10/13/2012
1
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tín ht ính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtm ột
sốsố
§1. Tích phân bất định
§2. Tích phân xác định
§3. Ứng dụng của tích phân xác định
§4. Tích phân suy rộng
…………………………
§1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
1.1. Định nghĩa
• Hàm số
()
Fx
được gọi là một nguyên hàm của
()
fx
trên
khoảng
(;)
nếu
()(),(;)
Fxfxxab

.
Ký hiệu
()
fxdx
(đọc là tích phân).
Nhận xé
t
• Nếu
()
Fx
là nguyên hàm của
()
fx
thì
()
FxC
cũng là
nguyên hàm của
()
fx
.
ChươngChương
5. 5.
PhépPhé p
tín ht ính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtm ột
sốsố
Tính chất
1) .()(),kfxdxkfxdxk


¡
2) ()()
fxdxfxC

3)
()()
d
fxdxfx
dx
4)
[()()]()()
fxgxdxfxdxgxdx


.
ChươngChương
5. 5.
PhépPhé p
tín ht ính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtm ột
sốsố
MỘT SỐ NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ
1) ., aadxaxC

¡
2)
1
, 1
1
x
xdxC



3) ln
dx
xC
x

; 4) 2
dx
xC
x

5)
xx
edxeC

; 6)
ln
x
xa
adxC
a

7) cossin
xdxxC

; 8) sincos
xdxxC

9) 2tan
cos
dx
xC
x

; 10) 2cot
sin
dx
xC
x

ChươngChương
5. 5.
PhépPhé p
tín ht ính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtm ột
sốsố
11)
22
1
arctan
dxx
C
aa
xa

12)
22
arcsin,0
dxx
Ca
a
ax

13)
22
1
ln
2
dxxa
C
axa
xa

14)
lntan
sin2
dxx
C
x

15)
lntan
cos24
dxx
C
x



16)
2
2
ln
dx
xxaC
xa

ChươngChương
5. 5.
PhépPhé p
tín ht ính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtm ột
sốsố
VD 1. Tính
2
4
dx
I
x
.
A.
12
ln
42
x
IC
x

; B.
12
ln
42
x
IC
x

;
C.
12
ln
22
x
IC
x

; D.
12
ln
22
x
IC
x

.
Giải. 22
12
ln.
42
2
dxx
ICA
x
x

ChươngChương
5. 5.
PhépPhé p
tín ht ính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtm ột
sốsố
Giải. Biến đổi:
2
11111
(2)(3)532
6
xxxx
xx





.
Vậy
111
532
Idx
xx




113
ln3ln2ln
552
x
xxCC
x

.
VD 2. Tính 2
6
dx
I
xx

.
10/13/2012
2
ChươngChương
5. 5.
PhépPhé p
tín ht ính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtm ột
sốsố
1.2. Phương pháp đổi biến
a) Định lý
Nếu ()()
fxdxFxC

với
()
t
khả vi thì:
(())()(()).
fttdtFtC

VD 3. Tính
ln1
dx
I
xx
.
Giải. Đặt ln1
2ln1
dx
txdt
xx

.
Vậy 222ln1
IdttCxC

.
ChươngChương
5. 5.
PhépPhé p
tín ht ính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtm ột
sốsố
VD 4. Tính
2
3ln
dx
I
xx
.
Giải. Đặt ln
dx
txdt
x

2
ln
arcsinarcsin
33
3
dttx
ICC
t

.
VD 5. Tính 3
(3)
dx
I
xx
.
Giải. Biến đổi
2
33
(3)
xdx
I
xx
.
ChươngChương
5. 5.
PhépPhé p
tín ht ính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtm ột
sốsố
Đặt
32
3
txdtxdx

1111
3(3)93
dt
Idt
tttt





3
3
11
lnln
939
3
tx
CC
t
x

.
ChươngChương
5. 5.
PhépPhé p
tín ht ính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtm ột
sốsố
1.3. Phương pháp từng phần
a) Công thức
()()()()()()
uxvxdxuxvxuxvxdx



hay
.
udvuvvdu


VD 6. Tính ln
Ixxdx
.
Giải. Đặt
2
ln
,
2
ux
dxx
duv
dvxdx x


2
11
ln
22
Ixxxdx

22
11
ln.
24
xxxC

ChươngChương
5. 5.
PhépPhé p
tín ht ính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtm ột
sốsố
VD 7. Tính
2
x
x
Idx
.
Giải. Biến đổi .2
x
Ixdx
.
Đặt
2
,
2
ln2
x
x
ux
dudxv
dvdx

