Bài giảng Toán cho tin học: Chương 4 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chương 5 CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI LŨY THỪA

ThS. Huỳnh Văn Kha

TÓM TẮT NỘI DUNG

24/08/2015

2

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

1. Dãy số và sự hội tụ. 2. Chuỗi số. 3. Các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số. 4. Chuỗi lũy thừa.

1. DÃY SỐ VÀ SỰ HỘI TỤ

• Dãy số (sequence) là danh sách các con số được sắp

theo một thứ tự nào đó

(cid:1)(cid:2), (cid:1)(cid:4), (cid:1)(cid:5), … , (cid:1)(cid:7), …

• Ví dụ, dãy

2,4,6,8, … , 2(cid:12), … có phần tử thứ nhất là (cid:1)(cid:2) = 2, phần tử thứ hai là (cid:1)(cid:4) = 4, … phần tử thứ (cid:12) là (cid:1)(cid:7) = 2(cid:12), …

,

, … • Có thể coi dãy số như một hàm số, biến 1 thành (cid:1)(cid:2) , … biến (cid:12) thành (cid:1)(cid:7) biến 2 thành (cid:1)(cid:4)

24/08/2015

3

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

• Dãy số được mô tả bằng công thức (cid:1)(cid:7) = (cid:15) (cid:12) .

Ví dụ dãy số

• Dãy số (cid:1)(cid:7) = (cid:12) có các phần tử là

24/08/2015

4

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

(cid:1)(cid:7) = 1, 2, 3, 4, … , (cid:12), …

(cid:2) (cid:7)

có các phần tử là • Dãy số (cid:1)(cid:7) =

, … , , … , , (cid:1)(cid:7) = 1,

24/08/2015

5

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

1 2 1 3 1 4 1 (cid:12)

(cid:17)(cid:2) (cid:18)(cid:19)(cid:20) (cid:7)

có các phần tử là • Dãy số (cid:1)(cid:7) =

, − , … , , , … (cid:1)(cid:7) = 1, −

24/08/2015

6

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

1 2 1 3 1 4 −1 (cid:7)(cid:22)(cid:2) (cid:12)

Dãy số hội tụ

• Nếu các phần tử trong dãy số tiến về một giá trị thực nào đó khi (cid:12) lớn, thì ta nói dãy số là hội tụ (converge).

(cid:2) (cid:7) (cid:7)(cid:17)(cid:2) (cid:7)

tiến về 0 khi (cid:12) lớn.

• Các phần tử của dãy (cid:1)(cid:7) = tiến về 1 khi (cid:12) lớn. • Các phần tử của dãy (cid:1)(cid:7) = • Nếu các phần tử trong dãy số không tiến về giá trị

thực nào cả, hoặc chúng tiến ra vô cùng, thì ta nói dãy số là phân kỳ (diverge).

• Các phần tử của dãy số (cid:1)(cid:7) = (cid:12) có thể lớn tùy ý khi

24/08/2015

7

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

(cid:12) đủ lớn, nên dãy số này phân kỳ.

• Các phần tử của dãy số (cid:1)(cid:7) = −1 (cid:7)(cid:22)(cid:2) nhận giá trị xen kẽ giữa −1 và 1 nên nó không hội tụ về con số thực nào cả. Dãy này phân kỳ.

được nói là hội tụ (converge) về (cid:24) nếu Định nghĩa 1. Dãy số hội tụ Dãy số (cid:1)(cid:7)

∀(cid:26) > 0, ∃(cid:29) ∈ ℕ, ∀(cid:12) > (cid:29), (cid:1)(cid:7) − (cid:24) < (cid:26)

phân kỳ

(cid:7)→%

hội tụ về (cid:24) ta viết lim (cid:1)(cid:7) = (cid:24) hay (cid:1)(cid:7) → (cid:24). Và

24/08/2015

8

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

. Nếu không số (cid:24) nào như vậy, ta nói dãy (cid:1)(cid:7) (diverge). Nếu (cid:1)(cid:7) khi đó ta nói (cid:24) là giới hạn (limit) của dãy số (cid:1)(cid:7)

24/08/2015

9

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

Một số tính chất

24/08/2015

10

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

24/08/2015

11

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

24/08/2015

12

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

Một số giới hạn cơ bản

24/08/2015

13

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

(cid:18)

Ví dụ 1. Tính các giới hạn dãy số sau đây.

