zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán kinh tế - Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:75

Báo xấu

12
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán kinh tế được biên soạn gồm các nội dung chính sau: Một số ứng dụng mở đầu; Phương trình vi phân; Phương trình sai phân. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán kinh tế - Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————————————– ĐÀM THANH PHƯƠNG, NGÔ MẠNH TƯỞNG BÀI GIẢNG TOÁN KINH TẾ Thái Nguyên, năm 2015
Danh sách hình vẽ 1.1 Đồ thị của hàm cung và hàm cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1 Đường pha 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 Đường pha 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3 Quỹ đạo thời gian có trạng thái cân bằng ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4 Quỹ đạo thời gian có trạng thái cân bằng không ổn định . . . . . . . . . . . . 33 2.5 Điểm trạng thái tĩnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.6 Đồ thị pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1 Quỹ đạo thời gian của giá thị trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 1
Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chương 1. Một số ứng dụng mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1. Một số mô hình hàm số trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1. Hàm cung và hàm cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2. Hàm sản xuất ngắn hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3. Hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm lợi nhuận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.4. Hàm tiêu dùng và hàm tiết kiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Một số mô hình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1. Mô hình cân bằng thị trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2. Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Ứng dụng của cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1. Nhắc lại kiến thức về cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2. Tính giá trị hiện tại và giá trị tương lai của tiền tệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.3. Kỳ khoản và giá trị của các luồng vốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4. Sử dụng đạo hàm trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.1. Đạo hàm và giá trị cận biên. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.2. Hệ số co dãn của cung và cầu theo giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.3. Quan hệ giữa hàm bình quân và hàm cận biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Chương 2. Phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1. Đại cương về phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.1. Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.2. Cấp của phương trình vi phân.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.3. Nghiệm của phương trình vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.4. Phương trình vi phân cấp một. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.1. Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.2. Cách giải.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3. Một số phương trình vi phân phi tuyến cấp 1. . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.1. Phương trình biến số phân ly. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.2. Phương trình đẳng cấp (hay phương trình thuần nhất). . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.3. Phương trình Becnuly. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.4. Phương trình vi phân toàn phần. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2
Bộ môn Khoa học tự nhiên Bài giảng Toán kinh tế 2.4. Một số mô hình phương trình vi phân cấp 1 trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4.1. Phân tích định tính quỹ đạo thời gian của một số biến số kinh tế bằng phương pháp đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4.2. Mô hình tăng trưởng Domar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4.3. Mô hình tăng trưởng Solow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4.4. Mô hình điều chỉnh giá thị trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.5. Phương trình vi phân cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.5.1. Khái quát chung về phương trình vi phân thường cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.5.2. Một số phương trình vi phân giải được bằng phương pháp hạ cấp . . . . . . 41 2.5.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.5.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.6. Một số mô hình phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.6.1. Điều kiện ổn định động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.6.2. Mô hình thị trường với kỳ vọng giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.6.3. Mô hình điều chỉnh giá có tính đến hàng hoá tồn đọng . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.7. BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.1. Khái niệm sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.1.1. Thời gian rời rạc và khái niệm sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.1.2. Phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2. Phương trình sai phân cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2.1. Phương trình ôtônôm tuyến tính cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2.2. Một số mô hình phương trình ôtônôm tuyến tính trong kinh tế học . . . . 57 3.2.3. Phương trình tuyến tính cấp 1 tổng quát. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3. Phương trình sai phân cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3.1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3.2. Phương trình ôtônôm tuyến tính cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.3.3. Phương trình phi ôtônôm tuyến tính cấp 2 với hệ số không đổi . . . . . . . . . 68 3.3.4. Một số mô hình phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 trong kinh tế . . 70 3.4. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 3
Lời nói đầu Tập bài giảng này được viết cho môn học Toán kinh tế. Trên cơ sở đề nghị của Khoa chuyên môn quản lý chuyên ngành, tài liệu tham khảo chính của môn học là cuốn "Toán cao cấp cho các nhà kinh tế" của tác giả Lê Đình Thúy, NXB Đại học Kinh tế quốc dân, 2007 (hai phần Đại số và Giải tích toán học). Tuy nhiên, với thời lượng 02 tín chỉ đề cương môn học chỉ đề cập một số phần chính. Vì vậy bài giảng ngắn gọn này sẽ giúp các em sinh viên tiếp cận nhanh đến môn học. Nội dung bài giảng bám sát đề cương, gồm 3 chương: Chương 1: Một số ứng dụng mở đầu. Chương này giới thiệu các ứng dụng đơn giản từ việc sử dụng mô hình toán học để mô tả, phân tích kinh tế đến những khái niệm ban đầu. Sinh viên sẽ làm quen với ứng dụng của hàm số, cấp số nhân, đạo hàm, hệ phương trình tuyến tính.v.v để giải một số bài toán kinh tế đơn giản. Chương 2: Phương trình vi phân. Chương này có hai mục đích chính. Một là giúp sinh viên học các phương pháp tìm nghiệm giải tích của một số dạng phương trình vi phân cụ thể. Tuy nhiên, trong thực tế số phương trình vi phân tìm được nghiệm giải tích là rất ít, nhất là các phương trình vi phân thể hiện các hệ động lực nói chung và các mô hình kinh tế nói riêng. Hơn nữa, người ta cũng không quá quan tâm chi tiết đến nghiệm cụ thể mà quan tâm đến mặt định tính, nghĩa là các tính chất của nghiệm. Vì vậy mục đích thứ hai của chương là giúp sinh viên hiểu được các tính chất định tính của nghiệm như quỹ đạo pha, trường hướng, điểm cân bằng, tính ổn định (bất ổn định) của điểm cân bằng, tính tuần hoàn v.v. thông qua các mô hình kinh tế cụ thể. Chương 3: Phương trình sai phân. Mô hình toán học để thể hiện các hệ động lực nói chung và mô hình kinh tế nói riêng nhìn chung có hai cách tuỳ thuộc vào việc sử dụng biến độc lập (thời gian) t. Cách thứ nhất nếu biến thời gian là liên tục chúng ta sử dụng phương trình vi phân (đạo hàm riêng). Cách thứ hai, nếu sử dụng thời gian rời rạc (tuỳ thuộc vào việc lấy mẫu, chẳng hạn một mô hình kinh tế cần tính lãi theo tháng, quý, năm, v.v..) thì chúng ta sử dụng phương trình sai phân. Vì vậy, cũng tương tự như cách tiếp cận của chương 2, chúng ta cũng sẽ được học cách giải một số phương trình sai phân cụ thể (rất ít so với thực tế) và tiếp cận cách phân tích định tính nghiệm thông qua một 4
Bộ môn Khoa học tự nhiên Bài giảng Toán kinh tế số mô hình kinh tế. Sau mỗi chương chúng tôi đưa ra một số bài tập để các em có thể luyện tập củng cố kiến thức đã học. Mặc dù đã rất cố gắng nhưng chắc chắn tập bài giảng còn mắc nhiều loại lỗi, từ chính tả đến nội dung. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của sinh viên, của đồng nghiệp để chúng tôi nhận ra và chỉnh sửa những sai sót. Thêm nữa, phải nhấn mạnh lại rằng tập bài giảng này được soạn trên cơ sở tài liệu tham khảo chính của môn học đã nêu ở trên để phục vụ giảng dạy; Chúng tôi không giữ bản quyền, việc nhân bản, sử dụng vì mục đích học tập không phải xin phép. Trân trọng cảm ơn. Thái nguyên, ngày 1/2/2015 Thay mặt nhóm tác giả Th.S Đàm Thanh Phương. Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 5
Chương 1 Một số ứng dụng mở đầu 1.1. Một số mô hình hàm số trong phân tích kinh tế 1.1.1. Hàm cung và hàm cầu Định nghĩa 1. Hàm cung và hàm cầu là các hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của lượng cung và lượng cầu đối với một loại hàng hóa vào giá của hàng hóa đó. Ký hiệu: Lượng cung là Qs - quantity supplied - là lượng hàng hóa mà người bán bằng lòng bán ở mỗi mức giá; Lượng cầu là Qd - quantity demanded - là lượng hàng hóa mà người mua bằng lòng mua ở mỗi mức giá; Giá hàng hóa là p Vậy hàm cung và hàm cầu lần lượt có dạng: Qs = S(p) (1.1) Qd = D(p) (1.2) Chú ý : - Hàm cung là hàm đơn điệu tăng, hàm cầu là hàm đơn điệu giảm: Nếu các yếu tố khác giữ nguyên, khi giá hàng hóa tăng lên thì người bán sẽ muốn bán nhiều hơn và người mua sẽ mua ít đi. - Đồ thị của hàm cung và hàm cầu được gọi là đường cung và đường cầu. - Điểm cân bằng thị trường: Là giao điểm của đường cung và đường cầu. Để tìm mức giá cân bằng p¯ và lượng cân bằng Qs = Qd = Q ¯ ta lập phương trình hoành độ điểm chung S(p) = D(p). - Ý nghĩa kinh tế của điểm cân bằng thị trường: Tại mức giá cân bằng p¯, người bán sẽ bán hết và người mua mua đủ, không có hiện tượng dư thừa hoặc khan hiếm hàng hóa.
