3 3
1 3
x
2x
x
x 3 xx
.
fxg x x . k x , 0 lim x x 0 f x ( ) g x ( )
31 lim:3lim3lim 333 00 xx xxxx
2
2 3 x 0 x
3
21
3 2xx
: x
5
k , ta nói ( ) 0 – Nếu k , ta nói ( ) f x là VCL cấp thấp hơn ( ) g x . g x . f x là VCL cấp cao hơn ( ) • khi x . k , ta nói ( ) f x và ( ) g x là các VCL – Nếu 0 cùng cấp. – Đặc biệt, nếu 1 f x và ( ) g x là các VCL . k , ta nói ( ) tương đương. Ký hiệu ()( ) fxg x:
10/13/2012
(cid:216)(cid:216) Chương
(cid:216)(cid:216) Chương
VD 9. Tính các giới hạn:
3
3
2
x
x
1
x
x 2
1
;
.
• Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp
f x và ( )g x là tổng các VCL khác cấp khi
x
x 0
A
B
cos 3
lim x
lim
x
2
x 3
x 2
7 x 2sin
x
Cho ( )
3
bằng giới hạn tỉ số hai VCL cấp cao nhất thì ( ) f x g x ( ) lim x x 0 của tử và mẫu.
3
3
1
.
B
0
x
x
2
x
x limlim 7 x 2
…………………………………………………………
A 1 . 3 x lim x x 3
(cid:216)(cid:216) Chương
(cid:216)(cid:216) Chương
§4. HÀM SỐ LIÊN TỤC
0x là hàm số liên tục tại
• Số
được gọi là điểm cô lập của f(x) nếu
D
x
thì
.
0 f xxx 0:(; )\{ }
x D
00
0
f
x
0x nếu
0
0
. • Hàm số ( ) f x liên tục tại ) fxf x lim()( x x
f x liên tục trên tập X nếu ( ) f x liên tục tại X .
f x liên tục tại mọi điểm cô lập của nó.
• Hàm số ( ) mọi điểm 0x Quy ước • Hàm số ( )
(cid:216)(cid:216) Chương
(cid:216)(cid:216) Chương
2
2
x 3tansin
x
,
x
0
VD 1. Cho hàm số
.
f x ( )
2 x
0
, x x là: 0
) fxf x
) fxf x
0
0
f x được gọi là liên tục trái (phải) tại 0x nếu ). ( lim()( x x 0
lim()( x x 0
Giá trị của để hàm số liên tục tại A.
; B. 0
; D. 1
3 . 2
1 ; C. 2
Giải. Ta có . fx f
0x nếu
0
f x liên tục tại fxfxf x lim()lim()(). xxx
ta có:
x 0
0
2
2
2
x 3tansin
lim()(0) 0 x Mặt khác, khi 0 x
:
22 x
x 2
6
10/13/2012
(cid:216)(cid:216) Chương
(cid:216)(cid:216) Chương
,
x
0
x ln(cos ) 2
2
f x ( )
x
arctan
x 0
f x . VD 2. Cho hàm số lim() 0 x 1 . 2
Hàm số ( ) f x liên tục tại
0
0
2 x 0 x 23, Giá trị của để hàm số liên tục tại x là: 0 3 ; D. 2
17 ; B. 12
17 12
3 . 2
Giải. Khi
;
x , ta có: 0 2 22 3 arctan2
xx
x :
2
x ln(cos)ln[1(cos1)]cos
xx
1
:
:
x 2
. A. ; C. B lim()lim()(0) fxfxf x x 1 2
(cid:216)(cid:216) Chương
(cid:216)(cid:216) Chương
2
1
• Nếu hàm số ( )
x 2
0x thì
0x được gọi
.
f x lim( ) x 0
6
x ln(cos) 22 arctan2
xx
: x
2 3
f x không liên tục tại f x . là điểm gián đoạn của ( )
,
) fxf x
) fxf x
• Nếu tồn tại các giới hạn: 0
0
lim()( x x 0
Hàm số ( ) f x liên tục tại
0
nhưng
x 0 1 6
)
f x không đồng thời bằng 0(
. A fxf lim()(0)2 3 x
f x và 0( ) 0x là điểm gián đoạn loại một.
Ngược lại,
0x là điểm gián đoạn loại hai.
……………………………………………………………………………
7