(cid:7)

(cid:18)

(cid:12)(cid:4) 1. lim (cid:7)→% 2. lim (cid:7)→% ln (cid:12)(cid:4) (cid:12)

(cid:7)

3(cid:12) − 3. lim (cid:7)→% 4. lim (cid:7)→%

24/08/2015

14

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

5. lim (cid:7)→% 6. lim (cid:7)→% (cid:12) − 2 (cid:12) 1 2 100(cid:7) (cid:12)!

2. CHUỖI SỐ

• Chuỗi số (series) là tổng tất cả con số trong một dãy

số, tổng đó có dạng

(cid:1)(cid:2) + (cid:1)(cid:4) + (cid:1)(cid:5) + ⋯ + (cid:1)(cid:7) + ⋯

• Tổng vô hạn các con số là gì? Cách tính nó? • Để tính tổng vô hạn các con số, ta tính tổng riêng

phần (partial sum) thứ (cid:12)

-(cid:7) = (cid:1)(cid:2) + (cid:1)(cid:4) + (cid:1)(cid:5) + ⋯ + (cid:1)(cid:7)

và sau đó cho (cid:12) → ∞.

• Ví dụ, tính tổng của chuỗi số

1 + + + ⋯ + +

24/08/2015

15

1 2 1 16 1 2(cid:7)(cid:17)(cid:2) + ⋯ 1 4 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

24/08/2015

16

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

Sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số

được định nghĩa bởi Định nghĩa 2. Chuỗi số hội tụ, phân kỳ. Cho chuỗi số (cid:1)(cid:2) + (cid:1)(cid:4) + (cid:1)(cid:5) + ⋯ + (cid:1)(cid:7) + ⋯ Dãy -(cid:7)

(cid:7)

-(cid:2) = (cid:1)(cid:2) -(cid:4) = (cid:1)(cid:2) + (cid:1)(cid:4) …

01(cid:2)

-(cid:7) = (cid:1)(cid:2) + (cid:1)(cid:4) + ⋯ + (cid:1)(cid:7) = / (cid:1)0

…

24/08/2015

17

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

được gọi là dãy tổng riêng phần (sequence of partial sums) của chuỗi số.

%

Định nghĩa 2 (tt). Chuỗi số hội tụ, phân kỳ. Nếu dãy tổng riêng phần nói trên hội tụ về (cid:24) thì ta nói chuỗi số là hội tụ và có tổng bằng (cid:24), ta viết

(cid:7)1(cid:2)

= (cid:24) (cid:1)(cid:2) + (cid:1)(cid:4) + ⋯ + (cid:1)(cid:7) + ⋯ = / (cid:1)(cid:7)

24/08/2015

18

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

Nếu dãy tổng riêng phần không hội tụ thì ta nói chuỗi số là phân kỳ.

Chuỗi hình học

%

(cid:1) + (cid:1)2 + (cid:1)2(cid:4) + ⋯ + (cid:1)2(cid:7)(cid:17)(cid:2) + ⋯ = / (cid:1)2(cid:7)(cid:17)(cid:2)

(cid:7)1(cid:2)

• Chuỗi hình học (geometric series) là chuỗi có dạng % ≡ / (cid:1)2(cid:7) (cid:7)14

%

trong đó (cid:1) và 2 là các số thực cho trước ((cid:1) ≠ 0). • Các chuỗi sau là chuỗi hình học

1 + + + ⋯ +

(cid:7)1(cid:2)