Bộ môn Khoa học tự nhiên Bài giảng Toán kinh tế Khi p > p¯ thị trường có hiện tượng dư thừa hàng hóa, cung vượt cầu Qs > Qd . Ngược lại Khi p < p¯ thị trường có hiện tượng khan hiếm hàng hóa, Qs < Qd - Khi vẽ đường cung và đường cầu, người ta thường dùng trục hoành để biểu diễn lượng Q và trục tung biểu diễn giá p. Vì vậy, thực chất ta vẽ hàm ngược của hàm cung và hàm cầu: p = S −1 (Qs ), p = D−1 (Qd ) Hình dáng đồ thị: Hình 1.1: Đồ thị của hàm cung và hàm cầu 1.1.2. Hàm sản xuất ngắn hạn Hàm sản xuất mô tả sự phụ thuộc của sản lượng hàng hóa của một nhà sản xuất vào các yếu tố đầu vào của sản xuất. Hai yếu tố đầu vào được quan tâm nhất là vốn và lao động lần lượt được ký hiệu là K(Capital) và L(Labor). Trong ngắn hạn người ta giả sử K không đổi, do đó: Định nghĩa 2. Hàm sản xuất ngắn hạn mô tả sự phụ thuộc của sản lượng hàng hoá của nhà sản xuất vào yếu tố lao động Q = f (L) (1.3) 1.1.3. Hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm lợi nhuận Tổng doanh thu ký hiệu TR(Total Revenue); Tổng chi phí ký hiệu TC(Total Cost); Tổng lợi nhuận ký hiệu là π. Các đại lượng này phụ thuộc vào sản lượng hàng hóa Q theo quy luật hàm số. Định nghĩa 3. Hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm lợi nhuận là hàm số mô tả sự phụ thuộc của doanh thu, chi phí, lợi nhuận vào sản lượng hàng hoá. Ta có: Hàm doanh thu: T R = T R(Q) (1.4) Hàm chi phí T C = T C(Q) (1.5) Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 7
Bộ môn Khoa học tự nhiên Bài giảng Toán kinh tế Hàm lợi nhuận π = π(Q) (1.6) Hàm lợi nhuận có thể được xác định thông qua hàm doanh thu và hàm chi phí: π = T R(Q) − T C(Q) 1.1.4. Hàm tiêu dùng và hàm tiết kiệm Định nghĩa 4. Hàm tiêu dùng biểu diễn sự phụ thuộc của biến tiêu dùng C(Consumption) vào biến thu nhập Y (Income): C = f (Y ) (1.7) Theo quy luật chung, khi thu nhập tăng người ta có xu hướng tiêu dùng nhiều hơn nên hàm tiêu dùng là hàm đồng biến. Định nghĩa 5. Hàm tiết kiệm biểu diễn sự phụ thuộc của biến tiết kiệm S(Saving) vào biến thu nhập Y S = S(Y ) (1.8) Hàm tiết kiệm cũng là hàm đồng biến. 1.2. Một số mô hình tuyến tính Phần này trình bày một số mô hình kinh tế có thể giải quyết bằng việc đưa về hệ phương trình đại số tuyến tính A.X = B đã biết. 1.2.1. Mô hình cân bằng thị trường a. Thị trường một loại hàng hóa. Dạng tuyến tính của hàm cung và hàm cầu: Qs = −a0 + a1 p Qd = b0 − b1 p trong đó a0 , a1 , b0 , b1 là các hằng số dương. Như trên đã nói, điểm cân bằng thị trường là điểm gặp nhau giữa đường cung và đường câu. Vì vậy mô hình cân bằng thị trường có dạng:    Qs = −a0 + a1 p  Qs = −a0 + a1 p Qd = b0 − b1 p ⇔ Q d = b0 − b1 p (1.9) Qs = Qd −a0 + a1 p = b0 − b1 p   Giải hệ phương trình này ta được: a0 + b 0 Giá cân bằng: p¯ = a1 + b 1 Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 8
Bộ môn Khoa học tự nhiên Bài giảng Toán kinh tế ¯ d = a1 b 0 − a0 b 1 ¯s = Q Lượng cân bằng: Q a1 + b 1 b. Thị trường nhiều loại hàng hóa. Trong thị trường nhiều hàng hóa liên quan giá của hàng hóa này có thể ảnh hưởng đến lượng cung và lượng cầu của các hàng hóa khác. Để xét mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa liên quan ta ký hiệu biến số như sau: Qsi : Lượng cung hàng hóa thứ i. Qdi : Lượng cầu hàng hóa thứ i. pi : Giá hàng hóa thứ i Với giả thiết các yếu tố khác không thay đổi, hàm cung và hàm cầu tuyến tính có dạng như sau: Hàm cung của hàng hóa i: Qsi = ai0 + ai1 p1 + ... + ain pn (i = 1, 2, ..., n) Hàm cầu đối với hàng hóa i: Qdi = bi0 + bi1 p1 + ... + bin pn (i = 1, 2, ..., n) Mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa có dạng như sau:   Qsi = ai0 + ai1 p1 + ... + ain pn Qdi = bi0 + bi1 p1 + ... + bin pn (1.10) Qsi = Qdi , i = 1, 2, ..., n  Giải hệ phương trình này ta xác định được giá cân bằng của tất cả n hàng hóa, sau đó thay vào hàm cung (hoặc hàm cầu) ta xác định được lượng cân bằng. Ví dụ: Giả sử thị trường gồm hai loại hàng hóa, hàng hóa 1 và hàng hóa 2 với hàm cung và hàm cầu như sau: Hàng hóa 1:Qs1 = −2 + 3p1 ; Qd1 = 10 − 2p1 + p2 Hàng hóa 2: Qs2 = −1 + 2p2 ; Qd2 = 15 + p1 − p2 Hệ phương trình xác định giá cân bằng: −2 + 3p1 = 10 − 2p1 + p2 5p1 − p2 = 12 ⇔ −1 + 2p2 = 15 + p1 − p2 −p1 + 3p2 = 16 Giải hệ phương trình này ta tìm được giá cân bằng của mỗi loại hàng hóa: 26 46 p¯1 = ; p¯2 = 7 7 Thay giá cân bằng vào các biểu thức của hàm cung ta xác định được lượng cân bằng: ¯ 1 = 64 ; Q Q ¯ 2 = 85 7 7 1.2.2. Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô Ký hiệu: Y: Tổng thu nhập quốc dân; E: Tổng chi tiêu kế hoạch; Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 9
Bộ môn Khoa học tự nhiên Bài giảng Toán kinh tế Trong một nền kinh tế đóng, tổng chi tiêu kế hoạch của nền kinh tế gồm các thành phần sau: C: Tiêu dùng; G: Chi tiêu của chính phủ; I: Chi tiêu cho đầu tư của các nhà sản xuất Ta giả sử rằng đầu tư theo kế hoạch là cố định: I = I0 và chính sách tài khóa của chính phủ cố định: G = G0 còn tiêu dùng phụ thuộc vào thu nhập dưới dạng hàm bậc nhất: C = aY + b, (0 < a < 1, b > 0) Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô có dạng hệ phương trình tuyến tính:   Y =E Y = C + I0 + G0 Y − C = I0 + G0 E = C + I0 + G0 ⇔ ⇔ (1.11) C = aY + b −aY + C = b C = aY + b  Giải hệ phương trình này ta thu được mức thu nhập cân bằng và mức tiêu dùng cân bằng của nền kinh tế: b + I0 + G0 ¯ b + a (I0 + G0 ) Y¯ = ;C = 1−a 1−a Ví dụ: Nếu C = 200 + 0.75Y ; I0 = 300; G0 = 400 thì ta tính được mức thu nhập cân bằng và mức tiêu dùng cân bằng là: 200 + 300 + 400 Y¯ = = 3600 1 − 0.75 200 + 0.75 (300 + 400) C¯ = = 2900 1 − 0.75 1.3. Ứng dụng của cấp số nhân 1.3.1. Nhắc lại kiến thức về cấp số nhân - Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số {xn } thỏa mãn điều kiện: x0 , x1 = x0 q, ....xn = xn−1 q = x0 q n Tức là mỗi số hạng của nó bằng số hạng đứng kề trước số hạng đó nhân với một hằng số q không đổi. Hằng số q được gọi là công bội của cấp số nhân. Nếu cho trước công bội q và số hạng ban đầu x0 thì ta sẽ xác định được mọi số hạng của cấp số nhân. - Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân được tính theo công thức: (1 − q n+1 ) Sn = x0 + x1 + ... + xn = x0 1 + q + q 2 + ... + q n = x0 1−q Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 10
Bộ môn Khoa học tự nhiên Bài giảng Toán kinh tế - Một cấp số nhân có công bội thỏa mãn |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Khi đó tổng của tất cả các số hạng của cấp số nhân lùi vô hạn có công thức: Sn = x0 x0 + x1 + ... + xn + ... = 1−q 1.3.2. Tính giá trị hiện tại và giá trị tương lai của tiền tệ Giả sử có A đồng gửi vào một ngân hàng nào đó với một mức lãi suất cố định r phần trăm một năm thì sau một khoảng thời gian sẽ nhận được số tiền lớn hơn là: B = A+(tiền lãi). Định nghĩa 6. Người ta gọi khoản B đồng đó là giá trị tương lai của khoản A đồng hôm nay và ngược lại, A là giá trị hiện tại của khoản B đồng sẽ có được trong tương lai. Trong thị trường tiền tệ, lãi suất được xem như giá của những khoản tiền cho vay. Có nhiều hình thức tổ chức trung gian tài chính thực hiện chức năng vay tiền của những người có tiền để nhàn rỗi nhưng không biết làm cho tiền sinh lời và cho người khác vay, trong đó ngân hàng là một hình thức tổ chức trung gian tài chính phổ biến. Lãi suất được quy định rất khác nhau. Trong kinh tế học, khi phân tích hoạt động tài chính người ta giả thiết rằng có một mức lãi suất chung là r% (lãi suất liên ngân hàng), biểu diễn dưới dạng thập phân. Số tiền nhận được cả gốc và lãi sau một năm là: B1 = A + rA = A(1 + r). Sau năm thứ hai là B2 = B1 + B1 r = A(1 + r)2 .... Như vậy nếu tính gộp cả tiền lãi vào tiền gốc thì cứ sau mỗi năm số tiền sẽ được nhân thêm bội số q = (1 + r). Gọi Bt là số tiền có được sau t năm, ta có cấp số nhân với giá trị ban