.21
2
ln2ln2
x
x
x
Idx

2
.22
ln2
ln2
xx
x
C


.
ChươngChương
5. 5.
PhépPhé p
tín ht ính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtm ột
sốsố
VD 8.
Tính
3sin
cos
x
Ixedx
.
Giải. Biến đổi
2sin
(1sin)cos
x
Ixexdx

.
Đặt
2
sin(1)
t
txItedt

.
Đặt
2
2
1
t
t
dutdt
ut
ve
dvedt





Chú ý
Đối với nhiều tích phân khó thì
ta phải đổi biến trước
khi lấy từng phần.
10/13/2012
3
ChươngChương
5. 5.
PhépPhé p
tín ht ính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtm ột
sốsố
2
(1)2
tt
Iettedt

2
(1)2()
tt
ettde

2
(1)22
ttt
etteedt

2sin2
(1)(sin1)
tx
etCexC

.
ChươngChương
5. 5.
PhépPhé p
tín ht ính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtm ột
sốsố
b) Các dạng
tích phân từng phần
thường gặp
•
Đối với dạng tích phân ()
x
Pxedx
, ta đặt:
(),.
x
uPxdvedx

• Đối với
dạng tích phân ()ln
Pxxdx
, ta đặt:
ln,().
uxdvPxdx

…………………………………………………………………
ChươngChương
5. 5.
PhépPhé p
tín ht ính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtm ột
sốsố
011
...
nn
xaxxxb

.
Lấy điểm
1
[;]
kkk
xx

tùy ý (
1,
kn
).
Lập tổng tích phân:
1
1
()()
n
kkk
k
fxx

.
§2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
2.1. Định nghĩa. Cho hàm số
()
fx
xác định trên
[;]
ab
.
Ta c
hia đoạn
[;]
ab
thành
n
đoạn nhỏ bởi các điểm chia
Ký hiệu là
().
b
a
Ifxdx
Giới hạn hữu hạn (nếu có)
1
max()0
lim
kk
k
xx
I


được gọi
là
tích phân xác định
của
()
fx
trên đoạn
[;]
ab
.
ChươngChương
5. 5.
PhépPhé p
tín ht ính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtm ột
sốsố
Tính chất
1)
.()(),
bb
aa
kfxdxkfxdxk


¡
2)
[()()]()()
bbb
aaa
fxgxdxfxdxgxdx


3)
()0;()()
aba
aab
fxdxfxdxfxdx


4)
()()(),[;]
bcb
aac
fxdxfxdxfxdxcab


5)
()0,[;]()0
b
a
fxxabfxdx

ChươngChương
5. 5.
PhépPhé p
tín ht ính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtm ột
sốsố
6)
()(),[;]()()
bb
aa
fxgxxabfxdxgxdx


7)
()()
bb
aa
abfxdxfxdx


8)
(),[;]
mfxMxab

()()()
b
a
mbafxdxMba

9) Nếu
()
fx
liên tục trên đoạn
[;]
ab
thì
[;]:()()()
b
a
cabfxdxfcba

.
ChươngChương
5. 5.
PhépPhé p
tín ht ính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtm ột
sốsố
2.2. Công thức Newton
–
Leibnitz
Nếu
()
fx
liên tục trên
[;]
ab
và
()
Fx
là một nguyên hàm
tùy ý của
()
fx
thì:
()()()().
b
b
a
a
fxdxFxFbFa

10/13/2012
4
ChươngChương
5. 5.
PhépPhé p
tín ht ính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtm ột
sốsố
Nhận xét
1) Có hai phương pháp tính tích phân như §1.
2) Hàm số
()
fx
liên tục và lẻ trên
[;]

thì:
()0
fxdx

.
3) Hàm số
()
fx
liên tục và
chẵn
trên
[;]

thì:
0
()2()
fxdxfxdx



.
ChươngChương
5. 5.
PhépPhé p
tín ht ính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtm ột
sốsố
Đặc biệt
()()
bb
aa
fxdxfxdx

nếu
()0,(;)
fxxab

.
4) Để tính
()
b
a
fxdx
ta dùng bảng xét dấu của
()
fx
để
tách
()
fx
ra thành các hàm trên từng đoạn nhỏ.
ChươngChương
5. 5.
PhépPhé p
tín ht ính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtm ột
sốsố
VD 1. Tính
3
2
1
25
dx
I
xx