1 2 1 4 1 2(cid:7)(cid:17)(cid:2) + ⋯ = /

(cid:7)(cid:17)(cid:2)

(cid:7)

1 2(cid:7)(cid:17)(cid:2) %

2 − + − ⋯ + 2 −

24/08/2015

19

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

2 3 2 9 1 3 1 3 + ⋯ = / 2 − (cid:7)14

%

Định lý 1. Sự hội tụ của chuỗi hình học. Xét chuỗi hình học

(cid:7)1(cid:2)

% ≡ / (cid:1)2(cid:7) (cid:7)14

(cid:1) + (cid:1)2 + (cid:1)2(cid:4) + ⋯ + (cid:1)2(cid:7)(cid:17)(cid:2) + ⋯ = / (cid:1)2(cid:7)(cid:17)(cid:2)

Nếu 2 < 1 thì chuỗi hình học hội tụ và

= , 2 < 1

% / (cid:1)2(cid:7)(cid:17)(cid:2) (cid:7)1(cid:2) Nếu 2 ≥ 1 thì chuỗi hình học phân kỳ.

24/08/2015

20

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

(cid:1) 1 − 2

%

%

Ví dụ 2. 1. Các chuỗi hình học sau có hội tụ không? Nếu có hãy tính tổng của chúng.

1 3(cid:7)(cid:22)(cid:2) 5 −1 (cid:7) 4(cid:7) (cid:1)) / (cid:7)1(cid:2) 9) / (cid:7)14

2. Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số

24/08/2015

21

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

(cid:1)) 5.232323 … 9) 0.999999 … .

Một số tính chất

%

• Các chuỗi số sau có hội tụ không? %

(cid:12) + 1 (cid:12) / 1 (cid:7)1(cid:2) / (cid:7)1(cid:2)

• Nếu chuỗi ∑ (cid:1)(cid:7) hội tụ thì (cid:1)(cid:7) → 0. • Nhưng ngược lại không đúng, có những chuỗi phân

kỳ nhưng dãy số tương ứng hội tụ về 0.

(cid:7)→%

(cid:1)(cid:7) ≠ 0 thì

24/08/2015

22

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

Kiểm tra chuỗi số phân kỳ dựa vào dãy không có giới hạn hoặc lim Nếu dãy (cid:1)(cid:7) phân kỳ. chuỗi ∑(cid:1)(cid:7)

% 1. / (cid:12)(cid:4) (cid:7)1(cid:2) %

Ví dụ 3. Các chuỗi số sau hội tụ hay phân kỳ?

−(cid:12) 2(cid:12) + 5

2. / (cid:7)1(cid:2) %

(cid:7)1(cid:2)

24/08/2015

23

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

3. / −1 (cid:7)(cid:22)(cid:2)

%

%

Ví dụ 4. Tính tổng các chuỗi số sau đây

24/08/2015

24

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

3(cid:7)(cid:17)(cid:2) − 1 6(cid:7) 4 2(cid:7) 1. / (cid:7)1(cid:2) 2. / (cid:7)14

Chú ý

%

%

(cid:7)10

= (cid:1)(cid:2) + (cid:1)(cid:4) + ⋯ + (cid:1)0(cid:17)(cid:2) + / (cid:1)(cid:7)

% (cid:7)1(cid:2)

% (cid:7)10

cũng hội tụ với mọi hội tụ thì ∑ (cid:1)(cid:7) (cid:1)(cid:7)

%

/ (cid:1)(cid:7) (cid:7)1(cid:2) Nên nếu ∑ ; ≥ 1 và ngược lại. Ví dụ 5. Tính tổng chuỗi số %

24/08/2015

25

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

1 5(cid:7) 2 + 3(cid:7) 7(cid:7)(cid:22)(cid:2) 1. / (cid:7)1< 2. / (cid:7)1(cid:4)

3. CÁC TIÊU CHUẨN HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ

% (cid:7)1?

là dãy số dương (nghĩa là (cid:1)(cid:7) > 0, ∀(cid:12)). Giả sử

% @ (cid:15) > A> ?