đầu A và công bội q = (1 + r): Bt = A(1 + r)t . Vậy công thức tính giá trị tương lai của A sau t năm là: B = A(1 + r)t (1.12) Ngược lại, để nhận được B sau t, giá trị cần gửi vào ngân hàng hiện tại là: A = B(1 + r)−t (1.13) Ví dụ: Một dự án đầu tư đòi hỏi chi phí hiện tại 100 triệu đồng và sẽ đem lại 150 triệu đồng sau 3 năm. Với lãi suất thịnh hành 8% một năm, đánh giá xem có nên thực hiện dự án không? Giải: Giá trị hiện tại của 150 triệu đồng sẽ thu về sau 3 năm: A = 150(1 + 0.08)−3 = 119 triệu đồng. Như vậy, theo giá trị hiện tại, việc thực hiện dự án sẽ đem lại khoản lợi: 119 − 100 = 19 triệu đồng. Nên thực hiện dự án. Một cách khác để đánh giá dự án là tính giá trị tương lai của 100 triệu nếu không thực Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 11
Bộ môn Khoa học tự nhiên Bài giảng Toán kinh tế hiện dự án (gửi ngân hàng): B = 100(1 + 0.08)3 = 126 triệu đồng. Con số này nhỏ hơn 150 triệu đồng do dự án mang lại tức là việc tiến hành dự án có lợi hơn cho vay. Một phương pháp khác để đánh giá là tính giá trị hiện tại ròng: Giá trị hiện tại ròng của một dự án đầu tư là hiệu số của giá trị hiện tại của khoản tiền sẽ thu về trong tương lai và chi phí hiện tại của dự án. Gọi C là khoản chi phí hiện tại, B là khoản dự án mang lại sau t năm. Ký hiệu giá trị hiện tại ròng là N P V (Net Present Value). Ta có: N P V = B(1 + r)−t − C (1.14) Một tiêu chuẩn cơ bản để chấp nhận dự án là N P V > 0, ngoài ra việc so sánh N P V giữa các dự án cũng cho phép chúng ta lựa chọn dự án tốt nhất. Ví dụ: Một nhà đầu tư có thể bỏ tiền để thực hiện một trong 3 dự án: Dự án 1: Chi phí hiện tại 2000$ và đem lại 3000$ sau 4 năm; Dự án 2: Chi phí hiện tại 2000$ và đem lại 4000$ sau 6 năm; Dự án 3: Chi phí hiện tại 3000$ và đem lại 4800$ sau 5 năm Với lãi suất thịnh hành 10% một năm thì nên chọn dự án nào? Giải: Ta có N P V1 = 3000(1 + 0.1)−4 − 2000 = 49; N P V2 = 4000(1 + 0.1)−6 − 2000 = 258; N P V3 = 4800(1 + 0.1)−5 = −20. Vậy nên chọn dự án 2. 1.3.3. Kỳ khoản và giá trị của các luồng vốn Kỳ khoản là số tiền tích cóp đều đặn theo định kỳ (hàng tháng, hàng quý, hàng năm...). Kỳ khoản định kỳ hàng năm được gọi là niên khoản. Sử dụng công thức tính giá trị hiện tại và tương lai của tiền tệ và công thức tính tổng các số hạng của một cấp số nhân ta có thể tính được giá trị hiện tại và giá trị tương lai của một luồng kỳ khoản. Ví dụ 1: Một dự án đầu tư sau một năm sẽ đem lại đều đặn 5000$ mỗi năm, liên tiếp 10 năm sau đó. Hỏi rằng với lượng vốn đầu tư ban đầu là bao nhiêu thì có thể chấp nhận dự án đó với điều kiện lãi suất 10% một năm. Giải: Để đánh giá dự án, ta tính giá trị hiện tại của luồng thu nhập, ký hiệu là PV(Present Value), Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 12
Bộ môn Khoa học tự nhiên Bài giảng Toán kinh tế P V = 5000(1 + 0.1)−1 + 5000(1 + 0.1)−2 + ... + 5000(1 + 0.1)−10!= 10 1 1 1− 1 1 1 1.1 1.1 = 5000 + 2 + ... + = 5000 = 30723 1.1 1.1 1.1 10 1 1− 1.1 Vậy chỉ có thể thực hiện dự án nếu đầu tư ban đầu nhỏ hơn 30723$. Ví dụ 2: Giả sử người P định mua một chiếc xe máy theo phương thức trả góp. Theo phương thức này sau một tháng kể từ khi nhận hàng, P phải đều đặn trả mỗi tháng một khoản tiền nhất định, liên tiếp trong 24 tháng. Giả sử giá xe máy tại thời điểm P mua là 2500$ (Giá trả ngay) và giả sử lãi suất là 1% một tháng. Hỏi với mức trả hàng tháng là bao nhiêu thì việc mua trả góp của P là chấp nhận được? Giải: Gọi a là khoản tiền phải trả hàng tháng. Giá trị hiện tại của toàn bộ khoản tiền trả góp tại thời điểm hiện tại là: P V = a(1 + 0.01)−1 + a(1 + 0.01)−2 + ... + a(1 + 0.01)−24 = 24 ! 