TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BỘ MÔN KHOA HỌC TỰ NHIÊN
——————————————–
ĐÀM THANH PHƯƠNG, NGÔ MẠNH TƯỞNG
BÀI GIẢNG
TOÁN KINH TẾ
Thái Nguyên, năm 2015
Danh sách hình vẽ
1.1 Đồ thị của hàm cung và hàm cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Đườngpha1.....................................32
2.2 Đườngpha2.....................................32
2.3 Quỹ đạo thời gian có trạng thái cân bằng ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4 Quỹ đạo thời gian có trạng thái cân bằng không ổn định . . . . . . . . . . . . 33
2.5 Điểmtrạngtháitĩnh ................................37
2.6 Đồthịpha......................................37
3.1 Quỹ đạo thời gian của giá thị trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1
Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Chương 1. Một số ứng dụng mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1. Một số mô hình hàm số trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1. Hàm cung và hàm cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2. Hàm sản xuất ngắn hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3. Hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm lợi nhuận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4. Hàm tiêu dùng và hàm tiết kiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Một số mô hình tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1. Mô hình cân bằng thị trường. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2. Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Ứng dụng của cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1. Nhắc lại kiến thức về cấp số nhân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2. Tính giá trị hiện tại và giá trị tương lai của tiền tệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3. Kỳ khoản và giá trị của các luồng vốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4. Sử dụng đạo hàm trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.1. Đạo hàm và giá trị cận biên. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.2. Hệ số co dãn của cung và cầu theo giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.3. Quan hệ giữa hàm bình quân và hàm cận biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Chương 2. Phương trình vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1. Đại cương về phương trình vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1. Định nghĩa.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2. Cấp của phương trình vi phân.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.3. Nghiệm của phương trình vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.4. Phương trình vi phân cấp một. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1. Định nghĩa.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2. Cách giải.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3. Một số phương trình vi phân phi tuyến cấp 1.. . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1. Phương trình biến số phân ly.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2. Phương trình đẳng cấp (hay phương trình thuần nhất). . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.3. Phương trình Becnuly. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.4. Phương trình vi phân toàn phần. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2
Bộ môn Khoa học tự nhiên Bài giảng Toán kinh tế
2.4. Một số mô hình phương trình vi phân cấp 1 trong phân tích kinh
tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.1. Phân tích định tính quỹ đạo thời gian của một số biến số kinh tế bằng phương
pháp đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.2. Mô hình tăng trưởng Domar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.3. Mô hình tăng trưởng Solow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.4. Mô hình điều chỉnh giá thị trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5. Phương trình vi phân cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5.1. Khái quát chung về phương trình vi phân thường cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5.2. Một số phương trình vi phân giải được bằng phương pháp hạ cấp . . . . . . 41
2.5.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6. Một số mô hình phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 trong phân
tích kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6.1. Điều kiện ổn định động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6.2. Mô hình thị trường với kỳ vọng giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6.3. Mô hình điều chỉnh giá có tính đến hàng hoá tồn đọng . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7. BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1. Khái niệm sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.1. Thời gian rời rạc và khái niệm sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.2. Phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2. Phương trình sai phân cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.1. Phương trình ôtônôm tuyến tính cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.2. Một số mô hình phương trình ôtônôm tuyến tính trong kinh tế học . . . . 57
3.2.3. Phương trình tuyến tính cấp 1 tổng quát. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3. Phương trình sai phân cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.2. Phương trình ôtônôm tuyến tính cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.3. Phương trình phi ôtônôm tuyến tính cấp 2 với hệ số không đổi . . . . . . . . . 68
3.3.4. Một số mô hình phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 trong kinh tế. . 70
3.4. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 3
Lời nói đầu
Tập bài giảng này được viết cho môn học Toán kinh tế. Trên cơ sở đề nghị của Khoa
chuyên môn quản lý chuyên ngành, tài liệu tham khảo chính của môn học là cuốn "Toán
cao cấp cho các nhà kinh tế" của tác giả Lê Đình Thúy, NXB Đại học Kinh tế quốc dân,
2007 (hai phần Đại số và Giải tích toán học). Tuy nhiên, với thời lượng 02 tín chỉ đề
cương môn học chỉ đề cập một số phần chính. Vì vậy bài giảng ngắn gọn này sẽ giúp các
em sinh viên tiếp cận nhanh đến môn học. Nội dung bài giảng bám sát đề cương, gồm 3
chương:
Chương 1: Một số ứng dụng mở đầu. Chương này giới thiệu các ứng dụng đơn giản
từ việc sử dụng mô hình toán học để mô tả, phân tích kinh tế đến những khái niệm ban
đầu. Sinh viên sẽ làm quen với ứng dụng của hàm số, cấp số nhân, đạo hàm, hệ phương
trình tuyến tính.v.v để giải một số bài toán kinh tế đơn giản.
Chương 2: Phương trình vi phân. Chương này có hai mục đích chính. Một là giúp
sinh viên học các phương pháp tìm nghiệm giải tích của một số dạng phương trình vi
phân cụ thể. Tuy nhiên, trong thực tế số phương trình vi phân tìm được nghiệm giải tích
là rất ít, nhất là các phương trình vi phân thể hiện các hệ động lực nói chung và các mô
hình kinh tế nói riêng. Hơn nữa, người ta cũng không quá quan tâm chi tiết đến nghiệm
cụ thể mà quan tâm đến mặt định tính, nghĩa là các tính chất của nghiệm. Vì vậy mục
đích thứ hai của chương là giúp sinh viên hiểu được các tính chất định tính của nghiệm
như quỹ đạo pha, trường hướng, điểm cân bằng, tính ổn định (bất ổn định) của điểm cân
bằng, tính tuần hoàn v.v. thông qua các mô hình kinh tế cụ thể.
Chương 3: Phương trình sai phân. Mô hình toán học để thể hiện các hệ động lực
nói chung và mô hình kinh tế nói riêng nhìn chung có hai cách tuỳ thuộc vào việc sử dụng
biến độc lập (thời gian) t. Cách thứ nhất nếu biến thời gian là liên tục chúng ta sử dụng
phương trình vi phân (đạo hàm riêng). Cách thứ hai, nếu sử dụng thời gian rời rạc (tuỳ
thuộc vào việc lấy mẫu, chẳng hạn một mô hình kinh tế cần tính lãi theo tháng, quý,
năm, v.v..) thì chúng ta sử dụng phương trình sai phân. Vì vậy, cũng tương tự như cách
tiếp cận của chương 2, chúng ta cũng sẽ được học cách giải một số phương trình sai phân
cụ thể (rất ít so với thực tế) và tiếp cận cách phân tích định tính nghiệm thông qua một
4