24/08/2015

26

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

Tiêu chuẩn tích phân (integral test). Cho (cid:1)(cid:7) (cid:1)(cid:7) = (cid:15) (cid:12) với (cid:15) là hàm số liên tục, dương, giảm với mọi > ≥ (cid:29) ((cid:29) là số nguyên dương). Thì chuỗi ∑ (cid:1)(cid:7) cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. và tích phân

Chuỗi ∑

(C – series)

(cid:2) (cid:7)B

%

%

Ví dụ 6. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số %

1 1 + (cid:12)(cid:4) 1 (cid:12) ln(cid:4) (cid:12) 1 (cid:12) 1. / (cid:7)1(cid:2) 2. / (cid:7)14 3. / (cid:7)1(cid:5)

%

Ví dụ 7. Với giá trị nào của C thì chuỗi sau hội tụ?

1 (cid:12)D / (cid:7)1(cid:2)

% (cid:7)1(cid:2)

(cid:2) (cid:7)B

24/08/2015

27

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

E – series Chuỗi ∑ hội tụ khi C > 1 và phân kỳ khi C ≤ 1.

Tiêu chuẩn so sánh 1

. Giả sử có , ∑ A(cid:7)

∀(cid:12) > (cid:29) Tiêu chuẩn so sánh 1 (comparison test) , ∑ G(cid:7) Cho các chuỗi số không âm ∑ (cid:1)(cid:7) số nguyên dương (cid:29) sao cho A(cid:7) ≤ (cid:1)(cid:7) ≤ G(cid:7),

hội tụ.

24/08/2015

28

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

phân kỳ. Nếu ∑ G(cid:7) Nếu ∑ A(cid:7) hội tụ thì ∑ (cid:1)(cid:7) phân kỳ thì ∑ (cid:1)(cid:7)

24/08/2015

29

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

%

%

Ví dụ 8. Xét sự hội tụ của các chuỗi số.

%

%

5 5(cid:12) − 1 1 (cid:12)(cid:5) + 1 1. / (cid:7)1(cid:2) 2. / (cid:7)1(cid:2)

24/08/2015

30

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

1 2(cid:7) + (cid:12) ln (cid:12) (cid:12) 3. / (cid:7)14 4. / (cid:7)1(cid:2)

Tiêu chuẩn so sánh 2

Tiêu chuẩn so sánh 2 (limit comparison test) Giả sử (cid:1)(cid:7) ≥ 0, 9(cid:7) > 0, ∀(cid:12) ≥ (cid:29) (với (cid:29) là số nguyên dương).

H(cid:18) I(cid:18)

(cid:7)→%

và chuỗi = G ∈ 0, ∞ thì chuỗi ∑ (cid:1)(cid:7)

cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

(cid:7)→%

hội tụ.

H(cid:18) I(cid:18) H(cid:18) I(cid:18)

(cid:7)→%

24/08/2015

31

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

phân kỳ. 1. Nếu lim ∑ 9(cid:7) 2. Nếu lim 3. Nếu lim = 0 và ∑ 9(cid:7) = ∞ và ∑ 9(cid:7) hội tụ thì ∑ (cid:1)(cid:7) phân kỳ thì ∑ (cid:1)(cid:7)

%

%

Ví dụ 9. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau đây.

2(cid:12) + 1 (cid:12) + 1 (cid:4)

1. / (cid:7)1(cid:2) % 2. / (cid:7)1(cid:2) %

2(cid:7) − 1 3(cid:7) + 1 3(cid:4)(cid:7) + 2(cid:7) 2(cid:4)(cid:7) + 3(cid:7) (cid:12) + 1 (cid:12) (cid:12)(cid:4) + 1

3. / (cid:7)1(cid:2) % 4. / (cid:7)1(cid:2) %

24/08/2015

32

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

(cid:12) ln (cid:12) (cid:12)(cid:4) + 5 ln (cid:12) (cid:12)(cid:5)/(cid:4) 5. / (cid:7)1(cid:2) 6. / (cid:7)1(cid:2)