1 1 1− 1.01 1.01 =a = 21.24a 1 1− 1.01 Việc mua trả góp sẽ tương đương với việc mua trả ngay nếu: P V = 21.24a = 2500, hay a = 117.7$ Vậy chỉ có thể bằng lòng mua trả góp nếu số tiền định kỳ phải trả hàng tháng không vượt quá 117.7$, nếu không thì vay ngân hàng để trả ngay 2500$ có lợi hơn. 1.4. Sử dụng đạo hàm trong phân tích kinh tế 1.4.1. Đạo hàm và giá trị cận biên Xét mô hình hàm số: y = f (x), trong đó x và y là các biến số kinh tế. Trong kinh tế học người ta quan tâm đến xu hướng biến thiên của y tại một điểm x0 khi x thay đổi một lượng nhỏ. Theo định nghĩa đạo hàm ta có: f (x0 + ∆x) − f (x0 ) f 0 (x0 ) = lim ∆x→0 ∆x Khi ∆x có giá trị tuyệt đối đủ nhỏ, ta có: f (x0 + ∆x) − f (x0 ) f 0 (x0 ) ≈ ⇒ ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ≈ f 0 (x0 ) ∆x ∆x Khi ∆x = 1 ta có ∆y ≈ f 0 (x0 ). Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 13
Bộ môn Khoa học tự nhiên Bài giảng Toán kinh tế Định nghĩa 7. Đạo hàm f 0 (x0 ) biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi giá trị của y khi x tăng thêm 1 đơn vị tại điểm x0 . Giá trị này được gọi là giá trị y- cận biên của x tại điểm x0 . Đối với một số hàm kinh tế, giá trị cận biên có tên gọi cụ thể như sau: Mô hình hàm sản xuất ngắn hạn Q = f (L), f 0 (L0 ) được gọi là sản phẩm hiện vật cận biên tại điểm L0 . Giá trị này được ký hiệu là M P PL (Marginal Physical Product of Labor), nó cho biết xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật gia tăng khi sử dụng thêm một đơn vị lao động tại điểm L0 . Với mô hình hàm doanh thu T R = T R(Q), T R0 (Q0 ) được gọi là doanh thu cận biên tại điểm Q0 , ký hiệu là MR(Marginal Revenue). Giá trị này cho biết xấp xỉ lượng doanh thu tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm. Đối với hàm chi phí T C = T C(Q) thì T C 0 (Q0 ) gọi là chi phí cận biên tại điểm Q0 , ký hiệu là MC(Marginal Cost), MC cho biết xấp xỉ lượng chi phí tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm. Tương tự, hàm tiêu dùng C = C(Y ) thì xu hướng tiêu dùng cận biên là C 0 (Y0 ), ký hiệu là MPC (Marginal Propensity Consume); Hàm tiết kiệm S = S(Y ) thì xu hướng tiết kiệm cận biên là M P S = S 0 (Y0 ) (Marginal Propensity to Save). Ví dụ: √ Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp là: Q = 5 L. ở mức sử dụng L = 100 đơn vị lao động, mức sản lượng tương ứng là Q = 50 sản phẩm. Sản phẩm hiện vật cận biên của lao động tại điểm L = 100 là: 5 M P PL = Q0 = √ = 0.25 2 L Điều này có nghĩa là khi tăng mức sử dụng lao động từ 100 lên 101 thì sản lượng tương ứng sẽ tăng khoản 0.25 đơn vị hiện vật. 1.4.2. Hệ số co dãn của cung và cầu theo giá Để đánh giá độ nhạy cảm của cung, cầu hàng hóa đối với sự biến động giá cả, các nhà kinh tế sử dụng khái niệm hệ số co dãn. Định nghĩa 8. Hệ số co dãn của cung (cầu) theo giá là số đo mức thay đổi phần trăm của lượng cung (cầu) khi giá tăng 1%. Giả sử có hàm cầu: Qd = D(p). Tại mức giá p, nếu giá thay đổi một lượng ∆p thì lượng cầu thay đổi tương ứng một lượng ∆Qd . Mức phần trăm thay đổi của lượng cầu tính bình quân cho 1% thay đổi giá là: Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 14
Bộ môn Khoa học tự nhiên Bài giảng Toán kinh tế ∆Qd .100 Qd ∆Qd p ε= = . Chuyển qua giới hạn khi ∆p → 0 ta được công thức tính ∆p ∆p Qd .100 p hệ số co dãn của cầu theo giá tại điểm p: p ε = D0 (p). (1.15) D(p) Tương tự, với hàm cung Qs = S(p), hệ số co dãn của cung theo giá được tính theo công thức: p ε = S 0 (p). (1.16) S(p) Ví dụ: Nếu hàm cầu là Q = 1400 − p2 thì hệ số co dãn tại điểm p là 0 p (1400 − p2 )0 p −2p2 ε = D (p). = = D(p) 1400 − p2 1400 − p2 Tại điểm p = 20 ta có ε = −0.8. Điều này có nghĩa là, tại mức giá p = 20, nếu giá tăng 1% thì cầu sẽ giảm khoảng 0.8%. 1.4.3. Quan hệ giữa hàm bình quân và hàm cận biên Chúng ta đã biết hàm chi phí T C = T C(Q) biểu diễn tổng chi phí T C ở mỗi mức sản lượng Q. Khi phân tích sản xuất, người ta còn sử dụng hàm chi phí bình quân và hàm chi phí cận biên. Ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí bình quân trên một đơn vị sản phẩm được định nghĩa là; T C(Q) AC = Q Ta có: T C0 − TC 0 T C 0Q − T C 0 TC Q M C − AC (AC) = = = = Q Q2 Q Q Từ đây ta thấy đạo hàm của hàm chi phí bình quân là tỷ số giữa hiệu chi phí cận biên và chi phí bình quân với mức sản lượng Q. Do đó: - Nếu M C > AC thì (AC)0 > 0, tức là khi chi phí cận biên lớn hơn chi phí bình quân thì chi phí bình quân tăng. - Nếu M C < AC thì (AC)0 < 0, tức là khi chi phí cận biên nhỏ hơn chi phí bình quân thì chi phí bình quân giảm. - M C = AC khi và chỉ khi (AC)0 = 0, tức là chi phí bình quân chỉ có thể đạt cực tiểu tại điểm mà chi phí cận biên bằng chi phí bình quân T R(Q) Tương tự, doanh thu bình quân AR = Q và doanh thu cận biên M R = T R0 (Q) liên Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 15
Bộ môn Khoa học tự nhiên Bài giảng Toán kinh tế hệ với nhau như sau: - Nếu M R > AR thì AR0 (Q) > 0, tức là khi doanh thu cận biên lớn hơn doanh thu bình quân thì doanh thu bình quân tăng. - Nếu M R < AR thì AR0 (Q) < 0, tức là khi doanh thu cận biên nhỏ hơn doanh thu bình quân thì doanh thu bình quân giảm. - M R = AR khi và chỉ khi AR0 (Q) = 0, tức là doanh thu bình quân chỉ có thể đạt cực đại tại điểm mà doanh thu cận biên bằng doanh thu bình quân. 1.5. Bài tập Bài tập 1: Trình bày các khái niệm hàm cung, hàm cầu, điểm cân bằng thị trường và nêu các tính chất, ý nghĩa liên quan. Bài tập 2: Tìm điểm cân bằng thị trường (xác định giá cân bằng, lượng cân bằng) của mô hình thị trường nhiều loại hàng hoá sau: 1, Hàng hóa 1:Qs1 = −2 + 4p1 ; Qd1 = 12 − 2p1 + 4p2 Hàng hóa 2: Qs2 = −4 + 6p2 ; Qd2 = 11 + 2p1 − 4p2 2, Hàng hóa 1:Qs1 = −2 + 6p1 ; Qd1 = 1 − 2p1 + 3p2 Hàng hóa 2: Qs2 = −1 + 5p2 ; Qd2 = 3 + 2p1 − 4p2 3, Hàng hóa 1:Qs1 = −2 + 3p1 ; Qd1 = 10 − 2p1 + p2 Hàng hóa 2: Qs2 = −1 + 2p2 ; Qd2 = 15 + p1 − p2 4, Hàng hóa 1:Qs1 = −3 + 5p1 ; Qd1 = 2 − p1 + 4p2 Hàng hóa 2: Qs2 = −1 + 4p2 ; Qd2 = 3 + 2p1 − p2 5, Hàng hóa 1:Qs1 = −2 + 6p1 ; Qd1 = 3 − 4p1 + 5p2 Hàng hóa 2: Qs2 = −1 + 4p2 ; Qd2 = 2 + 3p1 − 4p2 6, Hàng hóa 1:Qs1 = −3 + 7p1 ; Qd1 = 2 − p1 + 4p2 Hàng hóa 2: Qs2 = −2 + 5p2 ; Qd2 = 4 + 3p1 − 5p2 7, Hàng hóa 1:Qs1 = −3 + 2p1 ; Qd1 = 13 − 4p1 + 3p2 Hàng hóa 2: Qs2 = −2 + 5p2 ; Qd2 = 10 + 3p1 − 4p2 8, Hàng hóa 1:Qs1 = −5 + 7p1 ; Qd1 = 12 − 3p1 + 4p2 Hàng hóa 2: Qs2 = −4 + 3p2 ; Qd2 = 16 + 2p1 − 4p2 9, Hàng hóa 1:Qs1 = −5 + 6p1 ; Qd1 = 23 − 6p1 + 7p2 Hàng hóa 2: Qs2 = −4 + 7p2 ; Qd2 = 20 + 8p1 − 4p2 10, Hàng hóa 1:Qs1 = −4 + 5p1 ; Qd1 = 22 − 7p1 + 4p2 Hàng hóa 2: Qs2 = −6 + 8p2 ; Qd2 = 25 + 5p1 − 3p2 11, Hàng hóa 1:Qs1 = −5 + 7p1 ; Qd1 = 32 − 9p1 + 4p2 Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 16
Bộ môn Khoa học tự nhiên Bài giảng Toán kinh tế Hàng hóa 2: Qs2 = −9 + 6p2 ; Qd2 = 24 + 6p1 − 8p2 Bài tập 3: Tìm điểm cân bằng của mô hình kinh tế vĩ mô (tìm tổng thu nhập quốc dân cân bằng Y¯ và tiêu dùng cân bằng C) ¯ cho như sau: a, C = 300 + 0.75Y , I0 = 300, G0 = 400 b, C = 500 + 0.8Y , I0 = 350, G0 = 400 c, C = 0.85Y + 600, I0 = 400, G0 = 550 Bài tập 4:Một dự án đầu tư đòi hỏi chi phí hiện tại A (triệu đồng) và sẽ đem lại B (triệu đồng) sau n năm với lãi suất thịnh hành r (phần trăm) một năm. Yêu cầu: a, Tính giá trị tương lai của khoản A b, Tính giá trị hiện tại của khoản B c, Ra quyết định có nên thực hiện dự án hay không? (giải theo hai cách và nêu rõ ý nghĩa) 1, A = 120, B = 220, n = 3, r = 10 2, A = 150, B = 220, n = 3, r = 10 3, A = 170, B = 220, n = 3, r = 10 4, A = 200, B = 220, n = 3, r = 10 5, A = 150, B = 250, n = 4, r = 10 6, A = 150, B = 250, n = 5, r = 10 7, A = 120, B = 220, n = 4, r = 12 8, A = 120, B = 220, n = 4, r = 15 9, A = 120, B = 220, n = 4, r = 20 10, A = 200, B = 800, n = 13, r = 15 Bài tập 5: Một nhà đầu tư có thể bỏ tiền ra để thực hiện một trong 3 dự án: Dự án 1: Chi phí hiện tại A1 và sẽ đem lại B1 đồng sau thời gian n1 năm Dự án 2: Chi phí hiện tại A2 và sẽ đem lại B2 đồng sau thời gian n2 năm Dự án 3: Chi phí hiện tại A3 và sẽ đem lại B3 đồng sau thời gian n3 năm Cho biết lãi suất thịnh hành là r phần trăm một năm. Hãy tính NPV của mỗi dự án và đánh giá nên thực hiện dự án nào? 1, A1 = 2000, B1 = 3000, n1 = 4 A2 = 2000, B2 = 4000, n2 = 6 A3 = 3000, B3 = 4800, n3 = 5 r = 10 2, A1 = 2475, B1 = 4536, n1 = 3 A2 = 3245, B2 = 5678, n2 = 3 A3 = 3567, B3 = 4532, n3 = 2 r = 11 3, A1 = 1255, B1 = 2750, n1 = 3 Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 17
Bộ môn Khoa học tự nhiên Bài giảng Toán kinh tế A2 = 2775, B2 = 4160, n2 = 2 A3 = 1885, B3 = 3190, n3 = 2 r = 10 4, A1 = 4522, B1 = 5643, n1 = 4 A2 = 3245, B2 = 4578, n2 = 3 A3 = 4423, B3 = 5436, n3 = 4 r = 10 5, A1 = 3500, B1 = 7000, n1 = 3 A2 = 4000, B2 = 8000, n2 = 4 A3 = 3400, B3 = 5000, n3 = 2 r = 10 Bài tập 6: Một nhà đầu tư thực hiện dự án với chi phí hiện tại 3400. Kỳ vọng của nhà đầu tư là NPV của dự án phải lớn hơn 320. Hỏi giá trị dự án mang lại sau 2 năm phải đạt tối thiểu bao nhiêu để nhà đầu tư đạt được kỳ vọng. Cho biết lãi suất thịnh hành r = 10% một năm. Bài tập 7: Một nhà đầu tư dự định thực hiện dự án với kỳ vọng là NPV của dự án phải lớn hơn 3263. Giả sử sau 7 năm, dự án mang lại 20000. Hỏi chi phí hiện tại của dự án tối đa là bao nhiêu? Cho biết lãi suất thịnh hành r = 10% một năm. Bài tập 8: Một nhà đầu tư thực hiện dự án với chi phí ban đầu 4000. Sau khoảng thời gian t năm, dự án mang lại 13000. Hãy ước lượng thời gian thực hiện dự án t để dự án đạt được NPV tối thiểu bằng 4879. Cho biết lãi suất thịnh hành r = 10% một năm. Bài tập 9: Một người dự định mua ô tô theo phương thức trả góp. Giá xe tại thời điểm người đó mua là 40 000$ và lãi suất liên ngân hàng là 12% một năm (1% một tháng). Giả sử người đó đã trả trước 10 000$, số còn lại tính theo phương thức trả góp, nghĩa là mỗi tháng phải trả cho chủ hàng A$, liên tiếp trong 36 tháng. Hỏi với mức trả hàng tháng là bao nhiêu thì việc mua trả góp của người đó là chấp nhận được? (không cao hơn việc vay ngân hàng để trả thẳng). Bài tập 10 √ a, Cho hàm sản xuất Q = 20 L. Tính giá trị M P PL tại giá trị L = 100 và nêu ý nghĩa? b, Cho hàm cầu Q = 1400 − p2 . Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại mức giá p = 20 và nêu ý nghĩa? Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 18
Chương 2 Phương trình vi phân 2.1. Đại cương về phương trình vi phân Khi nghiên cứu sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các biến số, nhiều khi người ta không thể thiết lập một cách trực tiếp quy luật phụ thuộc hàm số, trong khi đó lại có thể thiết lập mối liên hệ hỗn hợp giữa các biến số có quan hệ hàm số, cùng với đạo hàm hoặc vi phân của hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của một biến vào các biến còn lại. Trong nhiều trường hợp hệ thức liên hệ được viết dưới dạng phương trình có chứa hàm số phải tìm dưới dấu đạo hàm hoặc vi phân, phương trình đó được gọi là phương trình vi phân. Trong các phương trình, nếu không có gì đặc biệt thì biến số độc lập được sử dụng là x. Trong một số trường hợp có thể sử dụng biến số độc lập t. 2.1.1. Định nghĩa. Định nghĩa 9. Phương trình mà trong đó chứa các biến số độc lập, hàm phải tìm và các đạo hàm (hay vi phân) của nó được gọi là một phương trình vi phân. Ví dụ: Các phương trình sau là phương trình vi phân. dy a, + 5t sin x = 0 dx b, y 000 + 5yy 00 = 0 Có hai loại phương trình vi phân: - Phương trình vi phân thường là phương trình vi phân mà trong đó hàm phải tìm chỉ phụ thuộc một biến số độc lập. Phương trình vi phân thường có dạng F (x, y, y 0 , ..., y (n) ) = 0, trong đó x là biến số độc lập, y = y(x) là hàm số phải tìm, y 0 , y 00 , .., y (n) là các đạo hàm của hàm số. - Phương trình vi phân đạo hàm riêng là phương trình mà hàm phải tìm phụ thuộc ít nhất hai biến số. ∂ 2 u ∂u Ví dụ: Phương trình + = sin x. sin t , u = u(x, t), là phương trình vi phân đạo ∂x2 ∂t hàm riêng. 19

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.