.
Giải. Biến đổi
3
2
1
4(1)
dx
I
x

.
Đặt
1
txdtdx

2
2
2
0
0
1arctan
228
4
dtt
I
t

.
ChươngChương
5. 5.
PhépPhé p
tín ht ính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtm ột
sốsố
VD 2. Tính
0
cos
Ixxdx
.
Giải. Đặt
,sin
cos
ux
dudxvx
dvxdx

00
0
sinsincos2
Ixxxdxx


.
VD 3.
Tính
1
23
1
1.sin
Ixxdx

.
Giải.
Do hàm số
23
()1.sin
fxxx

liên tục và lẻ
trên đoạn
[1;1]
nên
0
I
.
ChươngChương
5. 5.
PhépPhé p
tín ht ính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtm ột
sốsố
§3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
21
()()
b
a
Sfxfxdx




21
()()
d
c
Sgygydy




a) Biên hình phẳng cho b
ởi phương trình tổng quát
3.1. Tính diện tích
S
của
hình phẳng
S
S
ChươngChương
5. 5.
PhépPhé p
tín ht ính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtm ột
sốsố
VD 1. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi
các đường
2
yx
và
4
yx
.
A.
1
15
S; B.
2
15
S
C.
4
15
S; D.
8
15
S.
Giải. Hoành độ giao điểm:
24
1,0
xxxx

01
2424
10
4
()().
15
SxxdxxxdxC


10/13/2012
5
ChươngChương
5. 5.
PhépPhé p
tín ht ính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtm ột
sốsố
Cách khác
Hoành độ giao điểm
24
1,0
xxxx

11
2424
10
2
Sxxdxxxdx


1
24
0
4
2().
15
xxdxC

ChươngChương
5. 5.
PhépPhé p
tín ht ính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtm ột
sốsố
VD 2. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi
các đường
2
xy
và
2
yx

.
Giải. Biến đổi:
22
22
xyxy
yxxy









.
Tung độ giao điểm:
2
21,2
yyyy

2
2
223
1
1
1127
(2)2.
236
Syydyyyy






ChươngChương
5. 5.
PhépPhé p
tín ht ính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtm ột
sốsố
VD 3. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi
các đường
1
x
ye

,
2
3
x
ye

và
0
x
.
A.
1
ln4
2
; B.
ln41
; C.
1ln2
2
; D.
1
ln2
2
Giải. Hoành độ giao điểm:
2
13
xx
ee

2
202ln2
xxx
eeex

.
ln2
ln2
22
0
0
1
(2)2
2
xxxx
Seedxeex



11
ln4ln4
22
A
.
ChươngChương
5. 5.
PhépPhé p
tín ht ính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtm ột
sốsố
VD 4. Tính diện tích hình elip
22
22
:1
xy
S
ab

.
Giải. Phương trình tham số của elip là:
cos
,[0;2]
sin
xat
t
ybt


.
b)
Biên hình phẳng cho bởi phương trình tham số
Hình phẳng
giới hạn bởi đường cong
có phương trình
(),()
xxtyyt

với
[;]
t

thì:
().().
Sytxtdt
ChươngChương
5. 5.
PhépPhé p
tín ht ính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtm ột
sốsố
22
2
00
sin.(sin)sin
Sbtatdtabtdt



2
0
1cos2
2
t
abdtab

.
ChươngChương
5. 5.
PhépPhé p
tín ht ính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtm ột
sốsố
3.2. Tính độ dài
l
của
đường cong
a)
Đường cong có phương trình tổng quát
Cho cung
»
A B
có phương trình
(),[;]
yfxxab

thì:
»
2
1[()].
b
A B
a
lfxdx

VD 5. Tính độ dài cung parabol
2
2
x
y từ gốc tọa độ
O
(0; 0) đến điểm
1
1;
2
M


.