Chuỗi đan dấu (Alternating series)

• Chuỗi đan dấu là chuỗi mà các hạng tử mang dấu

dương và âm xen kẽ, ví dụ

− + 1 − + ⋯ +

−1 (cid:7)(cid:22)(cid:2) (cid:12) 1 2 1 3 1 4

+ ⋯ + + −

1 2 1 4

+ ⋯ −1 (cid:7)4 1 −2 + 1 − 2(cid:7) + ⋯ 8 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − ⋯ + −1 (cid:7)(cid:22)(cid:2)(cid:12) + ⋯

, trong đó • Tổng quát, chuỗi đan dấu là chuỗi ∑ (cid:1)(cid:7)

(cid:1)(cid:7) = −1 (cid:7)K(cid:7) hoặc (cid:1)(cid:7) = −1 (cid:7)(cid:22)(cid:2)K(cid:7)

24/08/2015

33

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

với K(cid:7) ≥ 0, ∀(cid:12).

Tiêu chuẩn Leibniz

Tiêu chuẩn Leibniz (Leibniz’s test) Chuỗi đan dấu

% / −1 (cid:7)(cid:22)(cid:2)K(cid:7) (cid:7)1(cid:2)

= K(cid:2) − K(cid:4) + K(cid:5) − K< + KP − ⋯

24/08/2015

34

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

hội tụ nếu có (cid:29) ∈ ℕ để các điều kiện sau đây là đúng 1. K(cid:7) > 0, ∀(cid:12) > (cid:29) 2. K(cid:7) (cid:7)Q? là dãy giảm, nghĩa là K(cid:7) ≥ K(cid:7)(cid:22)(cid:2), ∀(cid:12) ≥ (cid:29) 3. K(cid:7) → 0.

%

%

Ví dụ 12. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số. %

24/08/2015

35

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

−1 (cid:7)(cid:22)(cid:2) (cid:12) −1 (cid:7) (cid:12)(cid:4) + 1 −1 (cid:7)(cid:12) 2(cid:12) + 1 1. / (cid:7)1(cid:2) 2. / (cid:7)14 3. / (cid:7)14

Hội tụ tuyệt đối

được nói là hội tụ tuyệt đối (absolutely • Chuỗi ∑ (cid:1)(cid:7)

hội tụ. convergent) nếu chuỗi ∑ (cid:1)(cid:7)

• Chuỗi hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối được gọi là hội tụ có điều kiện (conditionally convergent).

24/08/2015

36

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

hội tụ. Tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối (The absolute convergence test) Nếu chuỗi ∑ (cid:1)(cid:7) hội tụ thì chuỗi ∑ (cid:1)(cid:7)

%

%

Ví dụ 13. Các chuỗi số sau có hội tụ, có hội tụ tuyệt đối không? %

1 (cid:12) −1 (cid:7)(cid:22)(cid:2) (cid:12) −1 (cid:7) (cid:12)(cid:4) 1. / (cid:7)1(cid:2) 2. / (cid:7)1(cid:2) 3. / (cid:7)1(cid:2)

• Nếu ta sắp xếp lại thứ tự lấy tổng cho một chuỗi hội tụ có điều kiện thì tổng thu được có thể khác nhau. • Với chuỗi hội tụ tuyệt đối, mọi cách sắp xếp lại thứ tự

24/08/2015

37

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

lấy tổng đều cho kết quả như nhau.

Tiêu chuẩn tỉ số (của d’Alembert)

, giả sử rằng Tiêu chuẩn tỉ số (ratio test) Xét chuỗi số ∑ (cid:1)(cid:7)

= R lim (cid:7)→% (cid:1)(cid:7)(cid:22)(cid:2) (cid:1)(cid:7)

24/08/2015

38

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

Nếu R < 1 thì chuỗi hội tụ tuyệt đối. Nếu R > 1 hoặc R = ∞ thì chuỗi phân kỳ. (Nếu R = 1 thì không có kết luận tổng quát.)

%

%

Ví dụ 10. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau đây.

2(cid:7) + 5 3(cid:7)

2. / (cid:7)1(cid:2) % 1. / (cid:7)1(cid:2) %

(cid:12)! (cid:12)(cid:7) (cid:12)(cid:4)(cid:7) 2(cid:12) ! 4. / (cid:7)1(cid:2) 3. / (cid:7)1(cid:2) %

24/08/2015

39

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

2(cid:12) ! (cid:12)! (cid:4) 4(cid:7) (cid:12)! (cid:4) 2(cid:12) ! 5. / (cid:7)1(cid:2)

Tiêu chuẩn căn số (của Cauchy)

(cid:18)

Tiêu chuẩn căn số (root test) , giả sử rằng Xét chuỗi số ∑ (cid:1)(cid:7)

(cid:1)(cid:7) lim (cid:7)→%

24/08/2015

40

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

= R Nếu R < 1 thì chuỗi hội tụ tuyệt đối. Nếu R > 1 hoặc R = ∞ thì chuỗi phân kỳ. (Nếu R = 1 thì không có kết luận tổng quát.)

%

%

(cid:7)

Ví dụ 11. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau đây.

1 1 + (cid:12)

(cid:7)

(cid:7)S

1. / (cid:7)1(cid:2) % 2. / (cid:7)1(cid:2) %

(cid:12)(cid:4) 2(cid:7) 2(cid:12)(cid:4) + 3 3(cid:12)(cid:4) + 2

(cid:7)S

3. / (cid:7)1(cid:2) % 4. / (cid:7)1(cid:2) %

5. / 10(cid:7) 1 −

(cid:7)1(cid:2)

24/08/2015

41

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) + 1 15(cid:7)(cid:12)(cid:7)S (cid:12) + 3 (cid:7)S 6. / (cid:7)1(cid:2)

Tóm tắt các tiêu chuẩn hội tụ

24/08/2015

42

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

24/08/2015

43

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

Bài tập

%

%

Ví dụ 12. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau đây.

(cid:12) − 1 2(cid:12) + 1 (cid:12)(cid:5) + 1 3(cid:12)(cid:5) + 4(cid:12)(cid:4) + 2

1. / (cid:7)1(cid:2) % 2. / (cid:7)1(cid:2) %

3. / (cid:12)T(cid:17)(cid:7)S

(cid:7)1(cid:2) %

(cid:7)1(cid:2) %

4. / −1 (cid:7) (cid:12)(cid:5) (cid:12)< + 1

24/08/2015

44

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

20 ;! 1 2 + 3(cid:7) 5. / 01(cid:2) 6. / (cid:7)1(cid:2)

4. CHUỖI LŨY THỪA

% / G(cid:7) > − (cid:1) (cid:7) = G4 + G(cid:2) > − (cid:1) + G(cid:4) > − (cid:1) (cid:4) + ⋯ (cid:7)14 trong đó tâm (cid:1) và các hệ số G4, G(cid:2), G(cid:4), … là các hằng số cho trước.

Định nghĩa 3. Chuỗi lũy thừa (power series) Chuỗi lũy thừa tâm tại (cid:1) là chuỗi có dạng

24/08/2015

45

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

Có thể coi chuỗi lũy thừa là đa thức có bậc vô cùng.

Ví dụ 13. Với giá trị nào của > thì các chuỗi lũy thừa sau hội tụ? Tính tổng của chúng.

% 1. / >(cid:7) (cid:7)14 %

= 1 + > + >(cid:4) + >(cid:5) + ⋯

> − 2 (cid:7)

2. / (cid:7)14

= 1 − > − 2 + > − 2 (cid:4) − > − 2 (cid:5) + ⋯

24/08/2015

46

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

−1 (cid:7) 2(cid:7) 1 2 1 4 1 8

24/08/2015

47

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

24/08/2015

48

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

%

%

Ví dụ 14. Với giá trị nào của > thì các chuỗi lũy thừa sau đây hội tụ?

1. / (cid:12)! >(cid:7)

(cid:7)14 %

> − 3 (cid:7) (cid:12) 2. / (cid:7)1(cid:2)

24/08/2015

49

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

−1 (cid:7)>(cid:4)(cid:7) 2(cid:4)(cid:7) (cid:12)! (cid:4) 3. / (cid:7)14

Định lý về sự hội tụ

% (cid:7)14

G(cid:7)>(cid:7) = G4 + G(cid:2)> + G(cid:4)>(cid:4) +

24/08/2015

50

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

Định lý 2. Về sự hội tụ của chuỗi lũy thừa. Xét chuỗi lũy thừa ∑ G(cid:5)>(cid:5) + ⋯ 1. Nếu nó hội tụ tại > = G ≠ 0 thì nó hội tụ tại mọi > thỏa > < G . 2. Nếu nó phân kỳ tại > = A thì nó phân kỳ tại mọi > thỏa > > A .

Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa The Radius of Convergence of a Power Series

24/08/2015

51

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. Chuỗi lũy thừa ∑ G(cid:7) > − (cid:1) (cid:7) chỉ có thể xảy ra một trong ba trường hợp sau. 1. Có số U > 0 sao cho chuỗi phân kỳ với > − (cid:1) > U và hội tụ (tuyệt đối) với > − (cid:1) < U. Còn tại các đầu mút > = (cid:1) − U, > = (cid:1) + U chuỗi có thể hội tụ, có thể phân kỳ. 2. Chuỗi hội tụ tuyệt đối với mọi > (U = ∞). 3. Chuỗi chỉ hội tụ tại > = (cid:1) và phân kỳ tại mọi > ≠ (cid:1) (U = 0).

• Giá trị U nói trên gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy

thừa.

• Khoảng hội tụ (hay miền hội tụ) là khoảng chứa tất

cả các giá trị của > để chuỗi lũy thừa hội tụ.

• Tìm bán kính hội tụ và khoảng hội tụ cho các chuỗi

24/08/2015

52

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

lũy thừa trong Ví dụ 14.

24/08/2015

53

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

24/08/2015

54

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

Bài tập

%

%

Ví dụ 15. Tìm bán kính hội tụ và khoảng hội tụ.

−3 (cid:7)>(cid:7) (cid:12) + 1

2. / (cid:7)14 % 1. / (cid:7)14 %

3. / (cid:12)(cid:7) 2> − 1 (cid:7)

(cid:7)1(cid:2) %

(cid:7)

4. / (cid:7)14 %

(cid:12) > + 2 (cid:7) 3(cid:7)(cid:22)(cid:2) 3> + 2 (cid:7) (cid:12) + 1 −1 (cid:7)>(cid:7) (cid:12)! 6. / (cid:7)14 5. / (cid:7)14 %

1 − 2> 5 −1 (cid:7)>(cid:7) (cid:12)(cid:4) + (cid:12)

55

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

7. / (cid:7)1(cid:2) 24/08/2015

Vi phân chuỗi lũy thừa

24/08/2015

56

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

Tích phân chuỗi lũy thừa

24/08/2015

57

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

Chuỗi Taylor

24/08/2015

58

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

24/08/2015

59

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

24/08/2015

60

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

Đa thức Taylor

24/08/2015

61

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

24/08/2015

62

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

24/08/2015

63

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

24/08/2015

64

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

24/08/2015

65

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

24/08/2015

66

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

24/08/2015

67

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

24/08/2015

68

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

24/08/2015

69

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

Sự hội tụ của chuỗi Taylor

24/08/2015

70

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

24/08/2015

71

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

24/08/2015

72

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

24/08/2015

73

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

24/08/2015

74

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

24/08/2015

75

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

24/08/2015

76

C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa